第三章 维纳滤波和卡尔曼滤波
卡尔曼滤波与维纳滤波在运动模糊图像恢复中的应用
参考文献
①采用匀速直线运动模糊图像恢复方法计算出 (k
- 1) 时刻的最佳估计值X ′(k - 1) , 然后将 F (k , k - 1)
·X (k - 1) 的值赋给X ′(k ) , 作为 (k - 1) 时刻对K 时刻
的最佳估计[3 ];
②利用式 (8) 计算X (k ) 的修正量 K (k ) ·e (k ) ;
(10)
图 2 未恢复图像 图 3 维纳滤波 图 4 卡尔曼滤
图像
波图像
图 3 中, 运用维纳滤波进行恢复时, 取的模糊长度
为60, 实际在图像恢复中模糊长度的选取至关重要, 本
文中是根据先验知识估算汽车在超度行驶过程中的速
度, 经验也表明模糊长度越接近运动目标的真实速度
恢复效果越好。 图 4 是经过卡尔曼滤波处理后又进行
中图分类号: T P393
文献标识码: A
ABSTRACT T h rough ana lysing the m ovem en t of m ob ile ta rget in the direction of m ovem en t, the m odel of m ob ile fuzzy im age is
g (x , y ) = f (x , y ) 3 h (x , y ) + n (x , y )
(1)
对上式两边进行傅立叶变换, 可以得到:
G (u, v) = H (u, v) F (u, v) + N (u, v)
(2)
频率域恢复最常用的方法是均方误差最小滤波
(维纳滤波) 恢复方法:
F (u , v ) = G (u , v ) H 3 (u , v ) ( H (u , v ) 2+ Κ) (3) 式中, G (u, v ) 是退化图像, H (u , v ) 是点扩散函 数, H 3 (x , y ) 为 H (u , v ) 的复共轭, F (u , v ) 是恢复图 像, Κ为噪声功率谱密度比, 近似一个常数。 维纳滤波 是一种综合考虑退化函数与噪声统计特征两方面进行
维纳滤波和卡尔曼滤波75页PPT
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
维我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
频域复原算法
频域复原算法
频域复原算法是一种用于信号处理和图像处理的技术，它通过对信号或图像进行频域分析和处理，以恢复原始信号或图像。
常见的频域复原算法包括：
- 维纳滤波：维纳滤波是一种经典的频域复原算法，它通过在频域中估计信号的功率谱密度，并根据估计值对信号进行滤波，以恢复原始信号。
维纳滤波在图像处理中常用于去噪和恢复图像的细节。
- 最小二乘法：最小二乘法是一种基于模型的频域复原算法，它通过最小化误差函数来估计信号的参数，以恢复原始信号。
最小二乘法在图像处理中常用于图像去模糊和恢复图像的细节。
- 卡尔曼滤波：卡尔曼滤波是一种递归的频域复原算法，它通过对信号的状态进行估计和更新，以恢复原始信号。
卡尔曼滤波在图像处理中常用于图像去模糊和恢复图像的细节。
这些频域复原算法都有各自的优缺点和适用范围，需要根据具体的应用场景和需求选择合适的算法。
基本滤波算法-维纳滤波+卡尔曼滤波+自适应滤波
卡尔曼滤波
组帧
语音分帧
滑动窗
帧内估计加窗
合帧
1. 背景介绍 2. 工程实现
目录
3. 卡尔曼和维纳滤波比较
加载语音数据
m1=wavread('bingyu.wav'); y=m1(1:10240*20)'; Fs=22050; x=y+0.6*randn(1,length(y));
Fs为采样速率，可以听到的声音频率为20HZ~20kHZ。 根据奈奎斯特采样定理，采样速率为原信号频谱两倍即可无失真恢复 但人耳分辨率有限，一般取22050，44100为CD音质。
1. 背景介绍 2. 工程实现
目录
3. 卡尔曼和维纳滤波比较
背景介绍
周围环境 传输媒介 电气设备
噪声干扰
目的：从带噪语音信号中尽可能提取干净语音信号，提高信噪比，改善语音质量
背景介绍--语音特性
语音信号是非平稳信号，但在短时间内，其频谱是稳定的。 即在短时间内可以用平稳随机过程方法来分析语音信号。
原音频信号和加噪声后的信号
figure(1); Fs=22050; plot((1:length(y(500:900)))/Fs,y(500:900),'r'); hold on; plot((1:length(x(500:900)))/Fs,x(500:900),'g');
3 原始信号 加噪声信号 2
%时间更新方程 %卡尔曼增益 %测量更新方程
卡尔曼模型
n-1时刻对n时刻状态的预测值
n时刻结合观测值对真实状态的估计
预测的误差协方差矩阵
滤波估计的误差协方差矩阵 卡尔曼增益
对得到的每帧数据加窗
维纳、卡尔曼滤波简介及MATLAB实现-推荐下载
了了了了
了了了了了了了了了了了Fra bibliotek了了了了了了了了了了 了了了了了了了了了 了了了了了了了了了了
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
卡尔曼滤波PPT课件
• k＝1， (2) 0.5000H，(2) 0.500Sˆ(02)， 0.4762 Sˆ(1) 0.4048 X (2)
• k＝2， (3) 0.4048H，(3)
(4)
H (4)
• k＝3， (5) 0.3824H，(5)
• k＝4， (6) 0.3768H，(6)
0.404Sˆ(83) ， 0.4941Sˆ(2) 0.3824 X (3)
其中
，
尔曼滤波器的稳态
和
X(k) C(k)S(k) w(k)
S信(k号) 和A噪(k声)S统(k计独1立) 。w求1卡(k 1)
。
A 0.8 C 1
Q(k
)
2 w1
0.36
R(k) var(w(k)) 1
H(k) ε(k )
第22页/共32页
（5）
ε(k )
ε(k) 0.64ε(k 1) 0.36 H(k) 0.64ε(k 1) 1.36
第19页/共32页
初始条件为Sˆ(1) 0, (0) 1 ，k＝0开始
观测，利用等式（4），（5）进行递推得：
(0)
H (0)
Sˆ (0) X (0)
• k＝0， (1) 1.0000H，（1） 1.000Sˆ(01)， 0.4Sˆ(0) 0.5X (1)
ε(k令) H(K)C(k) ε(k) ε(k，)C(k) τ H(k) τ H(k)[C(k) ε(k)C(k) τ R(k)]H(k) τ
代入上C式(化k简)ε：(k)C(k) τ R(k) SSτ U ε(k)C(k) τ
ε(k ) ε(k) H(K)U τ (6-U68H) (k) τ H(k)SS τ H(k) τ
微弱信号检测技术的原理及应用(含卡尔曼滤波与维纳滤波)
微弱信号检测技术的原理及应用2018年1月一、微弱信号检测的基本原理、方法及技术在自然现象和规律的科学研究和工程实践中，经常会遇到需要检测诸如地震的波形和波速、材料分析时测定荧光光强、卫星信号的接收、红外探测以及生物电信号测量等。
这些测量量被强背景噪声或检测电路的噪声所淹没，无法用传统的测量方法检测出来。
微弱信号，为了检测被背景噪声淹没的微弱信号，人们进行了长期的研究工作，分析背景噪声产生的原因和规律，研究被测信号的特点、相关性以及噪声的统计特性，以寻找出从背景噪声中检测出目标信号的方法。
微弱信号检测技术的首要任务是提高信噪比，这就需要采用电子学、信息论和物理学的方法，以便从强噪声中检测出有用的微弱信号。
微弱信号检测技术不同于一般的检测技术，主要是考虑如何抑制噪声和提高信嗓比，因此可以说，微弱信号检测是一门专门抑制噪声的技术。
抑制噪声的现代信号处理手段的理论基础是概率论、数理统计和非线性科学。
1、经典检测与估计理论时期这一时期检测理论主要是建立在统计学家工作的基础上的。
美国科学家WienerN .将随机过程和数理统计的观点引入到通信和控制系统中，提出了信息传输和处理过程的统计本质，建立了最佳线性滤波理论，即维纳滤波理论。
NorthD.O.于1943年提出以输出最大信噪比为准则的匹配滤波器理论；1946年卡切尼科夫(BA.K)提出了错误判决概率为最小的理想接收机理论，证明了理想接收机应在其输出端重现出后验概率为最大的信号，即是将最大后验概率准则作为一个最佳准则。
1950年在仙农信息理论的基础上，WoodwardP.M.把信息量的概念用于雷达信号的检测中，提出了理想接收机应能从接收到的信号加噪声的混合波形中提取尽可能多的有用信息。
但要知道后验概率分布。
所以，理想接收机应该是一个计算后验概率分布的装里。
1953年以后，人们直接利用统计推断中的判决和统计理论来研究雷达信号检测和参盘估计。
密德尔顿(Middleton D)等用贝叶斯准则(最小风险准则)来处理最佳接收问题，并使各种最佳准则统一于风险理论。
维纳滤波与卡尔曼滤波
第二章 维纳滤波与卡尔曼滤波§2.1 引言信号处理的实际问题，常常是要解决在噪声中提取信号的问题，因此，我们需要寻找一种所谓有最佳线性过滤特性的滤波器。
这种滤波器当信号与噪声同时输入时，在输出端能将信号尽可能精确地重现出来，而噪声却受到最大抑制。
维纳(Wiener)滤波与卡尔曼(Kalman)滤波就是用来解决这样一类从噪声中提取信号问题的一种过滤(或滤波)方法。
实际上这种线性滤波问题，可以看成是一种估计问题或一种线性估计问题。
一个线性系统，如果它的单位样本响应为h (n )，当输入一个随机信号x (n )，且)()()(n n s n x υ+=(2.1)其中s (n )表示信号，)(n υ表示噪声，则输出y (n )为∑-=mm n x m h n y )()()((2.2)我们希望x (n )通过线性系统h (n )后得到的y (n )尽量接近于s (n )，因此称y (n )为s (n )的估计值，用)(ˆn s表示，即)(ˆ)(n sn y = (2.3)图2.1 维纳滤波器的输入—输出关系如图2.1所示。
这个线性系统)(⋅h 称为对于s (n )的一种估计器。
实际上，式(2.2)的卷积形式可以理解为从当前和过去的观察值x (n )，x (n -1)，x (n -2)…x (n -m )，…来估计信号的当前值)(ˆn s。
因此，用)(⋅h 进行过滤的问题可以看成是一个估计问题。
由于我们现在涉及的信号是随机信号，所以这样一种过滤问题实际上是一种统计估计问题。
一般，从当前的和过去的观察值x (n )，x (n -1)，x (n -2)，…估计当前的信号值)(ˆ)(n s n y =称为过滤或滤波；从过去的观察值，估计当前的或将来的信号值)0)((ˆ)(≥+=N N n sn y 称为预测或外推；从过去的观察值，估计过去的信号值)1)((ˆ)(>-=N N n sn y 称为平滑或插。
维纳滤波与卡尔曼滤波
FIR : IIR :
0 ~ M 1 ~ （非因果）； 0 ~ （因果）
11
定义
第 四 章 维 纳 滤 波 和 卡 尔 曼 滤 波
h1 h2 h hM rxx (0) rxx (0) Rxx r ( M 1) xx
8
4.2 维纳滤波器的离散形式—时域解
第 四 章 维 纳 滤 波 和 卡 尔 曼 滤 波
x ( n) s ( n) v ( n)
i
（加性干扰）
ˆ(n) h(i ) x(n i ) x(n) h(n) y ( n) s ˆ( n ) ] 均方误差： (n) E[e (n)] E[ s (n) s
第 四 章 维 纳 滤 波 和 卡 尔 曼 滤 波
例
设y(n)=x(n)+v2(n)，v2(n)是一白噪声，方差
σ22=0.1 。期望信号 x1(n) 的信号模型如图 (a) 所示， 其中白噪声 v1(n) 的方差 σ21=0.27 ，且 b0=0.8458 。
x(n)的信号模型如图（b）所示，b1=0.9458。假定
rxd (0) rxd (1) Rxd rxd ( M 1) rxx ( M 1) rxx (0) rxx ( M 2) rxx ( M 2) rxx (0) rxx (1)
12
第 四 章 维 纳 滤 波 和 卡 尔 曼 滤 波
* 2 * T h ( k ) r ( k ) ( h ) Rxd xd d
1 d2 ( Rdx )H Rxx Rdx
可以看出，均方误差与滤波器的单位脉冲响应是一个 二次函数关系。由于单位脉冲响应h(n) 为M维向量， 因此均方误差是一个超椭圆抛物形曲面，该曲面有极 小点存在。当滤波器工作于最佳状态时，均方误差取 得最小值。 16
专题：维纳与卡尔曼滤波器
滤波器 ( Filter ) 的概念
线性滤波 ( Linear Filtering ) ：指滤波器的 输出端被滤波、平滑、 输出端被滤波、平滑、预测的输出量是其输 入数据的线性函数。 入数据的线性函数。
滤波器 ( Filter ) 的概念
最优线性滤波 ( Optimum Linear Filtering ) ： 指在已知输入信号的某些统计特性的条件下， 指在已知输入信号的某些统计特性的条件下， 线性滤波的结果是有用信息( 被估计量, 线性滤波的结果是有用信息 被估计量 需 按某一准则的最优估计。 提取的量 ) 按某一准则的最优估计。
2
四、维纳滤波(Weiner Filtering） 四、 ）
维纳滤波问题： 维纳滤波问题：
s(n) ---期望输出（参考信号）， 期望输出（ ），x(n) ---输入信号， 输入信号， 期望输出 参考信号）， 输入信号 e(n) ---误差信号。 误差信号。 误差信号 已知条件： 是均值为0的平稳离散时间 已知条件：s(n)、x(n)是均值为 的平稳离散时间 、 是均值为 信号，二阶矩（自相关，互相关）已知。 信号，二阶矩（自相关，互相关）已知。滤波器 是线性时不变 时不变的 是线性时不变的 ( FIR, IIR ) 采用准则：最小均方误差( 采用准则：最小均方误差 MMSE Minimum Mean - Squared Error ) 设计滤波器 [ 求h(n) ] 使 在最小均方误差下是最优滤波。 在最小均方误差下是最优滤波。
法，该叠代算法在每获取新的输入数据同时， 该叠代算法在每获取新的输入数据同时， 按某一准则更新滤波器的参数。 具有某种学 按某一准则更新滤波器的参数。(具有某种学
习的能力) 习的能力
三、匹配滤波 ( Matching Filter） 三、 ）
实验五不同滤波器的比较
实验五不同滤波器的比较比较维纳滤波器、卡尔曼滤波器、匹配滤波器、自适应滤波器的异同一、维纳滤波器维纳滤波器是由数学家维纳提出的一种以最小平方为最优准则的线性滤波器。
在一定的约束条件下，其输出与一给定函数（通常称为期望输出）的差的平方达到最小，通过数学运算最终可变为一个托布利兹方程的求解问题。
维纳滤波是利用平稳随机过程的相关特性和频谱特性对混有噪声的信号进行滤波的方法。
设维纳滤波器的输入为含噪声的随机信号。
期望输出与实际输出之间的差值为误差，对该误差求均方，即为均方误差。
因此均方误差越小，噪声滤除效果就越好。
为使均方误差最小，关键在于求冲激响应。
如果能够满足维纳－霍夫方程，就可使维纳滤波器达到最佳。
根据维纳－霍夫方程，最佳维纳滤波器的冲激响应，完全由输入自相关函数以及输入与期望输出的互相关函数所决定。
维纳滤波器的优点是适应面较广，无论平稳随机过程是连续的还是离散的，是标量的还是向量的，都可应用。
对某些问题，还可求出滤波器传递函数的显式解，并进而采用由简单的物理元件组成的网络构成维纳滤波器。
维纳滤波器的缺点是，要求得到半无限时间区间内的全部观察数据的条件很难满足，同时它也不能用于噪声为非平稳的随机过程的情况，对于向量情况应用也不方便。
因此，维纳滤波在实际问题中应用不多。
实现维纳滤波的要求是：①输入过程是广义平稳的；②输入过程的统计特性是已知的。
根据其他最佳准则的滤波器亦有同样要求。
二、卡尔曼滤波器卡尔曼滤波是一种高效率的递归滤波器(自回归滤波器), 它能够从一系列的不完全及包含噪声的测量中，估计动态系统的状态。
状态估计是卡尔曼滤波的重要组成部分。
一般来说，根据观测数据对随机量进行定量推断就是估计问题，特别是对动态行为的状态估计，它能实现实时运行状态的估计和预测功能。
最常用的是最小二乘估计，线性最小方差估计、最小方差估计、递推最小二乘估计等。
卡尔曼提出的递推最优估计理论，采用状态空间描述法，在算法采用递推形式，卡尔曼滤波能处理多维和非平稳的随机过程。
维纳滤波和卡尔曼滤波的联系与区别
随机信号或随机过程(random process)是普遍存在的。
一方面，任何确定性信号经过测量后往往就会引入随机性误差而使该信号随机化；另一方面，任何信号本身都存在随机干扰，通常把对信号或系统功能起干扰作用的随机信号称之为噪声。
噪声按功率谱密度划分可以分为白噪声（white noise ）和色噪声（color noise ），我们把均值为0的白噪声叫纯随机信号（pure random signal ）。
因此，任何其它随机信号都可看成是纯随机信号与确定性信号并存的混合随机信号或简称为随机信号。
要区别干扰（interference ）和噪声( noise)两种事实和两个概念。
非目标信号（nonobjective signal ）都可叫干扰。
干扰可以是确定信号，如国内的50Hz 工频干扰。
干扰也可以是噪声，纯随机信号（白噪声）加上一个直流成分（确定性信号），就成了最简单的混合随机信号。
医学数字信号处理的目的是要提取包含在随机信号中的确定成分，并探求它与生理、病理过程的关系，为医学决策提供一定的依据。
例如从自发脑电中提取诱发脑电信号，就是把自发脑电看成是干扰信号，从中提取出需要的信息成分。
因此我们需要寻找一种最佳线性滤波器，当信号和干扰以及随机噪声同时输入该滤波器时，在输出端能将信号尽可能精确地表现出来。
维纳滤波和卡尔曼滤波就是用来解决这样一类问题的方法：从噪声中提取出有用的信号。
实际上，这种线性滤波方法也被看成是一种估计问题或者线性预测问题。
由当前时刻的观测值和过去时刻的观测值、、…的估计值。
用当前的和过去的观测值来估计当前的信号称为滤波；用过去的观测值来估计当前的或将来的信号，N ，称为预测；用过去的观测值来估计过去的信号，N ，称为平滑或者内插。
本章将讨论滤波和预测问题。
维纳滤波和卡尔曼滤波都是解决线性滤波和预测问题的方法，并且都是以均方误差最小为准则的，在平稳条件下两者的稳态结果是一致的。
但是它们解决问题的方法有很大区别。
第三章维纳滤波和卡尔曼滤波
解决方法：实质是求解维纳－霍夫(Wiener-Hopf)
方程，即
min
E
e(n)
2
hopt
(n)
➢ 本节讨论维纳滤波器的时域求解方法，即在时域
求最小均方误差下的 hopt (n) 。
2、 维纳滤波器时域求解的方法
分困难的问题。
解决方法：采用将观测序列x(n)白化的方法，求
解Wiener-Hopf方程的Z域解。
若不考虑滤波器的因果性，维纳－霍夫方程可以改写为
r xd (k) h(m)rxx (k m) h(k) * rxx k m
➢ 设定d(n)=s(n)，对上式两边做Z变换，得到
x(n)=s(n)+v(n)
s(n)
k
g
(k
)
w(n
k
)s*
(n)
rss
(0)
2 w
| g(k) |2
g*(k )rws (k)－
g(k)rw*s (k)
第一项
k
k
k
第二项
第三项
rss (0)
k
w g (k )
rws (k )
w
2
k
|
rws |2
2 w
(3.3.9)
➢ 求满足最小均方误差条件下的g(k)：
x(
y(n) sˆ(n) w(n) g(n) g(k)w(n k) k
2
E[| e(n) |2 ] E s(n) g(k)w(n k)
k
E[| s(n) |2 ] E[
g*(k)g(r)w*(n k)w(n r)]
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要使均方误差为最小，须满足
min J (n)
hk
J n J n 0 hk
k=0, 1, 2, …
E[| e(n) |2 ] E[| e(n) |2 ] j 0 ak bk
记梯度算子为
k j ak bk
k=0, 1, 2, …
k J n
rwd k
2 w
k=0, 1, 2, …
由此可见，只要将输入信号转化为白噪声，就可以解得因果 IIR维纳滤波器的单位脉冲响应。为了充分理解这种方法的思想， 将首现采用信号白化的方法针对非因果IIR维纳滤波器的求单位 脉冲相响应。
第三章 维纳滤波和卡尔曼滤波
3.1 引言 3.2 离散维纳滤波器的时域解 3.3 离散维纳滤波器的z域解
3.4 维纳预测
3.5 卡尔曼(Kalman)滤波
3.1 引 言
最优滤波
维纳滤波和卡尔曼滤波简介
本章讨论的主要内容
1、最优滤波
信号处理的目的是从噪声中提取信号，得到不受 干扰影响的真正信号。采用的处理系统称为滤波 器。 滤波器的分类： 线性滤波器、非线性滤波器； FIR滤波器、IIR滤波器； 时域滤波器、频域滤波器；
3.3 离散维纳滤波器的z域解
本节要解决的主要问题及方法
白化滤波器
非因果IIR维纳滤波器的Z域解 因果IIR维纳滤波器的Z域解
1、本节要解决的主要问题及方法
待解决的问题：当h(n)是物理可实现的因果序
列时，所得到的Wiener-Hopf方程 将存在k≥0的约 束，不能直接转到Z域求解。这使得在要求满足物 理可实现条件下，求解维纳-霍夫方程成为一个十 分困难的问题。
对于因果IIR维纳滤波器，其维纳－霍夫方程为
r xd (k ) h(m)rxx (k m) h(k ) rxx (k )
m0
k=0, 1, 2, …
因为存在k≥0的约束，使得上式不能直接转到Z域求解。如 有可能将其转化为非因果问题，则求解会大大简化。
2 如果滤波器的输入是白噪声，即x(n)= w(n)，w(n)是方差为 w
将输入信号分配进去， 得到
* rxd ( k ) hopt ,i rxx (i k ) i 0
k=0, 1, 2, …
维纳-霍夫（Wiener－Hopf）方程：
rxd (k ) hopt ,i rxx (k i)
i 0
k=0, 1, 2, …
4、FIR维纳滤波器的时域解
Sxs (z)=Hopt(z)Sxx(z)
S xs ( z ) H opt ( z ) S xx ( z )
假设信号和噪声不相关，即rsv(m)=0，则
Sxs (z)=Sss(z) Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z)
S xs ( z ) Sss ( z ) H opt ( z ) S xx ( z ) Sss ( z ) Svv ( z )
k 0
hk E[ x(n k )e* (n)]
k 0
* E[ yopt (n)eopt (n)] 0
Hale Waihona Puke 3、 维纳—霍夫方程E[ x* (n k )eopt (n)] 0, k 0,1, 2,...
* E x(n k ) d (n) hopt ,i x(n i ) 0 i 0
rxx (0) rxx (1) Rxx rxx ( M 1)
（3.2.22）式可以写成矩阵形式， 即
Rxd Rxx h
对上式求逆，得到
1 h hopt Rxx Rxd
这里涉及到计算相关矩阵和逆矩阵，计算量可能较大。
FIR维纳滤波器的估计误差的均方值 假定所研究的信号都是零均值的，滤波器为FIR型，长度
误差绝对值的期望值最小 E[| e(n) |]min
误差绝对值的三次或高次幂的期望值最小 E[| e(n) |k ]min
Wiener滤波器的一般结构
x(n)=s(n)+v(n)
ˆ(n) h(m) x(n m) y(n) s
m
e(n) s(n) y(n)
E[| e(n) |2 ]min
FIR维纳滤波器的维纳-霍夫方程 当 h(n) 是一个长度为 M 的因果序列时， FIR 维纳滤波器的维 纳-霍夫方程表述为
rxd (k ) h(i)rxx (k i)
i 0
M 1
k=0, 1, 2, …,M-1
(3.2.21)
把k的取值代入(3.2.21)式， 得到
当k=0时，h0rxx(0)+h1rxx(-1)+…+hM-1rxx(-M+1)=rxd (0)
等于M，
M 1 * E[| e(n) | ] E e(n)[d (n) h(m) x(n m)] m 0 2 * * * E e ( n ) d ( n ) h m E e ( n ) x (n m)] m 0 M 1
3.2 离散维纳滤波器的时域解
本节要解决的主要问题及方法
正交性原理
维纳—霍夫方程 FIR维纳滤波器的时域解
1、本节要解决的主要问题及方法
要解决的问题：寻求在均方误差最小情况下的单
位脉冲响应h(n)或传递函数H(z)的表达式，这一过 程称为设计维纳滤波器的过程。
解决方法：实质是求解维纳－霍夫(Wiener-Hopf)
E e n e* n ak
j
E e n e* n bk
上式展开为
* * e ( n ) e ( n ) e ( n ) e ( n) 2 * * k E[| e(n) | ] E e (n) e(n) j e (n) j e(n) ak bk bk ak
2、维纳滤波和卡尔曼滤波简介
维纳(Wiener)滤波与卡尔曼(Kalman)滤波以估计的 结果与信号真值之间的误差的均方值最小作为最 优准则。
假设信号的真值与估计值间的误差为：
ˆ(n) e(n) s(n) s
均方误差最小即误差的平方的统计平均值最小：
2 2 ˆ 最小 E e(n) E s s
E[| e(n) |2 ]min
2 d
M 1 * * E e ( n ) d ( n ) E [ d ( n ) h ( m ) x ( n m )] d ( n ) m0
* 2 h(m)rxd ( m) d RH xd h m 0
将上述4式代入得
k J n k E[| e(n) |2 ] 2E[ x* (n k )e(n)]
正交性原理：
k J n 0 E[ x (n k )eopt (n)] 0, k 0,1,2,...
*
分析：上式说明，若使滤波器的均方误差达到最小，则误差 信号与输入信号正交，这就是通常所说的正交性原理。
s
ˆ ess
x1
w1x1 0 w2x 2
ˆ s
x2
正交性原理的重要意义：提供了一个数学方法，用以判
断线性滤波系统是否工作于最佳状态。
正交性原理的引理：最佳状态时，由滤波器输出定义的期望 响应的估计yopt(n)与估计误差eopt(n)正交：
E[ y (n)e* (n)] E[ hk x(n k )e* (n)]
又
e(n) s(n) y (n) s(n) hk x(n k )
k 0
s(n) a(k ) jb(k ) x(n k )
k 0
e(n) x(n k ) ak e(n) jx (n k ) bk e* ( n) x* ( n k ) ak e* ( n) jx* (n k ) bk
解决方法：采用将观测序列x(n)白化的方法，求
解Wiener-Hopf方程的Z域解。
若不考虑滤波器的因果性，维纳－霍夫方程可以改写为
r xd (k )
m
h(m)r
xx
(k m) h(k )* rxx k
设定d(n)=s(n)，对上式两边做Z变换，得到
x(n)=s(n)+v(n)
3、本章讨论的主要内容
主要内容：维纳滤波器（FIR维纳滤波器和 IIR维纳滤波器）、维纳预测器、卡尔曼滤 波。 分析思路：在均方误差最小的前提下，求得 系统的单位脉冲响应h(n)或传递函数H(z)， 进而计算滤波器的最小均方误差 E[| e(n) |2 ]min
2 min E e(n) hopt (n) 2 E e(n) min
2 的白噪声，由于 r xx (k ) r ww (k ) w k
则因果IIR维纳滤波器的维纳－霍夫方程变为：
2 2 r xd (k ) r wd (k ) h(m) w k m w h(k ) k=0, 1, 2, … m 0
h( k )
M 1
结论：在所有N阶FIR滤波器中，最优滤波器的均方误差值是 最小的，从这个意义上说，它是最优的。其阶数越高，采用的 已知信息就越多，它的最小均方误差就越小，但相应的计算量 也越大。 最优滤波器与非最优滤波器相比，其优势在于能对滤 波的质量做出评价。
例1 假设有一实的广义平稳随机信号s(n)的自相关函数（序列）
s(n)
x(n)
h(n)