高中数学必修2综合测试题__人教A版

合集下载

人教版A版27课标高中数学必修第二册第八章综合测试试题试卷含答案

第八章综合测试一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A.若m ∥α，n ∥α，则m n ∥ B.若⊥αγ，⊥βγ，则∥αβ C.若m ∥α，m ⊥β，则⊥αβD.若m ∥α，⊥αβ，则m ⊥β2.如图，O A B ′′′△是水平放置的OAB △的直观图，6A O =′′，2B O =′′，则OAB △的面积是（）A.6B.C.D.123.BC 是Rt ABC △的斜边，PA ABC ⊥平面，PD BC D ⊥于点，则图8-7-37中直角三角形的个数是（）A.8B.7C.6D.54.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是线段1DB 和1A C 上不重合的两个动点，则下列结论正确的是（）A.1BC MN ⊥B.1B N CM ∥C.11ABN C MD 平面∥平面D.1111CDM A B C D 平面⊥平面5.已知一个多面体的内切球的半径为1，多面体的表面积为18，则此多面体的体积为（） A.18B.12C.6D.12π6.如图8-7-39所示，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB AC ==，16BB BC ==，E ，F 为侧棱1AA 上的两点，且3EF =，则多面体11BB C CEF 的体积为（） A.30 B.18 C.15D.127.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从盒外的B 点沿正方形的表面爬到盒内的M 点，则蚂蚁爬行的最短距离是（）B.1D.2+8.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中错误的是（）A.AC BE ⊥B.EF ABCD ∥平面C.三棱锥A BEF -的体积为定值D.AEF △的面积与BEF △的面积相等9.如图8-7-42，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD AA =，则下列结论中不正确的是（）A.111A B CD BC D ⊥平面平面B.1111A B CD P D P BC D 在平面上存在一点使得∥平面C.111A C Q D Q BC D 在直线上存在一点，使得∥平面D.111A C R D R BC D ⊥在直线上存在一点，使得平面10.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA AD ==，E 是1DD 的中点，114BF C K AB ==，设过点E ，F ，K 的平面与平面ABCD 的交线为l ，则直线l 与直线11A D 所成角的正切值为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上） 11.如图所示，正方形ABCD 的边长为a ，沿对角线AC 将ADC △折起，若°60DAB ∠=，则二面角D AC B --的平面角的大小为________.12.在正三棱锥S ABC -中，AB =，SA =，E ，F 分别为AC ，SB 的中点.平面α过点A ，SBC ∥平面α，ABC l α= 平面，则异面直线l 和EF 所成角的余弦值为________.13.如图，一个实心六角螺帽毛坯（正六棱柱）的底边长为4，高为3，若在中间竖直钻一个圆柱形孔后，其表面积没有变化，则孔的半径为________.14.如图8-7-46，直角梯形ABCD 中，°90DAB ∠=，AB CD ∥，CE AB ⊥于点E .已知22BE AE ==，°30BCE ∠=.若将直角梯形绕直线AD 旋转一周，则图中阴影部分所得旋转体的体积为________.三、解答题（本大题共4小题，共50分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.[12分]如图所示，一个圆锥形的空杯子（只考虑杯身部分）上放着一个直径为8 cm 的半球形冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子（杯口直径等于半球形冰淇淋的直径，杯壁厚度忽略不计），使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计才能使其所用材料面积最小？并求面积的最小值.16.[12分]在四面体ABCD 中，E ，H 分别是线段AB ，AD 的中点，F ，G 分别是线段CB ，CD 上的点，且12CF CG BF DG ==.求证：（1）四边形EFGH 是梯形；（2）AC ，EF ，GH 三条直线相交于同一点.17.[13分]在如图所示的多面体中，EF AEB ⊥平面，AE EB ⊥，AD EF ∥，EF BC ∥，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点。

人教版高中数学必修第二册第九章~第十章综合测试卷 (含答案)

人教版高中数学必修第二册第九章~第十章综合测试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷60分,第Ⅱ卷90分,共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.现要完成下列两项抽样调查:①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查;②东方中学共有160名教职工,其中一般教师120名,行政人员16名,后勤人员24名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见,拟抽取一个容量为20的样本.较为合理的抽样方法是()A.①抽签法,②比例分配的分层随机抽样B.①随机数法,②比例分配的分层随机抽样C.①随机数法,②抽签法D.①抽签法,②随机数法2.若A,B为对立事件,则下列式子中成立的是()A.P(A)+P(B)<1B.P(A)+P(B)>1C.P(A)+P(B)=0D.P(A)+P(B)=13.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为()A.0.2B.0.35C.0.3D.0.44.某宠物商店对30只宠物狗的体重(单位:千克)作了测量,并根据所得数据画出了频率分布直方图如图C6-1所示,则这30只宠物狗体重的平均值大约为()图C6-1A.15.5千克B.15.6千克C.15.7千克D.16千克5.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩(单位:分):78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91,则这15人成绩的第80百分位数是()A.90分B.91.5分C.91分D.90.5分6.一组样本数据a,3,4,5,6的平均数是b,且不等式x2-6x+c<0的解集为(a,b),则这组样本数据的标准差是()A.1B.2C.3D.27.我国历史上有田忌与齐王赛马的故事:“田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马.”若双方各自拥有上、中、下等马各1匹,双方各随机选1匹马进行1场比赛,则齐王的马获胜的概率为()A.23B.13C.12D.568.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为在一段时间内没有发生规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例数量不超过7”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是()A.甲地:总体的平均数为3,中位数为4B.乙地:总体的平均数为1,总体方差大于0C.丙地:中位数为2,众数为3D.丁地:总体的平均数为2,总体方差为3二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两项是符合题目要求的)9.给出下列四个说法,其中正确的说法有()A.做100次抛硬币的试验,结果有51次出现正面朝上,因此,出现正面朝上的概率是51100B.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率C.抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是950D.随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率10.在某次高中学科竞赛中,4000名考生的参赛成绩统计如图C6-2所示,60分以下视为不及格,若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表,则下列说法中正确的是()图C6-2A.成绩在[70,80)内的考生人数最多B.不及格的考生人数为1000C.考生竞赛成绩的平均数约为70.5分D.考生竞赛成绩的中位数为75分11.某健身房为了解运动健身减肥的效果,调查了20名肥胖者健身前(如直方图C6-3(1)所示)后(如直方图(2)所示)的体重(单位:kg)变化情况:图C6-3对比数据,关于这20名肥胖者,下面结论正确的是()A.健身后,体重在区间[90,100)内的人数较健身前增加了2B.健身后,体重原在区间[100,110)内的人员一定无变化C.健身后,20人的平均体重大约减少了8kgD.健身后,原来体重在区间(110,120]内的肥胖者体重都有减少12.从甲袋中摸出一个红球的概率是13,从乙袋中摸出一个红球的概率是12,从两袋中各摸出一个球,下列结论正确的是()A.2个球都是红球的概率为16B.2个球不都是红球的概率为13C.至少有1个红球的概率为23D.2个球中恰有1个红球的概率为12请将选择题答案填入下表:题号12345678总分答案题号9101112答案第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.从甲、乙两个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品,对其使用寿命(单位:年)跟踪调查的结果如下:甲:3,4,5,6,8,8,8,10;乙:3,3,4,7,9,10,11,12.两个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年,请根据结果判断厂家在广告中分别采用了平均数、众数、中位数中的哪一个特征数:甲:,乙:.14.如图C6-4是容量为100的样本数据的频率分布直方图,则样本数据落在区间[6,18)内的频数为.图C6-415.已知甲、乙、丙3名运动员射击一次击中目标的概率分别为0.7,0.8,0.85,若这3人向目标各射击一次,则目标没有被击中的概率为.16.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲在心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b∈{0,1,2,…,9}.若|a-b|≤1,则称甲、乙两人“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则这两人“心有灵犀”的概率为.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)某班选派5人,参加学校举行的数学竞赛,获奖的人数及其概率如下:获奖人数012345概率0.10.16x y0.2z(1)若获奖人数不超过2的概率为0.56,求x的值;(2)若获奖人数最多为4的概率为0.96,获奖人数最少为3的概率为0.44,求y,z的值.18.(12分)甲、乙两台机床同时加工直径为100cm的零件,为检验质量,各从中抽取6个零件测量其直径,所得数据如下.甲:99,100,98,100,100,103;乙:99,100,102,99,100,100.(1)分别计算两组数据的平均数及方差;(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.19.(12分)某校高一年级举行了一次数学竞赛,为了了解参加本次竞赛的学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(取正整数,单位:分)作为样本(样本量为n)进行统计,按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图如图C6-5所示,已知成绩在[50,60),[90,100]内的频数分别为8,2.(1)求样本量n和频率分布直方图中的x,y的值;(2)估计参加本次竞赛的学生成绩的众数、中位数、平均数.图C6-520.(12分)生产同一种产品,甲机床的废品率为0.04,乙机床的废品率为0.05,从甲、乙机床生产的产品中各任取1件,求:(1)至少有1件废品的概率;(2)恰有1件废品的概率.21.(12分)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图C6-6所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯的概率与获得饮料的概率的大小,并说明理由.图C6-622.(12分)2020年新冠肺炎疫情期间,某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度,从本区居民中随机抽取若干居民进行评分(满分100分).根据调查数据制成如下表格和如图C6-7所示的频率分布直方图.已知评分在[80,100]内的居民有600人.满意度评分[40,60)[60,80)[80,90)[90,100]满意度等级不满意基本满意满意非常满意(1)求频率分布直方图中a的值及参与评分的总人数.(2)定义满意度指数η=(满意程度的平均分)/100,若η<0.8,则防疫工作需要进行大的调整,否则不需要进行大调整.根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整.(3)为了解部分居民不满意的原因,从不满意的居民(评分在[40,50),[50,60)内)中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取6位居民,倾听他们的意见,并从6人中抽取2人担任防疫工作的监督员,求这2人中仅有1人对防疫工作的评分在[40,50)内的概率.图C6-7参考答案与解析1.A[解析]①总体较少,宜用抽签法;②各层间差异明显,宜用分层随机抽样.故选A.2.D[解析]若事件A与事件B是对立事件,则P(A)+P(B)=1.故选D.3.B[解析]∵事件A={抽到一等品},且P(A)=0.65,∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率P=1-P(A)=1-0.65=0.35.4.B[解析]由频率分布直方图可以计算出各组的频率分别为0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1,故各组的频数分别为3,6,9,6,3,3,则这30只宠物狗体重的平均值为11×3+13×6+15×9+17×6+19×3+21×330=15.6(千克),故选B.5.D[解析]将这15人的成绩(单位:分)由小到大依次排列为56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,因为15×80%=12,第12,13个数据分别为90分、91分,所以这15人成绩的第80百分位数是90.5分.故选D.6.B[解析]由题意得a+3+4+5+6=5b,a+b=6,解得a=2,b=4,所以样本数据的方差s2=15×[(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2]=2,所以标准差s=2.故答案为B.7.A[解析]依题意,记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a,b,c,齐王的上等马、中等马、下等马分别为A,B,C.由题意可知,样本空间Ω={aA,bA,cA,aB,bB,cB,aC,bC,cC},共有9个样本点,其中事件“田忌可以获胜”包含的样本点为aB,aC,bC,共3个,则齐王的马获胜的概率P=1-39=23.故选A.8.D[解析]由于甲地总体数据的平均数为3,中位数为4,即按从小到大排序后,中间两个数据的平均数为4,因此后面的数据可以大于7,故甲地不一定符合.乙地总体数据的平均数为1,因此这10天的新增疑似病例总数为10,又由于方差大于0,故这10天中新增疑似病例数量不可能每天都是1,可以有一天大于7,故乙地不一定符合.丙地总体数据的中位数为2,众数为3,故数据中可以出现8,故丙地不一定符合.丁地总体数据的平均数为2,方差为3,故丁地一定符合.9.CD[解析]对于A,混淆了频率与概率的区别,故A错误;对于B,混淆了频率与概率的区别,故B 错误;对于C,抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是950,符合频率定义,故C正确;对于D,频率是概率的估计值,故D正确.故选CD.10.ABC [解析]由频率分布直方图可得,成绩在[70,80)内的频率最高,考生人数最多,故A 正确;由频率分布直方图可得,成绩在[40,60)内的频率为0.25,则不及格的考生人数为4000×0.25=1000,故B 正确;由频率分布直方图可得,平均数为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5(分),故C 正确;因为成绩在[40,70)内的频率为0.45,在[70,80)内的频率为0.3,所以中位数为70+10×0.050.3≈71.67(分),故D 错误.故选ABC .11.AD[解析]体重在区间[90,100)内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人,增加了2人,故A 正确;健身后,体重在区间[100,110)内的频率没有变,但人员组成可能改变,故B 错误;健身后,20人的平均体重大约减少了(0.3×95+0.5×105+0.2×115)-(0.1×85+0.4×95+0.5×105)=5(kg),故C 错误;因为图(2)中没有体重在区间(110,120]内的人员,所以原来体重在区间(110,120]内的肥胖者体重都有减少,故D 正确.故选AD .12.ACD[解析]设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A 1,“从乙袋中摸出一个红球”为事件A 2,则P (A 1)=13,P (A 2)=12,且A 1,A 2独立;在A 中,“2个球都是红球”为事件A 1A 2,其概率为13×12=16,A 正确;在B中,“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件,其概率为56,B 错误;在C 中,“2个球中至少有1个红球”的概率为1-P ( )P ( )=1-23×12=23,C 正确;在D 中,2个球中恰有1个红球的概率为13×12+23×12=12,D 正确.故选ACD .13.众数中位数[解析]对甲厂的数据进行分析:该组数据中8年出现的次数最多,故广告中采用了众数;对乙厂的数据进行分析:该组数据最中间的是7年与9年,故中位数是7+92=8(年),故广告中采用了中位数.14.80[解析]由题图知,样本数据落在区间[6,18)内的频数为100×0.8=80.15.0.009[解析]由相互独立事件的概率计算公式知,3人向目标各射击一次,目标没有被击中的概率P=(1-0.7)×(1-0.8)×(1-0.85)=0.3×0.2×0.15=0.009.16.725[解析]从{0,1,2,…,9}中任意取两个数(可重复),该试验共有100个样本点,事件“|a-b|≤1”包含的样本点为(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(8,8),(9,9),(0,1),(1,0),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5),(6,7),(7,6),(7,8),(8,7),(8,9),(9,8),共有28个,所以所求概率P=28100=725.17.解:记事件“在竞赛中,有k 人获奖”为A k (k ∈N,k ≤5),则事件A k 彼此互斥.(1)∵获奖人数不超过2的概率为0.56,∴P (A 0)+P (A 1)+P (A 2)=0.1+0.16+x=0.56,解得x=0.3.(2)由获奖人数最多为4的概率为0.96,得P (A 5)=1-0.96=0.04,即z=0.04.由获奖人数最少为3的概率为0.44,得P (A 3)+P (A 4)+P (A 5)=0.44,即y+0.2+0.04=0.44,解得y=0.2.18.解:(1)由题中数据可得甲=16×(99+100+98+100+100+103)=100(cm); 乙=16×(99+100+102+99+100+100)=100(cm).甲2=16×(1+0+4+0+0+9)=73, 乙2=16×(1+0+4+1+0+0)=1.(2)由(1)知两台机床所加工零件的直径的平均数相同,又甲2> 乙2,所以乙机床加工零件的质量更稳定.19.解:(1)由题意可知,样本量n=80.016×10=50,y=250×10=0.004,x=0.1-0.016-0.04-0.01-0.004=0.03.(2)由频率分布直方图可估计,参加本次竞赛的学生成绩的众数为75分.设样本数据的中位数为m ,因为(0.016+0.03)×10<0.5<(0.016+0.03+0.04)×10,所以m ∈[70,80),所以(0.016+0.03)×10+(m-70)×0.04=0.5,解得m=71,故估计参加本次竞赛的学生成绩的中位数为71分.由频率分布直方图可估计,参加本次竞赛的学生成绩的平均数为55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04=70.6(分).20.解:记从甲、乙机床生产的产品中取1件是废品分别为事件A ,B ,则事件A ,B 相互独立,且P (A )=0.04,P (B )=0.05.(1)设“至少有1件废品”为事件C ,则P (C )=1-P ( )=1-P ( )P ( )=1-(1-0.04)×(1-0.05)=0.088.(2)设“恰有1件废品”为事件D ,则P (D )=P (A )+P ( B )=0.04×(1-0.05)+(1-0.04)×0.05=0.086.21.解:(1)试验的所有样本点为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),( 4,3),(4,4),共16个.事件“xy≤3”包含的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),共5个,所以小亮获得玩具的概率为516.(2)事件“xy≥8”包含的样本点有(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),共6个,所以小亮获得水杯的概率为38,小亮获得饮料的概率为1-516-38=516,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.22.解:(1)由频率分布直方图知(0.002+0.004+0.014+0.02+0.035+a)×10=1,即10×(0.075+a)=1,解得a=0.025,设共有n人参与评分,则600 =(0.035+0.025)×10,解得n=1000,即参与评分的总人数为1000.(2)由频率分布直方图知各组的频率分别为0.02,0.04,0.14,0.2,0.35,0.25,所以η=45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25100=0.807>0.8,所以该区防疫工作不需要进行大调整.(3)因为0.002×10×1000=20,0.004×10×1000=40,所以评分在[40,50),[50,60)内的居民人数分别为20,40,所以所抽取的评分在[40,50)内的居民人数为20×660=2,将这2人分别记为a,b,所抽取的评分在[50,60)内的居民人数为40×660=4,将这4人分别记为A,B,C,D.从这6人中抽取2人,试验的样本点有ab,aA,aB,aC,aD,bA,bB,bC,bD,AB,AC,AD,BC,BD,CD,共15个.而“仅有1人对防疫工作的评分在[40,50)内”包含的样本点有aA,aB,aC,aD,bA,bB,bC,bD,共8个,则所求事件的概率为815.。

人教A版高中数学必修2第四章《圆与方程》测试题(含答案)

（2）由（1）可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.
由于，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而 .
因为ON的斜率为3，所以的斜率为，故的方程为 .
又，O到的距离为，，所以的面积为 .
21．(1).由已知得过点的圆的切线斜率的存在,
设切线方程为 ,即 .
则圆心到直线的距离为 ,
A． B．
C． D．
5．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）
A．或 B．或 C．或 D．或
6．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（）
A．内切B．相交C．外切D．相离
7．已知方程，则的最大值是（）
A．14－ B．14＋ C．9D．14
A．4B．6C． D．
12．已知直线：是圆的对称轴.过点作圆的一条切线，切点为，则（）
A．2B． C．6D．
二、填空题
13．已知两点，以线段为直径的圆的方程为________________.
14．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是_______
15．已知为直线上一点，过作圆的切线，则切线长最短时的切线方程为__________．
当的斜率不存在，的斜率等于0时，与圆不相交，与圆不相交.
当、的斜率存在且都不等于0，两条直线分别与两圆相交时，设、的方程分别为，即 .
因为到的距离，
到的距离，所以到的距离与到的距离相等.
所以圆与圆的半径相等，所以被圆截得的弦长与被圆截得的弦长恒相等.
综上所述，过点任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交，所得弦长恒相等.

高中数学人教A版必修二章末综合测评4 Word版含答案

圆与方程一、选择题1．(2016·葫芦岛高一检测)过点(21)的直线中被圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0截得的最长弦所在的直线方程为( )A ．3x －y －5＝0B ．3x ＋y －7＝0C ．x ＋3y －5＝0D ．x －3y ＋1＝0【解析】依题意知所求直线通过圆心(1－2)由直线的两点式方程得y ＋21＋2＝x －12－1即3x －y －5＝0故选A 【答案】 A2．已知点M (ab )在圆O ：x 2＋y 2＝1外则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【解析】由题意知点在圆外则a 2＋b 2＞1圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b2＜1故直线与圆相交．【答案】 B3．若P (2－1)为圆C ：(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点则直线AB 的方程是( ) A ．2x －y －5＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x －y －3＝0【解析】圆心C (10)k PC ＝0－(－1)1－2＝－1则k AB ＝1AB 的方程为y ＋1＝x －2 即x －y －3＝0故选D 【答案】 D4．圆心在x 轴上半径为1且过点(21)的圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝1 B ．(x ＋2)2＋y 2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－2)2＝1【解析】设圆心坐标为(a0)则由题意可知(a－2)2＋(1－0)2＝1解得a＝2故所求圆的方程是(x－2)2＋y2＝1【答案】 A8．(2016·泰安高一检测)圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是()【09960151】A．36 B．18C．6 2 D．5 2【解析】圆x2＋y2－4x－4y－10＝0的圆心为(22)半径为32圆心到直线x＋y－14＝0的距离为|2＋2－14|2＝52＞32圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R＝6 2【答案】 C9．过点P(－24)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l直线m：ax－3y＝0与直线l平行则直线l与m的距离为()A．4 B．2C 85D125【解析】P为圆上一点则有k OP·k l＝－1而k OP＝4－1－2－2＝－34∴k l＝43∴a＝4∴m：4x－3y＝0l：4x－3y＋20＝0∴l与m的距离为|20|42＋(－3)2＝4【答案】 A10．一个几何体的三视图如图1所示正视图和侧视图都是等边三角形该几何体的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(000)(200)(220)(020)则第五个顶点的坐标可能是()图1A ．(111)B ．(112)C ．(113)D ．(223)【解析】由三视图知该几何体为正四棱锥正四棱锥的顶点在底面的射影是底面正方形的中心高为3则第五个顶点的坐标为(113)．故选C【答案】 C11．已知圆C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝2圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋3)2＋(y －3)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2D ．(x －3)2＋(y ＋3)2＝2【解析】设点(－22)关于直线x －y －1＝0的对称点为Q (mn )则⎩⎪⎨⎪⎧n －2m ＋2×1＝－1，m －22－n ＋22－1＝0，解得m ＝3n ＝－3所以圆C 2的圆心坐标为(3－3)所以圆C 2的方程为(x －3)2＋(y ＋3)2＝2故选D【答案】 D12．(2016·台州高二检测)已知圆O ：x 2＋y 2－4＝0圆C ：x 2＋y 2＋2x －15＝0若圆O 的切线l 交圆C 于AB 两点则△OAB 面积的取值范围是( )图2 A．[27215] B．[278] C．[23215] D．[238]【解析】S△OAB ＝12|AB|·2＝|AB|设C到AB的距离为d则|AB|＝242－d2又d∈[13]7≤42－d2≤15所以S△OAB＝|AB|∈[27215]．【答案】 A二、填空题(本大题共4小题每小题5分共20分将答案填在题中的横线上) 13．已知A(123)B(56－7)则线段AB中点D的坐标为________．【解析】设D(xyz)由中点坐标公式可得x＝1＋52＝3y＝2＋62＝4z＝3－72＝－2所以D(34－2)．【答案】(34－2)14．以原点O为圆心且截直线3x＋4y＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是________．【解析】原点O到直线的距离d＝1532＋42＝3设圆的半径为r∴r2＝32＋42＝25∴圆的方程是x2＋y2＝25【答案】x2＋y2＝2515．(2015·重庆高考)若点P(12)在以坐标原点为圆心的圆上则该圆在点P处的切线方程为________．【解析】∵以原点O为圆心的圆过点P(12)∴圆的方程为x2＋y2＝5∵k OP＝2∴切线的斜率k＝－1 2由点斜式可得切线方程为y －2＝－12(x －1) 即x ＋2y －5＝0 【答案】 x ＋2y －5＝016．若xy ∈R 且x ＝1－y 2则y ＋2x ＋1的取值范围是________．【解析】x ＝1－y 2⇔x 2＋y 2＝1(x ≥0)此方程表示半圆如图设P (xy )是半圆上的点则y ＋2x ＋1表示过点P (xy )Q (－1－2)两点直线的斜率．设切线QA 的斜率为k 则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)．从而由|k －2|k 2＋1＝1解得k ＝34又k BQ＝3∴所求范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3三、解答题(本大题共6小题共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求经过两点A (－14)B (32)且圆心在y 轴上的圆的方程．【解】法一：∵圆心在y 轴上设圆的标准方程是x 2＋(y －b )2＝r 2 ∵该圆经过A 、B 两点∴⎩⎨⎧ (－1)2＋(4－b )2＝r 2，32＋(2－b )2＝r 2，∴⎩⎨⎧b ＝1，r 2＝10. 所以圆的方程是x 2＋(y －1)2＝10 法二：线段AB 的中点为(13) k AB ＝2－43－(－1)＝－12∴弦AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1) 即y ＝2x ＋1由⎩⎨⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，得(01)为所求圆的圆心．由两点间距离公式得圆半径r 为 (0＋1)2＋(1－4)2＝10∴所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1018．(本小题满分12分)如图3所示BC ＝4原点O 是BC 的中点点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0点D 在平面yOz 上且∠BDC ＝90°∠DCB ＝30°求AD 的长度．图3【解】由题意得B (0－20)C (020)设D (0yz )在Rt △BDC 中∠DCB ＝30° ∴|BD |＝2|CD |＝23∴z ＝32－y ＝3 ∴y ＝－1∴D (0－13)．又∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0∴|AD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝⎛⎭⎪⎫12＋12＋()－32＝ 619．(本小题满分12分)已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R )．(1)证明：不论m 为何值时直线和圆恒相交于两点； (2)求直线l 被圆C 截得的弦长最小时的方程．【解】 (1)证明：由(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0 得(2x ＋y －7)m ＋x ＋y －4＝0 解⎩⎨⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，∴直线l 恒过定点A (31)．又∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＜25 ∴(31)在圆C 的内部故直线l 与圆C 恒有两个公共点．(2)当直线l被圆C截得的弦长最小时有l⊥AC由k AC＝－12得l的方程为y－1＝2(x－3)即2x－y－5＝020．(本小题满分12分)点A(02)是圆x2＋y2＝16内的定点BC是这个圆上的两个动点若BA⊥CA求BC中点M的轨迹方程并说明它的轨迹是什么曲线．【解】设点M(xy)因为M是弦BC的中点故OM⊥BC又∵∠BAC＝90°∴|MA|＝12|BC|＝|MB|∵|MB|2＝|OB|2－|OM|2∴|OB|2＝|MO|2＋|MA|2即42＝(x2＋y2)＋[(x－0)2＋(y－2)2]化简为x2＋y2－2y－6＝0即x2＋(y－1)2＝7∴所求轨迹为以(01)为圆心以7为半径的圆．21．(本小题满分12分)如图4所示平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于E点定点AC的坐标分别是A(－23)C(21)．图4(1)求以线段AC为直径的圆E的方程；(2)若B点的坐标为(－2－2)求直线BC截圆E所得的弦长．【解】(1)AC的中点E(02)即为圆心半径r＝12|AC|＝1242＋(－2)2＝ 5所以圆E的方程为x2＋(y－2)2＝5(2)直线BC的斜率k＝1－(－2)2－(－2)＝34其方程为y－1＝34(x－2)即3x－4y－2＝0点E到直线BC的距离为d＝|－8－2|5＝2所以BC截圆E所得的弦长为25－22＝222(本小题满分12分)如图5已知圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0点A(06)．(1)求圆心在直线y＝x上经过点A且与圆C相外切的圆N的方程；(2)若过点A的直线m与圆C交于PQ两点且圆弧PQ恰为圆C周长的14求直线m的方程．【09960152】图5【解】(1)由x2＋y2＋10x＋10y＝0化为标准方程：(x＋5)2＋(y＋5)2＝50所以圆C的圆心坐标为C(－5－5)又圆N的圆心在直线y＝x上所以当两圆外切时切点为O设圆N的圆心坐标为(aa) 则有(a－0)2＋(a－6)2＝(a－0)2＋(a－0)2解得a＝3所以圆N的圆心坐标为(33)半径r＝3 2故圆N的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18(2)因为圆弧PQ恰为圆C周长的14所以CP⊥CQ所以点C到直线m的距离为5当直线m的斜率不存在时点C到y轴的距离为5直线m即为y轴所以此时直线m的方程为x＝0当直线m的斜率存在时设直线m的方程为y＝kx＋6即kx－y＋6＝0所以|－5k＋5＋6|1＋k2＝5解得k＝4855所以此时直线m的方程为4855x－y＋6＝0即48x－55y＋330＝0故所求直线m的方程为x＝0或48x－55y＋330＝0。

人教版A版(2019)高中数学必修第二册：第九章统计综合测试(附答案与解析)

第九章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.某公司从代理的,,,A B C D 四种产品中，按分层随机抽样的方法抽取容量为110的样本，已知,,,A B C D 四种产品的数量比是2:3:2:4，则该样本中D 类产品的数量为（） A .22件 B .33件 C .40件 D .55件2.已知总体容量为106，若用随机数法抽取一个容量为10的样本，下面对总体的编号最方便的是（） A .1，2，…，106 B .0，1，2，…，105 C .00，01，…，105 D .000，001，…，1053.一个容量为200的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：则样本数据落在[20,60)内的频率为（） A .0.11 B .0.5 C .0.45 D .0.554.如图为某个容量为100的样本的频率分布直方图，分组为[96,98)，[98,100)，100,[102)，102,[104)，104,[106]，则在区间[98,100)内的频数为（）A .10B .30C .20D .405.图甲和图乙分别表示某地区中小学生人数和近视情况.为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层随机抽样的方法抽取了2%的学生进行调查，则样本量和抽取的高中生近视人数分别为（）图甲图乙A .100，10B .100，20C .200，10D .200，206.某学校高一年级有1 802人，高二年级有1 600人，高三年级有1 499人，现采用分层随机抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛，则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为（） A .33，33，30 B .36，32，30C .36，33，29D .35，32，31 7.若数据12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，则1235,35,,35n x x x +++的平均数和标准差分别为（）A . ,x sB .35,x s +C .35,3x s +D .3x +8.如图所示，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A x 和B x ，样本标准差分别为A s 和B s 则（）ABA .,AB A B x x s s ＞＞B .,A B A B x x s s ＜＞C .A ,B A B x x s s ＞＜D .,A B A B x x s s ＜＜9.某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生称其体重（单位：kg ），将所得数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，体重在[45,50)内适合跑步训练，体重在[50,55)内适合跳远训练，体重在[55,60]内适合投掷训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的人数之比为（）A .4:3:1B .5:3:1C .5:3:2D .3:2:110.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示.由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数为1234,,,x x x x ，且满足324123x x x x x x ==，后6组的频数123456,,,,,y y y y y y ，且后6组各频数之间差值相同，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则,a b 的值分别为（）A .0.27，78B .0.27，83C .2.7，78D .2.7，83二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（）A .成绩在[70,80)分的考生人数最多B .不及格的考生人数为1 000C .考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D .考生竞赛成绩的中位数为75分12.在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标来显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（） A .平均数3x ≤B .平均数3x ≤且标准差2s ≤C .平均数3x ≤且极差小于或等于2D .众数等于1且极差小于或等于4三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.从甲、乙两个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用寿命（单位：年）跟踪调查结果如下：甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：3，3，4，7，9，10，11，12.两个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：甲：________，乙：________.（本题第一空2分，第二空3分）14.1895年，在英国伦敦有106块男性头盖骨被挖掘出土.经考证，这些头盖骨的主人死于1665~1666年的大瘟疫.人类学家分别测量了这些头盖骨的宽度（单位：mm ），数据如下：146 141 139 140 145 141 142 131 142 140 144 140 138 139 147 139 141 137 141 132 140 140 141 143 134 146 134 142 133 149 140 140 143 143 149 136 141 143 143 141 138 136 138 144 136 145 143 137 142 146 140 148 140 140 139 139 144 138 146 153 158 135 132 148 142 145 145 121 129 143 148 138 148 152 143 140 141 145 148 139 136 141 140 139 149 146 141 142 144 137 153 148 144 138 150 148 138 145 145 142 143 143 148 141 145 141则95%分位数是________mm.15.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组，单位：人）：16.从一堆苹果中任取20个称其重量，它们的质量（单位：克）数据分布如下：则这堆苹果中，质量不少于120克的苹果数约占苹果总数的________%.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）某市化工厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如下表：已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工人的可能性是0.15.（1）求x的值；（2）现用分层随机抽样的方法在全厂抽取50名工人，则应在第三车间抽取多少名工人？18.（本小题满分12分）从高三学生中抽出50名学生参加数学竞赛，根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图.试利用频率分布直方图估算：（结果保留小数点后一位）（1）这50名学生成绩的众数与中位数；（2）这50名学生的平均成绩.19.（本小题满分12分）有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况，特制了一份有10道题的问卷到各学校进行问卷调查.某中学,A B两个班各被随机抽取了5名学生接受问卷调查，A班5名学生得分分别为5，8，9，9，9；B班5名学生得分分别为6，7，8，9，10（单位：分）.请你估计A，B两个班中哪个班的预防知识的问卷得分要稳定一些。

高中数学模块综合检测2(含解析)新人教A版选择性必修第二册-新人教A版高二选择性必修第二册数学试题

模块综合检测(二)(满分：150分时间：120分钟)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知f (x )＝ln x 2x ，则lim Δx →0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx Δx ＝( ) A ．－2－ln 2B ．－2＋ln 2C ．2－ln 2D ．2＋ln 2A [由题意，函数f (x )＝ln x 2x ，则f ′(x )＝1x ·2x －(2x )′ln x (2x )2＝2x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12ln x 2x ，则lim Δx →0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx Δx ＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2＋ln 22×12＝－2－ln 2，故选A.] 2．等比数列{a n }是递减数列，前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8a 15＝( )A ．±2B ．±4C ．2D ．4C [∵T 13＝4T 9，∴a 1a 2…a 9a 10a 11a 12a 13＝4a 1a 2…a 9，∴a 10a 11a 12a 13＝4.又∵a 10·a 13＝a 11·a 12＝a 8·a 15，∴(a 8·a 15)2＝4，∴a 8a 15＝±2.又∵{a n }为递减数列，∴q >0，∴a 8a 15＝2.]3．已知公差不为0的等差数列{a n }的前23项的和等于前8项的和．若a 8＋a k ＝0，则k ＝( )A ．22B ．23C ．24D ．25C [等差数列的前n 项和S n 可看做关于n 的二次函数(图象过原点)．由S 23＝S 8，得S n 的图象关于n ＝312对称，所以S 15＝S 16，即a 16＝0，所以a 8＋a 24＝2a 16＝0，所以k ＝24.]4．已知函数f (x )＝(x ＋a )e x 的图象在x ＝1和x ＝－1处的切线相互垂直，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2A [因为f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x ，所以f ′(1)＝(a ＋2)e ，f ′(－1)＝a e －1＝a e ，由题意有f (1)f ′(－1)＝－1，所以a ＝－1，选A.]5．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10＝( )A ．15B ．19C ．21D ．30B [由S 3＝a 22得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列可得S 22＝S 1·S 4，又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )，化简得3d 2＝2a 2d ，又d ≠0，∴a 2＝3，d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a 10＝19.]6．若函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－2，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(2，＋∞)D [因为函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，所以函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在斜率为2的切线，故k ＝f ′(x )＝a －1x ＝2有解，所以a ＝2＋1x ，x ＞0有解，因为y ＝2＋1x ，x ＞0的值域为(2，＋∞)．所以a ∈(2，＋∞)．]7．已知等差数列{}a n 的前n 项为S n ，且a 1＋a 5＝－14，S 9＝－27，则使得S n 取最小值时的n 为( )A ．1B ．6C ．7D ．6或7B [由等差数列{a n }的性质，可得a 1＋a 5＝2a 3＝－14⇒a 3＝－7，又S 9＝9(a 1＋a 9)2＝－27⇒a 1＋a 9＝－6⇒a 5＝－3，所以d ＝a 5－a 35－3＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 3＋(n －3)d ＝－7＋(n －3)×2＝2n －13，令a n ≤0⇒2n －13≤0，解得n ≤132，所以数列的前6项为负数，从第7项开始为正数，所以使得S n 取最小值时的n 为6，故选B.]8．若方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( )A ．4B ．6C ．4.5D ．8A [设底面边长为x ，高为h ，则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x 2.∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S ′(x )＝2x －4×256x 2. 令S ′(x )＝0，解得x ＝8，∴当x ＝8时，S (x )取得最小值．∴h ＝25682＝4.]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设数列{}a n 是等差数列，S n 是其前n 项和，a 1＞0，且S 6＝S 9，则( )A ．d <0B ．a 8＝0C ．S 5＞S 6D ．S 7或S 8为S n 的最大值ABD [根据题意可得a 7＋a 8＋a 9＝0⇒3a 8＝0⇒a 8＝0，∵数列{}a n 是等差数列，a 1＞0，∴公差d <0，所以数列{}a n 是单调递减数列，对于A 、B ，d <0，a 8＝0，显然成立；对于C ，由a 6>0，则S 5<S 6，故C 不正确；对于D ，由a 8＝0，则S 7＝S 8，又数列为递减数列，则S 7或S 8为S n 的最大值，故D 正确．故选ABD.]10．如图是y ＝f (x )导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是( )A ．f (x )在(－2，－1)上是增函数B ．当x ＝－1时，f (x )取得极小值C ．f (x )在(－1，2)上是增函数，在(2，4)上是减函数D ．当x ＝3时，f (x )取得极小值BC [根据图象知当x ∈(－2，－1)，x ∈(2，4)时，f ′(x )＜0，函数单调递减；当x ∈(－1，2)，x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数单调递增．故A 错误；故当x ＝－1时，f (x )取得极小值，B 正确；C 正确；当x ＝3时，f (x )不是取得极小值，D 错误．故选BC.]11．已知等比数列{}a n 的公比q ＝－23，等差数列{}b n 的首项b 1＝12，若a 9>b 9且a 10>b 10，则以下结论正确的有( )A ．a 9a 10<0B ．a 9>a 10C ．b 10>0D ．b 9>b 10AD [∵等比数列{}a n 的公比q ＝－23，∴a 9和a 10异号，∴a 9a 10<0 ，故A 正确；但不能确定a 9和a 10的大小关系，故B 不正确；∵a 9和a 10异号，且a 9>b 9且a 10>b 10，∴b 9和b 10中至少有一个数是负数，又∵b 1＝12>0 ，∴d <0，∴b 9>b 10 ，故D 正确，∴b 10一定是负数，即b 10<0 ，故C 不正确. 故选AD.]12．已知函数f (x )＝x ln x ，若0＜x 1＜x 2，则下列结论正确的是( )A ．x 2f (x 1)＜x 1f (x 2)B ．x 1＋f (x 1)＜x 2＋f (x 2)C ．f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0 D ．当ln x ＞－1时，x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞2x 2f (x 1)AD [设g (x )＝f (x )x ＝ln x ，函数单调递增，则g (x 2)＞g (x 1)，即f (x 2)x 2＞f (x 1)x 1，∴x 1f (x 2)＞x 2f (x 1)，A 正确；设h (x )＝f (x )＋x ∴h ′(x )＝ln x ＋2不是恒大于零，B 错误；f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1不是恒小于零，C 错误；ln x ＞－1，故f ′(x )＝ln x ＋1＞0，函数单调递增．故(x 2－x 1)(f (x 2)－f (x 1))＝x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)－x 2f (x 1)－x 1f (x 2)＞0，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 2f (x 1)＋x 1f (x 2)．f (x 2)x 2＝ln x 2＞f (x 1)x 1＝ln x 1，∴x 1f (x 2)＞x 2f (x 1)，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞2x 2f (x 1)，D 正确．故选AD.]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋1＝11－a n(n ∈N *)，a 1＝2，则S 50＝________. 25[因为a n ＋1＝11－a n (n ∈N *)，a 1＝2，所以a 2＝11－a 1＝－1，a 3＝11－a 2＝12，a 4＝11－a 3＝2，∴数列{a n }是以3为周期的周期数列，且前三项和S 3＝2－1＋12＝32， ∴S 50＝16S 3＋2－1＝25.]14．将边长为1 m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则s 的最小值是________． 3233[设AD ＝x (0<x <1)，则DE ＝AD ＝x ，∴梯形的周长为x＋2(1－x )＋1＝3－x .又S △ADE ＝34x 2，∴梯形的面积为34－34x 2，∴s ＝433×x 2－6x ＋91－x 2(0<x <1)，则s ′＝－833×(3x －1)(x －3)(1－x 2)2. 令s ′＝0，解得x ＝13.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，s ′<0，s 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，s ′>0，s 为增函数．故当x ＝13时，s 取得极小值，也是最小值，此时s 的最小值为3233.]15．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.32[由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2相减可得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，同除以a 2可得2q 2－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1.因为q >0，所以q ＝32.]16．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ＞0时，xf ′(x )＞f (x )，若f (2)＝0，则2f (3)________3f (2)(填“＞”“＜”)不等式x ·f (x )＞0的解集为________．(本题第一空2分，第二空3分)＞ (－2，0)∪(2，＋∞)[由题意，令g (x )＝f (x )x ，∵x ＞0时，g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2＞0.∴g (x )在(0，＋∞)单调递增，∵f (x )x 在(0，＋∞)上单调递增，∴f (3)3＞f (2)2即2f (3)＞3f (2)．又∵f (－x )＝f (x )，∴g (－x )＝－g (x )，则g (x )是奇函数，且g (x )在(－∞，0)上递增，又g (2)＝f (2)2＝0，∴当0＜x ＜2时，g (x )＜0，当x ＞2时，g (x )＞0；根据函数的奇偶性，可得当－2＜x ＜0时，g (x )＞0，当x ＜－2时，g (x )＜0. ∴不等式x ·f (x )＞0的解集为{x |－2＜x ＜0或x ＞2}．]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在等差数列{}a n 中，已知a 1＝1，a 3＝－5.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}a n 的前k 项和S k ＝－25，求k 的值．[解](1)由题意，设等差数列{}a n 的公差为d ，则a n ＝a 1＋()n －1d ，因为a 1＝1，a 3＝－5，可得1＋2d ＝－5，解得d ＝－3，所以数列{}a n 的通项公式为a n ＝1＋()n －1×()－3＝4－3n .(2)由(1)可知a n ＝4－3n ，所以S n ＝n [1＋(4－3n )]2＝－32n 2＋52n ，又由S k ＝－25，可得－32k 2＋52k ＝－25，即3k 2－5k －50＝0，解得k ＝5或k ＝－103，又因为k ∈N *，所以k ＝5.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2.(1)求f (x )的单调区间；(2)函数g (x )＝23x 3－16(x ＞0)，求证：a ＝1时f (x )的图象不在g (x )的图象的上方．[解](1)f ′(x )＝a x ＋x (x ＞0)，若a ≥0，则f ′(x )＞0，f (x )在 (0，＋∞)上单调递增；若a ＜0，令f ′(x )＝0，解得x ＝±－a ，由f ′(x )＝(x －－a )(x ＋－a )x ＞0，得x ＞－a ，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜－a .从而f (x )的单调递增区间为(－a ，＋∞)，单调递减区间为(0，－a )． (2)证明：令φ(x )＝f (x )－g (x )，当a ＝1时，φ(x )＝ln x ＋12x 2－23x 3＋16(x ＞0)，则φ′(x )＝1x ＋x －2x 2＝1＋x 2－2x 3x ＝(1－x )(2x 2＋x ＋1)x. 令φ′(x )＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，φ′(x )＞0，φ(x )单调递增；当x ＞1时，φ′(x )＜0，φ(x )单调递减．∴当x ＝1时，φ(x )取得最大值φ(1)＝12－23＋16＝0，∴φ(x )≤0，即f (x )≤g (x )．故a ＝1时f (x )的图象不在g (x )的图象的上方．19．(本小题满分12分)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}b n 满足b n ＝log 3a n ＋1，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .[解](1)由2S n ＝3a n －1()n ∈N ＋得，2S n －1＝3a n －1－1()n ≥2.两式相减并整理得，a n ＝3a n －1()n ≥2.令n ＝1，由2S n ＝3a n －1()n ∈N ＋得，a 1＝1.故{}a n 是以1为首项，公比为3的等比数列，因此a n ＝3n －1()n ∈N ＋.(2)由b n ＝log 3a n ＋1，结合a n ＝3n －1得，b n ＝n .则1b n b n ＋1＝1n ()n ＋1＝1n －1n ＋1 故T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n n ＋1. 20．(本小题满分12分)某旅游景点预计2019年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位：万人)与x 的关系近似地满足p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)．已知第x 个月的人均消费额q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 35－2x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，160x (x ∈N *，且7≤x ≤12).(1)写出2019年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：万人)与x 的函数关系式；(2)问2019年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？[解](1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37，当2≤x ≤12，且x ∈N *时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12(x －1)x (41－2x )＝－3x 2＋40x ，验证x ＝1也满足此式，所以f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12)．(2)第x 个月旅游消费总额(单位：万元)为g (x )＝⎩⎨⎧ (－3x 2＋40x )(35－2x )(x ∈N *，且1≤x ≤6)，(－3x 2＋40x )·160x (x ∈N *，且7≤x ≤12)，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6x 3－185x 2＋1 400x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，－480x ＋6 400(x ∈N *，且7≤x ≤12). (i)当1≤x ≤6，且x ∈N *时，g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400，令g ′(x )＝0，解得x ＝5或x ＝1409(舍去)．当1≤x ＜5时，g ′(x )＞0，当5＜x ≤6时，g ′(x )＜0，∴当x ＝5时，g (x )max ＝g (5)＝3 125.(ii)当7≤x ≤12，且x ∈N *时，g (x )＝－480x ＋6 400是减函数，∴当x ＝7时，g (x )max ＝g (7)＝3 040.综上，2019年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元．21．(本小题满分12分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，在等差数列{b n }中，b n >0，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列．(1)求数列{a n b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解](1)∵a n ＝3n －1，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9.∵在等差数列{b n }中，b 1＋b 2＋b 3＝15，∴3b 2＝15，则b 2＝5.设等差数列{b n }的公差为d ，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2.∵b n >0，∴d ＝－10应舍去，∴d ＝2，∴b 1＝3，∴b n ＝2n ＋1.故a n b n＝(2n＋1)·3n－1.(2)由(1)知T n＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①3T n＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，②①－②，得－2T n＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)×3n ＝3＋2×(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)×3n＝3＋2×3－3n1－3－(2n＋1)×3n＝3n－(2n＋1)×3n＝－2n·3n.∴T n＝n·3n.22．(本小题满分12分)设函数f (x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求f (x)的极值点；(2)若关于x的方程f (x)＝a有3个不同实根，某某数a的取值X围；(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f (x)≥k(x－1)恒成立，某某数k的取值X围．[解](1)f ′(x)＝3(x2－2)，令f ′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝ 2.当x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f ′(x)＞0，当x∈(－2，2) 时，f ′(x)＜0，因此x1＝－2，x2＝2分别为f (x)的极大值点、极小值点．(2)由(1)的分析可知y＝f (x)图象的大致形状及走向如图所示．要使直线y＝a 与y＝f (x)的图象有3个不同交点需5－42＝f (2)＜a＜f (－2)＝5＋4 2.则方程f (x)＝a有3个不同实根时，所某某数a的取值X围为(5－42，5＋42)．(3)法一：f (x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，因为x＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)＞g(1)＝－3，所以所求k的取值X围是为(－∞，－3]．法二：直线y＝k(x－1)过定点(1，0)且f (1)＝0，曲线f (x)在点(1，0)处切线斜率f ′(1)＝－3，由(2)中图知要使x∈(1，＋∞)时，f (x)≥k(x－1)恒成立需k≤－3.故实数k的取值X围为(－∞，－3]．。

高中数学人教A版必修二章末综合测评2 Word版含答案

点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．设a、b为两条直线α、β为两个平面则正确的命题是()【09960089】A．若a、b与α所成的角相等则a∥bB．若a∥αb∥βα∥β则a∥bC．若a⊂αb⊂βa∥b则α∥βD．若a⊥αb⊥βα⊥β则a⊥b【解析】A中a、b可以平行、相交或异面；B中a、b可以平行或异面；C中α、β可以平行或相交．【答案】 D2．(2016·山西山大附中高二检测)如图1在正方体ABCD-A1B1C1D1中E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点则异面直线EF与GH所成的角等于()图1A．45°B．60°C．90°D．120°【解析】如图连接A1B、BC1、A1C1则A1B＝BC1＝A1C1且EF∥A1B、GH∥BC1所以异面直线EF与GH所成的角等于60°【答案】 B3．设l为直线αβ是两个不同的平面．下列命题中正确的是() A．若l∥αl∥β则α∥βB．若l⊥αl⊥β则α∥βC．若l⊥αl∥β则α∥βD．若α⊥βl∥α则l⊥β【解析】选项A平行于同一条直线的两个平面也可能相交故选项A错误；选项B垂直于同一直线的两个平面互相平行选项B正确；选项C由条件应得α⊥β故选项C错误；选项D l与β的位置不确定故选项D错误．故选B【答案】 B7．(2015·洛阳高一检测)如图2△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形且∠BAC＝60°下列说法中错误的是()图2A．AD⊥平面BDCB．BD⊥平面ADCC．DC⊥平面ABDD．BC⊥平面ABD【解析】由题可知AD⊥BDAD⊥DC所以AD⊥平面BDC又△ABD与△ADC均为以D为直角顶点的等腰直角三角形所以AB＝ACBD＝DC＝22AB又∠BAC＝60°所以△ABC为等边三角形故BC＝AB＝2BD所以∠BDC＝90°即BD⊥DC所以BD⊥平面ADC同理DC⊥平面ABD所以A、B、C项均正确．选D【答案】 D8．正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12底面对角线的长为26则侧面与底面所成的二面角为() A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】由棱锥体积公式可得底面边长为23高为3在底面正方形的任一边上取其中点连接棱锥的顶点及其在底面的射影根据二面角定义即可判定其平面角在直角三角形中因为tan θ＝3(设θ为所求平面角)所以二面角为60°选C【答案】 C9．将正方形ABCD沿BD折成直二面角M为CD的中点则∠AMD 的大小是()A．45°B．30°C．60°D．90°【解析】如图设正方形边长为a 作AO ⊥BD 则AM ＝AO 2＋OM 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝32a又AD ＝aDM ＝a2∴AD 2＝DM 2＋AM 2∴∠AMD ＝90° 【答案】 D10．在矩形ABCD 中若AB ＝3BC ＝4P A ⊥平面AC 且P A ＝1则点P 到对角线BD 的距离为( )A 292B 135C 175D 1195【解析】如图过点A 作AE ⊥BD 于点E 连接PE∵P A ⊥平面ABCDBD ⊂平面ABCD ∴P A ⊥BD ∴BD ⊥平面P AE ∴BD ⊥PE∵AE ＝AB ·AD BD ＝125P A ＝1 ∴PE ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝135 【答案】 B11．(2016·大连高一检测)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直体积为94底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )【09960090】A．75°B．60°C．45°D．30°【解析】如图所示P为正三角形A1B1C1的中心设O为△ABC的中心由题意知：PO⊥平面ABC连接OA则∠P AO即为P A与平面ABC 所成的角．在正三角形ABC中AB＝BC＝AC＝ 3则S＝34×(3)2＝334VABC-A1B1C1＝S×PO＝94∴PO＝ 3又AO＝33×3＝1∴tan ∠P AO＝POAO＝3∴∠P AO＝60°【答案】 B12．正方体ABCD-A1B1C1D1中过点A作平面A1BD的垂线垂足为点H以下结论中错误的是()A．点H是△A1BD的垂心B．AH⊥平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成的角为45°【解析】因为AH⊥平面A1BDBD⊂平面A1BD所以BD⊥AH又BD⊥AA1且AH∩AA1＝A所以BD⊥平面AA1H又A1H⊂平面AA1H所以A1H⊥BD同理可证BH⊥A1D所以点H是△A1BD的垂心A正确．因为平面A1BD∥平面CB1D1所以AH⊥平面CB1D1B正确．易证AC1⊥平面A1BD因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直所以AC1和AH重合．故C正确．因为AA1∥BB1所以∠A1AH为直线AH和BB1所成的角．因为∠AA1H≠45°所以∠A1AH≠45°故D错误．【答案】 D二、填空题(本大题共4小题每小题5分共20分将答案填在题中的横线上)13．设平面α∥平面βA、C∈αB、D∈β直线AB与CD交于点S 且点S位于平面αβ之间AS＝8BS＝6CS＝12则SD＝________【解析】由面面平行的性质得AC∥BD ASBS＝CSSD解得SD＝9【答案】914．如图3四棱锥S-ABCD中底面ABCD为平行四边形E是SA上一点当点E满足条件：________时SC∥平面EBD图3【解析】当E是SA的中点时连接EBEDAC设AC与BD的交点为O连接EO∵四边形ABCD是平行四边形∴点O是AC的中点．又E是SA的中点∴OE是△SAC的中位线．∴OE∥SC∵SC⊄平面EBDOE⊂平面EBD∴SC∥平面EBD【答案】E是SA的中点15．如图4所示在正方体ABCD-A1B1C1D1中MN分别是棱AA1和AB上的点若∠B1MN是直角则∠C1MN等于________．图4【解析】∵B1C1⊥平面A1ABB1MN⊂平面A1ABB1∴B1C1⊥MN又∠B1MN为直角∴B1M⊥MN而B1M∩B1C1＝B1∴MN ⊥平面MB 1C 1又MC 1⊂平面MB 1C 1 ∴MN ⊥MC 1∴∠C 1MN ＝90° 【答案】 90°16．已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是矩形P A ⊥底面ABCD 点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点则①棱AB 与PD 所在直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△P AB 的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号) 【解析】由条件可得AB ⊥平面P AD ∴AB ⊥PD 故①正确；若平面PBC ⊥平面ABCD 由PB ⊥BC得PB ⊥平面ABCD 从而P A ∥PB 这是不可能的故②错；S △PCD ＝12CD ·PDS △P AB ＝12AB ·P A由AB ＝CDPD >P A 知③正确；由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点可得EF ∥CD 又AB ∥CD∴EF ∥AB 故AE 与BF 共面④错．【答案】 ①③三、解答题(本大题共6小题共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图5所示已知△ABC 中∠ACB ＝90°SA ⊥平面ABCAD ⊥SC 求证：AD ⊥平面SBC图5【证明】∵∠ACB＝90°∴BC⊥AC又∵SA⊥平面ABC∴SA⊥BC∵SA∩AC＝A∴BC⊥平面SAC∴BC⊥AD又∵SC⊥ADSC∩BC＝C∴AD⊥平面SBC18．(本小题满分12分)如图6三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直AC＝9BC＝12AB＝15AA1＝12点D是AB的中点．图6(1)求证：AC⊥B1C；(2)求证：AC1∥平面CDB1【证明】(1)∵C1C⊥平面ABC∴C1C⊥AC∵AC＝9BC＝12AB＝15∴AC2＋BC2＝AB2∴AC⊥BC又BC∩C1C＝C∴AC⊥平面BCC1B1而B1C⊂平面BCC1B1∴AC⊥B1C(2)连接BC1交B1C于O点连接OD如图∵OD分别为BC1AB的中点∴OD∥AC1又OD⊂平面CDB1AC1⊄平面CDB1∴AC1∥平面CDB1 19．(本小题满分12分)(2016·德州高一检测)某几何体的三视图如图7所示P是正方形ABCD对角线的交点G是PB的中点．(1)根据三视图画出该几何体的直观图；(2)在直观图中①证明：PD∥面AGC；②证明：面PBD⊥面AGC图7【解】(1)该几何体的直观图如图所示：(2)证明：①连接ACBD交于点O连接OG因为G为PB的中点O为BD 的中点所以OG ∥PD②连接PO 由三视图知PO ⊥平面ABCD 所以AO ⊥PO又AO ⊥BO 所以AO ⊥平面PBD因为AO ⊂平面AGC所以平面PBD ⊥平面AGC20．(本小题满分12分)(2016·济宁高一检测)如图8正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直EF ∥ACAB ＝2CE ＝EF ＝1图8(1)求证：AF ∥平面BDE ；(2)求证：CF ⊥平面BDE【09960091】【证明】 (1)如图设AC 与BD 交于点G因为EF ∥AG 且EF ＝1AG ＝12AC ＝1所以四边形AGEF 为平行四边形．所以AF ∥EG因为EG⊂平面BDEAF⊄平面BDE所以AF∥平面BDE(2)连接FG∵EF∥CGEF＝CG＝1∴四边形CEFG为平行四边形又∵CE＝EF＝1∴▱CEFG为菱形∴EG⊥CF在正方形ABCD中AC⊥BD∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直∴BD⊥平面CEFG∴BD⊥CF又∵EG∩BD＝G∴CF⊥平面BDE21．(本小题满分12分)(2015·山东高考)如图9三棱台DEF-ABC 中AB＝2DEGH分别为ACBC的中点．图9(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BCAB⊥BC求证：平面BCD⊥平面EGH【解】(1)证法一：连接DGCD设CD∩GF＝M连接MH在三棱台DEF-ABC中AB＝2DEG为AC的中点可得DF∥GCDF＝GC所以四边形DFCG为平行四边形则M为CD的中点．又H为BC的中点所以MH∥BD又MH⊂平面FGHBD⊄平面FGH所以BD∥平面FGH 证法二：在三棱台DEF-ABC中由BC＝2EFH为BC的中点可得BH∥EFBH＝EF所以四边形BHFE为平行四边形可得BE∥HF在△ABC中G为AC的中点H为BC的中点所以GH∥AB又GH∩HF＝H所以平面FGH∥平面ABED因为BD⊂平面ABED所以BD∥平面FGH(2)连接HE因为GH分别为ACBC的中点所以GH∥AB由AB⊥BC得GH⊥BC又H为BC的中点所以EF∥HCEF＝HC因此四边形EFCH是平行四边形．所以CF∥HE又CF⊥BC所以HE⊥BC又HEGH⊂平面EGHHE∩GH＝H所以BC⊥平面EGH又BC⊂平面BCD所以平面BCD⊥平面EGH22．(本小题满分12分)(2016·重庆高一检测)如图10所示ABCD是正方形O是正方形的中心PO⊥底面ABCD底面边长为aE是PC的中点．图10(1)求证：P A∥平面BDE；平面P AC⊥平面BDE；(2)若二面角E-BD-C为30°求四棱锥P-ABCD的体积．【解】(1)证明：连接OE如图所示．∵O、E分别为AC、PC的中点∴OE∥P A∵OE⊂平面BDEP A⊄平面BDE∴P A∥平面BDE∵PO⊥平面ABCD∴PO⊥BD在正方形ABCD中BD⊥AC又∵PO∩AC＝O∴BD⊥平面P AC又∵BD⊂平面BDE∴平面P AC⊥平面BDE(2)取OC中点F连接EF∵E为PC中点∴EF为△POC的中位线∴EF∥PO又∵PO⊥平面ABCD∴EF⊥平面ABCD∵OF ⊥BD ∴OE ⊥BD∴∠EOF 为二面角E -BD -C 的平面角 ∴∠EOF ＝30°在Rt △OEF 中OF ＝12OC ＝14AC ＝24a∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ∴OP ＝2EF ＝66a∴V P -ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3。

人教版A版(2019)高中数学必修第二册：第六章平面向量及其应用综合测试(附答案与解析)

第六章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在ABC △中，内角,A B C ,的对边分别为,,a b c ，若a =，2A B =，则cos B 等于（）D.62.已知两个单位向量a 和b 的夹角为60︒，则向量-a b 在向量a 上的投影向量为（）A.12a B.aC.12-aD.-a3.已知点(2,1),(4,2)A B -，点P 在x 轴上，当PA PB 取最小值时，P 点的坐标是（） A.(2,0) B.(4,0)C.10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(3,0)4.已知,,A B C 为圆O 上的三点，若有OA OC OB +=，圆O 的半径为2，则OB CB =（） A.1- B.2- C.1 D.25.已知点(4,3)A 和点(1,2)B ，点O 为坐标原点，则||()OA tOB t +∈R 的最小值为（）A. B.5 C.36.已知锐角三角形的三边长分别为1，3，a ，那么a 的取值范围为（） A.(8,10)B.C.D.7.已知圆的半径为4,,,a b c 为该圆的内接三角形的三边，若abc =，则三角形的面积为（）A.B.8.已知向量,a b 满足(2)(54)0+⋅-=a b a b ，且1==a b ，则a 与b 的夹角θ为（）A.34π B.4π C.3π D.23π 9.已知sin 1sin cos 2ααα=+，且向量(tan ,1)AB α=，(tan ,2)BC α=，则AC 等于（）A.(2,3)-B.(1,2)C.(4,3)D.(2,3)10.在ABC △中，E F ,分别为,AB AC 的中点，P 为EF 上的任意一点，实数,x y 满足PA xPB yPC ++=0，设,,,ABC PBC PCA PAB △△△△的面积分别为123,,,S S S S ，记(1,2,3)ii S i Sλ==，则23λλ⋅取到最大值时， 2x y +的值为（）A.1-B.1C.32-D.32二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.已知ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足,3B a c π=+，则ac=（） A.2 B.3C.12D.1312.点P 是ABC △所在平面内一点，满足20PB PC PB PC PA --+-=，则ABC △的形状不可能是（） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上） 13.已知,12e e 是平面内的单位向量，且12⋅=12e e .若向量b 满足1⋅=⋅=12b e b e ，则=b ________.14.已知向量,a b 满足5,1==a b ，且4-a b ⋅a b 的最小值为________.15.如图，在直角梯形ABCD 中，AB DC ∥，AD DC ⊥，2DC A A B D ==，E 为AD 的中点，若CA CE DB λμ=+，则λ=________，μ=________.（本题第一空2分，第二空3分）16.如图所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60︒的C 处，12时20分测得轮船在海岛北偏西60︒的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，则船速的大小为________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）如图所示，以向量,OA OB ==a b 为邻边作OADB ，11,33BM BC CN CD ==，用,a b 表现,,OM ON MN .18.（本小题满分12分）已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =，3cos 5B =. （1）若4b =，求sin A 的值；（2）若4ABC S ∆=，求,b c 的值.19.（本小题满分12分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos 1sin 2C C C +=-，（1）求sin C 的值；（2）若ABC △的外接圆面积为(4π+，试求AC BC 的取值范围.20.（本小题满分12分）某观测站在城A 南偏西20︒方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40︒，距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时,C D 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A ？21.（本小题满分12分）已知正方形ABCD ，E F 、分别是CD AD 、的中点，BE CF 、交于点P ，连接AP .用向量法证明：（1）BE CF ⊥；（2）AP AB =.22.（本小题满分12分）已知向量(sin ,cos )x x =a ，sin ,sin 6x x π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b ，函数()2f x =⋅a b ，()4g x f x π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值，并求出相应的x 的值；（2）计算(1)(2)(3)(2014)g g g g ++++的值；（3）已知t ∈R ，讨论()g x 在[,2]t t +上零点的个数.第六章综合测试答案解析一、 1.【答案】B【解析】由正弦定理得sin sin a Ab B=，a ∴=可化为sin sin A B =.又sin 22sin cos 2,sin sin 2B B B A B B B =∴==，cos B ∴. 2.【答案】A【解析】由已知可得111122⋅=⨯⨯=a b ，211()122-⋅=-⋅=-=a b a a a b ，则向量-a b 在向量a 上的投影向量为()12-⋅⋅=a b a a a a . 3.【答案】D【解析】点P 在x 轴上，∴设P 上的坐标是(,0),(2,1),(4,2)x PA x PB x ∴=--=-，22(2)(4)266(3)3PA PB x x x x x ∴⋅=---=-+=--，∴当3x =时，PA PB ⋅取最小值.P ∴点的坐标是(3,0).4.【答案】D 【解析】OA OC OB +=，OA OC =，∴四边形OABC 是菱形，且120AOC ∠=︒，又圆O 的半径为2，22cos602OB CB ∴⋅=⨯⨯︒=. 5.【答案】D【解析】点(4,3),(1,2)A B ，O 为坐标原点，则(4,32)OA tOB t t +=++，22222()(4)(32)520255(2)55OA tOB t t t t t ∴+=+++=++=++≥，∴当2t =-时，等号成立，此时OA tOB +取得最小值6.【答案】B【解析】设1,3，a 所对的角分别为,,C B A ∠∠∠，由余弦定理的推论知2222222213cos 0,21313cos 0,2131cos 0,23a A a B a a C a ⎧+-=⎪⨯⨯⎪⎪+-=⎨⨯⨯⎪⎪+-=⎪⨯⨯⎩＞＞＞即()()222100,280,680,a a a a a ⎧-⎪⎪-⎨⎪+⎪⎩＞＞＞解得a ，故选B . 7.【答案】C【解析】设圆的半径为R ，内接三角形的三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C .28sin sin sin a b cR A B C====，sin 8cC∴=，1sin 216ABC abc S ab C ∆∴===8.【答案】C 【解析】22(2)(54)5680+⋅-=+⋅=-a b a b a a b b ，又11,63,cos 2θ==∴⋅=∴=a b a b ，又[0,],3πθπθ∈∴=，故选C .9.【答案】D【解析】sin 1sin cos 2ααα=+，cos sin αα∴=，tan 1α∴=，(2tan ,3)(2,3)AC AB BC α∴=+==.故选D .10.【答案】D【解析】由题意可得，EF 是ABC △的中位线，P ∴到BC 的距离等于ABC △的边BC 上的高的一半，可得12323121,2S S S S λλ++===.由此可得223231216λλλλ+⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭≤，当且仅当23S S =，即P 为EF 的中点时，等号成立.0PE PF ∴+=.由向量加法的四边形法则可得，2PA PB PE +=，2PA PC PF +=，两式相加，得20PA PB PC ++=.0PA xPB yPC ++=，∴根据平面向量基本定理，得12x y ==，从而得到322x y +=. 二、11.【答案】AC【解析】3B π=，a c +=，2222()23a c a c ac b ∴+=++=，①由余弦定理可得，2222cos3a c acb π+-=，②联立①②，可得222520a ac c -+=，即22520a a c c ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2ac=或12a c =.故选AC .12.【答案】ACD 【解析】P 是ABC △所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，|||()()|0CB PB PA PC PA ∴--+-=，即||||CB AC AB =+，||||AB AC AC AB ∴-=+，两边平方并化简得0MC AB ⋅=，AC AB ∴⊥，90A ︒∴∠=，则ABC △一定是直角三角形.故选ACD .三、13.【解析】解析令1e 与2e 的夹角为θ.1cos cos 2θθ∴⋅=⋅==1212e e e e ，又0θ︒︒≤≤180，60θ∴=︒.()0⋅-=12b e e ，∴b 与,12e e 的夹角均为30︒，从而1||cos30︒=b . 14.【答案】52【解析】|4|-a b ，52⋅≥a b ，即⋅a b 的最小值为52. 15.【答案】65 25【解析】以D 为原点，DC 边所在直线为x 轴，DA 边所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.不妨设1AB =，则(0,0),(2,0),(0,2),(1,2),(0,1)D C A B E .(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB =-=-=，,(2,2)(2,1)(1,2)CA CE DB λμλμ=+∴-=-+，22,22,λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得6,52.5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩16./h【解析】轮船从C 到B 用时80分钟，从B 到E 用时20分钟，而船始终匀速前进，由此可见，4BC EB =.设EB x =，则4BC x =，由已知得30BAE ∠=︒，150EAC ∠=︒.在AEC △中，由正弦定理的sin sin EC AE EAC C=∠， sin 5sin1501sin 52AE EAC C EC x x︒∠∴===. 在ABC △中，由正弦定理得sin120sin BC ABC =︒，14sin sin120x BC C AB ⋅∴===︒. 在ABE △中，由余弦定理得22216312cos30252533BE AB AE AB AE︒=+-=+-=，故BE ∴船速的大小为/h)3BE t==. 四、 17.【答案】解：BA OA OB =-=-a b ，11153666OM OB BM OB BC OB BA ∴=+=+=+=+a b . 又OD =+a b ，222333ON OC CN OD ∴=+==+a b ， 221511336626MN ON OM ∴=-=+--=-a b a b a b . 18.【答案】解：3cos 05B =＞，且0B π＜＜， 4sin 5B ∴=. 由正弦定理得sin sin a b A B=，42sin 25sin 45a B Ab ⨯∴===. （2）1sin 42ABC S ac B ∆==， 142425c ∴⨯⨯⨯=，5c ∴=. 由余弦定理得2222232cos 25225175b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，b ∴=19.【答案】（1）解：ABC △中，由sin cos 1sin 2C C C +=-，得22sin cos 2sin sin 2222C C C C =-， sin 02C ＞，1cos sin 222C C ∴-=-，两边平方得11sin 4C -=，解得3sin 4C =. （2）设ABC △的外接圆的半径为R ，由（1）知sin cos 22C C ＞，24C π∴＞， 2C π∴＞，cos C ∴=. 易得2sin c R C =，22294sin (44c R C ∴==，由余弦定理得，222977(4221444c a b ab ab⎛⎫⎛⎫=+=+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，902ab ∴＜≤，cos 8AC BC ab C ⎡⎫∴=∈-⎪⎢⎪⎣⎭，即AC BC 的取值范围是8⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭. 20.【答案】解：如图所示，设ACD α∠=，CDB β∠=.在CBD △中，由余弦定理的推论得2222222021311cos 2220217BD CD CB BD CD β+-+-===-⨯⨯，sin 7β∴=()411sin sin 60sin cos60sin 60cos 27αβββ︒︒︒⎛⎫∴=-=-=--= ⎪⎝⎭在CBD △中，由正弦定理得21sin 60sin AD α=︒， 21sin 15sin60AD α∴==︒（千米）. ∴这人还要再走15千米可到达城A .21.【答案】证明：如图，建立平面直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设2AB =，则(0,0),(2,0),(2,2),(1,2),(0,1)A B C E F .（1）(1,2)(2,0)(1,2)BE OE OB =-=-=-，(0,1)(2,2)(2,1)CF OF OC =-=-=--，(1)(2)2(1)0BE CF ∴⋅=-⨯-+⨯-=，BE CF ∴⊥，即BE CF ⊥.（2）设(,)P x y ，则(,1)FP x y =-，(2,)BP x y =-，由（1）知(2,1)CF =--，(1,2)BE =-，FP CF ∥，2(1)x y ∴-=--，即24y x =-+.同理，由BP BE ∥，即24y x =-+.22,24,x y y x =-⎧∴⎨=-+⎩解得6,58,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即68,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 222268455AP AB ⎛⎫⎛⎫∴=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ||||AP AB ∴=，即AP AB =.22.【答案】（1）解：21()22sin sin(2sin cos sin 262f x x x x x x x π⎫=⋅=-+=+=⎪⎭a b1sin 22sin 223x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 252333x πππ∴-≤≤，1sin 23x π⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭≤，∴当3232x ππ-=，即1112x π=时，()f x 1-，当2233x ππ-=，即2x π=时，()f x（2）由（1）得()sin 23f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. ()sin 423g x f x x πππ⎛⎫⎛⎫∴==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 4T ∴=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(2009)(2010)(2011)(2012)g g g g g g g g g g g g ∴+++=+++==+++.又(1)(2)(3)(4)gg g g +++=，(1)(2)(3)(2014)503(1)(2)g g g g g g ∴++++=⨯+=.（3）()g x 在[,2]t t +上零点的个数等价于sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =.在同一平面直角坐标系内作出这两个函数的图象（图略）.当4443k t k +＜＜，k ∈Z 时，由图象可知，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与2y =-两图象无交点，即()g x 无零点；当44243k t k ++≤＜或10444,3k t k k ++∈Z ＜≤时，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =1个交点，即()g x 有1个零点；当10244,3k t k k ++∈Z ≤≤时，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =2个交点，即()g x 有2个零点.。

高中数学模块综合检测新人教A版必修第二册

模块综合检测(时间：120分钟,满分150分)一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足i z ＋2＝i,则在复平面内,z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A2．在△ABC 中,a ＝3,b ＝2,A ＝30°,则sin B ＝( ) A ．13 B ．23 C ．23D ．223【答案】A3．某校高一年级有男生450人,女生550人,若在各层中按比例抽取样本,总样本量为40,则在男生、女生中抽取的人数分别为( )A ．17,23B ．18,22C ．19,21D ．22,18【答案】B4．已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |＝2,|b |＝1,则a －2b 与b 的夹角是( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 【答案】C5．在某中学举行的环保知识竞赛中,将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组,绘制如图所示的频率分布直方图,图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组,已知第二小组的频数是40,则成绩在80～100分的学生人数是( )A ．25B ．20C ．18D ．15【答案】D6．2021年是中国共产党成立100周年,电影频道推出“经典频传：看电影,学党史”系列短视频,首批21支短视频全网发布,传扬中国共产党伟大精神,为广大青年群体带来精神感召．小李同学打算从《青春之歌》《闪闪的红星》《英雄儿女》《焦裕禄》等四支短视频中随机选择两支观看,则选择观看《青春之歌》的概率为( )A ．12B ．13C ．14D ．25【答案】A7．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一块三角形的沙田,三边长分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该沙田的面积为( )A ．15平方千米B ．18平方千米C ．21平方千米D ．24平方千米【答案】C【解析】设在△ABC 中,a ＝13里,b ＝14里,c ＝15里,∴由余弦定理得cos C ＝132＋142－1522×13×14＝513,∴sin C ＝1213.故△ABC 的面积为12×13×14×1213×5002×11 0002＝21(平方千米)．故选C ．8．在三棱锥ABCD 中,△ABC 与△BCD 都是正三角形,平面ABC ⊥平面BCD ,若该三棱锥的外接球的体积为2015π,则△ABC 的边长为( )A ．332 B ．634 C ．633 D ．6【答案】D【解析】如图,取BC 中点M ,连接AM ,DM .设等边△ABC 与等边△BCD 的外心分别为N ,G ,三棱锥外接球的球心为O ,连接OA ,OD ,ON ,OG .由V ＝4π3R 3＝2015π,得外接球半径R ＝15.设△ABC 的边长为a ,则ON ＝GM ＝13DM ＝36a ,AN ＝23AM ＝33a .在Rt △ANO 中,由ON 2＋AN 2＝R 2,得a 212＋a 23＝15,解得a ＝6.故选D ．二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9．下列说法中错误的是( )A ．若事件A 与事件B 互斥,则P (A )＋P (B )＝1B ．若事件A 与事件B 满足P (A )＋P (B )＝1,则事件A 与事件B 为对立事件C ．“事件A 与事件B 互斥”是“事件A 与事件B 对立”的必要不充分条件D ．某人打靶时连续射击两次,则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”互为对立事件【答案】ABD【解析】若事件A 与事件B 互斥,则有可能P (A )＋P (B )<1,故A 不正确；若事件A 与事件B 为同一事件,且P (A )＝0.5,则满足P (A )＋P (B )＝1,但事件A 与事件B 不是对立事件,B 不正确；互斥不一定对立,对立一定互斥,故C 正确；某人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”既不互斥也不对立,D 错误．故选ABD ．10．如图是民航部门统计的今年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表,根据图表,下面叙述正确的是( )A ．深圳的变化幅度最小,北京的平均价格最高B ．深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门【答案】ABC【解析】由图可知深圳对应的小黑点最接近0%,故变化幅度最小,北京对应的条形图最高,则北京的平均价格最高,A 正确；深圳和厦门对应的小黑点在0%以下,故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降,B 正确；条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州,C 正确；平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京,D 错误．故选ABC ．11．△ABC 是边长为2的等边三角形,已知向量a ,b 满足AB →＝2a ,AC →＝2a ＋b ,则下列结论中正确的是( )A ．a 为单位向量B ．a ⊥bC ．b ∥BC →D ．(4a ＋b )⊥BC →【答案】ACD【解析】由AB →＝2a ,得a ＝12AB →,又AB ＝2,所以|a |＝1,即a 是单位向量,A 正确；a ,b 的夹角为120°,B 错误；因为AC →＝AB →＋BC →＝2a ＋b ,所以BC →＝b ,C 正确；(4a ＋b )·BC →＝4a ·b ＋b2＝4×1×2×cos 120°＋4＝－4＋4＝0,D 正确．故选ACD ．12．如图,点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动,则( )A ．三棱锥A －D 1PC 的体积不变B ．A 1P ∥平面ACD 1C ．DP ⊥BC 1D ．平面PDB 1⊥平面ACD 1【答案】ABD【解析】连接BD 交AC 于点O ,连接DC 1交D 1C 于点O 1,连接OO 1,则OO 1∥BC 1,所以BC 1∥平面AD 1C ,动点P 到平面AD 1C 的距离不变,所以三棱锥PAD 1C 的体积不变,又因为V 三棱锥PAD 1C ＝V 三棱锥AD 1PC ,所以A 正确；因为平面A 1C 1B ∥平面AD 1C ,A 1P ⊂平面A 1C 1B ,所以A 1P ∥平面ACD 1,B 正确；由于当点P 在B 点时,DB 不垂直于BC 1,即DP 不垂直BC 1,故C 不正确；由于DB 1⊥D 1C ,DB 1⊥AD 1,D 1C ∩AD 1＝D 1,所以DB 1⊥平面ACD 1,又因为DB 1⊂平面PDB 1,所以平面PDB 1⊥平面ACD 1,D 正确．故选ABD ．三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．13．已知复数z ＝1＋3i 1－i ,z －为z 的共轭复数,则z 的虚部为________．【答案】－2【解析】由z ＝1＋3i 1－i ＝（1＋3i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－2＋4i2＝－1＋2i,得z －＝－1－2i,∴复数z 的虚部为－2.14．一组数据按从小到大的顺序排列为1,3,3,x ,7,8,10,11,其中x ≠7,已知该组数据的中位数为众数的2倍,则：(1)该组数据的上四分位数是________； (2)该组数据的方差为________．【答案】(1)9 (2)11.25【解析】(1)一组数据按从小到大的顺序排列为1,3,3,x ,7,8,10,11,其中x ≠7,∵该组数据的中位数为众数的2倍,∴x ＋72＝2×3,解得x ＝5.∵8×0.75＝6,∴该组数据的上四分位数是8＋102＝9.(2)该组数据的平均数为：18(1＋3＋3＋5＋7＋8＋10＋11)＝6,∴该组数据的方差为18[(1－6)2＋(3－6)2＋(3－6)2＋(5－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2＋(10－6)2＋(11－6)2]＝11.25.15．a ,b ,c 分别为△ABC 内角A ,B ,C 的对边．已知ab cos(A －B )＝a 2＋b 2－c 2,A ＝45°,a ＝2,则c ＝________.【答案】4105【解析】由ab cos(A －B )＝a 2＋b 2－c 2,得cos(A －B )＝2·a 2＋b 2－c 22ab＝2cos C ＝－2cos(A＋B ),整理,得3cos A cos B ＝sin A sin B ,所以tan A tan B ＝3.又A ＝45°,所以tan A ＝1,tan B ＝3.由sin B cos B ＝3,sin 2B ＋cos 2B ＝1,得sin B ＝31010,cosB ＝1010.所以sin C ＝sin(A ＋B )＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫31010＋1010＝255.由正弦定理,得c ＝a sin C sin A ＝4105. 16．如图,AB →＝3AD →,AC →＝4AE →,BE 与CD 交于P 点,若AP →＝mAB →＋nAC →,则m ＝________,n ＝________．【答案】311 211【解析】因为AB →＝3AD →,AC →＝4AE →,且E 、P 、B 三点共线,D 、P 、C 三点共线,所以存在x ,y 使得AP →＝xAE →＋(1－x )AB →＝14xAC →＋(1－x )AB →.因为AP →＝yAC →＋(1－y )AD →＝yAC →＋13(1－y )AB →,所以⎩⎪⎨⎪⎧14x ＝y ，1－x ＝13（1－y ），解得x ＝811,y ＝211,所以AP →＝14×811AC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－811AB →＝211AC →＋311AB →＝311AB →＋211AC →.又因为AP →＝mAB →＋nAC →,所以m ＝311,n ＝211.四、解答题：本题共6小题,17题10分,其余小题为12分,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数z ＝m 2－m i(m ∈R),若|z |＝2,且z 在复平面内对应的点位于第四象限． (1)求复数z ；(2)若z 2＋az ＋b ＝1＋i,求实数a ,b 的值．解：(1)∵z ＝m 2－m i,|z |＝2,∴m 4＋m 2＝2,得m 2＝1.又∵z 在复平面内对应的点位于第四象限,∴m ＝1,即z ＝1－i.(2)由(1)得z ＝1－i,∴z 2＋az ＋b ＝1＋i ⇒(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i.∴(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i,∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得a ＝－3,b ＝4.18．在①b ＋b cos C ＝2c sin B ,②S △ABC ＝2CA →·CB →,③(3b －a )cos C ＝c cos A ,三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解决问题．在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足________． (1)求cos C 的值；(2)若点E 在AB 上,且AE →＝2EB →,EC ＝413,BC ＝3,求sin B ．解：(1)若选①：因为b ＋b cos C ＝2c sin B ,由正弦定理可得sin B ＋sin B cos C ＝2sin C sin B ．因为sin B ≠0,所以1＋cos C ＝2sin C ．联立⎩⎨⎧1＋cos C ＝2sin C ，sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得cos C ＝13,sin C ＝223,故cos C ＝13. 若选②：因为S △ABC ＝2CA →·CB →,所以12ab sin C ＝2ba cos C ,即sin C ＝22cos C ＞0,联立sin 2C ＋cos 2C ＝1,可得cos C ＝13.若选③：因为(3b －a )cos C ＝c cos A ,由正弦定理可得(3sin B －sin A )cos C ＝sin C cosA ,所以3sinB cosC ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ．因为sin B ≠0,所以cos C ＝13.(2)由余弦定理可得cos ∠AEC ＝AE 2＋EC 2－AC 22AE ·EC ＝49c 2＋EC 2－b 243c ·EC ,cos ∠BEC ＝BE 2＋EC 2－BC 22BE ·EC＝19c 2＋EC 2－a 223c ·EC ,因为cos ∠AEC ＋cos ∠BEC ＝0,所以49c 2＋EC 2－b 243c ·EC ＋19c 2＋EC 2－a 223c ·EC ＝0,即2c 2＋9EC 2－3b 2－6a 2＝0,则2c 2－3b 2＝6a 2－9EC 2＝6×9－9×419＝13,①同时cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝13,即b 2－c 2＝2b －9,②联立①②可得b 2＋4b －5＝0,解得b ＝1,则c ＝22,故cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝223,则sin B＝13. 19．如图所示,在四棱锥MABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,BC ∥AD ,∠CDA ＝90°,AD ＝4,BC ＝CD ＝2,△MBD 为等边三角形．(1)求证：BD ⊥MC ；(2)若平面MBD ⊥平面ABCD ,求三棱锥CMAB 的体积． (1)证明：取BD 中点O ,连接CO 、MO ,如图所示： ∵△MBD 为等边三角形,且O 为BD 中点,∴MO ⊥BD ．又BC ＝CD ,O 为BD 中点,∴CO ⊥BD ．又MO ∩CO ＝O ,∴BD ⊥平面MCO . ∵MC ⊂平面MCO ,∴BD ⊥MC ．(2)解：∵平面MBD ⊥平面ABCD ,且平面MBD ∩平面ABCD ＝BD ,MO ⊥BD , ∴MO ⊥平面ABCD ．由(1)知MB ＝MD ＝BD ＝22,MO ＝MB 2－BO 2＝6,S △ABC ＝12BC ·CD ＝2,∴V CMAB ＝V MABC ＝13×S △ABC ×MO ＝263.20．某冰糖橙为甜橙的一种,云南著名特产,以味甜皮薄著称．该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱有5 kg)．某采购商打算采购一批该橙子销往省外,并从采购的这批橙子中随机抽取100箱,利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表：等级珍品特级优级一级箱数 40 30 10 20 售价/(元·kg －1)36302418(2)按照分层抽样的方法,从这100箱橙子中抽取10箱,试计算各等级抽到的箱数； (3)若在(2)抽取的特级品和一级品的箱子上均编上号放在一起,再从中抽取2箱,求抽取的2箱中两种等级均有的概率．解：(1)依题意可知,样本中的100箱不同等级橙子的平均价格为36×410＋30×310＋24×110＋18×210＝29.4(元/kg)． (2)依题意,珍品抽到110×40＝4(箱),特级抽到110×30＝3(箱),优级抽到110×10＝1(箱),一级抽到110×20＝2(箱)．(3)抽到的特级有3箱,编号为A 1,A 2,A 3,抽到的一级有2箱,编号为B 1,B 2. 从中抽取2箱,有(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,A 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(B 1,B 2)共10种可能,两种等级均有的有(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2)共6种可能,∴所求概率p ＝610＝35.21．已知向量a ＝(3cos ωx ,sin ωx ),b ＝(cos ωx ,cos ωx ),其中ω＞0,记函数f (x )＝a ·b .(1)若函数f (x )的最小正周期为π,求ω的值；(2)在(1)的条件下,已知△ABC 的内角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3,且a＝4,b ＋c ＝5,求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝a ·b ＝3cos 2ωx ＋sin ωx ·cos ωx ＝3（cos 2ωx ＋1）2＋sin 2ωx2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋32. ∵f (x )的最小正周期为π,且ω＞0,∴2π2ω＝π,解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝32. 由0＜A ＜π,得π3<A ＋π3<4π3,∴A ＋π3＝2π3,解得A ＝π3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ,得16＝b 2＋c 2－bc .联立b ＋c ＝5,得bc ＝3. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×32＝334.22．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度,对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛,满分为100分(90分及以上为认知程度高)．现从参赛者中抽取了x 人,按年龄分成5组,第一组：[20,25),第二组：[25,30),第三组：[30,35),第四组：[35,40),第五组：[40,45),得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组有6人．(1)求x ；(2)求抽取的x 人的年龄的中位数(结果保留整数)；(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户,五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人,42人,36人,24人,12人,分别记为1～5组,从5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛,分别代表相应组的成绩,年龄组中1～5 组的成绩分别为93,96,97,94,90,职业组中1～5 组的成绩分别为93,98,94,95,90.①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；②以上述数据为依据,评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度,并谈谈你的感想．解：(1)根据频率分布直方图得第一组的频率为0.01×5＝0.05,∴6x＝0.05,解得x ＝120.(2)设中位数为a ,则0.01×5＋0.07×5＋(a －30)×0.06＝0.5,∴a ＝953≈32,则中位数为32.(3)①5个年龄组成绩的平均数为x 1＝15×(93＋96＋97＋94＋90)＝94,方差为s 21＝15×[(－1)2＋22＋32＋02＋(－4)2]＝6.5个职业组成绩的平均数为x 2＝15×(93＋98＋94＋95＋90)＝94,方差为s 22＝15×[(－1)2＋42＋02＋12＋(－4)2]＝6.8.②从平均数来看两组的认知程度相同,从方差来看年龄组的认知程度更稳定．。

人教版A版(2019)高中数学必修第二册：第七章复数综合测试(附答案与解析)

第七章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设1234i,23i z z =-+=-其中i 为虚数单位，则12z z +在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.已知i 为虚数单位，复数122i,2i z a z =+=-，且21z z =，则实数a 的值为（）A .1B .1-C .1或1-D .1±或03.复数：满足31i z z +=-（i 为虚数单位），则复数z 对应的点的轨迹是（）A .直线B .正方形C .圆D .射线4.已知复数(12i)(23i)z =++（i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限5.若复数z 满足(12i)5z +=，i 为虚数单位，则z 的虚部为（）A 2i-B .2C .2-D .2i 6.定义运算a b ad bc c d =-，则符合条件1142i i z z -=+（i 是虚数单位）的复数z 在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限7.已知复数2349i+i +i +i ++i 1+iz =L （i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点为（）A .11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B .(1,1)C .11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D .(1,1)-8.设z 是纯虚数，i 是虚数单位，若21i z +-是实数，则z =（）A .2i -B .1i 2-C .1i 2D .2i9.对于复数,,,a b c d ，若集合{,,,}S a b c d =具有性质“对任意,x y S ∈，必有xy S ∈”，则当,,,a b c d 同时满足①1a =：②21b =；③2c b =时，b c d ++=（）A .1B .1-C .0D .i10.已知i 是虚数单位，给出下列命题，其中正确的是（）A .满足i i z z -=+的复数z 对应的点的轨迹是圆B .若2,i 1m ∈=-Z ，则123i i i i 0m m m m ++++++=C .复数i z a b =+（其中,a b ∈R ）的虚部为iD .在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示虚数二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.已知复数z ，下列结论正确的是（）A .“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件B .“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件C .“z z =”是“z 为实数”的充要条件D .“z z ∈R g ”是“z 为实数”的充分不必要条件12.设()()2225322i,z t t t t t =+-+++∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（）A .z 对应的点在第一象限B .z 一定不为纯虚数C .z 一定不为实数D .z 对应的点在实轴的下方三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.已知i 为虚数单位，若复数24(2)i()z a a a =-+-∈R 是纯虚数，则1z +=________；z z =g ________.（本题第一空2分，第二空3分）14.如图所示，网格中的小正方形的边长是1，复平面内的点Z 对应复数z ，则复数12z i-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部是________.15.若34i z =-（i 为虚数单位），则z z=________.16.复数12,z z 分别对应复平面内的点12M M 、，且1212z z z z +=-，线段12M M 的中点M 对应的复数为43i +（i 为虚数单位），则2212z z +=________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知复数z 满足13z i z =+-，i 是虚数单位，化简22(1i)(34i)2z++.18.（本小题满分12分）（1）已知m ∈R ，i 是虚数单位，复数()()2245215i z m m m m =--+--是纯虚数，求m 的值；（2）已知复数z 满足方程(2)i 0z z +-=，i 是虚数单位，求z 及|2i |z +的值.19.（本小题满分12分）（1）已知2i 1-（i 是虚数单位）是关于x 的方程10mx n +-=的根，,m n ∈R ，求+m n 的值；（2）已知2i 1-（i 是虚数单位）是关于x 的方程210x mx n ++-=的一个根，,m n ∈R ，求+m n 的值.20.（本小题满分12分）已知复数()21223(25)i,10i 15z a z a a a =+-=+--+，其中a 为实数，i 为虚数单位.（1）若复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，求a 的取值范围；（2）若12z z +是实数（2z 是2z 的共轭复数），求1z 的值.21.（本小题满分12分）欧拉公式cos sin ix e x i x =+（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位，x ∈R ）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，阐述了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式：（1）判断复数2i e 在复平面内对应的点位于第几象限，并说明理由；（2）若0ix e ＜，求cos x 的值.22.（本小题满分12分）若,42i,sin icos z z z ωθθ∈+=+=-C （θ为实数），i 为虚数单位.（1）求复数z ；（2）求z ω-的取值范围.第七章综合测试答案解析一、1.【答案】B【解析】1234i,23i z z =-+=-Q ，1234i 23i 1i z z ∴+=-++-=-+，12z z ∴+在复平面内对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B .2.【答案】C【解析】因为复数12i z a =+，22i z =-，且12z z =，所以2441a +=+，解得1a =±，故选C .3.【答案】C【解析】设i(,)z x y x y =+∈R ，则33i 1i i x y x y ++=+-，所以2222(31)9(1)x y x y ++=+-，即224430x y x y +++=.所以复数z 对应的点的轨迹为圆.故选C .4.【答案】B【解析】(12i)(23i)47i z =++=-+Q ，z ∴在复平面内对应的点的坐标为(4,7)-，位于第二象限，故选B .5.【答案】C 【解析】依题意得，512i 12iz ==-+，所以z 的虚部为2-，故选C .6.【答案】D【解析】依题意得，i 42i z z +=+，42i 3i 1iz +∴==-+，对应的点的坐标为(3,1)-，位于第四象限，故选D .7.【答案】A【解析】2349i i i i i i 1i 1i ==1i 1iz +++++--+++=++L L i (1i)i 11i 1i (1i)(1i)22-==+++-，所以复数z 在复平面呢对应的点的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.8.【答案】A【解析】z Q 为纯虚数，∴设i z b =（b ∈R 且0b ≠），则2i 2(i 2)(1i)21(2)i 1i 1i (1i)(1i)22z b b b b ++++-+===++---+，又21i z +-Q 为实数，1(2)02b ∴+=，即2b =-，2i z ∴=-.9.【答案】B【解析】由题意知1,i b c =-=±.当i c =时，满足性质“对任意,x y S ∈，必有xy S ∈”的d 为i -；同理，当i c =-时，i d =.综上可知，0c d +=，1b c d ∴++=-.10.【答案】B【解析】对于A ，满足i i z z -=+的复数：对应的点的轨迹是实轴，不是圆，A 错误；对于B ，若2,i 1m ∈=-Z ，则123i i i i i (1i 1i)0m m m m n ++++++=+--=，B 正确；对于C ，复数i z a b =+（其中,a b ∈R ）的虚部为b ，i 是虚数单位，C 错误；对于D ，在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点除原点外都表示虚数，D 错误.故选B .二、11.【答案】BC【解析】对于复数z ，若0z z +=，z 不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z 为纯虚数，则0z z +=，∴“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件，A 错误，B 正确；“z z =”是“z 为实数”的充要条件，C 正确；若z z ⋅∈R ，z 不一定为实数，也可以为虚数，反之，若z ∈R ，则z z ⋅∈R .∴“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件，D 错误.故选BC .12.【答案】CD【解析】对于A ，22549492532488t t t ⎛⎫+-=+-- ⎪⎝⎭＞，2222(1)10t t t ++=++＞，所以复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；对于B ，当222530,220,t t t t ⎧+-=⎪⎨++≠⎪⎩即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误；对于C ，因为2220t t ++＞恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；对于D ，由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确.故选CD .三、1316【解析】Q 复数24(2)i()z a a a =-+-∈R 是纯虚数，240,20,a a ⎧-=⎪∴⎨-≠⎪⎩解得2a =-，4i z ∴=-，4i z =，114i z ∴+=-=，=16z z ⋅.14.【答案】1-【解析】由题图可知，点Z 的坐标为(2,1)，2i z ∴=+，2i (2i)(12i)i 12i 12i (12i)(12i)z +++∴===---+，其共轭复数为i -，∴其共轭复数的虚数是1-.15.【答案】34i 55+【解析】依题意得，34i 55z z ==+.16.【答案】100【解析】设O 为坐标原点，由1212z z z z +=-知，以线段12,OM OM 为邻边的平行四边形是矩形，即12M OM ∠为直角，又M 是斜边12M M 的中点，5OM =uuu r ，所以1210M M =uuuuu u r ，所以22222121212100z z OM OM M M +=+==uuur uuur uuuuu u r .四、17.【答案】解：设i(,)z a b a b =+∈R ，则由13i z z =+-13i i 0a b -++=，10,30,a b -=∴-=⎪⎩解得4,3,a b =-⎧⎨=⎩43iz ∴=-+22(1i)(34i)2i(724i)247i (247i)(43i)34i 22(43i)43i (43i)(43i)z ++-++++∴====+-+--+.18.【答案】（1）解：由复数z 是纯虚数，可得22450,2150,m m m m ⎧--=⎪⎨--≠⎪⎩即251,53,m k m m m ⎧==-⎪⎨≠≠-⎪⎩或且解得1m =-.（2）解：由题意可得，2i 2i(1i)1+i 1i (1i)(1i)z -===++-，从而1i z =-，所以2i (1i)2i 1i z +=-+=+.19.【答案】（1）解：由已知得(2i 1)10m n -+-=，(1)2i 0n m m ∴--+=，10,20,n m m --=⎧∴⎨=⎩解得1,0,n m =⎧⎨=⎩1m n ∴+=.（2）解：解法一：由已知得2(2i 1)(2i 1)10m n -+-+-=，(4)(24)i 0n m m ∴--+-=，40,240,n m m --=⎧∴⎨-=⎩解得6,2,n m =⎧⎨=⎩8m n ∴+=.解法二：2i 1-Q 是实系数方程21=0x mx n ++-的根，∴12i --也是此方程的根，因此，(12)(12),(12)(12)1,i i m i i n -++--=-⎧⎨-+--=-⎩解得6,2,n m =⎧⎨=⎩8m n ∴+=.20.【答案】（1）复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，则20,1250.a a ⎧⎪-⎨⎪-⎩＜＜解得1,5,2a a ⎧⎪⎨⎪⎩＞＜即52a 1＜＜，故实数a 的取值范围是51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）解：()22310i 5z a a =+-+Q ()22310i 5z a a ∴=--+()()22122332(25)i 10i (25)10i 1551z z a a a a a a a a ⎡⎤∴+=+-+--=++---⎣⎦-++-.12z z +Q 是实数，()225100(15)a a a a ∴---=≠≠且.由()225100a a ---=得22150a a +-=，解得3a =或5a =-（舍）.12(25)i 1i 1z a a ∴=+-=-+-，1z ∴=21.【答案】（1）解：位于第二象限.理由如下：2i cos2isin 2e =+在复平面内对应的点的坐标为(cos 2,sin 2)，由于22ππ＜，因此cos2＜0，sin 20＞，∴点(cos 2,sin 2)在第二象限，故复数2i e 在复平面内对应的点位于第二象限。

(人教版A版2017课标)高中数学必修第二册第八章综合测试卷(附答案)03

第八章综合测试一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．下面给出了四个条件：①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线a 都相交的两条直线；④两两相交的三条直线．其中，能确定一个平面的条件有（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．如图8-7-1所示，若G ，H ，M ，N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有（）A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④3．已知α，β是平面，m ，n 是直线，给出下列表述：①若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥；②若m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，则αβ∥；③若m α⊂，n α⊄，m ，n 是异面直线，则n 与α相交；④若m αβ=I ，m n ∥，且n α⊄，n β⊄，则n α∥且n β∥．其中正确的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．44．如图8-7-2，在正三棱锥S ABC -中，异面直线SA 与BC 所成角的大小为（） A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π5．如图8-7-3，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E BCD -的体积是（） A ．5B ．10C ．20D ．406．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是侧面11AA D D 与底面ABCD 的中心，则下列命题中错误的个数为（） ①DF ∥平面11D EB ；②异面直线DF 与1B C 所成角为60°； ③1ED 与平面1B DC 垂直； ④1112F CDB V -=． A ．0B ．1C ．2D ．37．在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是AB ，1BB 的中点，则直线MN 与平面11A BC 所成角的余弦值为（）A B ．2 C D ．138．如图8-7-4，直角梯形ABCD ，满足AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，现将其沿AC 折叠成三棱锥D ABC -，当三棱锥D ABC -体积取最大值时，其表面积为（）A ．(12 B ．(12C ．(12D ．(129．在四面体ABCD 中，已知2AB AC CD ===，BC =，且CD ⊥平面ABC ，则该四面体外接球的体积为（）A ．16πB ．12πC ．D ．6π10．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，4PA AB ==，E ，F ，H 分别是棱PB ，BC ，PD 的中点，则过E ，F ，H 的平面截四棱锥P ABCD -所得截面的面积为（）A ．B ．C ．D ．11．在三棱锥P ABC -中，侧面PAB 、侧面PAC 、侧面PBC 两两互相垂直，且::PA PB PC =设三棱锥P ABC -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的外接球的体积为2V ，则21=V V （）AB ．6πC ．3πD ．83π 12．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（） A ．βγ＜，αγ＜B ．βα＜，βγ＜C ．βα＜，γα＜D ．αβ＜，γβ＜二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l m ⊥；②m α∥；③l α⊥以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________．14．在底面直径为6的圆柱形容器中，放入一个半径为2的冰球，当冰球全部溶化后，容器中液面的高度为________（相同质量的冰与水的体积比为10：9）15．如图8-7-5，1111ABCD A B C D -是棱长为a 的正方体，则1A B 与平面11D B BD 所成的角为________．16．如图8-7-6，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，剪去AOB △，将剩余部分沿OC ，OD 折叠，使OA ，OB 重合，则折叠后以A （B ），C ，D ，O 为顶点的四面体的体积为________．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．（10分）有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．18．（12分）如图8-7-7，在三棱柱111ABC A B C -中，底面三角形ABC 是等边三角形，且1AA ⊥平面ABC ，D 为AB 的中点．（1）求证：直线1BC ∥平面1A CD ．（2）若12AB BB ==，E 是1BB 的中点，求三棱锥1A CDE -的体积．19．（12分）如图8-7-8所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，1AC BC CC ==，M ，N 分别是1A B ，11B C 的中点．（1）求证：MN ⊥平面1A BC ．（2）求直线1BC 和平面1A BC 所成的角的大小．20．（12分）如图8-7-9所示，已知多面体ABCDFE 中，四边形ABCD 为矩形，AB EF ∥，AF BF ⊥，平面ABEF ⊥平面ABCD ，O ，M 分别为AB ，FC 的中点．（1）求证：AF FC ⊥．（2）求证：OM ∥平面DAF ．（3）若过EF 的平面交BC 于点G ，交AD 于点H ，求证：EF GH ∥．21．（12分）某部门建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12 m ，高4 m ，该部门拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是底面直径比原来增加4 m （高不变）；二是高度增加4 m （底面直径不变）．（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积．（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积．（3）哪个方案更经济些？为什么？22．（12分）如图8-7-10，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，PAB △为正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ．E ，M 分别为线段AB ，PD 的中点．（1）求证：PE ⊥平面ABCD ．（2）求证：PB ∥平面ACM ．（3）在棱CD 上是否存在点G ，使平面MAG ⊥平面ABCD ，请说明理由．第八章综合测试答案解析一、 1.【答案】A【解析】①中，空间三点共线时不能确定一个平面；②中，点在直线上时不能确定一个平面；③中，两直线可能是异面直线，不只确定一个平面；④中，三条直线交于一点时可能确定三个平面。

高中数学必修一和必修二第一二章综合试题(人教A版含答案)

高一数学第二次月考模拟试题（必修一+二第一二章）时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．设集合A ＝{4,5,7,9}，B ＝{3,4,7,8,9}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 2．下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝x 3C ．y ＝2xD ．y ＝log 2x 3．函数y ＝1x＋log 2(x ＋3)的定义域是( )A ．RB ．(－3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－3,0)∪(0，＋∞) 4．梯形1111A B C D （如图）是一水平放置的平面图形ABCD 的直观图（斜二测），若11A D ∥/y 轴，11A B ∥/x 轴，1111223A B C D ==， 111A D =，则平面图形ABCD 的面积是（） A.5 B.10 C.52 D.1025．已知圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（） A.120︒ B.150︒ C.180︒ D.240︒ 6．已知f (x 3－1)＝x ＋1，则f (7)的值，为( )A.37－1B.37＋1 C ．3 D ．2 7．已知log 23＝a ，log 25＝b ，则log 295等于( )A ．a 2－b B ．2a －b C.a 2b D.2ab8．函数y ＝x 2＋x (－1≤x ≤3)的值域是( )A ．[0,12]B ．[－14，12]C ．[－12，12]D ．[34，12]9．下列四个图象中，表示函数f (x )＝x －1x的图象的是( )A 1B 1C 1D 1O 110．函数y＝－x2＋8x－16在区间[3,5]上( )A．没有零点 B．有一个零点 C．有两个零点 D．有无数个零点11．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是( )A．4 B．3 C．2 D．112．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，若f(x)>f(2－x)，则x的取值范围是( ) A．x>1 B．x<1 C．0<x<2 D．1<x<2二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知集合A＝{x|x<－1或2≤x<3}，B＝{x|－2≤x<4}，则A∪B＝__________.14．函数y＝log23－4x的定义域为__________．15．据有关资料统计，通过环境整治，某湖泊污染区域S(km2)与时间t(年)可近似看作指数函数关系，已知近两年污染区域由0.16 km2降至0.04 km2，则污染区域降至0.01 km2还需要__________年．16．空间四边形ABCD中，P、R分别是AB、CD的中点，PR=3、AC= 4、BD=25那么AC与BD所成角的度数是_________.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x－a<0}，(1)当a＝3时，求A∩B；(2)若A⊆B，求实数a的取值范围．18．(12分)(1)计算：(279)12＋(lg5)0＋(2764)-13；(2)解方程：log 3(6x－9)＝3.19．(12分)判断函数f (x )＝1a x－1＋x 3＋12的奇偶性．20．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点，连结ED ，EC ，EB 和DB ． (1)求证：平面EDB ⊥平面EBC ； (2)求二面角E －DB －C 的正切值.21．(12分)已知正方体1111ABCD A B C D ，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：（1）O C 1∥面11AB D ；D 1ODB AC 1B 1A 1C（2）1A C 面11AB D ．22．( 12分)已知函数f (x )是正比例函数，函数g (x )是反比例函数，且f (1)＝1，g (1)＝1，(1)求f (x )，g (x )；(2)判断函数h (x )＝f (x )＋g (x )的奇偶性；(3)证明函数S(x)＝xf(x)＋g(12)在(0，＋∞)上是增函数．高一数学期末考试模拟试题（答案）一、选择题(每小题5分，共60分)1．解析：U ＝A ∪B ＝{3,4,5,7,8,9}，A ∩B ＝{4,7,9}，∴∁U (A ∩B )＝{3,5,8}，有3个元素，故选A.答案：A2．解析：A 为偶函数，C 、D 均为非奇非偶函数．答案：B 3．解析：要使函数有意义，自变量x 的取值须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0x ＋3>0，解得x >－3且x ≠0.答案：D4．解析：梯形1111A B C D 上底长为2，下底长为3腰梯形11A D 长为1，腰11A D 与下底11C D 的夹角为45︒ ，所以梯形1111A B C D 的高为2，所以梯形1111A B C D 的面积为1+=224（23），根据S =4直观平面可知，平面图形ABCD 的面积为5.答案：A 5．解析：由22r r 3r l πππ+=知道2l r =所以圆锥的侧面展开图扇形圆心角度数为13603601802r l ⨯︒=⨯︒=︒，故选C 答案：C 6．解析：令x 3－1＝7，得x ＝2，∴f (7)＝3.答案：C7．解析：log 295＝log 29－log 25＝2log 23－log 25＝2a －b .答案：B8．解析：画出函数y ＝x 2＋x (－1≤x ≤3)的图象，由图象得值域是[－14，12]．答案：B9．解析：函数y ＝x ，y ＝－1x 在(0，＋∞)上为增函数，所以函数f (x )＝x －1x在(0，＋∞)上为增函数，故满足条件的图象为A.答案：A10．解析：∵y ＝－x 2＋8x －16＝－(x －4)2，∴函数在[3,5]上只有一个零点4.答案：B 11．解析：因为①②④正确，故选B ．12．解析：由题目的条件可得⎩⎪⎨⎪⎧x >02－x >0x >2－x，解得1<x <2，故答案应为D.答案：D二、填空题(每小题5分，共20分) 13．答案：{x |x <4}14．解析：根据对数函数的性质可得log 2(3－4x )≥0＝log 21，解得3－4x ≥1，得x ≤12，所以定义域为(－∞，12]．答案：(－∞，12]15．解析：设S ＝a t ，则由题意可得a 2＝14，从而a ＝12，于是S ＝(12)t ，设从0.04 km 2降至0.01 km 2还需要t 年，则(12)t ＝14，即t ＝2.答案：2 16、解析：如图，取AD 中点Q ，连PQ ，RQ ，则5PQ =，2RQ =，而PR =3，所以222PQ RQ PR +=，所以PQR 为直角三角形，90PQR ∠=︒，即PQ 与RQ 成90︒的角，所以AC 与BD 所成角的度数是90︒.答案：90︒三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(10分)已知集合A ＝{x |1≤x <4}，B ＝{x |x －a <0}， (1)当a ＝3时，求A ∩B ；(2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝3时，B ＝{x |x －3<0}＝{x |x <3}，则有A ∩B ＝{x |1≤x <3}． (2)B ＝{x |x －a <0}＝{x |x <a }，当A ⊆B 时，有a ≥4，即实数a 的取值范围是[4，＋∞)． 18．(12分)(1)计算：(279)12 ＋(lg5)0＋(2764)-13 ；(2)解方程：log 3(6x－9)＝3.解：(1)原式＝(259)12 ＋(lg5)0＋[(34)3]－13＝53＋1＋43＝4.(2)由方程log 3(6x－9)＝3得6x－9＝33＝27，∴6x ＝36＝62，∴x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解． 19．(12分)判断函数f (x )＝1a x－1＋x 3＋12的奇偶性．解：由a x－1≠0，得x ≠0，∴函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， f (－x )＝1a －x －1＋(－x )3＋12＝a x1－a x －x 3＋12＝a x －1＋11－a x－x 3＋12＝－1a x －1－x 3－12＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．20．(12分) 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点，连结ED ，EC ，EB 和DB ．(1)求证：平面EDB ⊥平面EBC ； (2)求二面角E －DB －C 的正切值.证明：(1)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点．∴△DD 1E 为等腰直角三角形，∠D 1ED ＝45°．同理∠C 1EC ＝45°．∴︒=∠90DEC ，即DE ⊥EC ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，BC ⊥平面11DCC D ，又DE ⊂平面11DCC D ，∴BC ⊥DE ．又C BC EC = ，∴DE ⊥平面EBC ．∵平面DEB 过DE ，∴平面DEB ⊥平面EBC ． (2)解：如图，过E 在平面11DCC D 中作EO ⊥DC 于O ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，∵面ABCD⊥面11DCC D ，∴EO ⊥面ABCD ．过O 在平面DBC 中作OF ⊥DB 于F ，连结EF ，∴EF ⊥BD ．∠EFO 为二面角E －DB －C 的平面角．利用平面几何知识可得OF ＝51， (第20题)又OE ＝1，所以，tan ∠EFO ＝5． 21.(12分)已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：（１）O C 1∥面11AB D ；（2 ）1AC ⊥面11AB D ．证明：（1）连结11A C ，设11111AC B D O =连结1AO ，1111ABCD A B C D -是正方体11A ACC ∴是平行四边形11A C AC ∴且 11A C AC =又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，11O C AO ∴且11O C AO =D 1ODBAC 1B 1A 1C11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴⊂面11AB D ，1C O ⊄面11AB D ∴1C O 面11AB D（2）1CC ⊥面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥又1111A C B D ⊥， 1111B D AC C ∴⊥面111AC B D ⊥即同理可证11A C AB ⊥，又1111D B AB B =∴1A C ⊥面11AB D22．(12分)已知函数f (x )是正比例函数，函数g (x )是反比例函数，且f (1)＝1，g (1)＝1， (1)求f (x )，g (x )；(2)判断函数h (x )＝f (x )＋g (x )的奇偶性；(3)证明函数S (x )＝xf (x )＋g (12)在(0，＋∞)上是增函数．解：(1)设f (x )＝k 1x (k 1≠0)，g (x )＝k 2x(k 2≠0)．∵f (1)＝1，g (1)＝1，∴k 1＝1，k 2＝1.∴f (x )＝x ，g (x )＝1x.(2)由(1)得h (x )＝x ＋1x，则函数h (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，h (－x )＝－x ＋1－x ＝－(x ＋1x)＝－h (x )，∴函数h (x )＝f (x )＋g (x )是奇函数． (3)证明：由(1)得S (x )＝x 2＋2.设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则S (x 1)－S (x 2)＝(x 21＋2)－(x 22＋2)＝x 21－x 22＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)． ∵x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0. ∴S (x 1)－S (x 2)<0.∴S (x 1)<S (x 2)．∴函数S (x )＝xf (x )＋g (12)在(0，＋∞)上是增函数．。

期末考试综合检测试卷-2020-2021学年高一数学同步练习和分类专题(人教A版2019必修第二册)

高中数学必修二期末考试综合检测试卷第二学期高一期末测试一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z=(1-i)+m(1+i)是纯虚数,则实数m=( )A.-2B.-1C.0D.12.幸福感指数是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近10表示满意程度越高.现随机抽取6位小区居民,他们的幸福感指数分别为5,6,7,8,9,5,则这组数据的第80百分位数是( )A.7B.7.5C.8D.93.已知α为平面,a,b为两条不同的直线,则下列结论正确的是( )A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a⊥α,a∥b,则b⊥αC.若a⊥α,a⊥b,则b∥αD.若a∥α,a⊥b,则b⊥α4.已知在平行四边形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,如果=a,=b,那么=( )A.a-bB.-a+bC.a+bD.-a-b5.已知圆锥的表面积为3π,且它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的体积为( )A.πB.πC.πD.2π6.庆祝中华人民共和国成立70周年的阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最,编组之新、要素之全彰显强军成就,装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”,见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注,还得到了无数外国人的关注.某单位有6位外国人,其中关注此次大阅兵的有5位,若从这6位外国人中任意选取2位进行一次采访,则被采访者都关注了此次大阅兵的概率为( )A. B. C. D.7.如图,有四座城市A、B、C、D,其中B在A的正东方向,且与A相距120 km,D在A的北偏东30°方向,且与A相距60 km,C在B的北偏东30°方向,且与B相距60 km.一架飞机从城市D出发,以360 km/h 的速度向城市C飞行,飞行了15 min后,接到命令改变航向,飞向城市B,此时飞机距离城市B的距离为( )A.120 kmB.60 kmC.60 kmD.60 km8.如图,在平面直角坐标系xOy中,原点O为正八边形P1P2P3P4P5P6P7P8的中心,P1P8⊥x轴,若坐标轴上的点M(异于原点)满足2++=0(其中1≤i≤8,1≤j≤8,且i,j∈N*),则满足以上条件的点M的个数为( )A.2B.4C.6D.8二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.已知复数z满足(1-i)z=2i,则下列关于复数z的结论正确的是( )A.|z|=B.复数z的共轭复数=-1-iC.复平面内表示复数z的点位于第二象限D.复数z是方程x2+2x+2=0的一个根10.某市教体局对全市高一年级学生的身高进行抽样调查,随机抽取了100名学生,他们的身高都处在A,B,C,D,E五个层次内,根据抽样结果得到如下统计图,则下列结论正确的是( )A.样本中女生人数多于男生人数B.样本中B层次人数最多C.样本中E层次的男生人数为6D.样本中D层次的男生人数多于女生人数11.已知事件A,B,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,则下列结论正确的是( )A.如果B⊆A,那么P(A∪B)=0.2,P(AB)=0.5B.如果A与B互斥,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0C.如果A与B相互独立,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0D.如果A与B相互独立,那么P()=0.4,P(A)=0.412.如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,则下列命题中正确的是( )A.若点M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,则MN∥BC'B.点C到平面ABC'D'的距离为C.直线BC与平面ABC'D'所成的角等于D.三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球的表面积为3π三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且bcos C+ccos B=asin A,则A= .14.已知数据x1,x2,x3,…,x m的平均数为10,方差为2,则数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,…,2x m-1的平均数为,方差为.15.已知|a|=3,|b|=2,(a+2b)·(a-3b)=-18,则a与b的夹角为.16.如图,在三棱锥V-ABC中,AB=2,VA=VB,AC=BC,VC=1,且AV⊥BV,AC⊥BC,则二面角V-AB-C的余弦值是.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知向量a=(1,2),b=(4,-3).(1)若向量c∥a,且|c|=2,求c的坐标;(2)若向量b+ka与b-ka互相垂直,求实数k的值.18.(12分)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且a=,c=1,A=.(1)求b及△ABC的面积S;(2)若D为BC边上一点,且,求∠ADB的正弦值.从①AD=1,②∠CAD=这两个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并解答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19.(12分)在四面体A-BCD中,E,F,M分别是AB,BC,CD的中点,且BD=AC=2,EM=1.(1)求证:EF∥平面ACD;(2)求异面直线AC与BD所成的角.20.(12分)溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视,为了普及安全教育,某市组织了一次学生安全知识竞赛,规定每队3人,每人回答一个问题,答对得1分,答错得0分.在竞赛中,甲、乙两个中学代表队狭路相逢,假设甲队每人回答问题正确的概率均为,乙队每人回答问题正确的概率分别为,,,且每人回答问题正确与否相互之间没有影响.(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率;(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.21.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,点D为线段AC的中点,点E 为线段PC上一点.(1)求证:平面BDE⊥平面PAC;(2)当PA∥平面BDE时,求三棱锥P-BDE的体积.22.(12分)2020年开始,山东推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用“3+3”模式,其中语文、数学、外语三科为必考科目,满分各150分,另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3),每科满分100分.2020年初受疫情影响,全国各地推迟开学,开展线上教学.为了了解高一学生的选科意向,某学校对学生所选科目进行检测,下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩,以20为组距分成7组:[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300],画出频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中a的值;(2)(i)求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数;(ii)估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)为了进一步了解选科情况,在物理、化学、生物三科总分成绩在[220,240)和[260,280)的两组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取7名学生,再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查,求抽取的这2名学生来自不同组的概率.答案全解全析1.B 复数z=(1-i)+m(1+i)=(m+1)+(m-1)i,因为z是纯虚数,所以解得m=-1.2.C 将6个数据按照从小到大的顺序排列为5,5,6,7,8,9,因为6×80%=4.8,所以第5个数据即为这组数据的第80百分位数,故选C.3.B 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面,因此B选项正确,易知A、C、D错误.4.B =-=+-(+)=+--=-+=-a+b.5.A 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,依题意有2πr=·2πl,所以l=2r,又圆锥的表面积为3π,所以πr2+πrl=3π,解得r=1,因此圆锥的高h==,于是体积V=πr2h=π×12×=π.6.C 这6位外国人分别记为a,A,B,C,D,E,其中a未关注此次大阅兵,A,B,CD,E关注了此次大阅兵, 则样本点有(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(a,E),(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D ,E),共15个,其中被采访者都关注了此次大阅兵的样本点有10个,故所求概率为=.故选C.7.D 取AB的中点E,连接DE,BD.设飞机飞行了15 min后到达F点,连接BF,如图所示,则BF即为所求.因为E为AB的中点,且AB=120 km,所以AE=EB=60 km,又∠DAE=60°,AD=60 km,所以三角形DAE为等边三角形,所以DE=60 km,∠ADE=60°,在等腰三角形EDB中,∠DEB=120°,所以∠EDB=∠EBD=30°,所以∠ADB=90°,所以BD2=AB2-AD2=1202-602=10 800,所以BD=60 km,因为∠CBE=90°+30°=120°,∠EBD=30°,所以∠CBD=90°,所以CD===240 km,所以cos∠BDC===,因为DF=360×=90 km,所以在三角形BDF中,BF2=BD2+DF2-2×BD×DF×cos∠BDF=(60)2+902-2×60×90×=10 800,所以BF=60 km,即此时飞机距离城市B的距离为60 km.8.D 取线段P i P j的中点Q k,因为2++=0,所以+=-2,即2=-2,所以=-,于是Q k,O,M共线,因为点M在坐标轴上,所以Q k也在坐标轴上,于是满足条件的(i,j)的情况有(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(2,3),(1,4),(5,8),(6,7),即满足条件的点M有8个.9.ABCD 由(1-i)z=2i得z==-1+i,于是|z|=,其共轭复数=-1-i,复数z在复平面内对应的点是(-1,1),位于第二象限.因为(-1+i)2+2(-1+i)+2=0,所以复数z是方程x2+2x+2=0的一个根,故选项A、B、C、D均正确.10.ABC 样本中女生人数为9+24+15+9+3=60,则男生人数为40,故A选项正确;样本中B层次人数为24+40×30%=36,并且B层次占女生和男生的比例均最大,故B层次人数最多,B选项正确;E层次中的男生人数为40×(1-10%-30%-25%-20%)=6,故C选项正确;D层次中,男生人数为40×20%=8,女生人数为9,故D选项错误.11.BD 由于B⊆A,所以A∪B=A,AB=B,于是P(A∪B)=P(A)=0.5,P(AB)=P(A∩B)=P(B)=0.2,故A选项错误;由于A与B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.2=0.7,AB为不可能事件,因此P(AB)=0,故B 选项正确;如果A与B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)=0.1,故C选项错误;P()=P()P()=0.5×0.8=0.4,P(A)=P(A)P()=0.5×0.8=0.4,故D选项正确.12.ACD 因为M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,所以MN∥AD',又因为AD'∥BC',所以MN∥BC',故A 选项正确;连接B'C,易证B'C⊥平面ABC'D',因此点C到平面ABC'D'的距离为B'C=,故B选项错误;直线BC与平面ABC'D'所成的角为∠CBC'=,故C选项正确;三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球即正方体的外接球,其半径R=,因此其表面积为4π×=3π,故D选项正确.13.答案90°解析由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即sin(B+C)=sin 2A,所以sin A=sin2A,易知sin A≠0,所以sin A=1,故A=90°.14.答案19;8解析依题意可得2x1-1,2x2-1,…,2x m-1的平均数为2×10-1=19,方差为22×2=8.15.答案解析设a,b的夹角为θ,依题意有|a|2-a·b-6|b|2=-18,所以32-3×2×cos θ-6×22=-18,解得cos θ=,由于θ∈[0,π],故θ=.16.答案解析取AB的中点D,连接VD,CD,由于VA=VB,AC=BC,所以VD⊥AB,CD⊥AB,于是∠VDC就是二面角V-AB-C的平面角.因为AV⊥BV,AC⊥BC,AB=2,所以VD=,DC=,又VC=1,所以cos∠VDC==.17.解析(1)解法一:因为向量c∥a,所以设c=λa,(1分)则c2=(λa)2,即(2)2=λ2a2,(2分)所以20=5λ2,解得λ=±2.(4分)所以c=2a=(2,4)或c=-2a=(-2,-4).(5分)解法二:设向量c=(x,y).(1分)因为c∥a,且a=(1,2),所以2x=y,(2分)因为|c|=2,所以=2,(3分)由解得或(4分)所以c=(2,4)或c=(-2,-4).(5分)(2)因为向量b+ka与b-ka互相垂直,所以(b+ka)·(b-ka)=0,(6分)即b2-k2a2=0.(7分)因为a=(1,2),b=(4,-3),所以a2=5,b2=25,(8分)所以25-5k2=0,解得k=±.(10分)18.解析(1)由余弦定理得,()2=b2+12-2bcos ,(2分)整理得b2+b-6=0,解得b=2或b=-3(舍去).(5分)所以△ABC的面积S=bcsin A=×2×1×=.(6分)(2)选择条件①.在△ABC中,由正弦定理=,得=,(8分)所以sin B=.(9分)因为AD=AB=1,所以∠ADB=∠B.(10分)所以sin∠ADB=sin B,所以sin∠ADB=.(12分)选择条件②.在△ABC中,由余弦定理的推论,得cos B==.(8分)因为A=,所以∠BAD=-=,(9分)所以sin∠ADB=cos B,即sin∠ADB=.(12分)19.解析(1)证明:因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC.(2分)因为EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,所以EF∥平面ACD.(4分)(2)易得EF∥AC,FM∥BD,(5分)所以∠EFM为异面直线AC与BD所成的角(或其补角).(7分)在△EFM中,EF=FM=EM=1,所以△EFM为等边三角形,(10分)所以∠EFM=60°,即异面直线AC与BD所成的角为60°.(12分)20.解析(1)记“甲队总得分为3分”为事件A,“甲队总得分为1分”为事件B.甲队得3分,即三人都答对,其概率P(A)=××=.(2分)甲队得1分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错,其概率P(B)=××+××+××=.(5分)所以甲队总得分为3分的概率为,甲队总得分为1分的概率为.(6分)(2)记“甲队总得分为2分”为事件C,“乙队总得分为1分”为事件D.甲队得2分,即三人中有两人答对,剩余一人答错,则P(C)=××+××+××=.(8分)乙队得1分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错,则P(D)=××+××+××=.(11分)由题意得,事件C与事件D相互独立.所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P(C)P(D)=×=.(12分)21.解析(1)证明:因为PA⊥底面ABC,且BD⊂底面ABC,所以PA⊥BD.(1分)因为AB=BC,且点D为线段AC的中点,所以BD⊥AC.(2分)又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.(3分)又BD⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.(4分)(2)因为PA∥平面BDE,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面BDE=ED,所以ED∥PA.(5分)因为点D为AC的中点,所以点E为PC的中点.(6分)解法一:由题意知P到平面BDE的距离与A到平面BDE的距离相等.(7分)所以V P-BDE=V A-BDE=V E-ABD=V E-ABC=V P-ABC=×××2×2×2=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)解法二:由题意知点P到平面BDE的距离与点A到平面BDE的距离相等.(7分)所以V P-BDE=V A-BDE.(8分)由题意得AC=2,AD=,BD=,DE=1,(9分)由(1)知,AD⊥BD,AD⊥DE,且BD∩DE=D,所以AD⊥平面BDE,(10分)所以V A-BDE=AD·S△BDE=×××1×=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)解法三:由题意得AC=2,AD=,BD=,DE=1,(8分)由(1)知,BD⊥平面PDE,且S△PDE=DE·AD=×1×=.(10分)所以V P-BDE=V B-PDE=BD·S△PDE=××=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)22.解析(1)由题图得,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+0.007 5+a+0.002 5)×20=1,(1分)解得a=0.005.(2分)(2)(i)因为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5)×20=0.7>0.5,所以三科总分成绩的中位数在[220,240)内,(3分)设中位数为x,则(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(x-220)=0.5,解得x=224,即中位数为224.(5分)(ii)三科总分成绩的平均数为170×0.04+190×0.19+210×0.22+230×0.25+250×0.15+270×0.1+290×0.05=225.6.(7分)(3)三科总分成绩在[220,240),[260,280)两组内的学生分别有25人,10人,故抽样比为=.(8分)所以从三科总分成绩为[220,240)和[260,280)的两组中抽取的学生人数分别为25×=5,10×=2.(9分)记事件A=“抽取的这2名学生来自不同组”.三科总分成绩在[220,240)内的5人分别记为a1,a2,a3,a4,a5,在[260,280)内的2人分别记为b1,b2.现在这7人中抽取2人,则试验的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4) ,(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2)},共21个样本点.(10分) 其中A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2)},共10个样本点.(11分)所以P(A)=,即抽取的这2名学生来自不同组的概率为.(12分)。

高中数学选择性必修二第4章数列综合测试新章节复习

13．
【分析】
设等差数列{an}的公差为，利用等比中项求出和的关系，代入求值即为该等比数列的公比．
【详解】
设等差数列{an}的公差为
则，即，解得
则该等比数列的公比为
故答案为：
14．1
【分析】
利用等差、等比的通项公式结合已知求出公差d、公比q，进而求 .
【详解】
若令公差、公比分别为，
11．若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积列”.若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2022积数列”，且a1>1，则当其前n项的乘积取最大值时，n的最大值为（）
A．1009B．1010C．1011D．2020
12．已知数列的前项和为，，且，满足，数列的前项和为，则下列说法中错误的是（）
人教A版选择性必修第二册第四章数列综合测试2
一、单选题
1．设数列满足，则（）
A．2B．4C．8D．16
2．在等差数列中，，则等于（）.
A．6B．12C．24D．32
3．等比数列中，，，则等于（）
A．16B．32C．64D．128
4．设数列的通项公式为，要使它的前项的乘积大于36，则的最小值为（）
【分析】
由等差数列的性质可得，结合分组求和法即可得解。
【详解】
因为，，
所以数列是以为首项，公差为3的等差
所以
.
故选：C.
10．D
【分析】
设该女子第尺布，前天工织布尺，则数列为等差数列，设其公差为，根据，可求得的值.
【详解】
设该女子第尺布，前天工织布尺，则数列为等差数列，设其公差为，

人教版A版(2019)高中数学必修第二册：第十章概率综合测试(附答案与解析)

5 B.某医院针对一种疾病的治愈率为 10%，前 9 个病人没有治愈，则第 10 个病人一定治愈 C.随机试验的频率与概率相等 D.天气预报中，预报某天降水概率为 90%，是指降水的可能性是 90% 3.给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个电话打给甲的概率是（） A. 1
6 B. 1
13.一个袋子中有 5 个红球，4 个绿球，8 个黑球，如果随机地摸出一个球，记事件 A = 摸出黑球，事件
B = 摸出绿球，事件 C = 摸出红球，则 P( A) = ________； P(B UC) = ________.（本题第一空 2 分，
第二空 3 分）
14.袋子中有四个小球，分别写有“和、平、世、界”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“和”“平” 两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生 0 到 3 之间取整数值的随机数，分别用 0，1，2，3 代表“和、平、世、界”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
第十章综合测试
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.从含有 10 件正品、2 件次品的 12 件产品中任意抽取 3 件，则必然事件是（） A.3 件都是正品 B.3 件都是次品 C.至少有 1 件次品 D.至少有 1 件正品 2.下列说法正确的是（） A.甲、乙两人比赛，甲胜的概率为 3 ，则比赛 5 场，甲胜 3 场
3 / 13
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
“第二次摸到白球”
C.袋中有 3 白、2 黑共 5 个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件 M “第一次摸到白球”，事件 N “第二次摸到黑球”

高中数学人教a版(2019)必修第二册《空间直线平面的垂直》测试卷

空间直线、平面的垂直同步题一．选择题（共15小题）1．三棱锥P﹣ABC的三个侧面两两垂直，则顶点P在底面ABC的射影为△ABC的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列条件中能推出m⊥n的是（）A．m⊥α，n∥β，α⊥βB．m⊥α，n⊥β，α∥βC．m⊂α，n⊥β，α∥βD．m⊂α，n∥β，α⊥β3．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为P A，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面P AD．其中正确的结论个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．已知在矩形ABCD中，AB＝2BC＝4，E为AB的中点，沿着DE将△ADE翻折到△PDE，使平面PDE ⊥平面EBCD，则PC的长为（）A．2B．2C．4D．65．在如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，E为棱CD的中点，则（）A．A1E⊥DD1B．A1E⊥DB C．A1E⊥D1C1D．A1E⊥DB17．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SB B．AD⊥SCC．平面SAC⊥平面SBD D．BD⊥SA8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为（）A．B．C．D．9．三棱锥V﹣ABC中，侧面VBC⊥底面ABC，∠ABC＝45°，VA＝VB，AC＝AB．则（）A．AC⊥BC B．VB⊥AC C．VA⊥BC D．VC⊥AB10．如图，P A垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（）A．BC⊥平面P AC B．AE⊥EF C．AC⊥PB D．平面AEF⊥平面PBC11．在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么必有（）A．平面ADC⊥平面BCD B．平面ABC⊥平面BCDC．平面ABD⊥平面ADC D．平面ABD⊥平面ABC12．在正四面体ABCD中，已知E，F分别是AB，CD上的点（不含端点），则（）A．不存在E，F，使得EF⊥CDB．存在E，使得DE⊥CDC．存在E，使得DE⊥平面ABCD．存在E，F，使得平面CDE⊥平面ABF13．已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有（）A．平面ABC⊥平面BCD B．平面BCD⊥平面ACDC．平面ABD⊥平面ACD D．平面BCD⊥平面ABD14．如图1，已知P ABC是直角梯形，AB∥PC，AB⊥BC，D在线段PC上，AD⊥PC．将△P AD沿AD折起，使平面P AD⊥平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N，如图2．对于图2，下列选项错误的是（）A．平面P AB⊥平面PBC B．BC⊥平面PDCC．PD⊥AC D．PB＝2AN15．四面体ABCD中，AB＝CD＝3，其余棱长均为4，E、F分别为AB、CD上的点（不含端点），则（）A．不存在E，使得EF⊥CDB．存在E，使得DE⊥CDC．存在E，使得DE⊥平面ABCD．存在E，F，使得平面CDE⊥平面ABF二．填空题（共10小题）16．平行四边形ABCD中，AB＞AD，将三角形ABD沿着BD翻折至三角形A'BD，则下列直线中有可能与直线A'B垂直的是（填所有符合条件的序号）．①直线BC；②直线CD；③直线BD；④直线A'C．17．如图，平面ABC⊥平面α，平面ABC∩平面α＝AB，∠ACB＝，AC＝1，AB＝2，D为线段AB的中点．现将△ACD绕CD旋转至△A′CD，设直线A′C∩平面α＝P，则在旋转过程中，下列说法正确的是（1）三棱锥A′﹣BCD的体积有最大值；（2）点P的轨迹为椭圆；（3）直线CB与平面CDP所成角的最大值为30°；（4）若二面角P﹣CD﹣B的平面角为α，则∠PDB≥α．18．在四棱锥S﹣ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，P，Q别是线段BS，AD的中点，点R在线段SD上．若AS＝4，AD＝2，AR⊥PQ，则AR＝．19．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在鳖臑P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP＝AC＝1，过点A分别作AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，连结EF，当△AEF的面积最大时，tan∠BPC＝．20．如图所示的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为AA1D1上一点，且A1N＝λA1D1．若BD⊥AN，则λ的值为；若M为棱DD1的中点，BM∥平面AB1N，则λ的值为．21．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α：③m⊂α；④α∥β；⑤α⊥β．当满足条件时，m⊥β．22．已知四边长均为2的空间四边形ABCD的顶点都在同一个球面上，若∠BAD＝，平面ABD⊥平面CBD，则该球的体积为．23．在三棱锥P﹣ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，PB＝PC＝4，平面PBC⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为．24．已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝4，△P AD为等边三角形且平面P AD⊥平面ABCD，则球O的表面积为．25．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，侧面P AD是等边三角形，且平面P AD⊥平面ABCD，E为棱PC上一点，若平面EBD⊥平面ABCD，则＝．三．解答题（共5小题）26．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知P A⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD ＝，AD＝2，AB＝BC＝1．（1）当四棱锥P﹣ABCD的体积为1时，求异面直线AC与PD所成角的大小；（2）求证：CD⊥平面P AC．27．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，并且BC＝2AD＝2AB，点P在平面ABCD内的投影恰为BD的中点M．（Ⅰ）证明：CD⊥平面PBD；（Ⅱ）若PM＝AD，求直线P A与CD所成角的余弦值．28．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD．29．如图，在矩形ABCD中，将△ACD沿对角线AC折起，使点D到达点E的位置，且AE⊥BE．（1）求证：平面ABE⊥平面ABC；（2）若BC＝3，三棱锥B﹣AEC的体积为，求点E到平面ABC的距离．30．如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，AB＝BC＝BD＝2，AD＝2，∠CBA＝∠CBD＝，点E，F分别为AD，BD的中点．（Ⅰ）求证：平面ACD⊥平面BCE；（Ⅱ）求四面体CDEF的体积．人教A版（2019）必修第二册《8.6 空间直线、平面的垂直》2022年最热同步卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．三棱锥P﹣ABC的三个侧面两两垂直，则顶点P在底面ABC的射影为△ABC的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心【分析】三个侧面两两垂直，可得三条侧棱两两垂直，根据线面垂直、线线垂直的转化，可得结论．【解答】解：由三棱锥P﹣ABC的三个侧面两两垂直，可得三条侧棱两两垂直，由P A⊥PB，P A⊥PC，PB、PC⊂平面PBC，PB∩PC＝P，∴P A⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC．∴P A⊥BC．设点P在底面ABC的射影是O，则PO⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴PO⊥BC．又P A、PO为平面P AO内两条相交直线，∴BC⊥平面P AO，AO在平面P AO内，则BC⊥OA；同理可证AB⊥OC，AC⊥OB，故O为△ABC的垂心．故选：D．【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的性质，线面垂直、线线垂直的判定，以及棱锥的结构特征，属于中档题．2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列条件中能推出m⊥n的是（）A．m⊥α，n∥β，α⊥βB．m⊥α，n⊥β，α∥βC．m⊂α，n⊥β，α∥βD．m⊂α，n∥β，α⊥β【分析】根据空间中线面平行或垂直的判定定理与性质定理逐一判断每个选项即可．【解答】解：对于A，m⊥α，n∥β，α⊥β，可得m与n平行，无法得出m⊥n，因此错误；对于B，m⊥α，n⊥β，α∥β，可得m∥n，因此无法得出m⊥n，因此错误；对于C，m⊂α，n⊥β，α∥β，可得n⊥α，由线面垂直的性质定理可知，可得m⊥n，因此正确；对于D，m⊂α，n∥β，α⊥β，可得m与n相交或为异面直线，无法得出m⊥n，因此错误；故选：C．【点评】本题考查了空间中线面的位置关系，熟练运用线面平行或垂直的判定定理、性质定理是解题关键，考查了学生的空间立体感和论证推理能力，属于基础题．3．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为P A，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面P AD．其中正确的结论个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】几何体的展开图，复原出几何体，利用异面直线的定义判断①，②的正误；利用直线与平面平行的判定定理判断③的正误；利用直线与平面垂直的判定定理判断④的正误；【解答】解：画出几何体的图形，如图，由题意可知，①直线BE与直线CF异面，不正确，因为E，F是P A与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；②直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．③直线EF∥平面PBC；由E，F是P A与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以判断是正确的．④因为△P AB与底面ABCD的关系不是垂直关系，BC与平面P AB的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面P AD，不正确．故选：C．【点评】本题是基础题，考查空间图形中直线与直线、平面的位置关系，考查异面直线的判断，基本知识与定理的灵活运用．4．已知在矩形ABCD中，AB＝2BC＝4，E为AB的中点，沿着DE将△ADE翻折到△PDE，使平面PDE ⊥平面EBCD，则PC的长为（）A．2B．2C．4D．6【分析】取DE的中点M，连接PM，易知PM⊥DE，由面面垂直的性质可得PM⊥平面BCDE，可得PM ⊥MC，求得PM的长和CM的长，由勾股定理可得PC的长．【解答】解：（1）如图所示，取DE的中点M，连接PM，MC，由题意知，PD＝PE，∴PM⊥DE，又平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE＝DE，PM⊂平面PDE，∴PM⊥平面BCDE，即有PM⊥MC，在等腰Rt△PDE中，PE＝PD＝AD＝2，∴PM＝DE＝，在三角形CDM中，可得CM2＝DM2+CD2﹣2CD•MD•cos∠CDM＝（）2+42﹣2××4×＝10，则PC＝＝＝2，故选：A．【点评】本题考查空间中线与面的垂直关系，熟练运用空间中线面、面面垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．5．在如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】对四个图，分别运用异面直线所成角的定义和线面垂直的性质定理和判定定理，即可得到结论．【解答】解：对于①，由AD∥CE，且AB与CE成45°的角，不垂直，则直线AB与平面CDE不垂直；对于②，由于AB⊥DE，AB⊥CE，由线面垂直的判定定理可得AB⊥平面CDE；对于③，AB与CE成60°的角，不垂直，则直线AB与平面CDE不垂直；对于④，连接BF，由正方形的性质可得DE⊥BF，而AF⊥平面EFDB，可得AF⊥DE，则DE⊥平面ABF，即有DE⊥AB，同理可得AB⊥CE，所以AB⊥平面CDE．综上，②④满足题意．故选：B．【点评】本题考查空间线线、线面的位置关系，主要是线面垂直的判定，考查逻辑推理能力，属于基础题．6．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，E为棱CD的中点，则（）A．A1E⊥DD1B．A1E⊥DB C．A1E⊥D1C1D．A1E⊥DB1【分析】连结AE，BD，则＝＝，△ABD∽△DAE，从而∠DAE＝∠ABD，进而AE⊥BD，BD ⊥平面A1AE，由此得到A1E⊥DB．【解答】解：连结AE，BD，因为AB＝，所以＝＝，所以△ABD∽△DAE，所以∠DAE＝∠ABD，所以∠EAB+∠ABD＝90°，即AE⊥BD，所以BD⊥平面A1AE，所以A1E⊥DB．故选：B．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SB B．AD⊥SCC．平面SAC⊥平面SBD D．BD⊥SA【分析】在A中，推导出AC⊥SD，AC⊥BD，从而AC⊥平面SBD，由此得到AC⊥SB；在B中，推导出AD⊥CD，AD⊥SD，从而AD⊥平面SDC，由此得到AD⊥SC；在C中，推导出AC⊥平面SBD，从而平面SAC⊥平面SBD；在D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法摔倒导出BD与SA不垂直，【解答】解：由四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，知：在A中，∵SD⊥底面ABCD，∴AC⊥SD，∵四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，∴AC⊥BD，∵SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SBD，∵SB⊂平面SBD，∴AC⊥SB，故A正确；在B中，∵四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，∴AD⊥CD，AD⊥SD，∵SD∩CD＝D，∴AD⊥平面SDC，∵SC⊂平面SCD，∴AD⊥SC，故B正确；在C中，∵SD⊥底面ABCD，∴AC⊥SD，∵四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，∴AC⊥BD，∵SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SBD，∵AC⊂平面SAC，∴平面SAC⊥平面SBD，故C正确；在D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝a，DS＝b，则D（0，0，0），B（a，a，0），A（a，0，0），S（0，0，b），＝（a，a，0），＝（a，0，﹣b），∵＝a2≠0，∴BD与SA不垂直，故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，由直线与平面垂直的判定可得P的轨迹，求出P到棱C1D1的最大值，代入三角形面积公式求解．【解答】解：如图，由正方体性质知，当P位于C点时，D1O⊥OC，当P位于BB1的中点P1时，由已知得，DD1＝2，DO＝BO＝，BP 1＝B1P1＝1，，求得，OP 1＝，．∴，得OD1⊥OP1．又OP1∩OC＝O，∴D1O⊥平面OP1C，得到P的轨迹在线段P1C上．由C1P1＝CP1＝，可知∠C1CP1为锐角，而CC1＝2，知P到棱C1D1的最大值为．则△D1C1P面积的最大值为．故选：C．【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．三棱锥V﹣ABC中，侧面VBC⊥底面ABC，∠ABC＝45°，VA＝VB，AC＝AB．则（）A．AC⊥BC B．VB⊥AC C．VA⊥BC D．VC⊥AB【分析】由题易知，△ABC为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠ABC＝45°，即选项A错误；过点V作VO⊥BC于O，连接OA，由面面垂直的性质定理可证得VO⊥平面ABC，即V在底面ABC上的投影为点O，从而得VO⊥BC；由VA＝VB和VO⊥平面ABC可推出OA＝OB，∠OAB＝∠OBA＝45°，即OA⊥BC，结合线面垂直的判定定理得BC⊥平面VOA，从而得VA⊥BC，即选项C正确；由三垂线定理可知选项B和D均错误．【解答】解：∵∠ABC＝45°，AC＝AB，∴△ABC为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AC与BC不垂直，即选项A错误；过点V作VO⊥BC于O，连接OA，∵侧面VBC⊥底面ABC，面VBC∩面ABC＝BC，∴VO⊥面ABC，即V在底面ABC上的投影为点O，∵BC⊂面ABC，∴VO⊥BC．∵VA＝VB，∴OA＝OB，∠OAB＝∠OBA＝45°，∴OA⊥BC，∵VO、OA⊂面VOA，VO∩OA＝O，∴BC⊥面VOA，∵VA⊂面VOA，∴VA⊥BC，即选项C正确；由三垂线定理知，若VB⊥AC，VC⊥AB，则BC⊥AC，BC⊥AB，这与∠ACB＝∠ABC＝45°相矛盾，即选项B和D均错误．故选：C．【点评】本题考查空间中线面的位置关系，熟练运用线面垂直的判定定理与性质定理，以及理解三垂线定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和逻辑推理能力，属于中档题．10．如图，P A垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（）A．BC⊥平面P AC B．AE⊥EFC．AC⊥PB D．平面AEF⊥平面PBC【分析】在A中，推导出BC⊥AC，P A⊥BC，从而BC⊥平面P AC，可得正确；在B中，由BC⊥平面P AC，可证BC⊥AE，又AE⊥PC，可证AE⊥平面PBC，即可证明AE⊥EF，可得正确；在C中，由AC⊥BC，得若AC⊥PB，则AC⊥平面PBC，与AC⊥P A矛盾，可得错误；在D中，由AE⊥平面PBC，AE⊂面AEF，即可证明平面AEF⊥平面PBC，可得正确．【解答】解：在A中，∵C为圆上异于A，B的任意一点，∴BC⊥AC，∵P A⊥BC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC，故A正确；在B中，∵BC⊥平面P AC，AE⊂平面P AC，∴BC⊥AE，∵AE⊥PC，PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC，∵EF⊂平面PBC，∴AE⊥EF，故B正确；在C中∴若AC⊥PB，则AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，与AC⊥P A矛盾，故AC与PB不垂直，故C错误；在D中，∵AE⊥平面PBC，AE⊂面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC，故D正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．11．在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么必有（）A．平面ADC⊥平面BCD B．平面ABC⊥平面BCDC．平面ABD⊥平面ADC D．平面ABD⊥平面ABC【分析】运用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，结合条件和三角形的性质，可得结论．【解答】解：在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，且BC∩BD＝B，可得AD⊥平面BCD，由AD⊂平面ABD，可得平面ABD⊥平面BCD，由AD⊂平面ACD，可得平面ACD⊥平面BCD，故A正确；若平面ABC⊥平面BCD，又平面ACD⊥平面BCD，AC＝平面ABC∩平面ACD，可得AC⊥平面BCD，AC⊥CD，与AD⊥CD矛盾，故B错误；若平面ACD⊥平面ABD，又平面ABD⊥平面BCD，可得CD⊥平面ABD，CD⊥BD，不一定成立，故C 错误；若平面ABD⊥平面ABC，又平面ABD⊥平面BCD，可得BC⊥平面ABD，则BC⊥BD，不一定成立，故D错误．故选：A．【点评】本题考查空间面面的位置关系，考查转化思想和推理能力，属于中档题．12．在正四面体ABCD中，已知E，F分别是AB，CD上的点（不含端点），则（）A．不存在E，F，使得EF⊥CDB．存在E，使得DE⊥CDC．存在E，使得DE⊥平面ABCD．存在E，F，使得平面CDE⊥平面ABF【分析】对于A，D两项：当E，F分别是AB，CD的中点时，易证EF⊥CD，且平面CDE⊥平面ABF．对于B：可利用E在AB上移动时，∠CDE的范围判断．对于C：可将D看成三棱锥的顶点，则过D做底面的垂线只有一条，即高线，从而否定C．【解答】解：（1）对于A，D选项，取E，F分别为AB，CD的中点如图：因为A﹣BCD是正四面体，所以它的各个面是全等的等边三角形．所以CE＝DE，所以EF⊥CD，同理可证EF⊥AB．故A错误；又因为AB⊥CE，AB⊥DE，且CE∩DE＝E，故AB⊥平面CED，又AB⊂平面ABF，所以平面ABF⊥平面CED．故D正确．（2）对于B选项，将C看成正三棱锥的顶点，易知当E在AB上移动时，∠CDE的最小值为直线CD 与平面ABD所成的角，即（1）中的∠CDE，显然为锐角，最大角为∠CDB＝∠CDA＝60°，故当E在AB上移动时，不存在E，使得DE⊥CD．故B错误．（3）对于C选项，将D看成顶点，则由D向底面作垂线，垂足为底面正三角形ABC的中心，不落在AB上，又因为过空间中一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故不存在E，使得DE⊥平面ABC，故C错误．故选：D．【点评】本题考查了空间线线垂直、线面垂直以及面面垂直之间的相互转化．同时也考查了正四面体的性质，以及学生的空间想象能力以及逻辑推理能力．属于中档题．13．已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有（）A．平面ABC⊥平面BCD B．平面BCD⊥平面ACDC．平面ABD⊥平面ACD D．平面BCD⊥平面ABD【分析】画出图形，结合直线与平面垂直的判断定理，转化证明平面与平面垂直，推出结果即可．【解答】解：因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，又AD垂直圆柱的底面，所以AD⊥BC，因为AC∩AD＝A，所以BC⊥平面ACD，因为BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD．故选：B．【点评】本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，几何体的结构特征的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．14．如图1，已知P ABC是直角梯形，AB∥PC，AB⊥BC，D在线段PC上，AD⊥PC．将△P AD沿AD折起，使平面P AD⊥平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N，如图2．对于图2，下列选项错误的是（）A．平面P AB⊥平面PBC B．BC⊥平面PDCC．PD⊥AC D．PB＝2AN【分析】由已知利用平面与平面垂直的性质得到PD⊥平面ABCD，判定C正确；进一步得到平面PCD ⊥平面ABCD，结合BC⊥CD判定B正确；再证明AB⊥平面P AD，得到△P AB为直角三角形，判定D 正确；由错误的选项存在可知A错误．【解答】解：如图，图1中AD⊥PC，则图2中PD⊥AD，又∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴PD⊥平面ABCD，则PD⊥AC，故选项C正确；由PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PDC，得平面PDC⊥平面ABCD，而平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PDC，故选项B正确；∵AB⊥AD，平面P AD⊥平面ABCD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴AB⊥平面P AD，则AB⊥P A，即△P AB是以PB为斜边的直角三角形，而N为PB的中点，则PB＝2AN，故选项D正确．因此错误的只能是A．故选：A．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．15．四面体ABCD中，AB＝CD＝3，其余棱长均为4，E、F分别为AB、CD上的点（不含端点），则（）A．不存在E，使得EF⊥CDB．存在E，使得DE⊥CDC．存在E，使得DE⊥平面ABCD．存在E，F，使得平面CDE⊥平面ABF【分析】若E，F分别为AB，CD的中点，由三角形的全等和等腰三角形的性质可判断A；由线面垂直的判定和性质，可判断B；由线面垂直的性质和勾股定理的逆定理可判断C；由线面垂直的判定和面面垂直的判定定理，可判断D．【解答】解：若E，F分别为AB，CD的中点，由△ABC和△ABD全等，可得CE＝DE，则EF⊥CD，故A错误；由等腰三角形的性质可得AB⊥DE，AB⊥CE，则AB⊥平面CDE，可得CD⊥AB，又若CD⊥DE，则CD⊥平面ABD，即CD⊥BD，不成立，故B错误；若DE⊥平面ABC，则DE⊥AB，可得E为AB的中点，且DE⊥CE，而△CDE中，CD＝3，CE＝DE＝＝，不满足CE2+DE2＝CD2，故C错误；当E为AB的中点时，由等腰三角形的性质可得AB⊥DE，AB⊥CE，则AB⊥平面CDE，而AB⊂平面ABF，可得平面CDE⊥平面ABF，故D正确．故选：D．【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是垂直的判定和性质，考查运算能力和推理能力，属于基础题．二．填空题（共10小题）16．平行四边形ABCD中，AB＞AD，将三角形ABD沿着BD翻折至三角形A'BD，则下列直线中有可能与直线A'B垂直的是①②（填所有符合条件的序号）．①直线BC；②直线CD；③直线BD；④直线A'C．【分析】若BC⊥BD，则可能垂直，可判断①；若∠ABD＞45°，∠A′BA为超过90°，故存在∠A′BA＝90°，可判断②，∠A′BD，∠BA′C始终为锐角可判断③④．【解答】解：对于①，若BC⊥BD，当平面ABD⊥平面BCD时，BC⊥平面A′BD，则此时BC⊥A'B，故①成立；对于②若∠ABD＞45°，则在翻折的过程中，∠A′BA为超过90°，故存在∠A′BA＝90°，∵AB∥CD，∴CD⊥A'B，故②成立；对于③，在△ABD中，∵AB＞AD，∴∠ABD为锐角，即∠A′BD为锐角，故直线BD不可能和直线A'B垂直，故③不成立；对于④，∵AB＞AD，∴△A′BC中，A′B＞BC，∴∠BA′C始终为锐角，故直线A′C不可能和直线A'B垂直，故④不成立．故答案为：①②．【点评】本题考查了线线垂直的判断，解题的关键是找到特殊情况，以及根据∠A′BD，∠BA′C始终为锐角进行判断，属于中档题．17．如图，平面ABC⊥平面α，平面ABC∩平面α＝AB，∠ACB＝，AC＝1，AB＝2，D为线段AB的中点．现将△ACD绕CD旋转至△A′CD，设直线A′C∩平面α＝P，则在旋转过程中，下列说法正确的是（1）（2）（3）（1）三棱锥A′﹣BCD的体积有最大值；（2）点P的轨迹为椭圆；（3）直线CB与平面CDP所成角的最大值为30°；（4）若二面角P﹣CD﹣B的平面角为α，则∠PDB≥α．【分析】当△A′DC所在平面与平面ABC垂直时，A′到平面BCD的距离最大，故A正确；由椭圆定义判断（2）正确；由线面角的定义及∠BCD＝30°判断（3）正确；由角在平面上的射影与已知角的大小关系判断（4）错误．【解答】解：由题意，△BDC的面积为定值，△ADC是边长为1的正三角形，在旋转过程中，△A′DC形状不变，当△A′DC所在平面与平面ABC垂直时，三棱锥A′﹣BCD的体积有最大值，故（1）正确；在旋转过程中，射线CA′可看作是以CD为旋转轴的圆锥的母线，平面α是所得圆锥的斜截面，则P点的轨迹为椭圆，故（2）正确；CB是平面CPD的一条斜线，当CB在平面CPD上的射影与CD重合时，直线CB与平面CDP所成角的最大值为∠BCD＝30°，故（3）正确；当△ACD旋转时，首先是∠PDB＞α，当旋转到满足∠CDP为钝角时，一定有∠PDB＜α，故（4）错误．∴正确的结论是（1）（2）（3）．故答案为：（1）（2）（3）．【点评】本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18．在四棱锥S﹣ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，P，Q别是线段BS，AD的中点，点R在线段SD上．若AS＝4，AD＝2，AR⊥PQ，则AR＝．【分析】取SA的中点E，连接PE，QE．由已知证明PE⊥AR，结合已知AR⊥PQ，可得AR⊥平面PEQ，得到AR⊥EQ，进一步得到AR⊥SD，在直角三角形SAD中，由等面积法求解AR．【解答】解：取SA的中点E，连接PE，QE．∵SA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴SA⊥AB，而AB⊥AD，AD∩SA＝A，∴AB⊥平面SAD，故PE⊥平面SAD，又AR⊂平面SAD，∴PE⊥AR．又∵AR⊥PQ，PE∩PQ＝P，∴AR⊥平面PEQ，∵EQ⊂平面PEQ，∴AR⊥EQ．∵E，Q分别为SA，AD的中点，∴EQ∥SD，则AR⊥SD，在直角三角形ASD中，AS＝4，AD＝2，可求得．由等面积法可得．故答案为：．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，考查运算能力，是中档题．19．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在鳖臑P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP＝AC＝1，过点A分别作AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，连结EF，当△AEF的面积最大时，tan∠BPC＝．【分析】由已知可证AE⊥平面PBC，PC⊥平面AEF，可得△AEF、△PEF均为直角三角形，由已知得AF＝，从而S△AEF＝AE•EF≤（AE2+EF2）＝（AF）2＝，当且仅当AE＝EF时，取“＝”，解得当AE＝EF＝时，△AEF的面积最大，即可求得tan∠BPC的值【解答】解：显然BC⊥平面P AB，则BC⊥AE，又PB⊥AE，则AE⊥平面PBC，于是AE⊥EF，且AE⊥PC，结合条件AF⊥PC得PC⊥平面AEF，所以△AEF、△PEF均为直角三角形，由已知得AF＝，而S△AEF＝AE•EF≤（AE2+EF2）＝（AF）2＝，当且仅当AE＝EF时，取“＝”，所以，当AE＝EF＝时，△AEF的面积最大，此时tan∠BPC＝＝＝，【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，不等式的解法及应用，同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，属于中档题20．如图所示的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为AA1D1上一点，且A1N＝λA1D1．若BD⊥AN，则λ的值为；若M为棱DD1的中点，BM∥平面AB1N，则λ的值为．【分析】①⊥，不妨取AB＝AA1＝AD＝1，利用•＝（﹣）•（+λ）＝•+λ﹣•﹣λ•＝0，即可得出λ．②连接A1B，与AB1交于点E．连接A1M，交AN于点F，连接EF．BM∥平面AB1N，可得BM∥EF．根据E点为A1B的中点，可得F点为A1M的中点．延长AN交线段DD1的延长线于点P．利用平行线的性质即可得出．【解答】解：①⊥，不妨取AB＝AA1＝AD＝1，∴•＝（﹣）•（+λ）＝•+λ﹣•﹣λ•＝cos60°+λ﹣cos30°﹣λcos60°＝﹣+λ＝0．∴λ＝．②连接A1B，与AB1交于点E．连接A1M，交AN于点F，连接EF．∵BM∥平面AB1N，∴BM∥EF．∵E点为A1B的中点，∴F点为A1M的中点．延长AN交线段DD1的延长线于点P．∵AA1∥DD1，A1F＝FM．∴AA1＝MP＝2D1P．∴＝＝2，∴＝．则λ＝．故答案为：﹣1，．【点评】本题考查了向量三角形法则、数量积运算性质、平行线的性质、线面平行的性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α：③m⊂α；④α∥β；⑤α⊥β．当满足条件②④时，m⊥β．【分析】由于当一条直线垂直于两个平行平面中的一个时，此直线也垂直于另一个平面，结合所给的选项可得m⊥β时，应满足的条件．【解答】解：由于当一条直线垂直于两个平行平面中的一个时，此直线也垂直于另一个平面，结合所给的选项，故由②④可推出m⊥β．即②④是m⊥β的充分条件，故当m⊥β时，应满足的条件是②④，故答案是：②④．【点评】本题主要考查直线和平面之间的位置关系，直线和平面垂直的判定方法，属于中档题．22．已知四边长均为2的空间四边形ABCD的顶点都在同一个球面上，若∠BAD＝，平面ABD⊥平面CBD，则该球的体积为．【分析】根据题意画出图形，结合图形得出△ABD与△BCD均为等边三角形，求出四面体ABCD外接球的半径，再计算外接球的体积．【解答】解：如图所示，设E是△ABD的外心，F是△BCD的外心，过E，F分别作平面ABD与平面BCD的垂线OE、OF，相交于O；由空间四边形ABCD的边长为2，∠BAD＝，所以△ABD与△BCD均为等边三角形；又平面ABD⊥平面CBD，所以O为四面体ABCD外接球的球心；又AE＝＝2，OE＝1，所以外接球的半径为R＝＝；所以外接球的体积为V＝＝×＝．故答案为：．【点评】本题考查了多面体外接球体积的计算问题，也考查了数形结合的解题方法，是中档题．23．在三棱锥P﹣ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，PB＝PC＝4，平面PBC⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为80π．【分析】设△ABC的外接圆的圆心为O1，连接O1C，O1A，BC∩O1A＝H，连接PH．推导出AH⊥BC，PH⊥平面ABC，设O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，连接OO1，OP，OC，过O作OD⊥PH，垂足为D，外接球半径R满足，由此能求出三棱锥P﹣ABC外接球的表面积．【解答】解：如图，设△ABC的外接圆的圆心为O1连接O1C，O1A，BC∩O1A＝H，连接PH．由题意可得AH⊥BC，且，．因为平面PBC⊥平面ABC，且PB＝PC，所以PH⊥平面ABC，且．设O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，连接OO1，OP，OC，过O作OD⊥PH，垂足为D，则外接球的半径R满足，即，解得OO1＝2，从而R2＝20，故三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为4πR2＝80π．故答案为：80π．【点评】本题考查三棱锥外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．24．已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝4，△P AD为等边三角形且平面P AD⊥平面ABCD，则球O的表面积为π．【分析】通过平面垂直，结合空间几何体的位置关系，判断外接球的球心求值，求出外接球的半径即可推出结果．【解答】解：由题意可知，几何体的图形，如图：△P AD为等边三角形，F为AD的中点，底面ABCD是等腰梯形，侧面P AD是正三角形与底面ABCD垂直，所以四棱锥的外接球的球心是O，在底面ABCD的外心E的垂直直线与侧面P AD的外心G的垂直直线的交点，因为AD∥BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝4，△P AD为等边三角形且平面P AD⊥平面ABCD，所以E是底面ABCD的外心，半径为2，OE＝GF，G是正三角形的外心，OE＝，EA＝2，所以外接球的半径为R＝＝，则球O的表面积为：4π×＝．故答案为：．。

高中数学新人教A版必修2综合测试卷(答案)

高中数学必修二综合测试卷一、选择题：（共10小题，每小题5分）1. 在空间直角坐标系中，点(2,1,4)-关于x 轴的对称点的坐标为（C ） A ．(2,1,4)-- B ．(2,1,4)- C ．(2,1,4)--- D ．(2,1,4)-2. 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（ B ） A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π 3．ABC ∆的斜二侧直观图如图所示，则ABC ∆的面积为（ B ） A 、1 B 、2 C 、22D 、24. 过点P(－2,4)作圆(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线l 1 ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l 1与l 间的距离是( B) A.285B.125C.85D.255. 已知点（3，1）和（- 4，6）在直线023=+-a y x 的两侧，则a 的取值范围是（ C ） A. a <-7或a >24 B. a =7或a =24 C. -7<a <24 D. -24<a <76. 直线320x y +-=截圆224x y +=得到的弦长为（ B ） A ．1 B ． 23 C ． 22 D ． 27. 关于空间两条直线a 、b 和平面α，下列命题正确的是（ D ） A ．若//a b ，b α⊂，则//a α B ．若//a α，b α⊂，则//a b C ．若//a α，//b α，则//a b D ．若a α⊥，b α⊥，则//a b 8. 下列四个命题中错误．．的．是（C ） A ．若直线a 、b 互相平行，则直线a 、b 确定一个平面 B ．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C ．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D ．两条异面直线不可能垂直于同一个平面9.对于任意实数a ，点(),2P a a -与圆22:1C x y +=的位置关系的所有可能是（ B ）A 、都在圆内B 、都在圆外C 、在圆上、圆外D 、在圆上、圆内、圆外Oxy 12()C AB10．如右图，定圆半径为a ，圆心为(,)b c ，则直线0ax by c ++= 与直线10x y +-=的交点在（ D ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题：（共5小题，每小题5分）11. 圆2220x y x +-=和圆2240x y y ++=的位置关系是___相交_____.12. 已知直线a 和两个不同的平面α、β，且a α⊥，a β⊥，则α、β的位置关系是_平行____.13. 如图,在三棱锥ABC P -中,PA ⊥底面ABC ,∠ACB = 90,AE ⊥PB 于E ,AF ⊥PC 于F ,若2==AB PA ,∠BPC =θ,则当AEF ∆的面积最大时,θtan 的值为___22___. 14. 将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，在折起后形成的三棱锥D ABC -中，给出下列三个命题：①面DBC 是等边三角形； ②AC BD ⊥； ③三棱锥D ABC -的体积是26. 其中正确命题的序号是_①②________.（写出所有正确命题的序号）15. 已知a 、b 、c 为某一直角三角形的三边长，c 为斜边，若点P(m ，n)在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，则m 2＋n 2的最小值为__4___．三、解答题：（共6小题）16.（本小题满分12分）已知一个几何体的三视图如图所示。

高中数学第十章概率章末综合测评(含解析)新人教A版必修第二册-新人教A版高一必修第二册数学试题

章末综合测评(五) 概率(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A ．134石B ．169石C ．338石D ．1 365石B [因为样品中米内夹谷的比例为28254，所以这批米内夹谷为1 534×28254≈169(石)．]2．在5X 卡中，有3X 移动卡和2X 联通卡，从中任取2X ，若事件“2X 全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )A ．至多有一X 移动卡B ．恰有一X 移动卡C ．都不是移动卡D ．至少有一X 移动卡A [至多有一X 移动卡包含“一X 移动卡，一X 联通卡”“两X 全是联通卡”两个事件，它是“2X 全是移动卡”的对立事件，故选A ．]3．抛掷一颗质地均匀的骰子，观察掷出的点数，设事件A 为“出现奇数点”，事件B 为“出现2点”，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则“出现奇数点或2点”的概率为( )A ．16B ．13C ．12D ．23D [∵“出现奇数点”与“出现2点”两事件互斥，∴P ＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝23.]4．2019年暑假里，甲乙两人一起去游泰山，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后1小时他们同在一个景点的概率是( )A ．136B ．19C ．536D ．16D [最后一个景点甲有6种选法，乙有6种选法，共有36种，他们选择相同的景点有6种，所以P ＝636＝16，所以选D ．]5．某箱内有十X 标有数字0到9的卡片，从中任取一X ，则取到卡片上的数字不小于6的概率是( )A ．13B ．35C ．25D ．14C [数字不小于6有6,7,8,9共4个样本点，而试验空间中样本点的总数为10，故P ＝410＝25.]6．两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为( ) A ．12 B ．14 C ．13 D ．16B [两名同学分3本不同的书，试验的样本空间为Ω＝{(0,3)，(1a,2)，(1b,2)，(1c,2)，(2,1a )，(2,1b )，(2,1c )，(3,0)}，共8个样本点，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的样本点有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率P ＝28＝14.]7．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为( )A ．1180B ．1288C ．1360D ．1480C [当“时”的两位数字的和小于9时，则“分”的那两位数字和要求超过14，这是不可能的．所以只有“时”的和为9(即“09”或“18”)，“分”的和为14(“59”)；或者“时”的和为10(即“19”)，“分”的和为13(“49”或“58”)．共计有4种情况．因一天24小时共有24×60分钟，所以概率P ＝424×60＝1360.故选C ．] 8．端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙、丙回老家过节的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( )A ．5960B ．35C ．12D ．160B [“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，所以P (A )＝23，P (B )＝34，P (C )＝45.由题知A ，B ，C 为相互独立事件，所以三人都不回老家过节的概率P (A －B －C －)＝P (A )P (B )·P (C )＝23×34×45＝25，所以至少有一人回老家过节的概率P ＝1－25＝35.]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列各对事件中，M ，N 是相互独立事件的有( )A ．掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M ＝“出现的点数为奇数”，事件N ＝“出现的点数为偶数”B ．袋中有5个白球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M ＝“第1次摸到白球”，事件N ＝“第2次摸到白球”C ．分别抛掷2枚相同的硬币，事件M ＝“第1枚为正面”，事件N ＝“两枚结果相同”D ．一枚硬币掷两次，事件M ＝“第一次为正面”，事件N ＝“第二次为反面” CD [在A 中，M ，N 是互斥事件，不相互独立；在B 中，M ，N 不是相互独立事件；在C 中，P (M )＝12，P (N )＝12，P (MN )＝14，P (MN )＝P (M )P (N )，因此M ，N 是相互独立事件；在D中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M ，N 是相互独立事件．故选CD ．]10．某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．根据表中数据，下列结论正确的是( ) A ．顾客购买乙商品的概率最大 B ．顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2C ．顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率约为0.3D ．顾客仅购买1种商品的概率不大于0.3BCD [在A 中，由于购买甲商品的顾客有685位，购买乙商品的顾客有515位，A 错误；在B 中，从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2，B 正确；在C 中，从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3，C 正确；在D 中，从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有183位顾客仅购买1种商品，所以顾客仅购买1种商品的概率可以估计为0.183<0.2，D 正确．故选BCD ．]11．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是( )A ．2个球都是红球的概率为16B ．2个球不都是红球的概率为13C ．至少有1个红球的概率为23D ．2个球中恰有1个红球的概率为12ACD [设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A 1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A 2，则P (A 1)＝13，P (A 2)＝12，且A 1，A 2独立．在A 中，2个球都是红球为A 1A 2，其概率为13×12＝16，A 正确；在B 中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为56，B错误；在C 中，2个球中至少有1个红球的概率为1－P (A )·P (B )＝1－23×12＝23，C 正确；2个球中恰有1个红球的概率为13×12＋23×12＝12，D 正确．故选ACD ．]12．2019年“国庆节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中抽取了40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]，得到如图所示的频率分布直方图．下列结论正确的是( )A ．这40辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5B ．在该服务区任意抽取一辆车，车速超过80 km/h 的概率为0.35C ．若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为1415D ．若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，则车速都在[60,65)内的概率为13ABC [在A 中，由题图可知，众数的估计值为最高的矩形的中点对应的值75＋802＝77.5，A 正确；在B 中，车速超过80 km/h 的频率为0.05×5＋0.02×5＝0.35，用频率估计概率知B 正确；在C 中，由题可知，车速在[60,65)内的车辆数为2，车速在[65,70)内的车辆数为4，运用古典概型求概率得，至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为1415，即车速都在[60,65)内的概率为115，故C 正确，D 错误．故选ABC ．] 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．(一题两空)一个袋子中有5个红球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记事件A ＝{摸出黑球}，事件B ＝{摸出绿球}，事件C ＝{摸出红球}，则P (A )＝________；P (B ∪C )＝________.(第一空2分，第二空3分)817917[由古典概型的算法可得P (A )＝817，P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝417＋517＝917.] 14．设a 是从集合{1,2,3,4}中随机取出的一个数，b 是从集合{1,2,3}中随机取出的一个数，构成一个基本事件(a ，b )．记“这些基本事件中，满足log b a ≥1”为事件E ，则E 发生的概率是________．512[试验发生包含的事件是分别从两个集合中取1个数字，共有4×3＝12种结果，满足条件的事件是满足log b a ≥1，可以列举出所有的事件，当b ＝2时，a ＝2,3,4，当b ＝3时，a ＝3,4，共有3＋2＝5个，∴根据古典概型的概率公式得E 发生的概率是512.]15．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170，169，168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．370[依题意得，加工出来的零件的正品率是⎝⎛⎭⎫1－170×⎝⎛⎭⎫1－169×⎝⎛⎭⎫1－168＝6770，因此加工出来的零件的次品率是1－6770＝370.]16．将分别为1,2，…，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个球，其为a .放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其为b ，则使不等式a －2b ＋10＞0成立的事件发生的概率等于________．6181[甲、乙两人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(9,7)，(9,8)，(9,9)，共81个．由不等式a －2b ＋10＞0得2b ＜a ＋10，于是，当b ＝1,2,3,4,5时，每种情形a 可取1,2，…，9中每个值，使不等式成立，则共有45种；当b ＝6时，a 可取3,4，…，9中每个值，有7种；当b ＝7时，a 可取5,6,7,8,9中每个值，有5种；当b ＝8时，a 可取7,8,9中每个值，有3种；当b ＝9时，a 只能取9，有1种．于是，所求事件的概率为45＋7＋5＋3＋181＝6181.]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)随机抽取一个年份，对某市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：期天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估计该市在该天不下雨的概率；(2)该市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．[解] (1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，该市不下雨的概率为P ＝2630＝1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)，这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.18．(本小题满分12分)某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的概率都是12，且各个元件能否正常工作相互独立，求该部件的使用寿命超过1 000小时的概率．[解] 设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(A B －＋A －B ＋AB )C ，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率P ＝⎝⎛⎭⎫12×12＋12×12＋12×12×12＝38.19．(本小题满分12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别 A B C D E 人数5010015015050(1)名大众评委，其中从B 组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数6(2)在(1)中，若A ，B 两组被抽到的大众评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的大众评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．[解] (1)由题设知，分层随机抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数36993(2)记从A 组抽到的3个评委为a 1，a 2，a 3，其中a 1，a 2支持1号歌手；从B 组抽到的6个评委为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手．从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果为由以上树状图知样本点共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2共4个，故所求概率P ＝418＝29.20．(本小题满分12分)已知某中学高三理科班学生的数学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表：若抽取学生n 人，成绩分为A (优秀)，B (良好)，C (及格)三个等级，设x ，y 分别表示数学成绩与物理成绩，例如：表中物理成绩为A 等级的共有14＋40＋10＝64人，数学成绩为B 等级且物理成绩为C 等级的共有8人．已知x 与y 均为A 等级的概率是0.07.(1)设在该样本中，数学成绩的优秀率是30%，求a ，b 的值；(2)已知a ≥7，b ≥6，求数学成绩为A 等级的人数比C 等级的人数多的概率． [解] (1)由题意知14n ＝0.07，解得n ＝200，∴14＋a ＋28200×100%＝30%，解得a ＝18，易知a ＋b ＝30，所以b ＝12.(2)由14＋a ＋28>10＋b ＋34得a >b ＋2，又a ＋b ＝30且a ≥7，b ≥6，试验的样本空间为Ω＝{ (7,23)，(8,22)，(9,21)，…，(24,6)}，共18个样本点，而a >b ＋2包含的样本点有(17,13)，(18,12)，…，(24,6)，共8个，则所求概率P ＝818＝49.21．(本小题满分12分)随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷．某景点设有共享电动车租车点，共享电动车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算)．甲、乙两人各租一辆电动车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为14，12；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过三小时．(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率． [解](1)甲、乙两人所付费用相同即同为2,4,6元，都付2元的概率P 1＝14×12＝18，都付4元的概率P 2＝12×14＝18，都付6元的概率P 3＝14×14＝116，∴所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝18＋18＋116＝516.(2)设两人费用之和为8,10,12的事件分别为A ，B ，C ， P (A )＝14×14＋12×14＋12×14＝516，P (B )＝14×14＋12×14＝316，P (C )＝14×14＝116，设两人费用之和大于或等于8的事件为W ，则W ＝A ＋B ＋C ，∴两人费用之和大于或等于8的概率P (W )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝516＋316＋116＝916. 22．(本小题满分12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25 ℃，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20 ℃，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．[解] (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25 ℃，由表中数据可知，最高气温低于25 ℃的频率为2＋16＋3690＝0.6.所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温低于20 ℃，则Y ＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；若最高气温不低于25 ℃，则Y ＝450×(6－4)＝900，word- 11 - / 11 所以，利润Y 的所有可能值为－100,300,900.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃，由表格数据知，最高气温不低于20 ℃的频率为36＋25＋7＋490＝0.8. 因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.。

人教A版(2019)高中数学必修第二册第六章、第七章检测试题及参考答案

高中数学必修第2册第六章、第七章综合测试一、单选题（共8小题）1. 在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是( )A. a2＝b2＋c2＋2bc cos AB. a2＝b2＋c2＋bc cos AC. a2＝b2＋c2－2bc cos AD. a2＝b2＋c2－bc cos A2. 如果将直角三角形的三边分别增加同样的长度，那么新三角形的形状是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 由增加的长度确定3. 已知复数z＝－i，则复平面内对应的点Z的坐标为( )A. (0，－1)B. (－1,0)C. (0,0)D. (－1，－1)4. 设复数z1＝，z2＝6，则z1z2为( )A. 3iB. 3C. －3iD. 35. “复数z＝(a∈R)在复平面内对应的点位于第三象限”是“a≥0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 若(1＋i)＝1－i，则z＝( )A. 1－iB. 1＋iC. －iD. i7. 在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3DC,E为BC的中点,则等于()A. B. C. D.8. 已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4等于( )A. (－1，－2)B. (1，－2)C. (－1,2)D. (1,2)二、多选题（共4小题）9. 如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是( )A. ||＝||B. 与共线C. 与共线D. ＝10. 已知△ABC是边长为2a(a>0)的等边三角形，P为△ABC所在平面内一点，则·(＋)的值可能是( )A. －2a2B. －a2C. －a2D. －a211. 下列各式中结果为零向量的是( )A. ＋＋＋B. ＋＋C. ＋＋＋D. －＋－12. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于△ABC，有如下命题，其中正确的有( )A. sin(B＋C)＝sin AB. cos(B＋C)＝cos AC. 若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形D. 若a2＋b2<c2，则△ABC为锐角三角形三、填空题（共4小题）13. 已知|a|＝|b|＝1，且a⊥b，若|a＋b＋m|≤1恒成立，则|m|的取值范围是________．14. 方程x2－2x＋5的复数根为________．15. 设复数z＝a＋b i(a，b∈R)，1≤|z|≤2，则|z＋1|的取值范围是________.16. 小顾同学在用向量法研究解三角形面积问题时有如下研究成果：若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则S△OAB＝|x1y2－x2y1|.试用上述成果解决问题：已知A(1，1)，B(2，3)，C(4，5)，则S△ABC＝______.四、解答题（共6小题）17. 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.18. 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.(1)求A的大小；(2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状．19. 在△ABC中，已知A＝15°，B＝45°，c＝3＋，解这个三角形．20. 如图所示，四边形ABCD是矩形，点A和B对应的复数分别为－1＋2i,1＋i，并且|BA|∶|DA|＝1∶，求点C和点D分别对应的复数．21. 设复数z＝(a2＋a－2)＋(a2－7a＋6)i，其中a∈R，当a取何值时，(1)z∈R；(2)z 是纯虚数；(3)z是零．22. 如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：(1)＋＋；(2)＋＋＋.参考答案1. 【答案】C【解析】由余弦定理的结构特征易知选C.2. 【答案】A【解析】设直角三角形的三条边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2，三条边均增加同样的长度m，三边长度变为a＋m，b＋m，c＋m，此时最长边为c＋m，设该边所对角为θ，则由余弦定理，得cosθ＝＝.因为m2>0，a＋b－c>0，所以cosθ>0，所以θ为锐角，其他各角必为锐角，故新三角形是锐角三角形．3. 【答案】A【解析】由z＝－i可知，复平面内对应的点Z的坐标为(0，－1)．4. 【答案】A【解析】z1z2＝×6＝3＝3i.5. 【答案】A【解析】易得z＝＝－a－3i，则z在复平面内对应的点位于第三象限⇔a>0.又a>0⇒a≥0，a≥0D⇒/a>0，所以“a>0”是“a≥0”的充分不必要条件，即“z在复平面内对应的点位于第三象限”是“a≥0”的充分不必要条件．6. 【答案】D【解析】由(1＋i)＝1－i，得＝＝＝－i，故z＝i.7. 【答案】A【解析】=-=8. 【答案】D【解析】为使物体平衡，则合力为零，即F4＝(0－(－2)－(－3)－4,0－(－1)－2－(－3))＝(1,2)．9. 【答案】ABD【解析】由向量相等及共线的概念，由∠EDB与∠HED不一定相等可知C选项不一定正确．10. 【答案】BCD【解析】建立如图所示的平面直角坐标系．设P(x，y)，因为A(0，a)，B(－a,0)，C(a,0)，则＝(－x，a－y)，＝(－a－x，－y)，＝(a－x，－y)．所以·(＋)＝(－x，a－y)·[(－a－x，－y)＋(a－x，－y)]＝(－x，a－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2y2－2ay＝2x2＋22－a2≥－a2，当且仅当x＝0，y＝a时取等．故选项B，C，D满足，故选BCD.11. 【答案】BD【解析】由向量加法的法则得A：＋＋＋＝＋＋＝，故结果不为零向量；B：＋＋＝＋＝0，结果为零向量；C：＋＋＋＝＋＝，结果不为零向量；D：－＋－＝＋－(＋)＝－＝0，结果为零向量．12. 【答案】AC【解析】依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A，sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A，A正确；cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cos A，B不正确；因为a2＋b2＝c2，则由余弦定理的推论得cos C＝＝0，而0<C<π，即有C＝，则△ABC为直角三角形，C正确；因为a2＋b2<c2，则cos C＝<0，而0<C<π，即有<C<π，则△ABC为钝角三角形，D不正确．13. 【答案】[－1，＋1]【解析】建立平面直角坐标系(图略)，设a＝(1,0)，b＝(0,1)，a＋b＝(1,1)，m＝(x，y)，a＋b＋m＝(x＋1，y＋1)．由题意可知(x＋1)2＋(y＋1)2≤1，|m|表示以点(－1，－1)为圆心，1为半径的圆面(包括边界)上的动点与原点连线段的长度，易知|m|的最大值为＋1，最小值为－1.14. 【答案】1±2i【解析】由求根公式得x＝＝＝1±2i.15. 【答案】[0，3]【解析】由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤|z|≤2表示如图所示的圆环，而|z＋1|表示复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的对应点B(－1，0)之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合时，d min＝0，当点A与点C(2，0)重合时，d max＝3，所以0≤|z＋1|≤3.16. 【答案】1【解析】因为A(1,1)，B(2,3)，C(4,5)，所以＝(1,2)，＝(3,4)，又当＝(x1，y1)，＝(x2，y2)时，S△OAB＝|x1y2－x2y1|，所以S△ABC＝×|1×4－3×2|＝1.17. 【答案】证明方法一设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0.又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，所以·＝·＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0.故⊥，即AF⊥DE.方法二如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0，2)，E(1,0)，F(2,1)，则＝(2,1)，＝(1，－2)．因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0.所以⊥，即AF⊥DE.18. 【答案】解(1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴cos A＝.∵A∈(0，π)，∴A＝.(2)∵在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos A，且a＝，∴()2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc.①又∵b＋c＝2，与①联立，解得bc＝3，∴∴b＝c＝，又∵a＝，∴△ABC为等边三角形．19. 【答案】解由三角形内角和定理，得C＝180°－(A＋B)＝180°－(15°＋45°)＝120°.由正弦定理，得a＝＝＝＝＝，b＝＝＝＝＝＝＋.20. 【答案】解要求出点C对应的复数，即求出向量对应的复数，结合图形并注意到＝＋，可以先求向量对应的复数．向量可以看成向量的长度扩大为原来的倍，并绕点B按顺时针方向旋转90°后得到，又向量对应的复数为(－1＋2i)－(1＋i)＝－2＋i，故向量对应的复数为(－2＋i)··[cos(－90°)＋isin(－90°)]＝＋2i.于是点C对应的复数为(＋2i)＋(1＋i)＝(＋1)＋(2＋1)i.同理可得点D对应的复数是(－1)＋(2＋2)i.21. 【答案】解(1)z∈R，只需a2－7a＋6＝0，所以a＝1或a＝6.(2)z是纯虚数，只需所以a＝－2.(3)因为z＝0，所以所以a＝1.22. 【答案】解(1)＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝；(2)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高中数学必修2综合测试题试卷满分:150分考试时间:120分钟卷I一、选择题(本大题共2道小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出得四个选项中,只有一项就是符合题目要求得)1、下图(1)所示得圆锥得俯视图为 ( )23+为 ( ); C 、120。

3、边长为a 正四面体得表面积就是 ( )A 3;B 3; C 2; D2。

4、对于直线:360l x y -+=得截距,下列说法正确得就是 ( )A 、在y 轴上得截距就是6;B 、在x 轴上得截距就是6;C 、在x 轴上得截距就是3;D 、在y 轴上得截距就是3-。

5、已知,a b αα⊂//,则直线a 与直线b 得位置关系就是 ( )A 、平行;B 、相交或异面;C 、异面;D 、平行或异面。

6、已知两条直线12:210,:40l x ay l x y +-=-=,且12l l //,则满足条件a 得值为A 、12-; B 、12; C 、2-; D 、2。

7、在空间四边形ABCD 中,,,,E F G H 分别就是,,,AB BC CD DA 得中点。

若AC BD a ==,且AC 与BD 所成得角为60,则四边形EFGH 得面积为 ( )A 、28a ; B 、24a ; C 、22a ; D 2。

8、在右图得正方体中,M 、N 分别为棱BC 与棱CC 1得中点, 则异面直线AC 与MN 所成得角为( )图(1) AB C D1 AA.30°B.45°C.90°D. 60°9、下列叙述中错误得就是 ( )A 、若P αβ∈且l αβ=,则P l ∈;B 、三点,,A BC 确定一个平面;C 、若直线a b A =,则直线a 与b 能够确定一个平面;D 、若,A l B l ∈∈且,A B αα∈∈,则l α⊂。

10、两条不平行得直线,其平行投影不可能就是 ( )A 、两条平行直线;B 、一点与一条直线;C 、两条相交直线;D 、两个点。

11、长方体得一个顶点上得三条棱长分别为3、4、5,且它得8个顶点都在同一个球面上,则这个球得表面积就是 ( )A 、25π;B 、50π;C 、125π;D 、都不对。

12、给出下列命题①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直其中正确命题得个数为( ) A.0个 B.1个C.2个D.3个高中数学必修2综合测试题卷II(非选择题共90分)一、选择题(本大题共2道小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出得四个选项中,只有一项就是符合题目要求得)(本大题共4道小题,每小题4分,共16分。

把答案填在题中横线上)13、圆柱得侧面展开图就是边长分别为2,a a 得矩形,则圆柱得体积为 ;14.一个圆柱与一个圆锥得底面直径．．与它们得高都与某一个球得直径相等,这时圆柱、圆锥、球得体积之比为 .15、过点16、已知,a b (1) a b α////,(2) ,a b γγ⊥⊥,则a b //; (3) ,a b b α⊂//,则a α//; (4) ,a b a α⊥⊥,则b α//;其中正确命题就是。

三、解答题(本大题共6道小题,共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17、(本小题满分12分)如下图(2),建造一个容积为316m ,深为2m ,宽为2m 得长方体无盖水池,如果池底得造价为120m 2/元,池壁得造价为80m 2/元,求水池得总造价。

18、(本小题满分12分)如下图(3),在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 就是平行四边形,,M N 分别就是,AB PC 得中点,求证:MN PAD //平面。

19、(本小题满分12分)如下图(4),在正方体1111ABCD A B C D -中,(1)画出二面角11A B C C --得平面角; (2)求证:面11BB DD ⊥面1AB C 2m2m图BC AD MN P图(3)1D 1C CABD M20、(本大题8分)求经过M (-1,2),且满足下列条件得直线方程 (1)与直线2x + y + 5 = 0平行 ;(2)与直线2x + y + 5 = 0垂直;21、(本小题满分12分)已知三角形ABC 得三个顶点就是()()()4,0,6,7,0,8A B C(1) 求BC 边上得高所在直线得方程; (2) 求BC 边上得中线所在直线得方程。

22、(本小题满分14分)如下图(5),在三棱锥A BCD -中,,O E 分别就是,BD BC 得中点,2CA CB CD BD ====,AB AD ==(1) 求证:AO ⊥平面BCD ;(2) 求异面直线AB 与CD 所成角得余弦值; (3) 求点E 到平面ACD 得距离。

高中数学必修2综合测试题(答案卷)一、选择题(本大题共2道小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出得四个选项中,只有一项就是符合题目要求得) (本大题共4道小题,每小题4分,共16分。

把答案填在题中横线上)13、3a π或32a π; 14、3:1:2; 15、3,2+==x y x y 16、(2)。

三、解答题(本大题共6道小题,共74分。

ABC DO2m2m图(2)解:分别设长、宽、高为,,am bm hm ;水池得总造价为y 元16,2,2V abh h b ====,4a m ∴=—————————————3分则有2428S m =⨯=底————————6分()2224224S m =⨯+⨯=壁—————9分12080120880242880y S S =⨯+⨯=⨯+⨯=底壁(元)———————12分18、(本小题满分12分)如下图(3),在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 就是平行四边形,,M N 分别就是,AB PC 得中点,求证:MN PAD //平面。

证明:如图,取PD 中点为E ,连接,AE EN ———1分,E N 分别就是,PD PC 得中点12EN DC ∴//———————————————4分M 就是AB 得中点 12AM DC ∴// ——————7分EN AM ∴// ∴四边形AMNE 为平行四边形 —9分AE MN ∴// ———————————————11分又AE APD ⊂面 MN APD ⊄面 ∴MN PAD //平面。

————————12分19、(本小题满分12分)如下图(4),在正方体1111ABCD A B C D -中,(1)画出二面角11A B C C --得平面角; (2)求证:面11BB DD ⊥面1AB CBCA DM NP图(3)E图(4)1A1B1D1CCAB DE解:(1)如图,取1B C 得中点E ,连接1,AE EC 。

11,,AC AB B C 分别为正方形得对角线 11AC AB B C ∴==E 就是1B C 得中点 1AE B C ∴⊥ ——————2分又在正方形11BB C C 中 11EC B C ∴⊥ ——————————3分∴1AEC ∠为二面角11A B C C --得平面角。

———————————4分(2) 证明: 1D D ABCD ⊥面,AC ABCD ⊂面 1D D AC ∴⊥ ——6分又在正方形ABCD 中 AC BD ∴⊥ —————————————8分1D DBD D = 11AC DD B B ∴⊥面 ————————————10分又1AC AB C ⊂面 ∴面11BB DD ⊥面1AB C ———————————12分20、(本小题满分12分)点M(-1,2)(1)2-=k -----3分直线方程为02=+y x --------5分 (2)21=k ---------6分直线方程为052=+-y x --------8分 21、(本小题满分12分)已知三角形ABC 得三个顶点就是()()()4,0,6,7,0,8A B C(1) 求BC 边上得高所在直线得方程; (2) 求BC 边上得中线所在直线得方程解:(1)如图,作直线AD BC ⊥,垂足为点D 。

781606BC k -==-- —————2分 BC AD ⊥ 16AD BCk k ∴=-= 4分由直线得点斜式方程可知直线AD 得方程为:()064y x -=-化简得: 624y x =- 6分(2)如图,取BC 得中点()00,E x y ,连接AE 。

由中点坐标公式得000632871522x y +⎧==⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩,即点153,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ———————9分由直线得两点式方程可知直线AE 得方程为:1502430y x --=-- ——————11分化简得:5102y x =- ——————————————————————12分 22、(本小题满分14分)如下图(5),在三棱锥A BCD -中,,O E 分别就是,BD BC 得中点,2CA CB CD BD ====,AB AD ==(1) 求证:AO ⊥平面BCD ; (2) 求异面直线AB 与BC 所成角得余弦值; (3) 求点E 到平面ACD 得距离。

(1)证明:连接OC,BO DO AB AD ==AO BD ∴⊥ ————————1分,BO DO BC CD ==CO BD ∴⊥ ———————2分在AOC 中,由已知可得1,AO CO ==而2222,AC AO CO AC =∴+=90AOC ∴∠=,即AO OC ⊥ ————4分BD OC O =AO BCD ∴⊥平面 —————5分(2)解:取AC 得中点M ,连接,,OM ME OE由E 为BC 得中点知 ,ME AB OE DC ////∴直线OE 与EM 所成得锐角就就是异面直线AB 与CD 所成得角。

——————6分在OME 中, 122EM AB ==,112OE DC ==OM 就是Rt AOC 斜边AC 上得中线112OM AC ∴== —————————8分cos 4OEM ∴∠= ———————————————————10分E ABC图(5)D OE ABC图(5)DOM(3)解:设点E 到平面ACD 得距离为h 。

E ACD A CDE V V --= ——————12分1133ACDCDEh SAO S ∴•=••在ACD 中,2,CA CD AD ===122ACDS∴==而211,22CDEAO S===7CDE ACD AO S h S •∴==∴点E ————————14分。

高中数学必修2综合测试题__人教A版

人教版A版27课标高中数学必修第二册第八章综合测试试题试卷含答案

人教版高中数学必修第二册 第九章~第十章 综合测试卷 (含答案)

人教A版高中数学必修2第四章《圆与方程》测试题(含答案)

高中数学人教A版必修二 章末综合测评4 Word版含答案

人教版A版(2019)高中数学必修第二册：第九章 统计 综合测试(附答案与解析)

高中数学 模块综合检测2(含解析)新人教A版选择性必修第二册-新人教A版高二选择性必修第二册数学试题

高中数学人教A版必修二 章末综合测评2 Word版含答案

人教版A版(2019)高中数学必修第二册：第六章 平面向量及其应用 综合测试(附答案与解析)