分式知识点总结和练习题讲义

思维拓展练习题
1、对于任何非零实数 a,b,定义运算“*”如下：
a*b
ab ab
,求
2*1+3*2+…+10*9
的值
2、已知
x 2
y 3
z 4
0,
求代数式
2x y z x yz
的值
（三）分式的运算 ①分式的乘除法法则：
乘法分式式子表示为： a c a c b d bd
除法分式式子表示为： a c a d a d b d b c bc
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式
分解，再约分。 【例 2】约分：
（1） 16x2 y ； 20 xy 3
（ 2 ） ； n2 m2 mn
（3） x2 x 2 . x2 x 6
题型三：分式的混合运算
【例 3】计算：
（1） ； ( a2b )3 ( c2 )2 (bc )4
c ab
（1）
c
b ,,
a
；
2ab 3a2c 5b2c
； a
b
,
a b 2b 2a
（2）
（3） 1 , x , 2 ； x2 x 1 2x x2 x2 x 2 9
（4） a 2, 1 2a
题型二：约分 ①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，
约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分
子分母相同因式的最低次幂。
【例 2】解下列不等式
（1） | x | 2 0 x 1
（2） x 5 0 x2 2x 3
题型五：考查分式的值为 1，-1 的条件 分式值为 1：分子分母值相等（A=B） 分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 【例 1】若 | x | 2 的值为 1，-1，则 x 的取值分别
x2
题型四：考查分式的值为正、负的条件
分式值为正或大于
0：分子分母同号（
A B
0或
0
A B
0）
0
分式值为负或小于
0：分子分母异号（
A B
0或
0
A B
0）
0
【例 1】（1）当 x 为何值时，分式 4 为正； 8 x
3
（2）当
x
为何值时，分式
3
5 x (x 1)2
为负；
（3）当 x 为何值时，分式 x 2 为非负数. x3
a
； ( 3a3 )3 (x 2 y 2 ) ( y x )2
x y
yx
（
2
）
10
（3） ； m 2n n 2m nm mn nm
（4） a2 ； a 1 a 1
（ 5 ） ； 1 1 2x 4x3 8x7 1 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8
1
1
1
；
(x 1)(x 1) (x 1)(x 3) (x 3)(x 5)
2
ab x y x y
式的有：
.
题型二：考查分式有意义的条件
分式有意义：分母不为 0（B 0） 分式无意义：分母为 0（B 0） 【例 1】当 x 有何值时，下列分式有意义
（1） x 4 （2） 3x （3） 2 （4） 6 x （ 5 ）
x4
x2 2
x2 1
| x | 3
1 x 1
x
题型三：考查分式的值为 0 的条件 2
②分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表
8
示为： a n b
an bn
③分式的加减法则： a b a b cc c
异分母分式加减法：式子表示为： a c ad bc b d bd
整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数， 整式前面是负号，要加括号，看作是分母为 1 的分式，再通分。 题型一：通分 1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最 简公分母的系数. 2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母 的因式. 3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解 因式,然后判断最简公分母. 【例 1】将下列各式分别通分.
4
为
思维拓展练习题：
1、若
a>b>0, a2
＋ b2
－6ab=0,则
a a
b b
2、一
组
按
规
律
排
列
的
分
式
：
b2 a
b5 , a2
,
b8 a3
,
b11 a4
,
（ab 0），则第 n 个分式为
3、已知
x2
3x
1
Βιβλιοθήκη Baidu
0
，求
x2
1 x2
的值。
4、已知
x2
y2
2x
4
y
5
0,
求分式
y x
x y
的值。
5
（二）分式的基本性质及有关题型
题型二：分数的系数变号 【例 1】不改变分式的值，把下列分式的分
子、分母的首项的符号变为正号.
（1） x y x y
（2） a （3） a
ab
b
6
题型三：化简求值题
【例 1】已知： 1 1 5 ，求 2x 3xy 2y 的值.
xy
x 2xy y
【例
2】已知： x 1
，求 2
x2
（6）
（7） ( x2 4 1 ) ( x2 2x ) x2 4x 4 x 2 x 1
题型四：化简求值题
【例 4】先化简后求值
（1）已知： x 1 ，求分子1 8 的值； [( x2 4 1) (1 1)]
分式值为
0：分子为
0
且分母不为
0（
A B
0 0
）
【例 1】当 x 取何值时，下列分式的值为 0.
（1） x 1 x3
（2） | x | 2 x2 4
（3） x2 2x 3 x2 5x 6
【例 2】当 x 为何值时，下列分式的值为零：
（1） 5 | x 1| x4
（2） 25 x2 x2 6x 5
分式知识点总结和练习题讲义
分式知识点总结和题型归纳
第一部分 分式的运算
（一）分式定义及有关题型
题型一：考查分式的定义:
一般地，如果 A，B 表示两个整数，并且 B 中含
有字母，那么式子 A 叫做分式，A 为分子，B 为 B
分母。
1
【例 1】下列代数式中： x , 1 x y, ，是分 a b , x2 y2 , x y
1
的值.
x
x2
【例 3】若 ，求 | x y 1| (2x 3)2 0 1 的值. 4x 2y
【例 4】已知： 1 1 3 ，求 2a 3ab 2b 的值.
ab
b ab a
【例 5】若 ，求 的值. a2 2a b2 6b 10 0
2a b
3a 5b
【例 6】如果1 x 2 ，试化简 | x 2 | x 1 . | x | 2 x | x 1| x 7
1．分式的基本性质： A A M A M B BM BM
2．分式的变号法则： a a a a b b b b
题型一：化分数系数、小数系数为整数系数
【例 1】不改变分式的值，把分子、分母的系数
化为整数.
（1） 1 x 2 y 23 1x1 y 34
（2） 0.2a 0.03b 0.04a b