九年级数学下册应用举例同步测试(新版)新人教版

九年级数学下册应用举例同步测试（新版）新人教版 第1课时 仰角·俯角与圆弧问题 [见B 本P84]

1．身高相等的四名同学甲·乙·丙·丁参加放风筝比赛,四人放出风筝的线长·线与地面的夹角如下表(假设风筝线是拉直的),则四名同学所放的风筝中最高的是( D ) 同学 甲 乙 丙 丁 放出风筝线长

140 m 100 m 95 m 90 m 线与地面夹角 30° 45° 45° 60°

A.甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁

【解析】 设风筝的线长·风筝高分别为l ,h ,线与地面的夹角为α,所以h ＝l sin α,代入计算,比较大小．

2．如图28－2－9,为测量某物体AB 的高度,在D 点测得A 点的仰角为30°,朝物体AB 方向前进20米,到达点C ,再次测得A 点的仰角为60°,则物体AB 的高度为( A )

A ．103米

B ．10米

C ．203米 D.2033

米

图28－2－9

3．如图28－2－10,在两建筑物正中间有一旗杆,高15米,从A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点,且俯角α为60°,又从A 点测得D 点的俯角β为30°,若旗杆底G 点为BC 的中点,则矮建筑物的高CD 为( A )

A ．20米

B ．103米

C ．153米

D ．56米

图28－2－10

4．如图28－2－11,⊙O 的半径为4 cm,PA ,PB 是⊙O 的两条切线,∠APB ＝60°,则AP ＝__43__cm__．

图28－2－11

5．如图28－2－12,在高度是21米的小山A 处测得建筑物CD 顶部C 处的仰角为30°,底部D 处的俯角为45°,则这个建筑物的高度CD ＝__73＋21__米(结果可保留根号)．

图28－2－12

6．如图28－2－13,为测量江两岸码头B ,D 之间的距离,从山坡上高度为50米的点A 处测得码头B 的俯角∠EAB 为15°,码头D 的俯角∠EAD 为45°,点C 在线段BD 的延长线上,AC ⊥BC ,垂足为C ,求码头B ,D 之间的距离(结果保留整数,参考数据：sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27)．

图28－2－13

解：∵AE ∥BC ,∴∠ADC ＝∠EAD ＝45°.

又∵AC ⊥CD ,∴CD ＝AC ＝50.

∵AE ∥BC ,∴∠ABC ＝∠EAB ＝15°.

又∵tan ∠ABC ＝AC BC ,∴BC ＝AC tan∠ABC

≈185.2, ∴BD ＝BC －CD ≈185.2－50≈135(米)．

答：码头B ,D 之间的距离约为135米．

图28－2－14

7. 天封塔历史悠久,是宁波著名的文化古迹．如图28－2－14,从位于天封塔的观测点C 测得两建筑物底部A ,B 的俯角分别为45°和60°,若此观测点离地面的高度为51米,A ,B 两点在CD 的两侧,且点A ,D ,B 在同一水平直线上,求A ,B 之间的距离(结果保留根号)

解：由题意得,∠ECA ＝45°,∠FCB ＝60°,

∵EF ∥AB ,

∴∠CAD ＝∠ECA ＝45°,∠CBD ＝∠FCB ＝60°,

∵∠ADC ＝∠CDB ＝90°,

在Rt △CDB 中,tan ∠CBD ＝CD BD ,

∴BD ＝51tan 60°

＝173米, ∵AD ＝CD ＝51米,

∴AB ＝AD ＋BD ＝51＋173.

答：A ,B 之间的距离为(51＋173)米．

8．如图28－2－15,甲楼AB 的高度为123 m,自甲楼楼顶A 处,测得乙楼顶端C 处的仰角为45°,测得乙楼底部D 处的俯角为30°,求乙楼CD 的高度(结果精确到0.1 m,3取1.73)．

图28－2－15

第8题答图

解：如图,过点A作AE⊥CD于点E,根据题意,∠CAE＝45°,∠DAE＝30°.

在Rt△ADE中,DE＝AB＝123,∠DAE＝30°,

∴AE＝3DE＝1233.

在Rt△ACE中,由∠CAE＝45°,得CE＝AE＝1233,

∴CD＝CE＋DE＝123(3＋1)≈335.8(m)．

答：乙楼CD的高度为335.8 m.

图28－2－16

9. 如图28－2－16,小明为了测量小山顶上的塔高,他在A处测得塔尖D的仰角为45°,再沿AC方向前进73.2米到达山脚B处,测得塔尖D的仰角为60°,塔底E的仰角为30°,求塔高。(精确到0.1米,3≈1.732)

解：∵ 在山脚B处测得塔尖D的仰角为60°,塔底E的仰角为30°。

∴∠DBC＝ 60°,∠EBC＝ 30°

∴∠DBE＝∠DBC－∠EBC＝60°－30°＝ 30°

又∵ ∠BCD＝90°

∴∠BDC＝ 90°－∠DBC＝ 90°－60°＝ 30°

即∠BDE＝ 30°

∴∠BDE＝∠DBE,BE＝DE.

设EC＝x,则BE＝2EC＝2x,BC＝BE2－EC2＝（2x）2－x2＝3x

DE＝BE＝2x,DC＝EC＋DE＝x＋2x＝3x

又∵ 在A处测得塔尖D的仰角为45°,AB＝73.2

∴△ACD为等腰直角三角形,即AC＝DC＝3x,BC＝AC－AB＝3x－73.2

∴ 3x ＝3x

－73.2,即

1.732x ＝3x －73.2,

2.268x ＝7

3.2,x ≈32.3(米)

故塔高约为64.6米．

10．校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验(如图28－2－17)：先在公路旁边选取一点C ,再在笔直的车道l 上确定点D ,使CD 与l 垂直,测得CD 的长等于21米,在l 上点D 的同侧取点A ,B ,使∠CAD ＝30°,∠CBD ＝60°.

(1)求AB 的长(精确到0.1米,参考数据：3≈1.73,2≈1.41)；

(2)已知本路段对校车限速为40千米/时,若测得某辆校车从A 到B 用时2秒,这辆校车是否超速？说明理由．

图28－2－17

解：(1)由题意得：在Rt △ADC 中,

AD ＝CD tan30°＝213

3

＝213≈36.33. 在Rt △BDC 中,BD ＝CD tan60°＝213

＝73≈12.11, 所以AB ＝AD －BD ≈36.33－12.11＝24.22≈24.2(米)．

(2)校车从A 到B 用时2秒,

所以该车速度约为24.2÷2＝12.1(米/秒)．

因为12.1×3 600＝43 560,

所以该车速度约为43.56千米/时,大于40千米/时,

所以此校车在AB 路段超速．

图28－2－18

11. 如图28－2－18,在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,点D 是边AB 上一点,以BD 为直径的⊙O 与边AC 相切于点E ,连接DE 并延长DE 交BC 的延长线于点F .

(1)求证：BD ＝BF ；

(2)若CF ＝1,cos B ＝35

,求⊙O 的半径．

解：(1)证明：连接OE .∵AC 与⊙O 相切于点E ,

∴OE ⊥AC .∴∠OEA ＝90°.