八年级数学上册6_4数据的离散程度学习导航素材新版北师大版

“数据的离散程度”学习导航

本章的主要内容是表示数据离散程度的极差、方差和标准差这三个重要概念及其求法（包括用计算器的求法），这部分知识是统计的重要内容，也是计算较复杂的内容之一.为了帮助同学们更好地学好这部分内容，现将有关的重要的知识点及中考考点归纳如下，供同学们参考.

一、知识点解读

前面我们学习了平均数、众数、中位数，它们是反映一组数据集中程度的特征量，但它们却不能反映一组数据的离散程度，为解决这个问题我们要学习极差、方差和标准差.

1．极差：指一组数据中的最大数据与最小数据的差，即极差=最大值－最小值. 2．方差：一组数据中，各个数据与平均数之差的平方的平均数叫做这组数据的方差，通常用2

s

表示.对于一组数据n x x x x ,,,321，其平均数为x ，则方差

2s =+-21)[(1

x x n

22)(x x -+…])(2x x n -.

3．标准差：是方差的算术平方根，其计算方法是：标准差=方差.

极差、方差和标准差都可以刻画一组数据的离散程度，对于极差来说，一组数据的极差越大，说明数据的离散程度越大；反之，离散程度越小.对于方差和标准差来说，一组数据的方差（或标准差）越大，说明数据的离散程度越大，稳定性越差；反之，离散程度越小，稳定性越好.极差的计算较简单方便，但由于易受数据中极端数据的影响，所以在有些情况下用极差难以准确地说明问题；而方差、标准差能更好地刻画一组数据的离散程度，特别是标准差，其单位与数据的单位一致，用起来较方差更方便些.

二、中考导航

分析近年各地中考试题发现，有关本章知识的考查主要有①极差、方差和标准差的计算；②方差和标准差在实际问题中的应用；③用计算器求标准差和方差；④以社会热点问题和所接触的日常生活中的问题为载体的与方差和标准差有关的开放探索性试题.

例1（2006年益阳）为了解市场上甲、乙两种手表日走时误差的情况，从这两种手表中各随机抽取10块进行测试，两种手表日走时误差的数据如表（单位：秒）：

（1）计算甲、乙两种手表日走时误差的平均数；

（2）你认为甲、乙两种手表哪种手表走时稳定性好？说说你的理由. 析解：要注意计算日走时误差的平均数及方差时，都要把每个数据取绝对值. （1）甲x =2122122124310

1

=++-++-+-+-+++-）（（秒）

； 乙x =2221214121410

1

=-++-+-++++-++-）

（（秒）. （2）2甲S =8.0]212423[10

12

22=-++-+-）（）（）（ （秒2）；

2乙S =2.1]222124[10

12

22=-++-+-）（）（）（ （秒2）

，由于2甲S ＜2乙S ，所以甲种手表走时稳定性好.

例2（2006年黄冈）某班要从小王和小李两名同学中挑选一人参加学校数学竞赛，在最近的五次选拔测试中，他们的数学成绩分别如下表：

根据上表回答下列问题: (1)完成下表:

(2)在这五次测试中,成绩比较稳定的同学是谁?若将80分以上(含80分)的成绩视为优秀,则小王、小李在这五次测试中的优秀率各是多少？

（3）历届比赛表明，成绩达到80分以上(含80分) 就很可能获奖，成绩达到90分以上(含90分) 就很可能获得一等奖，那么你认为应选谁参加比赛比较合适？说明理由.

析解：（1）由第一个表格可得小李成绩的极差=90-70=20(分)，平均成绩应为=5

1

（70+90+80+80+80）=80(分)，中位数应为80(分)，众数应为80(分).

（2）根据第一个表格中提供的方差可知，在这五次测试中, 成绩比较稳定的是小李.若将80分以上(含80分)的成绩视为优秀, 小王的优秀率是%1005

2

⨯=40%，小李的优秀率是

%1005

4

⨯=80%. （3）答案不惟一：如：

方案一、我选小李去参加比赛，因为小李的优秀率高，有4次得80分，成绩比较稳定，

获奖机会大；

方案二、我选小王去参加比赛，因为小王的成绩获得一等奖的机率较高，有2次90分以上(含90分)，因此有可能获得一等奖.