2019年湖南省湖南师大附中高三模拟(三)语文试题

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湖南师大附中2019届高考模拟卷(一)文科数学(PDF版)

湖南师大附中2019届高考模拟卷(一)数学(文科)第I 卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．若集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==x x y x M 2lg|，{}1|<=x x N ，则=N M （）A ．()10，B ．(]20，C ．[)21，D ．()∞+，02．如果复数i ai +-12)(R a ∈为纯虚数，则=a （）A ．2-B ．0C ．1D ．23．如图是民航部门统计的某年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表,根据图表,下面叙述不正确的是（）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B ．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D ．平均价格的涨幅众高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若33=a ，216=S ，则数列{}n a 的公差为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-5．已知2.12=a ，8.021-⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ，2ln =c ，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．ba c <<B ．a cb <<C ．c a b <<D ．a b c <<6．在长方体1111D C B A ABCD -中，1=AB ，2=AD ，31=AA ，则异面直线11B A 与1AC 所成角的余弦值为（）A ．1438B ．1414C ．1313D ．317．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ,则函数a x y =，[)+∞∈,0x 是增函数的概率为（）A ．53B ．54C ．43D ．738．已知函数x x x x f 2sin 2cos sin 2)(-=，给出下列四个结论：①函数)(x f 的最小正周期是π；②函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡85,8ππ上是减函数；③函数)(x f 的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,8π对称；④函数)(x f 的图象可由函数x y 2sin 2=的图象向右平移8π个单位，再向下平移1个单位得到.其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．49．a 实常数,下列图象中可以作为函数a x x x f +=2)(的图象的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．某企业生产甲、乙两种产品,销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A 、B两种设备上加工,生产一件甲产品需用A 设备2小时,B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时,B 设备1小时.A 、B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时,若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（）A ．320千元B ．360千元C ．400千元D ．440千元11．在ABC ∆中，已知3=AB ，32=AC ，点D 为BC 的三等分点（靠近C ），则BC AD ⋅的取值范围为（）A ．()53，B ．()355，C ．()95，D ．()75，12．已知不等式x m x 21-<-在[]20，上恒成立，且函数mx e x f x -=)(在()∞+，3上单调递增，则实数m 的取值范围为（）A ．()()∞+∞-，，52B ．()(]352e ，， ∞-C ．()(]252e ，， ∞-D ．()(]351e ，， ∞-第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.13．若角α的顶点在坐标原点，始边为x 轴的正半轴，其终边经过点)4,3(0--P ，则=αtan ．14．如图某几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为．15．设双曲线C ：12222=-by a x )0,0(>>b a 的左焦点为1F ，过左焦点1F 作x 轴的垂线交双曲线C 于M 、N 两点，其中M 位于第二象限，),0(b B ，若BMN ∠是锐角，则双曲线的离心率的取值范围是．16．定义在()+∞,0上的函数)(x f 满足：①当[)3,1∈x 时，21)(--=x x f ；②)(3)3(x f x f =．设关于x 的函数a x f x F -=)()(的零点从小到大依次为1x ，2x ，…，n x ，…．若()3,1∈a ，则=+++n x x x 221 ．三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.(本小题满分12分)等比数列{}n a 的各项均为正数，且13221=+a a ，62239a a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n a a a b 32313log log log +++= ,求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1的前n 项和.18.(本小题满分12分)在多面体ABDE C -中，△ABC 为等边三角形，四边形ABDE 为菱形，平面ABC ⊥平面ABDE ，2=AB ，3π=∠DBA .（1）求证：CD AB ⊥；(2)求点B 到平面CDE 的距离.19.(本小题满分12分)2020年开始,国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用33+模式,其中语文、数学、外语三科为必考科目,满分各150分,另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3),每科目满分100分.为了应对新高考,某高中从高一年级1000名学生(其中男生550人，女生450人)中,采用分层抽样的方法从中抽取n 名学生进行调查.(1)已知抽取的n 名学生中含女生45人,求n 的值及抽取到的男生人数；(2)学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目,为了了解学生对这两个科目的选课情况,对在(1)的条件下抽取到的n 名学生进行问卷调查(假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目),下表是根据调查结果得到的22⨯列联表.请将列联表补充完整,并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关?说明你的理由；(3)在抽取的选择“地理”的学生中按分层抽样再抽取6名,再从这6名学生中抽取2人了解学生对“地理”的选课意向情况,求2人中至少有1名男生的概率。

湖南省长沙市湖南师大附中2023-2024学年高三上学期月考卷(一)语文试题(答案解析版)

湖南省长沙市湖南师大附中2023-2024学年高三上学期月考卷（一）语文试题一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成下面小题。

材料一：在尝试着去重新激活那个被层层叠叠的知识及社会生活沉淀物所掩盖起来的知觉的世界时，我们常常诉诸绘画，因为绘画会径直将我们重新放回被知觉的世界。

在塞尚、布拉克及毕加索那里，我们会以不同的方式遭遇到这样一些物件：柠檬、曼陀铃、葡萄、烟盒……它们止住我们的目光，拷问我们的目光，这些我们“惯熟的”物件，以一种奇特的方式向我们的目光透露着它们的秘密本质以及它们的物性形式本身。

如此，绘画将我们带回到对物本身的观看。

通过检视知觉的世界，我们认识到在这个世界里，根本就不可能把物和它的显现方式区分开。

诚然，当我像字典那样去定义桌子——三条或四条腿支撑起的一个平面，人们可以在上面吃饭、书写等等——的时候，我可能会觉得如此我就抓住了桌子的本质而完全不必在意桌腿的形状、纹饰的风格等等这般伴随性的偶然之处。

与此相反，当我在知觉一张桌子的时候，我不会不在意这桌子实现其作为桌子的功能的方式，而且，正是桌腿每一次承载起桌面的独特方式、正是那从桌脚到桌面抵抗重力的独特运动吸引着我，并使得每张桌子都卓然有别于其他的桌子。

在这里，没有任何一个细节是无关紧要的，从木头的纤维、桌腿的形状、木头的色泽及年龄到印证着木头年龄的某些涂鸦或磨损，而且“桌子”这个意谓之所以吸引我，正是因为它是透过所有这些“细节”显现出来的，这些细节体现着它在场的样态。

一旦明白了知觉学派的教导，我们就会发现我们开始懂艺术作品了，因为艺术品也是一个肉身性的总体，在此总体中，意义并不是自由的，而是系于或者说束缚于形形色色的符号以及各种各样的细节的。

绘画的意义全部在于画布之外，全部在画作所意指的东西那里，就在画作的主题那里。

实际上，所有有价值的画作都正是在和这一看法的斗争中形成的，并且至少百年以来所有的画家都在非常有意识地和这种看法作着斗争。

湖南省湖南师大附中2019届高三语文模拟试题(三)(含解析)

湖南省湖南师大附中2019届高三语文模拟试题（三）（含解析）一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成各题。

福文化作为中国土生土长的一种大众文化，是中华民族文化的重要组成部分。

中国人自古就有崇福、尚福、祈福、盼福的传统，对福文化有着高度的心理认同和文化认同。

从现有资料看，中国人的福文化早在先秦时期就已经逐渐形成并具有了丰富的内涵。

《尚书·洪范》提出了五福的概念五福：一曰寿，二曰富，三曰康宁，四曰攸好德，五曰考终命。

后人关于福的观念，基本上是在五福基础上发展和丰富起来的，福文化的内涵主要有衣食、长寿、平安、多子孙、修德、和谐等。

儒家文化是封建社会正统文化和主流意识形态，对中国文化有着至远至深的影响，对儒家的福文化考察可以看出中国福文化的本质。

周代福文化是儒家福文化的源头。

周人认为上天是福祉的赐予者，天子和诸侯谨慎修德，通过祭祀和民众的呼声将天子之德上达于天，上天就会赐予百姓福祉但周人又认为，上天赐予福祉是有条件的，这个条件就是周人的“明德慎罚，敬天保民”思想。

周人认为福主要表现为寿考、多子嗣、家族显耀等。

汉武帝“罢黜百家，独尊儒术”，自此以后，儒学成为封建社会的主流意识形态，并对人们的精神观念产生了决定性影响。

儒家福文化在继承周人寿考、多子嗣、家族显耀等观念的基础上，将忠君、孝道等联系起来。

《礼记.祭统》贤者之祭也，必受其福。

非世所谓福也。

福者，备也；备者，百顺之名也^无所不顺者，谓之备可以看出，儒家在福文化内涵中增加了顺、备的含义。

儒家认为只要做到上顺于天，外顺于君王，内顺于父母，就会受到福的眷佑，就会一顺百顺。

同时，福与顺又是在儒家定义的“亲亲尊尊”等级秩序框架内得到实现的。

民间福文化内涵丰富，形式多样，在各种民俗中都有表现。

民间福文化大多与普通人的生产生活息息相关，表达着他们对于美好生活的期盼。

民间福文化主要有：一是丰收.民以食为天，对丰收的渴望和丰收后喜悦的表达是民间福文化的最直接的表现。

2020年全国高考语文适应性模拟试卷3(含答案)

第Ⅰ卷阅读题
一、现代文阅读（36分）
（一）（湖南师大附中2019届高三月考）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）
阅读下面的文字，完成1～3题。
明清时期，土地交易颇为频繁。在中国传统文化影响下，通过个人道德修为、社会关系制约、国家法律规范三重保障，明清土地契约得以顺利履行。
明清时期，土地所有权发生了多重性结构变化，土地所有权和使用权产生实质性分离，由此出现了买卖、典当、质押等多种类型的土地契约文书。这些土地契约虽然因为土地转移权属类型、乡间俗例的差异而各有不同，但是为了双方快速便捷交易，明清时期已形成类似标准化的“格式合同”。这种契约几乎包含了民事合同的所有要件，对双方的权利义务进行了明确的界定和规范。例如，“明万历三十九年浙江会稽县叶汝兰与祁某某的绝卖契”，出卖人叶汝兰享有订立契约当日收到地价银180两的权利，同时应保证自己拥有出卖的两段山地的所有权；买受人祁某某则应向叶某交付地价银，按照“推头通例”交纳契税完成过户后，即拥有该土地的所有权。契约文书对当事人权利和义务的明确规范，对这一时期土地权属流转起到了重要保障作用。契约的顺利履行首先有赖于当事人的自觉自愿，取决于当事人是否重信守诺，是否能做到自我的道德约束。
传统中国是一个农业国家，土地问题直接关系到赋税征收、人口变迁等重要问题。明清时期在充分考虑社会实际情况的基础上，优先尊重土地交易当事人的意愿，同时辅之以熟人社会网络关系制约，更有国家法律制度加以规范，尽可能保障土地交易流转关系的安全稳定，从而实现稳定社会秩序的目的。
（摘编自姬元贞《明清履行土地契约的三重保障》，有删改）
C．FAST采用球面主动反射面技术，主要支撑结构采用创新性索网技术，这一技术能将球面改成抛物面，通过球面的变形实现对天体跟踪式的观测。
D．新型天体脉冲星是一种中子星，密度非常高，它以目前已知的最稳定的周期在高速自转，被誉为自然界中最稳定的天文时钟。

湖南师大附中2019届高三语文摸底考试试题(附答案)

炎德•英才大联考湖南师大附中2018年春季高二期末考试暨2019届高三摸底考试语文得分：___________本试题卷分第I卷（阅读题）和第II卷（表达题）两咅盼，共10页。

时量150分钟，满分150分。

第I卷（阅读题，共70分）一、现代文阅读G6分）（一）论述类文本阅读（9分）阅读下面的文字，完成1 ~ 3题。

所谓六艺乃春秋时固有之学问,先孔子而存在，孑厅实未制作之。

但孔子虽未曾制作六艺，却曾以六艺教弟子。

故后人以六艺为特别与孔子有密切关系，亦非毫无根据。

以六艺教人，并不必始于孔子,据《国语》，士昼教楚太子之功课表中,已有"诗""礼""乐""春秋""故志"等。

但此等教育，并不是一般人所能受。

不但当时之平民未必有机会受此等完全教育,即当时之贵族亦未必尽人皆有受此等完全教育之机会。

吴王寿梦第四子季礼到鲁方能见各国之诗与乐，可见"乐""诗"各书,在当时乃是极名贵的典籍学问。

孔子则抱定"有教无类"之宗旨，"自行束脩以上，吾未尝无悔焉"。

如此大招学生，不问身家，凡缴学费者即收，一律教以各种功课,教读各种名贵典籍，此实一大解放也。

故以六艺教人，或不始于孔子；但以六艺教一般人，使六艺民众化,实始于孔子。

以后各家蜂起,竞聚生徒，然此风气实孔子开之。

孔子之讲学,又与其后别家不同。

别家皆注重其自家之一家言，如《庄子•天下篇》所说，墨家弟子诵《墨经》。

但孔子则是教育家，他讲学目的，在于养成"人",养成为国家服务之人,并不在于养成某一家的学者。

所以他教学生读各种书,学各种功课。

所以颜渊说："博我以文，约我以礼。

”《庄子•天下篇》讲及儒家，即说："诗”以道志，"书" 以道事，"礼"以道行，"乐"以道和，"剔以道阴阳，"春秋”以道名分。

湖南师大附中2019届高三摸底考试(高二上学期期末考试)理数试卷含答案

炎德 ·英才大考湖南大附中2018 年春天高二期末考2019 届高三摸底考数学(理科)命：仁亮朱修周刘才：高二数学量： 120 分分： 150 分得分： ______________一、：本大共第Ⅰ卷12 小，每小 5 分，共 60 分，在每个小出的四个中，只有一是切合目要求的．1．已知复数 z 足 (2 ＋ i )z ＝ 2－ i ( i 虚数位 ) ， z 等于A ．3＋ 4iB ． 3－ 4i. 3 ＋ 4. 3 － 4 C 5 5i D5 5i2．已知 P ＝{x|x2－ 5x ＋4＜ 0} ， Q ＝ { x|y ＝4－ 2x} ， P ∩Q 等于A ．(1 ， 4)B ．[2 ，4)．(1 ， 2]．( －∞， 2]CD3．已知两本数据 {x 1，x 2，⋯， x n } 、{y1，y 2，⋯， y m } 的均匀数分h 和 k ，把两数据归并成一此后，本的均匀数h ＋ k nh ＋ mk A . 2B . m ＋ nmh ＋ nkh ＋ kC .m ＋ nD .m ＋ n4．已知 {a} 等比数列， a >0， a ＋a ＝ 2， a a ＝－ 8， a ＋ a ＋ a ＋ a 等于n 1 4 7 5 614710A ．－ 7B ．－ 5C ．5D ． 75．如是一几何体的平面睁开，此中四形点，在此几何体中，出下边4 个：①直 BE 与直 CF 异面； ②直 BE 与直 AF 异面； ③直 EF ∥平面 PBC ； ④平面 BCE ⊥平面 PAD.此中正确的有ABCD 正方形， E ，F 分PA ，PD 的中A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个x2y2y2x2 6．已知双曲a2 －＝ 1(a>0 ，b>0) 以及双曲b2－a2b2＝ 1(a>0 ， b>0) 的近将第一象限三平分，则双曲线x2－y2＝ 1(a>0 ，b>0) 的离心率为a2 b22 32 3 A ．2或 3B .6或3．2或 3.3或 6CD7．函数 f(x) ＝ sin (2x ＋φ )( 0≤φ≤ π) 图像向右平移π y 轴对称，则 φ个单位后对于6的值是π π 5πA ．0B . 6C . 3D . 68．在正三角形 ABC 内任取一点P ，则点 P 到 A ， B ，C 的距离都大于该三角形边长一半的概率为3π3π 3π3πA ．1－ 6B ． 1－ 12C ．1－ 9D ． 1－ 189．底面是边长为 1 的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为2 2π3π23π2πA .B .3 C .3 D .3 3 10．在平面直角坐标系中， A ，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x ＋y － 4＝ 0 相切，则圆 C 面积的最小值为4π 3π5π A . 5B . 4C ． (6 － 2 5) πD . 4ex ， x ≤ 0，F(x) ＝ f(x) － x － 1，且函数 F(x) 有 2 个零点，11．已知函数 f(x) ＝x2＋ ax ＋ 1， x ＞ 0，则实数 a 的取值范围为．( －∞， 0]．( －∞， 1)ABC ．[1 ，＋∞ )D ． (0 ，＋∞ )12．已知 [ x ) 表示大于 x 的最小整数，比如[ 3) ＝ 4，[ － 1.3 ) ＝－ 1，以下命题中正确的是①函数 f(x) ＝ [ x ) － x 的值域是 ( 0， 1] ；②若 {a n } 是等差数列，则 { [ an ) } 也是等差数列；③若 {a n } 是等比数列，则 { [ an ) } 也是等比数列； ④若 x ∈ (1 ，2 018) ，则方程 [ x ) －x ＝1有 2 017 个根．2A ．②④B ．③④C ．①③D ．①④选择题答题卡题号 123456789101112得分答案第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 5 小题，每题 4 分，共20 分．13．从 3 名男同学和2 名女同学中任选2 名参加体能测试，则恰有 1 名男同学参加体能测试的概率为 ________． ( 结果用最简分数表示 )14．《九章算术》是我国古代内容较为丰富的数学名著，书中有以下问题： “今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一． ”1 就是说：圆堡壔 ( 圆柱体 ) 的体积 V ＝12× ( 底面的圆周长的平方×高 ) ，则该问题中圆周率 π的取值为 ________． ( 注：一丈＝ 10 尺)15. 1＋ 1(1 ＋ x) 6 睁开式中 x 2 的系数为 ________． ( 结果用数字表示 )x216．如图 2，“六芒星”由两个全等的正三角形构成，中心重合于点O 且三组对边分别平行．点 A ，B 是“六芒星” ( 如图 1) 的两个极点，动点 P 在“六芒星”上( 内部以及界限 →) ，若OP→ →＝ xOA ＋yOB ，则 x ＋y 的最大值是 ________．三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17． ( 本小题满分 11 分 )如图，△ ABC 是等边三角形， D 是 BC 边上的动点 ( 含端点 ) ，记∠ BAD ＝α，∠ ADC ＝β. (1) 求 2cos α－ cos β的最大值；1(2) 若 BD ＝ 1， cos β＝ 7，求△ ABD 的面积．18.( 本小题满分11 分)已知正项等比数列{an} 的公比为3457534的等差中项．数列 {bn} q，且 a＋a ＋ a ＝16，3a是 a ，a知足 b1＝ 1，数列{( bn＋ 1－ bn)·an}的前 n 项和为 2n2＋ n.(1)求数列 { an} 的通项公式；(2)求数列 {b n } 的通项公式．19.( 本小题满分12 分)已知某几何体的直观图和三视图以以下图所示，此中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．(1)→ 1→；设Μ为ΑΒ中点，若 BP＝ PC. 求证：ΜΡ∥平面 CΝΒ13(2)设二面角Β－ CΒ1－Ν大小为θ，求sinθ的值．20.(本小题满分12 分)某卫生监察检查部门对 5 家餐饮店进行卫生检查，若检查不合格，则一定整顿．若整顿后经复查仍不合格，则强迫封闭．设每家餐饮店检查能否合格是互相独立的，且每家餐饮店整顿前合格的概率是 0.5 ，整顿后复查合格的概率是 0.8. 计算：(1)恰巧有两家餐饮店一定整顿的概率；(2)均匀有多少家餐饮店一定整顿；(3)起码封闭一家餐饮店的概率． ( 精准到 0.01)21.( 本小题满分12 分)x2y2223已知椭圆 C：a2＋b2＝ 1(a>b>0) ，其焦点为F1， F2，离心率为2，若点 P 2 ，2知足12|PF| ＋ |PF | ＝ 2a.(1)求椭圆 C的方程；(2)若直线 l ：y＝ kx ＋ m(k，m∈ R) 与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的重心→→5G知足： F1G· F2G＝－9，务实数 m的取值范围．22.( 本小题满分12 分)设函数 f ( x)＝ln( x＋a)＋ x2.(1) 若f ( x) 为定义域上的单一函数，务实数 a 的取值范围；x 2(2)若 g( x)＝e＋ x － f ( x)，当 a≤2时，证明： g( x)>0.炎德·英才大考湖南大附中2018 年春天高二期末考 2019 届高三摸底考数学 ( 理科 ) 参照答案一、2－i（2－i ）（ 2－i ） 3 41． D 【分析】由 ( 2＋ i ) z ＝ 2－ i ，得 z ＝2＋i ＝（2＋i ）（ 2－i ）＝5－5i ，故 D.2． C 【分析】解 x 2－ 5x ＋ 4＜ 0，即 ( x － 1)( x －4) ＜ 0，得 1＜x ＜ 4，故 P ＝( 1，4) ．Q 表示函数 y ＝ 4－2x 的定域，所以 4－2x ≥ 0，所以 x ∈ ( －∞ ，2] ，即 Q ＝ ( － ∞ ，2] ．故 P ∩ Q＝(1 ，2] ．故 C.3．B 【分析】因本数据 { x 1，x 2，⋯ ，x n } 的均匀数 h ，{ y 1，y 2，⋯ ，y m } 的均匀数 k ，所以第一数据和，第二数据和，所以把两数据归并成一此后，本nhmknh ＋mk的均匀数m ＋n ，故 B. 4．B 【分析】由等比数列的性可得 a 5a 6＝ a 4a 7＝－ 8，又 a 4＋ a 7＝2，解得 a 4＝－ 2，a 7＝4 或 a 7＝－ 2，a 4＝ 4，因 a 7＝ a 1q 6>0，所以 a 4 ＝－ 2， a 7＝ 4，a 7＝ a 4q 3＝－ 2q 3＝ 4，所以 q 3＝－a43＝－ 8，所以a1＋ 4＋ 7＋ 10＝－ 5，故 B.2，所以 1＝＝1， 10＝ 7aq3a a qaaa5． B 【分析】将睁开原几何体 ( 如 ) ，因 E ，F 分 PA ， PD 的中点，所以EF ∥ AD ∥ BC ，即直 BE 与 CF 共面，① ；因 B ?平面 PAD ， E ∈平面 PAD ，E ?AF ，所以 BE 与AF 是异面直， ②正确；因 EF ∥ AD ∥ BC ，EF 平面 PBC ，BC 平面 PBC ，所以 EF ∥平面 PBC ，③正确；平面 PAD 与平面 BCE 不必定垂直，④ ．故 B.6．A【分析】由意可知，双曲 x2 － y2 ＝1(＞ 0，＞ 0) 的近的斜角30° 或a2b2abb3cc2 a2＋b2 b22 360° ， k ＝ a ， ∴ k ＝ 3或 3 ， e ＝ a ， ∴ e ＝ a2＝a2 ＝1＋a2＝ 2 或 3 .7． D【分析】 f ( x ) ＝ sin ( 2x ＋ φ)( 0≤ φ≤ π ) 像向右平移π6 个位后获得的函数是ππππg ( x ) ＝ si n 2x － 3 ＋φ ，又 g ( 0) ＝ sin － 3 ＋φ ＝ ±1，得 φ－ 3 ＝ k π ＋ 2 ( k ∈ Z) ，∴ φ＝5πk π ＋ 6 ( k ∈Z) ，故 D.8．A 【分析】足条件的正三角形ABC 如所示：2，此中正三角形 ABC 的面S △3ABC 的点 A ，B ，C 的距离起码有一个小于1 的平面区＝ 4 ×4＝ 3. 足到正三角形ABC1域如中暗影部分所示，其加起来是一个半径1 的半， S 暗影＝2π ，使取到的点到三个点 A ， B ， C 的距离大于 1 的概率 P ＝1－3π6 ，故 A.9．D【分析】设四棱锥为 P － ABCD ，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形， PA ＝ PB ＝ PC ＝PD ＝1 的外接球的半径为 R ，过 P 作 PO ⊥ 底面 ABCD ，垂足 O 为正方形 ABCD 的对角线 AC ，BD 的交点，11222 设球心为 O ，连结 AO ，因为 AO ＝ PO ＝ R ，AO 1＝ PO 1＝ 2 ，OO 1＝ 2 － R ，在 Rt △ AOO 1中， 2 －R2222 24342 3 2π＋ 2＝ R ，解得 R ＝ 2 ， V 球＝ 3π R ＝ 3π2＝ 3.110． A 【分析】设直线 l ： 2x ＋ y － 4＝ 0. 因为 | OC |＝2| AB | ＝ d 1，此中 d 1 为点 C 到直线 l1 1 4的距离，所以圆心 C 的轨迹为以 O 为焦点，l 为准线的抛物线．圆 C 半径最小值为2d 2＝ 2×5＝222＝4π.应选 A.，此中 d 2 为点 O 到直线 l 的距离，圆 C 面积的最小值为 π5 5511．B 【分析】因为 F ( x ) ＝ f ( x ) － x －1，且函数 F ( x ) 有 2 个零点，即 f ( x ) － x － 1＝0 有2 个实数根，所以当 x ≤ 0 时，令 e x －x － 1＝ 0，解得 x ＝ 0，此时只有一个实数根，当 x ＞ 0 时，令 f ( x ) －x － 1＝ 0，即 x 2＋ ( a － 1) x ＝ 0，即 x [ x － ( 1－ a )] ＝ 0，此时解得 x ＝ 1－ a ，要使得函数F ( x ) 有 2 个零点，则 1－ a ＞ 0，所以 a ＜1，应选 B.12． D 【分析】当 x ∈Z 时， [ x ) ＝x ＋ 1， f ( x ) ＝ [ x ) － x ＝ x ＋ 1－x ＝ 1；当 x Z 时，令 [)x ＝ n ＋ a n Z a ∈ ( 0 ， 1) ，则 [ x ) n 1 ， f ( x )＝ [ x )－ x ＝ 1 a ( 0， 1) ，所以 f ( x )＝ x ， ∈ ，＝＋－ ∈－ x 的值域是 ( 0，1 ； 0.9 ，， 1.1 是等差数列，但 [ 0.9 ) ＝， [ 1 ) ＝， [ 1.1 ) ＝ 2 不行等差] 1 1 2数列； 0.5 ，1，2 是等比数列，但 [ 0.5 ) ＝ 1，[ 1) ＝ 2，[ 2) ＝ 3 不行等比数列；由前剖析可得当 x ∈Z 时， f ( x ) ＝1；当 x Z ，＝＋， ∈Z ， ∈ (0 ，1) 时， f ( x ) ＝1－ a ＝1－( － ) ＝＋ 1) x n a n x a1 ( 1 x n n1 x ，所以 f ( x ＋＝ f ( x ) ，即 f ( x ) ＝ [ ) －是周期为的函数，因为 x ∈ ，2) 时 f ( x ) ＝－ x1 312－ x ＝ 2，x ＝ 2，即一个周期内有一个根，所以若 x ∈ ( 1， 2 018) ，则方程 [ x ) － x ＝ 2有 2 017个根．①④正确，应选 D.二、填空题313. 5【分析】从 3 名男同学和2 名女同学中任选 2 名参加体能测试，则恰有 1 名男同学C13C123参加体能测试的概率为C25＝5.21214．3【分析】圆柱体体积公式V ＝π r h ，而由题意有 V ＝12× ( 2π r ) × h ，所以 π ＝3.15．30 【分析】因为 1＋1( 1＋ ) 6＝ 1·( 1＋ ) 6＋ 1 ·( 1＋ ) 6，则 ( 1＋ ) 6 睁开式中含x2 xxx2x x22216214 2 2x 的项为 1·C62x ＝ 15x ， x2·( 1＋ x ) 睁开式中含 x 的项为 x2·C64x ＝ 15x ，故 x 的系数为 15＋ 15＝ 30.16．5 【分析】令正三角形边长为3，则 →＝ ( 1，0) ，→＝33，设直线与OBOA－2，2AB OC→ → →P 在 C 点时，x ＋y 有最大的交点为点 D ，若OD ＝ xOA ＋ yOB ，则 x ＋y ＝ 1. 又由线性规划知识知当值，此时 →＝ 5→，故 x ＋ y 的最大值是 5.OP OD三、解答17．【分析】 ( 1) 由 △是等三角形，得 β ＝α ＋π，ABC3ππ3sinπ0≤ α≤ 3 ，故 2cos α－ cosβ ＝2cos α－cos α＋ 3 ＝ α＋ 3 ，π故当 α＝ 6 ，即 D BC 中点，原式取最大3.5分1 4 3( 2) 由 cos β＝ 7，得 sin β ＝ 7，πππ 3 3故 sin α＝ sinβ－3 ＝sinβcos3 － cos βsin3＝14 ， 7 分由正弦定理AB＝ sin BD，sin ∠ADB ∠BAD4 3故 AB ＝ sin β BD ＝ 7 ×1＝ 8 ， 9 分sin α33 314△ ABD11 8 323 .11 分故 S＝ 2AB · BD · sin B ＝ 2× 3×1× 2 ＝3 34 57 534 5 1343a5 a518．【分析】 ( 1) 依意，a ＋ a ＋ a ＝ 16，6a＝ a ＋ a ， a＝16，a ＋ a ＝ 8，得 q2＋ q ＝38，21 1 11即 6q － q － 1＝ 0，解得 q ＝ 2或 q ＝－ 3( 舍 ) ，所以 q ＝ 2，a＝ 1，∴数列 { an } 的通公式 a n ＝1 n －1分2.5 ( 2)c n ＝ ( b n ＋ 1－ b n ) · a n ，数列 { cn } 的前n 和S n ，S n ＝ 2n 2 ＋ n ，所以 c n ＝S1 （ n ＝1），Sn －Sn －1 （n ≥2）解得 c n ＝ 4n －1.7 分nnn － 1nnn － 2b所以 b ＋1－ b＝ ( 4n － 1)·2 ，故 b－b － 1＝( 4n － 5) ·2 ， n ≥ 2，b1＝()＋ (bn －1－bn －2 )＋⋯ ＋() ＋ ()n － bn －bn －1 b3－b2 b2－b1n － 2 n － 3 1分＝(4 －5)·2 ＋(4 －9) ·2 ＋⋯＋7·2＋3，9n1nn －3n －2n＋，T ＝3＋7·2＋ ⋯ ＋( 4n － 9) ·2( 4n － 5) ·22 n ＝ 3·2＋2n －2 ＋ ( 4n －1，7·2＋⋯ ＋(4 －9)·2－5) ·2Tnn1n － 3n －2－n －1，所以，－ T n ＝ 3＋ 4·2＋ ⋯＋ 4·2 ＋ 4·2( 4n － 5) ·2所以 T n ＝ ( 4n －n －19) ·2 ＋ 5，n ≥ 2，又 b 1＝ 1，n分所以 b n ＝( 4n － 9) ·2－ 1＋ 6.11 19．【分析】 (1) 明：∵ 几何体的正矩形，等腰直角三角形，俯直角梯形， ∴ ，， 1 两两垂直．且＝ 4，＝ 4， 1＝ 8，＝ 4，BA BC BBBCBABBAN以 BA ， BB 1， BC 分 x ， y ， z 成立空直角坐系，如则 N ( 4， 4，0) ， B 1( 0，8， 0) ，C 1( 0， 8， 4) ， C ( 0，0， 4) ，∴ M ( 2， 0，0) ．BP 12＝ (，， ) 为平面1的一个法向∵ ＝，∴ ( 0，0，1) ，则→＝ ( － 2， 0，1) ，设n xPC 3PMPy z NCB量，→（x ， y ，z ）·（ 4，4，－4）＝ 0 x ＋y － z ＝0，n2·CN ＝0则（x ， y ，z ）·（－ 4，4，0）＝ 0 －x ＋y ＝0，→n2·NB1＝→取 n ＝ ( 1，1，2) ，∴MP · n ＝ ( － 2，0，1) ·( 1，1，2) ＝ 0，又 PM 平面 CNB ，∴ MP ∥平221面16 分CNB( 2) 由 ( 1) 可知平面 ΒC Β的一个法向量为 BA ＝ ( 4，0，0) ，平面 C Β Ν的法向量为 n ＝( 1，1→1 21，2) ，→（4，0，0）·（1，1，2）630BA ·n2， ∴ sin θ ＝分则 cos θ＝ →＝＝66.12|BA||n2|4× 6【注】此题只给出向量法，其余方法请参照标准酌情给分．20．【分析】 (1) 每家餐饮店一定整顿的概率是1－0.5＝ 0.5 ，且每家餐饮店能否整顿是相互独立的．所以恰巧有两家餐饮店一定整顿的概率是P 1＝C52× ( 1－0.5 ) 2× 0.5 3＝ 5.4 分16 (2) 由题知，一定整顿的餐饮店数 ξ 听从二项散布 B (5 ， 0.5) ．进而 ξ 的数学希望是E ξ＝5×0.5 ＝ 2.5 ，即均匀有 2.5 家餐饮店一定整顿 .8 分(3) 某餐饮店被封闭，即该餐饮店第一次检查不合格，整顿后经复查仍不合格，所以该餐饮店被封闭的概率是 P 2＝ ( 1－0.5 ) × ( 1－ 0.8 ) ＝0.1 ，进而该餐饮店不被封闭的概率是 0.9. 由题意，每家餐饮店能否被封闭是互相独立的，所以起码封闭一家餐饮店的概率是 3＝ 1－ 0.9 5≈P分21．【分析】 ( 1) 由＝ 2C 的方程为 x2 2y2，可设椭圆＋＝ 1，e2a2 a2点 P231322，2知足PF ＋ PF ＝2a ，等价于点 P 在椭圆上，∴2a2＋ 2a2＝1，∴ a＝ 2，12x22所以椭圆 C 的方程为 2 ＋ y＝1.5 分(2)设 ( 1， y 1)， (2， y 2) ，联立得方程组 y ＝kx ＋m ，A xB xx2＋2y2－ 2＝0，2 22消去 y 并整理得 ( 1＋2k ) x ＋ 4kmx ＋ 2m － 2＝ 0，则错误!①.7分→→52 24设 △ AOB 的重心为 G ( x ， y ) ，由 F1G ·F2G ＝－ 9，可得 x ＋ y ＝ 9. ②由重心公式可得G x1＋x2 y1＋y2，代入 ② 式，3 ， 3整理可得 ( x 1＋ x 2) 2＋ ( y 1＋ 2) 2＝4 ( x 1＋ x 2)2＋[ k ( 1＋ 2)＋2 ] 2＝4， ③yxxm2 （1＋2k2） 2 分将 ① 式代入③式并整理，得 m ＝ 1＋4k2 ，102（1＋2k2）24k4412则 m ＝1＋4k2 ＝ 1＋1＋4k2＝ 1＋ 41.又由>0 可知 k ≠0，令 t ＝ k2>0，∴ t＋k2＋k44 >0，2t∪ (1，＋∞) .12分∴ m >1， ∴ m ∈ ( － ∞ ，－ 1)22．【分析】 ( 1) 解法 1： f ( x ) 的定义域为 ( － a ，＋ ∞) ， f ′ ( x ) ＝2x2＋ 2ax ＋1x ＋a方程 2x 2＋ 2ax ＋ 1＝0 的鉴别式＝ 4a 2－ 8.(ⅰ)若<0，即－< <2 ，在 f ( ) 的定义域内 f ′ ( x ) >0，故 f ( x ) 单一递加．2 ax( ⅱ ) 若＝ 0，则 a ＝ 2或 a ＝－ 2.若＝ 2 ， x ∈( －2 ，＋∞)，′ (x （ 2x ＋1）2) ＝.afx ＋ 2222当 x ＝－2 时，f ′( x ) ＝ 0，当 x ∈－ 2，－ 2∪ － 2 ，＋∞ 时，f ′ ( x ) >0，所以 f ( x )单一递加．若 a ＝－2， x ∈ ( 2，＋ ∞ ) ，f ′ ( x ) ＝（ 2x －1）2x － 2>0，f ( x ) 单一递加．(ⅲ)若 >0，即 >2 或 a <－2 ，a则2＋ 2ax ＋1＝ 0 有两个不一样的实根 x 1＝－a － a2－2 －a ＋ a2－22x2 ， x 2＝2.当 a <－ 2时，x 1<－ a ，x 2<－ a ，进而 f ′( x ) 在 f ( x ) 的定义域内没有零点，故 f ( x ) 单一递增．当 a > 2 时， x >－， x >－， f ′ ( x ) 在 f ( ) 的定义域内有两个不一样的零点，12即 f ( x ) 在定义域上不但一．综上：实数 a 的取值范围为 a ≤ 2.6 分解法 2：很明显 f ′ ( x ) 不行能有连续零点，若 f ( x ) 为定义域上的单一函数，1则 f ′( x ) ≤0或 f ′ ( x ) ≥0恒成立，又 f ′ ( x ) ＝ x ＋a ＋ 2x ，因为 x ＋a >0，所以 f ′ ( x )<0 不行能恒成立，所以 f ( x ) 为定义域上的单一函数时，只可能 f ′ ( x ) ≥0恒成立，1111即 x ＋ a ＋ 2x ≥0恒成立，即 x ＋a ＋ 2( x ＋a ) － 2a ≥0，即 2a ≤ x ＋a ＋ 2( x ＋ a ) ，而 x ＋ a ＋ 2( x＋ a ) ≥2 2，所以 2a ≤2 2，a ≤2，即实数 a 的取值范围为 a ≤ 2.12x2＋2ax ＋1解法 3：由解法 2 可知 x ∈( － a ，＋ ∞) ，x ＋a ＋ 2x ≥0恒成立，得x ＋a≥0恒成立，2aa即 2x＋ 2ax ＋ 1≥0恒成立，( ⅰ )当 a ≤0时，－ a －－2 ＝－ 2≥0，所以 2x 2＋ 2ax ＋ 1>2a 2－ 2a 2＋ 1＝1，所以当 a ≤0时 2x 2＋ 2ax ＋1≥0恒成立；(ⅱ)当 a >0 时，－－－a ＝－ a <0，所以 ( 2 x 2＋2 ＋ 1) min ＝－ a2＋ 1，a22ax2a22所以－2 ＋1≥0时 2x ＋ 2ax ＋1≥0恒成立，解得 0<a ≤2，综上：实数 a 的取值范围为a ≤ 2.( 2) 因为 g ( x ) ＝e x ＋ x 2－ f ( x ) ＝ e x － ln ( x ＋a ) ，当 a ≤2， x ∈ ( － a ，＋∞ ) 时， ln( x ＋ a ) ≤ln( x ＋ 2) ，故只要证明当 a ＝2 时， g ( x )>0.当 a ＝ 2 时，函数 ′( x ) ＝ e x －1在(－2，＋∞) 上单一递加， g x ＋2又 g ′ ( －1) <0， g ′( 0) >0，故 g ′ ( x ) ＝ 0 在 ( － 2，＋ ∞ ) 上有独一实根 x 0，且 x 0∈ ( － 1，0) ，当 x ∈ ( －2，x 0) 时，g ′ ( x ) <0，当 x ∈ ( x 0，＋ ∞ ) 时，g ′ ( x ) >0，进而当 x ＝ x 0 时， g ( x ) 取得最小值 g ( x 0) ．1由 g ′( x 0) ＝ 0 得 e x 0＝ x0＋2， ln ( x 0＋ 2) ＝－ x 0，1x20＋ 2x0＋ 1（x0＋1）2故 g( x0)＝e x0－ln ( x0＋2)＝x0＋2＋ x0＝x0＋2＝x0＋2>0，所以g( x) ≥g( x0 ) >0.综上，当a≤2时， g( x)>0.12分。

基本不等式及其应用

基本不等式及其应用【考试要求】1.掌握基本不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)；2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 【知识梳理】1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. (3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数. 2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).【微点提醒】1.b a ＋ab≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2.21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0). 3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的.( ) (2)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x的最小值为4.( )(4)x ＞0且y ＞0是x y ＋yx ≥2的充要条件.( )【教材衍化】2.(必修5P99例1(2)改编)若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.9 B.18C.36D.813.(必修5P100练习T1改编)若x <0，则x ＋1x ( )A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为－2D.有最大值，且最大值为－2【真题体验】4.(2019·浙江镇海中学月考)已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值为( ) A.12 B.43C.－1D.05.(2018·济宁一中月考)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大.6.(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.【考点聚焦】考点一利用基本不等式求最值角度1 利用配凑法求最值【例1－1】 (1)(2019·乐山一中月考)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________.(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为______.角度2 利用常数代换法求最值【例1－2】 (2019·潍坊调研)函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，且m ，n 为正数，则1m ＋1n 的最小值为________.角度3 基本不等式积(ab )与和(a ＋b )的转化【例1－3】 (经典母题)正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________.【迁移探究】本例已知条件不变，求a ＋b 的最小值.【规律方法】在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.【训练1】 (1)(2019·济南联考)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( ) A.2B.12C.4D.14(2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________.考点二基本不等式在实际问题中的应用【例2】运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升，司机的工资是每小时14元. (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.【规律方法】1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【训练2】网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元.考点三基本不等式与其他知识的综合应用【例3】 (1)(2019·河南八校测评)已知等差数列{a n }中，a 3＝7，a 9＝19，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＋10a n ＋1的最小值为________.(2)(一题多解)(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________.【规律方法】基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是：1.先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点.2.要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式.3.检验等号是否成立，完成后续问题.【训练3】 (1)(2019·厦门模拟)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( )A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1)C.(－1，22－1)D.(－22－1，22－1)(2)在各项都为正数的等比数列{a n }中，若a 2 018＝22，则1a 2 017＋2a 2 019的最小值为________.【反思与感悟】1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.【易错防范】1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.2.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋mx (m >0)的单调性.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟) 一、选择题1.(2019·孝感调研)“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.下列结论正确的是( )A.当x>0且x≠1，lg x＋1lg x≥2B.1x2＋1<1(x∈R)C.当x>0时，x＋1x ≥2D.当0<x≤2时，x－1x无最大值3.(2019·绵阳诊断)已知x>1，y>1，且lg x，2，lg y成等差数列，则x＋y有()A.最小值20B.最小值200C.最大值20D.最大值2004.设a>0，若关于x的不等式x＋ax－1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为()A.16B.9C.4D.25.(2019·太原模拟)若P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，且A(－1，0)，B(1，0)，则|PA|＋|PB|的最大值为()A.2B.2 2C.4D.4 26.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A.60件 B.80件 C.100件 D.120件7.若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.48.(2019·衡水中学质检)正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.[3，＋∞) B.(－∞，3] C.(－∞，6]D.[6，＋∞)二、填空题9.函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.10.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元.11.已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.12.已知直线mx＋ny－2＝0经过函数g(x)＝log a x＋1(a>0且a≠1)的定点，其中mn>0，则1m＋1n的最小值为________.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.(2018·江西师大附中月考)若向量m＝(a－1，2)，n＝(4，b)，且m⊥n，a>0，b>0，则log13a＋log31b有()A.最大值log312 B.最小值log32C.最大值log1312 D.最小值014.(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则4a ＋b＋a ＋b c 的最小值为( )A.2B.2＋ 2C.4D.2＋2 215.(2017·天津卷)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________.16.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R)，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________.【新高考创新预测】17.(多填题)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则x －y 的取值范围为________，1x ＋xy 的最小值为________.答案【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的.( ) (2)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x的最小值为4.( ) (4)x ＞0且y ＞0是x y ＋yx ≥2的充要条件.( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×【解析】 (1)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ；不等式a ＋b2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0. (2)函数y ＝x ＋1x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x没有最小值. (4)x >0且y >0是x y ＋yx ≥2的充分不必要条件.【教材衍化】2.(必修5P99例1(2)改编)若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.9 B.18 C.36 D.81【答案】 A【解析】因为x ＋y ＝18，所以xy ≤x ＋y2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立.3.(必修5P100练习T1改编)若x <0，则x ＋1x ( )A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为－2D.有最大值，且最大值为－2【答案】 D【解析】因为x <0，所以－x >0，－x ＋1－x ≥21＝2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x ＋1x ≤－2.【真题体验】4.(2019·浙江镇海中学月考)已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值为( ) A.12B.43C.－1D.0【答案】 D【解析】 f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号.又1∈⎣⎡⎦⎤12，3，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值为0. 5.(2018·济宁一中月考)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大. 【答案】 15152【解析】设矩形的长为x m ，宽为y m.则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号.6.(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.【答案】 14【解析】由题设知a －3b ＝－6，又2a >0，8b >0，所以2a ＋18b ≥22a ·18b ＝2·2a －3b 2＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号.故2a ＋18b 的最小值为14.【考点聚焦】考点一利用基本不等式求最值角度1 利用配凑法求最值【例1－1】 (1)(2019·乐山一中月考)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________.(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为______.【答案】 (1)92(2)1【解析】 (1)y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋（3－2x ）22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0＜x ＜32的最大值为92.(2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3 ≤－2（5－4x ）·15－4x ＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立.故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 角度2 利用常数代换法求最值【例1－2】 (2019·潍坊调研)函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，且m ，n 为正数，则1m ＋1n 的最小值为________.【答案】 4【解析】 ∵曲线y ＝a 1－x恒过定点A ，x ＝1时，y ＝1，∴A (1，1).将A 点代入直线方程mx ＋ny －1＝0(m >0，n >0)，可得m ＋n ＝1，∴1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ·(m ＋n )＝2＋n m ＋m n≥2＋2n m ·mn＝4，当且仅当n m ＝m n 且m ＋n ＝1(m >0，n >0)，即m ＝n ＝12时，取得等号.角度3 基本不等式积(ab )与和(a ＋b )的转化【例1－3】 (经典母题)正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________. 【答案】 [9，＋∞)【解析】 ∵a ，b 是正数，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，解得ab ≥3，即ab ≥9. 【迁移探究】本例已知条件不变，求a ＋b 的最小值. 【答案】见解析【解析】 ∵a >0，b >0，∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，即a ＋b ＋3≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，整理得(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0，解得a ＋b ≥6或a ＋b ≤－2(舍).故a ＋b 的最小值为6.【规律方法】在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.【训练1】 (1)(2019·济南联考)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A.2B.12C.4D.14(2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________. 【答案】 (1)B (2)5【解析】(1)因为a>0，b>0，故2a ＋b≥22ab(当且仅当2a ＝b 时取等号). 又因为2a ＋b ＝4，∴22ab ≤4⇒0<ab≤2， ∴1ab ≥12，故1ab 的最小值为12(当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立). (2)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫15y ＋35x ＝135＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，所以3x ＋4y 的最小值是5. 考点二基本不等式在实际问题中的应用【例2】运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升，司机的工资是每小时14元. (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 【答案】见解析【解析】 (1)设所用时间为t ＝130x (h)，y ＝130x ×2×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50，100]. 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100] (或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100]).(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时等号成立.故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元. 【规律方法】1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【训练2】网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元. 【答案】37.5【解析】由题意知t ＝23－x －1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y ＝⎝⎛⎭⎫48＋t 2x x －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3 ＝45.5－⎣⎡⎦⎤16（3－x ）＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元.考点三基本不等式与其他知识的综合应用【例3】 (1)(2019·河南八校测评)已知等差数列{a n }中，a 3＝7，a 9＝19，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＋10a n ＋1的最小值为________.(2)(一题多解)(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________. 【答案】 (1)3 (2)9【解析】 (1)∵a 3＝7，a 9＝19，∴d ＝a 9－a 39－3＝19－76＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝7＋2(n －3)＝2n ＋1，∴S n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2)，因此S n ＋10a n ＋1＝n （n ＋2）＋102n ＋2＝12⎣⎡⎦⎤（n ＋1）＋9n ＋1≥12×2（n ＋1）·9n ＋1＝3，当且仅当n ＝2时取等号.故S n ＋10a n ＋1的最小值为3.(2)法一依题意画出图形，如图所示.易知S △ABD ＋S △BCD ＝S △ABC ，即12c sin 60°＋12a sin 60°＝12ac sin 120°， ∴a ＋c ＝ac ，∴1a ＋1c＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4ac ≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”.法二以B 为原点，BD 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D (1，0)，∵AB ＝c ，BC ＝a ， ∴A ⎝⎛⎭⎫c 2，32c ，C ⎝⎛⎭⎫a2，－32a .∵A ，D ，C 三点共线，∴AD →∥DC →. ∴⎝⎛⎭⎫1－c 2⎝⎛⎭⎫－32a ＋32c ⎝⎛⎭⎫a 2－1＝0， ∴ac ＝a ＋c ，∴1a ＋1c＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4ac ≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”.【规律方法】基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是：1.先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点.2.要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式.3.检验等号是否成立，完成后续问题.【训练3】 (1)(2019·厦门模拟)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( )A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1)C.(－1，22－1)D.(－22－1，22－1)(2)在各项都为正数的等比数列{a n }中，若a 2 018＝22，则1a 2 017＋2a 2 019的最小值为________. 【答案】 (1)B (2)4【解析】 (1)由f (x )>0得32x －(k ＋1)3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x .又3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 3 2时，等号成立).所以k ＋1<22，即k <22－1.(2)∵{a n }为等比数列，∴a 2 017·a 2 019＝a 22 018＝12.∴1a 2 017＋2a 2 019≥22a 2 017·a 2 019＝24＝4.当且仅当1a 2 017＝2a 2 019，即a 2 019＝2a 2 017时，取得等号.∴1a 2 017＋2a 2 019的最小值为4.【反思与感悟】1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.【易错防范】1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.2.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋mx (m >0)的单调性.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟) 一、选择题1.(2019·孝感调研)“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立，由ab <a 2＋b 22，可知a ≠b ，a ，b ∈R ，故必要性不成立.2.下列结论正确的是( ) A.当x >0且x ≠1，lg x ＋1lg x≥2 B.1x 2＋1<1(x ∈R) C.当x >0时，x ＋1x≥2 D.当0<x ≤2时，x －1x无最大值【答案】 C【解析】对于A ，当0<x <1时，lg x <0，不等式不成立；对于B ，当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，不等式不成立；对于C ，当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时等号成立；对于D ，当0<x ≤2时，y ＝x －1x 单调递增，所以当x ＝2时，取得最大值，最大值为32.3.(2019·绵阳诊断)已知x >1，y >1，且lg x ，2，lg y 成等差数列，则x ＋y 有( ) A.最小值20 B.最小值200 C.最大值20D.最大值200【答案】 B【解析】由题意得2×2＝lg x ＋lg y ＝lg (xy )，所以xy ＝10 000，则x ＋y ≥2xy ＝200，当且仅当x ＝y ＝100时，等号成立，所以x ＋y 有最小值200. 4.设a >0，若关于x 的不等式x ＋ax －1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a 的最小值为( ) A.16 B.9C.4D.2【答案】 C【解析】在(1，＋∞)上，x ＋a x －1＝(x －1)＋ax －1＋1≥2（x －1）×a（x －1）＋1＝2a ＋1(当且仅当x ＝1＋a 时取等号).由题意知2a ＋1≥5.所以a ≥4.5.(2019·太原模拟)若P 为圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，且A (－1，0)，B (1，0)，则|PA |＋|PB |的最大值为( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2【答案】 B【解析】由题意知∠APB ＝90°，∴|PA |2＋|PB |2＝4， ∴⎝⎛⎭⎫|PA |＋|PB |22≤|PA |2＋|PB |22＝2(当且仅当|PA |＝|PB |时取等号)，∴|PA |＋|PB |≤22，∴|PA |＋|PB |的最大值为2 2.6.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A.60件 B.80件C.100件D.120件【答案】 B【解析】设每批生产产品x 件，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x 8元，总的费用是⎝⎛⎭⎫800x ＋x 8元，由基本不等式得800x ＋x 8≥2800x ＋x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号. 7.若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.4【答案】 C【解析】依题意知a >0，b >0，则1a ＋2b ≥22ab ＝22ab，当且仅当1a ＝2b，即b ＝2a 时，“＝”成立.因为1a ＋2b ＝ab ，所以ab ≥22ab ，即ab ≥22(当且仅当a ＝214，b ＝254时等号成立)，所以ab 的最小值为2 2.8.(2019·衡水中学质检)正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.[3，＋∞) B.(－∞，3] C.(－∞，6]D.[6，＋∞)【答案】 D【解析】因为a >0，b >0，1a ＋9b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9ab ≥16，当且仅当b a ＝9ab，即a ＝4，b ＝12时取等号.依题意，16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立. 又x 2－4x －2＝(x －2)2－6，所以x 2－4x －2的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6. 二、填空题9.函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.【答案】 23＋2【解析】 y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋2x －2＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立. 10.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元. 【答案】 8【解析】每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x >0，故yx ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元. 11.已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 【答案】 6【解析】因为x >0，y >0，所以9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时等号成立.设x ＋3y ＝t >0，则t 2＋12t －108≥0，所以(t －6)(t ＋18)≥0，又因为t >0，所以t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6.12.已知直线mx ＋ny －2＝0经过函数g (x )＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的定点，其中mn >0，则1m ＋1n 的最小值为________. 【答案】 2【解析】因为函数g (x )＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的定点(1，1)在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m 2＋n2＝1.所以1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ⎝⎛⎭⎫m 2＋n 2＝1＋n 2m ＋m 2n ≥1＋2n 2m ·m2n＝2，当且仅当n 2m ＝m2n ，即m 2＝n 2时取等号，所以1m ＋1n的最小值为2.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.(2018·江西师大附中月考)若向量m ＝(a －1，2)，n ＝(4，b )，且m ⊥n ，a >0，b >0，则log 13a ＋log 3 1b有( )A.最大值log 3 12B.最小值log 32C.最大值log 13 12D.最小值0【答案】 B【解析】由m ⊥n ，得m ·n ＝0，即4(a －1)＋2b ＝0，∴2a ＋b ＝2，∴2≥22ab ，∴ab ≤12(当且仅当2a ＝b 时，等号成立). 又log 13 a ＋log 3 1b ＝log 13 a ＋log 13 b ＝log 13 (ab )≥log 1312＝log 3 2，故log 13a ＋log 3 1b有最小值为log 3 2. 14.(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则4a ＋b＋a ＋b c 的最小值为( ) A.2B.2＋ 2C.4D.2＋2 2 【答案】 D【解析】因为△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，所以12(a ＋b ＋c )×1＝1，所以a ＋b ＋c ＝2，所以4a ＋b ＋a ＋b c ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋a ＋b c ＝2＋2c a ＋b＋a ＋b c ≥2＋22，当且仅当a ＋b ＝2c ，即c ＝22－2时，等号成立，所以4a ＋b＋a ＋b c 的最小值为2＋2 2. 15.(2017·天津卷)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________. 【答案】 4【解析】 ∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎨⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. 16.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R)，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________. 【答案】 ⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ 【解析】对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x≥42，当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173， ∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－83，＋∞. 【新高考创新预测】17.(多填题)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则x －y 的取值范围为________，1x ＋x y的最小值为________. 【答案】 (－1，1) 3【解析】 ∵正数x ，y 满足x ＋y ＝1，∴y ＝1－x ，0<x <1，∴－y ＝－1＋x ，∴x －y ＝2x －1，又0<x <1，∴0<2x <2，∴－1<2x －1<1，即x －y 的取值范围为(－1，1).1x ＋x y ＝x ＋y x ＋x y ＝1＋y x ＋x y≥1＋2y x ·x y ＝1＋2＝3，当且仅当x ＝y ＝12时取“＝”；∴1x ＋x y 的最小值为3.。

湖南师范大学附属中学2019届高三摸底考试语文试卷【附答案】

炎德·英才大联考湖南师大附中2018年春季高二期末考试暨2019届高三摸底考试语文得分：____________本试题卷分第Ⅰ卷(阅读题)和第Ⅱ卷(表达题)两部分，共10页。

时量150分钟，满分150分。

第Ⅰ卷(阅读题，共70分)一、现代文阅读(36分)(一)论述类文本阅读(9分)阅读下面的文字，完成1～3题。

所谓六艺乃春秋时固有之学问，先孔子而存在，孔子实未制作之。

但孔子虽未曾制作六艺，却曾以六艺教弟子。

故后人以六艺为特别与孔子有密切关系，亦非毫无根据。

以六艺教人，并不必始于孔子，据《国语》，士亹教楚太子之功课表中，已有“诗”“礼”“乐”“春秋”“故志”等。

但此等教育，并不是一般人所能受。

不但当时之平民未必有机会受此等完全教育，即当时之贵族亦未必尽人皆有受此等完全教育之机会。

吴王寿梦第四子季礼到鲁方能见各国之诗与乐，可见“乐”“诗”各书，在当时乃是极名贵的典籍学问。

孔子则抱定“有教无类”之宗旨，“自行束脩以上，吾未尝无悔焉”。

如此大招学生，不问身家，凡缴学费者即收，一律教以各种功课，教读各种名贵典籍，此实一大解放也。

故以六艺教人，或不始于孔子；但以六艺教一般人，使六艺民众化，实始于孔子。

以后各家蜂起，竞聚生徒，然此风气实孔子开之。

孔子之讲学，又与其后别家不同。

别家皆注重其自家之一家言，如《庄子·天下篇》所说，墨家弟子诵《墨经》。

但孔子则是教育家，他讲学目的，在于养成“人”，养成为国家服务之人，并不在于养成某一家的学者。

所以他教学生读各种书，学各种功课。

所以颜渊说：“博我以文，约我以礼。

”《庄子·天下篇》讲及儒家，即说：“诗”以道志，“书”以道事，“礼”以道行，“乐”以道和，“易”以道阴阳，“春秋”以道名分。

此六者正是儒家教人之六种功课。

惟其如此，所以孔子弟子之成就，亦不一律。

《论语》谓：“德行：颜渊，闵子骞，冉伯牛，仲弓；言语：宰我，子贡；政事：冉有，季路；文学：子游，子夏。

湖南师大附中2019届高三上学期第三次月考试卷语文

湖南师大附中2019届高三第三次月考试题高三语文（满分150分）本试卷分第Ⅰ卷(阅读题)和第Ⅱ卷(表达题)两部分。

其中第Ⅰ卷第三、四大题为选考题，其它题为必考题。

第Ⅰ卷阅读题(70分)甲必考题一、现代文阅读(9分，每小题3分)阅读下面的文字，完成1–3题王维的“名大家”明清诗论中对王维“名大家”的特殊定位不仅是介乎“大家”和“名家”之间的调和性观点，更是王维诗歌的独特成就在传统诗学批评标准之下的特殊境遇之写照。

中国历代诗学在评定一流大诗人的具体标准上存在着一些细微差异，但基本要求一致，即人格高尚、才大力雄、超越时代、泽被后世。

其中，道德标准是成为伟大作家的首要条件，古今中外概莫能外。

“伟大”不仅取决于文学艺术作品本身所表现出的审美价值和思想意义，还取决于作家本人在为人行事方面的崇高和磊落。

杜甫得到“诗圣”的桂冠和普遍的尊奉主要就出于这种观念，所谓“论诗者观其大节而已”。

同样，王维被主流诗学排除在“大家”之外的首要原因也就是其气节人格不够符合儒家正统思想。

王维笃信佛教，不是“醇儒”，所谓“耽禅味而忘诗教，此《三百篇》之罪人矣”。

“陷贼”事件又于大节有亏，宋人对王维的指摘就是典型论调。

而王维的拥护者为了提升王维的地位，首先做的就是强化王维诗歌的伦理道德色彩。

如推尊王维为唐诗正宗的赵殿成在《王右丞诗笺注.序》中努力为王维“陷贼“事件辩诬，强调王维的立身大节以及其诗中”有得于古者诗教之旨”和“温柔敦厚”的一面，都是为了确立王维一流“大家”的诗歌地位。

兼容并蓄，富于学力，气骨沉雄，也是取得“大家”资格的必备条件。

这从宋人以杜甫的“集大成”作为“入圣”的重要条件亦可见出，明代诗学的“格调派”也是以此推尊李、杜为“大家”。

王维之所以“大家不足”，主要是其诗歌表现出的自然情韵与主流诗学倡导的学养和骨力之间的差距。

由于重学力格调，轻自然情韵的思想在诗学传统中长期居于主导地位，代表王维诗歌艺术特色的山水短章向来被视为诗歌正统之外的“一偏”，以至于清初王士祯为了抬高王维的地位，也要强调王维诗歌中的“沉着痛快”。

地形变化的动力(课时1)

4．A为阿贡火山，位于巴厘岛上。下列对巴厘岛地表形态的叙述，正确的是
A．地势起伏小
B．平原面积大
C．以山地为主
D．海岸线平直
5. 读图，回答下列问题。（1）地形名称：甲是__谷__地__（__鞍__部，）乙是____山__地_____。（2）地质构造：甲是__背__斜______，丙是____断__层_____。（3）简要分析甲地地形的形成原因。
A．L1线
B．L2线
7．下列关于该区域的说法正确的是(
C．L3线 )
D．L4线
A．M处地貌形成以内力作用为主
B．M处断层发育，地质灾害频发
C．N处岩层物质坚实，不易被侵蚀 D．N处为良好的储油储气构造
(2019·漳州模拟)下图为某地等高线和岩层地质界线示意图。读图回答8～ 9题。
8．图示地区主要的构造地貌类型和成因分别是( )
地形倒置原因：背斜顶部因受张力作用，裂隙比较发育，岩石破碎，易受侵蚀而成为谷地向斜槽部因受挤压，岩层变得紧实坚硬，不易遭受侵蚀而成为山岭
方法提示
背斜和向斜的判断方法
方法一：依据岩层的弯曲形态判断。岩层向上拱起的是背斜，岩层向下弯曲的是向斜。方法二：依据岩层的新老关系判断。在岩层弯曲形态不明显的地质构造图中，在水平方向上显示出中心部分岩层较老、两翼岩层较新的是背斜；而中心部分岩层较新、两翼岩层较老的是向斜。由于地壳运动的复杂性，仅从形态上判断背斜和向斜是不准确的，而岩层的新老关系才是判断背斜和向斜的科学依据。(如图A为背斜，B为向斜)
【知识拓展】地质构造图的判读方法
读
(1) 地质构造的判断：岩层向上拱起为背斜，向下弯曲为向斜，
图
断裂并发生位移为断层。

湖南师大附中2019届高三第六次模拟试卷_语文

湖南师大附中2019届高三第六次模拟试卷语文★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、现代文阅读(36分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题，9分)阅读下面的文字，完成1～3题。

明清时期，土地交易颇为频繁。

在中国传统文化影响下，通过个人道德修为、社会关系制约、国家法律规范三重保障，明清土地契约得以顺利履行。

明清时期，土地所有权发生了多重性结构变化，土地所有权和使用权产生实质性分离，由此出现了买卖、典当、质押等多种类型的土地契约文书。

这些土地契约虽然因为土地转移权属类型、乡间俗例的差异而各有不同，但是为了双方快速便捷交易，明清时期已形成类似标准化的“格式合同”。

这种契约几乎包含了民事合同的所有要件，对双方的权利义务进行了明确的界定和规范。

例如，“明万历三十九年浙江会稽县叶汝兰与祁某某的绝卖契”，出卖人叶汝兰享有订立契约当日收到地价银180两的权利，同时应保证自己拥有出卖的两段山地的所有权；买受人祁某某则应向叶某交付价银，按照“推头通例”交纳契税完成过户后，即拥有该土地的所有权。

契约文书对当事人权利和义务的明确规范，对这一时期土地权属流转起到了重要保障作用。

契约的顺利履行首先有赖于当事人的自觉自愿，取决于当事人是否重信守诺，是否能做到自我的道德约束。

湖南师范大学附属中学2019届高三高考模拟卷(一)语文(含答案)

湖南师大附中2019届高考模拟卷(一)语文试题一、现代文阅读(36分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题，9分)阅读下面的文字，完成1~3题。

作为近代社会新因素的下层市民文艺和上层浪漫思潮,在明末发展到极致后遭受了本不应有的挫折。

李自成的失败带来了满清帝国的建立,落后的少数民族总是更易接受和强制推行保守、反动的经济、政治、文化政策。

资本主义因素在清初被全面打了下去,在那几位所谓“雄才大略”的君主的漫长统治时期,巩固传统小农经济、压抑商品生产、全面闭关自守的儒家正统理论,成了明确的国家指导思想。

从社会氛围、思想状貌、观念心理到文艺各个领域,都相当清楚地反射出这种倒退性的严重变易。

与明代那种突破传统的解放潮流相反,清代盛极一时的是全面的复古主义、禁欲主义、伪古典主义。

作为明代新文艺思潮基础的市民文艺突然萎缩,上层浪漫主义则一变而为伤感文学。

《桃花扇》《长生殿》《聊斋志异》则是这一变易的重要杰作。

浪漫主义、感伤主义和批判现实主义,是明清文艺思潮三个不同阶段。

在第三阶段(乾隆),时代离解放浪潮相去已远，眼前是闹哄哄而又死沉沉的封建统治的回光返照。

复古主义已把一切弄得乌烟瘴气、麻木不仁,明末清初的民主民族的伟大思想早成陈迹,失去理论头脑的考据成了支配人间的学问。

“避席畏闻文字狱,著书都为稻梁谋”,那是多么黑暗的世界啊。

像戴震这样先进的思想家也只能以考据名世,得不到人们的任何了解,他自已视为最重要的哲学著作──痛斥宋儒“以理杀人”的《孟子字义疏证》,连他儿子在编集子时也把它排斥在外,视为无足轻重。

那是没有曙光、长夜漫漫、终于使中国落在欧洲后面的十八世纪的封建末世。

在文艺领域,真正作为这个封建末世的总结的要算中国文学的无上珍宝《红楼梦》了。

无论是爱情主题说、政治小说说、色空观念说,都似乎没有很好地把握住上述具有深刻根基的感伤主义思潮在《红楼梦》里的升华。

其实,正是这种思潮使《红楼梦》带有异彩。

笼罩在宝黛爱情的欢乐、元妃省亲的豪华、暗示政治变故带来巨大惨痛之上的,不正是那如轻烟如梦幻、时而又如急管繁弦似的沉重哀伤和喟叹么?还是鲁迅的几句话比较精粹：颓运方至,变故渐多;宝玉在繁华丰厚中,且亦屡与“无常”觌面①……悲凉之雾，遍被华林；然呼吸而领会之者,独宝玉而已。

专题7.4 数列求和(讲)(解析版)

专题7.4 数列求和【考纲解读与核心素养】1.掌握等差数列、等比数列前 n 项和公式及其应用.2．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养. 3.高考预测：（1）等差数列与等比数列综合确定基本量，利用“裂项相消法”“错位相减法”等求和. （2）简单的等差数列、等比数列求和..（3）往往以数列求和问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后再与不等式、函数、最值等问题综合.考查 “裂项相消法”、“错位相减法”较多. 4.备考重点:（1）灵活选用数列求和公式的形式，关注应用公式的条件；（2）熟悉分组求和法、裂项相消法及错位相减法．【知识清单】知识点1．数列求和1. 等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 2．等比数列前n 项和公式一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++，当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1或11n n a a qS q -=-；当1q =时，1na S n =（错位相减法）. 3. 数列前n 项和①重要公式：（1）1nk k ==∑123n ++++=2)1(+n n （2）1(21)nk k =-=∑()13521n ++++-=2n（3）31nk k ==∑2333)1(2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++n n n（4）21nk k ==∑)12)(1(613212222++=++++n n n n②等差数列中，m n m n S S S mnd +=++； ③等比数列中，n m m n n m m n S S q S S q S +=+=+.【典例剖析】高频考点一：公式法、分组转化法求和【典例1】（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】（1）证明见解析（2）()11222n n n n S ++=--【解析】（1）证明：因为121,n n n n a a n b a n +=+-=+所以()()()11121122n n n n n b a n a n n a n b ++=++=+-++=+=, 又因为11120b a =+=≠,则12n nb b +=, 所以数列{}n b 是首项为2,公比为2的等比数列. （2）由（1）知2n n n a n b +==,所以2nn a n =-,所以()()()()232122232nn S n =-+-+-+⋅⋅⋅+-()()232222123n n =+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()()()121211221222n n n n n n +-++=-=---【典例2】（2019·天津高考真题（理））设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,1,,2,k k n kk n c c b n +⎧<<==⎨=⎩其中*k ∈N . （i ）求数列(){}221n n a c -的通项公式；（ii ）求()2*1ni ii a c n =∈∑N .【答案】（Ⅰ）31n a n =+；32nn b =⨯（Ⅱ）（i ）()221941n n n a c -=⨯-（ii ）()()2*211*12725212nn n i i i a c n n n --=∈=⨯+⨯--∈∑N N【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .依题意得()()262426262424124q d d q d d ⎧=+-=+⎪⎨=++=+⎪⎩，解得32d q =⎧⎨=⎩，故4(1)331n a n n =+-⨯=+，16232n nn b -=⨯=⨯.所以，{}n a 的通项公式为31n a n =+，{}n b 的通项公式为32nn b =⨯. (Ⅱ)(i )()()()()22211321321941n n n n n nn a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-.所以，数列(){}221n n a c -的通项公式为()221941n n na c -=⨯-.(ii )()22111n n i iiiii i a c a a c ===+-⎡⎤⎣⎦∑∑()2222111n niiii i a a c===+-∑∑()2212432n n n⎛⎫- ⎪=⨯+⨯ ⎪⎝⎭()1941n i i =+⨯-∑ ()()2114143252914n n n n ---=⨯+⨯+⨯--()211*2725212n n n n N --=⨯+⨯--∈.【总结提升】1．公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.2．分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组转化法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．3．分组转化求和法：有一类数列错误!未找到引用源。