静电场及高斯定理

2
例2、 均匀带电圆环轴线上一点的场强。 设正电荷q均匀地分布在半径为R的圆环上。计算在环的轴线
任一点p 的电场强度。
dE
X
P
r
R dq
L
例2、 均匀带电圆环轴线上一点x处的场强。
设正电荷q均匀地分布在半径为R的圆环上。计算在环的轴线
任一点p 的电场强度。
解：由对称性可知，p点场强只有X分量
电偶极矩： p qr0
q q
r0
求：电偶极子轴线延长线上任意一点A处的电场强度
习题P77 5-10
v E
1
40
q
x r0 /
22
v E
1
40
x
q r0
/
22
q O
r0
q
E A
E
x
v v v 1 q
q
E
E
E
4 0
x
r0
/
22
x
r0
/
22
v
E
q
4 0
2 xr0 x2 r02 / 4
电荷
电场
电荷
(2)电场的物质性
•给电场中的带电体施以力的作用。
•当带电体在电场中移动时，电场力作功； 表明电场具有能量。
•变化的电场以光速在空间传播，表明电场 具有动量。
(3) 静电场
静止电荷产生的场叫做静电场。
2、电场强度
（1）试验电荷： ✓线度足够小，小到可以看成点电荷； ✓电量足够小，小到把它放入电场中后，原来的电场几乎没有什么变化。
式； •进行积分计算； •写出总的电场强度的矢量表达式，或求出电场强度的
大小和方向；
在计算过程中，要根据对称性来简化计算过程。
（4）电场强度的计算
例1、电偶极子的电场强度
电偶极子：等量异号电荷+q、-q，相距为r0，它相 对于求场点很小，称该带电体系为电偶极子。
电偶极子的轴：从-q 指向+q 的矢 量r0称为电偶极子的轴
知试验电荷受到的作用力为
F
Fi
Qi q0
4 0ri2
ei
Qi
P ri
P点的电场强度
E
Fi
q0
Qi
4 0
ri2
ei
E＝ Ei
E＝ Ei
点电荷系电场中某点的场强等于各个点电荷单 独存在时在该点的场强的矢量和。 这就是电场强度的叠加原理。
（2）电荷连续分布
电荷呈线状分布dq
dq=λdl
＝Q
l
线密度
E＝
dE
dl 4 0r 2
er
电荷面分布，dq=σdS
＝Q
S
面密度
E＝
S
er 4 0r
2
dS
电荷体分布，dq=ρdV
＝ dQ
dV
体密度
E＝
V
er 4 0r
2
dV
电荷线E分＝布，dq=eλrdl dl
4 0 r 2
电荷面分布，dq=σdS
E＝
S
er 4 0r
2
dS
电荷体分布，dq=ρdV
S
3、高斯定律
高斯（Carl Friedrich Gauss 1777~1855）
高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、天文学和 大地测量学等领域的研究，主要成就：
德国数学家、天文 学家和物理学家。 高斯在数学上的建 树颇丰，有“数学
王子”美称。
加电场时
油滴在重力、阻力和 电场力的作用下，最 后也得到收尾速度。
mg 6 rv2－qE 0
v
＝
2
mg qE
6 r
因而可得油滴的电荷为 q 6rv1 v2
E
密立根油滴实验的结果
•油滴的电荷总是等于同一基元电荷的整数倍
q=ne, n=1,2,…., •电子电荷的值为e=1.603×10-19C，称为基元电荷；
q E
E q
(2)几种典型的电场线分布
-Q
+2Q
+Q
+Q
(3)电场线密度
定义：经过电场中任一点，作一 面积元dS，并使它与该点的场强 垂直，若通过dS面的电场线条数 为dΦ，则电场线密度为dΦ/dS。
E＝d
dS
对于匀强电场，电场线密度处处相等，而且方向 处处一致。
2、电场强度通量
(1) 定义 通过电场中某一面的电场线的条数叫做通过这一
即电荷是量子化的。
电荷的这种只能取离散的、不连续的量值的性 质，叫作电荷的量子化。电子的电荷e称为基
元电荷，或电荷的量子。
1986年国际推荐值 e 1.602 177 33(49) 1019C
近似值 e 1.6021019C
2、电荷守恒定律
内容： 在孤立系统中，不管系统中的电荷如何 迁移，系统的电荷的代数和保持不变。
解：带电圆盘可看成许多同心的圆环
R
组成，取一半径为r，宽度为dr 的细 圆环带电量
o rd
dr
p
x·
d E
x
dE
dq • x
40 (r2 x2 )32
q
dq 2r dr
x R rdr
E x ( p) 2 0 0 (r 2 x 2 )32
面密度
＝Q
S
q
R2
x
2 0
[1
(R2
x
2
)
1 2
]
习题P76 5-6 （2）
x R rdr
E x ( பைடு நூலகம்) 2 0 0 (r 2 x 2 )32
x
2 0 [1 ( R2 x2 )12 ]
R o rd
dr
讨论：
q
1.当x<<R
E
2 0
2.当x>>R
E R2 40 x2
p
x·
d E
x
相当于无限大带电平面附近的 电场，可看成是均匀场，场强
（2）实验 在静止的电荷Q周围的静电场中，放入试验电荷q0 ，讨论试验电荷q0 的受
力情况。
F＝
Qq 0
4 0r
2
r
F与r 有关，而且还与试验电荷q0 有关。
（3）电场强度
试验电荷将受到源电荷的作用力与试验电荷电量的比值F/q0 则与试验电荷无关， 可以反映电场本身的性质，用这个物理量作为描写电场的场量，称为电场强度（
1779年对摩擦力进行分析，提出有关润滑剂 的科学理论。
1785~1789年，用扭秤测量静电力和磁力，导 出著名的库仑定律。
1、库仑定律内容
在真空中，两个静止的点电荷之间的相互作用力，其大小
与点电荷电量的乘积成正比，与两点电荷之间距离的平方
成反比，作用力在两点电荷之间的连线上，同号电荷互相
排斥，异号电荷互相吸引。
F12
r12
k q1q2 r1 rr2122
e12
F12
r1
O
q1 r12 r2
q2 F21
e12 表示单位矢量
k 1
4 0
F12
1
4 0
q1q2 r122
e12
0 8.85 1012 C2 N1m2
F12
r1
O
q1 r12 r2
q2 F21
真空介电 常数
• 库仑力满足牛顿第三定律
第5章 静电场
本章主要内容研究真空中静电场的基本特性 ：
第1节 静电场基本定律： 库仑定律、电场强度、叠加定律
第2节 静电场基本定理： 高斯定理及应用
第3节 电场力做功、电势、电势能 第4节 静电场中的电解质
一、 电荷的量子化 电荷守恒定律
1、电荷的量子化
(1) 电荷
摩擦起电：用木块摩擦过的琥珀能 吸引碎草等轻小物体的现象。许多 物体经过毛皮或丝绸等摩擦后，都 能够吸引轻小的物体。人们就说它 们带了电，或者说它们有了电荷。
倍。
电子电量 e 带电体电量 q=ne, n=1,2,3,...
密立根测定电子电荷的实验
1909年密立根测量电子电荷；1923年获得诺贝尔物理奖。 方法：观察均匀电场中带电油滴的运动。
不加电场时：油滴在重力
和阻力的作用下，最后得到 收尾速度。
mg 6 rv1 0
v 1＝
mg
6
r
由此式可从实验中测量油滴的质量。
3、电场力
电荷q在电场E中的电场力
F＝qE
当q>0时，电场力方向与电场强度方向相同； 当q<0时，电场力方向与电场强度方向相反。
4、点电荷电场强度
在真空中，点电荷Q 放在坐标原点，试
验电荷放在r 处，由库仑定律可知试验电
荷受到的F电场 力Q为q0
4 0r
2
er
+
点电荷场强公式
E＝ F q0
Q
4 0r 2
最早是由狄拉克从理论上预言的。1932年8月2日，美国加州 理工学院的安德森等人向全世界庄严宣告，他们发现了正电
子。
正电子的发现是利用云雾室来观测的。正电子的发现开辟了 反物质领域的研究。
(2) 电荷量子化
1913年，密立根用液滴法从实验中测出所有电子都具 有相同的电荷，而且带电体的电荷是电子电荷的整数
R2 q 40 x2 40 x2
垂直于板面，正负由电荷的符 号决定。
习题P76 5-9
在远离带电圆面处， 相当于点电荷的场强
。
附： (1+x)m的泰勒级数展开为：
(1 x)m 1 mx m(m 1) x2 m(m 1)(m 2) x3 ......
2!
3!
...... m(m 1)(m 2)......(m n 1) xn n!
电荷的定义： 带正负电的基本粒子。
单位：库仑(C)
原 子原 子 核质中子子( ) 电 子(-)
当物质处于电中性时，质子数＝电子数 当物质的电子过多或过少时，物质就带有电荷
电子过多时——物体带负电 电子过少时——物体带正电
正电子，又称阳电子、反电子、正子，基本粒子的一种，带 正电荷，质量和电子相等，是电子的反粒子。
解：氢原子核与电子可看作点电荷， 库仑力为：
Fe＝
1
4
0
e r
2 2
9
109
(1.6 (5.3
1019 1011
)2 )2
8.2108 N
万有引力为：
Fg＝G
mM r2
6.67
1011
9.1
1031 1.67 (5.3 1011 )2
10
27
3.6 1047 N
例：在氢原子中，电子与质子之间的距离约为5.3×10-11m，求 它们之间的库仑力与万有引力，并比较它们的大小。
er
-
Q>0，电场强度E与er同向 Q<0，电场强度E与er反向。
点电荷场强公式
E＝ F q0
Q
4 0r 2
er
+
说明： (1)点电荷电场是非均匀电场； (2)点电荷电场具有球对称性。
-
5、电场强度叠加原理
（1）电荷离散分布
在点电荷系Q1,Q2,…,Qn 的电场中，在P点放
一试验电荷q0，根据库仑力的叠加原理，可
说明： 电荷守恒定律适用于一切宏观和微观过程( 例如核反应和基本粒子过程 )，是物理学中
普遍的基本定律之一。
铀235的核裂变 氘和氚的核聚变
二、库仑定律
库仑 (Charlse-Augustin de Coulomb 1736 ~1806)
法国物理学家
1773年提出的计算物体上应力和应变分布情 况的方法，是结构工程的理论基础。
小结
• 电荷的量子化 • 电荷守恒定律
• 库仑定律 • 静电场的概念
• 电场强度 • 电场强度叠加原理 • 电场强度的计算
第2节 静电场的高斯定理
1、电场强度通量 2、高斯定理
3、高斯定律应用举例
1、电场线
一、电场强度通量
(1)定义
电场线上每一点的场强的方向 与该点切线方向相同，而且电 场线箭头的指向表示场强的方 向。
Fe ＝ 8.2 108 Fg 3.6 1047
2.3 1039
结论：库仑力比万有引力大得多。
所以在原子中，作用在电子上的力，主要是电场力，万 有引力完全可以忽略不计。
三、 电场强度
1、静电场
(1)电场的概念 电荷之间的相互作用是通过电场传递的，或者说电
荷周围存在有电场。
在该电场的任何带电体，都受到电场的作用力，这 就是所谓的近距作用。
q cos
qx
E 4 0r 2 4 0 (R2 x2 )32
dE
X
P
xr
讨论：当求场点远大于环的半径时，
E
q
4 0 x 2
方向在X轴上，正负由q的正负决定。 说明远离环心的场强相当于点电荷的场。
R dq
L
习题P76 5-6（1）
例3、均匀带电圆盘轴线上一点x处的场强。 设圆盘带电量为q，半径为R。
F21 F12
•实验表明，库仑力满足矢量叠加原理。
库仑力的叠加原理：
F0
n i 1
F0i
n i 1
1
4 0
q0qi r02i
e0i
q1rO3rO1 q3
rO 4 q4
qo
rO 2 q2
例：在氢原子中，电子与质子之间的距离约为5.3×10-11m，求 它们之间的库仑力与万有引力，并比较它们的大小。
面元的电场强度通量。
de E dS
(2)匀强电场的电通量
平面S的法向向量与E平行时
＝
e
ES
平面S的法向向量与E有夹角θ时
引入面积矢量
S
Sen
e＝E
S
E
en S
＝ES cos
dS
en
dS
(3)非均匀电场的电通量
微元dS
de E dS
e E dS
S
n
dS
E
S
对封闭曲面
e E dS
E＝
V
er 4 0r
2
dV
＝ dQ
dl
线密度
＝ dQ
dS
面密度
＝ dQ
dV
体密度
（3）电场强度的计算方法
离散型
E＝
E
＝
i
Qi
4 0
r
2
er
连续型
E＝
dE
dq
4 0r 2
er
E＝
dE
dq
4 0r
2
er
计算的步骤大致如下： •取电荷元dq，写出dq在待求点的场强的表达式； •选取适当的坐标系，将场强的表达式分解为标量表示
简称场强）。
F E
q0
＝Q
4 0r2
r
F E
q0
＝Q
4 0r2
r
电场中某点的电场强度在数值上等于位于该点的单位正试验电荷所受的电场力。 电场强度的方向与电场力的方向一致（当q0为正值时）。
单位：N.C-1或V.m-1
电场强度是电场的属性，与试验电荷的存在与否无关，并不因无试验电荷而不存 在，只是由试验电荷反映。