静电场及高斯定理
关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理
关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理静电场的高斯定理和静电场的环路定理是库仑定律的推论，所以称之为定理。
由于库仑定律是静电场的基本规律，适用于静电场，所以库仑定律的推论也适用于静电场。
电场有许多种：静电场（由静止电荷激发）、恒定电场（由运动然而空间分布不随时间改变的电荷体系激发的电场）、位电场（可以在其中建立电位函数的电场，位电场的电场强度等于电位的负梯度，分为恒定的与时变的，静电场和恒定电场就属于恒定的位电场）、涡旋电场。
静电场的高斯定理的文字表述是：静电场中，电场强度穿出闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包围的总电量除以真空电容率。
静电场的高斯定理的数学表述式是：in 0d i S qE S ε⋅=∑⎰ 。
英国著名物理学家麦克斯韦首先假设静电场的高斯定理的数学表示式in 0d i S q E S ε⋅=∑⎰ 适用于一切电场，也就是说，实际的电场强度（即总电场强度）穿出闭合曲面的通量等于闭合曲面内的总电量除以真空电容率。
这个假设后来被实验证实了。
正因为这个原因，数学表示式in 0d i S qE S ε⋅=∑⎰ 也叫做高斯定律。
由于德国数学家高斯根据库仑定律推出的这个静电场规律的数学表示式是普遍适用的，这让高斯在电磁学中享有很高的声誉。
in 0d i S q E S ε⋅=∑⎰ 有好几个称谓：高斯定理、高斯通量定理、电场的高斯定理、电场的高斯通量定理、高斯定律、高斯通量定律、电场的高斯定律、电场的高斯通量定律。
对于静电场，这个规律叫做静电场的高斯定理，或者静电场的高斯通量定理。
高斯在数学方面有一项重要成就，叫做高斯公式（也可以叫做高斯通量公式或者高斯散度公式）。
高斯公式的数学表示式是d d S Vf S f V ⋅=∇⋅⎰⎰ 。
其含义是：矢量场穿出闭合曲面的通量等于矢量场的散度在闭合曲面所包围的空间区域内的体积分。
高斯定理是电（磁）学规律，高斯公式是纯粹数学规律，两者截然不同。
但是把两者结合起来，就可以推出0E ρε∇⋅= 。
静电场中的高斯定理及其应用
静电场中的高斯定理及其应用1高斯定理高斯定理（Gauss’s Law）是物理学中最重要的电荷定律之一，由19世纪哥本哈根学家卡尔·马克斯·高斯于18日本宣言1877年提出。
高斯定理对于理解静电场非常重要，它实际上是一条关系电荷密度和电场的定律，用一般的话来说，它可以用来计算电荷分布情况下的电场外部空间的分布情况。
它可以被表达为：“定积分表示的电荷密度的体积积分等于其相应的电场大小的表面积积分”关于高斯定理的精确表达可以表达为：（$\vec{E}·da=\rho·dv$）2应用电荷分布情况下的静电场等电势及电荷等强场的计算应用高斯定理。
其中，电荷分布情况下的静电场的计算是最常见的应用，用来计算空间电场的大小和方向。
具体的做法是选择一个闭合的表面，在此表面上应用高斯定理：（$\oint\vec{E}.da=\frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$）其中，q enclosed是这个表面内封闭的电荷，而$\epsilon_0$是真空介电常数。
由此可以求出该表面上电场的大小及方向。
除此之外，高斯定理也可以用来计算电荷等强场，亦即电荷密度。
由高斯定理，可以得到：（$\oint\vec{E}·da=\frac{1}{\epsilon_0}\int\rho·dv$）可以从该等式中看出，积分的表面的表面积积分是由内部的体积积分而产生的，这也就是所谓的电荷等强场原理。
因此，如果电荷的分布情况已经确定，则可以依据上述的高斯定理来求出电荷密度的大小和方向分布情况。
3结论总而言之，高斯定理是物理学中最重要的电荷定律之一，对于理解静电场非常重要。
它可以用来计算电荷分布情况下的电场外部空间的分布情况，也可以用来计算电荷等强场，亦即电荷密度。
因此，高斯定理有着重要的应用价值。
§11-3 静电场的高斯定理
§11-3 静电场的高斯定理一、 电场线电场线是为了描述电场所引进的辅助概念，它并不真实存在。
1、E用电场线描述规定：E 方向：电力线切线方向大小：E 的大小=该电力线密度=垂直通过单位面积的电力线条数=dsdN即 ds dNE（即：某点场强大小=过该点并垂直于E的面元上的电力线密度。
）2、静电场中电场线性质⑴不闭合、不中断、起自正电荷，止于负电荷。
⑵任意两条电场线不能相交，这是某一点只有一个场强方向的要求。
二、 电通量定义：通过电场中某一面的电力线数叫做通过该面的电场强度通量，用e 表示。
下面分几种情况讨论。
1、匀强电场⑴平面S 与E 垂直。
如图所示，由E的 大小描述可知：⑵平面S 与E 夹角为 ，如图所示，由E的大小描述知：S E ES ES ecos )(n S S式中n 为S的单位法线向量。
2、在任意电场中通过任意曲面S 的电通量如图所示，在S 上取面元dS ，dS 可看成平面，dS 上E 可视为均匀，设n为S d 单位法向向量，S d 与该处E 夹角E 为 ，则通过dS 电场强度通量为：S d E d e通过曲面S 的电场强度通量为：se e S d E d在任意电场中通过封闭曲面的电场强度通量e sE dS vv Ñ注意：通常取面元外法向为正。
三、高斯定理高斯定理是关于通过电场中任一闭合曲面电通量的定理，现在从一简单例子讲起。
1、如图所示，q 为正点电荷，S 为以q 为中心以任意r 为半径的球面，S 上任一点p 处E为：r e r q E 2042、通过闭合曲面S 的电场强度通量为：ssr se dS rq e S d rq S d E 202044（r、ds v同向）202044 qdS r q dS r q ss结论：e 与r 无关，仅与q 有关)(0const 2、点电荷电场中任意闭合曲面S 的电场强度通量⑴q 在S 内情形如图所示，在S 内做一个以q 为中心， 任意半径r 的闭合球面S 1，由1知，通过S 1 的电场强度通量为q。
静电场的高斯定理
例7-10 求电荷呈“无限长”圆柱形轴对称均匀分布时 所激发的电场强度。
解：电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。 作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,
高为h,半径为r
•当r>R 时，
sE dS 侧面 E dS E 2 r h 为什么?
r h
E 2 r h h 0
P点的场强
E 2 0 r
1
0
d V
V
关于高斯定理的几点讨论
以上是通过用闭合曲面的电通量概念来说明高斯 定理，仅是为了便于理解而用的一种形象解释， 不是高斯定理的证明
高斯定理是在库仑定律基础上得到的，但是前者 适用范围比后者更广泛。后者只适用于真空中的 静电场，而前者适用于静电场和随时间变化的场， 高斯定理是电磁理论的基本方程之一。
③ 场源电荷为无限长均匀带电直线、均匀带电直圆柱面、直 圆柱体或同轴导体圆筒等，则电场的分布具有柱对称性。
(2) 选取高斯面
用高斯定理求场强时，选取恰当的高斯面是解题的关键。
选取高斯面的原则：
① 选取的高斯面必须通过所考查的场点。 ② 应使高斯面上各点的场强大小相等， 方向与该处面元 的
法线平行(这样则可将Ｅ提到积分号外，只对面积积分)； 或者使高斯的部分面上各点场强大小相等，方向与 的法线 平行，另一部分面上各点场强为零或场强的方向与面元的 法线垂直(即通过这部分的Ｅ通量为零)。
高斯定理解题步骤： 总结
(1)分析电场的对称性
根据题意画出示意图，分析电场的分布情况 (最好画出电场 线)，看是否具有某种特殊的对称性，这可从产生电场的场 源电荷的分布看出。
常见的情况有以下几种：
① 场源电荷为均匀带电球面、均匀带电球体、同心的均匀带 电导体球壳等，则电场的分布具有球对称性；
静电场 高斯定理
q q Ua U U ( ) 4 0 r1 r2 q r2 r1 4 0 r1r2
当a点很远时r>>L，则r1≈r2≈r，
1
q L cos 1 P cos Ua 2 4 0 r 4 0 r 2
r2 r1 r cos
电偶极子轴线上的场强（电势梯度法） 电偶极子电场中的电势： 轴线延长线上的电势：
有电介质存在时的高斯定理的应用
（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面 ，求出电位移矢量。 （2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。 （3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。 （4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。
非极性分子
E0
极性分子
E0
电极化强度（偶极矩密度）
1、电极化强度：
其中 pei 是第i个分子的电偶极矩
单位是[库仑/米2]、[C/m2].
def P lim
V
pei
i
V
以下将电极化强度矢量简称为极化强度 束缚电荷就是指极化电荷。
电介质的极化规律
在外电场 E0中，介质极化产生的束缚 电荷，在其周围无论介质内部还是外 部都产生附加电场 E ' 称为退极化场。
i
②极性分子 在无外场作用下存在固有电矩 因无序排列对外不呈现电性。 当有电场作用时，极性分子发 生偏转。
在外电场中的电介质
E0
E0
l
无外场下，所具有的电偶极矩称为固有电偶极矩。 在外电场中产生感应电偶极矩。
极化电荷
在外电场中，均匀介质内部各处仍呈电中性， 但在介质表面要出现电荷，这种电荷不能离开电 介质到其它带电体，也不能在电介质内部自由移 动。我们称它为束缚电荷或极化电荷。
静电场高斯定理的积分形式
静电场高斯定理的积分形式
高斯定理是用于计算电场强度的重要定理，它可以用积分的形式表示。
通常，它表示为：
E = (1/4πε₀) ∫ρ(r')/|r-r'| dV'
其中，E 是电场强度，ρ(r') 是电荷密度，r 和r' 分别是电场点和电荷位置的矢量，ε₀是真空介电常数，dV' 是电荷所在体积单元的体积。
这个积分表示了电场点周围所有电荷对电场强度的贡献。
在计算电场强度时，可以将电荷分成若干个小体积单元，然后对每个单元分别求解上述积分，最后将所有单元的贡献相加起来，得到电场强度的总值。
注意，高斯定理仅适用于无电荷体积内的电场强度计算。
如果要计算电场强度在有电荷体积外的情况，则应使用莫尔定理。
静电场-高斯定理
电容器极板间电场分布
极板间相互作用力计算
理介
第 推质
四 章
广中 及高 应斯用定Fra bibliotek电介质极化现象及极化强度矢量引入
为了描述电介质极化 的程度和方向，引入 极化强度矢量P，其 大小与电偶极矩成正 比，方向由负电荷指 向正电荷。
在电场作用下，电介质内部正负电荷中心发生相对 位移，形成电偶极子，从而产生宏观上的电极化现 象。
高斯定理是电磁学中的基本定理之一，它表述了静电场中电场强度与电荷分布之间的关系。
高斯面选取原则及技巧
高斯面选取应遵循简单、对称、便于计算等原则。
02
在实际问题中，常根据电荷分布和电场强度的对称性来选取高斯面，以便简化计算。
03
高斯面的形状和大小应根据具体问题灵活选择，可以是平面、球面、柱面等。
高斯定理物理意义阐释
高斯定理反映了静电场的空间分布特性，即电场 强度与电荷分布之间的定量关系。
高斯定理为求解复杂静电场问题提供了一种有效 的方法，即通过选取适当的高斯面来简化计算。
高斯定理揭示了静电场的有源性，即静电场是由 电荷产生的。
高斯定理在电磁学中的地位
高斯定理是电磁学四大基本定理之一，是静 电场理论的基础。 高斯定理在电磁学中具有重要的地位，它不 仅适用于静电场，还可推广应用于恒定电场、 恒定磁场以及时变电磁场等领域。
要点一
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组是描述电磁场基本规律的方程组，包括高斯定理、 安培环路定律、法拉第电磁感应定律和麦克斯韦-安培定律。
要点二
高斯定理在麦克斯韦方程组中的地 位
高斯定理是麦克斯韦方程组中的重要组成部分，它描述了电荷分 布与电场之间的关系，为电磁场理论奠定了基础。
静电场中的高斯定理
静电场中的高斯定理：高斯定理是静电学中的一个重要定理, 它反映了静电场的一个基本性质, 即静电场是有源场, 其源即是电荷。
可表述为: 在静电场中, 通过任意闭合曲面的电通量, 等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的1/ε倍, 与闭合曲面外的电荷无关。
表达式为01()1/n i i S E ds q φε==∙=∑⎰⎰ （1）高斯定理是用来求场强E 分布, 定理中, S 是任意曲面, 由于数学水平的限制, 要由高斯定理计算出E,则对由场的分布有一定的要求, 即电荷分布具有严格的对称性( 若电荷分布不对称性即不是均匀的, 引起电场分布不对称, 不能从高斯定理求空间场强分布,高斯定理当然仍是成立的) , 由于电荷分布的对称性导致场强分布的对称性, 场强分布的对称性应包括大小和方向两个方面。
典型情况有三种:1) 球对称性, 如点电荷, 均匀带电球面或球体等;2) 轴对称性, 如无限长均匀带电直线, 无限长均匀带电圆柱或圆柱面, 无限长均匀带电同轴圆柱面3) 面对称性, 如均匀带电无限大平面或平板,或者若干均匀带电无限大平行平面。
根据高斯定理计算场强时, 必须先根据电荷分布的对称性, 分析场强分布的对称性; 再适当选取无厚度的几何面作为高斯面。
选取的原则是:○1 待求场强的场点必须在高斯面上;○2 使高斯面的各个部分或者与E 垂直, 或者E 平行;○3 与E 垂直的那部分高斯面上各点的场强应相等;○4 高斯面的形状应是最简单的几何面。
最后由高斯定理求出场强。
高斯定理说明的是通过闭合曲面的电通量与闭合曲面所包围的所有电荷的代数和之间的关系, 即闭合曲面的总场强E 的电通量只与曲面所包围的电荷有关, 但与曲面内电荷的分布无关。
但闭合曲面上的电场强度却是与曲面内外所有电荷相联系的,是共同激发的结果。
下面举一些例子来说静电场中高定理的应用：例1：一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为()Ar r R ρ=≤，0()r R ρ=>，A 为大于零的常量。
静电场103静电场的高斯定理
contents
目录
• 静电场简介 • 高斯定理的推导 • 高斯定理的应用 • 静电场的物理意义 • 高斯定理的局限性
ห้องสมุดไป่ตู้ 01
静电场简介
静电场的定义
静电场是由静止电荷产生的电场，其 电场线不闭合、不发散，且与带电体 的位置和电量分布有关。
静电场的电场线起于正电荷或无穷远 ，终止于负电荷或无穷远，沿电场线 方向电势降低。
按空间分布分类
根据静电场的空间分布，可将静电场分为均匀静电场 和非均匀静电场。
按电场线特征分类
根据静电场的电场线特征，可将静电场分为标量场和 矢量场。
02
高斯定理的推导
电场线的引入
电场线
表示电场中电场强度分布的曲线，其 上的每一点的切线方向与该点的电场 强度方向一致。
电场线的特点
不闭合、不相交、不相切、终止于正 负电荷。
揭示了电场与电荷之间的内在联系， 是静电场的基本定理之一，对于研究 静电场的性质和规律具有重要的作用。
推导过程
基于库仑定律和电场叠加原理，通过 引入电场线，利用微积分的知识，逐 步推导出高斯定理。
03
高斯定理的应用
电场分布的确定
高斯定理
通过一个闭合曲面的电场线数，等于该曲面所包围的电荷量与一个电荷量单位 的比值。
应用
通过测量或计算某一闭合曲面内的电场线数，可以确定该闭合曲面内的电场强度 。
04
静电场的物理意义
静电场的能量分布
静电场的能量分布反映了电场中电场力做功的能力，即电场能密度。在静电场中 ，电场能密度与电场强度成正比，表示单位体积内的电场能。
电场能密度可以通过积分计算得到整个电场的总能量，对于了解和预测电场的行 为具有重要意义。
大学物理静电场的高斯定理
§4.2 静电场的高斯定理
一、电通量
电场线：形象描写电场强度的假想曲线
规定: 起始于正电荷（或无穷远处），终止于负电荷（或无穷远处） 电场线上的任一点的切线方向为该点电场强度的方向； 通过电场中某点，垂直于 E 的单位面积的电场线等于该 点 E 的大小， 即 E dN
E dS
右底
E dS
0 ES ES 2ES
2 ES S 根据高斯定理有 1
0
E 2 0
E
n
n
E n
思考:两块带电等量异号电荷的“ 无限大 ”平
行平面的电场强度如何计算?
例 均匀带电球面，总电量为Q，半径为R
求 电场强度分布 +R +
E r 3 0
E r 3 0
+ +
r'
+ + R
dS
ds
E
电场线 电场线的特点: • 起始于正电荷，终止于负电荷（或
从正电荷起伸向无穷远处，或来自 无穷远到负电荷止）
• 反映电场强度的分布
场强方向沿电场线切线方向，
场强大小取决于电场线的疏密
dN E dS
dN
dSE
• 静电场的电场线不会形成闭合曲线 • 任何两条电场线不会在没有电荷的地方相交
0
ds
R
2.由于电力线在空间不能中断，当以 任意一闭合曲面包含点电荷，则通过 q 此闭合曲面的电通量仍为
静电场的高斯定理
r
E1
dS
S
E1 4
r
2
R
面内电量 qi 0
用高斯定理求解：
E1 4 r2 0 E1 0
E
高斯面
44
2） r R
Φe S E2 dS
r
E2
dS
S
E2
4
r2
qi q
E2 4r 2 q 0
E
E2
q
40r 2
q
40 R2
O
R
E
1 r2
r
45
例题 求均匀带电球体的电场。（已知 q、R）
复习
库仑定律
F12
1 4πε0
q1q2 r122
e12
电场强度
F
E
q0
电场强度的计算
（1）点电荷的场强
E
1 4πε0
q r2
r0
(2) 场强叠加原理
E E1 E2 En
1
(3) 电荷连续分布的带电体的电场
E
dE
(q)
dq (q)4πε0r 2
r0
电荷分布
dq ρdV (体 分 布) dq σdS (面 分 布)
其余三个面上直接计算困难
考虑用 8 个这样的立方体 将点电荷拥在中心
其外表面上的通量为
Φ'e
E
S
由对称性
dS
q
03
e 24
q
0
•
39
4. 高 斯 定 理 的 应 用
Applications of Gauss’ Law
Φe
E dS
1
S
ε0
qi (内)
高斯定理的一个重要应用是：计算带电体
静电场的高斯定理
n
n
O
E
S1
n
S2
S1
E dS
S1
E S2
S1 ER
2
R
n
下午8时21分
13
【课堂练习2】
求以点电荷为球心的一完整 球面的电通量。
分析：因球面上各处场强的 方向均沿法向
r
+
dS
球面上各处场强的大小相等
E
q 40 r 2
故： E dS EdS
（1）S与电场强度方向垂直
E
e ES
（2）S 法线方向与电场强度 方向成角
S
n
E
e ES cos E S
定义： 面矢量 S Sn
n 为面积S 的法向单位矢量8来自下午8时21分讨论
1) 电通量是标量；单位：伏特米，用符号Vm表示；
2) 电通量的值有正、负之分。 当 n 与 E 的夹角 为锐角时： Φe 0 当 为钝角时：Φe 0 当 为直角时：Φe 0
Φe1
S1
E dS
Φe3
q
0
q
S1 S2
q
S3
Φe2 0,
q
0
库仑定律和高斯定理并不是相互独立的定律，而是用 不同的形式表示的电场与场源电荷关系的同一规律 （1）库仑定律在电荷分布已知情况下，能求出场强的分布； （2） 高斯定理在电场强度分布已知时，能求出任意区域的 电荷； （3）当电荷分布具有某种对称分布时，可用高斯定理求 出这种电荷系的场强分布，而且这种方法在数学 上比用库仑定律简便得多；
dS dS 显然有： 2 2 dΩ （立体角 ） r r q 故 E dS dS 2 40 r q q q E dS dS dS 2 2 40 r 40 r 0 S S
静电场中高斯定理
静电场中的高斯定理：高斯定理是静电学中的一个重要定理, 它反映了静电场的一个基本性质, 即静电场是有源场, 其源即是电荷。
可表述为: 在静电场中, 通过任意闭合曲面的电通量, 等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的1/ε倍, 与闭合曲面外的电荷无关。
表达式为01()1/ni i S E ds q φε==∙=∑⎰⎰ （1）高斯定理是用来求场强E 分布, 定理中, S 是任意曲面, 由于数学水平的限制, 要由高斯定理计算出E,则对由场的分布有一定的要求, 即电荷分布具有严格的对称性( 若电荷分布不对称性即不是均匀的, 引起电场分布不对称, 不能从高斯定理求空间场强分布,高斯定理当然仍是成立的) , 由于电荷分布的对称性导致场强分布的对称性, 场强分布的对称性应包括大小和方向两个方面。
典型情况有三种:1) 球对称性, 如点电荷, 均匀带电球面或球体等;2) 轴对称性, 如无限长均匀带电直线, 无限长均匀带电圆柱或圆柱面, 无限长均匀带电同轴圆柱面3) 面对称性, 如均匀带电无限大平面或平板,或者若干均匀带电无限大平行平面。
根据高斯定理计算场强时, 必须先根据电荷分布的对称性, 分析场强分布的对称性; 再适当选取无厚度的几何面作为高斯面。
选取的原则是:○1 待求场强的场点必须在高斯面上;○2 使高斯面的各个部分或者与E 垂直, 或者E 平行;○3 与E 垂直的那部分高斯面上各点的场强应相等;○4 高斯面的形状应是最简单的几何面。
最后由高斯定理求出场强。
高斯定理说明的是通过闭合曲面的电通量与闭合 曲面所包围的所有电荷的代数和之间的关系, 即闭合曲面的总场强E 的电通量只与曲面所包围的电荷有关, 但与曲面内电荷的分布无关。
但闭合曲面上的电场强度却是与曲面内外所有电荷相联系的,是共同激发的结果。
下面举一些例子来说静电场中高定理的应用：例1：一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为()Ar r R ρ=≤，0()r R ρ=>，A 为大于零的常量。
大学物理静电场的高斯定理
高斯定理的数学表达形式简洁明了，是解决静电场问题的重要
03
工具。
高斯定理在物理中的重要性
高斯定理在物理学中具有广泛 的应用，不仅限于静电场。
它可用于分析恒定磁场、时 变电磁场以及相对论性电磁
场中的问题。
高斯定理是电磁学理论体系中 的重要基石，对于深入理解电 磁场的本质和规律具有不可替
代的作用。
THANKS FOR WATCHING
高斯定理的重要性
总结词
高斯定理是静电场理论中的基本定理之一，它揭示了电场与电荷之间的内在联 系。
详细描述
高斯定理的重要性在于它提供了一种计算电场分布的方法，特别是对于电荷分 布未知的情况。同时，它也揭示了电场线总是从正电荷出发，终止于负电荷， 或者穿过不带电的区域。
高斯定理的历史背景
总结词
高斯定理的发现和证明经历了漫长而曲折的历史过程。
VS
按空间位置分类
静电场可分为点电荷产生的电场、线电荷 产生的电场、面电荷产生的电场等类型。 这些不同类型的电场具有不同的分布规律 和性质。
05
高斯定理的推导过程
利用高斯定理推导电场强度与电通量的关系
总结词
通过高斯定理，我们可以推导出电场强度与 电通量之间的关系，即电场线穿过任意闭合 曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的电荷 量与真空电容率的乘积。
静电场的电场强度与电势具有相对独立性
电场强度与电势之间没有直接关系，改变电场中某点的电势，不会影响该点的电场强度。
静电场的分类
按产生方式分类
静电场可分为感应起电和接触起电两种 方式。感应起电是由于带电体在接近导 体时，导体内部电荷重新分布而产生电 场；接触起电是两个不同物体相互接触 时，由于电子的转移而产生电场。
静电场的高斯定理
§3-1-3 静电场的高斯定理
【电场线】形象描述电场的一簇虚拟有向曲线。
EA B
EB
A
规定：对电场线上任一点 切向 密疏
E 的方向 E 的大小 E A EB
§3-1-3 静电场的高斯定理
几种典型带电体的实验场线（左）与理论场线（右） 无 穷 远
点电荷
正、负点电荷
一对等量异号点电荷
(1) E // n
( 2) E n θ
§3-1-3 静电场的高斯定理
2、电场中任一曲面的电通量
dS
E
§3-1-3 静电场的高斯定理
3、电场中任一闭合曲面的电通量
规定：闭合曲面的“外法向”为“正方向”
dS
dS θ
E2
1
E1
§3-1-3 静电场的高斯定理
E ds ES E
S
第四步：计算高斯面所包围的净电荷 qi内 第五步：代入高斯面，求场强
§3-1-3 静电场的高斯定理
例1 求半径为R的球面均匀带电荷Q时的电场分布。
dE
A
EA
dE
分析电场分布特点 结论一： E 的方向一定沿着径向；
r + dS +
+ + + +
Q 0 r 2 4πε0 r
E |r R 0
§3-1-3 静电场的高斯定理
例2 求半径为R、电荷体密度为 的均匀带电球体的电场
r
r
3 R E |r R r 3 3 0 r
E |r R r 3 0
§3-1-3 静电场的高斯定理
例2 求半径为R、电荷体密度为 的均匀带电球体的电场
3.2 静电场高斯定理
E
Er
(r R)
1 E 2 r
O
R
r
2. 轴对称 （1）无限长均匀带电细线。 由对称性分析容易得到：
① 任一点的电场强度方 向只能垂直于轴线向外辐 射或指向轴线。 ② 到轴线距离相等的点 上，电场强度大小必定相 等。
n E
n
E
作同轴圆柱形高斯面， 应用高斯定理：
( S1 )
R
r
S1
0
Q E 2 4 0 r
(r R)
同理，取如图所示的高斯面 S 2 ，应用高斯 定理：
r
S2
R
E dS 4r 2 E 0
( S2 )
E 0
( r R)
在球面上（见例3－2）：
E
Q 8 0 R
2
(r R)
E
E
Q 80 R E
l E 2r l 0
E 2 0 r
(r R)
E 2r l 0
E 0
( r R)
在柱面上（见例3－3）：
E 4 0 R
E 40 R
E0
O
(r R)
E
E 20 r
r
R
（3）无限长均匀带电圆柱体。（例 3－7） 对称性分析及其结果，请同学 自己进行。
我们将任意曲面分成一系列有向面元 dS，
容易理解穿过任意曲面的电通量为：
de E dS e d e E dS
(S )
如果曲面是闭合的，穿过它的电通量则用 如下面积分表示：
e d e E dS
(S )
电磁学中的闭合曲面被统称为高斯面。 对非闭合曲面，其上小面元的法向可随意 选取，但无论怎样选取，结果的正负都会告 诉我们电力线是从哪一侧穿过的。不过，对 高斯面则规定一律取外法向。按这样规定， 进入高斯面的电力线其电通量为负，而从高 斯面穿出的电力线其电通量为正。
《静电场高斯定理》课件
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用微积分的知识
总结词：数学推导
详细描述：通过微积分的知识，对电场E进行积分，利用矢量场的散度性质，推导出高斯定理。
证明方法二：利用电通量概念
总结词
物理概念理解
详细描述
详细描述
高斯定理是静电场的基本定理之一， 它表述了电场强度E的闭合曲面积分等 于被包围的电荷量Q除以真空电容率 ε₀。数学公式表示为∮E·dS = Q/ε₀。
高斯定理的应用场景
总结词
高斯定理的应用场景包括计算电场分布、确定电荷分布、解决静电场问题等。
详细描述
高斯定理在静电场理论中具有广泛的应用，它可以用于计算电场分布、确定电荷分布以及解决各种静电场问题。 通过高斯定理，我们可以求解电场中任意区域的电场强度，进而分析电场对电荷的作用力以及能量等物理量。
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在静电屏蔽中的应用
静电屏蔽原理
高斯定理可以用来解释静电屏蔽原理，当一 个带电体被导体外壳包围时，由于导体的静 电感应作用，带电体会在导体外壳内表面感 应出等量异种电荷，根据高斯定理，导体外 壳外部的电场线数为零，因此带电体被完全 屏蔽在导体外壳内部。
静电屏蔽的应用
高斯定理在静电屏蔽中有广泛的应用，如电 子设备、仪器仪表、输变电设备等需要防止 外界电场干扰的场合，通过采用静电屏蔽措 施来降低外界电场对设备的干扰。
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03
静电场的高斯定理的数学表达式为
静电场的高斯定理的数学表达式为静电场的高斯定理是物理学中一个重要的定理，它可以帮助我们了解和描述电场的变化以及电荷（电荷量或电荷密度）与它们之间的关系。
该定理以19世纪德国数学家卡尔高斯（Karl Gauss）命名，他在1813年发表了第一个有关静电场的论文。
高斯定理有几种不同的数学表达式，它们可以描述不同类型的物理系统。
首先，让我们来看看静电场的概念。
电场是一种场，它由一组随时间变化的电荷产生的电力线组成。
这些线描述电力在某个空间区域内的分布。
在这里，我们只考虑静电场，它是由平衡状态的电荷产生的（即不会随时间变化）。
此外，静电场在电磁学中也被称为电场，是由平衡状态的电荷产生的。
接下来，我们来看看静电场的高斯定理的数学表达式。
该定理建立在一个有限空间上，它表明，在该空间内，电场的总变化量可以用电荷的总量来表示，也就是说，电场的总变化量可以用电荷的总量来描述。
以下是静电场的高斯定理的数学表达式：begin{equation}vecabla cdot vec E = rho/epsilon_0end{equation} 其中，$vec E$代表了一维空间上电场的分量；$vecabla$表示空间离散梯度；$rho$是电荷密度，$epsilon_0$是真空介电常数。
通过这个定理，可以表示电荷密度与电力线的关系，并且可以使用它来求解静电场。
通常情况下，可以利用它来计算某个特定点处的电力线的密度和方向。
总的来说，静电场的高斯定理的数学表达式是一种强有力的工具，它可以帮助我们理解和描述电场的变化以及电荷和它们之间的关系。
该定理的数学表达式也可以用来求解静电场的电力线的方向和密度，这有时对物理系统的研究是非常有价值的。
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知试验电荷受到的作用力为
F
Fi
Qi q0
4 0ri2
ei
Qi
P ri
P点的电场强度
E
Fi
q0
Qi
4 0
ri2
ei
E＝ Ei
E＝ Ei
点电荷系电场中某点的场强等于各个点电荷单 独存在时在该点的场强的矢量和。 这就是电场强度的叠加原理。
（2）电荷连续分布
电荷呈线状分布dq
dq=λdl
q E
E q
(2)几种典型的电场线分布
-Q
+2Q
+Q
+Q
(3)电场线密度
定义：经过电场中任一点，作一 面积元dS，并使它与该点的场强 垂直，若通过dS面的电场线条数 为dΦ，则电场线密度为dΦ/dS。
E＝d
dS
对于匀强电场，电场线密度处处相等，而且方向 处处一致。
2、电场强度通量
(1) 定义 通过电场中某一面的电场线的条数叫做通过这一
1779年对摩擦力进行分析，提出有关润滑剂 的科学理论。
1785~1789年，用扭秤测量静电力和磁力，导 出著名的库仑定律。
1、库仑定律内容
在真空中，两个静止的点电荷之间的相互作用力，其大小
与点电荷电量的乘积成正比，与两点电荷之间距离的平方
成反比，作用力在两点电荷之间的连线上，同号电荷互相
排斥，异号电荷互相吸引。
Fe ＝ 8.2 108 Fg 3.6 1047
2.3 1039
结论：库仑力比万有引力大得多。
所以在原子中，作用在电子上的力，主要是电场力，万 有引力完全可以忽略不计。
三、 电场强度
1、静电场
(1)电场的概念 电荷之间的相互作用是通过电场传递的，或者说电
荷周围存在有电场。
在该电场的任何带电体，都受到电场的作用力，这 就是所谓的近距作用。
3、电场力
电荷q在电场E中的电场力
F＝qE
当q>0时，电场力方向与电场强度方向相同； 当q<0时，电场力方向与电场强度方向相反。
4、点电荷电场强度
在真空中，点电荷Q 放在坐标原点，试
验电荷放在r 处，由库仑定律可知试验电
荷受到的F电场 力Q为q0
4 0r
2
er
+
点电荷场强公式
E＝ F q0
Q
4 0r 2
简称场强）。
F E
q0
＝Q
4 0r2
r
F E
q0
＝Q
4 0r2
r
电场中某点的电场强度在数值上等于位于该点的单位正试验电荷所受的电场力。 电场强度的方向与电场力的方向一致（当q0为正值时）。
单位：N.C-1或V.m-1
电场强度是电场的属性，与试验电荷的存在与否无关，并不因无试验电荷而不存 在，只是由试验电荷反映。
面元的电场强度通量。
de E dS
(2)匀强电场的电通量
平面S的法向向量与E平行时
＝
e
ES
平面S的法向向量与E有夹角θ时
引入面积矢量
S
Sen
e＝E
S
E
en S
＝ES cos
dS
en
dS
(3)非均匀电场的电通量
微元dS
de E dS
e E dS
S
n
dS
E
S
对封闭曲面
e E dS
电偶极矩： p qr0
q q
r0
求：电偶极子轴线延长线上任意一点A处的电场强度
习题P77 5-10
v E
1
40
q
x r0 /
22
v E
1
40
x
q r0
/
22
q O
r0
q
E A
E
x
v v v 1 q
q
E
E
E
4 0
x
r0
/
22
x
r0
/
22
v
E
q
4 0
2 xr0 x2 r02 / 4
最早是由狄拉克从理论上预言的。1932年8月2日，美国加州 理工学院的安德森等人向全世界庄严宣告，他们发现了正电
子。
正电子的发现是利用云雾室来观测的。正电子的发现开辟了 反物质领域的研究。
(2) 电荷量子化
1913年，密立根用液滴法从实验中测出所有电子都具 有相同的电荷，而且带电体的电荷是电子电荷的整数
加电场时
油滴在重力、阻力和 电场力的作用下，最 后也得到收尾速度。
mg 6 rv2－qE 0
v
＝
2
mg qE
6 r
因而可得油滴的电荷为 q 6rv1 v2
E
密立根油滴实验的结果
•油滴的电荷总是等于同一基元电荷的整数倍
q=ne, n=1,2,…., •电子电荷的值为e=1.603×10-19C，称为基元电荷；
2
例2、 均匀带电圆环轴线上一点的场强。 设正电荷q均匀地分布在半径为R的圆环上。计算在环的轴线
任一点p 的电场强度。
dE
X
P
r
R dq
L
例2、 均匀带电圆环轴线上一点x处的场强。
设正电荷q均匀地分布在半径为R的圆环上。计算在环的轴线
任一点p 的电场强度。
解：由对称性可知，p点场强只有X分量
R2 q 40 x2 40 x2
垂直于板面，正负由电荷的符 号决定。
习题P76 5-9
在远离带电圆面处， 相当于点电荷的场强
。
附： (1+x)m的泰勒级数展开为：
(1 x)m 1 mx m(m 1) x2 m(m 1)(m 2) x3 ......
2!
3!
...... m(m 1)(m 2)......(m n 1) xn n!
小结
• 电荷的量子化 • 电荷守恒定律
• 库仑定律 • 静电场的概念
• 电场强度 • 电场强度叠加原理 • 电场强度的计算
第2节 静电场的高斯定理
1、电场强度通量 2、高斯定理
3、高斯定律应用举例
1、电场线
一、电场强度通量
(1)定义
电场线上每一点的场强的方向 与该点切线方向相同，而且电 场线箭头的指向表示场强的方 向。
式； •进行积分计算； •写出总的电场强度的矢量表达式，或求出电场强度的
大小和方向；
在计算过程中，要根据对称性来简化计算过程。
（4）电场强度的计算
例1、电偶极子的电场强度
电偶极子：等量异号电荷+q、-q，相距为r0，它相 对于求场点很小，称该带电体系为电偶极子。
电偶极子的轴：从-q 指向+q 的矢 量r0称为电偶极子的轴
即电荷是量子化的。
电荷的这种只能取离散的、不连续的量值的性 质，叫作电荷的量子化。电子的电荷e称为基
元电荷，或电荷的量子。
1986年国际推荐值 e 1.602 177 33(49) 1019C
近似值 e 1.6021019C
2、电荷守恒定律
内容： 在孤立系统中，不管系统中的电荷如何 迁移，系统的电荷的代数和保持不变。
电荷
电场
电荷
(2)电场的物质性
•给电场中的带电体施以力的作用。
•当带电体在电场中移动时，电场力作功； 表明电场具有能量。
•变化的电场以光速在空间传播，表明电场 具有动量。
(3) 静电场
静止电荷产生的场叫做静电场。
2、电场强度
（1）试验电荷： ✓线度足够小，小到可以看成点电荷； ✓电量足够小，小到把它放入电场中后，原来的电场几乎没有什么变化。
解：带电圆盘可看成许多同心的圆环
R
组成，取一半径为r，宽度为dr 的细 圆环带电量
o rd
dr
p
x·
d E
x
dE
dq • x
40 (r2 x2 )32
q
dq 2r dr
x R rdr
E x ( p) 2 0 0 (r 2 x 2 )32
面密度
＝Q
S
q
R2
x
2 0
[1
(R2
x
2
)
1 2
q cos
qx
E 4 0r 2 4 0 (R2 x2 )32
dE
X
P
xr
讨论：当求场点远大于环的半径时，
E
q
4 0 x 2
方向在X轴上，正负由q的正负决定。 说明远离环心的场强相当于点电荷的场。
R dq
L
习题P76 5-6（1）
例3、均匀带电圆盘轴线上一点x处的场强。 设圆盘带电量为q，半径为R。
F12
r12
k q1q2 r1 rr2122
e12
F12
r1
O
q1 r12 r2
q2 F21
e12 表示单位矢量
k 1
4 0
F12
1
4 0
q1q2 r122
e12
0 8.85 1012 C2 N1m2
F12
r1
O
q1 r12 r2
q2 F21
真空介电 常数
• 库仑力满足牛顿第三定律
]
习题P76 5-6 （2）
x R rdr
E x ( p) 2 0 0 (r 2 x 2 )32
x
2 0 [1 ( R2 x2 )12 ]
R o rd
dr
讨论：
q
1.当x<<R
E
2 0
2.当x>>R
E R2 40 x2
p
x·
d E
x