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《泛函分析讲义》（上）读书报告

《泛函分析讲义》(上)读书报告《泛函分析讲义》(上)读书报告泛函分析是一门较新的数学分支，是数学专业研究生两门专业基础课之一，是偏微分方程方向研究生为研究偏微必备的数学知识。

它把具体分析的问题抽象到一种更加纯粹的代数、拓扑结构的形式中进行研究，因此逐步形成了种种综合运用代数、几何的手段处理分析问题的新方法。

本门课以张恭庆、林源渠编著的《泛函分析讲义》(上)为教材蓝本，由安徽大学数学科学学院教授王良龙主讲，就简避烦，深入浅出，针对数学专业研究生的现实需要所开的一门课。

本册书共四章，分别为度量空间、线性算子与线性泛函、广义函数与索伯耶夫空间、紧算子与Fredholm算子，其中度量空间、线性算子与线性泛函以及线性算子的谱理论是我们掌握的重点。

度量空间又称距离空间，它是一种拓扑空间，其上的拓扑由指定的一个距离决定，这个距离必须满足正定性，对称性和三角不等式性。

引进距离空间的目的是刻画收敛，在收敛的基础上来叙述闭集、基本列和距离空间的完备性。

在这里我要强调度量空间的完备性与紧性，应该说这两种性质是我们解决空间问题绕不开的话题。

完备性是度量空间中重要的性质，并不是每个度量空间都具有完备性。

为了使某些度量空间完备，我们引入完备化这个概念，在不完备的度量空间中添加“理想元素”使之“扩充”为一个完备空间。

度量空间的完备性也是我们经常论证的问题，针对这一点，我们还是要理解完备空间的定义，适当构造基本列，使其成为收敛列。

压缩映像原理为解决常微分方程的初值问题的局部存在性的唯一性提供一种新的方法，在解决此问题的过程中，我们从中完全可以体会到泛函分析的巨大作用，也是我们偏微分方程方向的学生第一次感受到泛函在方程中的应用。

紧性也是度量空间中另一重要性质。

为什么要提出紧性?是因为并不是每个度量空间的任意点列都有收敛子列。

有限维的欧式空间可以做到这一点，但是其他空间却不能推广。

在紧性这一部分我们必须要明白几点：1.列紧、准紧、相对紧的概念等价;2.什么时候子集是准紧，是紧集;3.距离空间中紧的与自列紧的等价关系(他们分别从有限开覆盖与收敛自列的角度描绘了同一种概念，对于我们理解距离空间的紧性有很大的帮助)距离空间只有拓扑结构，对于许多分析问题只考虑拓扑结构不考虑代数结构是不够用的，因为分析中常遇到的函数空间，不但要考查收敛而且要考虑到元素间的代数运算。

泛函分析复习与总结

《泛函分析》复习与总结第一部分空间及其性质泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。

以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。

一．空间（1）距离空间（集合+距离）！验证距离的三个条件：(,)X ρ称为是距离空间，如果对于,,x y z X ∈(i) 【非负性】(,)0x y ρ≥，并且(,)0x y ρ=当且仅当x y =【正定性】；(ii) 【对称性】(,)(,)x y y x ρρ=；(iii) 【三角不等式】(,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+。

距离空间的典型代表：s 空间、S 空间、所有的赋范线性空间、所有的内积空间。

（2）赋范线性空间（线性空间 + 范数）！验证范数的三个条件：(,||||)X ⋅称为是赋范线性空间，如果X是数域K =¡（或K =£）上的线性空间，对于a K ∈和,x y X ∈，成立(i) 【非负性】||||0x ≥，并且||||0x =当且仅当0x =【正定性】； (ii) 【齐次性】||||||||||ax a x =⋅；(iii) 【三角不等式】||||||||||||x y x y +≤+。

赋范线性空间的典型代表：n ¡空间（1,2,3,n =L ）、n £空间（1,2,3,n =L ）、p l 空间（1p ≤≤∞）、([,])p L ab 空间（1p ≤≤∞）、[,]Cab 空间、[,]k C a b 空间、Banach 空间、所有的内积空间（范数是由内积导出的范数）。

（3）内积空间（线性空间 + 内积）！验证内积的四个条件：(,(,))X ⋅⋅称为是内积空间，如果X 是数域K =¡（或K =£）上的线性空间，对于a K ∈和,,x y z X ∈，成立(i) 【非负性】(,)0x x ≥，并且(,)0x x =当且仅当0x =【正定性】；(ii) 【第一变元可加性】(,)(,)(,)x y z x z x z +=+；(iii) 【第一变元齐次性】(,)(,)ax z a x z =；(iv) 【共轭对称性】(,)(,)x z z x =。

学习泛函分析心得

学习泛函分析心得我在学习泛函分析时，深刻理解到对于数学中的函数空间，通常要考虑的是函数与函数之间的关系，而泛函分析正是研究这种关系的一门学科。

在泛函分析中，将函数看作向量，函数空间称为向量空间。

然而，这个向量空间与我们平常接触的欧几里得空间有所不同。

在欧几里得空间中，我们通常使用内积来定义空间中向量的长度、角度等性质，而泛函分析中，我们在向量空间上定义了一种新的线性映射：泛函。

泛函将函数映射到实数或复数，从而使得函数也可以看作向量空间中的元素。

同时，泛函也可以看作将向量空间中的向量映射到一个标量。

泛函分析中一个核心的概念是范数。

范数是一种将向量空间中的向量映射到非负实数的函数，可以看作在数学上定义了向量的长度。

泛函分析中的范数并不局限于欧几里得空间中常用的2-范数，我们可以定义各种各样的范数，根据不同的需求来选择合适的范数。

另一个很重要的概念是完备性。

一个向量空间是完备的，意味着空间中的任何柯西序列都可以收敛到该空间中的一个元素。

在欧几里得空间中我们已经很熟悉了柯西序列与收敛的概念，但在一般的向量空间中，柯西序列可能并不收敛，这就需要考虑向量空间的完备性。

泛函分析有很多应用，其中比较重要的一类是微积分方程。

通过泛函分析的分析工具，可以求解各种各样的微积分方程，比如把微分方程转化为积分方程。

同时，泛函分析也被应用于量子力学、图像处理、信号处理等很多学科中。

总之，学习泛函分析可以让我们从一个完全不同的角度来看待函数空间、向量空间等数学概念，提供了一个更加广阔的数学视角。

同时，泛函分析也是一个重要的研究领域，有着广泛的应用前景。

泛函分析知识点

泛函分析知识点泛函分析知识点知识体系概述(一)、度量空间与赋范线性空间第一节度量空间的进一步例子1.距离空间的定义:设X 就是非空集合,若存在一个映射d:X ×X →R,使得?x,y,z ∈X,下列距离公理成立:（1）非负性:d(x,y)≥0,d(x,y)=0?x=y;（2）对称性:d(x,y)=d(y,x);（3）三角不等式:d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);则称d(x,y)为x 与y 的距离,X 为以d 为距离的距离空间,记作(X,d)2、几类空间例1 离散的度量空间例2 序列空间S例3 有界函数空间B(A)例4 可测函数空M(X)例5 C[a,b]空间即连续函数空间例6 l 2第二节度量空间中的极限,稠密集,可分空间1. 开球定义设(X,d)为度量空间,d 就是距离,定义U(x 0, ε)＝{x ∈X | d(x, x 0) <ε}为x 0的以ε为半径的开球,亦称为x 0的ε一领域、2. 极限定义若{x n }?X, ?x ∈X, s 、t 、()lim ,0n n d x x →∞= 则称x 就是点列{x n }的极限、 3. 有界集定义若()(),sup ,x y Ad A d x y ?∈=<∞,则称A 有界4. 稠密集定义设X 就是度量空间,E 与M 就是X 中两个子集,令M 表示M 的闭包,如果E M ?,那么称集M 在集E 中稠密,当E=X 时称M 为X 的一个稠密集。

5. 可分空间定义如果X 有一个可数的稠密子集,则称X 就是可分空间。

第三节连续映射1、定义设X=(X,d),Y=(Y , ~d )就是两个度量空间,T 就是X 到Y 中映射,x0X ∈,如果对于任意给定的正数ε,存在正数0δ>,使对X 中一切满足()0,d x x δ< 的x,有()~0,d Tx Tx ε<,则称T 在0x 连续、2、定理1 设T 就是度量空间(X,d)到度量空间~Y,d ?? 中的映射,那么T 在0x X ∈连续的充要条件为当()0n x x n →→∞时,必有()0n Tx Tx n →→∞3、定理2 度量空间X 到Y 中的映射T 就是X 上连续映射的充要条件为Y 中任意开集M 的原像1T M -就是X 中的开集、第四节柯西(cauchy)点列与完备度量空间1、定义设X=(X,d)就是度量空间,{}n x 就是X 中点列,如果对任意给定的正数0ε>,存在正整数()N N ε=,使当n,m>N 时,必有(),n m d x x ε<,则称{}n x 就是X 中的柯西点列或基本点列。

泛函分析知识点总结

泛函分析知识点总结本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March泛函分析一，距离空间定义设X是任一非空集合，对于X中的任意两点x,y，均有一个实数d(x,y)与它对应，且满足：1）d(x,y)≥0（非负性）2）d(x,y)=0当且仅当x=y(严格正)3）d(x,y)=d(y,x)4）d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)（三角不等式）则称d(x,y)为X中的一个距离，定义了距离d的集合称为一个距离空间，记为（X,d），有时简记为X。

设（X,d）是一个距离空间，X中的一个数列，存在X中的任意点，如果当n趋于无穷时，这个数列按照距离收敛到这个点，则称这个数列以这点收敛。

(x,y)是x,y的二元函数，若当存在一个x的数列收敛到x,存在一个y 的数列收敛到y，则这个距离关于x,y的二元函数也收敛。

(利用三角不等式证明)开球的定义（X,d）是一个距离空间，r>0，集合B(x0,r)={x∈X|d(x,x0)<r}则称以x0为中心，r为半径的开球。

有界集：称A为有界集，若存在一个开球，使得A属于这个开球。

内点：称x0为集合G的内点，若存在一个开球B(x0,r)属于G。

开集：称G为开集，若G中的每一个点都是它的内点。

闭集：开集的补集就是闭集。

（若用接触点定义闭集就是，A的接触点的全体称为A的闭包，也就是闭集。

）闭集的等价条件是这个集合中的收敛点列收敛到这个集合中的元素。

全空间和空集即使开集也是闭集。

任意个开集的并是开集，有限个开集的交是开集。

任意个闭集的交是闭集，有限个闭集的并是闭集。

等价距离：两个距离空间称为等价距离，如果它们之间可以互相表示。

连续映射：在两个距离空间之间存在一个映射：T，称T为连续映射。

若在定义域的距离空间中存在一个开集，经过映射T，在另一个距离空间定义的距离下是任意小的。

映射T是连续的等价于值域里的开集的原像仍然是开集。

泛函分析读书笔记(上)(可编辑修改word版)

第一部分线性代数第一章线性空间第一节线性空间一、基本概念1、定义：数域P ＝复数子集＋四则运算封闭2、定义：线性空间=•+），；；（P V 数域P 上的线性空间V ＝线性空间V ⑴、解释：=V 非空集合⑵、解释：V V V →⨯=+【加法，加法保持封闭】 ⑶、解释：V V P →⨯=•【数乘，数乘保持封闭】 ⑷、解释：=•+），（线性运算【满足8条规则】3、 8条规则加法规则：⑴、交换律：αββα+=+⑵、结合律：)()(γβαγβα++=++⑶、零元素：V ∈∃0，对于V ∈∀α，都有αα=+0⑷、负元素：对于V ∈∀α，V ∈∃β，使得0=+βα【记为：α-】数乘规则：⑸、αα=1⑹、αα)()(kl l k =加法数乘规则：⑺、βαβαk k k +=+)(⑻、αααl k l k +=+)(二、基本性质1、性质⑴、性质：零元素唯一⑵、证明：假设：V ∈∃10，对于V ∈∀α，都有αα=+10 V ∈∃20，对于V ∈∀α，都有αα=+20 对于V ∈∀α，都有⇒=+αα10特别：212000=+对于V ∈∀α，都有⇒=+αα20特别：121000=+12120000+=+【交换律】2100=⇒ ⑶、性质：负元素唯一2、性质⑴、性质：ααα-=-==)1(0000，，k⑵、证明：ααααααα==+=+=+1)10(100【规则5＋规则8】 )()(]0[0αααααααα-+=-++⇒=+⇒αααααααα000)]([0)(]0[=+=-++=-++⇒【结合律】0)(=-+αα【负元素的定义】00=⇒α第二节线性无关一、基本概念1、概念：线性组合（线性表出）如果：r r k k k αααα+++=Λ2211则称：向量α是向量组r ααα，，，Λ21的一个线性组合或称：向量α可由向量组r ααα，，，Λ21线性表出2、概念：线性相关如果：存在不全为0的P k k k r ∈，，，Λ21 使得：02211=+++r r k k k αααΛ则称：向量组r ααα，，，Λ21线性相关3、概念：线性无关如果：不存在不全为0的P k k k r ∈，，，Λ21 使得：02211=+++r r k k k αααΛ则称：向量组r ααα，，，Λ21线性无关 4、关键：00212211====⇒=+++r r r k k k k k k ΛΛααα二、基本性质1、性质⑴、性质：向量组r ααα，，，Λ21线性相关 ⇔其中某一向量可由其余向量线性表出 ⑵、证明：必要性：r r r r k kk k k k k αααααα)()(0121212211-++-=⇒=+++ΛΛ 充分性：0)()(221221=-++-+⇒++=r r r r k k k k ααααααΛΛ2、性质⑴、性质：如果：向量组r ααα，，，Λ21线性无关并且：可由向量组s βββ，，，Λ21线性表出则有：s r ≤⑵、证明：∑∑===⇒=⇒+++=sj j ji i sj j j s s t tt t t 111112211111βαβαβββαΛ∑∑∑∑∑=======⇒=+++s j ri j ji i ri sj j jiiri iir r t k tk k k k k 111112211][][0ββααααΛ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒=+++=+++=+++⇒000221122222111122111sr r s s rr r r t k t k t k t k t k t k t k t k t k ΛΛΛΛs 个方程，r 个未知数⇒如果s r >，则方程存在非零解r k k k ，，，Λ21 ⇒向量组r ααα，，，Λ21线性相关⇒矛盾3、等价⑴、概念：两个向量组等价【互相线性表出】⑵、性质：两个等价的线性无关向量组，必定含有相同数目的向量⑶、证明：假设：向量组r ααα，，，Λ21线性无关向量组s βββ，，，Λ21线性无关4、性质⑴、性质：如果：向量组r ααα，，，Λ21线性无关并且：向量组βααα，，，，r Λ21线性相关那么：β可由向量组r ααα，，，Λ21线性表出，并且表法唯一 ⑵、证明：向量组βααα，，，，r Λ21线性相关 ⇒存在不全为0的P k k k k r ∈β，，，，Λ21 使得：02211=++++βαααβk k k k r r Λr r k kk k k k k αααβββββ)()()(02221-++-+-=⇒≠⇒Λ 假设：r r k k k αααβ+++=Λ2211r r l l l αααβ+++=Λ22110)()()(222111=-++-+-⇒r r r l k l k l k αααΛ⇒===⇒r r l k l k l k ，，，Λ2211表法唯一第三节维数、基和坐标1、定义：n 维线性空间V ：恰好存在n 个线性无关的向量2、定义：n 维线性空间V 的一组基：n 个线性无关的向量n εεε，，，Λ213、定义：坐标：对于V ∈∀α，向量组n εεε，，，Λ21线性无关向量组n a εεε，，，，Λ21线性相关【否则1+n 维】 n n a a a εεεα+++=⇒Λ2211⇒坐标)(21n a a a ，，，Λ=4、定理⑴、定理：如果：向量组n ααα，，，Λ21线性无关并且：线性空间V 中的任意向量，均可由它们线性表出那么：V 的维数n =，并且n ααα，，，Λ21是V 的一组基 ⑵、证明：假设：V 的维数1+=n⇒121+n βββ，，，Λ线性无关，可由向量组n ααα，，，Λ21线性表出 ⇒n n ≤+1⇒矛盾第四节极大线性无关组1、定义：极大线性无关组：一个向量组的一部分组称为极大线性无关组如果：该部分组线性无关并且：添加任一向量均线性相关2、性质⑴、性质：极大线性无关组与向量组本身等价⑵、证明：假设：向量组r k αααα，，，，，ΛΛ21= 极大线性无关组k ααα，，，Λ21= k ααα，，，Λ21⇒可由r k αααα，，，，，ΛΛ21线性表出对于}{21r k ααααβ，，，，，ΛΛ∈∀ βααα，，，，k Λ21⇒线性相关【否则与极大线性无关组矛盾】 β⇒可由k ααα，，，Λ21线性表出3、性质⑴、性质：向量组的极大线性无关组，含有相同个数的向量 ⑵、证明：向量组与极大线性无关组1等价向量组与极大线性无关组2等价⇒极大线性无关组1与极大线性无关组2等价【等价的传递性】第五节线性子空间1、定义：），；；（•+P W 是线性空间），；；（•+P V 的一个子空间＝W 是数域P 上的线性空间V 的一个子空间＝W 是线性空间V 的一个子空间如果：⑴、V W =的非空子集⑵、两种运算封闭：W W W ∈+∈∀∈∀βαβα，， W k W P k ∈∈∀∈∀αα，，2、 )(21r L ααα，，，Λ ⑴、性质：如果：∈r ααα，，，Λ21线性空间V 那么：所有可能的线性组合r r k k k ααα+++Λ2211构成V 的一个子空间称为：由r ααα，，，Λ21生成的子空间记为：)(21r L ααα，，，Λ ⑵、证明：非空子集＋两种运算封闭3、性质⑴、性质：)()(2121s r L L βββααα，，，，，，ΛΛ= ⇔向量组r ααα，，，Λ21与向量组s βββ，，，Λ21等价⑵、证明：①：充分性：∑==+++=⇒∈∀ri ii r r r k k k k L 1221121)(αααααααααΛΛ，，，∑∑===⇒=+++=sj j ji i s j j j s s i t t t t t 1111221111βαββββαΛ∑∑∑∑∑========⇒s j ri j ji i r i sj j jiir i ii t k tk k 11111][][ββαα)()()(212121s r s L L L βββαααβββα，，，，，，，，，ΛΛΛ⊂⇒∈⇒ ②：必要性：)()(2121s i r i L L βββααααα，，，，，，ΛΛ∈⇒∈ i α⇒可由向量组s βββ，，，Λ21线性表出4、性质⑴、性质：如果：W 是n 维线性空间V 的一个m 维子空间并且：m ααα，，，Λ21是W 的一组基那么：m ααα，，，Λ21可以扩充为线性空间V 的一组基 ⑵、证明：V ∈∃β，使得βααα，，，，m Λ21线性无关反证法：βαααβ，，，，，m V Λ21∈∀线性相关 β∀⇒可由m ααα，，，Λ21线性表出 ⇒线性空间V 的维数⇒=m 矛盾第六节子空间的交与和1、定义：}|{22112121V V V V ∈∈+=+αααα，2、性质⑴、性质：如果：21V V ，是线性空间V 的两个子空间那么：21V V I 也是线性空间V 的子空间 ⑵、证明：=21V V I 非空子集【至少都包含零元素】 2121V V V V ∈∈⇒∈∀ααα，I 2121V V V V ∈∈⇒∈∀βββ，I2121V V V V I ∈+⇒∈+∈+⇒βαβαβα，3、性质⑴、性质：如果：21V V ，是线性空间V 的两个子空间那么：21V V +也是线性空间V 的子空间 ⑵、证明：22112121V V V V ∈∈+=⇒+∈∀αααααα，， 22112121V V V V ∈∈+=⇒+∈∀ββββββ，， 222111V V ∈+∈+⇒βαβα，2122112121)()()()(V V +∈+++=+++=+⇒βαβαββααβα4、维数公式⑴、公式：维+1V 维=2V 维+)(21V V I 维)(21V V +⑵、证明：假设：m αα，，Λ1是21V V I 的一组基 111n m ββαα，，，，，ΛΛ是1V 的一组基 211n m γγαα，，，，，ΛΛ是2V 的一组基证明：21111n n m γγββαα，，，，，，，，ΛΛΛ是21V V +的一组基①、线性无关：022********=++++++++n n n n m m q q p p k k γγββααΛΛΛ2211111111n n n n m m q q p p k k γγββααα---=+++++=ΛΛΛm m l l V V V V αααααα++=⇒∈⇒∈-∈⇒ΛI 112121， m m n n m m l l p p k k ααββαα++=+++++ΛΛΛ11111111 01111====⇒n m m p p l k l k ，，m m n n l l q q ααγγ++=++ΛΛ11221100211=====⇒n m q q l l ，Λ②、21V V +∈∀α，均可由21111n n m γγββαα，，，，，，，，ΛΛΛ线性表出第七节子空间的直和1、直和⑴、定义：=+21V V 直和⇔任何元素的分解式唯一⑵、分析：22112121V V V V ∈∈+=⇒+∈∀αααααα，，唯一2、性质⑴、性质：=+21V V 直和⇔零元素的分解式唯一⑵、证明：充分性：假设：22112121V V V V ∈∈+=⇒+∈αααααα，，221121V V ∈∈+=ββββα，，)()()()(022112121βαβαββαα-+-=+-+=⇒ 2211βαβα==⇒，3、性质⑴、性质：=+21V V 直和}0{21=⇔V V I⑵、证明：充分性：22112121V V V V ∈∈+=⇒+∈∀αααααα，，2211210V V ∈∈+=⇒αααα，，1221221121V V V V ∈∈∈∈⇒-=⇒αααααα，，， 021212211==⇒∈∈⇒ααααV V V V I I ，必要性：212121V V V V V V ∈-∈⇒∈∈⇒∈∀ααααα，，I 00)(=⇒=-+ααα4、性质⑴、引理：⇔=}0{V 维0=V⑵、证明：必要性：向量0线性相关⇒不存在线性相关的向量组充分性：假设：线性空间V 至少包括一个非零向量α ⇒≠⇒0α向量α线性无关α⇒可以扩充为线性空间V 的一组基⇒维1≥V ⇒矛盾⑶、性质：=+21V V 直和⇔维+1V 维=2V 维)(21V V +第八节线性空间的同构1、定义：同构如果：=W V ，线性空间并且：存在W V →的双射σ【双射＝一一映射＝满射＋单射】并且：σ满足两条性质：①)()()(βσασβασ+=+②)()(ασασk k = 则称：V 和W 同构，=σ同构映射2、基本性质⑴、性质：数域P 上的n 维线性空间V 与n P 同构⑵、证明：①、=•+)(，，；P P n线性空间【两种运算封闭＋满足8条性质】 n n n n P b b b P a a a ∈=∀∈=∀)()(2121，，，，，，，ΛΛβα )(2211n n b a b a b a +++=+⇒，，，Λβα n n P a a a P k ∈=∀∈∀)(21，，，，Λα)(21n ka ka ka k ，，，Λ=•⇒α ②、构造nP V →的双射σ【向量到坐标的双射】假设：V n =εεε，，，Λ21的一组基 )()(212211n n n a a a a a a V ，，，ΛΛ=⇒++=⇒∈∀ασεεεαα ③、σ满足两条性质)()(212211n n n a a a a a a V ，，，ΛΛ=⇒++=⇒∈∀ασεεεαα )()(212211n n n b b b b b b V ，，，ΛΛ=⇒++=⇒∈∀βσεεεββn n n b a b a b a εεεβα)()()(222111+++++=+⇒Λ)()()()(2211βσασβασ+=++++=+⇒n n b a b a b a ，，，Λ3、性质群1⑴、性质：)()()()(22112211r r r r k k k k k k ασασασααασ+++=+++ΛΛ ⑵、证明：σ的两条性质⑶、性质：r ααα，，，Λ21线性无关)()()(21r ασασασ，，，Λ⇔线性无关 ⑷、证明：必要性：假设：0)()()(2211=+++r r k k k ασασασΛ0)(2211=+++⇒r r k k k ααασΛ由于0)0(=σ，并且=σ双射00212211====⇒=+++⇒r r r k k k k k k ΛΛααα⑸、性质：r ααα，，，Λ21线性相关)()()(21r ασασασ，，，Λ⇔线性相关 ⑹、证明：反证法⑺、性质：同构的线性空间同维⑻、证明：假设：线性空间V 和W 同构，并且维n V =)(，维m W =)(维⇒=n V )(存在n 个线性无关的向量组V n ∈ααα，，，Λ21 ⇒存在n 个线性无关的向量组W n ∈)()()(21ασασασ，，，Λ ⇒维n m W ≥=)( 同理：n m n m =⇒≤4、性质群2⑴、性质：如果：1V 是线性空间V 的一个子空间那么：}|)({)(11V V ∈=αασσ是线性空间)(V σ的子空间 ⑵、证明：①、=1V 非空子集=⇒)(1V σ非空子集②、两种运算封闭假设：111*)()(*)(*V V ∈=⇒=⇒∈∀-αασασασα【双射】 111*)()(*)(*V V ∈=⇒=⇒∈∀-ββσβσβσβ111*)(*)(V ∈+⇒--βσασ【运算封闭】)(*)](*)([111V σβσασσ∈+⇒--【定义】【σ的两条性质】***)]([*)]([*)](*)([1111βαβσσασσβσασσ+=+=+----)(**1V σβα∈+⇒⑶、性质：=-στσ、1同构映射 ⑷、证明：①、=-1σ双射②、1-σ的两条性质)]([)]([)]([111βσσασσβασσβαβα---+=+⇒+=+ )]()([)]([111βσασσβασσ---+=+⇒【σ的两条性质】)()()(111βσασβασ---+=+⇒第二章欧几里得空间第一节实线性空间1、定义：实线性空间)(•+=，；；R R n⑴、两种运算：①、向量加法n n n n R b b b R a a a ∈=∀∈=∀)()(2121，，，，，，，ΛΛβα)(2211n n b a b a b a +++=+⇒，，，Λβα ②、向量数乘n n R a a a R k ∈=∀∈∀)(21，，，，Λα)(21n ka ka ka k ，，，Λ=•⇒α ⑵、两种运算封闭＋满足8条性质第二节欧几里得空间一、基本概念1、定义：内积==)(βα，内积的4条性质 ⑴、交换：)()(αββα，，= ⑵、数乘：)()(βαβα，，k k =⑶、分解：)()()(γβγαγβα，，，+=+ ⑷、正定：0)(≥αα，，00)(=⇔=ααα，2、欧几里得空间【欧氏空间】⑴、定义：欧几里得空间+•+=)(，；；R V 内积⑵、分析：未确定因素；③，；②①•+V 内积⑶、典例：=nE 实线性空间+•+)(，；；R R n内积 ⑷、分析：①、nR V =；②、=•+，向量加法＋向量数乘；③、内积：n n n n R b b b R a a a ∈=∀∈=∀)()(2121，，，，，，，ΛΛβα n n b a b a b a +++=⇒Λ2211)(βα，【满足内积的4条性质】3、基本概念⑴、概念：向量长度)(||ααα，== ⑵、概念：单位向量||αα=⑶、概念：向量距离)(||)(βαβαβαβα--=-==，，d ⑷、概念：夹角||||)(cos 1βαβαβα，，->==<二、柯西不等式1、基本公式⑴、公式：|||||)(|βαβα≤，⑵、证明：①0)(0||0==⇒=βαββ，， ②⇒≠0β令βαγt +=022≥++=++=⇒），（），（），（），（），（βββαααβαβαγγt t t t04]2[2≤-=∆⇒），）（，（），（ββααβα【开口向上＋单根或者无根】），）（，（），（ββααβα≤⇒2][③等号成立条件：βαβαγγγt t -=⇒=+⇒=⇒=000），（），（），（βββα-=-=a b t 2【单根】 βαββββαα、），（），（⇒=⇒线性相关2、推论⑴、推论：||||||βαβα+≤+⑵、证明：），（），（），（），（βββαααβαβα++=++2 222|]||[|||||||2||βαββαα+=++≤⑶、推论：||||||γββαγα-+-≤-⑷、证明：令γαβαγβββαα-=+⇒-=-=，【代入上式】第三节标准正交基1、基本概念⑴、定义：两个向量正交【如果0)(=βα，，则称βα、正交，记为βα⊥】⑵、性质：n 维欧几里得空间V 的内积∑∑====n j ni jiji b a 11)()(εεβα，，⑶、证明：假设：V n =εεε，，，Λ21的一组基 n n a a a V εεεαα+++=⇒∈∀Λ2211n n b b b V εεεββ+++=⇒∈∀Λ22112、基本概念⑴、定义：正交向量组＝两两正交的非零向量组⎩⎨⎧≠==≠==ji ji j i 00)(αα，⑵、定义：正交基＝正交向量组＋基⑶、定义：标准正交基＝正交基＋单位向量3、基本性质⑴、性质：正交向量组线性无关⑵、证明：假设：=r ααα，，，Λ21正交向量组 02211=+++++⇒r r i i k k k k ααααΛΛ0)()(2211==+++++⇒i i i i r r i i k k k k k ααααααα，，ΛΛ 0=⇒i k4、定理⑴、定理：任何一个正交向量组，可以扩充为一组正交基⑵、证明：①假设：=m ααα，，，Λ21线性空间V 的正交向量组 V ∈∃β，使得βααα，，，，m Λ21线性无关否则：βαααβ，，，，，m V Λ21∈∀线性相关 β∀⇒可由m ααα，，，Λ21线性表出 ⇒维V ⇒=m 矛盾 ②∑=+-=mj jj m k 11αβαm i k i mj j j i m ，，，，，，Λ21)()(11=-=⇒∑=+ααβαα0))1=-=-=∑=），（，（），（，（i i i i i mj j j i k k αααβαααβ），（，（i i i i k αααβ)=⇒5、定理⑴、定理：如果：V n =εεε，，，Λ21的一组基那么：可以找到一组标准正交基n ηηη，，，Λ21 并且：)()(2121n n L L ηηηεεε，，，，，，ΛΛ= ⑵、证明：①||111εεη=②假设：已经找到一组单位正交向量m ηηη，，，Λ21 使得：)()(2121m m L L ηηηεεε，，，，，，ΛΛ= ∑=+++-=⇒mj j j m m m 1111)(ηηεεγ，m i i mj j j m m i m ，，，，，，，Λ21))(()(1111=-=⇒∑=+++ηηηεεηγ))(()())(()(11111i i i m i m i mj j j m i m ηηηεηεηηηεηε，，，，，，++=++-=-=∑0))(()(11=-=++i i i m i m ηηηεηε，，， ||111+++=⇒m m m γγη ③∑=++++-=nj j j m m m m 11111)(||ηηεεγη，1+⇒m η可由121+m εεε，，，Λ线性表出 1+m ε可由121+m ηηη，，，Λ线性表出121+⇒m εεε，，，Λ与121+m ηηη，，，Λ等价 )()(121121++=⇒m m L L ηηηεεε，，，，，，ΛΛ第四节正交补1、基本概念⑴、定义：V ⊥α：如果V ∈∀β，都有0)(=βα，则称V 、α正交，记为V ⊥α⑵、定义：W V ⊥：如果W V ∈∀∈∀βα，，都有0)(=βα，则称W V 、正交，记为W V ⊥⑶、定义：正交补：假设：=21V V ，线性空间V 的两个子空间如果：V V V V V =+⊥2121，则称：12V V =的正交补，记为：⊥=12V V2、性质⑴、性质：如果：s V V V ，，，Λ21两两正交那么：=+++s V V V Λ21直和 ⑵、证明：假设：i i s V ∈+++=αααα，Λ21000)(0)(21=⇒=⇒=+++⇒i i i i s ααααααα，，Λ3、性质⑴、性质：任何子空间的正交补，存在并且唯一⑵、证明：假设：=1V 线性空间V 的一个子空间，⊥=12V V ①、V V V =⇒=21}0{②、1211}0{V V m =⇒≠εεε，，，Λ的一组正交基 ⇒可以扩充为=n m εεε，，，，ΛΛ1V 的一组正交基 )(12n m L V εε，，Λ+=⇒⊥=⇒12V V 【证明集合相等】【根据定义证明正交】③、假设：21V V ⊥，并且V V V =+2131V V ⊥，并且V V V =+313311312222V V V V ∈∈+=⇒∈∀⇒∈∀ααααααα，，00((111131112=⇒=⇒+=⇒ααααααααα），），（），），（ 32323323V V V V ⊂⇒∈⇒∈=⇒αααα，同理可证：3223V V V V =⇒⊂第三章线性变换一、线性变换的定义1、定义：线性变换假设：=T 线性空间），；；（•+P V 的一个变换如果：T 满足两个条件⑴、V T T T ∈∀+=+βαβαβα，，)()()( ⑵、V P k kT k T ∈∀∈∀=ααα，，)()(则称：=T 线性变换2、等价条件⑴、性质：T 的两个条件等价于V P k k T k T k k k T ∈∀∈∀+=+βαβαβα，，，，212121)()()(⑵、证明：①必要性：)()()()()(212121βαβαβαT k T k k T k T k k T +=+=+②充分性：)()()(121βαβαT T T k k +=+⇒==)()(021ααkT k T k k k =⇒==，二、线性变换的运算1、线性变换的乘积⑴、定义：V T T T T ∈=ααα，))(())((2121 ⑵、性质：线性变换的乘积，仍是线性变换⑶、证明：①))(())(())((2212121βαβαβα（）T T T T T T T +=+=+))(())(())(())((21212121βαβαT T T T T T T T +=+=②）））ααααα)(()(()(())(())((2121212121T T k T kT kT T k T T k T T ====2、线性变换的加法⑴、定义：V T T T T ∈+=+αααα，)()())((2121 ⑵、性质：线性变换的加法，仍是线性变换 ⑶、证明：同上类似三、线性变换的矩阵1、定理：⑴、定理：如果：=V 数域P 上的n 维线性空间），；；（•+=P V V n =εεε，，，Λ21的一组基 =n a a a ，，，Λ21任意一组向量那么：存在唯一的一个线性变换T使得：n i a T i i ，，，，Λ21==ε ⑵、证明：存在性和唯一性2、唯一性⑴、性质：如果：n i T T i i ，，，，Λ2121==εε 那么：21T T =⑵、证明：n n x x x x V x εεε+++=⇒∈∀Λ2211n n n n T x T x T x x x x T x T εεεεεε1212111221111)(+++=+++=⇒ΛΛ x T x x x T T x T x T x n n n n 2221122222121)(=+++=+++=εεεεεεΛΛ3、存在性⑴、性质：如果：=V 数域P 上的n 维线性空间），；；（•+=P V V n =εεε，，，Λ21的一组基=n a a a ，，，Λ21任意一组向量那么：存在一个线性变换T使得：n i a T i i ，，，，Λ21==ε⑵、证明：①变换T ：∑==+++=⇒∈∀ni ii n n x x x x x V x 12211εεεεΛ∑==+++=⇒ni ii n n ax a x a x a x Tx 12211Λ②线性变换T ：假设：∑∑===⇒∈∀=⇒∈∀ni ii ni i i z z V z y y V y 11εε，∑∑===+=+⇒ni i i ni i i iky ky z yz y 11)(εε，Tz Ty a z a y a z yz y T ni i i n i i i ni i i i+=+=+=+⇒∑∑∑===111)()(kTy a y k aky ky T ni i i ni ii ===⇒∑∑==11)(③证明i i a T =ε：n i i εεεεε010021+++++=ΛΛi n i a a a a a T =+++++=⇒0100221ΛΛε4、定义：如果：=V 数域P 上的n 维线性空间），；；（•+=P V V n =εεε，，，Λ21的一组基 V T =的一个线性变换那么：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=⇒nnn n n n n n n n a a a T a a a T a a a T εεεεεεεεεεεεΛΛΛΛ22112222112212211111 )()(2121222211121121n nn n n n n n T T T a a a a a a a a a εεεεεε，，，，，，ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⇒ )()(2121n n T T T A εεεεεε，，，，，，ΛΛ=⇒ 则称：=A 线性变换T 在n εεε，，，Λ21下的矩阵⑵、性质：如果：取定一组基并且：=ϕ线性变换n n T ⨯→矩阵的一个映射那么：=ϕ双射⑶、证明：①单射：假设：2211)()(A T A T ==ϕϕ，212121T T T T A A i i =⇒=⇒=εε【唯一性】②满射：i i ni i i i a T a a a a A =⇒=⇒ε)(21，，，Λ【存在性】5、定理⑴、线性变换的加法，对应于矩阵的加法⑵、线性变换的乘积，对应于矩阵的乘积⑶、线性变换的数乘，对应于矩阵的数乘⑷、线性变换的逆，对应于矩阵的逆第二部分泛函分析第一章度量空间第一节度量空间一、度量空间1、符号约定：），；；（），；；（•+⇒•+F R P V2、定义：距离ρρ==），（y x 的两条性质⑴、正定：R y x y x y x y x ∈∀=⇔=≥，；），（，），（00ρρ⑵、三角不等式：R z y x z y z x y x ∈∀+≤，，）；，（），（），（ρρρ3、定义：度量空间)ρ，（R =【距离空间】⑴、解释：=R 非空集合⑵、解释：=ρ距离【满足ρ的两条性质】4、对称性⑴、性质：），（），（x y y x ρρ= ⑵、证明：），（），（），（z y z x y x ρρρ+≤），（），（），（），（），（x y y x x y x x y x ρρρρρ≤⇒+≤⇒同理可证：），（），（），（），（x y y x y x x y ρρρρ=⇒≤二、基本概念1、子空间⑴、性质：度量空间的任何子空间，仍是度量空间⑵、证明：假设：=)ρ，（R 度量空间， =)ρ，（M 度量空间的子空间证明：=M 非空子集，ρ的两条性质仍然满足2、一致离散：如果：0>∃α使得：y x R y x ≠∈∀，，；都有：αρ>），（y x则称：=R 一致离散的度量空间3、等距映射和等距同构⑴、定义：等距映射：假设：=))11ρρ，，（，（R R 度量空间；1R R →=ϕ的映射如果：），（），（y x y x ϕϕρρ1= 则称：1R R →=ϕ的等距映射⑵、性质：1R R →=ϕ的等距映射1R R →=⇒ϕ的单射⑶、证明：y x y x y x y x ϕϕϕϕρρ≠⇒≠⇒≠⇒≠001），（），（⑷、定义：等距同构：假设：1R R →=ϕ的等距映射如果：1)(R R =ϕ则称：=))11ρρ，，（，（R R 等距同构【双射】 ⑸、性质：11)(R R R R →=⇒=ϕϕ的满射三、极限1、极限⑴、定义：假设：=R 度量空间，R x n x n ∈=，，，)21(Λ 如果：0)(lim =∞→x x n n ，ρ则称：点列}{n x 按距离收敛于x记为：x x n →【x x n n =∞→lim 】并称：=}{n x 收敛点列，}{n x x =的极限⑵、归纳：0)(lim lim =⇔=⇔→∞→∞→x x x x x x n n n n n ，ρ2、性质⑴、性质：收敛点列的极限唯一⑵、证明：假设：0)(lim =⇒→∞→x x x x n n n ，ρ 0)(lim =⇒→∞→y x y x n n n ，ρ )()()(0y x x x y x n n ，，，ρρρ+≤≤⇒【三角不等式】0)]()([lim )(0=+≤≤⇒∞→y x x x y x n n n ，，，ρρρ【夹逼原则】 y x y x =⇒=⇒0)(，ρ3、性质⑴、性质：如果：00y y x x n n →→，那么：)()(lim 00y x y x n n n ，，ρρ=∞→【y x y x ，，=)(ρ的连续函数】 ⑵、证明：0)(lim 00=⇒→∞→x x x x n n n ，ρ 0)(lim 00=⇒→∞→y y y y n n n ，ρ )()()()(0000n n n n y y y x x x y x ，，，，ρρρρ++≤)()()()(0000y y x x y x y x n n n n ，，，，ρρρρ+≤-⇒)()()()(0000y y y x x x y x n n n n ，，，，ρρρρ++≤)()()()(0000y y x x y x y x n n n n ，，，，ρρρρ+≤-⇒)()(|)()(|00000y y x x y x y x n n n n ，，，，ρρρρ+≤-≤⇒0)]()([lim |)()(|lim 00000=+≤-≤⇒∞→∞→y y x x y x y x n n n n n n ，，，，ρρρρ )()(lim 00y x y x n n n ，，ρρ=⇒∞→4、定义：开球})(|{)(00R x r x x x r x O ∈<==，，，ρ其中：=R 度量空间，R x ∈0，+∞<<r 0【=r 有限正数】5、定义：有界集：假设：=R 度量空间，R M =中的点集如果：M 包含在某个开球)(0r x O ，中则称：R M =中的有界集6、性质⑴、性质：如果=}{n x 收敛点列，那么=}{n x 有界集⑵、证明：=}{n x 收敛点列0lim x x n n =⇒∞→ 0>∃⇒N ，使得当N n >时，都有1)(0<x x n ，ρ1)1)()(m ax (001+=⇒，，，，，x x x x r N ρρΛ }{n x ⇒包含在开球)(0r x O ，中四、常见的度量空间1、欧氏空间nE =，其中：)()(y x y x y x --=，，ρ【内积】2、函数空间==][b a C ，区间][b a ，上的连续函数的全体其中：|)()(|max )(][t y t x y x b a t -=∈，，ρ第二节范数一、范数1、定义：R 上的实值函数)(x P 的4个条件【范数的4个条件】⑴、正定1：R x x P ∈∀≥，0)(⑵、齐次性：R x F x P x P ∈∀∈∀=，，ααα)(||)(⑶、三角不等式：R y x y P x P y x P ∈∀+≤+，，)()()(⑷、正定2：00)(=⇔=x x P2、定义：范数：假设：=•+），；；（F R 实数域F 上的线性空间如果：R 上的实值函数)(x P 满足范数的4个条件则称：x x P =)(的范数记为：x x =||||的范数【)(||||x P x =】并称：=R 赋范线性空间【赋范空间】3、性质⑴、定义：半范数：如果满足范数的前3个条件⑵、性质：范数的第4个条件可以简化为：00)(=⇒=x x P⑶、证明：0)0(0)(|0|)0()0(00=⇒===⇒=P x P x P P x4、典例：函数空间][b a C ，⑴、性质：如果：][|)(|max ||||][b a C f x f f b a x ，，，∈∀=∈ 那么：=][b a C ，赋范线性空间⑵、证明：①=][b a C ，线性空间），；；（•+F R 定义：=+向量加法，=•向量数乘⇒两种运算封闭＋满足8个条件②范数的4个条件正定1：0|)(|max ||||][≥=∈x f f b a x ，齐次性：||||*|||)(|max |||)(|max ||||][][f x f x f f b a x b a x αααα===∈∈，，三角不等式：|)()(|max ||||][x g x f g f b a x +=+∈， |||||||||)(|max |)(|max ][][g f x g x f b a x b a x +=+≤∈∈，，正定2：0)(0|)(|max 0||||][=⇒=⇒=∈x f x f f b a x ，5、典例：n 维向量空间n R⑴、范数1：n n ni i R x x x x x x x x x ∈=∀===∑=)()(||||||2112，，，，，Λ ⑵、范数2：∑==n i ix x 1|||||| ⑶、范数3：||max ||||1i ni x x ≤≤=二、范数和距离1、性质⑴、性质：利用范数可以定义距离：||||)(y x y x -=，ρ⑵、证明：距离的两个条件①正定：0||||)(≥-=y x y x ，ρy x y x y x =⇔=-⇔=0||||0)(，ρ②三角不等式：||||||||||||y x y x +≤+y x y x y z y z x x -=+⇒-=-=，||||||||||||||||||||z y z x y z z x y x -+-=-+-≤-⇒)()()(z y z x y x ，，，ρρρ+≤⇒⑶、归纳：赋范线性空间＋利用范数定义距离⇒度量空间【线性空间＋范数＋距离】2、极限⑴、定义：假设：=R 赋范线性空间，R x n x n ∈=，，，)21(Λ 如果：0||||lim =-∞→x x n n 则称：点列}{n x 按范数收敛于x记为：x x n →【x x n n =∞→lim 】 ⑵、归纳：0||||lim lim =-⇔=⇔→∞→∞→x x x x x x n n n n n3、性质⑴、性质：如果0x x n →，那么||||||||lim 0x x n n =∞→【x x =||||的连续函数】 ⑵、证明：0||||lim 00=-⇒→∞→x x x x n n n ||||||||||||||||||||||||0000x x x x x x x x n n n n -≤-⇒+-≤||||||||||||||||||||||||0000x x x x x x x x n n n n -≤-⇒+-≤||||||||||||||000x x x x n n -≤-≤⇒0||||lim |||]||||[|||lim 000=-≤-≤⇒∞→∞→x x x x n n n n ||||||||lim 0||]||||[||lim 0||||||||||lim 000x x x x x x n n n n n n =⇒=-⇒=-⇒∞→∞→∞→4、性质⑴、性质：利用范数定义距离，必然满足两个条件①、)0()(，，y x y x -=ρρ②、)0(||)0(，，x x ρααρ=⑵、证明：①、||||)(y x y x -=，ρ||||||0||)0(y x y x y x -=--=-，ρ②、||||*||||||||0||)0(x x x x ααααρ==-=，||||*||||0||*||)0(||x x x ααρα=-=，5、性质⑴、性质：如果：)(y x ，ρ满足两个条件那么：可以利用距离定义范数：)0(||||，x x ρ=⑵、证明：范数的4个性质①正定1：0)0(||||≥=，x x ρ②齐次性：||||*||)0(||)0(||||x x x x αρααρα===，，③三角不等式：），（），（），（z y z x y x ρρρ+≤ ），（），（），（），（），（），（00000y x y x y x y x ρρρρρρ+≤-⇒+≤⇒ ），（），（），（00|1|0y y y ρρρ=-=- ），（），（），（），（），（），（000000y x y x y x y x ρρρρρρ+≤+⇒-+≤-⇒ ||||||||||||y x y x +≤+⇒④正定2：00)0(0||||=⇒=⇒=x x x ，ρ6、定理⑴、利用范数，可以定义距离⑵、利用函数，可以定义距离＋满足两个条件⑶、利用距离＋满足两个条件，可以定义范数⑷、利用距离，不一定可以定义范数【反例】第二章有界线性算子第一节度量空间中的点集1、基本概念⑴、概念：0x 的-ε环境})(|{)(00R x x x x x O ∈<==，，，ερε⑵、概念：A x =0的内点：如果存在0x 的一个-ε环境A x O ⊂=)(0ε，⑶、概念：=A 开集：如果A 的每一个点都是内点⑷、概念：0x 的环境==)(0x O 包含0x 的开集2、基本性质⑴、性质：)(00ε，x O x ∈，)(00ε，x O x =的内点【ερ<=0)(00x x ，】【2*εε=】⑵、性质：)(00x O x ∈，)(00x O x =的内点【定义】3、重要性质⑴、性质：=)(0ε，x O 开集⑵、证明：ερε<⇒∈∀)()(00x z x O z ，，)(*0)(000x z x z ，，ρεερε-<<⇒-<⇒*)(*)(ερε<⇒∈∀z x z O x ，， ερερρρ<+<+≤⇒)(*)()()(000z x z x z x x x ，，，，)(*)()(00εεε，，，x O z O x O x ⊂⇒∈⇒)(0ε，x O z =⇒的内点=⇒)(0ε，x O 开集4、重要性质⑴、性质：0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O =，都是0x 的环境⑵、意义：-ε环境=环境的特殊情况⑶、证明：=∈)()(000εε，，，x O x O x 开集⑷、性质：A x =0的内点⇔存在0x 的一个环境A x O ⊂=)(0⑸、意义：利用环境定义内点⑹、证明：①：A x =0的内点⇒存在0x 的一个-ε环境A x O ⊂=)(0ε，⇒存在0x 的一个环境A x O ⊂=)(0②：存在0x 的一个环境A x O ⊂=)(0)(00x O x =⇒的内点⇒存在0x 的一个-ε环境)()(00x O x O ⊂=ε，⇒存在0x 的一个-ε环境A x O ⊂=)(0ε，A x =⇒0的内点5、定理⑴、定理：⇔→0x x n对于0x 的任何环境)(0x O =，存在0>N ，当N n >时，)(0x O x n ∈⑵、意义：利用环境定义收敛点列⑶、证明：①：任取0x 的一个环境)(0x O =)(00x O x =⇒的内点⇒存在0x 的一个-ε环境)()(00x O x O ⊂=ε，⇒→0x x n 对于0>ε，存在0>N ，当N n >时，ερ<)(0x x n ，)()(00x O x x O x n n ∈⇒∈⇒ε，②：对于0x 的任何环境)(0x O =，存在0>N ，当N n >时，)(0x O x n ∈⇒对于0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O =，存在0>N ，当N n >时，)(0ε，x O x n ∈00)(x x x x n n →⇒<⇒ερ，⑷、推论：⇔→0x x n对于0x 的任何-ε环境)(0ε，x O =，存在0>N ，当N n >时，)(0ε，x O x n ∈ ⑸、意义：利用-ε环境定义收敛点列第二节连续映射1、函数)(x f 在0x 点连续⑴、传统描述：对于00>∃>∀δε，，当δ<-||0x x 时，ε<-|)()(|0x f x f⑵、环境描述：对于)(0x f 的任何-ε环境))((0ε，x f O =存在0x 的一个-δ环境)(0δ，x O =当)(0δ，x O x ∈时，))(()(0ε，x f O x f ∈2、映射f 在0x 点连续【双重扩展】⑴、定义：假设：=Y X ，度量空间，X D =的一个子空间，Y D f →=的映射如果：对于)(0x f 的任何环境Y x f O ⊂=))((0存在0x 的一个环境D x O ⊂=)(0当)(0x O x ∈时，))(()(0x f O x f ∈则称：映射f 在0x 点连续⑵、定义：如果：映射f 在D 上的每一点都连续则称：D f =上的连续映射3、等价定理⑴、定理：①：映射f 在0x 点连续②：对于)(0x f 的任何-ε环境))((0ε，x f O =存在0x 的一个-δ环境)(0δ，x O =当)(0δ，x O x ∈时，))(()(0ε，x f O x f ∈③：)()(00x f x f x x n n →⇒→⑵、证明：①⇒②映射f 在0x 点连续⇒对于)(0x f 的任何环境))((0x f O =存在0x 的一个环境)(0x O =当)(0x O x ∈时，))(()(0x f O x f ∈【定义】⇒对于)(0x f 的任何-ε环境))((0ε，x f O =存在0x 的一个环境)(0x O =当)(0x O x ∈时，))(()(0ε，x f O x f ∈【-ε环境=环境的特殊情况】 )(00x O x =的内点⇒存在0x 的一个-δ环境)()(00x O x O ⊂=δ，⇒结论【全局满足则局部满足】⑶、证明：②⇒③⇒→0x x n 对于0>∀δ，存在0>N ，当N n >时，)(0δ，x O x n ⊂ N 由δ决定，δ由ε决定⇒N 由ε决定⇒对于0>∀ε，存在0>N ，当N n >时，))(()(0ε，x f O x f n ∈)()(0x f x f n →⇒⑷、证明：③⇒①反证法：映射f 在0x 点不连续⇒存在)(0x f 的一个环境))((0x f O =对于0x 的任何环境)(0x O =存在)(0x O x ∈，))(()(0x f O x f ∉⇒对于0x 的任何环境)1(0nx O ，=，存在)(0x O x n ∈，))(()(0x f O x f n ∉ 0)(lim 1)(0)(000=⇒<<⇒∈∞→x x nx x x O x n n n n ，，ρρ【夹逼定理】 )()(00x f x f x x n n →⇒→⇒【条件】⇒对于0>∀ε，存在0>N ，当N n >时，))(()(0ε，x f O x f n ∈ ))(()(00x f O x f =的内点⇒存在)(0x f 的一个-*ε环境))((*))((00x f O x f O ⊂=ε，⇒对于0*>ε，存在0>N ，当N n >时，))((*))(()(00x f O x f O x f n ⊂∈ε， ⇒存在0>N ，当N n >时，))(()(0x f O x f n ∈⇒矛盾【N 由*ε决定，*ε由))((0x f O 决定】第三节线性算子1、算子⑴、定义：算子＝映射⑵、定义：泛函＝取值于实数域或者复数域的算子2、线性算子⑴、定义：假设：=Y X ，实数域F 上的线性空间X D =的子空间Y D T →=的映射如果：T 满足条件：D F k k T k T k k k T ∈∀∈∀+=+βαβαβα，，，，212121)()()(则称：=T 线性算子并称：T D =的定义域，T D x Tx TD =∈=}|{的值域⑵、定义：如果：=T 线性算子并且：F TD ⊂则称：=T 线性泛函第四节线性算子的有界性与连续性一、有界算子1、连续定理⑴、定理：线性算子一点连续，处处连续⑵、描述：假设：=Y X ，赋范线性空间，X D =的一个子空间，Y D T →=的线性算子如果：T 在D x ∈0连续那么：D T =上的连续算子⑶、证明：①：假设：x x D x n →∀⇒∈∀②：x x n →⇒对于0>∀ε，存在0>N ，当N n >时，ερ<)(x x n ，||||)(x x x x n n -=，ρ【=X 赋范线性空间】||||)(00x x x x x x n n -=+-，ρ⇒对于0>∀ε，存在0>N ，当N n >时，ερ<+-)(00x x x x n ，00x x x x n →+-⇒③：T 在0x 点连续00)(Tx x x x T n →+-⇒【等价定理①⇒③】00Tx Tx Tx Tx n →+-⇒【=T 线性算子】Tx Tx n →⇒【=Y 赋范线性空间】T ⇒在x 点连续【+∀n x 等价定理③⇒①】T ⇒在D 上处处连续【x ∀】。

非线性泛函分析笔记_钱佳威

1.非线性算子：1.1基本定义：一致连续：略过例子。

全连续算子：1.2.一些引理：集合测度的非负性和单侧性。

可测函数证明：一个函数满足如下条件x的集合为可测集的话，则为可测函数依测度收敛传递性。

证明f(S)为Lp2(G)中的有界集即可。

重点！：1.3.把数学分析中的全微分和方向导数概念推广到巴拿赫空间上的算子(抽象函数)中去。

抽象函数积分定义：用积分的任意划分定义。

抽象导数定义：附带几个定理：正题：两种算子介绍是数学分析中全微分(及其算子)的推广证明中喜欢用:证明其可该微分记住如下证明：巴拿赫空间下抽象函数的复合函数求导：特别重要的一般算子中值定理不成立：因为根据多元微分学向量表示法和代数方程组解变量的个数的时候不一定有公共解。

反证法，设A’(无穷)不连续。

其泰勒公式：证明用变参的方法，将其变到m(t)一个数学分析函数，然后对其泰勒展开换回F，让t取得特定值的时候就是上述泰勒公式。

部分与F微分的关系，重点！：F强于G微分关键性在于:所以存在略，所以说只要让h支离破碎，就算t是满足导数定义的，则为处处有界线性G微分但不可以F微分。

2.拓扑度理论：2.1.Brouwer度重点引理：Deg的重要定义：2.2不过要注意：PS：一些引理：用borsuk定理证明。

重点！：拓扑度乘积定理不动点定理与其相关：重点！核心：原则：反证法。

固有值和固有元以及歧点。

注意：歧点的定义非紧性测度：因为是有限个所以是松的，如果不能表现成有限的话可能就会是紧的。

解释第一个为0，则为强迫单点压缩从而导致有限的也能紧。

3.非线性算子方程正解：仅记录部分作用：AX=X的正解。

根据代数的集合关系构建的形状模型，数学家们给出了锥这个集合形状概念，类似于凸包的定义过程。

其中，引入的是半序集。

Ps:3.2增减与凹凸算子类似于函数增减和凹凸。

4.多解定理与单调映像重点定义：希尔伯特投影定义单调映像：MINIMAX原理重要的前提：最后的一个简单掌握需要：一. 名词解释弱收敛:弱*收敛:, 0()k pW :强制:Gateaux可微:Frechet可微:紧映射:正则点:临界点，正则值，临界值:2C映射的Brouwer度全连续场全连续场的Leray-Schauder度二. 举例说明无穷维空间中的有界闭集不是紧集。

小波,泛函分析学习感悟,超详细

泛函分析知识总结与举例、应用学习感悟一、度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间nR （有限维空间）的推广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。

1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。

（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。

这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。

⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。

⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。

为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。

⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。

1.1举例1.11离散的度量空间：设X 是任意的非空集合，对X 中任意两点x,y ∈X ，令 ()1x y d x y =0x=y≠⎧⎨⎩，当，，当，则称（X ，d ）为离散度量空间。

泛函分析知识点总结

泛函分析知识点总结1.Baire定理定理（Baire纲定理）完备的距离空间是第⼆类型集。

解释：完备的距离空间(X,d)，∀x∈X都是内点，因为X在X中是开集。

⼀个⽆处稠密（nowhere dense）的集合就是闭包不含内点的集合不会是整个X，即X不是第⼀类型集，所以只能是第⼆类型集。

注：完备的距离空间是第⼆类型集，那么它的闭包⾄少存在⼀个内点。

这个经常被⽤来证明。

例如，开映射定理、闭图像定理等。

2. 闭包和导集的区别根据定义，集合的闭包是集合的导集和集合的并。

导集是集合所有聚点组成的集合，不包含孤⽴点。

所以闭包是集合导集和孤⽴点组成的集合。

3.闭集在度量空间中，如果⼀个集合所有的极限点都是这个集合中的点，那么这个集合是闭集。

4.不动点定理压缩映射：设(X,d)是距离空间，T是X到X的映射，如果存在⼀个常数θ(0≤θ<1)，对于所有的x,y∈X，满⾜下述不等式：d(Tx,Ty)<θd(x,y)则称T是X上的⼀个压缩映射。

不动点定理：设X是完备的距离空间，T是X到X的压缩映射，则T在X上有唯⼀的不动点x∗.即Tx∗=x∗是⽅程Tx=x在X上的唯⼀解。

5.施密特正交化将⼀个线性⽆关的集合{x n}进⾏施密特正交化。

e1=x1 ||x1||e2=x2−<x2,e1>e1 ||x2−<x2,e1>e1||e j+1=x j+1−j∑k=1<x j+1,e k>e k ||x j+1−j∑k=1<x j+1,e k>e k||注：本质上说就是让x j+1减去其在e k,k=0,…,j上的分量，就正交化了。

然后再除以对应范数，进⾏单位化。

6.Hilbert空间的同构n为的实（复）Hilbert空间与R n(C n)同构。

（保距离，保线性，保范数，保内积）⽆限维可分Hilbert空间与l2空间（L2[0,1]）等距同构。

7.算⼦的连续性和有界性连续性：对于X中的任何收敛于x0的点列{x n}，恒有Tx n→Tx0,n→=∞有界性：存在正常数M，使得对⼀切x∈X，有||Tx||≤M||x||⼀点连续，则处处连续：设X和Y是数域\textbf{F}上的线性赋范空间，T:X→Y是⼀个线性算⼦。

泛函分析读书笔记

泛函分析读书笔记在学习泛函分析之前，就听说泛函是大学里最难学的一门课，却也是很重要而不得不学的！泛函分析结课之际，利用上课所做的笔记，加上课外阅读，简单谈谈我对泛函分析的了解。

泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。

它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和极限理论。

它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。

泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。

近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。

它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。

泛函分析是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。

泛函分析是由对函数的变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。

泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。

比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。

它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。

这是泛函分析的发展、应用、研究对象以及特点。

由于泛函分析源自研究各种函数空间，在函数空间里函数列的收敛有不同的类型（比如逐点收敛、一致收敛、弱收敛等），这说明函数空间里有不同的拓扑。

而函数空间一般是无穷维线性空间。

所以抽象的泛函分析研究的是一般的（无穷维的）带有一定拓扑的线性空间。

拓扑线性空间的定义就是一个带有拓扑结构的线性空间，使得线性空间的加法和数乘都是连续映射的空间。

泛函中存在诸多空间，这里对于几个重要的空间予以认识。

1. 度量空间（距离空间）定义：设X 是一个集合，,x y X ∀∈，若能定义实函数(),x y ρ，使距离满足：（1）非负性：(),0x y ρ≥ （2）对称性：()(),=x y y x ρρ，（3）三角不等式：()()(),x y x z z ρρρ≤+，y ， z X ∀∈ 则称X 为度量空间。

泛函分析读书笔记(下)

第一章预备知识第一节极限点和闭集一、极限点1、定义：极限点：假设：=R 度量空间，R A =中的点集，R x ∈0 如果：对于0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O都有：∅≠-A x x O I }){)((00ε，则称：A x =0的极限点2、性质⑴、性质：内点是极限点，孤立点不是极限点⑵、证明：A x =0的内点0x ∃⇒的一个-*ε环境A x O ⊂*)(0ε，对于0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O①如果*εε≥：A x x O A x x O I I }){*)((}){)((0000-⊃-εε，，∅≠-=}{*)(00x x O ε，②如果*εε<：∅≠-=-}{)(}){)((0000x x O A x x O εε，，I⑶、归纳：点=内点+边缘点+孤立点，极限点=内点+边缘点3、等价定理⑴、定理：假设：=R 度量空间，R A =中的点集，R x ∈0①、A x =0的极限点②、00x x x x A x n n n →≠∈∃，，③、∃各不相同的00x x x x A x n n n →≠∈，，④、对于0x 的任何一个环境)(0x O ，含有A 的无穷多个点⑵、证明：②①⇒A x =0的极限点⇒对于0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O ，都有∅≠-A x x O I }){)((00ε，⇒对于0x 的任何一个-ε环境)1(0n x O ，，都有∅≠-A x nx O I }){)1((00， A x nx O x n I }){)1((00-∈∃⇒， A x x x nx O x n n n ∈≠∈∃⇒，，，00))1(( 在度量空间中，0lim 00=⇔→∞→），（x x x x n n n ρ 00x x x x A x n n n →≠∈∃⇒，，⑶、证明：③②⇒00x x x x A x n n n →≠∈∃，，反证法：假设}{n x 含有有限多个不同的点00x x x n ∃⇒≠的一个-ε环境)(0ε，x O ，)(0ε，x O x n ∉【剔除有限个点】但是⇒→0x x n 对于00>∃>∀N ，ε，当N n >时，)(0ε，x O x n ∈⇒矛盾}{n x ⇒含有无穷多个不同的点∃⇒各不相同的子点列}{k n x⑷、证明：④③⇒∃各不相同的00x x x x A x n n n →≠∈，，对于0x 的任何一个环境)(0x O)(00x O x =⇒的内点0x ∃⇒的一个-ε环境)()(00x O x O ⊂ε，⇒→0x x n 对于00>∃>∀N ，ε，当N n >时，)(0ε，x O x n ∈ N ∃⇒，当N n >时，)()(00x O x O x n ⊂∈ε，)(0x O ⇒含有无穷多个n x )(0x O ⇒含有A 的无穷多个点【A x n ∈】⑸、证明：①④⇒对于0x 的任何一个环境)(0x O ，含有A 的无穷多个点⇒0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O ，含有A 的无穷多个点⇒}{)(00x x O -ε，，含有A 的无穷多个点∅≠-⇒A x x O I }){)((00ε，二、闭集1、基本概念⑴、定义：A A ='的导集A =的所有极限点 ⑵、定义：A A =的闭包'A A Y =⑶、定义：=A 闭集，如果A A ⊂'2、分析⑴、=A 内点+边缘点+∈)(A 孤立点⑵、='A 内点+边缘点=内点+边缘点+∈)(A 边缘点)(A ∉ ⑶、=A 内点+边缘点+孤立点3、等价定理⑴、定理：假设：=R 度量空间，R A =中的点集，R x ∈0 ①、A x ∈0②、对于0x 的任何一个环境)(0x O ，含有A 的点③、0x x A x n n →∈∃，⑵、证明：②①⇒A x A A x A x ∈⇒∈⇒∈000'Y 或者'0A x ∈如果：⇒∈A x 0对于0x 的任何一个环境)(0x O ，含有A 的点如果：A x A x =⇒∈00'的极限点⇒对于0x 的任何一个环境)(0x O ，含有A 的无穷多个点⑶、证明：③②⇒对于0x 的任何一个环境)(0x O ，含有A 的点⇒对于0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O ，含有A 的点⇒对于0x 的任何一个-ε环境)1(0nx O ，，含有A 的点 )1(0nx O x A x n n ，，∈∈∃⇒ 0x x A x n n →∈∃⇒，⑷、证明：①③⇒0x x A x n n →∈∃，如果：A x A x ∈⇒∈00如果：000x x x x A x A x n n n →≠∈∃⇒∉，，A x =⇒0的极限点A x A x ∈⇒∈⇒00'4、核心定理⑴、定理：=A 闭集A x x x A x n n ∈⇒→∈∀⇔00，⑵、证明：①必要性：反证法：假设A x ∉0000x x x x A x A x n n n →≠∈⇒∉，，A x =⇒0的极限点'0A x ∈⇒=A 闭集A A ⊂⇒'⇒∈⇒A x 0矛盾②充分性：反证法：假设≠A 闭集≠A 闭集A x A x A A ∉∈∃⇒⊄⇒，''A x A x =⇒∈'的极限点x x x x A x n n n →≠∈∃⇒，，⇒⊂⇒A x 矛盾5、性质 ⑴、性质：=A A ，'闭集⑵、证明：='A 闭集')''(00A x A x =⇒∈∀的极限点⇒对于0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O ，都有∅≠-'}){)((00A x x O I ε， ')('}){)((0000A y x y x O y A x x O y ∈≠∈∃⇒∅≠-∈∃⇒，，，，εεI A y A y =⇒∈'的极限点⇒对于y 的任何一个-δ环境)(δ，y O ，∅≠-A y y O I }){)((δ，构造))0()0(min(y x y x ，，，ρερδ-=y ⇒的-δ环境)(δ，y O 满足： ①：)()(0εδ，，x O y O ⊂②：)(0δ，y O x ∉③：∅≠-A y y O I }){)((δ，A x y x y O x A y y O x ∈≠∈∃⇒∅≠-∈∃⇒，，，，)(}){)((δδI ∅≠-⇒∈≠∈∃⇒A x x O A x x x x O x I }){)(()(0000εε，，，，A x =⇒0的极限点=⇒⊂⇒∈⇒')''(''0A A A A x 闭集 ⑶、证明：=A 闭集：证明同上6、性质⑴、性质：⊂A 闭集F A F ⊂⇒⑵、证明：①：首先证明：⊂A 闭集''F A F ⊂⇒A x A x =⇒∈∀'的极限点⇒对于x 的任何一个-ε环境)(ε，x O ，都有∅≠-A x x O I }){)((ε，⇒对于x 的任何一个-ε环境)(ε，x O ，都有∅≠-F x x O I }){)((ε， F x =⇒的极限点'''F A F x ⊂⇒∈⇒②：=F 闭集F F ⊂⇒'F A A F A A F A ⊂⇒⊂⇒⊂⇒Y Y ''⑶、推论：=A 包含A 的最小闭集⑷、证明：假设：=*A 包含A 的最小闭集=A 闭集，⇒⊂A A =A 包含A 的闭集A A ⊂⇒*【最小】=*A 包含A 的闭集=⇒*A 闭集，**A A A A ⊂⇒⊂【定理】 A A =⇒*7、性质⑴、性质：=A 闭集A A =⇔⑵、证明：①必要性：=A 闭集A A A A A A A A ⊂⇒⊂⇒⊂⇒Y Y '' A A A A A ⊂⇒='YA A =⇒ ②充分性：=⇒⊂⇒=⇒=A A A A A A A A ''Y 闭集8、基本概念⑴、定义：如果：=R 赋范线性空间，R A =中的点集则称：==)()(A span A L 由A 张成的线性子空间A =中向量的所有可能的线性组合 ⑵、定义：==)()(A span A L 由A 张成的闭线性子空间第二节 Holder 不等式和Minkowski 不等式1、定义：共轭指标：如果：1>q p ，并且：111=+qp 则称：=q p ，一对共轭指标2、引理 ⑴、公式：q p b qa p ab 11+≤ 其中：=q p ，一对共轭指标，1>b a ， ⑵、证明：1)1)(1(111=--⇒+=⇒=+q p q p pq qp 假设：1111---==⇒=q p p y yx x y q p b q a p b q a p dy y dx x ab 110101+=+≤⇒⎰⎰--3、 Holder 不等式 ⑴、公式：qnk q k pnk pk nk kky x yx 11111)||()||(||∑∑∑===≤其中：=q p ，一对共轭指标，)n 21(，，，，Λ=∈k R y x k k 【实数点列】⑵、证明： ①：如果：0||1=∑=nk pkx或者0||1=∑=nk q k y 0=⇒k x 或者⇒=0k y 结论成立②：否则：令qnk q k k k pn k p k k k y y b x x a 1111)||(||)||(||∑∑====，∑∑∑∑====+=+=⇒nk q k qk n k p k p k q k p k qn k q k p n k p k k k k k y y qx x p b q a p y x y x b a 111111||||1||||111)||()||(||， ∑∑∑∑====+≤⇒nk q k qk n k p k p k q n k q k p n k p k k k y y q x x p y x y x 111111||||1||||1)||()||(||111||||1||||1)||()||(||111111111=+=+≤⇒∑∑∑∑∑∑∑=======qp yy qx x py x yx nk qknk qkn k pk nk pkqnk q k pnk p k nk kkqnk q k pnk pk n k k k y x y x 11111)||()||(||∑∑∑===≤⇒4、 Minkowski 不等式 ⑴、公式：pnk pk pnk pk pnk pk ky x y x111111)||()||()||(∑∑∑===+≤+其中：1>p ，)n 21(，，，，Λ=∈k R y x k k⑵、证明：令p q =的共轭指标∑∑∑∑=-=-=-=+++≤++=+nk p k k k nk p k k k nk p k k k k nk pk ky x y y x x y x y x y x1111111||||||||||||||qnk q k pnk p k nk kky x yx 11111)||()||(||∑∑∑===≤qnk p k k pnk pk qnk p q k k pnk pk nk p k k k y x x y x x y x x 111111)1(1111)||()||()||()||(||||∑∑∑∑∑===-==-+=+≤+⇒qnk p k k pnk p k qnk p q k k pnk p k nk p k k ky x y y x y y x y111111)1(1111)||()||()||()||(||||∑∑∑∑∑===-==-+=+≤+qnk p k k pnk p k qnk p k k pnk p k nk pk k y x y y x x y x 111111111)||()||()||()||(||∑∑∑∑∑=====+++≤+⇒pnk p k pnk p k qn k p k k nk pk ky x y x y x1111111)||()||()||(||∑∑∑∑====+≤++⇒pnk pk pnk pk pnk pk k y x y x 111111)||()||()||(∑∑∑===+≤+⇒5、积分形式的Holder 不等式和Minkowski 不等式⑴、Holder 不等式qbaq pbapb adx x g dx x f dx x g x f 11)|)(|()|)(|(|)()(|⎰⎰⎰≤⑵、Minkowski 不等式pbap pbap bapp dx x g dx x f dx x g x f 111)|)(|()|)(|()|)()(|(⎰⎰⎰+≤+第三节 ][b a L p，和pl一、定义1、定义：}|)(||)({][+∞<=⎰bappdx x f x f b a L ，2、定义：}|||{1+∞<=∑+∞=n p nn pxx l二、线性空间1、性质：=][b a L p，线性空间⑴、思路：①：定义加法：函数相加，定义数乘：函数数乘②：两种运算保持封闭 ③：满足8条规则⑵、证明：加法封闭：][)()(][)()(b a L x g x f b a L x g x f pp，，，∈+⇒∈∀⎰⎰≤+bap bap dx x g x f dx x g x f |)])(|)(m ax (|2[|)()(|，⎰⎰+≤=bap ppba p pdx x g x f dx x g x f ]|)(||)([|2|)])(|)([m ax (|2，+∞≤+≤⎰⎰b ap p b ap p dx x g dx x f |)(|2|)(|22、性质：=pl 线性空间⑴、思路：定义加法：数列相加，定义数乘：数列数乘 ⑵、证明：同上三、赋范线性空间1、性质：=][b a L p，赋范线性空间⑴、定义：pba pp dx x f f 1)|)(|(||||⎰=⑵、证明：满足范数的3条性质①：齐次性：p pbappbapp f dx x f dx x f f ||||*||)|)(|(||)|)(|(||||11αααα===⎰⎰②：三角不等式：p p p g f g f ||||||||||||+=+【Minkowski 不等式】③：正定性：0)|)(|||||1≥=⎰pbapp dx x f f0)(0)|)(|(0||||1=⇔=⇔=⎰x f dx x f f pb ap p2、性质：=pl 赋范线性空间 ⑴、定义：pn p nn xx 11)||(||||∑∞+==⑵、证明：同上四、Banach 空间1、性质：=ppl b a L 、，][Banach 空间 2、证明：详见夏道行P61五、Hilbert 空间1、性质：=][2b a L ，Hilbert 线性空间 ⑴、定义：⎰>=<ba dx x g x f x g x f )()()()(，⑵、证明：满足内积的3条性质 ①：共轭对称性：><==>=<⎰⎰)()()()()()()()(x f x g dx x f x g dx x g x f x g x f baba，，②：第一变元的线性：⎰+>=+<badx x z x g x f x z x g x f )()]()([)()()(βαβα，⎰⎰+=babadx x z x g dx x z x f )()()()(ββα><+><=)()()()(x z x g x z x f ，，βα③：正定性：0|)(|)()()()(2≥=>=<⎰⎰babadx x f dx x f x f x f x f ，0)(0|)(|0)()(2=⇔=⇔>=<⎰x f dx x f x f x f ba，2、性质：=2l Hilbert 线性空间 ⑴、定义：∑+∞=>=<1n n nn n y xy x ，⑵、证明：同上3、性质：)2(][≠p l b a L pp 、，不是Hilbert 空间第二章 Hilbert 空间第一节极限和连续性1、度量空间⑴、定义：0)(lim 00=⇔→→∞x x x x n n n ，ρ⑵、性质：距离)(y x ，ρ的连续性：)()(lim 0000y x y x y y x x n n n n n ，，，ρρ=⇒→→∞→2、赋范线性空间⑴、定义：0||||lim 00=-⇔→∞→x x x x n n n⑵、性质：范数||||x 的连续性：||||lim ||||lim 00x x x x n n n n ∞→∞→=⇒→3、内积空间⑴、定义：0||||lim 00=-⇔→∞→x x x x n n n 【利用内积定义范数，再利用范数定义极限】⑵、性质：内积)(y x ，的连续性：)()(lim 0000y x y x y y x x n n n n n ，，，=⇒→→→∞第二节投影定理一、正交和投影1、基本概念⑴、定义：0)(=⇔⊥y x y x ，⑵、定义：⇔⊥M x 对于0)(=∈∀y x M y ，，⑶、定义：⇔⊥N M 对于0)(=∈∀∈∀y x N y M x ，，， ⑷、定义：=⊥M 所有与M 正交的向量2、基本性质：M x M x ⊥⇔∈⊥3、性质⑴、性质：x y y x ⊥⇒⊥⑵、证明：x y x y y x y x ⊥⇒=⇒=⇒⊥0)(0)(，，⑶、性质：0=⇒⊥x H x⑷、证明：00)(=⇒=⇒∈⊥x x x H x H x ，，⑸、性质：⊥⊥⊂⇒⊂M N N M⑹、证明：⇒⊥⇒∈∀⊥N x N x 对于0)(=∈∀y x N y ，，⇒⊂N M 对于⊥∈⇒⊥⇒=∈∀M x M x y x M y 0)(，，⑺、性质：{0}=⊥MM I⑻、证明：00)(=⇒=⇒∈∈⇒∈∀⊥⊥x x x M x M x M M x ，，I⑼、性质：勾股定理：222||||||||||||y x y x y x +=+⇒⊥⑽、证明：)()()()()(||||2y y x y y x x x y x y x y x ，，，，，+++=++=+ 0)(0)(==⇒⊥x y y x y x ，，，222||||||||)()(||||y x y y x x y x +=+=+⇒，，4、正交补定理⑴、定理：⊂M 内积空间H H M =⇒⊥的闭线性子空间⑵、证明：①：=⊥M 线性子空间两种运算封闭：⊥⊥∈+⇒∈∀M y x M y x ，0)(=⇒∈∈∀⊥z x Mx M z ，，0)(=⇒∈⊥z y M y ，⊥∈+⇒⊥+⇒⊥+⇒=+⇒M y x M y x z y x z y x 0)(，②：=⊥M 闭集假设：0x x M x n n →∈∀⊥，⇒⊥⇒∈∀⊥M x M x n n 对于0)(=∈∀y x M y n ，，根据内积的连续性0)()(lim 0==⇒∞→y x y x n n ，，=⇒∈⇒⊥⇒⊥⇒⊥⊥M M x M x y x 000闭集⑶、推论：⊂M 内积空间H ⊥⊥=⇒M M span )( ⑷、证明：①：⊥⊥⊂⇒⊂M M span M span M )()(②：⊥⊥⊥⊂⇒⊂⇒∈∀}{}{x M M x Mx⊥⊂⇒}{)(x M span 【=⊥}{x 线性子空间，线性运算封闭】⊥⊂⇒}{)(x M span 【=⊥}{x 闭集，最小闭集】⊥⊥⊥⊥⊂⇒∈⇒⊂⇒)()()(}{M span M M span x M span x5、投影⑴、定义：投影：假设：=M 内积空间H 的线性子空间如果：对于H x ∈，存在：⊥∈∈M x M x 10，使得：10x x x +=，则称：x x =0在M 上的投影⑵、关键：投影投在线性子空间⑶、性质：x x =0在M 上的投影⊥∈-∈⇒M x x M x 00，⑷、性质：投影不一定存在，如果存在必定唯一⑸、证明：假设：x x =0在M 上的投影⊥∈-∈⇒M x x M x 00，x x ='0在M 上的投影⊥∈-∈⇒M x x M x ''00，=M 线性子空间M x x ∈-⇒'00=⊥M 闭线性子空间⊥⊥∈-⇒∈---⇒M x x M x x x x ')'()(0000'0)''(000000x x x x x x =⇒=--⇒，6、最佳逼近⑴、定理：假设：=M 内积空间H 的线性子空间如果：H x ∈，x x =0在M 上的投影那么：||||||||inf 0x x y x My -=-∈并且：M x =0上使等式成立的唯一向量⑵、思想：①：利用M 上的变元y ，来逼近H 中的x②：如果存在投影，则最佳逼近等于投影⑶、证明：①x x =0在M 上的投影M x x M x ⊥-∈⇒00， y x x x M y x M x M y -⊥-⇒∈-⇒∈∈∀0000，2020200||||||||||||y x x x y x x x -+-=-+-⇒【勾股定理】 20202||||||||||||y x x x y x -+-=-⇒||||||||inf ||||||||||||||||00202x x y x x x y x x x y x My -≥-⇒-≥-⇒-≥-⇒∈②唯一性：假设：M y =0上使等式成立的向量 ||||||||00x x y x -=-⇒0020020200||||||||||||x y y x x x y x =⇒=-⇒-=-⇒二、投影定理1、变分引理【极值可达】⑴、定义：x 到M 的距离||||inf )(y x M x d d My -===∈，⑵、性质：完备⇔闭集，线性子空间⇒凸集⑶、定理：假设：=M 内积空间H 的完备凸集如果：H x ∈那么：存在唯一的M x ∈0，使得d x x =-||||0 ⑷、关键：①：x 到M 的距离②：完备凸集则极值可达⑸、证明：①：点列||||inf y x d My -=∈⇒存在点列M x n ⊂}{，d x x n n =-∞→||||lim②：基本点列平行四边形公式：2222||||2||||2||||||||y x y x y x +=-++2222||2||2||2||2||||||||x x x x x x x x x x x x n m n m n m +--+-+-=-+-⇒2222||2||2||2||2||||||||n m n m n m x x x x x x x x x -+-+=-+-⇒2222||2||2||||||||||2||2x x x x x x x x x nm n m n m -+--+-=-⇒=M 凸集d x x x M x x nm n m ≥+-⇒∈+⇒||2||222222||||||||||2||2d x x x x x x n m n m --+-≤-⇒22222||||lim ||||lim ||2||2lim 0d x x x x x x n m n m m n n m m n --+-≤-≤⇒∞→∞→∞→，，，⇒=-⇒∞→0||||lim 2n m m n x x ，=}{n x 基本点列③：收敛点列=M 完备=⇒}{n x 收敛点列0x x n →⇒④：存在性=M 完备⇒=M 闭集，M x n ∈，M x x x n ∈⇒→00根据范数的连续性d x x x x n n =-=-⇒∞→||||||||lim 0⑤：唯一性假设存在M y ∈0，使得d y x =-||||0构造点列：}{}{0000Λ，，，，y x y x z n = =⇒=-⇒=-⇒∞→}{||||lim ||||n n n n z d z x d z x 基本点列【证明同上】0||||lim 0||||lim 0||||lim 001=-⇒=-⇒=-⇒∞→+∞→∞→y x z z z z n n n n m n m n ，00000||||x y y x =⇒=-⇒2、投影引理⑴、定理：假设：=M 内积空间H 的线性子空间 H x ∈，M x ∈0 如果：d x x =-||||0 那么：M x x ⊥-0 ⑵、思想：极值可达点正交⑶、证明：⇒∈≠∀M z 0对于λ∀，M z x ∈+λ0220220||||||)(||d z x x d z x x ≥--⇒≥+-⇒λλ )(||||0020z x x z x x z x x λλλ----=--，22020||||||)}(Re{2||||z z x x x x λλ+---=，令2020||||)(||||)(z z x x z z x x ，，-=⇒-=λλ 2202002020||||||||)(||||)()(||||)(2||||z z z x x z z x x z x x z z x x x x ，，，，--+----⇒ 22020||||||)(||||||z z x x x x ，---= 0||||||)(||||||||)(||||||220222020=-⇒≥---⇒z z x x d z z x x x x ，， M x x z x x z x x ⊥-⇒⊥-⇒=-⇒0000)(，3、投影定理⑴、定理：如果：=M 内积空间H 的完备线性子空间那么：对于H x ∈∀存在：M x M x ⊥∈10，，使得：10x x x +=⑵、思想：任意向量x 在M 上的投影，存在并且唯一⑶、证明：①存在性：变分引理M x ∈∃⇒0，使得d x x =-||||0 投影引理M x x ⊥-⇒0 构造01x x x -=M x ⊥⇒1②唯一性：参见变分引理4、推论⑴、推论：如果：=M 内积空间H 的完备线性子空间那么：⊥⇒≠M H M 含有非零元素 ⑵、证明：M x H x M H x H M ∉∈∃⇒-∈∃⇒≠，投影定理⇒投影存在⇒假设x x =0在M 上的投影⊥∈-⇒M x x 0000≠-⇒∈∉⇒x x M x M x ，第三节就范正交系一、级数1、基本概念 ⑴、定义：级数：∑∞=++++=121i i iu u u uΛΛ⑵、定义：部分和：∑==ni in us 1【将级数转换为数列】⑶、定义：收敛级数：如果s s n n =∞→lim ，则称∑∞=1i iu收敛2、基本性质 ⑴、性质：∑∞=1i iu收敛s s u un n ni i n i i===⇒∞→=∞→∞=∑∑lim lim 11⑵、性质：∑∞=1i iu收敛0lim =⇒∞→i n u 【1--=i i i s s u 】⑶、性质：Cauchy 收敛原理∑∞=1i iu收敛⇔对于00>∃>∀N ，ε，当N m n >，时，ε<∑=||mni iu二、有限正交系1、基本概念⑴、定义：正交系：假设：=F 内积空间H 的一族非零向量如果：对于F y x ∈∀，，都有：0)(=y x ，则称：=F 正交系⑵、定义：就范正交系：如果：=F 正交系并且：对于F x ∈∀，都有：1||||=x 则称：=F 就范正交系2、基本性质⑴、性质：假设：=}{21n e e e ，，，Λ内积空间H 中的就范正交系如果：H x ∈，∑==ni iie e x x 10)(，那么：)()(0i i e x e x ，，=⑵、证明：)())(())(())(((10iiiiiiinj ijji e x e e e x e e e x e e e x e x ，，，，，，，），====∑=3、定理⑴、定理：假设：=}{21n e e e ，，，Λ内积空间H 中的就范正交系如果：H x ∈，∑==ni iie e x x 10)(，，}{21ne e e span M ，，，Λ= 那么：x x =0在M 上的投影并且：∑==ni ie x x 1220|)(|||||，，20202||||||||||||x x x x -+=⑵、证明：①：M x ∈0②：∑==⇒∈⇒∈∀ni i i n e y e e e span y M y 121}{α，，，Λ0)()()(10100=-=-=-⇒∑∑==ni i i ni i i e x x e x x y x x ，，，ααM x x y x x ⊥-⇒⊥-⇒00x x =⇒0在M 上的投影 ③：))(()(||||100020∑===ni i i e e x x x x x ，，，21110|)(|)()()()(∑∑∑======ni i ni i i ni i i e x e x e x e x e x ，，，，，④：0000x x x M x x M x ⊥-⇒⊥-∈，【勾股定理】20202002||||||||||||||||x x x x x x x -+=-+=⇒4、推论⑴、性质：如果：=}{21n e e e ，，，Λ就范正交系，H x ∈ 那么：∑=≥ni i e x x 122|)(|||||， ⑵、证明：∑==≥⇒-+=ni ie x x x x x x x 1220220202|)(|||||||||||||||||||||，⑶、性质：如果：=}{21n e e e ，，，Λ就范正交系，H x ∈ 那么：对于i α∀，||)(||||||11∑∑==-≥-ni iin i ii e e x x e x ，α⑷、证明：假设：∑==ni iie e x x 10)(，，}{21ne e e span M ，，，Λ= x x =⇒0在M 上的投影假设：M y ey ni ii ∈⇒=∑=1α根据最佳逼近定理||||||||inf 0x x y x My -=-⇒∈||||||||0x x y x -≥-⇒||)(||||||11∑∑==-≥-⇒ni i i n i i i e e x x e x ，α三、无限正交系1、 Bessel （贝塞尔）不等式⑴、定理：如果：=∈}|{N i e i 内积空间H 中的就范正交系那么：对于H x ∈∀，∑∞=≥122|)(|||||i ie x x ，⑵、证明：=∈}|{N i e i 就范正交系⇒对于n ∀，=}{21n e e e ，，，Λ就范正交系 ∑=≥⇒ni i e x x 122|)(|||||，【单调递增，必有极限】∑∑∞==∞→≥⇒≥⇒122122|)(||||||)(|lim ||||i i n i i n e x x e x x ，，2、性质⑴、性质：如果：=∈}|{N i e i 内积空间H 中的就范正交系那么：对于H x ∈∀，0)(lim =∞→i i e x ，⑵、证明：对于H x ∈∀，⇒≥∑∞=122|)(|||||i ie x x ，∑∞=12|)(|i i e x ，收敛0)(lim 0|)(|lim 2=⇒=⇒∞→∞→i i i i e x e x ，，四、完备正交系1、定义：完备正交系：假设：=∈}|{N i e i 内积空间H 中的就范正交系如果：对于H x ∈∀，都有：∑∞==122|)(|||||i ie x x ，则称：=∈}|{N i e i 完备正交系2、性质 ⑴、性质：∑∞=1i i i e α收敛y s e en n ni i i n i ii ===⇔∞→=∞→∞=∑∑lim lim 11αα⑵、性质：=⇒∞<∑∑=∞=}{||112ni i i i ie αα基本点列⑶、证明：假设：∑==ni ii n es 1α||||||||1∑+==-⇒mn i i i n m e s s α2111212||)(||||||||∑∑∑∑+=+=+=+====-⇒mn i imn i i i mn i i i mn i ii n m e e e s s αααα，=⇒∞<∑∑∞=∞=1212||||i i i iαα收敛级数=⇒∑=}||{12ni i α基本点列⇒对于00>∃>∀N ，ε，当N m n >，时，εα<∑+=||||12mn i i⇒对于00>∃>∀N ，ε，当N m n >，时，ε<-||||||2n m s s=⇒}{n s 基本点列3、定义：傅里叶级数：如果：=∈}|{N i e i 就范正交系，H x ∈ 则称：==∑∞=1)(i iiee x x ，傅里叶级数4、定义：=∈}|{N i e span i 由}|{N i e i ∈张成的线性子空间}|{N i e i ∈=的所有可能的有限个向量的线性组合5、等价定理⑴、定理：如果：=∈}|{N i e i 就范正交系，}|{N i e span E i ∈= 那么：①E x ∈；②∑∞==122|)(|||||i ie x x ，；③∑∞==1)(i iie e x x ，⑵、证明：②①⇒反证法：假设：∑∞=≠122|)(|||||i ie x x ，E x ∈∃⇒，)0(0|)(|||||2122>>=-∑∞=ααi i e x x ， x x N i e span x N i e span x E x n i n i →∈∈∃⇒∈∈⇒∈，}|{}|{∑==⇒∈∈ni i i n i n e x N i e span x 1}|{α0||||lim 2=-⇒→∞→x x x x n n n⇒对于00>∃>∀N ，ε，当N n >时，ε<-||||x x n⇒对于00>∃>N ，α，当N n >时，α<-||||x x n212122||)(||||||||||||||∑∑==-≥-=->⇒<-ni i i ni i i n n e e x x e x x x x x ，ααα⇒=-≥-=∑∑∞==2212212|)(||||||)(|||||αi i ni i e x x e x x ，，矛盾③②⇒ 21221|)(|||||||)(||∑∑==-=-ni i ni iie x x e e x x ，，]|)(|||[||lim ||)(||lim 21221∑∑=∞→=∞→-=-⇒ni i n ni i i n e x x e e x x ，，212121||)(||||)(lim ||||)(||lim ∑∑∑∞==∞→=∞→-=-=-i i i n i i i n ni iin e e x x e e x x e e x x ，，，0|)(|||||]|)(|||[||lim 212212=-=-=∑∑∞==∞→i i ni i n e x x e x x ，，∑∑∞=∞==⇒=-⇒121)(0||)(||i i i i iie e x x e e x x ，，①③⇒假设：∑==ni iin e e x x 1)(，n n ni i i n i i i x e e x e e x x ∞→=∞→∞====⇒∑∑lim )(lim )(11，，=⇒E 闭集，E x x x E x n n ∈⇒→∈，第四节 Banach 空间的共轭算子一、)(Y X →和)(Y X B →1、 )(Y X →⑴、定义：Y X Y X →=→)(的全体线性算子，其中：=Y X 、线性空间 ⑵、性质：=•+→))((，；；P Y X 线性空间⑶、证明：①：定义加法：)()())((x B x A x B A +=+ 定义数乘：)())((x A x A αα=②：两种运算封闭：)()())((y x B y x A y x B A βαβαβα+++=++)()()()()()()()(y B x B y A x A y B x B y A x A βαβαβαβα+++=+++= ))(())(()()()()(y B A x B A y B y A x B x A +++=+++=βαββαα2、 )(Y X B →⑴、定义：Y X Y X B →=→)(的全体有界线性算子，其中：=Y X 、赋范线性空间 ⑵、性质：=•+→))((，；；P Y X B 赋范线性空间⑶、证明：①：定义算子范数：||||||||sup||||0x Tx T x ≠= ②：算子范数满足范数的3条性质【齐次性，三角不等式，正定性】3、定理⑴、定理：如果：=X 赋范线性空间，=Y Banach 空间那么：=→)(Y X B Banach 空间 ⑵、证明：①：假设：)(}{Y X B T n →=的基本点列⇒对于00>∃>∀N ，ε，当N m n >，时，ε≤-||||m n T T⇒对于00>∃>∀∈∀N X x ，，ε，当N m n >，时，||||||||*||||||)(||||||x x T T x T T x T x T m n m n m n ε<-≤-=-【=n T 有界】 =⇒}{x T n 基本点列【固定x 】=⇒}{x T n 收敛点列【=Y 完备】②：定义：算子T ：x T Tx n n ∞→=limY X T →=的算子：=Y 闭集，Y Tx Tx x T Y x T n n ∈⇒→∈，Y X T →=的线性算子：21212121lim lim )(lim )(Tx Tx x T x T x x T x x T n n n n n n +=+=+=+∞→∞→∞→Y X T →=的有界线性算子：||||||||||||||||lim ||||||||x Tx x T x x T x T x x T x T n m n m m n εεε<-⇒<-⇒<-∞→)()()(Y X B T Y X B T Y X B T T n n →∈⇒→∈→∈-⇒，③：εεε<-=-⇒<-⇒<-≠||||||||sup ||||||||||||||||||||0x Tx x T T T x Tx x T x Tx x T n x n n n=⇒→⇒=-⇒∞→n n n n T T T T T 0||||lim 收敛点列二、共轭空间1、共轭空间⑴、定义：如果：=X 赋范线性空间，X X =*上的全体连续线性泛函则称：X P X =•+)*(，；；的共轭空间⑵、性质：=•+)*(，；；P X 赋范线性空间【实数域=赋范线性空间】2、二次共轭空间⑴、定义：如果：=*X 赋范线性空间，***X X =上的全体连续线性泛函则称：X P X =•+)**(，；；的二次共轭空间⑵、性质：=•+)**(，；；P X 赋范线性空间3、基本概念⑴、定义：**x ：)()*(*x f f x =其中：***X x =上的泛函，X x X f ∈∈，*⑵、定义：保范算子：假设：=Y X ，赋范线性空间，Y X U →=的算子如果：对于X x ∈∀，都有：||||||||x Ux = 则称：Y X U →=的保范算子4、基本性质⑴、性质：***X x =上的线性泛函⑵、证明：))(()*(*22112211x f k f k f k f k x +=+)*(*)*(*)()(22112211f x k f x k x f k x f k +=+=⑶、性质：***X x =上的有界泛函 ⑷、证明：||||*||||||)(||||)*(*||x f x f f x ≤=⑸、性质：||||||**||x x ≤⑹、证明：||||||||||)*(*||sup ||**||||||||||||)*(*||||||*||||||)*(*||0x f f x x x f f x x f f x f ≤=⇒≤⇒≤≠⑺、性质：***X x =上的保范线性算子 ⑻、证明：未能证明三、共轭算子1、定义：共轭算子：假设：=Y X ，赋范线性空间，)(Y X B A →∈ 如果：存在***X Y A →=使得：对于*Y h X x ∈∀∈∀，，都有：)())(*(Ax h x h A = 则称：A A =*的共轭算子2、共轭定理⑴、定理：如果：=Y X ，赋范线性空间那么：对于)(Y X B A →∈∀，共轭算子存在并且唯一 ⑵、证明：①定义：对于*Y h A x ∈∀∈∀，定义X Ax h x A =→=)('上的泛函)()('Ax h x A =⇒②线性：)]()([)]([)('212121x A x A h x x A h x x A +=+=+)(')(')]([)]([2121x A x A x A h x A h +=+=③有界：||||*||||*||||||||*||||||)(||||)('||x A h Ax h Ax h x A ≤≤= ④存在：='A 有界线性泛函*'X A ∈⇒定义**'*X Y A h A →=→=的算子'*A h A =⇒)())(*()()(''*Ax h x h A Ax h x A A h A =⇒==，⑤唯一：假设：)())(()())((*2*1Ax h x h A Ax h x h A ==，))(())((*2*1x h A x h A =⇒【*Y h A x ∈∀∈∀，】*2*1*2*1A A h A h A =⇒=⇒第五节 Hilbert 空间的共轭算子一、连续线性泛函的表示1、定理⑴、定理：如果：=X 赋范线性空间，X F =上的线性泛函那么：=F 连续F ⇔的零空间===}0)(|{x F x M 闭线性子空间 ⑵、证明：①必要性：假设：x x M x n n →∈∀，=→F x x n ，连续)()(x F x F n →⇒=⇒∈⇒==⇒∞→M M x x F x F n n 0)(lim )(闭集②充分性：反证法：≠F 有界∞=⇒=|)(|sup 1||||x F x⇒存在点列}{n x ，n x F x n n ≥=|)(|1||||， ⇒构造点列}{n y ，M y y F x F xx F x y n n n n n ∈⇒=⇒-=0)()()(11 )()()()(1111n nn n n n x F x x F x y x F x x F x y =+⇒-=|)(|1||)(||||)(||11n n n n x F x F x x F x y ==+⇒ )(0|)(|1lim ||)(||lim 1111x F xy x F x F x y n n n n n -→⇒==+⇒∞→∞→ =M 闭集，M x F xx F x y M y n n ∈-⇒-→∈)()(1111，但是⇒∉≠-=-M x F x F 01))((11矛盾2、性质⑴、性质：如果：)()(y x x F y ，=【固定H x H y ∈∀∈，】那么：=y F 由y 导出的有界线性泛函并且：||||||||y F y =⑵、证明：①线性：)()(22112211y x k x k x k x k F y ，+=+)()()()(22112211x F k x F k y x k y x k y y +=+=，，②有界：||||*||||||)(||||)(||y x y x x F y ≤=，【固定H y ∈】 ③公式：||||||||)(sup||||||||)(||||*||||||)(||0y x x F F y x x F y x x F y x y y y ≤=⇒≤⇒≤≠||||||||)(||||)()()()(2y y y F y y y y F y x x F y y y =⇒==⇒=，，||||||||y F y =⇒3、 Riesz 定理⑴、定理：如果：=H Hilbert 空间，H F =上的连续线性泛函那么：存在唯一的H y ∈使得：对于H x ∈∀，都有：)()(y x x F ，= 并且：||||||||y F =⑵、证明：①存在性：假设：}0)(|{==x F x M00=⇒=y FM x H x x F H x F ∉∈∃⇒≠∈∃⇒≠，，0)(0⊥⇒≠⇒M H M 含有非零元素⊥∈≠∃⇒M z z ，0 0)(}0{≠⇒∉⇒=⊥z F M z M M I⇒对于M z z F x F x z z F x F x F H x ∈-⇒=-∈∀)()(0))()((， 2||||)()()()()()(0))()((z z F x F z z z F x F z x z z z F x F x ==⇒=-⇒，，， z z z F y z z z F x z x z z F x F 222||||)()||||)(()(||||)()(=⇒==⇒，， ②唯一性：假设：H y ∈∃，对于H x ∈∀，都有)()(y x x F ，=H z ∈∃，对于H x ∈∀，都有)()(z x x F ，=⇒对于H x ∈∀，z y z y x =⇒=-0)(，否则⇒≠--⇒≠-⇒≠0)(0z y z y z y z y ，矛盾二、共轭算子1、定理⑴、定理：如果：=H Hilbert 空间，=G 内积空间，)(G H B A →∈ 那么：存在唯一的)(H G B B →∈使得：对于G y H x ∈∀∈∀，，都有：)()(By x y Ax ，，= ⑵、证明：①定义：)()(y Ax x y ，=ϕ【固定H x G y ∈∀∈，】线性：)()()()())(()(21212121x x y Ax y Ax y x x A x x y y y ϕϕϕ+=+=+=+，，，有界：||||*||||*||||||||*||||||)(||||)(||y x A y Ax y Ax x y ≤≤=，ϕ ||||*||||||||||)(||sup||||||||*||||||||||)(||0y A x x y A x x y x y y ≤=⇒≤⇒≠ϕϕϕH y Ax x y ==⇒)()(，ϕ上的有界线性泛函⇒根据Riesz 定理：存在唯一的H z ∈，使得)()()(z x y Ax x y ，，==ϕ，并且||||||||z y =ϕ②定义：H G z y B →=→=的算子z By =⇒【给定一个y ，得到一个z 】线性：))(()(2121y y B x y y Ax +=+，，)()()()()()(21212121By By x By x By x y Ax y Ax y y Ax +=+=+=+，，，，，，⇒对于H x ∈∀，21212121)(0))((By By y y B By By y y B x +=+⇒=--+，有界：||||*||||||||||||||||||||||||y A z z By z By y y ≤==⇒=ϕϕ，，||||||||||||sup ||||||||||||||||||||*||||||||0A y By B A y By y A By y ≤=⇒≤⇒≤⇒≠③唯一：假设：)()()()(21y B x y Ax y B x y Ax ，，，，，==2121210)(0))((B B y B B y B B x =⇒=-⇒=-⇒，【G y H x ∈∀∈∀，】2、共轭算子⑴、定义：假设：=G H ，内积空间，)(*)(H G B A G H B A →∈→∈，如果：对于G y H x ∈∀∈∀，，都有：)*()(y A x y Ax ，，= 则称：A A =*的共轭算子（伴随算子）⑵、定理：如果：=H Hilbert 空间，=G 内积空间那么：对于)(G H B A →∈∀，存在唯一的)(*H G B A →∈3、 Banach 空间与Hilbert 空间中的共轭算子⑴、性质：在Banach 空间中，**)*(B A B A βαβα+=+ ⑵、证明：)())(*(Ax h x h A =)()()))((())(*)((Bx h Ax h x B A h x h B A βαβαβα+=+=+⇒))(*)*(())(**())(*())(*(x h B A x h B h A x h B x h A βαβαβα+=+=+=⑶、性质：在Hilbert 空间中，**)*(B A B A βαβα+=+ ⑷、证明：)*()(y A x y Ax ，，=)()())(()*)((y Bx y Ax y x B A y B A x ，，，，βαβαβα+=+=+⇒ )*)*(()**()*()*(y B A x y B y A x y B x y A x βαβαβα+=+=+=，，，，4、性质：假设：=K H ，Hilbert 空间，=G 内积空间 )()(H K B C G H B B A →∈→∈，， ⑴、性质：A A =*)*(⑵、证明：A A Ax y x y A y A x y Ax **)()()*()*()(⇒=⇒=，，，，⑶、性质：||||*||||||||B A AB ≤⑷、证明：||||*||||*||||||||*||||||||x B A Bx A ABx ≤≤||||*||||||||||||sup ||||||||*||||||||||||0B A x ABx AB B A x ABx x ≤=⇒≤⇒≠⑸、性质：)*()(y A Cx y ACx ，，=⑹、证明：)*()()*()(y A Cx y ACx Cx z y A z y Az ，，，，，=⇒==⑺、性质：||*||||||||*||22A A A A ==⑻、证明：①：根据共轭定理：||||||*||||||||||A A A B ≤⇒≤||*||||||||*|||*)*(||||||A A A A A =⇒≤=⇒②：2||||||*||*||||||*||A A A AA =≤对于)*()(||||1||||2x Ax A Ax Ax Ax x H x ，，，==⇒=∈∀ ||*||||||*||*||||*||||||*||*||||||2A A x A A Ax A x Ax A Ax =≤=≤⇒||*||||||sup ||||21||||2A A Ax A x ≤=⇒=复习和重点归纳第一章预备知识第一节极限点和闭集1、极限点⑴、定义：A x =0的极限点∅≠-⇔A x x O I }){)((00ε， ⑵、定理：A x =0的极限点00x x x x A x n n n →≠∈∃⇔，，2、闭集⑴、定义：导集'A 、闭包A 、=A 闭集⑵、定理：=A 闭集A x x x A x n n ∈⇒→∈∀⇔00， ⑶、性质：①：=A A ，'闭集 ②：=A 包含A 的最小闭集 ③：=A 闭集A A =⇔3、定义：)()(A span A L =，)()(A span A L =第二节 Holder 不等式和Minkowski 不等式1、 Holder 不等式：qnk q k pnk pk nk kky x yx 11111)||()||(||∑∑∑===≤2、 Minkowski 不等式：pnk p k pnk p k pnk p k ky x y x111111)||()||()||(∑∑∑===+≤+第三节 ][b a L p，和pl1、 =ppl b a L ，，][赋范线性空间⑴、定义范数：pba pp dx x f f 1)|)(|(||||⎰=⑵、定义范数：pn pnn xx 11)||(||||∑∞+==2、 =22][l b a L ，，Hilbert 空间 ⑴、定义内积：⎰>=<badx x g x f x g x f )()()()(，⑵、定义内积：∑+∞=>=<1n n nn n y xy x ，第二章 Hilbert 空间一、投影定理1、归纳：极限和连续⑴度量空间⑵赋范线性空间⑶内积空间2、正交：⑴：定义：①y x ⊥②M x ⊥③N M ⊥④⊥M⑵：性质：①M x Mx ⊥⇔∈⊥②⊥⊥⊂⇒⊂M N N M③勾股定理④0=⊥MM I⑶：正交补定理①=⊥M 闭线性子空间②⊥⊥=M M span )(3、投影：⑴：投影的定义和性质⑵：最佳逼近：如果：=M 线性子空间，H x ∈，x x =0在M 上的投影那么：||||||||inf 0x x y x My -=-∈⑶：变分引理：如果：=M 完备凸集，H x ∈那么：存在唯一的M x ∈0，使得d x x =-||||0 ⑷：投影引理：如果：=M 线性子空间，M x H x ∈∈0，那么：M x x d x x ⊥-⇒=-00|||| ⑸：投影定理：如果：=M 完备线性子空间，H x ∈∀那么：⊥∈∃∈∃M x M x 10，，使得10x x x +=，分解式唯一 ⑹：推论：⊥⇒≠M H M 含有非零元素二、就范正交系1、基本概念：⑴正交系⑵就范正交系⑶完备正交系2、有限正交系：定理：假设：=}{21n e e e ，，，Λ内积空间H 中的就范正交系如果：H x ∈，∑==ni iie e x x 10)(，，}{21ne e e span M ，，，Λ= 那么：x x =0在M 上的投影并且：∑==ni ie x x 1220|)(|||||，，20202||||||||||||x x x x -+=3、无限正交系：⑴：Bessel 不等式：∑∞=≥122|)(|||||i ie x x ，⑵：等价定理：①E x ∈②∑∞==122|)(|||||i ie x x ，③∑∞==1)(i iie e x x ，三、Banach 空间的共轭算子1、 )(Y X →和)(Y X B →⑴、性质：如果：Y X Y X →=→)(的全体线性算子，其中=Y X 、线性空间那么：=•+→))((，；；P Y X 线性空间⑵、性质：如果：Y X Y X B →=→)(的全体有界线性算子，其中=Y X 、赋范线性空间那么：=•+→))((，；；P Y X B 赋范线性空间⑶、性质：如果：=X 赋范线性空间，=Y Banach 空间那么：=→)(Y X B Banach 空间2、二次共轭空间⑴、概念：共轭空间⇒二次共轭空间⇒⇒**x 保范算子⑵、性质：***X x =上的连续有界泛函***||||||**||X x x x =⇒≤⇒上保范线性算子3、共轭算子⑴、概念：共轭算子⑵、定理：对于)(Y X B A →∈∀，共轭算子存在并且唯一。

泛函分析答案泛函分析解答（张恭庆）

泛函分析答案泛函分析解答（张恭庆）第五章习题第⼀部分01-151. M 为线性空间X 的⼦集，证明span( M )是包含M 的最⼩线性⼦空间．[证明] 显然span( M )是X 的线性⼦空间．设N 是X 的线性⼦空间，且M N ．则由span( M )的定义，可直接验证span( M ) N ．所以span( M )是包含M 的最⼩线性⼦空间．2. 设B 为线性空间X 的⼦集，证明conv(B ) = {∑=n i i i x a 1| a i 0, ∑=ni i a 1= 1, x iB , n 为⾃然数}．[证明] 设A = {∑=n i i i x a 1| a i 0, ∑=ni i a 1= 1, x i B , n 为⾃然数}．⾸先容易看出A 为包含B 的凸集，设F 也是包含B 的凸集，则显然有 A F ，故A 为包含B 的最⼩凸集．3. 证明[a , b ]上的多项式全体P [a , b ]是⽆限维线性空间，⽽E = {1,t , t 2, ..., t n , ...}是它的⼀个基底．[证明] ⾸先可以直接证明P [a , b ]按通常的函数加法和数乘构成线性空间，⽽P [a , b ]中的任⼀个元素皆可由E 中有限个元素的线性组合表⽰．设c 0, c 1, c 2, ..., c m 是m + 1个实数，其中c m 0，m 1．若∑=mn n n t c 0= 0，由代数学基本定理知c 0 = c 1 = c 2 = ... = c m = 0，所以E 中任意有限个元素线性⽆关，故P [a , b ]是⽆限维线性空间，⽽E 是它的⼀个基底。

4. 在2中对任意的x = (x 1, x 2) 2，定义|| x ||1 = | x 1 | + | x 2 |，|| x ||2 = (x 12 + x 22)1/2，|| x || = max{ | x 1 |, | x 2 | }．证明它们都是2中的范数，并画出各⾃单位球的图形．[证明] 证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可．单位球图形略．5. 设X 为线性赋范空间，L 为它的线性⼦空间。

泛函分析绪论笔记

泛函分析绪论笔记1、泛函分析课程的主要学习目标是什么？了解和掌握空间理论(包括距离空间、赋范空间、内积空间)和线性算子理论(包括线性算子空间、线性算子谱分析)中的基本概念和基本理论；运用全新的、现代数学的视点审视和处理数学基础课程的内容和问题。

本课程努力使学生从全新的视点审视和处理数学基础课程（例如数学分析、线性代数、解析几何、微分方程）。

2、泛函分析的研究对象主要有哪些？主要的研究方法是什么？主要研究对象：1）映射2）运算（算子）微分、积分是线性运算.运算也是一种映射3）无穷维空间主要研究方法：1）综合分析、代数、几何的观点和方法研究无穷维空间上的函数、算子和极限理论，处理和解决数学研究中最关心的一些基本问题.2）几何化泛函分析的特点是把古典分析的基本概念和方法一般化、几何化.3、无穷维空间作为泛函分析的一个主要研究对象，与数学分析和高等代数中大家非常熟悉的有限维空间有什么本质的区别，为什么在研究无穷维空间时还是需要首先研究其中收敛（极限）的问题？无穷维空间与有限维空间本质区别：（一）相同点：讨论线性空间.（二）不同点：1、讨论无穷维。

有限维空间处理方法搬到无穷维2、收敛性有无极限，无穷维求和是一个极限过程研究收敛性的需要：无穷维求和是一个极限过程，加法与无穷级数的区别4、研究无穷维空间时的类比和联想主要是指哪些方面？通过“类比和联想”，把有限维空间处理问题的这种方式推广到更一般的空间(无穷维空间)，复杂问题简单化。

1)无穷维空间的几何结构；2)线性算子的特征和结构；特别是：线性算子T能不能分解?3)无穷维空间的坐标分解解决问题的模式进行类比，泛函分析正是从这些类似的东西中探寻一般的、真正属于本质的东西，把它们抽象化并加以统一处理.类比建立空间框架.从分析、代数中的问题出发，引出泛函分析研究的思想方法。

比如三维（实数）和n维欧几里得空间的向量分解一、无穷维空间线性算子与坐标系我们再把无穷维空间的线性算子(微分运算)与有限维空间的线性算子相对照，进而研究线性算子的分解问题.不同的对称矩阵可以产生不同的正交系.问题:在Fourier级数展开中，这个正交坐标系(1, cosx,sinx, ... ,cos kx, sin kx,...)是否也可以是一些运算(算子)的特征函数?二、无穷维空间线性算子性质上的差别微分和积分是高等数学研究的主要对象.共同点:它们都是线性运算;不同点:粗略地说微分可能把函数放大，积分可能把函数“变小”.三、数学分析、线性代数、微分方程在处理问题.上有许多相似的方法（以上述例子为例）1、问题和元素更一般化(抽象化),空间中的元素(向量)可以是函数或运算(矩阵运算、微分运算、积分运算，级数(极限)运算).2、建立一种空间的框架，把元素(可以是函数或运算)进行坐标分解.我们希望通过类比等方法把它们推广到(结果可能会有差异)泛函分析的研究中去.3、应用几何、代数和分析的综合手段研究解决问题，研究无限维线性空间.上的泛函和算子理论.四、本书的主要内容:（1）第一到第三章，首先引入空间，极限这些概念，讨论它们的性质.i.距离空间;线性赋范空间;内积空间.（2）第四到第五章，研究线性算子(线性算子空间)的性质.有界线性算子，有界线性算子的重要性质;共轭空间;特别是Hilbert空间的共轭空间和共轭算子.重要定理包括:一致有界原则;开映射定理、逆算子定理;闭图像定理;线性泛函的延拓定理(Hahn- Banach定理).这是最核心也是最难的部分.（3）最后两章是线性算子的谱理论.谱分解从结构上展示了线性算子的基本运算特征，特别是紧的自共轭算子的谱分解和有限维空间对称矩阵的分解十分相似.五、目标:(1)理解为什么会有泛函分析，明白泛函分析在做什么;最基本的概念(概念的来源和背景);数学研究的基本方法:化归、类比、归纳、联想;一定的抽象思维的能力;概念清楚，思维清晰(2)努力感悟数学的美学结构.注意：1.要从整体上了解数学.2.要从具体的实例中感悟数学的思想方法.。

泛函分析读书笔记 - 副本

《泛函分析》读书笔记Reading Notes about Functional Analysis崔继峰所谓的泛函呢，就是一般函数，泛函分析当然就是一般函数的分析研究。

在学习泛函之前，需要有扎实的《实变函数》知识。

大学期间，曾用半年时间学过由南开大学刘炳初教授编著，科学出版社出版的《泛函分析》，讲课的是哈尔滨工业大学的包革军教授，他讲泛函的最大特点是把泛函与几何图形有机结合，把艰深的纯理论讲的惟妙惟肖。

在进入研究生学习阶段，《泛函分析》作为计算数学研究生的基础理论课程，是必选的。

我们选用的教材是由武汉大学刘培德教授主编，武汉大学出版社出版的《泛函分析（第二版）》，该教材是面向本科生的，系里之所以考虑选择此教材，是由于考虑到有些学生在本科阶段没有或者很粗浅的认识了《泛函分析》这门课程，主讲该课程的是高云兰博士，她的方向就是算子方面的研究，所以讲解该课程那是轻车熟路了。

课时大约是48学时（粗略估计）。

由于以下两方面的原因：1）对于《泛函分析》认识很粗浅；2）第一次写读书笔记（尤其是专业课类），不知道如何从略。

所以读书笔记可能从在诸多问题，希望老师见谅！下面我从几个方面写本学期学习《泛函分析》的感受和认识。

我本着这样态度写该笔记：1）了解泛函是什么，泛函的发展（很多教材把这个从略）2）把空间的理论知识系统学习，对于其他理论的学习作抛砖引玉之用。

3）学习泛函的实际作用（也就是附录里的滤波器理论的应用）。

泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。

它是20世纪30年代形成的。

从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。

一、泛函分析的产生十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。

这就是，由于对欧几里德第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。

刘炳初等《泛函分析》第二版课后习题答案

刘炳初等《泛函分析》第二版课后习题答案习题二1.设(,)X 是赋范空间. 对于,,x y X ∈令10,,1,,x y d x y x y =⎧=⎨-+≠⎩ 证明：1d 是X 上的距离但不是由范数诱导的距离.证明：显然1d 满足距离公理1)、2). 若x y =，显然有111(,)0(,)(,)d x y d x z d z y =≤+；若x y ≠，则当,x z z y ≠≠时，111(,)112(,)(,)d x y x y x z z y x z z y d x z d z y =-+≤-+-+≤-+-+≤+；当,x z z y =≠时，1111(,)11(,)(,)(,)d x y x y z y d z y d x z d z y =-+=-+==+；当,x z z y ≠=时，1111(,)11(,)(,)(,)d x y x y x z d x z d x z d z y =-+=-+==+；因此，1(,)d x y 满足距离公理3).但10,,(,)1,,x d x x x θθθ=⎧=⎨+≠⎩显然不满足11(,)(,)d x d x αθαθ=，因此1d 不是由范数诱导的距离.2.在l ∞中，按坐标定义线性运算且对,k x l x ξ∞∈=定义sup n nx ξ=，证明l ∞是一个赋范空间.证明：显然这是一个范数.3.设M 是空间l ∞中除有穷个坐标之外为0的元之全体构成的子空间. 证明M 不是闭子空间.证明：令01111111,,,,,0,0,,1,,,,,2323n x x nn⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则显然我们有n x M ∈，且01110,0,,,,0()121n x x n n n n ⎛⎫-==→→∞ ⎪+++⎝⎭，但0x M ∉，因此M 不是l ∞得闭子空间.4.试举例说明，在赋范空间中，由1n n x ∞=<∞∑，一般地不能推出1n n x ∞=∑收敛.例： 5. 设(,)X 是赋范空间，0X 是X 中的稠密子集，证明：对于每一x X ∈,存在{}0n x X ⊂，使得1n n x x ∞==∑，并且1n n x ∞=<∞∑.证明：取10x X ∈，使得112x x -<，则112x x ≤+；0X X =，∴可取20x X ∈，使得12212x x x --<，则2121211122x x x x x x ≤--+-<+<；同理可取30x X ∈，使得123312x x x x ---<，则31231223111222x x x x x x x x ≤---+--<+<；继续此法，可得{}0n x X ⊂，使得112ni ni x x =-<∑，且21(2,3,)2nn x n -<=，由此知1n n x x ∞==∑，并且1n n x ∞=<∞∑11112n n x ∞-=⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭∑.6. 设(,)X 是赋范空间，{}0X ≠，证明：X 是Banach 空间，当且仅当，X 中的单位球面{}:1S x X x =∈=是完备的.证明：必要性是显然的(S 为X 中闭集)，下证充分性.若S 是完备的，设{}n x 为X 中的Cauchy 列，由于m n m n x x x x -≤-，从而lim n n x →∞存在，不妨设lim n n x a →∞=. 若0a =，则显然0()n x n →→∞.若0a ≠，不妨设0n x ≠，则n n x S x ⎧⎫⎪⎪⊂⎨⎬⎪⎪⎩⎭，因为11()0m n n m m n n m n m nn m nm nm nx xx x x x x x x x x x x x x x x x -=-≤-+-→也即n n x x ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭为S 中的Cauchy 列，由S 的完备性，lim n n n x x →∞存在，不妨设limn n n x x S x →∞=∈，从而有1lim 0n n n nn n x a ax ax x x x x x x a →∞-=-→-=，故lim 0n n x ax →∞-=，即{}n x 收敛，从而证得X 是Banach 空间.7. 证明0c 是可分的Banach 空间. 证明：分以下三步来证明：1). 证明0c 是l ∞的线性子空间. 事实上收敛列必有界，从而显然0c l ∞∈，且设()()12120,,,,,,,,,n n x y c ξξξηηη==∈，则()1122,,,,n n x y αβαξβηαξβηαξβη+=+++，由于lim 0n x y αβ→∞+=，从而我们有0x y c αβ+∈，即0c 是l ∞的线性子空间.2). 证明0c 是l ∞的闭子空间. 事实上，设()()()()120,,,,,k k k k n x c ξξξ=∈()(0)(0)(0)012,,,,n x ξξξ=，并且()(0)0sup 0()k k n n nx x k ξξ-=-→→∞，因此0ε∀>，1N ∃，使得当1k N >时，()(0)0sup 2k k n n nx x εξξ-=-<. 由于(0)()()(0)()1()2k k k n n n n n k N εξξξξξ≤+-<+>，又因0k x c ∈，()0()k n n ξ→→∞，故存在()1N N ≥，使得当n N >时恒有()2k n εξ<，从而(0)n ξε<，n N ∀>，即00x c ∈，由此知0c 是l ∞的闭子空间.3). 由于l ∞为Banach 空间，而0c 是l ∞的闭子空间，从而0c 是Banach 空间，下证0c 是可分的. 设M 为一切有限有理数列全体，即()12,,,,n n x M ξξξξ=∈⇔全为有理数，且存在x N ，使得当x n N >时，0n ξ=. 显然1n n MQ ∞=，可知M 可数.()1200,,,,,n y c εηηη∀>=∈，由于0n η→，故存在N ，使得当n N >时，n ηε<. 对()12,,,N N R ηηη∈，存在()12,,,N N Q ξξξ∈，使得1sup n n n Nηξε≤≤-<，从而存在()012,,,,0,0,N x M ξξξ=∈，使得0y x ε-<，即M 在0c 中稠密.综上可知0c 是可分的Banach 空间. 8. 设(,)n nX 是一列赋范空间，{}(),1,2,n n n x x x X n =∈=且满足条件1pkk x ∞=<∞∑，用X 表示所有x 的全体，按坐标定义线性运算构成的线性空间，在X 中定义11(1)ppkk x x p ∞=⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭∑，证明(,)X 是一个赋范空间.证明：只需证明是一个范数即可. 事实上，显然0x ≥，且0x =，即10pkk x ∞==∑，从而有0(1,2,)kkx k ==，又k X 是赋范空间，故(1,2,k x k θ==，从而可得x θ=，即证明了范数公理的条件1)成立，而条件2)显然成立，下证条件3)成立. 设{}{}(),,,1,2,n n n n n x x y y x y X n ==∈=，由离散情形的Minkowski 不等式，我们有111111ppppp p kk kk k k k x y x yx y x y ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+≤+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑,从而证得是一个范数，从而(,)X 是一个赋范空间.9. 证明：1) 离散情形的Hölder 不等式与Minkowski 不等式；2) ()1p l p ≥是可分的Banach 空间.证明：1). 首先证明离散情形的Hölder 不等式，即证明下列不等式成立：11111pqp q k k k k k k k ξηξη∞∞∞===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，其中111,1p p q ≥+=. 令11,pqpqk kk k A B ξη∞∞====∑∑，由不等式pqabab p q ≤+可得11p qk kk kAB p A q Bξηξη≤+从而有1111111111pqpq pqk kk kkk k k k k k A B AB p A q Bpqp qξηξηξη--∞∞∞∞∞=====≤+=+=+=∑∑∑∑∑，所以11111pqp q k k k k k k k AB ξηξη∞∞∞===⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 由离散情形的Hölder 不等式，我们可以推导相应的Minkowski 不等式：111111pppp p p k k k k k k k ξηξη∞∞∞===⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑事实上，由Hölder 不等式，我们得到111111111(1)(1)1111111111,pp p k k k k kk k kk k k pqpqp q p p q p k k k k k k k k k k qp p p p pk k k k k k k ξηξξηηξηξξηηξηξηξη∞∞∞--===∞∞∞∞--====∞∞∞===+≤+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑由此即可得到111111pppp p p k k k k k k k ξηξη∞∞∞===⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑.2). 首先，由于(){}12,,,,,1,2,,n n i Q r r r r r Q i n ==∈=为n R 中全体有理点集，它是n R 中稠密的可数集，因此n R 是可分空间. 令(){}12,,,,;,,1,2,,n i M r r r r n N r Q i n ==∈∈=，易知M 为p l 的可数子集，下证p M l =. 事实上，设()12,,,,,0,p n x l ξξξε=∈∀>存在()N ε，使得12ppi i N εξ∞=+<∑，从而有()12,,,,0,N y r r r M =∈，使得111122p ppNpp p i i i pi i N x yr εεξξε∞==+⎛⎫⎛⎫-=-+<+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，因此p M l =，即()1p l p ≥是可分的Banach 空间.10. 证明任意线性空间中存在Hamel 基.证明：设E 是线性空间X 中的线性无关集，令集合M 为包含E 的所有线性无关集全体，在M 上定义偏序关系为''''⊂,显然M 的全序子集都有上界(所有集合的并集)，由Zorn 引理，M 有极大元，不妨设为B ,下证B 即为X 的Hamel 基，如若不然，则存在y X ∈，但y B ∉，即y 与B 中任何元素都线性无关，从而{}y B M ∈，这与B 的极大性矛盾.11. 设A 是线性空间X 中的子集. 证明：111():,01.nn n k k k k Co A x x X n x A αααα=⎧⎫=++∈∈≥=⎨⎬⎩⎭∑是任意自然数，且证明：若令S 表示上式右端，则A S ⊂而且S 是凸集，从而()Co A S ⊂. 反之，设F 是包含A 的任一凸集，那么(1,2,,)i x F i n ∈=，从而1ni i i x F α=∈∑，即得S F ⊂，从而()S Co A ⊂.12. 设E 是直线上的Lebesgue 可测集，且mE <∞，用p表示()(1)p L E p ≥的范数，∞表示()L E ∞的范数. 证明：对于每一()x L E ∞∈，lim pp x x ∞→∞=.证明：设xM ∞=，若0mE =或0M =，显然成立，下设0,0mE M ≠≠：i). 根据本性上确界的可达性，即存在0E E ⊂，使得00mE =，并且0\sup ()E E M x t =，所以0\\()d ()d d ppp pEE E E E x t t x t t M t M mE =≤=*⎰⎰⎰，所以()1ppxM mE ≤*. 因为当p →∞时，()11pmE →，即lim pp xM x ∞→∞≤=；ii). 对任意的0ε>，令{}1:()E t E x t M ε=∈>-，由上确界定义易知10mE >，从而11()d ()d ()ppp EE x t t x t t M mE ε≥≥-*⎰⎰，令p →∞，则lim pp xM ω→∞≥-，由ε的任意性，知lim pp xM →∞≥.从而lim pp xM x ∞→∞==.13. 设()11,X ，()22,X 是赋范空间，在乘积线性空间12XX ⨯中定义()1212112212,max ,z x x z x x =+=，其中()1212,,z X X z x x ∈⨯=.证明1z ，2z 是12X X ⨯上的等价范数.证明：显然2122z z z ≤≤，从而它们是等价范数.14．设X 是区间[],a b 上所有连续函数全体按通常方式定义线性运算所成的线性空间，对于x X ∈定义1sup ();()d ba a t bx x t x x t t ≤≤==⎰.证明：和1是X 上两个不等价的范数. 证明：显然和1是X 上的两个范数，且1()x b a x ≤-，要证两个范数不等价，则只需证明不存在0c >，使得1x c x ≥，即证明存在[]C ,n x a b ∈，使得1n nx x →∞.令()()(),,2()2,,20,,n b aa n t a a t a nb a nbb ax t a b a t a b a n nb a a t b n-⎧+-≤≤+⎪⎪--⎪=--++≤≤+⎨-⎪⎪-+≤≤⎪⎩则()()12,,2n n b a b a x x b n-+==()()122n nx nx b b a b a =→∞-+.15. 设Banach 空间(,)X 具有Schauder 基{}n e ，用M 表示所有使得1k k k e ξ∞=∑在X 中收敛的数列{}k ξ的全体，按通常方式定义线性运算构成的线性空间，对于每一{}k x M ξ=∈，定义11supnk knk x eξ==∑，证明(,)M 是Banach 空间.证明：首先易知1是范数.设{}()m x M ∈是Cauchy 列，()()()()()12,,,,m m m m n x ξξξ=16. 设(,)X 是赋范空间，Y 是X 的子空间，对于x X ∈，令(),inf y Yd x Y x y δ∈==-.如果存在0y Y ∈，使得0x y δ-=，称0y 是x 的最佳逼近. 1) 证明：如果Y 是X 的有穷维子空间，则对每一x X ∈，存在最佳逼近.2) 试举例说明，当Y 不是有穷维空间时，1)的结论不成立. 3) 试举例说明，一般地，最佳逼近不惟一.4) 证明对于每一点x X ∈，x 关于子空间Y 的最佳逼近点集是凸集.证明：1).有下确界定义，0,n y Y ε∀>∃∈，使得n x y δδε≤-<+.因为Y 是有穷维子空间，从而存在子列{}{}k n n y y ⊂，使得0k n y y →，将上面不等式中的n 改为k n ，并令k →∞，便有0x y δδε≤-<+，由ε的任意性即可得到0x y δ-=，即0y 就是x 的最佳逼近元.2).例：在0c 空间中，令{}011:02n n nn n M x c ξξ∞∞==⎧⎫==∈=⎨⎬⎩⎭∑，则易证M 是0c 的闭子空间. 设()02,0,,0,x =，下面说明对此0x ，M 中不存在最佳逼近元. 事实上，N m ∀∈，令()111,1,,1,0,0,2m m m x M -⎛⎫⎪=---∈ ⎪ ⎪⎝⎭个，则()00111(,)12m m m x x d x M →∞--=+⇒≤.下证0,1y M x y ∀∈->.用反证法.假设存在()12,,,,k y M ξξξ=∈，使得01x y -≤，则()0122,,,,k x y ξξξ-=---，011,2,12 1.kk x y ξξ⎧≤≥-≤⇒⎨-≤⎩又由()12211,21222kkk kkk k k ξξξξ∞∞==≤≥⇒≤<⇒<∑∑.这与121ξ-≤矛盾.所以0,1y M x y ∀∈->.两边取下确界，得到0(,)1d x M ≥，从而我们可以得到0(,)1d x M =，即在M 上找不到一点，使得该点是0x 的最佳逼近. 3).例：在2R 中，对()212,x x x R ∀=∈，定义范数12max(,)x x x =，并设()00,1x =,()11,0e =，a R ∈，则(){}01,1max ,1x ae a a -=-=，从而01min 1a Rx ae ∈-=，但最佳逼近元{}11a ae ≤不惟一.4).设M 为x 关于子空间Y 的最佳逼近点集，则对[]12,,0,1y y M λ∀∈∈，12(,)x y x y d x Y -=-=，从而()()()121212(1)(1)(1)(,)x y y x y x y x y x y d x Y λλλλλλ-+-=-+--≤-+--=又显然()12(1)(,)x y y d x Y λλ-+-≥，从而()12(1)(,)x y y d x Y λλ-+-=，即12(1)y y M λ+-∈，所以M 是凸集.17. 设(,)X 是赋范空间，如果对任意,,x y X x y ∈≠且1x y ==必有2x y +<，称(,)X 是严格凸赋范空间. 1) 证明赋范空间(,)X 是严格凸的，当且仅当，对任意,x y X ∈，x y x y +=+必有(0)x y αα=>.2) 证明在严格凸赋范空间中，对于每一个x X ∈，x 关于任意子空间Y 的最佳逼近是惟一的.证明：1). 必要性. 设x y x y +=+，则11x y x y xyx y x y x x yy+=⇒+=+++，由严格凸性，x y c x y =，即c x x y y=，令c x yα=，即可得到x y α=.充分性.用反证法，如果存在,,x y X x y ∈≠且1x y ==，使得(1)1x y ββ+-=，即(1)(1)x y x y ββββ+-=+-，由假设，必存在α，使得(1)x y βαβ=-，又因为1x y ==，从而可得x y =，矛盾.2).用反证法.事实上，若(),0d x Y >,并有12(,)x y x y d x Y -=-=，则对[]0,1α∀∈，由严格凸性有()()()12121211(1)(1)(,)(,)(1)1(,)(,)x y y x y x y d x Y d x Y x y x y d x Y d x Y αααααα-+-=-+--⎛⎫⎛⎫--=+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()12(1)(,)x y y d x Y αα-+-<，这显然与(,)d x Y 的定义矛盾.但若(),0d x Y =，12,y y 是相应的最佳逼近元，则必有12y x y ==，从而最佳逼近元必是惟一的.18．设(,)X 是赋范空间，如果对任意0ε>，存在0δ>，当x y ε-≥，1x y ==时必有2x y δ-≤-，称(,)X 是一致凸的. 证明： 1) 一致凸赋范空间必是严格凸的. 2) [],C a b 不是一致凸的. 3) []1,L a b 不是一致凸的.证明：设X 是一致凸的赋范空间，,,x y X x y ∈≠且1x y ==，则必存在00ε>，使得0x y ε-≥(若不然，对0ε∀>，都有x y x y ε-<⇒=，矛盾). 由一致凸性，对此00ε>，必存在0δ>，使得22x y δ-≤-<，从而X 是严格凸的. 2). 由1),只需证明[],C a b 不是严格凸的即可.以[]0,1C 为例.取()1,()x t y t t ≡= 都满足1x y ==，但2x y +=.从而不是严格凸的.3). 同理. 取()1,()2x t y t t ≡=，都满足1x y ==，但2x y +=.从而不是严格凸的.习题三1. 设1sup n n α≥<∞，在1l 上定义算子:T y Tx =，其中{}{},k k x y ξη==，k k k ηαξ=(1,2,)k =. 证明T 是1l 上的有界线性算子并且1sup n n T α≥=.证明：111,sup k k k k k k k k k k x ηαξηαξα∞∞≥====≤∑∑，()112,,,,,k x l ξξξ∀=∈()112,,,,k y l ηηη∴=∈，且1sup k k Tx x α≥≤，1sup k k T α≥∴≤.另一方面，由上确界定义，对任意的n ，存在k n ，使得11sup k n k k nαα≥>-. 取()010,0,,1,0,k n x =第项为,则显然01x =，且00k n Tx T x T α=≤=，从而11sup k k T nα≥-<. 令n →∞，则有1sup k k T α≥≤. 所以1sup k k T α≥=.3. 证明Banach 空间X 是自反的，当且仅当*X 是自反的.证明：必要性. 设X 是自反的，:**()J X X J X →=为典型映射，现证*X 也自反. 任取****:x x J X =→k ，显然**x X ∈. 因为()****()()(*)x Jx x x Jx x ==，及X 的自反性得()**R J X =，因此对任意的****x X ∈，()*******(*)x x x x =，由此知1****J x x =，其中1:****J X X →为典型映射，且()1***R J X =，从而*X 是自反的.充分性. 设*X 自反，假设X 不是自反的，即0()J X X =为**X 的真闭子空间(因为J 是X 到0X 上的等距同构映射，且X 完备)，由Hann —Banach 定理，存在0******x X ∈，满足0***1x =，且()**x J X ∀∈，()0*****0x x =. 因为()1****J X X =，故存在*0*x X ∈，使得********001001,()x x J x x ===，********001001,()x x J x x ===，因而对任意的****x X ∈，()****00(**)**x x x x =，但()()*****000()0,x x x x Jx x X ===∀∈，因此*0*x X θ=∈，这与*01x =矛盾，从而设X 是自反的.20. 设X 是一致凸赋范空间，()0,1,2,n x x X n ∈=. 证明如果()0Wn x x n −−→→∞且 ()0n x x n →→∞，则()0n x x n →→∞.证明：不妨设00,n x x θ≠≠，用反证法. 为简单起见，设01n x x ==，且n x 不按范数收敛于0，那么可设00ε∃>，使得00n x x ε-≥，由空间的一致凸性，0δ∃>，使得02n x x δ+≤-. 由于0Wn x x −−→，故*f X ∀∈，且1f =有()()0n f x f x →，从而有()()002n f x x f x +→. 由于()002n n f x x f x x δ+≤+≤-及()()0001112sup sup lim22n n f fx f x f x x δ→∞==-==+≤知01x <，这与01x =矛盾，从而必有()0n x x n →→∞.22. 证明空间(1)pl p <<∞上的有界线性泛函的一般形式为()1k kk f x αξ∞==∑，其中{}pk x l ξ=∈，{}111qk y l p q α⎛⎫=∈+= ⎪⎝⎭并且11q k k f q α∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，()*p q l l =.证明：令()0,,0,1,0,n e =，显然()12,,,,pn x lξξξ∀=∈，有1i ii x eξ∞==∑. 设()1i i i f x ξη∞==∑，其中()12,,,,q n y l ηηη=∈，则由Hölder 不等式，我们可以得到 ()11111qpqpi i i i i i i f x y x ξηηξ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，从而可知()*pf l ∈，且f y ≤.反之，对任一()*p f l ∈，()()1,2,i i f e i η==，()12,,,,n y ηηη=，下证qy l ∈且()1i i i f x ξη∞==∑及f y =. 事实上，令11sgn nq p n ii i i x e l ηη-==∈∑，则()()111sgn nnq qn ii i i n i i f x f e fx ηηη-====≤∑∑. 由于()11111nnppp q q n ii i i x ηη-==⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，因此()111,2,nqq i i fn η=⎛⎫≤= ⎪⎝⎭∑，令n →∞得11nqq i i y fη=⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭∑，令(),:*p q Tf y T l l =→，则y T f f =≤，从而y T f f ==. 又显然T 是线性算子，且为满射，故为()*p l 到q l 上的等距同构映射，从而()*p q l l =.习题四1. 设12,,,,n H H H 是一列内积空间，令{}21:,.n n n nn H x x H x ∞=⎧⎫=∈<∞⎨⎬⎩⎭∑对于{}{},n n x y H ∈，定义{}{}{}(,)n n n n x y x y αβαβαβ+=+∈k ，{}{}(),n n x y ()1,n n n x y ∞==∑.证明H 是内积空间，并且当每一个n H 都是Hilbert 空间时，H 是Hilbert 空间. 证明：先证H 是内积空间. 因为()()11222211111,,n n n n n n n n n n n n n x y x y x y x y ∞∞∞∞∞=====⎛⎫⎛⎫≤≤≤<∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑，故定义{}{}(),nnx y ()1,nnn x y ∞==∑是有意义的. 又由{}{}{}()()()(){}{}(){}{}()111,,,,,,nnnnn n n n n n n n n n n n n x y z xy z x z y z x z y z αβαβαβαβ∞∞∞===+=+=+=+∑∑∑及{}{}()()()(){}{}()111,,,,,nnnnnnnnnnn n n x y x y y x y x y x ∞∞∞=======∑∑∑，而且{}{}()()1,,0nnnnn x x x x ∞==≥∑及{}{}()()(),0,01,2,n n n n x x x x n =⇔==⇔(){}1,2,n n x n x θθ==⇔=，由内积定义可知H 是内积空间.再证H 是完备的. 设{}()1i i x ∞=是H 中的Cauchy 列，其中()()()()()12,,,,i i i i n x x x x =.由定义00,i ε∀>∃，使得当0,i j i >时，有()()i j x x ε-<，即122()()1i jn nn x x ε∞=⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑，于是()()i j n nx x ε-<，所以{}()1i nn x ∞=是n H 中的Cauchy 列(n 固定)，设()(0)i n n x x →，并令()(0)(0)(0)12,,,,n x x x x =，由前证122()()1i j n n n x x ε∞=⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑，0,i j i ∀>，故对固定的k 使得2()()21ki j n nn x x ε=-<∑. 令j →∞，则2()(0)21ki n nn x x ε=-≤∑，再令k →∞，就有2()(0)21i n nn x x ε∞=-≤<∞∑，即()i x x H -∈. 因为H 是线性空间，于是有()()()i i x x x x H =--∈，故点列()()1,2,i x i =按H 中范数收敛于x ，于是H 是完备的，即是Hilbert 空间.2. 设H 是Hilbert 空间，M 是H 的闭子空间. 证明M 是H 上某个非零连续线性泛函的零空间，当且仅当M ⊥是一维子空间.证明：必要性. 若M 是H 上某个非零连续线性泛函的零空间，由Riesz 表示定理知存在f y H ∈，使得()(),,f f x x y x H =∀∈，于是()(){}{}:,0,f f f M x f x x y y H y ⊥===∈=，由本节题4知.{}(){}span f fM y y ⊥⊥⊥==是一维子空间.充分性. 若M ⊥是非零元y 生成的一维子空间，,x H ∀∈令()(),f x x y =，则显然有()0f x x y =⇔⊥，即()x M M ⊥⊥∈=，所以M 是非零连续线性泛函f 的零空间.4. 设M 是Hilbert 空间H 上的非空子集，证明()M ⊥⊥是包含M 的最小闭子空间.证明：记span Y M =，则Y 是包含M 的最小闭子空间，故只需证()M Y ⊥⊥=.事实上，x Y ∀∈，有s p a n n x M ∈，使得n x x →. y M ⊥∀∈有()(),lim ,0n n x y x y →∞==,故()x M ⊥⊥∈，即有()Y M ⊥⊥⊂. 又因为Y 是闭子空间，故有()Y Y ⊥⊥=(证明见指南P63例5). 于是由M Y ⊂可得Y M ⊥⊥⊂，进而可得()()M Y Y ⊥⊥⊥⊥⊂=，所以可得()span M Y M ⊥⊥==.5. 设H 是内积空间，M 是H 的线性子空间. 证明如果对于每一个x H ∈，它在M 上的正交投影存在，则M 必是闭子空间.证明：x M ∀∈，存在{}n x M ⊂，使得lim n n x x →∞=. 由条件0101,,x x x x M x M ⊥=+∈∈,于是001n x x x x x M ⊥-→-=∈. 注意到0n x x M -∈，故有()()1101,lim ,0n n x x x x x →∞=-=即1x θ=，从而0x x M =∈，从而M 是闭子空间.6. 证明在可分内积空间中，任一标准正交系最多为一可数集.证明：设H 为可分的内积空间，{}1n n x ∞=为H 的可数稠密子集，又设{}:e λλ∈Λ为H 中任意一簇标准正交系，则,n x λ∀∈Λ∃，使得n x e λ-<. 若Λ不可数，则必有{}1k n n x x ∞=∈以及,','λλλλ∈Λ≠，使得'k k x e x e λλ-<-<''k k e e x e x e λλλλ-≤-+-<，但由勾股定理，有222''2e e e e λλλλ-=+=，即'e e λλ-=H 中的任一标准正交系最多为可数集. 7. 设{}e I αα∈是内积空间H 中的标准正交系. 证明对于每一个x H ∈，x 关于这个标准正交系的Fourier 系数(){},:x e I αα∈中最多有可数个不为零.证明：记{}:F e I αα=∈，由Bessel 不等式， x X ∀∈，若取n 个F 中元素e λ排成一列，不妨设为12,,,n e e e ，则有()221,ni i x e x =≤∑，于是在F 中使(),x e λ≥得e λ只能为有限个，记():,,n F e x e λλλ⎧=∈Λ≥⎨⎩及1ˆnn F F ∞==. 显然ˆF 为可数集，且当ˆe F F λ∈-时，(),0x e λ=，即x 的Fourier 系数(){},:x e I αα∈中最多有可数个不为零.8. 设H 为Hilbert 空间，()0,1,2,n x x H n ∈=.当n →∞时，0Wn x x −−→，且 0n x x →，证明()0n x x n →→∞.证明：由()()()()()2,,,,,n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x -=--=--+，故当n →∞时，()2222,0n x x x x x -→-=，即()0n x x n →→∞.11. 设T 是Hilbert 空间H 上的线性算子且对所有,x y H ∈，()(),,Tx y x Ty =.证明T 是有界算子.证明：只需证明T 是H 上的闭线性算子. 设n x H ∈，且满足00,n n x x Tx y →→，则y H ∀∈，由条件()(),,n n Tx y x Ty =. 令n →∞，则有()()()000,,,y y x Ty Tx y ==，故00y Tx =，即T 是闭线性算子，从而由闭图像定理可知T 有界.13. 设H 是Hilbert 空间，(),x y ϕ是定义在H H ⨯上的泛函且关于x 是线性的，关于y 是共轭线性的并且存在常数C ，使得()(),,x y C x y x y H ϕ≤∈.证明：存在惟一算子()A B H ∈，使得对所有,x y H ∈，()(),,x y Ax y ϕ=且A ϕ=，其中()11sup ,x y x y ϕϕ===.证明：因(),x y ϕ关于y 是共轭线性的，故(),x y ϕ关于y 是线性的，固定x H ∈，则(),x y ϕ为H 上的有界线性泛函，由Riesz 表示定理，存在惟一*x H ∈，使得()(),,*x y y x ϕ=，即()(),*,x y x y ϕ=. 作映射:*A xx ，有()()(),*,,x y x y Ax y ϕ== 由于()()()()()()()()1212121212,,,,,,,A x x y x x y x y x y Ax y Ax y Ax Ax y αβϕαβαϕβϕαβαβ+=+=+=+=+，即()1212A x x Ax Ax αβαβ+=+又因为()()2,,Ax Ax Ax x Ax x y ϕϕ==≤，即A ϕ≤，所以()A B H ∈.再由Schwartz 不等式，有()(),,x y Ax y Ax y A x y ϕ=≤≤，故A ϕ≤，于是 A ϕ=. 若设()T B H ∈，且满足()(),,x y Tx y ϕ=，则()(),,,,A xy T x y xy H =∀∈，即()(),0,,A T x y x y H -=∀∈. 特别地，令()y A T x =-，得()20A T x -=，因此(),A T x x H θ-=∀∈，故0A T -=，所以A T =.14. 设{}n T 是Hilbert 空间H 上的有界自共轭算子列且()0n T T n -→→∞. 证明T 也是自共轭的.证明：由()()***0n n n T T T T T T n -=-=-→→∞，即可得**n T T →，由n T 的自共轭性即可得T 也是自共轭的.2011年博士研究生第二次公开招考报考须知发布时间：2011-02-24 08:37 来源：本站点击量：303一、报名2011博士研究生第二次公开招考网上报名时间：2011年3月4日-13日，网址：/hityzb/zs.jsp?cla=2。

泛函分析知识点范文

泛函分析知识点范文泛函分析是数学中的一门学科，研究向量空间上的函数和函数空间的性质，涉及到实数或复数域上的向量空间。

泛函分析包括线性代数、实变函数分析和拓扑学等多个学科的内容，因此具有广泛的应用领域，如物理、工程、经济等。

泛函分析的核心内容包括线性空间、拓扑空间和连续映射等概念、线性算子和泛函的基本性质以及泛函分析中的基本定理等。

1.线性空间：泛函分析的基础是线性空间，也就是向量空间。

线性空间满足线性组合和分配律等性质，例如实数域或复数域上的向量空间。

线性空间中的向量可以是函数、矩阵等不同的对象。

2.拓扑空间：泛函分析中的向量空间往往是赋予了拓扑结构的空间，即拓扑向量空间。

拓扑空间是一种具有连续性质的空间，它引入了开集、闭集和收敛性等概念。

拓扑空间的拓扑结构可以通过开集、闭集、邻域、基等方式来定义。

3.连续映射：泛函分析中的重要概念是映射的连续性。

连续映射是保持拓扑结构的映射，即对于拓扑空间中的开集，其原像仍然是开集。

连续映射可以用来描述泛函和线性算子的性质。

4.线性算子和泛函：线性算子是线性空间之间的映射，它可以是有界算子或无界算子。

线性算子的基本性质包括线性性、有界性、闭图像性等。

泛函是线性空间到数域的映射，它可以看作是线性算子的特殊情况。

泛函的基本性质包括线性性、有界性、连续性等。

5. Hahn-Banach定理：Hahn-Banach定理是泛函分析中的基本定理，它是关于泛函延拓的定理。

该定理说明了任意线性子空间上的有界泛函可以延拓到整个空间上，并且保持原有泛函的范数不变。

6.可分性：可分性是拓扑空间的一个重要性质，它指的是拓扑空间中存在可数稠密子集。

可分性保证了拓扑空间中存在足够多的元素，使得在拓扑空间上可以进行良定义的运算。

7.反射空间：反射空间是泛函分析中的一类特殊线性空间，它是线性空间和拓扑空间的交叉概念。

反射空间具有良好的性质，例如有界闭集外包性、扩张定理等。

8.紧算子和迹类算子：紧算子是对有界算子的一种推广，它在泛函分析中具有重要的地位。

泛函分析笔记

泛函分析笔记作者：邝雪冰笔记题目：纲与开映像定理纲与开映像定理报告人：邝雪冰作者简介：邝雪冰性别：女，硕士研究生学号：14110011020 导师：李应求教授研究方向：概率论与数理统计摘要：本节对有界线性算子的逆算子的有界性问题是在本节中做了初步的讨论，首先从引入疏集的概念，开映射，空间的完备性开始．其次，讲述三个重要的定理：开映像定理，闭图像定理，共鸣定理．有界线性算子是开映射的充分条件[1]．闭图像定理主要是研究算子的连续性与闭性的关系．共鸣定理又称算子族的一致有界原理，其含义是在一定条件下由算子族的点点有界可得出范数有界[2]．一、知识背景对于解方程的问题从泛函分析的角度来看，就是对给定算子:T X Y →，求x X ∈，使得Tx y = （3.1）解的存在性表达成算子T 有右逆1r T -：1r TT I -= （I 表示恒同算子）若令1r x T y -=，则有1r Tx TT y y -==；而解的唯一性表达成算子T 有左逆1l T -：1l T T I -=由Tx y =及1l T -存在，得11l l x T Tx T y --==，所以解x 唯一地被y 决定．也就是说解存在且唯一，当且仅当线性算子T 即既有左逆又有右逆．如果算子T 左右逆同时存在，则它们一定相等，即()()11111111l l l r l r r r T T I T TT T T T IT T --------=====所以这时称算子T 有逆，并记此逆为1T -．设f 是由集合A 到集合B 的映射，如果,x y A ∈，且x y ≠等价于()()f x f y ≠，则称f 为由A 到B 的单射．设f 是从集合A 到集合B 的映射，若()f A B =,即B 中任一元素b 都是A 中某元素的像，则称f 为A 到B 上的满射．换句话来说就是，设,X Y 都是B 空间，(),T L X Y ∈，算子T 称为是单射，是指T 是1-1的，算子T 称为是满射，是指()T x y =．若映射f 既是单射，又是满射，则称映射f 为A 到B 的双射．注（i ）设,X Y 是线性空间，线性算子:A X Y →，如果1A -存在，则1A -也是线性算子；（ii ）设,X Y 是*B 空间，(),A L X Y ∈，如果1A -存在，()R A Y =且1A -是有界线性算子，那么称A 是正则算子；（iii ）设,X Y 是*B 空间，(),A L X Y ∈有界，A 是双射，那么1A -是Y 在X 上的线性算子．一般来说，1A -未必是有界算子．一、主要内容 3.1纲与纲推理定义 3.1.1 设(),X ρ是一个度量空间，集E X ⊂，则称E 是疏的，如果E 的内点是空．命题 3.1.2 设(),X ρ是一个度量空间，为了E X ⊂是疏集必须且仅须：∀球()()()001100,,,,B x r B x r B x r ∃⊂，使得()11,E B x r φ= ．证明：必要性因为E 无内点，所以E 不能包含任一球()00,B x r ．从而()100,x B x r ∈，使得1x E ∉．又由E 是闭，所以10ε∃>，使得()11,B x E εφ= ．取()()110010min ,,r r x x ερ<<-便有()()()110011,,,,B x r B x r E B x r φ⊂= 充分性若E 不疏，既E 有内点，则()00,B x r E ∃⊂．但由假设()()1100,,B x r B x r ∃⊂，使得()11,B x r E φ= ．一方面有()()1111,,B x r E B x r = ；另一方面()11,B x r E φ= 即得矛盾．定义3.1.3 在距离空间(),X ρ上，集合E 称为第一纲的，如果1n n E E ∞== ，其中nE 是疏集．不是第一纲的集合是第二纲集．定理3.1.4 （Baire ）完备度量空间(),X ρ是第二纲集．证：反证法倘若X 是第一纲集，即存在疏集{}n E ，使得1n n X E ∞== （3.2）对任意球()()()()0011001,,,,1B x r B x r B x r r ∃⊂<，使得()111,B x r E φ= ；对()()()11221121,,,,2B x r B x r B x r r ⎛⎫∃⊂< ⎪⎝⎭，使得()()2212,B x r E E φ= ；如此继续下去，对()()()11111,,,,n n n n n n n B x r B x r B x r r n ----⎛⎫∃⊂< ⎪⎝⎭，使得(),n n n B x r E φ= ，从而()1,n n n i i B x r E φ=⎛⎫= ⎪⎝⎭()n ∀∈ （3.3）于是我们得到()()()1122,,,n n B x r B x r B x r ⊃⊃⊃而()1,n p n n x x r nρ+≤< ()n ∀∈ （3.4）由此可见{}n x 是基本列，从而x X ∃∈，使得lim n n x x →∞=．另一方面在（3.4）式中令p →∞得(),n n x x r ρ≤，从而(),n n x B x r ∈ ()n ∀∈ （3.5）联合（3.3）和（3.5）式，有1n n x E ∞=∉ ，这与（3.2）式矛盾．3.2开映像定理如果T 是一个单射，则定义1T -，它是线性的．但它的定义域不一定是全空间Y ，当且它是一个满射时，1T -才是Y 到X 的一个线性算子，此时，我们讨论1T -是不是连续的．定义3.2.1 设,X Y 为两个Banach 空间，T 为X 到Y 的映射，若对于X 中的任意开集G ，G 的像()T G 为Y 中的开集，则称T 为开映射[3]（把开集映射为开集）．定理3.2.2 （Banach ）设,X Y 是B 空间，若(),T L X Y ∈，它既是单射又是满射，那么()1,T L X Y -∈．证明根据定理3.2.3证明中的第（3）段，已知()1,1,U TB θθδ⎛⎫⊂ ⎪⎝⎭即()11,1,T U B θθδ-⎛⎫⊂ ⎪⎝⎭或11T y δ-< (),1y Y y ∀∈<．特别地由模的齐次性，y Y ∀∈，0ε∀>，有()11T y y εδ-+<．令0ε→得11T y y δ-<()y Y ∀∈．从而()1,TL X Y -∈．这一定理有一个更一般的形式，也就是定理3.2.3．定理 3.2.3 设,X Y 是B 空间，若(),T L X Y ∈是一个满射，则T 是开映像证明用()0,B x a ，()0,U y b 分别表示,X Y 中的开球．（1）证明是T 开映射，即∀开集W ，()T W 是开集，必须且仅须证明：0δ∃>使得()(),1,TB U θθδ⊃ （3.6）必然性是显然的．充分性由于T 是线性，条件（3.6）等价于()()00,,TB x r U Tx r δ⊃ ()0,0x X r ∀∈∀>()0y T W ∀∈，按定义0x W ∃∈，使得00y Tx =。

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