第6章 期权无套利定价关系

Rc ,T
rT ST X cE e , 如果ST X rT c e E , 如果ST X

看涨期权卖方的收益等于买方的损失，卖方的 收益函数为：
Rc ,T
rT ( S X c e ),如果ST X T E rT cE e , 如果ST X

空头的盈亏平衡点与多头相同。如果资产的到 期价格小于初始价格和持有成本，空头收益为 正，因为资产的价格下限为零，因此空头的收 益也有限制。如果资产的到期价格大于资产的 初始价格加持有成本，多头就亏损，因为资产 的到期价格没有上线，因此空头的损失没有限 制。

6.1.2 远期 假设远期的执行价格为f，标的资产的到期价 格为ST。远期合约买方的收益为： Rf ,T ST f


表6-1 欧式看涨下限组合交易
交易类型
卖出标的 资产 买入看涨 期权 买入无风 险债券 组合净值
初期投资
T 时刻的价值 ST X ST X
Se qT
cE
Xe rT
ST
0
ST
ST X
X
X ST
X
0
SeqT XerT cE

我们构建的投资组合在到期时的价值大于等于 零。在不存在套利机会的前天下，该投资组合 的初期投资最大值为零。因此看涨期权的下限 为：

看跌期权卖方的收益等于买方的损失，收益函数为：
rT pE e , 如果ST X R p ,T rT ( X S p e ),如果ST X T E 如果标的资产的到期价格大于执行价格，卖方的收益 为期权费；如果标的资产的到期价格小于等于执行价 rT 格，卖方的损失为 X ST pE e ；如果标的资产的到 rT S X p e 期价格等于盈亏平衡点， T ，卖方的收益为 E 零。因为标的资产的价格没有上限，因此看跌期权卖 方的损失也没有上限。



6.1.6 买入看涨期权卖出看跌期权
为了弥补买入看涨期权费用，有时投资者买入看涨期权的 同时卖出看跌期权。假设看涨期权和看跌期权的执行价格 相同，组合总收益为：
Rc ,T R p ,T
rT rT ST X cE e pE e , 如果ST X rT rT S X c e p e , 如果ST X E E T

ST X ，组合资 如果标的资产的到期价格大于执行价格， 产的收益大于看涨期权的价值，差额为看跌期权的价值。 ST X ，组 如果标的资产的到期价格小于等于执行价格， 合资产的损失大于看跌期权的损失，差额为看涨期权的价 值。
ST X cE erT pE erT

6.1.7 买入标的资产买入看跌期权 如果买入标的资产，为了规避标的资产价格下跌的风 险，同时买入看跌期权,称之为保障型看跌期权。投资 组合的收益为：
( r q )T pE e rT , 如果ST X ST Se ( r q )T rT S Se ( X S ) p e , 如果ST X T E T
( r q )T rT S Se p e , 如果ST X T E ( r q )T rT X Se p e , 如果ST X E
当远期合约的执行价格等于标的资产的持有成 本时， f Se( r q )T ，远期合约没有套利机会。 远期合约卖方的的收益为： R f ,T (ST f )



6.1.3 期货 期货多头的收益函数与远期的收益函数实际上是完全 一样的，不同的是把远期中的资产持有成本换成期货 执行价格。事实上期货的执行价格就等于标的资产持 有成本，F Se( r q )T 。期货多头的收益函数为： RF ,T ST F
pE max( 0, XerT SeqT )


欧式看跌期权的价值大于零，是显而易见的，因为获 得一项权利就必须付出代价。 rT qT 为了证明 pE Xe Se ，我们构造一个投资组合， 买入标的资产 Se qT ，买入看跌期权 pE ，卖出无风险 债券 Xe rT 。到期时标的资产的价值为 ST ，债券的 价值为 X 。如果 ST X ，看跌期权的价值为 X ST ， 投资组合的价值为零；如果 ST X ，看跌期权的价值 为零，投资组合的价值为 ST X 。

6.3 美式期权价格的下限和平价关系


和欧式期权一样，美式期权也存在价格上下限和平价 关系。 6.3.1 美式看涨期权的价格下限 欧式期权在到期日执行，而美式期权在到期日之前任 何时间都可以执行。美式期权的灵活性使其价值大于 欧式期权的价值。假设美式看涨期权的价值用 cA 表示， 则

如果标的资产的到期价格大于执行价格，买方损失全 部期权费；如果标的资产的到期价格小于等于执行价 格，买方的收益为 X ST pE erT ；如果标的资产的到 期价格等于盈亏平衡点， ST X pE erT ，买方的收益 为零。因为标的资产的价格没有上限，因此看跌期权 买方的损失也没有上限。

如果标的资产的到期价格大于执行时，卖方的 亏损额为 X ST cEerT ；如果标的资产的到期价 格小于等于执行价格，卖方的收益等于期权费； 如果标的资产的到期价格等于盈亏平衡点，卖 方的收益等于零。

6.1.5 看跌期权 到期时看跌期权买方的收益为：
R p ,T
rT p e E , 如果ST X rT X S p e , 如果ST X T E
6.1 收益函数

பைடு நூலகம்

为了利用金融衍生工具套期保值，我们先介绍每种金 融衍生工具的收益函数，这些金融衍生工具包括：远 期、期货、期权和组合的收益函数。 6.1.1 资产 持有资产就相当于持有资产远期，远期的执行价格等 于资产的持有成本。持有资产远期多头的收益函数为：
RS ,T ST Se(r q)T


当 ST X 时，看跌期权的价值为 X ST ，看涨期权 的价值为零。投资组合的总价值为： ST X ST 0 X 0 当 ST X 时，看跌期权的价值为零，看涨期权的价值 为 (ST X ) 。投资组合的价值为： ST 0 (ST X ) X 0
RS ,T R p ,T
q
6.2 欧式期权价格的下限和平价关系


资产的持有成本有利息成本和非利息成本/收 益，假设这两种成本都是连续复利。利息持有 成本用 r 表示，非利息持有成本用 q 表示。如 果资产带来利息收入，收益率为正，q 0 ；如 q 0 ；如 果资产有存储成本，收益率为负， 果 q 0 ，资产的持有成本只有利息成本，没有 费利息成本。 为了方便起见，我们把连续复利收益和离散复 利收益两种情况下的期权价格下限和平价关系 列于下表。
表6-3 欧式看涨看跌期权平价关系组合交易
交易类型
买入标的 资产 买入看跌 期权 卖出看涨 期权 卖出无风 险债券 组合净值
初期投资
T
时刻的价值
ST X
ST X ST
0
Se qT
ST
pE
X ST
0
cE
Xe rT
(ST X )
X
0
X
0
XerT SeqT pE cE
pE XerT SeqT



6.2.3 欧式看涨看跌期权平价关系 欧式看涨看跌期权平价关系为： cE pE SeqT XerT 为了证明上述关系的成立，我们假设投资者初期买入 标的资产 Se qT 和看跌期权 pE ，卖出看涨期权cE 和无 风险债券 Xe rT ，期限为 T 年。到期时标的资产的价 值为 ST ，无风险债券的价值为 X 。下面分两种情况 讨论投资组合到期时的价值。
cE SeqT XerT

期权的下限被称为内在价值：
max( 0, SeqT XerT )

期权的市场价格与内在价值之差称为期权的时 间价值。欧式看涨期权的时间价值为：
cE max(0, SeqT XerT )


6.2.2 欧式看跌期权的价格下限 欧式看跌期权的价格下限为

6.2.1 欧式看涨期权的价格下限 假设标的资产的当前价格为 S ，在连续复利假设下， 欧式看涨期权的价格下限为： cE max(0, SeqT XerT ) 欧式看涨期权的买方买入一项执行期权的权利，而没 有义务，看涨期权的价值必须大于等于零。 在购买期权时，没有套利机会。为了证明第二项，我 们假设卖出标的资产 Se qT ，买入看涨期权 cE ，买入 无风险债券 Xe rT 。到期时，标的资产的价值为ST ，债 券的价值为 X 。到期时组合的价值分两种情况，当 时 ST X ，看涨期权的价值为零，放弃执行期权，资 产组合的价值为 X ST ；当时 ST X ，看涨期权的价 值为 ST X ，资产组合的价值为零。
期货空头的收益等于期货多头的损失，收益函数为：
RF ,T (ST F )


期货合约的盈亏平衡点为标的资产的到期价格等于期 * 货价格， ST F 。


6.1.4 看涨期权 期权的买方为了获得买入和卖出标的资产的权利，必 须交纳期权费。持有期权不能获得标的资产的收益， 也不支付标的资产的存储成本。持有期权的成本只有 利息。 如果期权的期限为T，执行价格为X，标的资产的到期 价格为ST，欧式看涨期权的价值为cE，欧式看跌期权 的价值为pE。到期时看涨期权买方的收益为：
表6-2 欧式看跌下限组合交易
交易类型
买入标的资产 买入看跌期权 卖出无风险债 券 组合净值
初期投资
Se qT