ds4-4山东建筑大学线性代数课件
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② 由性质1，2可知，最大无关组 S0 的任何线性组合
x k11 k22 ktt
都是方程(2)的解，因此它是方程(2)的通解。 齐次线性方程组解集的最大线性无关组称为该方程组的基础解系.
15
求基础解系
设系数矩阵A 的秩为r,并不妨设A 的前r个列向量线性无关,
1
0
b11
b1, n r
于是
A
的行最简形矩阵为 B
0
0
1
br1
br
,nr
,
0
0
0
与B 对应,即有方程组
x1 b11 xr1 b1,nr xn ,
xr
br1 xr1
br,nr xn .
( 3)
16
把 xr1 ,, xn作为自由未知数，并令它们依次等于c1 ,cnr 可得方程组（1）的通解:
证 直接验证
A(ξ1 ξ2 ) Aξ1 Aξ2 0 0 0.
14
性质2 若 x ξ 1 为 (2) 的解,k 为实数,则 x kξ 1 也是 (2) 的解.
证 A(kξ1 ) k( Aξ1 ) k0 0.
若用 S 表示方程(2)的全体解向量所组成的集合, 如果能求得解集S 的一个最大无关组S0 : 1,2 , ,t , 则： ① 方程(2)的任一解都可由最大无关组 S0 线性表示,
02 30
53 12
155 69
14540
10
r2
2
1
00
r3 5r2 r4 2r2
00 0
1 5 3
12 63 42
05 02
105 06
10040
r1 1
11 0
r1 r2
0 0
01 25 13
1 3 2
0 0
0 0
0 0
X
2 3
21.
∵ |X|=1≠0, ∴X 可逆， 取 Y = X －1，
4 3
5
,
AX B, X ?
A | B初 等行变换
EEr
O
|
CC
O
X C.
对矩阵 a1, a2 , b1, b2 实行初等行变换变为最简形矩阵
2 3 5 4
a1
,
a2
,
b1
,
b2
0 1 3
2 1
1
6 5
9
4
3 5
r1 r3
r3 2r1 r4 3r1
1 1 5 3
0 2 6 4
1
3 1
2 3
22 b1 3 a1 3 a2 a3 ,
b2
4 3
a1
a2
2 3
a3.
5
定理5 设向量组 B 能由向量组 A 线性表示，则向量组 B 的 秩不大于向量组 A 的秩.即RB ≤RA
证 设向量组 B 的一个最大无关组为 B0 : b1,b2 , ,br ,
A 的一个最大无关组为 A0 : a1,a2 , ,as , 要证 r s.
1
定义7 设有向量空间 V1 及 V2 ， 若V1 V2， 就称 V1 是 V2 的子空间.
注 任何 n 维向量所组成的向量空间 V , 都是 n 维向量空间 Rn 的子空间.
定义8 设 V 为向量空间，如果 r 个向量 a1,a2 ,,ar ∈V, 且满 足：（i）a1, a2 ,, ar 线性无关； （ii）V 中任一向量都可由 a1, a2 ,, ar 线性表示， 那么，向量组 a1, a2 ,, ar 称为向量空间 V 的一个基,
12
§4 线性方程组的解的结构
一、齐次线性方程组
设有齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1 a22 x2 a2n xn 0
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
记
a11
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
,
am1 am2 amn
x1
x
x2
,
xn
则(1)式可写成向量方程 Ax 0
2
(1)
13
若 x1 11, x2 21, , xn n1 为 (1) 的解,
11
则
x
ξ1
21
n1
满足方程(2)
称之为方程组(1)的解向量,它也就是向量方程(2)的解.
根据向量方程(2), 讨论解向量的性质.
性质1 若 x ξ 1, x ξ 2 为(2)的解,则 x ξ 1 ξ 2 也是(2)的解.
无关组. 所以向量组 a1, a2 与b1,b2 等价.
11
复习
（1）n 个未知量的齐次线性方程组 Ax = 0
有非零解
R(A)<n .
只有零解
R(A)=n .
（2）n 个未知量的非齐次线性方程组 Ax = b
无解
R(A) ≠R(B)
有唯一解
R(A) = R(B) = n
有无穷多解
R(A) = R(B) < n
显然与向量组 a1, a2 ,, am 等价， 所以向量组 a1, a2 ,, am 的一个最大
无关组就是 V 的一个基，向量组的秩就是 V 的维数.
（3）若向量空间 V Rn , 则 V 的维数不会超过 n，并且，当
V 的维wenku.baidu.com为 n 时，V = Rn.
（4）若向量组 a1,a2 ,,ar 是向量空间 V 的一个基，则 V 可以表
x1
b11
b12
b1,nr
xr
br
1
br
2
br
,nr
xr1 c1 1 c2 0 cnr 0
xr
2
0
1
0
xn
0
0
1
把上式记作: x c11 c22 cnr nr
17
可知，解集中任一向量x都能由1 ,2 ,nr 线性表示 又因为矩阵(1 ,2 , ,nr )中有n-r阶子式 Enr 0 故 R(1 ,2 ,nr ) n r ξ 1,ξ 2 ,,ξ nr 线性无关. 根据最大无关组的等价定义,可知1 ,2 , ,nr是解集的最大 无关组。即1 ,2 , ,nr 是方程组（1）的基础解系。
xr
有非零解, 从而方程组 (a1, a2 ,, as )Kx 0 有非零解,
即 (b1, b2 ,, br )x 0 有非零解, 与 B0 组线性无关矛盾,
因此 r > s 不能成立, 所以 r s.
推论1 等价的向量组的秩相等.
证 设向量组 A 与向量组 B 的秩依次为 s 和 r, 因两向量组等价,
9
2 7
6
1 r2 3 0 r3 9
0
2 1
0
2 2
1
4 8
27
3 3
1 2
3
4
1 2 r1 2r3
0 1 r2 2r3
00
0 0 1
2 2
2
3 1
3
1 r1 2r2
0
1 2 3
0
0 1 0
因
A~E
，故
a1
,
a
2
,
a
为
3
R3
的一个基，
且
0
2 3
4 3
0 2 1
即只须证 A ~ E.
2 2 1
A B 2 1 2
1 4 r1 r3 1 2 0 3 r2 2r1 20 13
2 4 2 26 08 37
1 2 2 4 2 r3 2r1 20 26 13 17 48
r1 1 1
0 r3 2r2 0
2 3 0
2 6
9
4 8
r 称为向量 空间 V 的维数， 并称 V 为 r 维向量空间.
注：（1）如果向量空间 V 没有基，则 V 的维数为0. 0 维向量空间 只含一个零向量.
（2）若把向量空间 V 看作向量组，则 V 的基就是向量组的最
大无关组，V 的维数就是向量组的秩.
2
例如, 任何 n 个线性无关的 n 维向量都可以是向量空间 Rn 的 一个基，由此可知 Rn 的维数为 n . Rn 称为 n 维向量空间.
所以向量组 B 满足定义5所规定的最大无关组的条件.
9
2 3
例6
已知
a1, a2
0
1 3
2 1
1
,
5
b1
,
b2
6 5 9
证明向量组 a1, a2 与 b1, b2 等价.
证一 要证存在二阶方阵 X、Y， 使
b1, b2 a1, a2 X , a1, a2 b1, b2 Y .
4
又如，向量空间 V x 0, x2,, xn T | x2,, xn R
的一个基可取为：e2 0,1,0,,0T ,e3 0,0,1,0,,0T , , en 0,0,,0,1T ,
并由此可知它是一个 n-1 维向量空间.
再如，由向量组 a1, a2 ,, am 所生成的向量空间
V x 1a1 2a2 mam | 1, 2 ,, m R ,
注意 基础解系不是唯一的, 因此通解的表达式也不是唯一的.
18
只取向量
xr1 1
令 xr1,, xn 取下列
n
r
组数:
xr2
xn
0 0
,
由
x1 b11 xr1 b1,nr xn ,
xr
br1 xr1
br,nr xn .
0
1
,
,
0
0
10 ,
示为 V x 1a1 2a2 rar | 1,2,,r R .
3
2 2 1
例13.
设
A
a1 , a2 , a3
2
1
2 ,
1 2 2
1 4 B 0 3,
4 2
验证a1, a2 , a3 是 R3 的一个基，并把b1,b2 用这个基线性表示.
解 要证a1, a2 , a3 是 R3 的一个基， 只须证 a1, a2 , a3 线性无关.
因B0组能由B组线性表示, B 组能由 A 组线性表示, A 组能由 A0组线性表示, 故B0组能由A0组线性表示,即存在系数矩阵
K sr (kij ) 使
(b1
,
b2
,
,
br
)
(a1
,a2
,
,as
)
k11
k1r
ks1 ksr
6
如果 r > s , 则方程组
K
sr
x1
0
(简记为Kx = 0)
推论3 （最大无关组的等价定义） 设向量组 B 是向量组 A 的部分组, 且线性无关， 若向量组 A 能由向量组 B 线性表示， 则向量组 B 是向量组 A 的一个最大无关组.
证 设向量组 B 含 r 个向量, 则它的秩为 r. 因 A 组能由 B 组线性
表示, 故 A 组的秩 r, 从而 A 组中任意 r +1 个向量线性相关.
0
1
20
例12
求齐次线性方程组
2
x1 x2 x1 5x2
x3 x4 3x3 2x4
0
0,
的基础解系与通解.
7x1 7x2 3x3 x4 0
解 对系数矩阵作初等行变换
~ 1
A2 7
1 5 7
1 3 3
1 2 1
r2 2r1
r3 7r1
1 0 0
1 7 14
b11
(c1
,
c2
,,
cn
)
(a1
,
a
2
,,
a
s
)
b21
b12
b22
b1n
b2n
,
bs1 bs2 bsn
知矩阵 C 的列向量组能由 A 的列向量组线性表示,
因此 R(C) R( A). CT BT AT ,
由上述证明知 R(CT ) R(BT ),
即 R(C) R(B).
8
复习
1.向量组的秩及其最大无关组的定义 2. 向量组的秩及其最大无关组的求法 3.最大无关组的等价定义 4.封闭向量空间的定义 封闭：设 V 是一个集合，若 a,b V, R, 则 a b V；b V, 则称 V 对于加法及乘数运算是封闭的. 定义6 设 V 为 n 维非空 向量集合，且集合 V 对于加法及乘数 两种运算封闭，则称集合 V 为向量空间.
1 5 10
1 4 8
~ ~ 1
r3
2r2
0
0
1 7 0
1 5 0
1 4 0
r2 (7)
r1 r2
1
0
0
0
1 0
2 7
5 7 0
3
7
4 7
0
21
便得
x1
x2
2
7 5
7
x3 x3
3
7 4
7
x4 x4
()
令
x3 x4
1 0
及
0 1
,
则对应有
x1 x2
所以向量组a1, a2 与 b1, b2 等价.
证二 显然 a1, a2线性无关，b1,b2 也线性无关.
2 3 5 4
而
a1
,
a2
,
b1
,
b2
0 1 3
2 1
1
6 5
9
4 35
1 1 5 3
0 1 3 2
0 0
0 0
0 0
0 0
知 Ra1, a2 , b1, b2 = 2. 因此 a1, a2 与 b1, b2 都是向量组a1, a2 , b1, b2的最大
即两向量组能相互线性表示, 故 s r , r s 同时成立,
故s=r.
7
推论2 设 Cmn Ams Bsn，则 R(C)≤R(A), R(C)≤R(B).
证 设矩阵 C 和 A 用其列向量表示为 C (c1,c2 ,,cn ),
A (a1 , a2 ,, as ), 而 B (bij )sn , 由
( 3)
依次可得
x1 b11 b12
,
,
xr br1 br2
b1,n
r
, ,
br,nr
19
合起来便得基础解系：
b11
b12
br
1
ξ1 1 ,
br
2
ξ2 0 ,
,
0
1
0
0
b1,n r
br
,nr
ξnr 0 .
x k11 k22 ktt
都是方程(2)的解，因此它是方程(2)的通解。 齐次线性方程组解集的最大线性无关组称为该方程组的基础解系.
15
求基础解系
设系数矩阵A 的秩为r,并不妨设A 的前r个列向量线性无关,
1
0
b11
b1, n r
于是
A
的行最简形矩阵为 B
0
0
1
br1
br
,nr
,
0
0
0
与B 对应,即有方程组
x1 b11 xr1 b1,nr xn ,
xr
br1 xr1
br,nr xn .
( 3)
16
把 xr1 ,, xn作为自由未知数，并令它们依次等于c1 ,cnr 可得方程组（1）的通解:
证 直接验证
A(ξ1 ξ2 ) Aξ1 Aξ2 0 0 0.
14
性质2 若 x ξ 1 为 (2) 的解,k 为实数,则 x kξ 1 也是 (2) 的解.
证 A(kξ1 ) k( Aξ1 ) k0 0.
若用 S 表示方程(2)的全体解向量所组成的集合, 如果能求得解集S 的一个最大无关组S0 : 1,2 , ,t , 则： ① 方程(2)的任一解都可由最大无关组 S0 线性表示,
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53 12
155 69
14540
10
r2
2
1
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r3 5r2 r4 2r2
00 0
1 5 3
12 63 42
05 02
105 06
10040
r1 1
11 0
r1 r2
0 0
01 25 13
1 3 2
0 0
0 0
0 0
X
2 3
21.
∵ |X|=1≠0, ∴X 可逆， 取 Y = X －1，
4 3
5
,
AX B, X ?
A | B初 等行变换
EEr
O
|
CC
O
X C.
对矩阵 a1, a2 , b1, b2 实行初等行变换变为最简形矩阵
2 3 5 4
a1
,
a2
,
b1
,
b2
0 1 3
2 1
1
6 5
9
4
3 5
r1 r3
r3 2r1 r4 3r1
1 1 5 3
0 2 6 4
1
3 1
2 3
22 b1 3 a1 3 a2 a3 ,
b2
4 3
a1
a2
2 3
a3.
5
定理5 设向量组 B 能由向量组 A 线性表示，则向量组 B 的 秩不大于向量组 A 的秩.即RB ≤RA
证 设向量组 B 的一个最大无关组为 B0 : b1,b2 , ,br ,
A 的一个最大无关组为 A0 : a1,a2 , ,as , 要证 r s.
1
定义7 设有向量空间 V1 及 V2 ， 若V1 V2， 就称 V1 是 V2 的子空间.
注 任何 n 维向量所组成的向量空间 V , 都是 n 维向量空间 Rn 的子空间.
定义8 设 V 为向量空间，如果 r 个向量 a1,a2 ,,ar ∈V, 且满 足：（i）a1, a2 ,, ar 线性无关； （ii）V 中任一向量都可由 a1, a2 ,, ar 线性表示， 那么，向量组 a1, a2 ,, ar 称为向量空间 V 的一个基,
12
§4 线性方程组的解的结构
一、齐次线性方程组
设有齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1 a22 x2 a2n xn 0
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
记
a11
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
,
am1 am2 amn
x1
x
x2
,
xn
则(1)式可写成向量方程 Ax 0
2
(1)
13
若 x1 11, x2 21, , xn n1 为 (1) 的解,
11
则
x
ξ1
21
n1
满足方程(2)
称之为方程组(1)的解向量,它也就是向量方程(2)的解.
根据向量方程(2), 讨论解向量的性质.
性质1 若 x ξ 1, x ξ 2 为(2)的解,则 x ξ 1 ξ 2 也是(2)的解.
无关组. 所以向量组 a1, a2 与b1,b2 等价.
11
复习
（1）n 个未知量的齐次线性方程组 Ax = 0
有非零解
R(A)<n .
只有零解
R(A)=n .
（2）n 个未知量的非齐次线性方程组 Ax = b
无解
R(A) ≠R(B)
有唯一解
R(A) = R(B) = n
有无穷多解
R(A) = R(B) < n
显然与向量组 a1, a2 ,, am 等价， 所以向量组 a1, a2 ,, am 的一个最大
无关组就是 V 的一个基，向量组的秩就是 V 的维数.
（3）若向量空间 V Rn , 则 V 的维数不会超过 n，并且，当
V 的维wenku.baidu.com为 n 时，V = Rn.
（4）若向量组 a1,a2 ,,ar 是向量空间 V 的一个基，则 V 可以表
x1
b11
b12
b1,nr
xr
br
1
br
2
br
,nr
xr1 c1 1 c2 0 cnr 0
xr
2
0
1
0
xn
0
0
1
把上式记作: x c11 c22 cnr nr
17
可知，解集中任一向量x都能由1 ,2 ,nr 线性表示 又因为矩阵(1 ,2 , ,nr )中有n-r阶子式 Enr 0 故 R(1 ,2 ,nr ) n r ξ 1,ξ 2 ,,ξ nr 线性无关. 根据最大无关组的等价定义,可知1 ,2 , ,nr是解集的最大 无关组。即1 ,2 , ,nr 是方程组（1）的基础解系。
xr
有非零解, 从而方程组 (a1, a2 ,, as )Kx 0 有非零解,
即 (b1, b2 ,, br )x 0 有非零解, 与 B0 组线性无关矛盾,
因此 r > s 不能成立, 所以 r s.
推论1 等价的向量组的秩相等.
证 设向量组 A 与向量组 B 的秩依次为 s 和 r, 因两向量组等价,
9
2 7
6
1 r2 3 0 r3 9
0
2 1
0
2 2
1
4 8
27
3 3
1 2
3
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1 2 r1 2r3
0 1 r2 2r3
00
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3
1 r1 2r2
0
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0
0 1 0
因
A~E
，故
a1
,
a
2
,
a
为
3
R3
的一个基，
且
0
2 3
4 3
0 2 1
即只须证 A ~ E.
2 2 1
A B 2 1 2
1 4 r1 r3 1 2 0 3 r2 2r1 20 13
2 4 2 26 08 37
1 2 2 4 2 r3 2r1 20 26 13 17 48
r1 1 1
0 r3 2r2 0
2 3 0
2 6
9
4 8
r 称为向量 空间 V 的维数， 并称 V 为 r 维向量空间.
注：（1）如果向量空间 V 没有基，则 V 的维数为0. 0 维向量空间 只含一个零向量.
（2）若把向量空间 V 看作向量组，则 V 的基就是向量组的最
大无关组，V 的维数就是向量组的秩.
2
例如, 任何 n 个线性无关的 n 维向量都可以是向量空间 Rn 的 一个基，由此可知 Rn 的维数为 n . Rn 称为 n 维向量空间.
所以向量组 B 满足定义5所规定的最大无关组的条件.
9
2 3
例6
已知
a1, a2
0
1 3
2 1
1
,
5
b1
,
b2
6 5 9
证明向量组 a1, a2 与 b1, b2 等价.
证一 要证存在二阶方阵 X、Y， 使
b1, b2 a1, a2 X , a1, a2 b1, b2 Y .
4
又如，向量空间 V x 0, x2,, xn T | x2,, xn R
的一个基可取为：e2 0,1,0,,0T ,e3 0,0,1,0,,0T , , en 0,0,,0,1T ,
并由此可知它是一个 n-1 维向量空间.
再如，由向量组 a1, a2 ,, am 所生成的向量空间
V x 1a1 2a2 mam | 1, 2 ,, m R ,
注意 基础解系不是唯一的, 因此通解的表达式也不是唯一的.
18
只取向量
xr1 1
令 xr1,, xn 取下列
n
r
组数:
xr2
xn
0 0
,
由
x1 b11 xr1 b1,nr xn ,
xr
br1 xr1
br,nr xn .
0
1
,
,
0
0
10 ,
示为 V x 1a1 2a2 rar | 1,2,,r R .
3
2 2 1
例13.
设
A
a1 , a2 , a3
2
1
2 ,
1 2 2
1 4 B 0 3,
4 2
验证a1, a2 , a3 是 R3 的一个基，并把b1,b2 用这个基线性表示.
解 要证a1, a2 , a3 是 R3 的一个基， 只须证 a1, a2 , a3 线性无关.
因B0组能由B组线性表示, B 组能由 A 组线性表示, A 组能由 A0组线性表示, 故B0组能由A0组线性表示,即存在系数矩阵
K sr (kij ) 使
(b1
,
b2
,
,
br
)
(a1
,a2
,
,as
)
k11
k1r
ks1 ksr
6
如果 r > s , 则方程组
K
sr
x1
0
(简记为Kx = 0)
推论3 （最大无关组的等价定义） 设向量组 B 是向量组 A 的部分组, 且线性无关， 若向量组 A 能由向量组 B 线性表示， 则向量组 B 是向量组 A 的一个最大无关组.
证 设向量组 B 含 r 个向量, 则它的秩为 r. 因 A 组能由 B 组线性
表示, 故 A 组的秩 r, 从而 A 组中任意 r +1 个向量线性相关.
0
1
20
例12
求齐次线性方程组
2
x1 x2 x1 5x2
x3 x4 3x3 2x4
0
0,
的基础解系与通解.
7x1 7x2 3x3 x4 0
解 对系数矩阵作初等行变换
~ 1
A2 7
1 5 7
1 3 3
1 2 1
r2 2r1
r3 7r1
1 0 0
1 7 14
b11
(c1
,
c2
,,
cn
)
(a1
,
a
2
,,
a
s
)
b21
b12
b22
b1n
b2n
,
bs1 bs2 bsn
知矩阵 C 的列向量组能由 A 的列向量组线性表示,
因此 R(C) R( A). CT BT AT ,
由上述证明知 R(CT ) R(BT ),
即 R(C) R(B).
8
复习
1.向量组的秩及其最大无关组的定义 2. 向量组的秩及其最大无关组的求法 3.最大无关组的等价定义 4.封闭向量空间的定义 封闭：设 V 是一个集合，若 a,b V, R, 则 a b V；b V, 则称 V 对于加法及乘数运算是封闭的. 定义6 设 V 为 n 维非空 向量集合，且集合 V 对于加法及乘数 两种运算封闭，则称集合 V 为向量空间.
1 5 10
1 4 8
~ ~ 1
r3
2r2
0
0
1 7 0
1 5 0
1 4 0
r2 (7)
r1 r2
1
0
0
0
1 0
2 7
5 7 0
3
7
4 7
0
21
便得
x1
x2
2
7 5
7
x3 x3
3
7 4
7
x4 x4
()
令
x3 x4
1 0
及
0 1
,
则对应有
x1 x2
所以向量组a1, a2 与 b1, b2 等价.
证二 显然 a1, a2线性无关，b1,b2 也线性无关.
2 3 5 4
而
a1
,
a2
,
b1
,
b2
0 1 3
2 1
1
6 5
9
4 35
1 1 5 3
0 1 3 2
0 0
0 0
0 0
0 0
知 Ra1, a2 , b1, b2 = 2. 因此 a1, a2 与 b1, b2 都是向量组a1, a2 , b1, b2的最大
即两向量组能相互线性表示, 故 s r , r s 同时成立,
故s=r.
7
推论2 设 Cmn Ams Bsn，则 R(C)≤R(A), R(C)≤R(B).
证 设矩阵 C 和 A 用其列向量表示为 C (c1,c2 ,,cn ),
A (a1 , a2 ,, as ), 而 B (bij )sn , 由
( 3)
依次可得
x1 b11 b12
,
,
xr br1 br2
b1,n
r
, ,
br,nr
19
合起来便得基础解系：
b11
b12
br
1
ξ1 1 ,
br
2
ξ2 0 ,
,
0
1
0
0
b1,n r
br
,nr
ξnr 0 .