山大2017春季班期末考试 线性代数二(答案)
【大学资料】线性代数期末习题库及答案
� 则 �r 为秩的 A 阵矩数系 �m 为数个程方 �n 为数个量知未中 B=XA 组程方性线次齐非 �7� 。解零非有 0=XA 则�解个多穷无有 B=XA 若�D� �解零有仅 0=XA 则�解个多穷无有 B=XA 若�C� �解多穷无有 B=XA 则�解零非有 0=XA 若�B� �解一唯有 B=XA 则�解零有仅 0=XA 若�A� � � �是的确正论结
L L L L L
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能不 2β量向而�示表性线 3α�2α�1α由可 1β量向�关无性线 3α�2α�1α组量向设�11�
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0 λ− L 0 0 L L L L L 0 0 0 0 L L 1 λ− 0 1
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(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。
1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。
x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。
4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。
5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。
二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。
a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。
2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。
《线性代数》期末考试题及详细答案(本科试卷二)
XXX 学年期末考试试卷《线性代数》期末考试题及详细答案（本科试卷二）一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）；1. 若02215131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）；1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组sa a a ，，， 21课程代码：适用班级：命题教师：任课教师：线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100100000010010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)；1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=TA A （ ）。
① n2；② 12-n ； ③ 12+n ； ④ 4；2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关；② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示； ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示； ④ s ααα，，， 21中不含零向量；3. 下列命题中正确的是( )。
山西师大高等代数2017-2018(1)期末试题_pdf
院系：_____________专业：_______________班级：_________学号：___________姓名：_____________山西师范大学2017——2018学年第一学期期末考试试题（卷）密封线密封线以内不准作任何标记密封线山西师范大学期末考试试题（卷）2017—2018学年第一学期院系：数计学院专业：数学与应用数学信息与计算科学考试科目：高等代数1题号一二三四五六七八总分分数评卷人复查人一.判断题（每小题2分，共20分）1.设F 是至少包含两个数的数集,若F 中任两数的差和商(除数不为零)仍属于F ,则F 为数域.（）2.若齐次线性方程组有一个非零解，则它有无穷多个解.（）3.设A 为一个m n ⨯矩阵且()R A m n =<,则A 的任意一个m 级子式均不为0.（）4.秩相等的两个向量组等价.（）5.如果矩阵A 与B 等价，那么A 与B 的行向量组等价（）6.对称矩阵的乘积未必为对称矩阵.（）7.若一个复多项式有重因式,则这个复多项式一定有重根.（）8.若矩阵A 的所有行向量组线性无关,则A 为满秩矩阵.（）9.若n 维向量组12,,,s αααL 线性无关，则n 维向量组121,,,,,s s m ααααα+L L 也线性无关（）10.矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.（）二.填空题（每空3分，共15分）.1.设A 为3级方阵且||3A =,则||A *=（）.2.设行列式31243333,00212412D =则其第三行各元代数余子式的和为().3.设102123,014A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则A 可以写成一个对称矩阵()与一个反对称矩阵()的和.4.设向量组123(,0,),(,,0),(0,,),a c b c a b ααα===线性无关,则,,a b c 必须满足关系式().三.选择题（每小题3分，共15分）1.下列矩阵不是初等矩阵的是()A.100001010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B.100010004⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C.140001010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭D.140010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2.若n 级矩阵A 的秩为()43≥-n n ，则A 的伴随矩阵*A 的秩为（）A 2-nB 0C1D 不确定3.要使()11,0,2ξ'=，()20,1,1ξ'=-都是线性方程组0Ax =的解，只要系数矩阵A 为（）A.201011-⎛⎫ ⎪⎝⎭； B.()2,1,1-；C.102011-⎛⎫⎪-⎝⎭； D.011422011-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭4.设,,A B C 都是n 级方阵.若,B E AB C A CA =+=+,则B C -=()A.EB.E- C.AD.A-5.若向量组,,αβγ线性无关,,,αβδ线性相关,则()A.α必可由,,βγδ线性表出;B.β必不可由,,βγδ线性表出;C.δ必可由,,αβγ线性表出;D.δ必不可由,,αβγ线性表出;四．计算题（共30分）1.(7分)已知11(1,2,3),(1,,),23αβ==设,TA αβ=计算nA .2.计算(8分)设211024141,426112A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪=--= ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭.若,XA B X =+求矩阵.X 3.讨论下列方程组,当λ取何值时,方程组无解,有唯一解,有无穷多个解?并在有无穷多个解的情况下用其导出组的基础解系表示出其全部解.(15分)12312331231x x x x x x x x x λλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩五．证明题（每小题10分，共20分）1.设12,,,t ηηηL 是某一非齐次线性方程组的解，证明：1122t t μημημη+++L 也是该非齐次线性方程组的一个解的充要条件是121t μμμ+++=L 。
线性代数期末考试试卷+答案
×××大学线性代数期末考试题、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题 2分，共10分）1 -3 1P X IX 2 X 3 =02 .若齐次线性方程组 J x 1+χx 2+x 3=0只有零解，则 扎应满足X 1亠 X 2亠 X 3= 05. n 阶方阵 A 满足 A 2-3A-E = 0 ,贝U A J = _____________________ 。
、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“X” 。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则D 0。
（）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（）3. 向量组a 1, a 2,…,a m中，如果a 1与a m对应的分量成比例，则向量组 a 1, a 2,…，a s线性相关。
■为可逆矩阵A 的特征值，贝U A J 的特征值为’。
（）若三、单项选择题（每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题1.设A 为n 阶矩阵，且A = 2 ,则I AA T =（ ）。
①2n②2n'③2n1④42. n 维向量组:∙1,:-2, , ：■ S （ 3 < S < n ）线性无关的充要条件是（）。
-0 11 0 0 0 0 04. A =0 0 0 10 1 0①：'1, ：'2 ,'：'S 中任意两个向量都线性无关②＞1,-：：S 中存在一个向量不能用其余向量线性表示③：'1, -'2 ,-■ S中任一个向量都不能用其余向量线性表示1.若0 5 -12x =0,则= —23•已知矩阵A ,B ,C = (C ij )s n ,满足AC =CB ,则A 与B 分别是 _____________ 阶矩阵。
a124 .矩阵 A= a21a 22的行向量组线性31a32丿2分，共10分）11,贝U A A =A 。
2017线性代数试题及答案
（试卷一）一、 填空题（本题总计20分，每小题2分）1. 排列7623451的逆序数是 15_______。
2. 若122211211=a aa a ，则=16030322211211a aa a 33. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。
4. 若A 为n m ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 R(A)=R(A,b)=n_5.设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。
6. 设A 为三阶可逆阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1230120011A，则=*A7.若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是R （A ） ＜ n 8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 09. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。
10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k 1 1-2k+1=0二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组rααα,,,21 线性相关且秩为s ，则(D)Ａ．s r = Ｂ．s r ≤ Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶 方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A )Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34- 3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( D )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < Ｃ．)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。
C)(A *kA )(B *A k n)(C *-A k n 1)(D *A5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是B _____。
线性代数课后习题答案山大
线性代数课后习题答案山大
《线性代数课后习题答案山大》
在学习线性代数课程的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要环节。
为了帮助学生更好地掌握线性代数的知识，我们整理了一些课后习题的答案，
以便同学们在学习中进行参考和对比。
1. 矩阵A与B的乘积AB存在的充要条件是什么？如果AB存在，它的秩是多少？答：矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，AB存在。
如果AB存在，它的秩等于
矩阵A的秩。
2. 设A为n阶方阵，证明：A与A'的秩相等。
答：A与A'的秩相等是因为A与A'的秩都等于A的秩。
3. 设A为n阶方阵，证明：A与A'的行秩相等。
答：A与A'的行秩相等是因为A与A'的行空间相同。
4. 设A为n阶方阵，证明：A与A'的列秩相等。
答：A与A'的列秩相等是因为A与A'的列空间相同。
5. 设A为n阶方阵，证明：A与A'的零空间维数之和等于n。
答：A与A'的零空间维数之和等于n是因为A与A'的秩加上零空间维数等于n。
通过以上习题答案的整理，我们可以更好地理解线性代数中的一些概念和定理。
希望同学们在学习线性代数的过程中，能够加深对知识点的理解，提高解题能力，为今后的学习和工作打下坚实的基础。
线性代数(经济数学2)-习题集(含答案)
《线性代数(经济数学2）》课程习题集一、计算题11. 设三阶行列式为231021101--=D 求余子式M 11，M 12，M 13及代数余子式A 11，A 12，A 13．2. 用范德蒙行列式计算4阶行列式12534327641549916573411114--=D3. 求解下列线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++---1111322112132222111321211n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x其中 ),,2,1,,(n j i j i a a j i =≠≠4. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？5. 问λ取何值时, 齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解？二、计算题26. 计算6142302151032121----=D 的值。
7. 计算行列式5241421318320521------=D 的值。
8. 计算0111101111011110=D 的值。
9. 计算行列式199119921993199419951996199719981999的值。
10. 计算4124120210520117的值。
11. 求满足下列等式的矩阵X 。
2114332X 311113---⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭12. A 为任一方阵，证明T A A +，T AA 均为对称阵。
13. 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=212321A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=103110021B 求AB ．14. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=121311A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=212211033211B 求T )(AB 和T T A B15. 用初等变换法解矩阵方程 AX =B 其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011220111A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=121111B16. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2100430000350023A求1-A17. 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=311121111A 的逆。
大学《线性代数》2016-2017第二学期期末卷答案
大学2016—2017学年第二学期末卷课程名称： 线性代数 考试时间： 100 分钟 考试方式：闭卷一、填空题（每小题3分，共18分）1．设向量α＝（－1，2，－2，4），则其单位向量的是ß= b ＝（－0.2，0.4，－0.4，0.8） 2. 如果n 元齐次线性方程组0=Ax 有基础解系并且基础解系含有)(n s s <个解向量，那么矩阵的秩为()=A R s n -3.设矩阵A ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4321，则矩阵A 的伴随矩阵A *＝ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13244. 设 123,,λλλ为方阵270056004A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的三个特征值，则123λλλ＝ 405. 若向量组1a =(1,4,3)，2a =(-2,-3,1), 3a =(2,t,-1)线性相关,则t = 36. 已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=113421201A 满足⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=421113201BA ,写出初等矩阵B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010100001B二、单项选择题（每小题3分，共18分）7. 设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（ D ） (A)．－6 (B)．－3 (C)．3 (D)．68. 设A 为m n ⨯矩阵，且非齐次线性方程组AX b =有唯一解，则必有（ C ）(A) m n = (B)()R A m = (C) ()R A n = (D)()R A n <姓名： 学号： 教学班级： 教学小班序号：9. 设1234,,,αααα都是3维向量，则必有( B ) (A) 1234,,,αααα线性无关(B) 1234,,,αααα线性相关(C) 1α可由234,,ααα线性表示 (D) 1α不可由234,,ααα线性表示10. 设A 为n 阶方阵，则0=A 的充要条件是(B ).(A).两行（列）元素对应成比例; (B).必有一行为其余行的线性组合; (C).A 中有一行元素全为零; (D).任一行为其余行的线性组合. 11. 设A 、B 均为n 阶矩阵，下列各式恒成立的是( B ).(A). 111---=B A AB )( (B). (AB)T =B T A T (C). (A+B)2=A 2+2AB+B 2 D. (A+B)(A-B)=A 2-B 212. 若方程组 02020kx z x ky z kx y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩有非零解，则k =( D )(A). -2 (B). -1 (C). 0 (D). 2三、计算题（每小题5分，共10分）13.求行列式21021001201002。
2017级线代试卷B答案
1 2 2 3 1 0 0 1
= 1时， B 0
1
1
1
0
1
1
1
0 0 0 0
0 0 0 0
R A R B 2 3,方程组有无穷多解；
此时，
x1 x2
=1 x3
， 1
令
x3 c,得通解
0 1
X
c
11
01
其中 c为任意常数. 12
2
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本题 得分
(B) 存在可逆阵 P , 使得P T A P B;
(C) 存在可逆阵 P , Q , 使得 P A Q B ; (D) A B .
(4) 设 A , B 为 n 阶相似方阵，则下列结论错误的是
[D]
(A) R A R B ;
(B) A , B 的特征值相同 ; (C) A 与 B 同时可逆或不可逆;
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2017 级《线性代数 II》期末考试卷(B)答案
使用专业、班级
学号
姓名
题号
一
二
三
四
五
六
七
得分
l
总分
本题 得分
一、填空题(每小题 4 分, 共 24 分)
2 0 0
(1 )
设矩阵
A
0
3
4
,则
A 1 =
0 4 5
1 2
0
0
0 0
5 4
4
3
.
(2) 设向量 = 1 , 1 , 0 T , 2 , 3 , 1 ,矩阵 A , 则 A100
又由1 , 2 , 3 线性相关 可知 3 能由1 , 2 线性表示 若 1 , 2 , 3 4 线性相关，则 3 4 能由 1 , 2 线性表示 故 4 能由 1 , 2 线性表示 即1 , 2 , 4 线性相关 与1 , 2 , 4 线性无关矛盾. 因此 1 , 2 , 3 4 线性无关.
线性代数 期末测试题及其答案
线性代数期末考试题之杨若古兰创作一、填空题（将准确答案填在题中横线上.每小题5分，共25分）1.2足.3是阶矩阵.45二、选择题（每小题5分，共25分）6当t 取何值时，该二次型为正定？（ ）7．已知矩阵，求的值（ ）8．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不准确的是（ ）A的行向量组线性相干9．过点（0，2，4行的直线方程为（）10其特征值为（）三、解答题（每小题10分，共50分）11.矩足关系式12.问取何值时，以下向量组线性相干？解和有没有量多解？当方程组有没有量多解时求其通解.14.求此向量组的秩和一个极大有关组，并将其余向量用该极大有关组线性暗示. 15.证实其中线性代数期末考试题答案一、填空题1. 5.解析:采取对角线法则,考查常识点:行列式的计算.难度系数:解析:要使该现行方程组只要零解,考查常识点:线性方程组的求解难度系数:解析;,,,阶矩阵.考查常识点:n 阶矩阵的性质难度系数: 4. 24解析:由题可知3考查常识点:矩阵的运算 难度系数: 解析:考查常识点:求解矩阵的逆矩阵 难度系数:二、选择题 6. A解析：由题可知，该二次型矩阵为，而此时，该二次型正定.考查常识点:二次型正定的判断难度系数7. C解析：由矩阵特征值性质有1-3+3=1+x+5，可解得x=-5. 考查常识点:n 阶矩阵特征值的性质 难度系数:8. D解析：由题可知，A 为n 阶可逆矩阵，则A 的行向量组线性有关.考查常识点:n 阶可逆矩阵的性质 难度系数:9. A.解析：由题可知，两平面法向量分别为，则所求直线的方向向量为考查常识点:求空间平面交线平行的直线方程 难度系数:10. C.考查常识点:求解矩阵的特征值三、解答题11.解：考查常识点:矩阵方程的运算求解难度系数:12.解：.考查常识点:向量组的线性相干性难度系数:13.解：③当时，有没有量多组解，通解为考查常识点:线性方程组的求解14.解：由题可知,且线性关系为考查常识点:向量组的秩与最大有关组难度系数:15.证实：由题可知,考查常识点:n 阶方阵的性质难度系数:。
线性代数考试练习题带答案大全(二)
线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。
(A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。
9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。
(完整版)2017年山东省春季高考数学试题
D、 288
12、若 a,b, c 均为实数，且 a b 0 ，则下列不等式成立的是（ ）
the 是（ ） in A、 f (x) 2x2 8x 11
B、 f (x) 2x2 8x 1
gs C、 f (x) 2x2 4x 3
D、 f (x) 2x2 4x 3
thin 5、等差数列an中， a1 5 ， a3 是 4 与 49 的等比中项，且 a3 0 ，则 a5 等于（
od A、 2, 2
B、 , 22,
re go C、2,2
D、 , 2 2,
a 3、下列函数中，在区间 , 0上为增函数的是（
）
eing A、 y x
B、 y 1
C、 y 1 x
D、 y x
ir b 4、二次函数 f (x) 的图象经过两点 0,3， 2,3且最大值是 5 ，则该函数的解析式
30、已知椭圆 x2 y2 1(a b 0) 的右焦点与抛物线 y2 4x 的焦点 F 重合，且 a2 b2 1
椭圆的离心率是 ，如图所示. 2
（1）求椭圆的标准方程；
（2）抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点 A ，过点 A 作抛物线的切线 l ， l 与椭圆的另一个交点为 B ，求线段 AB 的长。
）
A、 3x y 1 0
B、 x 3y 5 0
C、 3x y 3 0
D、 x 3y 5 0
11、文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有 4 个歌舞类节目和 2 个语言类节目，若从中任
意选出 4 个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是（ ）
A、 72
B、 120
C、 144
（1）求函数 f (x) 的定义域，并判断函数 f (x) 的奇偶性；
《线性代数、概率统计》期末考试试卷及详细答案 二
《线性代数、概率论》期末考试试卷答案一、选择题（每小题后均有代号分别为A, B, C, D的被选项, 其中只有一项是正确的, 将正确一项的代号填在横线上，每小题2分，共40分）：1．行列式G的某一行中所有元素都乘以同一个数k得行列式H，则------------C-------------;(A) G=H ；(B) G= 0 ；(C) H=kG ；(D) G=kH 。
2．在行列式G中，A ij是元素a ij的代数余子式，则a1j A1k+ a2j A2k+…+a nj A nk--------D------;(A) ≠G (j=k=1,2,…,n时) ；(B) =G（j, k=1,2,…,n; j≠k时) ；(C) =0 (j=k=1,2,…,n时) ；(D) =0（j, k=1,2,…,n ;j≠k时) 。
3．若G，H都是n⨯ n可逆矩阵，则----------B------------；(A) (G+H)-1=H-1+G-1；(B) (GH)-1=H-1G-1；(C) (G+H)-1=G-1+H-1；(D) (GH)-1=G-1H-1。
4．若A是n⨯ n可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵, 则--------A----------；(A) |A*|=|A|n-1；(B) |A*|=|A|n ；(C) |A*|=|A|n+1；(D) |A*|=|A|。
5．设向量组α1, α2,…,αr (r>2)线性相关, 向量β与α1维数相同，则------------C----------- (A) α1, α2,…,αr-1 线性相关；(B) α1, α2,…,αr-1 线性无关；(C) α1, α2,…,αr ,β线性相关；(D) α1, α2,…,αr ,β线性无关。
6．设η1, η2, η3是5元齐次线性方程组AX=0的一组基础解系, 则在下列中错误的是D-------------------(A) η1, η2, η3线性无关；(B) X=η1+η2+ η3是AX=0的解向量；(C) A的秩R(A)=2；(D) η1, η2, η3是正交向量组。
2017年山东省春季高考数学试卷解析版
2017年山东省春季高考数学试卷一、选择题1．全集U={1，2}，集合M={1}，那么∁UM等于〔〕A．∅B．{1} C．{2} D．{1，2}2．函数的定义域是〔〕A．[﹣2，2] B．〔﹣∞，﹣2]∪[2，+∞〕C．〔﹣2，2〕D．〔﹣∞，﹣2〕∪〔2，+∞〕3．以下函数中，在区间〔﹣∞，0〕上为增函数的是〔〕A．y=x B．y=1 C．D．y=|x|4．二次函数f〔x〕的图象经过两点〔0，3〕，〔2，3〕且最大值是5，那么该函数的解析式是〔〕A．f〔x〕=2x2﹣8x+11 B．f〔x〕=﹣2x2+8x﹣1 C．f〔x〕=2x2﹣4x+3 D．f〔x〕=﹣2x2+4x+35．等差数列{an }中，a1=﹣5，a3是4与49的等比中项，且a3＜0，那么a5等于〔〕A．﹣18 B．﹣23 C．﹣24 D．﹣326．A〔3，0〕，B〔2，1〕，那么向量的单位向量的坐标是〔〕A．〔1，﹣1〕B．〔﹣1，1〕C．D．7．“p∨q为真〞是“p为真〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．函数y=cos2x﹣4cosx+1的最小值是〔〕A．﹣3 B．﹣2 C．5 D．69．以下说法正确的选项是〔〕A．经过三点有且只有一个平面B．经过两条直线有且只有一个平面C．经过平面外一点有且只有一个平面与平面垂直D．经过平面外一点有且只有一条直线与平面垂直10．过直线x+y+1=0与2x﹣y﹣4=0的交点，且一个方向向量的直线方程是〔〕A．3x+y﹣1=0 B．x+3y﹣5=0 C．3x+y﹣3=0 D．x+3y+5=011．文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，假设从中任意选出4个排成节目单，那么能排出不同节目单的数量最多是〔〕A．72 B．120 C．144 D．28812．假设a，b，c均为实数，且a＜b＜0，那么以下不等式成立的是〔〕A．a+c＜b+c B．ac＜bc C．a2＜b2D．x，假设f〔﹣1〕=g〔9〕，那么实数k的值是13．函数f〔x〕=2kx，g〔x〕=log3〔〕A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣214．如果，，那么等于〔〕A．﹣18 B．﹣6 C．0 D．1815．角α的终边落在直线y=﹣3x上，那么cos〔π+2α〕的值是〔〕A．B．C．D．16．二元一次不等式2x ﹣y ＞0表示的区域〔阴影局部〕是〔 〕A ．B ．C ．D ．17．圆C 1和C 2关于直线y=﹣x 对称，假设圆C 1的方程是〔x+5〕2+y 2=4，那么圆C 2的方程是〔 〕A ．〔x+5〕2+y 2=2B ．x 2+〔y+5〕2=4C ．〔x ﹣5〕2+y 2=2D ．x 2+〔y ﹣5〕2=4 18．假设二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的常数项是〔 〕 A ．20 B ．﹣20C ．15D ．﹣1519．从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手，参加山东省职业院校技能大赛，在同样条件下经过多轮测试，成绩分析如表所示，根据表中数据判断，最正确人选为〔 〕 成绩分析表甲 乙 丙 丁平均成绩 96 96 85 85 标准差s4242A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 20．A 1，A 2为双曲线〔a ＞0，b ＞0〕的两个顶点，以A 1A 2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于M ，N 两点，假设△A 1MN 的面积为，那么该双曲线的离心率是〔 〕 A ．B ．C ．D ．二、填空题：21．假设圆锥的底面半径为1，母线长为3，那么该圆锥的侧面积等于． 22．在△ABC 中，a=2，b=3，∠B=2∠A ，那么cosA=． 23．F 1，F 2是椭圆+=1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于P 、Q 两点，那么△PQF 2的周长等于．24．某博物馆需要志愿者协助工作，假设从6名志愿者中任选3名，那么其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是． 25．对于实数m ，n ，定义一种运算：，函数f 〔x 〕=a*a x ，其中0＜a ＜1，假设f 〔t ﹣1〕＞f 〔4t 〕，那么实数t 的取值范围是．三、解答题：26．函数f 〔x 〕=log 2〔3+x 〕﹣log 2〔3﹣x 〕，〔1〕求函数f 〔x 〕的定义域，并判断函数f 〔x 〕的奇偶性； 〔2〕f 〔sinα〕=1，求α的值．27．某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了缴纳保险费的两种方案： ①一次性缴纳50万元，可享受9折优惠；②按照航行天数交纳：第一天缴纳0.5元，从第二天起每天交纳的金额都是其前一天的2倍，共需交纳20天．请通过计算，帮助王亮同学判断那种方案交纳的保费较低．28．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D ，E 分别是AB ，A 1C 1的中点，如下图．〔1〕求证：DE ∥平面BCC 1B 1；〔2〕求DE 与平面ABC 所成角的正切值．29．函数．〔1〕求该函数的最小正周期； 〔2〕求该函数的单调递减区间；〔3〕用“五点法〞作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图． 30．椭圆的右焦点与抛物线y 2=4x 的焦点F 重合，且椭圆的离心率是，如下图． 〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点A ，过点A 作抛物线的切线l ，l 与椭圆的另一个交点为B ，求线段AB 的长．2017年山东省春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题M等于〔〕1．全集U={1，2}，集合M={1}，那么∁UA．∅B．{1} C．{2} D．{1，2}【考点】1F：补集及其运算．【分析】根据补集的定义求出M补集即可．M={2}．【解答】解：全集U={1，2}，集合M={1}，那么∁U应选：C．2．函数的定义域是〔〕A．[﹣2，2] B．〔﹣∞，﹣2]∪[2，+∞〕C．〔﹣2，2〕D．〔﹣∞，﹣2〕∪〔2，+∞〕【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据函数y的解析式，列出不等式求出x的取值范围即可．【解答】解：函数，∴|x|﹣2＞0，即|x|＞2，解得x＜﹣2或x＞2，∴函数y的定义域是〔﹣∞，﹣2〕∪〔2，+∞〕．应选：D．3．以下函数中，在区间〔﹣∞，0〕上为增函数的是〔〕A．y=x B．y=1 C．D．y=|x|【考点】3E：函数单调性的判断与证明．【分析】根据根本初等函数的单调性，判断选项中的函数是否满足条件即可．【解答】解：对于A，函数y=x，在区间〔﹣∞，0〕上是增函数，满足题意；对于B，函数y=1，在区间〔﹣∞，0〕上不是单调函数，不满足题意；对于C，函数y=，在区间〔﹣∞，0〕上是减函数，不满足题意；对于C，函数y=|x|，在区间〔﹣∞，0〕上是减函数，不满足题意．应选：A．4．二次函数f〔x〕的图象经过两点〔0，3〕，〔2，3〕且最大值是5，那么该函数的解析式是〔〕A．f〔x〕=2x2﹣8x+11 B．f〔x〕=﹣2x2+8x﹣1 C．f〔x〕=2x2﹣4x+3 D．f〔x〕=﹣2x2+4x+3【考点】3W：二次函数的性质．【分析】由题意可得对称轴x=1，最大值是5，故可设f〔x〕=a〔x﹣1〕2+5，代入其中一个点的坐标即可求出a的值，问题得以解决【解答】解：二次函数f〔x〕的图象经过两点〔0，3〕，〔2，3〕，那么对称轴x=1，最大值是5，可设f〔x〕=a〔x﹣1〕2+5，于是3=a+5，解得a=﹣2，故f 〔x 〕=﹣2〔x ﹣1〕2+5=﹣2x 2+4x+3， 应选：D ．5．等差数列{a n }中，a 1=﹣5，a 3是4与49的等比中项，且a 3＜0，那么a 5等于〔 〕A ．﹣18B ．﹣23C ．﹣24D ．﹣32【考点】8F ：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式．【分析】根据题意，由等比数列的性质可得〔a 3〕2=4×49，结合解a 3＜0可得a 3的值，进而由等差数列的性质a 5=2a 3﹣a 1，计算即可得答案． 【解答】解：根据题意，a 3是4与49的等比中项， 那么〔a 3〕2=4×49，解可得a 3=±14， 又由a 3＜0，那么a 3=﹣14， 又由a 1=﹣5，那么a 5=2a 3﹣a 1=﹣23， 应选：B ．6．A 〔3，0〕，B 〔2，1〕，那么向量的单位向量的坐标是〔 〕A ．〔1，﹣1〕B ．〔﹣1，1〕C ．D ．【考点】95：单位向量． 【分析】先求出=〔﹣1，1〕，由此能求出向量的单位向量的坐标．【解答】解：∵A 〔3，0〕，B 〔2，1〕， ∴=〔﹣1，1〕，∴||=，∴向量的单位向量的坐标为〔，〕，即〔﹣，〕．应选：C ．7．“p∨q为真〞是“p为真〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由真值表可知：“p∨q为真命题〞那么p或q为真命题，故由充要条件定义知p∨q为真〞是“p为真〞必要不充分条件【解答】解：“p∨q为真命题〞那么p或q为真命题，所以“p∨q为真〞推不出“p为真〞，但“p为真〞一定能推出“p∨q为真〞，故“p∨q为真〞是“p为真〞的必要不充分条件，应选：B．8．函数y=cos2x﹣4cosx+1的最小值是〔〕A．﹣3 B．﹣2 C．5 D．6【考点】HW：三角函数的最值．【分析】利用查余弦函数的值域，二次函数的性质，求得y的最小值．【解答】解：∵函数y=cos2x﹣4cosx+1=〔cox﹣2〕2﹣3，且cosx∈[﹣1，1]，故当cosx=1时，函数y取得最小值为﹣2，应选：B．9．以下说法正确的选项是〔〕A．经过三点有且只有一个平面B．经过两条直线有且只有一个平面C．经过平面外一点有且只有一个平面与平面垂直D．经过平面外一点有且只有一条直线与平面垂直【考点】LJ：平面的根本性质及推论．【分析】在A中，经过共线的三点有无数个平面；在B中，两条异面直线不能确定一个平面；在C中，经过平面外一点无数个平面与平面垂直；在D中，由线面垂直的性质得经过平面外一点有且只有一条直线与平面垂直．【解答】在A中，经过不共线的三点且只有一个平面，经过共线的三点有无数个平面，故A错误；在B中，两条相交线能确定一个平面，两条平行线能确定一个平面，两条异面直线不能确定一个平面，故B错误；在C中，经过平面外一点无数个平面与平面垂直，故C错误；在D中，由线面垂直的性质得经过平面外一点有且只有一条直线与平面垂直，故D正确．应选：D．10．过直线x+y+1=0与2x﹣y﹣4=0的交点，且一个方向向量的直线方程是〔〕A．3x+y﹣1=0 B．x+3y﹣5=0 C．3x+y﹣3=0 D．x+3y+5=0【考点】IB：直线的点斜式方程．【分析】求出交点坐标，代入点斜式方程整理即可．【解答】解：由，解得：，由方向向量得：直线的斜率k=﹣3，故直线方程是：y+2=﹣3〔x ﹣1〕， 整理得：3x+y ﹣1=0， 应选：A ．11．文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，假设从中任意选出4个排成节目单，那么能排出不同节目单的数量最多是〔 〕A ．72B ．120C ．144D ．288【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、取出的4个节目都是歌舞类节目，②、取出的4个节目有3个歌舞类节目，1个语言类节目，③、取出的4个节目有2个歌舞类节目，2个语言类节目，分别求出每种情况下可以排出节目单的数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：①、取出的4个节目都是歌舞类节目，有1种取法，将4个节目全排列，有A 44=24种可能，即可以排出24个不同节目单，②、取出的4个节目有3个歌舞类节目，1个语言类节目， 有C 21C 43=8种取法，将4个节目全排列，有A 44=24种可能， 那么以排出8×24=192个不同节目单，③、取出的4个节目有2个歌舞类节目，2个语言类节目，有C 22C 42=6种取法，将2个歌舞类节目全排列，有A 22=2种情况，排好后有3个空位，在3个空位中任选2个，安排2个语言类节目，有A 32=6种情况， 此时有6×2×6=72种可能， 就可以排出72个不同节目单，那么一共可以排出24+192+72=288个不同节目单， 应选：D ．12．假设a ，b ，c 均为实数，且a ＜b ＜0，那么以下不等式成立的是〔 〕 A ．a+c ＜b+c B ．ac ＜bc C ．a 2＜b 2 D ．【考点】R3：不等式的根本性质．【分析】A ，由a ＜b ＜0，可得a+c ＜b+c ； B ，c 的符号不定，那么ac ，bc 大小关系不定； C ，由a ＜b ＜0，可得a 2＞b 2； D ，由a ＜b ＜0，可得﹣a ＞﹣b ⇒；【解答】解：对于A ，由a ＜b ＜0，可得a+c ＜b+c ，故正确； 对于B ，c 的符号不定，那么ac ，bc 大小关系不定，故错； 对于C ，由a ＜b ＜0，可得a 2＞b 2，故错； 对于D ，由a ＜b ＜0，可得﹣a ＞﹣b ⇒，故错；应选：A13．函数f 〔x 〕=2kx ，g 〔x 〕=log 3x ，假设f 〔﹣1〕=g 〔9〕，那么实数k 的值是〔 〕A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【考点】4H：对数的运算性质．9=2=f〔﹣1〕=2﹣k，解得即可．【分析】由g〔9〕=log39=2=f〔﹣1〕=2﹣k，【解答】解：g〔9〕=log3解得k=﹣1，应选：C14．如果，，那么等于〔〕A．﹣18 B．﹣6 C．0 D．18【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由求出及与的夹角，代入数量积公式得答案．【解答】解：∵，，∴，且＜＞=π．那么==3×6×〔﹣1〕=﹣18．应选：A．15．角α的终边落在直线y=﹣3x上，那么cos〔π+2α〕的值是〔〕A．B．C．D．【考点】GO：运用诱导公式化简求值；G9：任意角的三角函数的定义．【分析】由直线方程，设出直线上点的坐标，可求cosα，利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式可求cos〔π+2α〕的值．【解答】解：假设角α的终边落在直线y=﹣3x上，〔1〕当角α的终边在第二象限时，不妨取x=﹣1，那么y=3，r==，所以cosα=，可得cos 〔π+2α〕=﹣cos2α=1﹣2cos 2α=；〔2〕当角α的终边在第四象限时，不妨取x=1，那么y=﹣3，r==，所以sinα=，cosα=，可得cos 〔π+2α〕=﹣cos2α=1﹣2cos 2α=，应选：B ．16．二元一次不等式2x ﹣y ＞0表示的区域〔阴影局部〕是〔 〕A ．B ．C ．D ．【考点】7B ：二元一次不等式〔组〕与平面区域．【分析】利用二元一次不等式〔组〕与平面区域的关系，通过特殊点判断即可．【解答】解：因为〔1，0〕点满足2x ﹣y ＞0，所以二元一次不等式2x ﹣y ＞0表示的区域〔阴影局部〕是：C ． 应选：C ．17．圆C 1和C 2关于直线y=﹣x 对称，假设圆C 1的方程是〔x+5〕2+y 2=4，那么圆C 2的方程是〔 〕A ．〔x+5〕2+y 2=2B ．x 2+〔y+5〕2=4C ．〔x ﹣5〕2+y 2=2D ．x 2+〔y ﹣5〕2=4 【考点】J1：圆的标准方程．【分析】由圆的方程求出圆心坐标和半径，求出圆C 1的圆心关于y=﹣x 的对称点，再由圆的标准方程得答案．【解答】解：由圆C 1的方程是〔x+5〕2+y 2=4，得圆心坐标为〔﹣5，0〕，半径为2，设点〔﹣5，0〕关于y=﹣x 的对称点为〔x 0，y 0〕，那么，解得．∴圆C 2的圆心坐标为〔0，5〕， 那么圆C 2的方程是x 2+〔y ﹣5〕2=4． 应选：D ．18．假设二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的常数项是〔 〕 A ．20 B ．﹣20C ．15D ．﹣15【考点】DB ：二项式系数的性质．【分析】先求出n 的值，可得二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值． 【解答】解：∵二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，∴n=6，那么展开式中的通项公式为 T r+1=C 6r •〔﹣1〕r •x．令6﹣3r=0，求得r=2，故展开式中的常数项为 C 62•〔﹣1〕2=15， 应选：C ．19．从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手，参加山东省职业院校技能大赛，在同样条件下经过多轮测试，成绩分析如表所示，根据表中数据判断，最正确人选为〔 〕 成绩分析表甲 乙 丙 丁平均成绩 96 96 85 85 标准差s4242A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 【考点】BC ：极差、方差与标准差．【分析】根据平均成绩高且标准差小，两项指标选择即可．【解答】解：根据表中数据知，平均成绩较高的是甲和乙，标准差较小的是乙和丙，由此知乙同学成绩较高，且发挥稳定，应选乙参加． 应选：B ．20．A 1，A 2为双曲线〔a ＞0，b ＞0〕的两个顶点，以A 1A 2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于M ，N 两点，假设△A 1MN 的面积为，那么该双曲线的离心率是〔 〕 A ．B ．C ．D ．【考点】KC ：双曲线的简单性质．【分析】由题意求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求得A 1〔﹣a ，0〕到直线渐近线的距离d ，根据三角形的面积公式，即可求得△A 1MN 的面积，即可求得a 和b 的关系，利用双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：由双曲线的渐近线方程y=±x ，设以A 1A 2为直径的圆与双曲线的渐近线y=x 交于M ，N 两点，那么A〔﹣a，0〕到直线y=x的距离d==，1MN的面积S=×2a×==，整理得：b=c，△A1那么a2=b2﹣c2=c2，即a=c，双曲线的离心率e==，应选B．二、填空题：21．假设圆锥的底面半径为1，母线长为3，那么该圆锥的侧面积等于3π．【考点】L5：旋转体〔圆柱、圆锥、圆台〕．【分析】圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为l，弧长为2π，那么圆锥侧面积S=πrl，由此能求出结果．【解答】解：圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为l，弧长为2πr∴圆锥侧面积：S==πrl=π×1×3=3π．故答案为：3π．22．在△ABC 中，a=2，b=3，∠B=2∠A ，那么cosA=． 【考点】HR ：余弦定理．【分析】由二倍角的正弦函数公式，正弦定理即可计算得解． 【解答】解：∵∠B=2∠A ， ∴sin ∠B=2sin ∠Acos ∠A ， 又∵a=2，b=3， ∴由正弦定理可得：，∵sin ∠A ≠0， ∴cos ∠A=． 故答案为：．23．F 1，F 2是椭圆+=1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于P 、Q 两点，那么△PQF 2的周长等于 24 ． 【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的定义|PF 1|+|PF 2|=2a=12，|QF 1|+|QF 2|=2a=12即可求得△PQF 2的周长． 【解答】解：椭圆+=1的焦点在y 轴上，那么a=6，b=4，设△PQF 2的周长为l ，那么l=|PF 2|+|QF 2|+|PQ|，=〔|PF 1|+|PF 2|〕+〔|QF 1|+|QF 2|〕 =2a+2a ， =4a=24．∴△PQF 2的周长24， 故答案为：24．24．某博物馆需要志愿者协助工作，假设从6名志愿者中任选3名，那么其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是． 【考点】CB ：古典概型及其概率计算公式． 【分析】先求出根本领件总数n=，其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中包含的根本领件个数：m==4，由此能求出甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率．【解答】解：某博物馆需要志愿者协助工作，从6名志愿者中任选3名， 根本领件总数n=，其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中包含的根本领件个数：m==4，∴其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是：p===．故答案为：．25．对于实数m ，n ，定义一种运算：，函数f 〔x 〕=a*a x ，其中0＜a ＜1，假设f 〔t ﹣1〕＞f 〔4t 〕，那么实数t 的取值范围是 〔﹣，2]． 【考点】5B ：分段函数的应用．【分析】求出f 〔x 〕的解析式，得出f 〔x 〕的单调性，根据单调性得出t ﹣1和4t 的大小关系，从而可得t 的范围． 【解答】解：∵0＜a ＜1，∴当x ≤1时，a x ≥a ，当x ＞1时，a ＞a x ， ∴f 〔x 〕=．∴f 〔x 〕在〔﹣∞，1]上单调递减，在〔1，+∞〕上为常数函数， ∵f 〔t ﹣1〕＞f 〔4t 〕，∴t ﹣1＜4t ≤1或t ﹣1≤1＜4t ， 解得﹣＜t ≤或．∴﹣．故答案为：〔﹣，2]．三、解答题：26．函数f 〔x 〕=log 2〔3+x 〕﹣log 2〔3﹣x 〕，〔1〕求函数f 〔x 〕的定义域，并判断函数f 〔x 〕的奇偶性； 〔2〕f 〔sinα〕=1，求α的值．【考点】4N ：对数函数的图象与性质．【分析】〔1〕要使函数f 〔x 〕=log 2〔3+x 〕﹣log 2〔3﹣x 〕有意义，那么⇒﹣3＜x ＜3即可，由f 〔﹣x 〕=log 2〔3﹣x 〕﹣log 2〔3+x 〕=﹣f 〔x 〕，可判断函数f 〔x 〕为奇函数．〔2〕令f 〔x 〕=1，即，解得x=1．即sinα=1，可求得α．【解答】解：〔1〕要使函数f 〔x 〕=log 2〔3+x 〕﹣log 2〔3﹣x 〕有意义，那么⇒﹣3＜x ＜3，∴函数f 〔x 〕的定义域为〔﹣3，3〕；∵f 〔﹣x 〕=log 2〔3﹣x 〕﹣log 2〔3+x 〕=﹣f 〔x 〕，∴函数f 〔x 〕为奇函数． 〔2〕令f 〔x 〕=1，即，解得x=1．∴sinα=1， ∴α=2k，〔k ∈Z 〕．27．某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了缴纳保险费的两种方案： ①一次性缴纳50万元，可享受9折优惠；②按照航行天数交纳：第一天缴纳0.5元，从第二天起每天交纳的金额都是其前一天的2倍，共需交纳20天．请通过计算，帮助王亮同学判断那种方案交纳的保费较低． 【考点】5D ：函数模型的选择与应用．【分析】分别计算两种方案的缴纳额，即可得出结论． 【解答】解：假设按方案①缴费，需缴费50×0.9=45万元；假设按方案②缴费，那么每天的缴费额组成等比数列，其中a 1=，q=2，n=20，∴共需缴费S 20===219﹣=524288﹣≈52.4万元，∴方案①缴纳的保费较低．28．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D ，E 分别是AB ，A 1C 1的中点，如下图．〔1〕求证：DE ∥平面BCC 1B 1；〔2〕求DE 与平面ABC 所成角的正切值．【考点】MI ：直线与平面所成的角；LS ：直线与平面平行的判定．【分析】〔1〕取AC 的中点F ，连结EF ，DF ，那么EF ∥CC 1，DF ∥BC ，故平面DEF ∥平面BCC 1B 1，于是DE ∥平面BCC 1B 1． 〔2〕在Rt △DEF 中求出tan ∠EDF ．【解答】〔1〕证明：取AC 的中点F ，连结EF ，DF ， ∵D ，E ，F 分别是AB ，A 1C 1，AC 的中点，∴EF ∥CC 1，DF ∥BC ，又DF ∩EF=F ，AC ∩CC 1=C ， ∴平面DEF ∥平面BCC 1B 1，又DE ⊂平面DEF ， ∴DE ∥平面BCC 1B 1．〔2〕解：∵EF ∥CC 1，CC 1⊥平面BCC 1B 1． ∴EF ⊥平面BCC 1B 1，∴∠EDF 是DE 与平面ABC 所成的角， 设三棱柱的棱长为1，那么DF=，EF=1， ∴tan ∠EDF=．29．函数．〔1〕求该函数的最小正周期； 〔2〕求该函数的单调递减区间；〔3〕用“五点法〞作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图． 【考点】HI ：五点法作函数y=Asin 〔ωx +φ〕的图象；H2：正弦函数的图象． 【分析】〔1〕由利用两角差的正弦函数公式可得y=3sin 〔2x ﹣〕，利用周期公式即可得解． 〔2〕令2kπ+≤2x ﹣≤2kπ+，k ∈Z ，解得：kπ+≤x ≤kπ+，k ∈Z ，可得函数的单调递减区间．〔3〕根据五点法作图的方法先取值，然后描点即可得到图象． 【解答】解：〔1〕∵=3sin 〔2x ﹣〕，∴函数的最小正周期T==π．〔2〕∵令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k ∈Z，∴函数的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]，k∈Z，〔3〕列表：x2x﹣0π2πy030﹣30描点、连线如下图：30．椭圆的右焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合，且椭圆的离心率是，如下图．〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点A，过点A作抛物线的切线l，l与椭圆的另一个交点为B，求线段AB的长．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】〔1〕根据题意得F〔1，0〕，即c=1，再通过e=及c2=a2﹣b2计算可得椭圆的方程；〔2〕将准线方程代入椭圆方程，求得A点坐标，求得抛物线的切线方程，由△=0，求得k的值，分别代入椭圆方程，求得B点坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得线段AB的长．【解答】解：〔1〕根据题意，得F〔1，0〕，∴c=1，又e=，∴a=2，∴b2=a2﹣c2=3，故椭圆的标准方程为：〔2〕抛物线的准线方程为x=﹣1由，解得，，由A位于第二象限，那么A〔﹣1，〕，过点A作抛物线的切线l的方程为：即直线l：4x﹣3y﹣4=0由整理得整理得：ky 2﹣4y+4k+6=0，当k=0，解得：y=，不符合题意，当k ≠0，由直线与抛物线相切，那么△=0， ∴〔﹣4〕2﹣4k 〔4k+6〕=0，解得：k=或k=﹣2， 当k=时，直线l 的方程y ﹣=〔x+1〕，那么，整理得：〔x+1〕2=0，直线与椭圆只有一个交点，不符合题意，当k=﹣2时，直线l 的方程为y ﹣=﹣2〔x+1〕，由，整理得：19x 2+8x ﹣11=0，解得：x 1=﹣1，x 2=，那么y 1=，y 2=﹣，由以上可知点A 〔﹣1，〕，B 〔，﹣〕，∴丨AB 丨==，综上可知：线段AB 长度为2017年7月12日。
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线性代数二
一．单选题.
1. 若)541()1(l k N -55
443211a a a a a l k 是五阶行列式ij a 的一项，则k 、l 的值及该项符号为（ A ）． （A ）2=k ，3=l ，符号为负； (B) 2=k ，3=l 符号为正；
(C) 3=k ，2=l ，符号为负； (D) 1=k ，2=l ，符号为正．
2. 下列行列式（ A ）的值必为零．
(A) n 阶行列式中，零元素个数多于n n -2个；
(B) n 阶行列式中，零元素个数小于n n -2个；
(C) n 阶行列式中，零元素个数多于n 个；
(D) n 阶行列式中，零元素的个数小于n 个．
3. 设A ，B 均为n 阶方阵，若()()2
2B A B A B A -=-+，则必有（ D ）． （A ）I A =； (B)O B =； (C)B A =； (D)BA
AB =． 4. 设A 与B 均为n n ⨯矩阵，则必有（ C ）．
（A ）B A B A +=+；（B ）BA AB =；（C ）BA AB =；（D ）()111
---+=+B A B A ． 5. 如果向量β可由向量组s ααα,....,,21线性表出，则（ D ）
(A) 存在一组不全为零的数s k k k ,....,,21，使等式
s s k k k αααβ+++=....2211成立 (B) 存在一组全为零的数s k k k ,....,,21，使等式
s s k k k α
ααβ+++=....2211成立 (C) 对β的线性表示式不唯一 (D) 向量组s αααβ,....,,,21线性相关
6. 齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充要条件是（ C ）
(A)系数矩阵A 的任意两个列向量线性相关
(B) 系数矩阵A 的任意两个列向量线性无关
(C )必有一列向量是其余向量的线性组合
(D)任一列向量都是其余向量的线性组合
7. 设n 阶矩阵A 的一个特征值为λ，则(λA －1)2＋I 必有特征值（ C ）
(a)λ2+1 (b)λ2-1 (c)2 (d)-2
8. 已知 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=00000
123a A 与对角矩阵相似，则a ＝（ A ） (a) 0 ; (b) －1 ; (c) 1 ; (d) 2
9. 设A ，B ，C 均为n 阶方阵，下面（ D ）不是运算律．
（A ）()A B C C B A ++=++)( ； （B ）BC
AC C B A +=+)(； （C ）)()(BC A C AB =； （D ）B
AC C AB )()(=． 10. 下列矩阵（ B ）不是初等矩阵．
(A)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100
；（B ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010000001
；（C ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000
20
001
；（D ）⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-100210001
．
二．计算题或证明题（
1. 已知矩阵A ，求A 10。
其中⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=210
1A
参考答案：
10101010122A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭
2. 设A 为可逆矩阵，λ是它的一个特征值，证明：λ≠0且λ-1是A -1的一个特征值。
参考答案：
3. 当a 取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．
⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++2
23
32`1321321ax x x x ax x a x x ax
参考答案：
当1,2a ≠-时有唯一解：12313
3
,,222a x x x a a a --
-=-==+++
当1a =时，有无穷多解：112
2132
2x k k x
k x k =---⎧⎪=⎨⎪=⎩
当2a =-时，无解。
4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示．
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=2001,1211,1111,43214321αααα
参考答案：
极大无关组为：234,,a a a ，且1234a a a a =++
5. 若A 是对称矩阵，T 是正交矩阵，证明AT T 1-是对称矩
阵．。