线性代数期末考试复习考点—同济大学(第六版)
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4. 会利用分块矩阵的性质计算矩阵的逆矩阵。
转置矩阵的运算性质
(1) ( AT )T A; (2) ( A B)T AT BT ;
(3) ( A)T AT ;
(4) ( AB)T BT AT .
方阵的行列式
定义：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的 行列式，记作|A|或detA.
( A)1 1 A1 ,
( AB)1 B1 A1 .
AA* A* A | A | E | A1 || A |1
分块对角矩阵的性质
A1
A
A2
As
| A | = | A1 | | A2 | … | As |
若| As | ≠0，则 | A | ≠0，并且
k1a1 + k2a2 + … + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合． k1, k2, …, km 称为这个线性组合的系数．
给定向量组 A：a1, a2, …, am 和向量 b，如果存在
一组实数 1, 2, …, m ，使得 b = 1a1 + 2a2 + … + mam
则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组 A 线性表示．
2. 这些非零元所在的列的其它 元素都为零.
（一）初等变换与矩阵乘法的关系
定理1 设A, B是一个 m×n 矩阵，则
(1)
r
A~ B
的充要条件是存在 可逆矩阵P ，使得P A=B；
c
(2) A ~ B 的充要条件是存在 可逆矩阵Q ，使得 A Q =B；
(3) A ~ B 的充要条件是存在 可逆矩阵P 和Q ，使得P A Q =B；
否
是
否
R( A) n
无解
唯一解
无限多个解
其中n 为线性方程组未知数的个数
包含 n-R(A) 个自由变量
的通解
齐次线性方程组
是 唯一解
R( A) n 否 无穷多个解
包含 n-R(A) 个自由变量 的通解
第四章 向量组的线性相关性
1. 掌握向量组线性表示概念，会判定向量组的线 性相关性； 2. 会求向量组的秩及向量组的最大无关组；
非齐次线性方程组的解的性质
性质3：若 x = h1， x = h2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解， 则 x = h1 − h2 是对应的齐次线性方程组 Ax = 0 （导出组）的
解．
性质4：若 x = h 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解， x = x 是 导出组 Ax = 0 的解，则 x = x + h 还是 Ax = b 的解．
已知 n 元齐次线性方程组的解集为 S1 = { x | Ax = 0 }. 则齐次线性方程组Ax = 0的基础解系是 S1 的一个基， 故 S1 的维数等于 n－R(A) ．
定义3 如果在向量空间 V 中取定一个基 a1 , a2 , ..., ar ， 那么V中任意一个向量 x 可唯一表示为
x = 1a1 + 2a2 + …+ rar 数组 1, 2, ..., r 称为向量 x 在基 a1 , a2 , ..., ar 中的坐标．
例如：若 x = h1， x = h2 是 Ax = b 的解，则： （1）h1 —h2是齐次线性方程组 Ax = 0 的解； （2）（h1 +h2）/2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解.
基础解系的概念
定义2 齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解向量x1, x2, ..., xr
如果满足
① x1，x2，...，xr 线性无关； ②方程组中任意一个解都可以表示x1, x2, ..., xr 的线性组合，
那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系． 齐次线性方程组的解集的最大无关组为基础解系．
注： 齐次线性方程组的基础解系不唯一.
定理7：设 m×n 矩阵的秩 R(A) = r，则 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 的解集 S 的秩 RS = n − r ．
运算性质
(1) AT A ;
(2) A n A ;
(3) AB A B ; AB BA . 3A 34 A , A为四阶行列式
逆矩阵的性质
如果 n 阶方阵A、B可逆，那么 与AB 也可逆，且
( A1 )1 A,
、A、1 AT A( 0)
( AT )1 ( A1 )T ,
3. 掌握线性方程组的解的结构，会利用解的结构 判定方程组的解； 4. 会求齐次线性方程组的基础解系； 5. 会利用矩阵的秩求方程组的解空间维数；
6. 会利用基变换公式与坐标变换公式及过度矩 阵求解相关问题。
向量组的线性组合
定义2：给定向量组 A：a1, a2, …, am ， 对于任何一组实 数 k1, k2, …, km ，表达式
线性相关性的判定
向量组线性相关性的判定（重点、难点） 向量组 A：a1, a2, …, am 线性相关
存在不全为零的实数 k1, k2, …, km ，使得 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量） ．
m 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解． 矩阵A = (a1, a2, …, am ) 的秩小于向量的个数 m ． 向量组 A 中至少有一个向量能由其余 m－1 个向量线性 表示．
找到矩阵 A 的一个最高阶非零子式Dr 则Dr 所在的 r 列是 A 的 列向量组的一个最大无关组，Dr 所在的 r 行是 A 的行向量组 的一个最大无关组． 注 1. 最大无关组一般选取行阶梯形矩阵中首个非零元所在的列.
2. 向量组的最大无关组一般是不唯一的． 3. 向量组 A 和它自己的最大无关组 A0是等价的．
定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和，即
ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain D i 1, 2, , n
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应 元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai1 Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j.
特别地，当 B = b 为非零列向量时，有 R(A)≤R(A, b)≤R(A)＋1 ．
⑥ R(A＋B)≤R(A)＋R(B) ． ⑦ R(AB)≤min{R(A), R(B)} ． ⑧ 若 Am×n Bn×l = O，则 R(A)＋R(B)≤n ．
定理1 n 元线性方程组 AX = b ①无解的充分必要条件是 R(A) < R(A, b)； ②有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ； ③有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) < n ．
A11
A1
A21
As1
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
1. 掌握矩阵的三种初等变换，行阶梯形矩阵、行 最简形矩阵； 2. 会用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵、 行最简形矩阵； 3. 会用初等行变换求逆矩阵及矩阵方程； 4. 会用初等行变换求矩阵的秩； 5. 掌握矩阵秩的一些最基本的性质； 6. 掌握线性方程组有解的判定条件； 7. 会讨论线性方程组系数矩阵的待定系数来判定 线性方程组是否有解情况。
综上所述，有
ai1 Aj1 ai2 Aj2
同理可得
a1i A1 j a2i A2 j
D, i j
ain Ajn
0,
i j
D, i j
ani Anj
0,
i j
第二章 矩阵及其运算
1. 掌握矩阵的运算性质，会求矩阵的加法、数乘 及矩阵与矩阵的运算； 2. 掌握矩阵的转置性质、方阵的行列式性质及 逆矩阵的性质； 3. 会利用伴随矩阵求逆矩阵，会解矩阵方程；
齐次线性方程组的解的性质
性质1：若 x = x1， x = x2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = x1 x2 还是 Ax = 0 的解．
性质2：若 x = x 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，k 为实数， 则 x = kx 还是 Ax = 0 的解．
结论：若 x = x1, x = x2, ...,, x = xt 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = k1x1 + k2x2 + … + ktxt 还是 Ax = 0 的解.
1 0 0
例3
E
e1 , e2 , e3
行阶梯形矩阵： 1. 可画出一条阶梯线，线的下
方全为零； 2. 每个台阶只有一行； 3. 阶梯线的竖线后面是非零行
的第一个非零元素.
1 0 1 0 4
0
0
1 0
1 0
0 1
3 3
F2
0 0 0 0 0
行最简形矩阵： 行阶梯型矩阵若满足：
1. 非零行的首个非零元为1;
相关结论
(1)若向量组 A ：a1, a2, …, am 线性相关， 则向量组 B ：a1, a2, …, am, am+1 也线性相关．（部分相关，整体相关）
其逆否命题也成立，即若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关． ．（整体无关，部分无关）
最大无关组的求法 : 将向量组 a1, a2, …, am 通过初等行变换化成行阶梯形，
( A B) 初等行变换 (E A1B)
矩阵的秩的性质
① 若 A 为 m×n 矩阵，则 0≤R(A)≤min(m, n) ． ② R(AT) = R(A) ． ③ 若 A ~ B，则 R(A) = R(B) ． ④ 若 P、Q 可逆，则 R(PAQ) = R(A) ． ⑤ max{R(A), R(B)}≤R(A, B)≤R(A)＋R(B) ．
定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换 ：
对调两行，记作 ri rj ； 以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作 ri k ； 某一行加上另一行的 k 倍，记作 ri krj .
1 1 2 1 4
0
0
-1 0
1 0
1 2
0
3
F1
0
0
00
0
r
推论1 方阵 A 可逆的充要条件是 A~ E .
c
推论2 方阵 A 可逆的充要条件是 A~ E.
推论3 Biblioteka Baidu阵 A 可逆的充要条件是 A ~ E.
（二）初等变换法求逆矩阵
( A E) 初等行变换 (E A1)
（三）初等变换的其他应用 利用初等行变换求逆阵的方法，还可用于求
矩阵A1B .
向量组线性无关性的判定（重点、难点） 向量组 A：a1, a2, …, am 线性无关
如果 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量），则必有 k1 = k2 = … = km =0 ．
m 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解． 矩阵A = (a1, a2, …, am ) 的秩等于向量的个数 m ． 向量组 A 中任何一个向量都不能由其余 m－1 个向量线 性表示．
定理2 线性方程组 AX = b 有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) ．
定理3 n 元齐次线性方程组 AX = 0 ①只有零解的充分必要条件是R(A) = n ； ②有非零解的充分必要条件是 R(A) < n ．
求解线性方程组的步骤
写出增广矩阵
B=（Ａ,ｂ）
行最简形矩阵
是
R( A) R(B)
《线性代数》 Linear Algebra
主讲教师: 张恩路
Company Logo
第一章 行列式 1. 牢记行列式的6条性质；
2. 会利用行列式的性质计算行列式的值；
3. 掌握余子式和代数余子式的定义及按行（列） 展开定理； 4. 会利用按行（列）展开定理计算行列式的值；
n 阶行列式的性质
性质1: 行列式与它的转置行列式相等, 即DT = D. 性质2: 互换行列式的两行(列), 行列式变号. 推论: 如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列式为零. 性质3: 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k, 等于用数k乘此行列式. 推论: 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到 行列式符号的外面. 性质4: 行列式中如果有两行(列)元素成比例, 则此行列式 为零． 性质5: 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和, 则该 行列式等于两个行列式之和. 性质6: 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加 到另一列(行)对应的元素上去, 行列式不变.
转置矩阵的运算性质
(1) ( AT )T A; (2) ( A B)T AT BT ;
(3) ( A)T AT ;
(4) ( AB)T BT AT .
方阵的行列式
定义：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的 行列式，记作|A|或detA.
( A)1 1 A1 ,
( AB)1 B1 A1 .
AA* A* A | A | E | A1 || A |1
分块对角矩阵的性质
A1
A
A2
As
| A | = | A1 | | A2 | … | As |
若| As | ≠0，则 | A | ≠0，并且
k1a1 + k2a2 + … + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合． k1, k2, …, km 称为这个线性组合的系数．
给定向量组 A：a1, a2, …, am 和向量 b，如果存在
一组实数 1, 2, …, m ，使得 b = 1a1 + 2a2 + … + mam
则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组 A 线性表示．
2. 这些非零元所在的列的其它 元素都为零.
（一）初等变换与矩阵乘法的关系
定理1 设A, B是一个 m×n 矩阵，则
(1)
r
A~ B
的充要条件是存在 可逆矩阵P ，使得P A=B；
c
(2) A ~ B 的充要条件是存在 可逆矩阵Q ，使得 A Q =B；
(3) A ~ B 的充要条件是存在 可逆矩阵P 和Q ，使得P A Q =B；
否
是
否
R( A) n
无解
唯一解
无限多个解
其中n 为线性方程组未知数的个数
包含 n-R(A) 个自由变量
的通解
齐次线性方程组
是 唯一解
R( A) n 否 无穷多个解
包含 n-R(A) 个自由变量 的通解
第四章 向量组的线性相关性
1. 掌握向量组线性表示概念，会判定向量组的线 性相关性； 2. 会求向量组的秩及向量组的最大无关组；
非齐次线性方程组的解的性质
性质3：若 x = h1， x = h2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解， 则 x = h1 − h2 是对应的齐次线性方程组 Ax = 0 （导出组）的
解．
性质4：若 x = h 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解， x = x 是 导出组 Ax = 0 的解，则 x = x + h 还是 Ax = b 的解．
已知 n 元齐次线性方程组的解集为 S1 = { x | Ax = 0 }. 则齐次线性方程组Ax = 0的基础解系是 S1 的一个基， 故 S1 的维数等于 n－R(A) ．
定义3 如果在向量空间 V 中取定一个基 a1 , a2 , ..., ar ， 那么V中任意一个向量 x 可唯一表示为
x = 1a1 + 2a2 + …+ rar 数组 1, 2, ..., r 称为向量 x 在基 a1 , a2 , ..., ar 中的坐标．
例如：若 x = h1， x = h2 是 Ax = b 的解，则： （1）h1 —h2是齐次线性方程组 Ax = 0 的解； （2）（h1 +h2）/2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解.
基础解系的概念
定义2 齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解向量x1, x2, ..., xr
如果满足
① x1，x2，...，xr 线性无关； ②方程组中任意一个解都可以表示x1, x2, ..., xr 的线性组合，
那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系． 齐次线性方程组的解集的最大无关组为基础解系．
注： 齐次线性方程组的基础解系不唯一.
定理7：设 m×n 矩阵的秩 R(A) = r，则 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 的解集 S 的秩 RS = n − r ．
运算性质
(1) AT A ;
(2) A n A ;
(3) AB A B ; AB BA . 3A 34 A , A为四阶行列式
逆矩阵的性质
如果 n 阶方阵A、B可逆，那么 与AB 也可逆，且
( A1 )1 A,
、A、1 AT A( 0)
( AT )1 ( A1 )T ,
3. 掌握线性方程组的解的结构，会利用解的结构 判定方程组的解； 4. 会求齐次线性方程组的基础解系； 5. 会利用矩阵的秩求方程组的解空间维数；
6. 会利用基变换公式与坐标变换公式及过度矩 阵求解相关问题。
向量组的线性组合
定义2：给定向量组 A：a1, a2, …, am ， 对于任何一组实 数 k1, k2, …, km ，表达式
线性相关性的判定
向量组线性相关性的判定（重点、难点） 向量组 A：a1, a2, …, am 线性相关
存在不全为零的实数 k1, k2, …, km ，使得 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量） ．
m 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解． 矩阵A = (a1, a2, …, am ) 的秩小于向量的个数 m ． 向量组 A 中至少有一个向量能由其余 m－1 个向量线性 表示．
找到矩阵 A 的一个最高阶非零子式Dr 则Dr 所在的 r 列是 A 的 列向量组的一个最大无关组，Dr 所在的 r 行是 A 的行向量组 的一个最大无关组． 注 1. 最大无关组一般选取行阶梯形矩阵中首个非零元所在的列.
2. 向量组的最大无关组一般是不唯一的． 3. 向量组 A 和它自己的最大无关组 A0是等价的．
定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和，即
ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain D i 1, 2, , n
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应 元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai1 Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j.
特别地，当 B = b 为非零列向量时，有 R(A)≤R(A, b)≤R(A)＋1 ．
⑥ R(A＋B)≤R(A)＋R(B) ． ⑦ R(AB)≤min{R(A), R(B)} ． ⑧ 若 Am×n Bn×l = O，则 R(A)＋R(B)≤n ．
定理1 n 元线性方程组 AX = b ①无解的充分必要条件是 R(A) < R(A, b)； ②有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ； ③有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) < n ．
A11
A1
A21
As1
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
1. 掌握矩阵的三种初等变换，行阶梯形矩阵、行 最简形矩阵； 2. 会用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵、 行最简形矩阵； 3. 会用初等行变换求逆矩阵及矩阵方程； 4. 会用初等行变换求矩阵的秩； 5. 掌握矩阵秩的一些最基本的性质； 6. 掌握线性方程组有解的判定条件； 7. 会讨论线性方程组系数矩阵的待定系数来判定 线性方程组是否有解情况。
综上所述，有
ai1 Aj1 ai2 Aj2
同理可得
a1i A1 j a2i A2 j
D, i j
ain Ajn
0,
i j
D, i j
ani Anj
0,
i j
第二章 矩阵及其运算
1. 掌握矩阵的运算性质，会求矩阵的加法、数乘 及矩阵与矩阵的运算； 2. 掌握矩阵的转置性质、方阵的行列式性质及 逆矩阵的性质； 3. 会利用伴随矩阵求逆矩阵，会解矩阵方程；
齐次线性方程组的解的性质
性质1：若 x = x1， x = x2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = x1 x2 还是 Ax = 0 的解．
性质2：若 x = x 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，k 为实数， 则 x = kx 还是 Ax = 0 的解．
结论：若 x = x1, x = x2, ...,, x = xt 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = k1x1 + k2x2 + … + ktxt 还是 Ax = 0 的解.
1 0 0
例3
E
e1 , e2 , e3
行阶梯形矩阵： 1. 可画出一条阶梯线，线的下
方全为零； 2. 每个台阶只有一行； 3. 阶梯线的竖线后面是非零行
的第一个非零元素.
1 0 1 0 4
0
0
1 0
1 0
0 1
3 3
F2
0 0 0 0 0
行最简形矩阵： 行阶梯型矩阵若满足：
1. 非零行的首个非零元为1;
相关结论
(1)若向量组 A ：a1, a2, …, am 线性相关， 则向量组 B ：a1, a2, …, am, am+1 也线性相关．（部分相关，整体相关）
其逆否命题也成立，即若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关． ．（整体无关，部分无关）
最大无关组的求法 : 将向量组 a1, a2, …, am 通过初等行变换化成行阶梯形，
( A B) 初等行变换 (E A1B)
矩阵的秩的性质
① 若 A 为 m×n 矩阵，则 0≤R(A)≤min(m, n) ． ② R(AT) = R(A) ． ③ 若 A ~ B，则 R(A) = R(B) ． ④ 若 P、Q 可逆，则 R(PAQ) = R(A) ． ⑤ max{R(A), R(B)}≤R(A, B)≤R(A)＋R(B) ．
定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换 ：
对调两行，记作 ri rj ； 以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作 ri k ； 某一行加上另一行的 k 倍，记作 ri krj .
1 1 2 1 4
0
0
-1 0
1 0
1 2
0
3
F1
0
0
00
0
r
推论1 方阵 A 可逆的充要条件是 A~ E .
c
推论2 方阵 A 可逆的充要条件是 A~ E.
推论3 Biblioteka Baidu阵 A 可逆的充要条件是 A ~ E.
（二）初等变换法求逆矩阵
( A E) 初等行变换 (E A1)
（三）初等变换的其他应用 利用初等行变换求逆阵的方法，还可用于求
矩阵A1B .
向量组线性无关性的判定（重点、难点） 向量组 A：a1, a2, …, am 线性无关
如果 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量），则必有 k1 = k2 = … = km =0 ．
m 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解． 矩阵A = (a1, a2, …, am ) 的秩等于向量的个数 m ． 向量组 A 中任何一个向量都不能由其余 m－1 个向量线 性表示．
定理2 线性方程组 AX = b 有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) ．
定理3 n 元齐次线性方程组 AX = 0 ①只有零解的充分必要条件是R(A) = n ； ②有非零解的充分必要条件是 R(A) < n ．
求解线性方程组的步骤
写出增广矩阵
B=（Ａ,ｂ）
行最简形矩阵
是
R( A) R(B)
《线性代数》 Linear Algebra
主讲教师: 张恩路
Company Logo
第一章 行列式 1. 牢记行列式的6条性质；
2. 会利用行列式的性质计算行列式的值；
3. 掌握余子式和代数余子式的定义及按行（列） 展开定理； 4. 会利用按行（列）展开定理计算行列式的值；
n 阶行列式的性质
性质1: 行列式与它的转置行列式相等, 即DT = D. 性质2: 互换行列式的两行(列), 行列式变号. 推论: 如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列式为零. 性质3: 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k, 等于用数k乘此行列式. 推论: 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到 行列式符号的外面. 性质4: 行列式中如果有两行(列)元素成比例, 则此行列式 为零． 性质5: 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和, 则该 行列式等于两个行列式之和. 性质6: 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加 到另一列(行)对应的元素上去, 行列式不变.