山东大学本科线性代数作业卷答案-2
《线性代数》期末考试题及详细答案(本科试卷二)
XXX 学年期末考试试卷《线性代数》期末考试题及详细答案（本科试卷二）一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）；1. 若02215131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）；1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组sa a a ，，， 21课程代码：适用班级：命题教师：任课教师：线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100100000010010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)；1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=TA A （ ）。
① n2；② 12-n ； ③ 12+n ； ④ 4；2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关；② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示； ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示； ④ s ααα，，， 21中不含零向量；3. 下列命题中正确的是( )。
山东大学2019-2020学年第一学期数学系《线性代数》试卷
♠山东大学2019-2020学年第一学期数学系《线性代数》试卷一、（24 分）填空题：1. 设n 阶方阵 A 的行列式 A = 2 ，则 A-1 2⋅ A = 122. 设 A 为n 阶可逆阵，则下列 C 恒成立。
（A） (2 A )-1= 2 A -1（C）ϒ( A -1)-1/T= ϒ( A T )-1 /-1（B ） (2 A -1 )T= (2 A T )-1 （D）ϒ( A T )T /-1= ϒ( A -1)-1/T≤'∞ƒ '≤∞ƒ≤'∞ƒ '≤ ∞ƒ3. 若向量组a 1, a 2 ,·, a r （A ） r ≤ s可由另一向量组b 1, b 2 ,·, b s 线性表示，则 C。
（B ） r ≥ s（C ） a 1, a 2 ,·, a r 的秩≤ b 1, b 2 ,·, b s 的秩（D ） a 1, a 2 ,·, a r 的秩≥ b 1, b 2 ,·, b s 的秩♣kx 1 + kx 2 + x 3 = 04. 当k 满足时，齐次线性方程组♦2x 1+ kx 2 + x 3 = 0 有非零解。
♠kx - 2x + x = 0 ♥ 1 2 35. 若齐次线性方程组的一个基础解系为ξ1, ξ2 , ξ3 ，则 D也是该其次线性方程组的基础解系。
（A） ξ1 + ξ2 , ξ2 + ξ3 , ξ3 - ξ1（C） ξ1 - ξ2 , ξ2 + ξ3 , ξ3 + ξ1（B） ξ1 + ξ2 , ξ2 - ξ3 , ξ3 + ξ1（D） ξ1 + ξ2 , ξ2 + ξ3 , ξ3 + ξ16. 设 4 阶方阵 A 的秩为 2，则其伴随阵 A * 的秩为 0。
0 0 1 7． 矩阵 A =0 1 0 的三个特征值为 1，1，-1 。
1 0 08. 二次型 f ( x , x , x ) = x 2 + 2x x1 1 0 + 3x 2的矩阵 A = 1 30 。
山东大学本科线性代数作业卷答案-3
3.已知A, B均为n阶非零矩阵，且AB 0，则 （A）A, B中必有一个可逆矩阵 （C）A, B都为可逆矩阵 （B）A, B都为不可逆矩阵 （D）以上选项均不正确
2
分析 根据可逆矩阵的性质：若AB 0，且A或B可逆，则B 0或A 0 可见与已知条件A 0 B 0 矛盾. 所以A，B均为不可逆矩阵. 故应选(B)
3 0 3 4.已知A 1 4 1 5 6 ( A) 2 , 3 (C ) 3 , 2
2 0 , 且r ( A) 2, 则 , 的值为
( B) 2 , 3 ( D) 3 , 2
分析 对 A 做初等行变换 1 1 A 1 4 1 5 所以 ＝3，＝－2 故应选(D). 2 1 1 0 3 0 0 3 6 0 6 0 1 1 0 3 2 0 0 3 2 3 2 3 0 2 3 2 3 2
2.解矩阵方程： 4 3 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 X 0 0 1 2 0 1 0 0 1 0 1 0 1 2 0
0 1 0 1 0 0 1 4 3 解 记 P1 1 0 0 ，P2 0 0 1 ，B 2 0 1 0 0 1 0 1 0 1 2 0 显然矩阵P1、P2均为初等矩阵，且易知 P1 P1，P2 P1 XP2 B 化为 X P1 BP2 交换第一二行的位置，所以
a1b2 a 2 b2 a n b2
（i = 1,2, , n)
分析 仔细研究矩阵 A的结构，会发现 A中每个元素均不为零， 且A中任意两行 a1 a 2 或两列都成比例，从而 A b1 , b2 , bn GH a n 显然，r (G ) r ( H ) 1，所以1 r ( A) min{r (G ), r ( H )} 1，从而r ( A) 1. 另一方面，由于 a i 0，b 0(i, j 1,2, , n )，故A 0，所以r ( A) 1. 但由于A 中任意两行或两列，因 此r ( A) 2，也可说明 r ( A) 1 故应填1.
线代参考答案(完整版)
线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第一节 行列式的定义一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A D ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ]（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。
济大线代大作业答案
济南大学
线性代数大作业
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第 7 页 共 18
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x 2y z 9 0 x 2y 9 0 也即 有无穷多解， 3 x By z D 0 有无穷多解， 3x By D 0 z0
又
1 0 k 3 R 1 1 0 R ( 1 , 2 , 3 ) 3 ， 0 1 1
1 0 k ∴ 1 1 0 k 1 0 0 1 1
即
k 1 。
5．解 1：过 L 的平面束方程为
( x 2 y z 9) (3x By z D) 0
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4．解： AP PB
A PBP
1
0 1 0 2 0 0 6 1 1
A 2 PBP 1 PBP 1 PB 2 P 1 ， 同理 A5 PB5 P 1
又 B B ，故
有条件知行列式可被 16 整除.
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第二章 矩阵及其运算
一、是非题 二、填空题
1. √ 2. × 3. × 4. × 5. √ 4. a 0
1. 4 ； 2
3. a11a 22 a nn 0
2.
1 0 0 0
B
0 0 1 0
1 0 2. 解：D r2 r1 (1), r3 r1 (1), r4 r1 (1) 0 0 1 0 r3 r2 (2), r4 r2 (3) 0 0 1 1 0 0 1 1 2 3 =1 1 3 3 10 1 1 2 3 1 1 2 3 5 9 9 19
线性代数大学试题及答案
线性代数大学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵|adj(A)|的值为（）。
A. 4B. 8C. 2D. 1答案：B2. 若向量a=(1, 2, 3)，向量b=(2, 3, 4)，则向量a和向量b的点积为（）。
A. 11B. 12C. 13D. 14答案：C3. 设矩阵A和矩阵B为同阶方阵，且AB=I，则矩阵A和矩阵B互为（）。
A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 正交矩阵答案：B4. 设矩阵A为3阶方阵，且A的特征多项式为f(λ)=λ(λ-1)(λ-2)，则矩阵A的特征值为（）。
A. 0, 1, 2B. 0, 1, 3C. 1, 2, 3D. 2, 3, 4答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，则矩阵A的行列式|A|=______。
答案：-22. 设向量a=(1, 2)，向量b=(3, 4)，则向量a和向量b的叉积为向量c=(______, ______)。
答案：-2, 63. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，矩阵B=\[\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 4 & 3\end{bmatrix}\]，则矩阵A和矩阵B的乘积AB=______。
答案：\[\begin{bmatrix}10 & 11 \\ 22 & 25\end{bmatrix}\]4. 设矩阵A的特征值为λ1=2，λ2=3，则矩阵A的特征多项式为f(λ)=______(λ-2)(λ-3)。
答案：(λ-2)(λ-3)三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 3\end{bmatrix}\]，求矩阵A的逆矩阵。
线性代数试题及答案解析
线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。
A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。
A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。
3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。
A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。
4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。
A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。
5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。
A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。
6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。
A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。
7. 矩阵A的特征值是（）。
A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。
大学线性代数习题参考答案
习 题 解 答习 题 一 （A）1.（1）c x c x c x 321,32,2，其中c 为任意常数；（2）无解； （3）41,41,45321x x x ；（4）3,4,1,24321 x x x x ． 2.（1）行阶梯形： 100210221（不唯一）；行最简形：100010001；（2）行阶梯形：0000510402321（不唯一）；行最简形：000045251021201； （3）行阶梯形： 001011（不唯一）；行最简形：001001；（4）行阶梯形：00000007001052011111（不唯一）；行最简形：0000000100210010211001． 3.（1）920,97,32321 x x x ；（2）无解；（3）c x c x c x x 4321,2232,215,247，其中c 为任意常数；（4）2542312211,0,34,,2122c x x c x c x c c x ，其中21,c c 为任意常数．（B）1. 1 ，通解为2312211,,1c x c x c c x ，其中21,c c 为任意常数． 3. A 公司的联合收入为309390.86元，实际收入为216573.60元； B 公司的联合收入为137309.64元，实际收入为27461.93元；C 公司的联合收入为186548.22元，实际收入为55964.47元.（A）1.（1）1；（2）()xy y x ；（3）18；（4）3a ；（5）3a . 2．（1）abcd ；（2）!)1(1n n ．3.（1）abcdef 4 ；（2）192；（3）3(4)a x x ；（4）215 ；（5） ni n i i i a a 11)11(．4.（1）7 ；（2）18；（3）2311(1)n n a a a a a ；（4）12112(1)1n n n D D D D n n ． 5.（1）提示：1n n n D D ，1n n n D D . 6. ()()()()a b c b a c a c b ．7.14243444A +A +A +A 0 ；1112131411121314+84M M M M A A A A ． 8.（1）1,3,2,14321 x x x x ；（2）1,2,0,14321 x x x x ． 9. 3 ． 10. 1 或0 ．（B）1. A ；D ；C ；C ．2. ))((12211221d b d b c a c a ．3. 4x ．4.12(1)(1)2n n n ． 5. 556D a ． 6.1110n n n x a x a x a ． 10. （1）1；（2）01 y x ．（A）1. D 是数量矩阵，也是对角矩阵；A 、C 是三角矩阵；B 都不是．2. （1）347100411；（2）110577695 ．3. 45．4.（1）09018；（2）866 ；（3）10；（4）321642963；（5）3E ； （6）222111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x ．5.（1）1003343301AB ，1030433010BA； （2）906()()600609A B A B ，22006300600A B． 6.0b c B b，其中c b ,为任意常数． 7.（1）cos sin sin cos k k k k；（2）1201k ；（3）2101001k k C k． 8. n A 111123232133312n11112113233323323233n n n n n n n n n ．10.（1）53525451；（2） 133012001；（3）A 91；（4）A 41．11.（1）152384；（2） 001；（3）987654321． 12. 2B A ．14. 12A E 2E A ．16.（1）161；（2）4；（3）16125． 17. 18A．18.（2）20111100200,611A A PBP A．19.（1）125101220049009；（2）bd c c bd d ac ac d ． 20.（1）51000515105352；（2）213200213100005251005153；（3）10000203200011001500088110044． 21.41400100004140004041A．22.8A ，201220128A ． 23．（2）000000000001112111n n a a a a．24.（1）A 不可逆；（2）122999212999221999；（3）11240101113621610 ；（4）A 不可逆． 25.（1）645212333 ；（2）123456789．26.（1）2；（2）2；（3）2；（4）3．27. 3 ．28. 当1k 且2k 时，3)( A R ；当1k 时，()1R A ；当2k 时，()2R A ． 29. 2． 31．2；1.32.（1）只有零解；（2） 2,1,1321 x x x ；（3）(1,7,5,2)T X c ，其中c 为任意常数；（4）无解； （5）(2,1,1)(7,1,0)T T X c ，其中c 为任意常数；（6）12(1,1,0,0)(7,0,3,1)(4,0,1,0)T T TX c c ，其中12,c c 为任意常数．33.（1）0 且3 时，方程组有唯一解；当0 时，无解；当3 时，无穷多解． （2）1 且10 时，方程组有唯一解；当10 时，无解；当1 时，无穷多解． 34. 当1 时，方程组有无穷多解，通解为(1,2,1)(1,1,0)T T X c ，其中c 为任意常数．35.0111321321y y y x x x ． （B）1. C ；C ；C ；D ；A ．2.1()0T T E A B A ． 3.B 13．4. 1()E B320021001． 5.000020002． 6.110441104411044X． 7.1221,c X c c c 为任意常数． 8. 当111a a n 且时， ()R A n ；当1a 时， ()1R A ； 当11a n时， ()1R A n ． 9. 当62 q p 时，方程组的通解为(2,6,1,2)T X c ，其中c 为任意常数．10. 当1 a 且54a 时，方程组有唯一解；当1 a 时，通解为(0,1,1)(1,1,0)T T X c ，其中c 为任意常数；当54a 时，方程组无解．11. 3 t ．14. E B E A 1)(．习 题 四 （A）1. T v v )1,0,1(21 ，T v v v )2,1,0(23321 ．2.（1）1(0,1,2)3T X；（2）(3,1,4)T X ． 3.（1）12341(5)4；（2）123422 ．4.（1）线性相关；（2）线性相关；（3）线性无关；（4）线性相关．7. 11222331311,2211,2211.2211.（1）3),,(321 R ，本身为一个极大无关组； （2）2),,,(4321 R ，21, 为一个极大无关组，且21395911，2149492 ； （3）3),,,,(54321 R ，421,, 为一个极大无关组，且2133 ，4215 ．15.（1）12, 为由向量组123,, 生成的向量空间的一组基，且维数为2；（2）)2,1(． 16. 71(,8,22 ．17.（1）27714192094128P；（2）1393824X． 18.T )1,1,1,1( ．19.（1）方程组的一个基础解系(0,1,1)T ，通解为 c X ，其中c 为任意常数；（2）方程组的一个基础解系1(1,3,2,0)T，T )1,0,1,0(2 ，通解为2211 c c X ，其中21,c c 为任意常数；（3）方程组的一个基础解系T )0,0,1,2(1 ，T )7,5,0,2(2 ，通解为2211 c c X ，其中21,c c 为任意常数；（4）方程组的一个基础解系T )0,0,1,1,0(1 ，T )0,1,0,1,0(2 ，T )3,0,0,5,1(3 ， 通解为332211 c c c X ，其中321,,c c c 为任意常数． 20.（1）TX )4,54,513,514(； （2）通解为123(3,2,0,0,0)(1,2,1,0,0)(1,2,0,1,0)(5,6,0,0,1)T T T T X c c c 其中123,,c c c 为任意常数． （3）(3,3,5,0)T X ．21. 方程组的通解为*(2,0,1)(1,2,2)T T X c c ，其中c 为任意常数．（B）1.（1）1 可由432,, 线性表示；（2）4 不能由321,, 线性表示．2. 当b a 且11b a n时，12,,,0n ，向量组12,,,n 线性无关； 当b a 或11b a n 时，12,,,0n ，向量组12,,,n 线性相关．3. （1）若s ,,,21 线性无关，则当s 为偶数时，s ,,,21 线性相关； 当s 为奇数时，s ,,,21 线性无关；（2）若s ,,,21 线性相关，则s ,,,21 线性相关．10.（2）101110011；（3）111(,,222T ．11. 当0A ，即0)1( p q 时只有零解；当0A ，即0)1( p q 时有非零解，且通解为(1,1,1)T X c p ，其中c 为任意常数． 12. B ．13. 当3a b 时方程组有解，且方程组的通解为T T T T c c c X )1,0,0,6,5()0,1,0,2,1()0,0,1,2,1()0,0,0,3,3(321 ，其中321,,c c c 为任意常数.14. (1,1,1,1)(1,2,3,4)T T X c ，其中c 为任意常数．习 题 五(A)1.（1）A 的特征值为121,6 ；属于11的线性无关的特征向量1(1,1)T ，全部特征向量为111,0k k ；属于62 的线性无关的特征向量是2(1,4)T ，全部特征向量为222,0k k ；（2）A 的特征值为2,132,1 ；属于12,1 的线性无关的特征向量是1(2,1,2)T ，全部特征向量为111,0k k ；属于23 的线性无关的特征向量是2(0,0,1)T ，全部特征向量为222,0k k ；（3）A 的特征值为4,232,1 ；属于特征值22,1 的线性无关的特征向量为12(1,1,0),(1,0,1)T T ，全部特征向量为1122k k 21,(k k 不全为零）；属于34 的线性无关的特征向量是3(1,1,2)T ，全部特征向量为333,0k k ；（4）A 的特征值为1,231,3 ；属于特征值12,1 的线性无关的特征向量为1(1,2,1)T ，全部特征向量为111,0k k ；属于特征值33 的线性无关的特征向量为2(1,2,2)T ，全部特征向量为222,0k k ；（5）A 的特征值为21 ，12 ，43 ；属于特征值21 的线性无关的特征向量为1(1,2,2)T ，全部特征向量为111,0k k ；属于特征值12 的线性无关的特征向量为2(2,1,2)T ，全部特征向量为222,0k k ；属于特征值43 的线性无关的特征向量为3(2,2,1)T ，全部特征向量为333,0k k ；（6）A 的特征值为2,132,1 ；属于特征值12,1 的线性无关的特征向量为12(0,1,0),(1,0,1)T T ，全部特征向量为112212,,k k k k 不全为0；属于特征值23 的线性无关的特征向量为3(0,1,3)T ，全部特征向量为333,0k k ．2. 4 a ．3. 1 x ．4.288B ． 5. A A A 7523 的特征值为3； *A 特征值为6，3，2．6.（1）A 的特征值为2,132,1 ；属于特征值12,1 全部特征向量为T T k k )1,0,0()0,1,2(21 ，1k 、2k 不全为0；属于特征值23 全部特征向量为T k )3,1,5(3 ，03 k ． （2）*A 的特征值为1,2,2 ． （3）123E A 的特征值为1,1 ，72． 9.6 ．10. 1,0 y x ． 11. 0 a ．12.（1）1,3,0a b ；（2）A 不能相似对角化.13.（1）A 不能与对角矩阵相似；（2）A 与对角矩阵相似，213105016P；（3）A 与对角矩阵相似，201101011P．14.111101011P ，m A 2)1(5)1(5)1(5)1(52)1(5)1(5)1(5)1(52)1(531111111m m m m m m m m m m m m m m m m m m ． 15.633312321A ．17. 7,15 ，1056arccos, ．18.3 T1,0,1 ．19.12(5,3,1,0)(5,3,0,1)T T k k ，其中1k 、2k 为任意常数． 20.（1）T 0,21,211 ，T62,61,612 ，T31,31,313 ； （2）T )21,21,21,21(1 ,T )21,21,21,21(2 ,T )21,21,21,21(3 ． 21.（1）12212123221Q；（2）10000Q； （3）123132(,,)3203Q； （4）123132(,,)3203Q. 22. 属于特征值3的特征向量为3322 k k ，2k 、3k 不全为0．23.010100001．24．（1）A 的另一特征值03 ．A 的属于特征值03 全部特征向量为Tk k )1,1,1( 0k ；（2）A422242224．（B）一. A ；C ；D ；C ；B ；A ；A ；B ；B ；B ；A ；C ；D ；B ；B ；B ；B ；B ；C ；D二．1.20042230022030001BA E A ． 2.（1）2,2x y ；（2）属于1,22 的线性无关的特征向量为T T )1,0,1(,)0,1,1(21 ；属于63 的线性无关的特征向量为T )3,2,1(3 ；123()P3.(1) 1,231,5 ;(2) 1 A E 的特征值为1,234(1)2,(5)5g g ． 4. 当1,1x y 时或1 x 时，A 有三个线性无关的特征向量．5．（2）1100011001P AP．6.（1）A 的特征值为1,230,3 ．属于1,20 的线性无关的特征向量为12, ；属于33 的线性无关的特征向量为3 ；（2）T 22,22,0(1 ，T66,66,36(2，3,,)333T，123(,,)Q ． 7.（1）0 a ，2 b ；（2）1(1,0,1)T p ，2(0,2,1)T p ，3(0,1,1)T p ，123(,,)P p p p ；（3）121221222222002331101100100101100101100100A． 8. A 的特征值为120,1 ．9.（1）B 的特征值为123(1)2,(2)1,(2)1 ；B 的属于12 的线性无关的特征向量为T )1,1,1(1 ，全部特征向量为111,0k k ；B 的属于2,31 的线性无关的特征向量，全部特征向量为112212,,k k k k 不全为零；（2）011101110B．10.（1）0；（2）A 的特征值全为零，属于特征值0的全部特征向量为112211n n k k k ，其中121,,,n k k k 是不全为零的任意常数．11. *A 有特征值4/3． 12.（1）a=-2；（2）TT T )31,31,31(,)61,62,61(,21,0,21(121),,(321 Q .13.（1）32122 ；（2）n A T n n n n n n )322,322,322(23121 ．14. （1）若2 是特征多项式的二重根，则2a ，A 可相似对角化； （2）若2 不是特征多项式的二重根，则32a ，A 不能相似对角化． 15.（1）11n n n n x x A y y ，其中5310152109A ； （2）1 是A 的属于特征值11 的特征向量，2 是A 的属于特征值12 的特征向量；又21 ，所以1 ,2 线性无关；（3）n n n n y x 23223810111． 16.（1）0k ；（2）令120002111)(321P ，有1100010001P AP． 17.（1）0,3,1 b a ；（2） 对应的特征值为1,2,31 ；（3）A 不能相似对角化． 18. E B 2 的特征值分别为9、3；对应于特征值1,29 的全部特征向量为12(1,1,0)(1,1,1)T T k k ，其中21,k k 是不全为零的常数；对应于特征值33 的全部特征向量为3(0,1,1)T k ，30k ．19. 1a ； 101211 ， 121612 ，111313 ，令123(,,)Q ，有500020004AQ Q T ．习 题 六 （A ）1.（1）51222225222A ；（2）502022010510020001A ；（3）1100011100011100011100011A；（4）3512232125132A．2. 3a ．3.（1）可逆线性变换1111222333111112011011001001x w w x w w x w w，二次型的标准形为22212347f w w w ； （2）可逆线性变换为1111222333110101111110010111001001001x z z x z z x z z，二次型的标准形为222123f z z z ； （3）可逆线性变换1111222333511111211010122001001x w w x w w x w w， 二次型的标准形为22212349f w w w ；（4）可逆线性变换1111222333111112013013001001x w w x w w x w w，二次型的标准形为2221235f w w w ．4.（1）1T，23(,(T T，令正交矩阵123(,,)Q ，得正交变换X QY ，二次型的标准形为222333f y y ； （2）1221(,,333T ，2212(,,)333T ，3122(,,)333T，令正交矩阵123(,,)Q ，得正交变换X QY ，二次型的标准形为22212325f y y y ；（3）12(,(T T，3T，令正交矩阵123(,,)Q ，得正交变换X QY ，二次型的标准形为222122333f y y y ；（4）12(0),T T，3(T，令正交矩阵123(,,)Q ，得正交变换X QY ，二次型的标准形为2221232f y y y ． 5.（1）正定；（2）负定. 6．405a． 7.（1）正定；（2）负定．（B）2. 3a ；123(,,)1f x x x 是一椭圆柱面．3. 2254548x xy y 表示椭圆曲线．4.（1）最大值为7,;T（2）最大值为4，(.T。
山东大学线性代数作业卷1_4答案
1 2 2 3 4 3.已知 A 满足 A 4 A 3 E 0 ，求 A ， A . 1 3 解 由 A2 4 A 3E 0 得 A2 4 A 3E， 于是 A3 A( 4 A 3E ) 4 A2 3 A 4( 4 A 3E ) 3 A 1 2 1 0 1 26 13A 12E 13 12 ; 1 3 0 1 13 27 A4 A(13A 12E ) 13A2 12 A 13( 4 A 3E ) 12 A 1 2 1 0 1 80 40A 39E 40 39 . 1 3 0 1 40 81
a b 1. c 2b c 3
作业卷2 答案
b c 1 1 . 4 _________ 2 c a 2c a 3 a b 2a b 3
a b c 1 b c a 1 2 1 解 r4 r2 , r4 r3 得：D＝ ＝0 c a b 4 3 3 0 0 0 0 所以得 0.
解
AB＝( E T )( E 2 T ) E T 2 T T 1 T ＝E －2 ( )＝E 2 2 ＝E
T T T T
所以应选(C).
是一个数
T
3.已知A为3阶方阵，且 a11 a12 A a 21 a 22 a31 a32 1 0 0 1 （A） 3 0 a13 a11 3a31 a a 23 21 a33 a31 0 0 1 a12 3a32 a 22 a32 a13 3a33 a 23 ， 则A a33
0 0 3 0 1 0 （C） 1 0 1
线性代数课后习题答案山大
线性代数课后习题答案山大
《线性代数课后习题答案山大》
在学习线性代数课程的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要环节。
为了帮助学生更好地掌握线性代数的知识，我们整理了一些课后习题的答案，
以便同学们在学习中进行参考和对比。
1. 矩阵A与B的乘积AB存在的充要条件是什么？如果AB存在，它的秩是多少？答：矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，AB存在。
如果AB存在，它的秩等于
矩阵A的秩。
2. 设A为n阶方阵，证明：A与A'的秩相等。
答：A与A'的秩相等是因为A与A'的秩都等于A的秩。
3. 设A为n阶方阵，证明：A与A'的行秩相等。
答：A与A'的行秩相等是因为A与A'的行空间相同。
4. 设A为n阶方阵，证明：A与A'的列秩相等。
答：A与A'的列秩相等是因为A与A'的列空间相同。
5. 设A为n阶方阵，证明：A与A'的零空间维数之和等于n。
答：A与A'的零空间维数之和等于n是因为A与A'的秩加上零空间维数等于n。
通过以上习题答案的整理，我们可以更好地理解线性代数中的一些概念和定理。
希望同学们在学习线性代数的过程中，能够加深对知识点的理解，提高解题能力，为今后的学习和工作打下坚实的基础。
线性代数 课后作业及参考答案
《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。
(本科)线性代数期末考试题及答案AB卷
线性代数试题测试卷及答案2套一、填空题1.四阶行列式中含有因子112432a a a 的项为_________.2.行列式222111ab c a b c 的值为_________. 3.设矩阵1000010000210022⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，则1-=A _________.4.设四元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为1，则其解空间的维数为_________.5.设矩阵1234(,,,)=A αααα，其中234,,ααα线性无关，12342=-+αααα，向量41i i ==∑βα，则方程=AX β的通解为_________.6.已知三阶矩阵A 的特征值为1,2,3，则32--=A A E _________.二、选择题1.若两个三阶行列式1D 与2D 有两列元素对应相同，且123,2D D ==-，则12D D +的值为( ).A.1B.6-C.5D.02.对任意的n 阶方阵,A B 总有 ( ). A.=AB BA B.=AB BA C.()111---=AB B A D.()222=AB A B3.若矩阵X 满足方程=AXB C ，则矩阵X 为（ ）.A.11--A B C B.11--A CB C.11--CA B D.条件不足，无法求解4.设矩阵A 为四阶方阵，且()3R =A ，则*()R =A （ ）. A.4 B.3 C.2 D.15.下列说法与非齐次线性方程组=AX β有解不等价的命题是（ ）.A.向量β可由A 的列向量组线性表示B.矩阵A 的列向量组与(,)A β的列向量组等价C.矩阵A 的行向量组与(,)A β的行向量组等价D.(,)A β的列向量组可由A 的列向量组线性表示6.设n 阶矩阵A 和B 相似，则下列说法错误的是（ ）. A.=A B B.()()R R =A BC.A 与B 等价D.A 与B 具有相同的特征向量7.设222123121323()224f x x x x ax x x x x x =+++-+为正定二次型，则a 满足（ ）.A.11a a ><-或B.12a <<C.11a -<<D.21a -<<- 三、计算题1.已知12111111111n na a D a ++=+，其中120n a a a ≠，求12n n nn A A A +++.2.设矩阵022110123⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，且2=+AX A X ，求X .3.求矩阵123451122102151(,,,,)2031311041⎛⎫ ⎪-⎪== ⎪- ⎪-⎝⎭A ααααα的列向量组的一个最大无关组，并把其余列向量用最大无关组线性表示.4.求非齐次线性方程组12341234123431,3344,5980x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩的通解.5.求一个正交变换=X PY ，将二次型123121323(,,)222f x x x x x x x x x =--化成标准形.四、证明题已知n 阶方阵A 和B 满足124-=-A B B E ，证明2不是A 的特征值。
山东大学网络教育2020年线性代数(本)期末考试完整解答
山东大学网络教育2020年线性代数（本）期末考试完整解答
课程名称：线性代数课程代码：0006610014
答案在最后几页课程层次：专升本
一、单选题
1.下列（A ）是4级偶排列．
A.4321；
B.4123；
C.1324；
D.2341．
2.如果（
3.0分）
那么（B）．
A.8；
B.-12；
C.24；
D.-24．
3.设A与B均为矩阵，满足，则必有（C）．
A.；
B.；
C.；
D.．
4.向量组线性相关的充要条件是（C）（
A.中有一零向量
B.中任意两个向量的分量成比例
C.中有一个向量是其余向量的线性组合
D.中任意一个向量都是其余向量的线性组合
5.已知是非齐次方程组的两个不同解，是的基础解系，为任意常数，则的通解为（B ）
A.
B.
C.
D.
6.λ＝2是A的特征值，则的一个特征值是（B）
A.4/3
B.3/4
C.1/2
D.1/4
二、计算题或证明题
1.设矩阵
(1)当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得为对角矩阵？
(2)求出P及相应的对角矩阵。
解：
2.设n阶可逆矩阵A的一个特征值为λ，A*是A的伴随矩阵，设|A|=d，证明：d/λ是A*的一个特征值。
解：
3.当a取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．
解：
见下一页
4.求矩阵的逆矩阵
解：。
山东大学网络教育线性代数-专期末考试试题及参考答案
一、填空题（36分）
1、若矩阵A 满足__A T =A_，则称A 为对称矩阵.
2、设A ，B 是两个3阶矩阵，且det A=-2.det B=-1.则
=. 32 3、
，则齐次线性方程组AX-0必有_
非零__解 4、设mxn 矩阵A 的秩为r ，则非齐次线性方程组Ax=B 有解的充分必要条件是_()B A R r =__
5、二次型)(.,,.........2,1n x x x f ,如果对任意一组不全为零的实数n c c c ,......2,1,
0),......,(21>n c c c f 则称)(.,,.........2,1n x x x f 为___正定__
6、如果向量a.β是正交的，则（a.β）=.＿0＿
7、设AB 是两个3阶矩阵，且det A=-2.det B=-1，则
. 32 8、若数
为矩阵A 的特征值，则齐次线性方程组AX=0必有__非零___解 10、设A.B 是两个3阶矩阵，且det A=-2.det B=-1，则
32 11、设mxn 矩阵A 的秩为r.则非齐次线性方程组Ax=B 有解的充分必要条件是
_()B A R r =__ 12、设A 是mxn 矩阵，B 是pxm 矩阵，则
是＿p n ⨯＿ 矩阵.
二、计算题（107分）
13、解线性方程组：
解： 该线性方程组的增广矩阵()⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛------=05986741212060311512b A ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1155912001230072106031~1510912002120135706031~95109127702120135706031~b A。
大学线性代数练习试题及答案
第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
线性代数练习题答案
线性代数练习题答案线性代数是数学的一个分支，它主要研究向量空间及其线性映射。
以下是一些线性代数练习题的答案，这些答案仅供参考，具体题目和答案可能因教材和课程的不同而有所差异。
问题1：给定矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的行列式。
答案：矩阵 \( A \) 的行列式 \( \det(A) \) 可以通过以下公式计算：\( \det(A) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2 \)。
问题2：求解线性方程组：\[ \begin{cases}x + 2y = 5 \\3x - y = 4\end{cases} \]答案：我们可以使用高斯消元法来求解这个方程组。
首先将方程组写成增广矩阵的形式：\[ \begin{bmatrix}1 &2 & | & 5 \\3 & -1 & | & 4\end{bmatrix} \]然后进行行操作，得到：\[ \begin{bmatrix}1 &2 & | & 5 \\0 & -7 & | & -17\end{bmatrix} \]接着将第二行除以-7，得到：\[ \begin{bmatrix}1 &2 & | & 5 \\0 & 1 & | & \frac{17}{7}\end{bmatrix} \]最后，将第一行加上第二行的两倍，得到：\[ \begin{bmatrix}1 & 0 & | & \frac{4}{7} \\0 & 1 & | & \frac{17}{7}\end{bmatrix} \]所以，解为 \( x = \frac{4}{7} \) 和 \( y = \frac{17}{7} \)。
[理学]山东大学本科高等数学作业卷及答案
![[理学]山东大学本科高等数学作业卷及答案](https://img.taocdn.com/s3/m/040ed4a51ed9ad51f01df2f9.png)
则 lim f (x) lim g(x)
x x0
x x0
(C)若 0 ,当 0 x x0 时恒有 f (x) g(x) ，则
lim f (x) lim g(x) ;
x x0
x x0
(D)若 lim x x0
f (x) lim g(x) x x0
0 ,当 0
x x0
时有
f (x) g(x) .
2.
当x
→
1
时,函数x21来自1e x1的极限为
(
D
)
x 1
(A) 等于 2 (B) 等于 0 (C) 为 ∞ (D) 不存在但不为 ∞
3.
已知
lim
x
x2 x
1
ax
b
0
,其中
a,b
是常数,则
(
C
)
(A) a =1,b =1 (B) a =-1,b =1 (C) a =1,b =-1 (D) a =-1,b =-1
6.
设
f
(x)
sin x, x 0
a
x
2
,
x
0
,问
a
为何值时
lim f (x) 存在？极限值为多少？
x0
解 lim f (x) lim sin x 0, lim f (x) lim a x2 a ，故当 a=0 时 lim f (x) 存在
x00
x00
x00
x00
x0
此时 lim f (x) 0 x0
r
1
1 2 cos
,则曲线的图形是
(
D
)
(A) 圆 (B) 椭圆 (C) 抛物线 (D) 双曲线
(完整版)线性代数试题及答案
线性代数习题和答案第一部分 选择题 （共 28 分）、单项选择题（本大题共 14 小题，每小题 2 分，共 28 分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
C. 3D. 46.设两个向量组 α1，α2，⋯， αs 和β 1，β2，⋯， βs 均线性相关，则（）A. 有不全为 0 的数λ 1，λ2，⋯，λs 使λ1α1+λ2α2+⋯+λs αs =0 和λ 1β 1+λ 2β 2+⋯λ s βs =0B. 有不全为 0 的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 使λ 1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+⋯+λs （ α s + β s ）=0C. 有不全为 0 的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 使λ1（α 1- β1）+λ2（α2- β2）+⋯+λs （αs - βs ）=0D.有不全为 0的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 和不全为 0的数μ 1，μ 2，⋯，μ s 使λ1α1+λ2α2+⋯+ λ s α s =0 和μ 1β1+μ2β2+⋯+μ s βs =07.设矩阵 A 的秩为 r ，则 A 中（ ）A. 所有 r- 1阶子式都不为 0B.所有 r- 1阶子式全为 0C.至少有一个 r 阶子式不等于 0D.所有 r 阶子式都不为 08. 设 Ax=b 是一非齐次线性方程组， η1，η2是其任意 2 个解，则下列结论错误的是（ ）A. m+n C. n- m a 11a 12a 13 a 11=m ，a 21a 22a 23 a 21a 11 a 12 a 13等于（2.设矩阵 A=0 ，则 A - 1 等于（ 3A. 0 1 3C. 03.设矩阵 A=a 21 a 22 a 23B. - (m+n) D. m- nB.D.21 ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A *中位于 41，2）的元素是（A. –6 C. 2 4.设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC ，则必有（ A. A =0 C. A 0 时 B=C 5.已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关，则秩（ A. 1B. 6 D. –2 ) B. B D. |A| 0 时 B=C C 时 A=0 A T )等于( )B. 21.设行列式 =n ，则行列式10.设 A 是一个 n （≥3）阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）A. 如存在数λ和向量 α使 A α=λα，则α是 A 的属于特征值λ的特征向量B. 如存在数λ和非零向量 α，使（λE- A ）α=0，则λ是 A 的特征值C. A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如λ 1，λ 2，λ 3是A 的 3个互不相同的特征值， α1，α2，α3依次是 A 的属于λ 1，λ2， λ3的特征向量，则 α 1，α 2， α 3有可能线性相关 11. 设λ 0是矩阵 A 的特征方程的 3重根， A 的属于λ 0的线性无关的特征向量的个数为 k ，则必有（ ）222（a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23） +（a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23） +（a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23） =.18. 设向量（ 2， -3， 5）与向量（ -4， 6， a ）线性相关，则 a= .19. 设A 是 3×4矩阵，其秩为 3，若η1，η2为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2个不同的解，则它 的通解为 .20. 设 A 是 m ×n 矩阵， A 的秩为 r （<n ） ，则齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系中含有解的个A. η1+η2 是 Ax=0 的一个解 C. η 1-η 2是 Ax=0 的一个解 9. 设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（A. 秩 （A ）<n C.A=0 11B.η1+ η2是 Ax=b 的一个解22D. 2 η 1-η 2 是 Ax=b 的一个解 ) B. 秩 (A)=n- 1D. 方程组 Ax=0 只有零解A. k ≤ 3C. k=312. 设 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（A.| A| 2必为 1 C. A - 1=A T 13. 设 A 是实对称矩阵， C 是实可逆矩阵，A.A 与 B 相似B. A 与 B 不等价C. A 与 B 有相同的特征值D. A 与 B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）23 A.34 1 0 0C. 0 2 30 3 5第二部分B. k<3 D. k>3 ）B.|A|必为 1D.A 的行（列）向量组是正交单位向量组 B=C T AC .则（ ） 34 B. 26 1 1 1 D. 1 2 0102 非选择题（共 72 分）2 分，共 20 分）不写解答过程，将正确的答案写在每1 1 115. 3 569 25 361 111 2 316.设 A=B=.则 A+2B=1 111 2 417. 设 A =(a ij )3 × 3 ， |A|=2 ， A ij 表示 |A|中 元 素a ij 的 代 数 余 子 式 （ i,j=1,2,3 ） , 则数为.21. 设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α- β）=22.设 3阶矩阵 A 的行列式 |A |=8，已知 A 有 2个特征值 -1和 4，则另一特征值为 .0 10 6223.设矩阵 A=1 3 3 ，已知 α = 1 是它的一个特征向量，则α 所对应的特征值2 10 82为24.设实二次型 f （x 1,x 2,x 3,x 4,x 5）的秩为 4，正惯性指数为 3，则其规范形为 三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 6分，共 42分）26.试计算行列式4 2 327.设矩阵 A= 110， 求矩阵 B 使其满足矩阵方程AB=A+2B.12321 3 028.给定向量组α 1=1，3 α2=， α=， α10 2 2 =4.3419试判断 α 4 是否为 α 1， α2，α3 的线性组合；若是， 则求出组合系数。
线性代数试题集与答案解析大全(2)
线性代数期末考试试卷及答案一、单项选择题（每小题2分，共40分）。
1．设矩阵22, B 23, C 32A ⨯⨯⨯为矩阵为矩阵为矩阵，则下列矩阵运算无意义的是【 】A . BAC B. ABC C . BCA D. CAB2.设n 阶方阵A 满足A 2 ＋E =0，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有 【 】A. 矩阵A 不是实矩阵B. A=-EC. A=ED. det(A)=1 3.设A 为n 阶方阵，且行列式det(A)=1 ,则det(-2A)= 【 】A. 2－B. ()n2－ C. n 2－ D. 14.设A 为3阶方阵，且行列式det(A)=0，则在A 的行向量组中 【 】A.必存在一个行向量为零向量B.必存在两个行向量，其对应分量成比例C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合5．设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 【 】A ．133221,,a a a a a a --- B. 212132,,a a a a - C. 32322,2,a a a a + D. 1321,,a a a a －6.向量组(I): )3(,,1≥m a a m 线性无关的充分必要条件是 【 】A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出C.(I)中任意两个向量线性无关D.存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k 使7．设a 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件是【 】A ．A 的行向量组线性相关B . A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关8.设i a 、i b 均为非零常数（i =1，2，3），且齐次线性方程组⎩⎨⎧=++=++00332211332211x b x b x b x a x a x a的基础解系含2个解向量，则必有 【 】 A.03221= b b a a B.02121≠ b b a a C.332211b a b a b a == D. 02131= b b a a 9.方程组12312312321 21 3 321x x x x x x x x x a ++=⎧⎪++=⎨⎪++=+⎩有解的充分必要的条件是【 】A. a=-3B. a=-2C. a=3D. a=110. 设η1，η2，η3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是 【 】A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组B. 与η1，η2，η3等秩的向量组C.η1－η2，η2－η3，η3－η1D. η1，η1-η3，η1-η2-η311. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则 【 】A. 方程组有无穷多解B. 方程组可能无解，也可能有无穷多解C. 方程组有唯一解或无穷多解D. 方程组无解12.n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个 【 】A.互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C.线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量13. 下列子集能作成向量空间R n 的子空间的是 【 】A. }0|),,,{(2121=a a a a a nB. }0|),,,{(121∑==ni in aa a aC. },,2,1,|),,,{(21n i z a a a a i n =∈D. }1|),,,{(121∑==n i inaa a a14.若2阶方阵A 相似于矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3- 201B ,E 为2阶单位矩阵,则方阵E –A 必相似于矩阵【 】A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 101 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 1 01- C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 2-00 D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 2-01-15.若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8020001 a a A 正定,则实数a 的取值范围是 【 】 A ．a < 8 B. a ＞4 C ．a ＜-4 D ．-4 ＜a ＜4二、填空题（每小题2分，共20分）。
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3.已知D
，则D
(A ) ( C)
A31 A32 A33 A34 A13 A33 5 A43
(B) A31 2 A32 5 A33 4 A34 (D) ( 1) 1 4 M 14 ( 1) 2 4 M 24 ( 1) 3 4 M 34 (1) 4 4 M 44
3
A＝[(n 1)a 1]＝1 a 1 a ＝[(n 1)a 1] 0 1 a a 1 0 ＝[(n 1)a 1](1 a ) n 1＝0
1 a 0
从而a＝
1 或a 1 . 注意到若a 1，则r ( A) 1，不满足已知条件，舍去. 1 n 所以应选( D) .
ax ay bz az bx by ay bz az bx 证明 左端＝ ay az bx ax by bz az bx ax by az ax by ay bz bx ax by ay bz x az bx az bx y ay bz az bx ＝a y ax by ax by b z az bx ax by z ay bz ay bz x ax by ay bz x ay bz az x bz az bx ＝a y az bx ax b y bx ax by 右端 z ax by ay z by ay bz
2.奇数阶反对称行列式的 值为 ________.
3 0 4 2 2 2 3.设行列式 D 0 7 0 5
解 0
0 2 ，则第四行各元素余子 式之和为 ____ . 0
3 2 2
解 根据行列式展开定理推 论，用第二行每个元素 乘以第四行对应的代数 余子式得： 故应填 0. 2( A41 A42 A43 A44 ) 0，所以A41 A42 A43 A44＝0.
（C） 8D
故应选(C).
1 a a 2.设 Dn a 1 a a a a （A） 1 （B） 1 a a 1 1 （C ） n 1 1 （D） . 1－n
1
0, 但 Dn 1 0，则 a
解
若r ( A) n 1，则 A＝0. 1 a a a a 1 a 0 0 a 0 a 0 0 1 a 1 1 a 0 1 a
本科线性代数作业卷(二)答案
一、
填空题
a b b c a 2c a 3 c a b 2a b 3 1 1 4 _________ . 2
1.
c 2b c 3
a b c 1 b c a 1 2 1 解 第二行 ( )，第三行 ( ) 加至第四行得：D＝ ＝0 c a b 1 3 3 0 0 0 0 所以应填 0.
分析 把D按第三列展开为 D＝a13 A13 a 23 A23 a33 A33 a 43 A43 ＝A13 A33 5 A43 故应选(C) .
三、计算、证明题
1.设 , , 是方程x px q 0的根，求行列式D 的值.
3
1.解
把行列式的第二、三列均加至第一列，并提取公因式得
1 D ＝ ＝( ) 1 1 由 ＝0可知，D Nhomakorabea 0 .
2
a2 2. b2 c2 d2
2a 1 2a 3 2a 5 2b 1 2b 3 2b 5 2c 1 2c 3 2c 5 2d 1 2d 3 2d 5
解
原式c c
b2 c2 d2
ax by ay bz az bx
x
y
z x. y
3.证明： ay bz az bx ax by (a 3 b 3 ) y z az bx ax by ay bz z x
二、选择题
a11 1.如果D＝ a 21 a 31 （A） 2D
分析
a12 a 22 a32
a13 a33
2a11 2a31
2a12 2a 22 2a32
2a13 2a 23 ，则D1 2a33 （D） 8D
a 23 , D1＝ 2a 21
（B） 2 D
D1 2 2 2 D＝8 D
(a 1) 2 (b 1) 2 (c 1) 2 (d 1) 2
(a 2) 2 (b 2) 2 (c 2) 2 (d 2) 2 a2
(a 3) 2 (b 3) 2 (c 3) 2 (d 3) 2 a2 cc b2 c2 d2 2a 1 2 2 2b 1 2 2 2c 1 2 2 2d 1 2 2 ＝0