山东大学本科线性代数作业卷答案-2
《线性代数》期末考试题及详细答案(本科试卷二)
XXX 学年期末考试试卷《线性代数》期末考试题及详细答案（本科试卷二）一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）；1. 若02215131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）；1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组sa a a ，，， 21课程代码：适用班级：命题教师：任课教师：线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100100000010010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)；1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=TA A （ ）。
① n2；② 12-n ； ③ 12+n ； ④ 4；2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关；② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示； ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示； ④ s ααα，，， 21中不含零向量；3. 下列命题中正确的是( )。
山东大学2019-2020学年第一学期数学系《线性代数》试卷
♠山东大学2019-2020学年第一学期数学系《线性代数》试卷一、（24 分）填空题：1. 设n 阶方阵 A 的行列式 A = 2 ，则 A-1 2⋅ A = 122. 设 A 为n 阶可逆阵，则下列 C 恒成立。
（A） (2 A )-1= 2 A -1（C）ϒ( A -1)-1/T= ϒ( A T )-1 /-1（B ） (2 A -1 )T= (2 A T )-1 （D）ϒ( A T )T /-1= ϒ( A -1)-1/T≤'∞ƒ '≤∞ƒ≤'∞ƒ '≤ ∞ƒ3. 若向量组a 1, a 2 ,·, a r （A ） r ≤ s可由另一向量组b 1, b 2 ,·, b s 线性表示，则 C。
（B ） r ≥ s（C ） a 1, a 2 ,·, a r 的秩≤ b 1, b 2 ,·, b s 的秩（D ） a 1, a 2 ,·, a r 的秩≥ b 1, b 2 ,·, b s 的秩♣kx 1 + kx 2 + x 3 = 04. 当k 满足时，齐次线性方程组♦2x 1+ kx 2 + x 3 = 0 有非零解。
♠kx - 2x + x = 0 ♥ 1 2 35. 若齐次线性方程组的一个基础解系为ξ1, ξ2 , ξ3 ，则 D也是该其次线性方程组的基础解系。
（A） ξ1 + ξ2 , ξ2 + ξ3 , ξ3 - ξ1（C） ξ1 - ξ2 , ξ2 + ξ3 , ξ3 + ξ1（B） ξ1 + ξ2 , ξ2 - ξ3 , ξ3 + ξ1（D） ξ1 + ξ2 , ξ2 + ξ3 , ξ3 + ξ16. 设 4 阶方阵 A 的秩为 2，则其伴随阵 A * 的秩为 0。
0 0 1 7． 矩阵 A =0 1 0 的三个特征值为 1，1，-1 。
1 0 08. 二次型 f ( x , x , x ) = x 2 + 2x x1 1 0 + 3x 2的矩阵 A = 1 30 。
山东大学本科线性代数作业卷答案-3
3.已知A, B均为n阶非零矩阵，且AB 0，则 （A）A, B中必有一个可逆矩阵 （C）A, B都为可逆矩阵 （B）A, B都为不可逆矩阵 （D）以上选项均不正确
2
分析 根据可逆矩阵的性质：若AB 0，且A或B可逆，则B 0或A 0 可见与已知条件A 0 B 0 矛盾. 所以A，B均为不可逆矩阵. 故应选(B)
3 0 3 4.已知A 1 4 1 5 6 ( A) 2 , 3 (C ) 3 , 2
2 0 , 且r ( A) 2, 则 , 的值为
( B) 2 , 3 ( D) 3 , 2
分析 对 A 做初等行变换 1 1 A 1 4 1 5 所以 ＝3，＝－2 故应选(D). 2 1 1 0 3 0 0 3 6 0 6 0 1 1 0 3 2 0 0 3 2 3 2 3 0 2 3 2 3 2
2.解矩阵方程： 4 3 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 X 0 0 1 2 0 1 0 0 1 0 1 0 1 2 0
0 1 0 1 0 0 1 4 3 解 记 P1 1 0 0 ，P2 0 0 1 ，B 2 0 1 0 0 1 0 1 0 1 2 0 显然矩阵P1、P2均为初等矩阵，且易知 P1 P1，P2 P1 XP2 B 化为 X P1 BP2 交换第一二行的位置，所以
a1b2 a 2 b2 a n b2
（i = 1,2, , n)
分析 仔细研究矩阵 A的结构，会发现 A中每个元素均不为零， 且A中任意两行 a1 a 2 或两列都成比例，从而 A b1 , b2 , bn GH a n 显然，r (G ) r ( H ) 1，所以1 r ( A) min{r (G ), r ( H )} 1，从而r ( A) 1. 另一方面，由于 a i 0，b 0(i, j 1,2, , n )，故A 0，所以r ( A) 1. 但由于A 中任意两行或两列，因 此r ( A) 2，也可说明 r ( A) 1 故应填1.
线代参考答案(完整版)
线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第一节 行列式的定义一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A D ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ]（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。
济大线代大作业答案
济南大学
线性代数大作业
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第 7 页 共 18
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x 2y z 9 0 x 2y 9 0 也即 有无穷多解， 3 x By z D 0 有无穷多解， 3x By D 0 z0
又
1 0 k 3 R 1 1 0 R ( 1 , 2 , 3 ) 3 ， 0 1 1
1 0 k ∴ 1 1 0 k 1 0 0 1 1
即
k 1 。
5．解 1：过 L 的平面束方程为
( x 2 y z 9) (3x By z D) 0
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4．解： AP PB
A PBP
1
0 1 0 2 0 0 6 1 1
A 2 PBP 1 PBP 1 PB 2 P 1 ， 同理 A5 PB5 P 1
又 B B ，故
有条件知行列式可被 16 整除.
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第二章 矩阵及其运算
一、是非题 二、填空题
1. √ 2. × 3. × 4. × 5. √ 4. a 0
1. 4 ； 2
3. a11a 22 a nn 0
2.
1 0 0 0
B
0 0 1 0
1 0 2. 解：D r2 r1 (1), r3 r1 (1), r4 r1 (1) 0 0 1 0 r3 r2 (2), r4 r2 (3) 0 0 1 1 0 0 1 1 2 3 =1 1 3 3 10 1 1 2 3 1 1 2 3 5 9 9 19
线性代数大学试题及答案
线性代数大学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵|adj(A)|的值为（）。
A. 4B. 8C. 2D. 1答案：B2. 若向量a=(1, 2, 3)，向量b=(2, 3, 4)，则向量a和向量b的点积为（）。
A. 11B. 12C. 13D. 14答案：C3. 设矩阵A和矩阵B为同阶方阵，且AB=I，则矩阵A和矩阵B互为（）。
A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 正交矩阵答案：B4. 设矩阵A为3阶方阵，且A的特征多项式为f(λ)=λ(λ-1)(λ-2)，则矩阵A的特征值为（）。
A. 0, 1, 2B. 0, 1, 3C. 1, 2, 3D. 2, 3, 4答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，则矩阵A的行列式|A|=______。
答案：-22. 设向量a=(1, 2)，向量b=(3, 4)，则向量a和向量b的叉积为向量c=(______, ______)。
答案：-2, 63. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，矩阵B=\[\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 4 & 3\end{bmatrix}\]，则矩阵A和矩阵B的乘积AB=______。
答案：\[\begin{bmatrix}10 & 11 \\ 22 & 25\end{bmatrix}\]4. 设矩阵A的特征值为λ1=2，λ2=3，则矩阵A的特征多项式为f(λ)=______(λ-2)(λ-3)。
答案：(λ-2)(λ-3)三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 3\end{bmatrix}\]，求矩阵A的逆矩阵。
线性代数试题及答案解析
线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。
A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。
A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。
3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。
A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。
4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。
A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。
5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。
A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。
6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。
A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。
7. 矩阵A的特征值是（）。
A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。
大学线性代数习题参考答案
习 题 解 答习 题 一 （A）1.（1）c x c x c x 321,32,2，其中c 为任意常数；（2）无解； （3）41,41,45321x x x ；（4）3,4,1,24321 x x x x ． 2.（1）行阶梯形： 100210221（不唯一）；行最简形：100010001；（2）行阶梯形：0000510402321（不唯一）；行最简形：000045251021201； （3）行阶梯形： 001011（不唯一）；行最简形：001001；（4）行阶梯形：00000007001052011111（不唯一）；行最简形：0000000100210010211001． 3.（1）920,97,32321 x x x ；（2）无解；（3）c x c x c x x 4321,2232,215,247，其中c 为任意常数；（4）2542312211,0,34,,2122c x x c x c x c c x ，其中21,c c 为任意常数．（B）1. 1 ，通解为2312211,,1c x c x c c x ，其中21,c c 为任意常数． 3. A 公司的联合收入为309390.86元，实际收入为216573.60元； B 公司的联合收入为137309.64元，实际收入为27461.93元；C 公司的联合收入为186548.22元，实际收入为55964.47元.（A）1.（1）1；（2）()xy y x ；（3）18；（4）3a ；（5）3a . 2．（1）abcd ；（2）!)1(1n n ．3.（1）abcdef 4 ；（2）192；（3）3(4)a x x ；（4）215 ；（5） ni n i i i a a 11)11(．4.（1）7 ；（2）18；（3）2311(1)n n a a a a a ；（4）12112(1)1n n n D D D D n n ． 5.（1）提示：1n n n D D ，1n n n D D . 6. ()()()()a b c b a c a c b ．7.14243444A +A +A +A 0 ；1112131411121314+84M M M M A A A A ． 8.（1）1,3,2,14321 x x x x ；（2）1,2,0,14321 x x x x ． 9. 3 ． 10. 1 或0 ．（B）1. A ；D ；C ；C ．2. ))((12211221d b d b c a c a ．3. 4x ．4.12(1)(1)2n n n ． 5. 556D a ． 6.1110n n n x a x a x a ． 10. （1）1；（2）01 y x ．（A）1. D 是数量矩阵，也是对角矩阵；A 、C 是三角矩阵；B 都不是．2. （1）347100411；（2）110577695 ．3. 45．4.（1）09018；（2）866 ；（3）10；（4）321642963；（5）3E ； （6）222111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x ．5.（1）1003343301AB ，1030433010BA； （2）906()()600609A B A B ，22006300600A B． 6.0b c B b，其中c b ,为任意常数． 7.（1）cos sin sin cos k k k k；（2）1201k ；（3）2101001k k C k． 8. n A 111123232133312n11112113233323323233n n n n n n n n n ．10.（1）53525451；（2） 133012001；（3）A 91；（4）A 41．11.（1）152384；（2） 001；（3）987654321． 12. 2B A ．14. 12A E 2E A ．16.（1）161；（2）4；（3）16125． 17. 18A．18.（2）20111100200,611A A PBP A．19.（1）125101220049009；（2）bd c c bd d ac ac d ． 20.（1）51000515105352；（2）213200213100005251005153；（3）10000203200011001500088110044． 21.41400100004140004041A．22.8A ，201220128A ． 23．（2）000000000001112111n n a a a a．24.（1）A 不可逆；（2）122999212999221999；（3）11240101113621610 ；（4）A 不可逆． 25.（1）645212333 ；（2）123456789．26.（1）2；（2）2；（3）2；（4）3．27. 3 ．28. 当1k 且2k 时，3)( A R ；当1k 时，()1R A ；当2k 时，()2R A ． 29. 2． 31．2；1.32.（1）只有零解；（2） 2,1,1321 x x x ；（3）(1,7,5,2)T X c ，其中c 为任意常数；（4）无解； （5）(2,1,1)(7,1,0)T T X c ，其中c 为任意常数；（6）12(1,1,0,0)(7,0,3,1)(4,0,1,0)T T TX c c ，其中12,c c 为任意常数．33.（1）0 且3 时，方程组有唯一解；当0 时，无解；当3 时，无穷多解． （2）1 且10 时，方程组有唯一解；当10 时，无解；当1 时，无穷多解． 34. 当1 时，方程组有无穷多解，通解为(1,2,1)(1,1,0)T T X c ，其中c 为任意常数．35.0111321321y y y x x x ． （B）1. C ；C ；C ；D ；A ．2.1()0T T E A B A ． 3.B 13．4. 1()E B320021001． 5.000020002． 6.110441104411044X． 7.1221,c X c c c 为任意常数． 8. 当111a a n 且时， ()R A n ；当1a 时， ()1R A ； 当11a n时， ()1R A n ． 9. 当62 q p 时，方程组的通解为(2,6,1,2)T X c ，其中c 为任意常数．10. 当1 a 且54a 时，方程组有唯一解；当1 a 时，通解为(0,1,1)(1,1,0)T T X c ，其中c 为任意常数；当54a 时，方程组无解．11. 3 t ．14. E B E A 1)(．习 题 四 （A）1. T v v )1,0,1(21 ，T v v v )2,1,0(23321 ．2.（1）1(0,1,2)3T X；（2）(3,1,4)T X ． 3.（1）12341(5)4；（2）123422 ．4.（1）线性相关；（2）线性相关；（3）线性无关；（4）线性相关．7. 11222331311,2211,2211.2211.（1）3),,(321 R ，本身为一个极大无关组； （2）2),,,(4321 R ，21, 为一个极大无关组，且21395911，2149492 ； （3）3),,,,(54321 R ，421,, 为一个极大无关组，且2133 ，4215 ．15.（1）12, 为由向量组123,, 生成的向量空间的一组基，且维数为2；（2）)2,1(． 16. 71(,8,22 ．17.（1）27714192094128P；（2）1393824X． 18.T )1,1,1,1( ．19.（1）方程组的一个基础解系(0,1,1)T ，通解为 c X ，其中c 为任意常数；（2）方程组的一个基础解系1(1,3,2,0)T，T )1,0,1,0(2 ，通解为2211 c c X ，其中21,c c 为任意常数；（3）方程组的一个基础解系T )0,0,1,2(1 ，T )7,5,0,2(2 ，通解为2211 c c X ，其中21,c c 为任意常数；（4）方程组的一个基础解系T )0,0,1,1,0(1 ，T )0,1,0,1,0(2 ，T )3,0,0,5,1(3 ， 通解为332211 c c c X ，其中321,,c c c 为任意常数． 20.（1）TX )4,54,513,514(； （2）通解为123(3,2,0,0,0)(1,2,1,0,0)(1,2,0,1,0)(5,6,0,0,1)T T T T X c c c 其中123,,c c c 为任意常数． （3）(3,3,5,0)T X ．21. 方程组的通解为*(2,0,1)(1,2,2)T T X c c ，其中c 为任意常数．（B）1.（1）1 可由432,, 线性表示；（2）4 不能由321,, 线性表示．2. 当b a 且11b a n时，12,,,0n ，向量组12,,,n 线性无关； 当b a 或11b a n 时，12,,,0n ，向量组12,,,n 线性相关．3. （1）若s ,,,21 线性无关，则当s 为偶数时，s ,,,21 线性相关； 当s 为奇数时，s ,,,21 线性无关；（2）若s ,,,21 线性相关，则s ,,,21 线性相关．10.（2）101110011；（3）111(,,222T ．11. 当0A ，即0)1( p q 时只有零解；当0A ，即0)1( p q 时有非零解，且通解为(1,1,1)T X c p ，其中c 为任意常数． 12. B ．13. 当3a b 时方程组有解，且方程组的通解为T T T T c c c X )1,0,0,6,5()0,1,0,2,1()0,0,1,2,1()0,0,0,3,3(321 ，其中321,,c c c 为任意常数.14. (1,1,1,1)(1,2,3,4)T T X c ，其中c 为任意常数．习 题 五(A)1.（1）A 的特征值为121,6 ；属于11的线性无关的特征向量1(1,1)T ，全部特征向量为111,0k k ；属于62 的线性无关的特征向量是2(1,4)T ，全部特征向量为222,0k k ；（2）A 的特征值为2,132,1 ；属于12,1 的线性无关的特征向量是1(2,1,2)T ，全部特征向量为111,0k k ；属于23 的线性无关的特征向量是2(0,0,1)T ，全部特征向量为222,0k k ；（3）A 的特征值为4,232,1 ；属于特征值22,1 的线性无关的特征向量为12(1,1,0),(1,0,1)T T ，全部特征向量为1122k k 21,(k k 不全为零）；属于34 的线性无关的特征向量是3(1,1,2)T ，全部特征向量为333,0k k ；（4）A 的特征值为1,231,3 ；属于特征值12,1 的线性无关的特征向量为1(1,2,1)T ，全部特征向量为111,0k k ；属于特征值33 的线性无关的特征向量为2(1,2,2)T ，全部特征向量为222,0k k ；（5）A 的特征值为21 ，12 ，43 ；属于特征值21 的线性无关的特征向量为1(1,2,2)T ，全部特征向量为111,0k k ；属于特征值12 的线性无关的特征向量为2(2,1,2)T ，全部特征向量为222,0k k ；属于特征值43 的线性无关的特征向量为3(2,2,1)T ，全部特征向量为333,0k k ；（6）A 的特征值为2,132,1 ；属于特征值12,1 的线性无关的特征向量为12(0,1,0),(1,0,1)T T ，全部特征向量为112212,,k k k k 不全为0；属于特征值23 的线性无关的特征向量为3(0,1,3)T ，全部特征向量为333,0k k ．2. 4 a ．3. 1 x ．4.288B ． 5. A A A 7523 的特征值为3； *A 特征值为6，3，2．6.（1）A 的特征值为2,132,1 ；属于特征值12,1 全部特征向量为T T k k )1,0,0()0,1,2(21 ，1k 、2k 不全为0；属于特征值23 全部特征向量为T k )3,1,5(3 ，03 k ． （2）*A 的特征值为1,2,2 ． （3）123E A 的特征值为1,1 ，72． 9.6 ．10. 1,0 y x ． 11. 0 a ．12.（1）1,3,0a b ；（2）A 不能相似对角化.13.（1）A 不能与对角矩阵相似；（2）A 与对角矩阵相似，213105016P；（3）A 与对角矩阵相似，201101011P．14.111101011P ，m A 2)1(5)1(5)1(5)1(52)1(5)1(5)1(5)1(52)1(531111111m m m m m m m m m m m m m m m m m m ． 15.633312321A ．17. 7,15 ，1056arccos, ．18.3 T1,0,1 ．19.12(5,3,1,0)(5,3,0,1)T T k k ，其中1k 、2k 为任意常数． 20.（1）T 0,21,211 ，T62,61,612 ，T31,31,313 ； （2）T )21,21,21,21(1 ,T )21,21,21,21(2 ,T )21,21,21,21(3 ． 21.（1）12212123221Q；（2）10000Q； （3）123132(,,)3203Q； （4）123132(,,)3203Q. 22. 属于特征值3的特征向量为3322 k k ，2k 、3k 不全为0．23.010100001．24．（1）A 的另一特征值03 ．A 的属于特征值03 全部特征向量为Tk k )1,1,1( 0k ；（2）A422242224．（B）一. A ；C ；D ；C ；B ；A ；A ；B ；B ；B ；A ；C ；D ；B ；B ；B ；B ；B ；C ；D二．1.20042230022030001BA E A ． 2.（1）2,2x y ；（2）属于1,22 的线性无关的特征向量为T T )1,0,1(,)0,1,1(21 ；属于63 的线性无关的特征向量为T )3,2,1(3 ；123()P3.(1) 1,231,5 ;(2) 1 A E 的特征值为1,234(1)2,(5)5g g ． 4. 当1,1x y 时或1 x 时，A 有三个线性无关的特征向量．5．（2）1100011001P AP．6.（1）A 的特征值为1,230,3 ．属于1,20 的线性无关的特征向量为12, ；属于33 的线性无关的特征向量为3 ；（2）T 22,22,0(1 ，T66,66,36(2，3,,)333T，123(,,)Q ． 7.（1）0 a ，2 b ；（2）1(1,0,1)T p ，2(0,2,1)T p ，3(0,1,1)T p ，123(,,)P p p p ；（3）121221222222002331101100100101100101100100A． 8. A 的特征值为120,1 ．9.（1）B 的特征值为123(1)2,(2)1,(2)1 ；B 的属于12 的线性无关的特征向量为T )1,1,1(1 ，全部特征向量为111,0k k ；B 的属于2,31 的线性无关的特征向量，全部特征向量为112212,,k k k k 不全为零；（2）011101110B．10.（1）0；（2）A 的特征值全为零，属于特征值0的全部特征向量为112211n n k k k ，其中121,,,n k k k 是不全为零的任意常数．11. *A 有特征值4/3． 12.（1）a=-2；（2）TT T )31,31,31(,)61,62,61(,21,0,21(121),,(321 Q .13.（1）32122 ；（2）n A T n n n n n n )322,322,322(23121 ．14. （1）若2 是特征多项式的二重根，则2a ，A 可相似对角化； （2）若2 不是特征多项式的二重根，则32a ，A 不能相似对角化． 15.（1）11n n n n x x A y y ，其中5310152109A ； （2）1 是A 的属于特征值11 的特征向量，2 是A 的属于特征值12 的特征向量；又21 ，所以1 ,2 线性无关；（3）n n n n y x 23223810111． 16.（1）0k ；（2）令120002111)(321P ，有1100010001P AP． 17.（1）0,3,1 b a ；（2） 对应的特征值为1,2,31 ；（3）A 不能相似对角化． 18. E B 2 的特征值分别为9、3；对应于特征值1,29 的全部特征向量为12(1,1,0)(1,1,1)T T k k ，其中21,k k 是不全为零的常数；对应于特征值33 的全部特征向量为3(0,1,1)T k ，30k ．19. 1a ； 101211 ， 121612 ，111313 ，令123(,,)Q ，有500020004AQ Q T ．习 题 六 （A ）1.（1）51222225222A ；（2）502022010510020001A ；（3）1100011100011100011100011A；（4）3512232125132A．2. 3a ．3.（1）可逆线性变换1111222333111112011011001001x w w x w w x w w，二次型的标准形为22212347f w w w ； （2）可逆线性变换为1111222333110101111110010111001001001x z z x z z x z z，二次型的标准形为222123f z z z ； （3）可逆线性变换1111222333511111211010122001001x w w x w w x w w， 二次型的标准形为22212349f w w w ；（4）可逆线性变换1111222333111112013013001001x w w x w w x w w，二次型的标准形为2221235f w w w ．4.（1）1T，23(,(T T，令正交矩阵123(,,)Q ，得正交变换X QY ，二次型的标准形为222333f y y ； （2）1221(,,333T ，2212(,,)333T ，3122(,,)333T，令正交矩阵123(,,)Q ，得正交变换X QY ，二次型的标准形为22212325f y y y ；（3）12(,(T T，3T，令正交矩阵123(,,)Q ，得正交变换X QY ，二次型的标准形为222122333f y y y ；（4）12(0),T T，3(T，令正交矩阵123(,,)Q ，得正交变换X QY ，二次型的标准形为2221232f y y y ． 5.（1）正定；（2）负定. 6．405a． 7.（1）正定；（2）负定．（B）2. 3a ；123(,,)1f x x x 是一椭圆柱面．3. 2254548x xy y 表示椭圆曲线．4.（1）最大值为7,;T（2）最大值为4，(.T。
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3.已知D
，则D
(A ) ( C)
A31 A32 A33 A34 A13 A33 5 A43
(B) A31 2 A32 5 A33 4 A34 (D) ( 1) 1 4 M 14 ( 1) 2 4 M 24 ( 1) 3 4 M 34 (1) 4 4 M 44
3
A＝[(n 1)a 1]＝1 a 1 a ＝[(n 1)a 1] 0 1 a a 1 0 ＝[(n 1)a 1](1 a ) n 1＝0
1 a 0
从而a＝
1 或a 1 . 注意到若a 1，则r ( A) 1，不满足已知条件，舍去. 1 n 所以应选( D) .
ax ay bz az bx by ay bz az bx 证明 左端＝ ay az bx ax by bz az bx ax by az ax by ay bz bx ax by ay bz x az bx az bx y ay bz az bx ＝a y ax by ax by b z az bx ax by z ay bz ay bz x ax by ay bz x ay bz az x bz az bx ＝a y az bx ax b y bx ax by 右端 z ax by ay z by ay bz
2.奇数阶反对称行列式的 值为 ________.
3 0 4 2 2 2 3.设行列式 D 0 7 0 5
解 0
0 2 ，则第四行各元素余子 式之和为 ____ . 0
3 2 2
解 根据行列式展开定理推 论，用第二行每个元素 乘以第四行对应的代数 余子式得： 故应填 0. 2( A41 A42 A43 A44 ) 0，所以A41 A42 A43 A44＝0.
（C） 8D
故应选(C).
1 a a 2.设 Dn a 1 a a a a （A） 1 （B） 1 a a 1 1 （C ） n 1 1 （D） . 1－n
1
0, 但 Dn 1 0，则 a
解
若r ( A) n 1，则 A＝0. 1 a a a a 1 a 0 0 a 0 a 0 0 1 a 1 1 a 0 1 a
本科线性代数作业卷(二)答案
一、
填空题
a b b c a 2c a 3 c a b 2a b 3 1 1 4 _________ . 2
1.
c 2b c 3
a b c 1 b c a 1 2 1 解 第二行 ( )，第三行 ( ) 加至第四行得：D＝ ＝0 c a b 1 3 3 0 0 0 0 所以应填 0.
分析 把D按第三列展开为 D＝a13 A13 a 23 A23 a33 A33 a 43 A43 ＝A13 A33 5 A43 故应选(C) .
三、计算、证明题
1.设 , , 是方程x px q 0的根，求行列式D 的值.
3
1.解
把行列式的第二、三列均加至第一列，并提取公因式得
1 D ＝ ＝( ) 1 1 由 ＝0可知，D Nhomakorabea 0 .
2
a2 2. b2 c2 d2
2a 1 2a 3 2a 5 2b 1 2b 3 2b 5 2c 1 2c 3 2c 5 2d 1 2d 3 2d 5
解
原式c c
b2 c2 d2
ax by ay bz az bx
x
y
z x. y
3.证明： ay bz az bx ax by (a 3 b 3 ) y z az bx ax by ay bz z x
二、选择题
a11 1.如果D＝ a 21 a 31 （A） 2D
分析
a12 a 22 a32
a13 a33
2a11 2a31
2a12 2a 22 2a32
2a13 2a 23 ，则D1 2a33 （D） 8D
a 23 , D1＝ 2a 21
（B） 2 D
D1 2 2 2 D＝8 D
(a 1) 2 (b 1) 2 (c 1) 2 (d 1) 2
(a 2) 2 (b 2) 2 (c 2) 2 (d 2) 2 a2
(a 3) 2 (b 3) 2 (c 3) 2 (d 3) 2 a2 cc b2 c2 d2 2a 1 2 2 2b 1 2 2 2c 1 2 2 2d 1 2 2 ＝0