西南大学线性代数作业答案

第一次

行列式部分的填空题

1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符号应取 + 号。 2．排列45312的逆序数为 5 。

3．行列式2

51122

1

4---x

中元素x 的代数余子式是 8 ． 4．行列式1

02

325

4

3

--中元素-2的代数余子式是 —11 。 5．行列式2

51122

1

4--x 中，x 的代数余子式是 —5 。

6．计算0

000

0d c b

a = 0

行列式部分计算题 1．计算三阶行列式

3

811411

02--- 解：原式=2×（—4）×3+0×（—1）×（—1）+1×1×8—1×（—1）×

（—4）—0×1×3—2×（—1）×8=—4

2．决定i 和j ，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解：i =8，j =5。

3．(7分)已知0010413≠x x x

，求x 的值．

解：原式=3x 2—x 2—4x=2 x 2—4x=2x(x —2)=0 解得：x 1=0；x 2=2

所以 x={x │x ≠0；x ≠2 x ∈R } 4．(8分)齐次线性方程组

⎪⎩

⎪

⎨⎧=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解，求λ。

解：()211

1

1

010001

1

111111-=--=

=λλλλλD

由D=0 得 λ=1

5．用克莱姆法则求下列方程组：

⎪⎩

⎪

⎨⎧=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解：因为

33113

210421711

7021

0421911

701890421351132

1

5

421231

312≠-=⨯-⨯=-------=-------=）（r r r r r r D 所以方程组有唯一解，再计算：

81111021

29

4

2311-=-=D 1081

103229543112-==D

13510

13291

5

31213=-=D

因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是：

x=27，y=36，z=—45

第二次

线性方程组部分填空题

1．设齐次线性方程组A x =0的系数阵A 的秩为r ，当r= n 时，则A x =0 只有零解；当A x =0有无穷多解时，其基础解系含有解向量的个数为 n-r .

2．设η1，η2为方程组A x =b 的两个解，则 η1－η2或η2－η1 是其导出方程组的解。

3．设α0是线性方程组A x =b 的一个固定解，设z 是导出方程组的某个解，则线性方程组A x =b 的任意一个解β可表示为β= α0+z . 4．若n 元线性方程组A x =b 有解，R （A ）=r ，则当 [r =n 时，有惟一解；当 ,r ＜n 时，有无穷多解。

5．A 是m ×n 矩阵，齐次线性方程组A x =0有非零解的充要条件是 R （A ）＜n .

6．n 元齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是 |A|不等于0 。

7 线性方程组Ax =b 有解的充要条件是r (Ab )=r (A ) 。 8．设1u 是线性方程组A x =b 的一个特解，r n v v v -,,,21 是其导出组的基础解系，则线性方程组A x =b 的全部解可以表示为u =

r n r n v c v c v c u --++++ 22111

1．求线性方程组

⎪⎩⎪

⎨⎧-=++-=+-+-=+-2

2334731

24321

4321421x x x x x x x x x x x 的通解.

答案：通解为：x=k 1),(001010110121212R k k k ∈⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡

2．求齐次线性方程组

⎪⎩⎪

⎨⎧=-++=--+=-++0

51050363024321

43214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系. 答案：基础解系为

v 1=⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡-1001,00122v

3．求非齐次线性方程组的通解

⎪⎩⎪

⎨⎧=+++=-++=+-+3

2221

2432

143214321x x x x x x x x x x x x 答案：同解方程组为

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧

=+=-=+1210231

23434241x x x x x x ，通解为)(21330101R k k x ∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 4 求方程组的通解

⎪⎩⎪

⎨⎧-=+-+=-+-=--+2

53443231

24321

43214321x x x x x x x x x x x x 答案：化为同解方程组⎪⎩

⎪⎨⎧

-

=--=+-75

79757

67171432431x x x x x x 通解为⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00757610797101757121k k x 5．已知线性方程组

1324321=+++x x x x

4324321-=-++x x x x