圆锥曲线中的最值的问题(解析版)

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圆锥曲线中的定值问题-(解析版)

专题3 圆锥曲线中的定值问题在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值、角度等基本量与参变量无关，这类问题统称为定值问题．对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； ② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值。

题型1、与面积有关的定值问题经典例题：1．（2021·四川成都市·高三三模（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为，其离心率与双曲线221x y -=的离心率互为倒数.（1）求椭圆C 的方程；（2）将椭圆C 上每一点的横坐标扩大为原来倍，纵坐标不变，得到曲线1C ，若直线:l y kx t =+与曲线1C 交于P 、Q 两个不同的点，O 为坐标原点，M 是曲线1C 上的一点，且四边形OPMQ 是平行四边形，求四边形OPMQ 的面积.【答案】（1）2212x y +=；（2 【分析】（1）根据已知条件求出a 、b 、c 的值，由此可得出椭圆C 的方程；（2）求出曲线1C 的方程，设()11,P x y 、()22,Q x y 、()00,M x y ，将直线l 的方程与曲线1C 的方程联立，列出韦达定理，求出点M 的坐标，代入曲线1C 的方程，可得出22414t k =+，求得PQ 以及点O 到直线PQ 的距离，利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】（1）由已知，2a =，所以a =221x y -=，可知，椭圆C 的离心率为c a =即a =，故1c =，进而1b ==，所以椭圆C 的方程为2212x y +=；（2）将椭圆C倍，纵坐标不变，得到曲线1C 的方程为2214x y +=，设()11,P x y 、()22,Q x y 、()00,M x y ，由()2222214844044y kx tk x ktx t x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩，由韦达定理可得122814kt x x k -+=+，21224414t x x k-=+，且()()()2228414440∆=-+->kt kt，即2214<+t k ，由四边形OPMQ 是平行四边形，所以OM OP OQ =+，则0122814kt x x x k -=+=+，()0121222214t y y y k x x t k =+=++=+，因为点M 在椭圆上，所以222282141414-⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭+= ⎪+⎝⎭kt t k k ，整理可得22414t k =+，所以21222441114-==-+t x x k t ，则PQ ===，O 到直线l 的距离d =OPMQ 的面积为PQ d ⋅=.【点睛】求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．2．（2021·安徽高三其他模拟（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点P ⎛ ⎝⎭．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点A 、B 分别是椭圆C 的左顶点和上顶点，M 、N 为椭圆C 上异于A 、B 的两点，满足//AM BN ，求证：OMN 面积为定值．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析．【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，结合这三个量的值，由此可得出椭圆C 的标准方程；（2）设直线AM 的方程为()2y k x =+，设直线BN 的方程为1y kx =+，将这两条直线分别与椭圆C 的方程联立，求出点M 、N 的坐标，求出OM 以及点N 到直线OM 的距离，利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】（1）由已知条件可得2222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）设()11,M x y 、()22,N x y ，由题意直线AM 、BN 的斜率存在，设直线AM 的方程为()2y k x =+①，设直线BN 的方程为1y kx =+②，由（1）椭圆22:14x C y +=③，联立①③得()222241161640k x k x k +++-=，解得2122841k x k -=+，即222284,4141k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，联立②③，得()224180k x kx ++=，所以，22841kx k =-+，即222148,4141k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭-，易知OM =直线OM 的方程为110y x x y -=，点N 到直线OM的距离为d =所以211222222211841222414121411844OMNx y x y k k S OM d k k k k k k --=⋅==⋅-⋅=++++--△，故OMN 面积为定值1．【点睛】求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．3.（2021年北京高考模拟）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，ΔOAB 的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：四边形ABNM 的面积为定值．【解析】（Ⅰ）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab ac 解得1,2==b a .所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .因为AN ⊥BM ，所以12ABNM S AN BM =⋅⋅ 1°当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y . 令0=x ，得2200--=x y y M .从而221100-+=-=x y y BM M.直线PB 的方程为1100+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N .从而12200-+=-=y x x AN N . 所以0000211212212ABNM x y S AN BM y x =⋅⋅=⋅+⋅+-- 2200000000000000000044484448811222222x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++--+--+==--+--+2=. 2°当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以四边形ABNM 的面积为定值。

高考数学一轮复习高考大题专项五突破1圆锥曲线中的最值范围问题学案理含解析北师大版

直线与圆锥曲线高考大题专项(五)直线与圆锥曲线考情分析从近五年的高考试题来看,圆锥曲线问题在高考中属于必考内容,并且常常在同一份试卷上多题型考查.对圆锥曲线的考查在解答题部分主要体现以下考法:第一问一般是先求圆锥曲线的方程或离心率等较基础的知识;第二问往往涉及定点、定值、最值、取值范围等探究性问题,解决此类问题的关键是通过联立方程来解决.突破1圆锥曲线中的最值、范围问题题型一圆锥曲线中的最值问题突破策略一目标函数法【例1】(2020山东烟台模拟,21)已知直线x+y=1过椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,且交椭圆于A,B两点,线段AB的中点是M(23,1 3 ).(1)求椭圆的方程;(2)过原点的直线l与线段AB相交(不含端点)且交椭圆于C,D两点,求四边形ACBD面积的最大值.解题心得当题目给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,再求这个函数的最值(或值域).常用方法有:(1)配方法;(2)基本不等式法;(3)单调性法;(4)三角换元法;(5)导数法等,要特别注意自变量的取值范围.对点训练1(2020山西太原三模,理20)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2,且过点(1,32).(1)求椭圆C的方程;(2)已知△BMN是椭圆C的内接三角形,若坐标原点O为△BMN的重心,求点O到直线MN 距离的最小值.突破策略二基本不等式法【例2】(2020浙江,21)如图,已知椭圆C1:x22+y2=1,抛物线C2:y2=2px(p>0),点A是椭圆C1与抛物线C2的交点,过点A的直线l交椭圆C1于点B,交抛物线C2于M(B,M不同于A).(1)若p=116,求抛物线C2的焦点坐标;(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点,求p的最大值.解题心得圆锥曲线中的有关平面几何图形面积的最值问题,通过某一变量表示出图形的面积的函数表达式,转化为函数的最值问题,然后利用重要不等式,基本不等式,函数的值域求解最值,注意基本不等式应用条件及等号取得的条件.对点训练2(2020陕西榆林三模,文21)已知椭圆E:x 2a2+y23=1(a>√3)的离心率e=12.直线x=t(t>0)与曲线E交于不同的两点M,N,以线段MN为直径作圆C,圆心为C.(1)求椭圆E的方程;(2)若圆C与y轴相交于不同的两点A,B,求△ABC的面积的最大值.题型二圆锥曲线中的范围问题(多维探究)突破策略一条件转化法【例3】(2020湖南湘潭一模)已知F(√3,0)为椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点,点M(√3,12)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l与椭圆C分别相交于A,B两点,且k OA+k OB=-12(O为坐标原点),求直线l的斜率的取值范围.解题心得求某一量的取值范围,要看清与这个量有关的条件有几个,有几个条件就可转化为几个关于这个量的不等式,解不等式取交集得结论.对点训练3(2020河北邢台模拟,理21)已知抛物线C :x 2=2py (p>0)的焦点为F ,直线l 与抛物线C 交于P ,Q 两点.(1)若l 过点F ,抛物线C 在点P 处的切线与在点Q 处的切线交于点G.证明:点G 在定直线上.(2)若p=2,点M 在曲线y=-√1-x 2上,MP ,MQ 的中点均在抛物线C 上,求△MPQ 面积的取值范围.突破策略二构造函数法【例4】已知直线x=-2上有一动点Q ,过点Q 作直线l ,垂直于y 轴,动点P 在l 上,且满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0(O 为坐标原点),记点P 的轨迹为C. (1)求曲线C 的方程;(2)已知定点M (-12,0),N (12,0),点A 为曲线C 上一点,直线AM 交曲线C 于另一点B ,且点A 在线段MB 上,直线AN 交曲线C 于另一点D ,求△MBD 的内切圆半径r 的取值范围.难点突破(1)设点P 的坐标为(x ,y ),结合题意得出点Q 的坐标,再利用向量数量积的运算可得出点P 的轨迹方程;(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D (x 3,y 3),设直线AM 的方程为y=k (x +12),将该直线方程与曲线C 的方程联立,结合韦达定理进行计算得出点B 和点D 的横坐标相等,于是得出BD ⊥x 轴,根据几何性质得出△MBD 的内切圆圆心H 在x 轴上,且该点与切点的连线与AB 垂直.方法1是计算出△MBD 的面积和周长,利用等面积法可得出其内切圆的半径的表达式; 方法2是设H (x 2-r ,0),直线BD 的方程为x=x 2,写出直线AM 的方程,利用点H 到直线AB 和AM 的距离相等得出r 的表达式;方法3是利用△MTH ∽△MEB ,得出MH MB=HT BE,然后通过计算得出△MBD 内切圆半径r 的表达式.通过化简得到r 关于x 2的函数表达式,并换元t=x 2+12>1,将函数关系式转化为r 关于t 的函数关系式,然后利用单调性可求出r 的取值范围.解题心得在求直线与圆锥曲线的综合问题中,求与直线或与圆锥曲线有关的某个量d 的取值范围问题,依据已知条件建立关于d 的函数表达式,转化为求函数值的取值范围问题,然后利用函数的方法或解不等式的方法求出d 的取值范围.对点训练4(2020山东青岛三模,21)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为12,其左、右顶点分别为A 1,A 2,上、下顶点分别为B 2,B 1,四边形A 1B 1A 2B 2的面积为4√3.(1)求椭圆E 的方程;(2)若椭圆E 的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2的直线l 与椭圆交于不同的两点M ,N ,记△F 1MN 的内切圆的半径为r ,试求r 的取值范围.高考大题专项(五) 直线与圆锥曲线突破1 圆锥曲线中的最值、范围问题例1解(1)直线x+y=1与x 轴交于点(1,0),所以椭圆右焦点的坐标为(1,0),故c=1.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意得x 1+x 2=43,y 1+y 2=23,且y 2-y 1x 2-x 1=-1,又x 12a 2+y 12b 2=1,x 22a 2+y 22b 2=1,作差可得x 22-x 12a 2+y 22-y 12b 2=0,则(x 2-x 1)(x 2+x 1)a 2+(y 2-y 1)(y 2+y 1)b 2=0,得a 2=2b 2.又因为a 2=b 2+c 2,c=1,所以a 2=2,b 2=1,因此椭圆的方程为x22+y 2=1.(2)由(1)联立{x 22+y 2=1,x +y =1,解得{x =0,y =1或{x =43,y =-13.不妨令A (0,1),B (43,-13),易知直线l 的斜率存在,设直线l :y=kx ,代入x 22+y 2=1,得(2k 2+1)x 2=2, 解得x=√2√2k 2+1或x=-√2√2k 2+1, 设C (x 3,y 3),D (x 4,y 4), 则|x 3-x 4|=√2√2k 2+1+√2√2k 2+1=2√2√2k 2+1,则|CD|=√1+k 2|x 3-x 4|=√1+k 2·2√2√2k 2+1.因为A (0,1),B (43,-13)到直线y=kx 的距离分别是d 1=1√1+k 2,d 2=|43k+13|√1+k 2,由于直线l 与线段AB (不含端点)相交,所以(k×0-1)(43k +13)<0,即k>-14,所以d 1+d 2=43k+43√1+k 2=43(k+1)√1+k 2.四边形ACBD 的面积S=12|CD|·d 1+12|CD|·d 2=12|CD|(d 1+d 2)=4√23·k+1√2k 2+1, 令k+1=t ,t>34,则2k 2+1=2t 2-4t+3,所以S=4√23·t √2t 2-4t+3=4√23·√t 22t 2-4t+3=4√23·√12-4t +3(1t)2,当1t =23,即k=12时,S max =4√23×√124-1612=4√33.因此四边形ACBD 面积的最大值为4√33. 对点训练1解(1)因为椭圆C 的焦距为2,所以a 2-b 2=1,因为椭圆过点(1,32),所以1a 2+94b 2=1,解得a 2=4,b 2=3.故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)设B (m ,n ),记线段MN 中点为D.因为O 为△BMN 的重心,所以BO⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 则点D 的坐标为(-m2,-n2). 若n=0,则|m|=2,此时直线MN 与x 轴垂直,故原点O 到直线MN 的距离为|m 2|,即为1. 若n ≠0,此时直线MN 的斜率存在.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=-m ,y 1+y 2=-n.又x 124+y 123=1,x 224+y 223=1,两式相减得(x 1+x 2)(x 1-x 2)4+(y 1+y 2)(y 1-y 2)3=0,可得直线MN 的斜率k MN =y 1-y 2x 1-x 2=-3m4n .故直线MN 的方程为y=-3m4n (x +m2)−n2,即6mx+8ny+3m 2+4n 2=0,则点O 到直线MN 的距离为d=|3m 2+4n 2|√36m 2+64n 2,将m 24+n 23=1,代入得d=3√n 2+9.因为0<n 2≤3,所以d min =√32.又√32<1,故原点O 到直线MN 距离的最小值为√32.例2解(1)由p=116,得抛物线C 2的焦点坐标是(132,0).(2)由题意可设直线l :x=my+t (m ≠0,t ≠0),点A (x 0,y 0).将直线l 的方程代入椭圆C 1:x 22+y 2=1,得(m 2+2)y 2+2mty+t 2-2=0, 所以点M 的纵坐标y M =-mtm 2+2.将直线l 的方程代入抛物线C 2:y 2=2px ,得y 2-2pmy-2pt=0, 所以y 0y M =-2pt , 解得y 0=2p (m 2+2)m, 因此x 0=2p (m 2+2)2m 2.由x 022+y 02=1,得1p 2=4(m +2m )2+2(m +2m )4≥160,所以当m=√2,t=√105时,p 取到最大值√1040.对点训练2解(1)∵椭圆E :x 2a2+y 23=1(a>√3)的离心率e=12,∴√a 2-3a=12,解得a=2.∴椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.(2)依题意,圆心为C (t ,0)(0<t<2).由{x =t ,x 24+y 23=1,得y 2=12-3t 24.∴圆C 的半径为r=√12-3t 22.∵圆C 与y 轴相交于不同的两点A ,B ,且圆心C 到y 轴的距离d=t , ∴0<t<√12-3t 22,即0<t<2√217. ∴弦长|AB|=2√r 2-d 2=2√12-3t24-t 2=√12-7t 2.∴△ABC 的面积S=12·t √12-7t 2=12√7×√7t×√12-7t 2≤12√7×(√7t )2+12-7t 22=3√77, 当且仅当√7t=√12-7t 2,即t=√427时,等号成立. ∴△ABC 的面积的最大值为3√77. 例3解(1)由题意知,椭圆的另一个焦点为(-√3,0),所以点M 到两焦点的距离之和为√(2√3)2+(12)2+12=4.所以a=2.又c=√3,所以b=1,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)当直线l 的斜率不存在时,结合椭圆的对称性可知,k OA +k OB =0,不符合题意.故设直线l 的方程为y=kx+m (k ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立{x 24+y 2=1,y =kx +m ,可得(4k 2+1)x 2+8kmx+4(m 2-1)=0.则x 1+x 2=-8km4k 2+1,x 1x 2=4(m 2-1)4k 2+1.而k OA +k OB =y1x 1+y2x 2=(kx 1+m )x 2+(kx 2+m )x 1x 1x 2=2k+m (x 1+x 2)x 1x 2=2k+-8km 24(m 2-1)=-2km 2-1.由k OA +k OB =-12,可得m 2=4k+1,所以k ≥-14.又由Δ>0,得16(4k 2-m 2+1)>0, 所以4k 2-4k>0,解得k<0或k>1,综上,直线l 的斜率的取值范围为[-14,0)∪(1,+∞).对点训练3 (1)证明易知F (0,p2),设P (x 1,x 122p ),Q (x 2,x 222p).由题意可知直线l 的斜率存在,故设其方程为y=kx+p2. 由{y =kx +p2,x 2=2py ,得x 2-2pkx-p 2=0,所以x 1x 2=-p 2.由x 2=2py ,得y=x 22p ,y'=x p ,则直线PG 的斜率k PG =x1p , 直线PG 的方程为y-x 122p =x 1p(x-x 1),即x 1p x-y-x 122p =0.① 同理可得直线QG 的方程为x2p x-y-x 222p =0.②联立①②,可得(x 1-x 2)y=x 1x 2(x 1-x 2)2p .因为x 1≠x 2,所以y=x 1x 22p=-p2,故点G 在定直线y=-p2上.(2)解设M (x 0,y 0),P (x 1,x 124),Q x 2,x 224,MP ,MQ 的中点分别为(x 1+x 02,x 124+y02),(x 2+x 02,x 224+y02).因为MP ,MQ 的中点均在抛物线上,所以x 1,x 2为方程(x+x 02)2=4×x 24+y 02的解,即方程x 2-2x 0x+8y 0-x 02=0有两个不同的实数根,则x 1+x 2=2x 0,x 1x 2=8y 0-x 02,Δ=(2x 0)2-4(8y 0-x 02)>0,即x 02>4y 0.所以PQ 的中点N 的横坐标为x 0,纵坐标为18(x 12+x 22).则|MN|=18(x 12+x 22)-y 0=18[(x 1+x 2)2-2x 1x 2]-y 0=34x 02-3y 0,|x 1-x 2|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2√2(x 02-4y 0), 所以△MPQ 的面积S=12|MN|·|x 1-x 2|=3√24(x 02-4y 0)32.由y 0=-√1-x 02,得x 02=1-y 02(-1≤y 0≤0),所以x 02-4y 0=-y 02-4y 0+1=-(y 0+2)2+5.因为-1≤y 0≤0,所以1≤-(y 0+2)2+5≤4,所以△MPQ 面积的取值范围为[3√24,6√2]. 例4解(1)设P (x ,y ),则Q (-2,y ),∴OP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ),OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,y ). ∵OP⃗⃗⃗⃗⃗ ·OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2x+y 2=0,即y 2=2x. (2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D (x 3,y 3),直线BD 与x 轴交点为E ,内切圆与AB 的切点为T.设直线AM 的方程为y=k x+12,则联立方程{y =k(x +12),y 2=2x ,得k 2x 2+(k 2-2)x+k 24=0. ∴x 1x 2=14,又0<x 1<x 2,∴x 1<12<x 2,∴直线AN 的方程为y=y 1x 1-12x-12,与方程y 2=2x 联立,得y 12x 2-y 12+2x 12-2x 1+12x+14y 12=0,化简得2x 1x 2-2x 12+12x+12x 1=0.解得x=14x 1或x=x 1.∴x 3=14x 1=x 2,∴BD ⊥x 轴.设△MBD 的内切圆圆心为H ,则H 在x 轴上且HT ⊥AB.(方法1)∴S △MBD =12·x 2+12·2|y 2|,且△MBD 的周长为2√(x 2+12) 2+y 22+2|y 2|. ∴S △MBD =122√(x 2+12) 2+y 22+2|y 2|·r=12·x 2+12·|2y 2|.∴r=(x 2+12)|y 2||y 2|+√(x 2+12) 2+y 22=11x 2+12+√1y 22+1(x 2+12) 2=1√12x 2+1(x 2+12) 2+1x 2+12.令t=x 2+12,则t>1,∴r=1√12t -1+1t 2+1t在(1,+∞)上单调递增,则r>1√2+1,即r 的取值范围为(√2-1,+∞).(方法2)设H (x 2-r ,0),直线BD 的方程为x=x 2,其中y 22=2x 2.直线AM 的方程为y=y 2x 2+12x+12,即y 2x-x 2+12y+12y 2=0,且点H 与点O 在直线AB 的同侧,∴r=|(x 2-r )y 2+12y 2|√(x 2+12) 2+y 22=(x 2-r )y 2+12y 2√(x 2+12) 2+y 22,解得r=x 2y 2+12y 2y 2+√(x 2+12) 2+y 22=1√12x 2+1(x 2+12) 2+1x 2+12.以下同方法1.(方法3)∵△MTH ∽△MEB ,∴MH MB =HTBE ,即x 2+12-r√(x 2+12) 2+y 22=r|y 2|,解得r=(x 2+12)|y 2||y 2|+√(x 2+12) 2+y 22=x 2+12√(x 2+12) 2y 22+1+1=1√12x 2+1(x 2+12) 2+1x 2+12.以下同方法1.对点训练4解(1)因为椭圆E 的离心率为12,所以e=ca =12.因为四边形A 1B 1A 2B 2的面积为4√3,所以12×2a×2b=4√3.又a 2=b 2+c 2,解得a=2,b=√3,c=1,所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则△F 1MN 的周长为4a=8, S △F 1MN =12(|F 1M|+|F 1N|+|MN|)r=4r ,即r=14S △F 1MN .当l ⊥x 轴时,l 的方程为x=1,|MN|=3,r=14S △F 1MN =14×12|MN|×|F 1F 2|=34.当l 与x 轴不垂直时,设l :y=k (x-1)(k ≠0),由{y =k (x -1),x 24+y 23=1,得(4k 2+3)y 2+6ky-9k 2=0,所以y 1+y 2=-6k 4k 2+3,y 1y 2=-9k 24k 2+3.S △F 1MN =S △F 1F 2M +S △F 1F 2N =12|F 1F 2|·|y 2|+12|F 1F 2|·|y 1|=12|F 1F 2|·|y 2-y 1|=12|F 1F 2|·√(y 2+y 1)2-4y 1y 2=12×2×√(-6k4k 2+3)2-4(-9k 24k 2+3) =12√k 2(k 2+1)(4k 2+3)2,所以r=14S △F 1MN =3√k 2(k 2+1)(4k 2+3)2,令4k 2+3=t ,则t>3,r=34√t 2-2t -3t 2=34√-3(1t )2-2(1t)+1=34√-3(1t +13)2+43, 因为t>3,所以0<1t <13,所以0<r<3.4].综上可知,r的取值范围为(0,34。

专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题微点1 圆锥曲线中的最值问题试题及答案

题型四、与面积有关的最值问题
例7．
7．已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为− .记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明：是直角三角形；
最值问题不仅解答题中分量较大，而且客观题中也时常出现．
一、常用方法
解决圆锥曲线中的最值问题，常见的方法有：
（1）函数法：一般需要找出所求几量的函数解析式，要注意自变量的取值范围．求函数的最值时，一般会用到配方法、均值不等式或者函数单调性．
（2）方程法：根据题目中的等量关系建立方程，根据方程的解的条件得出目标量的不等关系，再求出目标量的最值．
题型三、与向量有关的最值问题
例6．
6．如图，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为A，P为椭圆C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，在y轴上截距为3－的直线l与AF平行且与圆C2相切．
(1)求椭圆C1的离心率；
(2)若椭圆C1的短轴长为8，求 · 的最大值．
题型二、与角度有关的最值问题
例5．
5．在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为 .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为 .求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题微点1 圆锥曲线中的最值问题
专题23圆锥曲线中的最值、范围问题

2025高考数学一轮复习-圆锥曲线中的最值、范围问题-专项训练【含解析】

课时过关检测(五十四)圆锥曲线中的最值、范围问题【原卷版】1．在平面直角坐标系中，圆O 交x 轴于点F 1，F 2，交y 轴于点B 1，B 2．以B 1，B 2为顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点的椭圆E (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设经过点(－2,0)的直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，求△F 2MN 面积的最大值．2．已知抛物线C ：y 2＝4x ，点F 是C 的焦点，O 为坐标原点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．(1)求向量OA ―→与OB ―→的数量积；(2)设FB ―→＝λAF ―→，若λ∈[9,16]，求l 在y 轴上的截距的取值范围．3．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，E 的左顶点为A ，上顶点为B ，点P 在椭圆上，且△PF 1F 2的周长为4＋23．(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过定点G (1,0)，求k 的取值范围．4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 21(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆E 的离心率为32，且通径长为1．(1)求E 的方程；(2)直线l 与E 交于M ，N 两点(M ，N 在x 轴的同侧)，当F 1M ∥F 2N 时，求四边形F 1F 2NM 面积的最大值．课时过关检测(五十四)圆锥曲线中的最值、范围问题【解析版】1．在平面直角坐标系中，圆O 交x 轴于点F 1，F 2，交y 轴于点B 1，B 2．以B 1，B 2为顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点的椭圆E (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设经过点(－2,0)的直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，求△F 2MN 面积的最大值．解：(1)由已知可得，椭圆E 的焦点在x 轴上．设椭圆E的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，则b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2b2，∴椭圆E的标准方程为x22b2＋y2b2＝1．又椭圆E，∴12b2＋12b2＝1，解得b2＝1．∴椭圆E的标准方程为x22＋y2＝1．(2)由于点(－2,0)在椭圆E外，所以直线l的斜率存在．设直线l的斜率为k，则直线l：y＝k(x＋2)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)．k(x＋2)，y2＝1，消去y得，(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0．由Δ＞0得0≤k2＜12，从而x1＋x2＝－8k21＋2k2，x1x2＝8k2－21＋2k2，∴|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝21＋k22－4k2(1＋2k2)2．∵点F2(1,0)到直线l的距离d＝3|k|1＋k2，∴△F2MN的面积为S＝12|MN|·d＝3k2(2－4k2)(1＋2k2)2．令1＋2k2＝t，则t∈[1,2)，∴S＝3(t－1)(2－t)t2＝3－t2＋3t－2t2＝3－1＋3t－2t2＝3当1t＝34即t[1，S有最大值，S max＝324，此时k＝±66．∴当直线l的斜率为±66时，可使△F2MN的面积最大，其最大值324．2．已知抛物线C：y2＝4x，点F是C的焦点，O为坐标原点，过点F的直线l与C相交于A，B两点．(1)求向量OA―→与OB―→的数量积；(2)设FB―→＝λAF―→，若λ∈[9,16]，求l在y轴上的截距的取值范围．解：(1)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．由题意知直线l的斜率不可能为0，F(1,0)，设直线l的方程为x＝my＋1．＝my＋1，2＝4x，得y2－4my－4＝0，Δ＝16m2＋16＞0，1＋y2＝4m，1y2＝－4.∴OA―→·OB―→＝x1x2＋y1y2＝y21y2216＋y1y2＝1616－4＝－3．∴向量OA―→与OB―→的数量积为－3．(2)由(1)1＋y2＝4m，1y2＝－4.∵FB―→＝λAF―→，∴y2＝－λy1．将y2＝－λy11＋y2＝4m，1y2＝－4，1－λ)y1＝4m，λy21＝－4，－λ)2y21＝16m2，λy21＝－4，∴(1－λ)2－λ＝－4m2，∴4m2＝(1－λ)2λ＝λ＋1λ－2．令f(λ)＝λ＋1λ－2，易知f(λ)在[9,16]上单调递增，∴4m2∈649，22516，∴m2∈169，22564，∴m∈－158，－43∪43，158．∴l在y轴上的截距－1m的取值范围为－34，－815∪815，34．3．已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，E的左顶点为A，上顶点为B，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为4＋23．(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点G(1,0)，求k的取值范围．解：(1)a＋2c＝4＋23，＝ca＝32，＝2，＝3，则b2＝a2－c2＝1，∴椭圆E的方程为x24＋y2＝1．(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，弦MN的中点D(x0，y0)，kx＋m，y2＝1，消去y整理得，(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，∵直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点，∴Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－4)＞0，即m2＜1＋4k2，1＋x2＝－8km1＋4k2，1·x2＝4m2－41＋4k2，则x0＝x1＋x22＝－4km1＋4k2，y0＝kx0＋m＝m1＋4k2，所以直线DG的斜率为k DG＝y0x0－1＝－m4km＋1＋4k2，又由直线DG和直线MN垂直可得－m4km＋1＋4k2·k＝－1，则m＝－1＋4k23k，代入m2＜1＋4k2可得＜1＋4k2，即k2＞15，解得k＞55或k＜－55．故所求k∞4．已知椭圆E：x2a2＋y2b21(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆E的离心率为32，且通径长为1．(1)求E的方程；(2)直线l与E交于M，N两点(M，N在x轴的同侧)，当F1M∥F2N时，求四边形F1F2NM 面积的最大值．解：(1)c2，＝2，＝1，＝3，故椭圆的方程为x24＋y2＝1．(2)假设M，N两点在x轴上侧，如图所示，延长MF1交E于点M0，由F1M∥F2N知M0与N关于原点对称，从而有|F1M0|＝|F2N|，由(1)可知F1(－3，0)，F2(3，0)，设M(x1，y1)，M0(x2，y2)，设MF1的方程为x＝my－3，由my－3，y2＝1得(m2＋4)y2－23my－1＝0，Δ＝12m2＋4(m2＋4)>0，故1＋y2＝23mm2＋4，1y2＝－1m2＋4.设F1M与F2N的距离为d，四边形F1F2NM的面积为S，则S＝12(|F1M|＋|F2N|)d＝12(|F1M|＋|F1M0|)d＝12|MM0|d＝S△MF2M0，又因为S△MF2M0＝12·|F1F2|·|y1－y2|＝12×23×|y1－y2|＝3(y1＋y2)2－4y1y2＝3·12m2(m2＋4)2＋4m2＋4＝43m2＋1m2＋4＝43m2＋1＋3m2＋1≤4323＝2，当且仅当m2＋1＝3m2＋1，即m＝±2时，等号成立，故四边形F1F2NM面积的最大值为2．。

圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法(解析版)

圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法一、圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：1、几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；2、代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．二、最值问题的一般解题步骤三、参数取值范围问题1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．题型一距离与长度型最值范围问题【例1】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2，点E 在椭圆上．当线段2EF 的中垂线经过1F 时，恰有21cos EF F ∠．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且||2AB =，P 是以AB 为直径的圆上任意一点，O 为坐标原点，求||OP 的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（2）max ||OP 【解析】（1）由焦距为2知1c =，连结1EF ，取2EF 的中点N ，线段2EF 的中垂线经过1F 时，1||22EF c ∴==，221212cos ,.1,F N EF F F N F F ∠∴∴-2122,2EF a EF EF a ∴=-∴=+=∴由所以椭圆方程为2212x y +=；（2）①当l 的斜率不存在时，AB 恰为短轴，此时||1OP =；②当l 的斜率存在时，设:l y kx m =+．联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得到222(21)4220k x kmx m +++-=，∴△2216880k m =-+>，122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+．21AB x x =-=2==，化简得2222122k m k +=+．又设M 是弦AB 的中点，121222()221my y k x x m k +=++=+∴()2222222241,,||212121km m k M OM k k k m -+⎛⎫= ⎪⎝⎭+⋅++,∴()()()222222222412141||22212221k k k OM k k k k +++=⋅=++++,令2411k t += ，则244||43(1)(3)4t OM t t t t===-++++∴||1OM =- （仅当t =，又||||||||1OP OM MP OM +=+2k =时取等号）．综上：max ||OP =【变式1-1】已知抛物线21:4C y x =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为3．（1）求椭圆2C 的方程；（2）过椭圆2C 的右焦点F 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆2C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为P ，过点P 做垂直于AB 的直线交x 轴于点D ，试求||||DP AB 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）1(0,)4【解析】（1）抛物线21:4C y x =的焦点F 为(1,0)，由题意可得2221c a b =-=①由1C 与2C 关于x 轴对称，可得1C 与2C 的公共点为2,33⎛± ⎝⎭，可得2248193a b +=②由①②解得2a =，b ，即有椭圆2C 的方程为22143x y+=；（2）设:(1)l y k x =-，0k ≠，代入椭圆方程，可得2222(34)84120k x k x k +-+-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2122834kx x k +=+，212241234k x x k -=+，即有()312122286223434k ky y k x x k k k k -+=+-=-=++，由P 为中点，可得22243()3434k kP k k -++，，又PD 的斜率为1k -，即有222314:3434k k PD y x k k k ⎛⎫--=-- ++⎝⎭，令0y =，可得2234k x k=+，即有22034k D k ⎛⎫⎪+⎝⎭可得2334PD k ==+又AB ==2212(1)34k k +=+，即有DP AB =，由211k +>，可得21011k <<+，即有104<，则有||||DP AB 的取值范围为1(0,)4．【变式1-2】已知曲线C 上任意一点(),P x y2=，（1）求曲线C 的方程；（2）若直线l 与曲线C 在y 轴左､右两侧的交点分别是,Q P ，且0OP OQ ⋅=，求22||OP OQ +的最小值.【答案】（1）2212y x -=；（2）8【解析】（1）设())12,F F ，2=，等价于12122PF PF F F -=<，∴曲线C 为以12,F F 为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为故曲线C 的方程为：2212y x -=；（2）由题意可得直线OP 的斜率存在且不为0，可设直线OP 的方程为()0y kx k =≠，则直线OQ 的方程为1=-y x k ，由2212y x y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，得222222222x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，所以()2222221||2k OP x y k+=+=-，同理可得，()2222212121||1212k k OQ k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==--，所以()()()22222222211111||||22121k k k OP OQ k k -+-++===++()()22222222112222228||||OQ OP OP OQ OP OQOP OQ OP OQ ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当2OP OQ ==时取等号，所以当2OP OQ ==时，22||OP OQ +取得最小值8.【变式1-3】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线被E 所截得的弦长为16.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 为抛物线上的任意一点，以C 为圆心的圆过点F ，且与直线12y =-相交于,A B两点，求FA FB FC ⋅⋅的取值范围.【答案】（1）24x y =；（2）[)3,+∞【解析】（1）由抛物线方程得：0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可设过点F 且倾斜角为3π的直线为：2py =+，由222p y x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：220x p --=，由抛物线焦点弦长公式可得：)12122816y y p x x p p ++=++==，解得：2p =，∴抛物线E 的方程为：24x y =.（2）由（1）知：()0,1F ，准线方程为：1y =-；设AFB θ∠=，圆C 的半径为r ，则2ACB θ∠=，FC CA CB r ===，1133sin 2224AFBSFA FB AB AB θ∴=⋅=⋅=，又2sin AB r θ=，3FA FB r ∴⋅=；由抛物线定义可知：11c CF y =+≥，即1r ≥，333FA FB FC r ∴⋅⋅=≥，即FA FB FC ⋅⋅的取值范围为[)3,+∞.题型二面积型最值范围问题20y -=与圆O 相切．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）椭圆C 的上顶点为B ，EF 是圆O 的一条直径，EF不与坐标轴重合，直线BE 、BF 与椭圆C 的另一个交点分别为P 、Q ，求BPQ 的面积的最大值及此时PQ 所在的直线方程．【答案】（1）2219x y +=；（2）()max278BPQ S=，PQ 所在的直线方程为115y x =±+【解析】20y -=与圆O相切，则1b =，由椭圆的离心率223c e a ==，解得：29a =，椭圆的标准方程：2219x y +=；（2）由题意知直线BP ，BQ 的斜率存在且不为0，BP BQ ⊥，不妨设直线BP 的斜率为(0)k k >，则直线:1BP y kx =+．由22119y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22218911991k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，或01x y =⎧⎨=⎩，所以2221819,9191k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.用1k -代替k ，2229189,9k k Q k k ⎛⎫-+ ⎝+⎪⎭则21891k PB k ==+2189BQ k==+，22222111818162(1)22919(9)(19)BPQ k k k S PB BQ k k k k +=⋅=⋅=++++△342221162()162()99829982k k k k k k k k ++==++++，设1k k μ+=，则21621622764829(2)89BPQ S μμμμ∆==≤+-+．当且仅当649μμ=即183k k μ+==时取等号，所以()max278BPQ S=.即21128(()49k k kk-=+-=，1k k -=直线PQ的斜率222222291911191918181010919PQk k k k k k k k k k k k k ---+-⎛⎫++===-= ⎪⎝⎭--++PQ所在的直线方程：1y =+.【变式2-1】在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的周长为12，AB ，AC 边的中点分别为()11,0F -和()21,0F ，点M 为BC 边的中点（1）求点M 的轨迹方程；（2）设点M 的轨迹为曲线Γ，直线1MF 与曲线Γ的另一个交点为N ，线段2MF 的中点为E ，记11NF O MF E S S S =+△△，求S 的最大值.【答案】（1）()221043x y y +=≠；（2）max 32S =【解析】（1）依题意有：112F F =，且211211262MF MF F F ++=⨯=，∴121242MF MF F F +=>=，故点M 的轨迹C 是以()11,0F -和()21,0F 为焦点，长轴长为4的椭圆，考虑到三个中点不可共线，故点M 不落在x 上，综上，所求轨迹方程：()221043x y y +=≠.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，显然直线1MF 不与x 轴重合，不妨设直线1MF 的方程为：1x ty =-,与椭圆()221043x y y +=≠方程联立整理得：()2234690t y ty +--=，()()22236363414410t t t ∆=++=+>，112634t y y t +=+，1129034y y t =-<+,11111122NF O S F y y O ==△，112122211112222MF E MF F S S F F y y ==⋅=△△,∴()()1112122111Δ22234NF O MF E S S S y y y y t =+=+=-=⋅=+△△令()2344u t u =+≥，则()S u ϕ====∵4u ≥，∴1104u <≤，当114u =，即0=t 时，∴max 32S =,∴当直线MN x ⊥轴时，∴max 32S =.【变式2-2】已知双曲线()222210x y a a a-=>的右焦点为()2,0F ，过右焦点F 作斜率为正的直线l ，直线l 交双曲线的右支于P ，Q 两点，分别交两条渐近线于,A B 两点，点,A P 在第一象限，O 为原点．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）设OAP △，OBP ，OPQ △的面积分别是OAP S △，OBP S △，OPQS ，求OPQ OAP OBPS S S ⋅△△△的范围．【答案】（1）()1,+∞；（2）).【解析】（1）因为双曲线()222210x y a a a-=>的右焦点为()2,0F ，故2c =，由222c a a =+得22a =，所以双曲线的方程为，22122x y -=，设直线l 的方程为2x ty =+，联立双曲线方程得，()222222121021420Δ0120t x y t y ty t x ty y y ⎧⎧-≠⎪-=⎪⇒-++=⇒>⇒<⎨⎨=+⎪⎪⋅<⎩⎩，解得01t <<，即直线l 的斜率范围为()11,k t=∈+∞；（2）设()11,P x y ，渐近线方程为y x =±，则P 到两条渐近线的距离1d ，2d 满足，22111212x yd d-⋅==而21221AAxy x tx ty yt⎧⎧=⎪⎪=⎪⎪-⇒⎨⎨=+⎪⎪=⎪⎪-⎩⎩，OA==21221BBxy x tx ty yt⎧⎧=⎪⎪=-⎪⎪+⇒⎨⎨=+-⎪⎪=⎪⎪+⎩⎩，OB==所以12122112221OAP OBPS S OA d OB d d dt⋅=⋅⋅⋅=-△△由()2222214202x y t y tyx ty⎧-=⇒-++=⎨=+⎩，12OPQ OFP OFQ P QS S S OF y y=+=-△△△所以，OPQOAP OBPSS S=⋅△△△，∵01t<<，∴)2OPQOAP OBPSS S∈⋅△△△.【变式2-3】已知抛物线()2:20E y px p=>的焦点为F，P为E上的一个动点，11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q与F在E的同一侧，且PF PQ+的最小值为54.（1）求E的方程；（2）若A点在y轴正半轴上，点B、C为E上的另外两个不同点，B点在第四象限，且AB，OC互相垂直、平分，求四边形AOBC的面积.（人教A版专题）【答案】（1）2y x=；（2）【解析】（1）作出E的准线l，方程为2px=-，作PR l⊥于R，所以PR PF=，即PR PQ+的最小值为54，因为11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q与F在E的同一侧，所以当且仅当P，Q，R三点共线时PR PQ+取得最小值，所以5124p+=，解得0.5p=，所以E的方程为2y x=；（2）因为AB，OC互相垂直、平分，所以四边形AOBC是菱形，所以BC x⊥轴，设点()0,2A a，所以2BC a=，由抛物线对称性知()2,B a a-，()2,C a a，由AO OB =，得2a=a =所以菱形AOBC 的边AO =23h a ==，其面积为3S AO h =⋅==题型三坐标与截距型最值范围问题【例3】已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>过点()，渐近线方程为12y x =±，直线l 是双曲线C 右支的一条切线，且与C 的渐近线交于A ，B 两点．（1）求双曲线C 的方程；（2）设点A ，B 的中点为M ，求点M 到y 轴的距离的最小值．【答案】（1）2214x y -=；（2）2【解析】（1）由题设可知2281112a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩则C ：2214x y -=．（2）设点M 的横坐标为0M x >当直线l 斜率不存在时，则直线l ：2x =易知点M 到y 轴的距离为2M x =﹔当直线l 斜率存在时，设l ：12y kx m k ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()222418440k x kmx m -+++=，()()222264164110k m k m ∆=--+=，整理得2241k m =+联立2204x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()22241840k x kmx m -++=，则122288841km km k x x k m m+=-=-=--，则12402Mx x kx m +==->，即0km <则222216444Mk x m m==+>，即2M x >∴此时点M 到y 轴的距离大于2；综上所述，点M 到y 轴的最小距离为2．【变式3-1】若直线:l y =22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.（1）求双曲线的方程；（2）若过点B (0，b )且与x 轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M ，N ，MN 的垂直平分线为m ，求直线m 与y 轴上的截距的取值范围.【答案】（1）2213x y -=；（2）(4,)+∞.【解析】（1）直线323:33l y =-过x 轴上一点(2,0)，由题意可得2c =，即224a b +=，双曲线的渐近线方程为b y x a=±，由两直线平行的条件可得b a =1a b ==，即有双曲线的方程为2213x y -=.（2）设直线1(0)y kx k =+≠，代入2213x y -=，可得22(13)660k x kx ---=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122266,1313k x x x x k k +==--，MN 中点为2231,1313kk k ⎛⎫ --⎝⎭，可得MN 的垂直平分线方程为221131313k y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，令0x =，可得2413y k =-，由223624(13)0k k ∆=+->，解得232k <，又26031k <-，解得231k <，综上可得，2031k <<，即有2413k -的范围是(4,)+∞，可得直线m 与y 轴上的截距的取值范围为(4,)+∞.【变式3-2】已知动圆C 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦长为4，圆心C 的轨迹为曲线Γ.（1）求Γ的方程：（2）过点(1,0)P 的直线l 与F 相交于,M N 两点.设PN MP λ=，若[]2,3λ∈，求l 在y 轴上截距的取值范围.【答案】（1）24y x =；（2）⎡-⎣【解析】（1）设(,)C x y ，圆C 的半径为R ，则()()22222220R x x y =+=-+-整理，得24y x=所以Γ的方程为24y x =.（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，又(1,0)P ，由PN MP λ=，得()()22111,1,x y x y λ-=--21211(1)x x y y λλ-=-⎧∴⎨=-⎩①②由②，得12222y y λ=，∵2211224,4y x y x ==∴221x x λ=③联立①､③解得2x λ=，依题意有0λ>(2,N N ∴-或，又(1,0)P ，∴直线l 的方程为())11y x λ-=-，或())11y x λ-=--，当[2,3]k ∈时，l 在y轴上的截距为21λ-或21λ--，21=[2,3]上是递减的，21λ≤≤-，21λ-≤-≤-∴直线l 在y轴上截距的取值范围为⎡--⎣.【变式3-3】已知两个定点A 、B 的坐标分别为()1,0-和()1,0，动点P 满足AP OB PB ⋅=（O 为坐标原点）．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设点(),0C a 为x 轴上一定点，求点C 与轨迹E 上点之间距离的最小值()d a ；(3)过点()0,1F 的直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于D 点，求D 点横坐标的取值范围．【答案】（1）24y x =；（2）(),22a a d a a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩；（3）()3,+∞【解析】（1）设(),P x y ，()1,AP x y =+，()1,0OB =，()1,PB x y =--，()1101AP OB x y x ⋅=+⨯+⨯=+，B P =AP OB PB ⋅=，则1x +，所以2222121x x x x y ++=-++，即24y x =．（2）设轨迹E ：24y x =上任一点为()00,Q x y ，所以2004y x =，所以()()222200004CQ x a y x a x =-+=-+()()20200220x a x a x =--+≥，令()()()220000220g x x a x a x =--+≥，对称轴为：2a -，当20a -<，即2a <时，()0g x 在区间[)0,∞+单调递增，所以00x =时，()0g x 取得最小值，即2min 2CQ a =，所以min CQ a =，当20a -≥，即2a ≥时，()0g x 在区间[)0,2a -单调递减，在区间[)2,a -+∞单调递增，所以02x a =-时，()0g x 取得最小值，即()22min 2244CQ a a a =--+=-，所以minCQ =，所以(),22a a d a a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩（3）当直线l 的斜率不存在时，此时l ：0x =与轨迹E 不会有两个交点，故不满足题意；当直线l 的斜率存在时，设l ：1y kx =+，()11,M x y 、()22,N x y ，代入24y x =，得2+14y y k =⨯，即2440ky y -+=，所以124y y k +=，124y y k =，121212211242y y y y x x k k k k k--+-+=+==-，因为直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，所以0∆>，得16160k ->，即1k <；又M 、N 两点在x 轴上方，所以120y y +>，120y y >，即40k>，所以0k >，又1k <，所以01k <<，所以MN 中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，即2212,kk k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以垂直平分线为22121y x k k k k ⎛⎫-=--+ ⎝⎭，令0y =，得222111152248x k k k ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为01k <<，所以11k >，所以21115248x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在11k >时单调递增，所以22111511522134848k ⎛⎫⎛⎫-+>-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即3x >，所以D 点横坐标的取值范围为：()3,+∞.题型四斜率与倾斜角最值范围问题【例4】设12F F 、分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点．（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求125=4PF PF ⋅-，求点P 的坐标；（2）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．【答案】（1）⎛ ⎝⎭；（2）2,2⎛⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）由题意知，2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(,)(0,0)P m n m n >>，则22125(,),)34PF PF m n m n m n ⋅=-⋅-=+-=-，又2214m n +=，有222214534m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=-⎪⎩，解得1m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以P ；（2）显然0x =不满足题意，设直线l 的方程为2y kx =+，设()()1122,,A x y B x y ，，22221(14)1612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩，22(16)4(41)120k k ∆=-+⨯>，解得234k >，①1212221612,4141k x x x x k k +=-=++，则212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++，又AOB ∠为锐角，则cos 0AOB ∠>，即0OA OB ⋅>，12120x x y y +>，所以21212121212(1)2()4x x y y y y k x x k x x +==++++2222212(1)1624(4)40414141k k k k k k k +⋅-=-+=>+++，解得204k <<，②由①②，解得322k -<<或322k <<，所以实数k的取值范围为(2,-.【变式4-1】已知椭圆:Γ22221(0x y a b a b +=>>）的左焦点为F ，其离心率22e =，过点F垂直于x 轴的直线交椭圆Γ于P ，Q两点，PQ （1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆的下顶点为B ，过点D （2，0）的直线l 与椭圆Γ相交于两个不同的点M ，N ，直线BM ，BN 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）()1211,,2222k k ⎛⎫⎛+∈-∞⋃-⋃+∞⎪ ⎝⎭⎝【解析】（1）由题可知2222222c e a bPQ a a b c⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.所以椭圆Γ的方程为：2212x y +=.（2）由题可知，直线MN 的斜率存在，则设直线MN 的方程为(2)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y .由题可知2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得2222(21)8820k x k x k +-+-=22222(8)4(21)(81)8(21)0k k k k ∆=--+-=-->，解得22k ⎛∈- ⎝⎭.由韦达定理可得2122821k x x k +=+，21228221k x x k -=+.由（1）知，点(0,1)B -设椭圆上顶点为A ，(0,1)A ∴，12DA k k ≠=-且12DB k k ≠=，∴()()1212121212211111k x k x y y k k x x x x -+-++++=+=+()()()221221228121212228212k k k x x k k k k x x k -⋅-++=+=+-+()242111212,,221212122k k k k k k ⎛⎫⎛=-==-∈+∞⋃-∞⋃ ⎪ +++⎝⎭⎝∴12k k +的取值范围为()11,,2222⎛⎫⎛-∞⋃-⋃+∞ ⎪ ⎝⎭⎝．【变式4-2】）已知椭圆1C 的方程为22143x y +=，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点.（1）求双曲线2C 的方程；（2）若直线:2l y kx =+与双曲线2C 恒有两个不同的交点A 和B ，且1OA OB ⋅>（其中O 为原点），求k 的取值范围.【答案】（1）2213y x -=（2）(()1,1-【解析】（1）由题,在椭圆1C 中,焦点坐标为()1,0-和()1,0；左右顶点为()2,0-和()2,0,因为双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点,所以在双曲线2C 中,设双曲线方程为22221x ya b-=,则221,4a c ==,所以2223b c a =-=,所以双曲线2C 的方程为2213y x -=（2）由（1）联立22213y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,消去y ,得()223470k x kx -++=①；消去x ,得()2223121230k y y k -+-+=②设()()1122,,,A x y B x y ,则12,x x 为方程①的两根,12,y y 为方程②的两根；21212227123,33k x x y y k k -+⋅=⋅=--，21212227123133k OA OB x x y y k k -+⋅=⋅+⋅=+>--，得23k >或21k <③,又因为方程①中,()22216384k k k ∆=-4⨯7-=-12+>0,得27k <④,③④联立得k的取值范围(()1,1⋃-⋃【变式4-3】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.【答案】（1）24y x =；（2）最大值为13.【解析】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以该抛物线的方程为24y x =；（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--，所以()00109,10P x y -，由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，据此整理可得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ，所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ===++，当00y =时，0OQ k =；当00y ≠时，0010925OQ k y y =+，当00y >时，因为0092530y y +≥，此时103OQ k <≤，当且仅当00925y y =，即035y =时，等号成立；当00y <时，0OQ k <；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q 的轨迹方程为229525=-y x ．设直线OQ 的方程为y kx =，则当直线OQ 与抛物线229525=-y x 相切时，其斜率k 取到最值．联立2,29,525y kx y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩得22290525k x x -+=，其判别式222940525⎛⎫∆=--⨯= ⎪⎝⎭k ，解得13k =±，所以直线OQ 斜率的最大值为13．题型五向量型最值范围问题【例5】在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:142x y C -=与椭圆222:142x y C +=，A ，B分别为1C 的左､右顶点，点P 在双曲线1C 上，且位于第一象限.（1）直线OP 与椭圆2C 相交于第一象限内的点M ，设直线PA ，PB ，MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求1234k k k k +++的值；（2）直线AP 与椭圆2C 相交于点N （异于点A ），求AP AN ⋅的取值范围.【答案】（1）0；（2）()16,+∞【解析】（1）方法1：设直线():0OP y kx k =>，联立22142y kxx y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消y ，得()22124k x -=，所以20120k k >⎧⎨->⎩，解得202k <<，设()()1111,0,0P x y x y >>，则11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以P ⎛⎫.联立22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y ，得()22124k x +=，设()()2222,0,0M x y x y >>，则22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以M ⎛⎫.因为()2,0A -，()2,0B ，所以211111221112821124224412k y y x y k k k x x x k k-+=+===-+---，222223422222821124224412ky y x y k k k x x x k k ++=+==--+--+，所以1234110k k k k k k ⎛⎫+++=+-= ⎪⎝⎭.方法2设()()1111,0,0P x y x y >>，()()2222,0,0M x y x y >>，因为()2,0A -，()2,0B ，所以11111221112224y y x yk k x x x +=+=-+-，22223422222224y y x yk k x x x +=+=-+-.因为点P 在双曲线1C 上，所以2211142x y -=，所以221142x y -=，所以1121x k k y +=.因为点Q 在椭圆线2C 上，所以2222142x y +=，所以222242x y -=-，所以2342x k k y +=-.因为O ，P ，M 三点共线，所以1212y y x x =，所以121234120x x k k k k y y +++=-=.（2）设直线AP 的方程为2y kx k =+，联立22224y kx k x y =+⎧⎨-=⎩，消y ，得()()22222184210k x k x k -+++=，解得12x =-，2224212k x k +=-，所以点P 的坐标为222424,1212k k k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，因为点P 位于第一象限，所以222420124012k k k k ⎧+>⎪⎪-⎨⎪>⎪-⎩，解得202k <<，联立22224y kx k x y =+⎧⎨+=⎩，消y ，得()()22222184210k x k x k +++-=，解得32x =-，2422412kx k -=+，所以点N 的坐标为222244,1212k k k k ⎛⎫- ++⎝⎭，所以()22222224161422444221212121214k k k k kAP AN AP AN k k k k k +⎛⎫⎛⎫+-⋅=⋅=--+⋅= ⎪⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭，设21t k =+，则312t <<，所以22161616314(1)48384t tAP AN t t t t t ⋅===---+-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.因为函数3()4f x x x=+在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以当312t <<时，3748t t <+<，所以30841t t ⎛⎫<-+< ⎪⎝⎭，所以1616384t t >⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即16AP AN ⋅>，故AP AN ⋅的取值范围为()16,+∞.【变式5-1】已知O为坐标原点，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为3，且经过点P．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于A，B两点，直线OA的斜率为1k，直线OB的斜率为2k，且1213k k=-，求OA OB⋅的取值范围．【答案】（1）22193x y+=；（2）[3,0)(0,3]-.【解析】（1）由题意，223611caa b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，又222a b c=+，解得3,a b==所以椭圆C为22193x y+=.（2）设()()1122,,,A x yB x y，若直线l的斜率存在，设l为y kx t=+，联立22193y kx tx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y得：()222136390+++-=k x ktx t，22Δ390k t=+->，则12221226133913ktx xktx xk-⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，又12k k=121213y yx x=-，故121213=-y y x x且120x x≠，即2390-≠t，则23≠t，又1122,y kx t y kx t=+=+，所以()()()222222222121212221212122691133939313-+++++-+==+=+==---+k t tkx t kx t kt x x ty y t kkk ktx x x x x x tk，整理得222933=+≥t k，则232≥t且Δ0>恒成立．221212121212222122393333133313--⎛⎫⋅=+=-==⋅=⋅=-⎪+⎝⎭t tOA OB x x y y x x x x x xk t t，又232≥t，且23≠t，故2331[3,0)(0,3)⎛⎫-∈-⎪⎝⎭t.当直线l的斜率不存在时，2121,x x y y==-，又12k k=212113-=-yx，又2211193x y+=，解得2192x=则222111233⋅=-==OA OB x y x．综上，OA OB ⋅的取值范围为[3,0)(0,3]-．【变式5-2】已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的离心率为2，F 为双曲线的右焦点，直线l 过F 与双曲线的右支交于P Q ，两点，且当l 垂直于x 轴时，6PQ =；（1）求双曲线的方程；（2）过点F 且垂直于l 的直线'l 与双曲线交于M N ，两点，求MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围．【答案】（1）2213y x -=；（2）(],12-∞-【解析】（1）依题意，2c a =，当l 垂直于x 轴时，226b PQ a==，即23b a =，即223c a a -=，解得1a =，b =2213y x -=；（2）设:2PQ l x my =+，联立双曲线方程2213y x -=，得：()22311290m y my -++=，当0m =时，()()()()2,3,2,3,0,1,0,1P Q M N --，12MP NQ MQ NP ⋅+⋅=-，当0m ≠时，设()()()()11223344,,,,,,,P x y Q x y M x y N x y ，因为直线PQ 与双曲线右支相交，因此1229031y y m =<-，即m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，同理可得234293m y y m =-，依题意()()MP NQ MF FP NF FQ MF NF FP FQ =+⋅+=⋅+⋅⋅，同理可得，()()MQ NP MF FQ NF FP MF NF FP FQ =+⋅+⋅=⋅+⋅，而()212342111FP FQ MF NF m y y y y m ⎛⎫⋅+⋅=+++ ⎪⎝⎭，代入122931y y m =-，234293m y y m =-，()()()()()()222242224222919118163633133103133m m m m m FP FQ MF NF m m m m m m ++-+++⋅+⋅=+==----+--，分离参数得，2429663103m FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=---+，因为3333m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当210,3m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由22110,3m m ⎛⎫+∈+∞ ⎪⎝⎭，()22966,61310FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=-∈-∞-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以()()2,12MP NQ MQ N FP FQ MF NF P ⋅=⋅+⋅∈∞-⋅-+，综上可知，MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围为(],12-∞-.【变式5-3】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，直线4x =分别与x 轴交于点P ，与抛物线E 交于点Q ，且54QF PQ =.（1）求抛物线E 的方程；（2）如图，设点,,A B C 都在抛物线E 上，若ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，求AB AC ⋅uu u r uuu r的最小值.【答案】（1）24x y =；（2）32【解析】（1）设点()04,Q y ，由已知000216524py p y y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，则8102p p p +=，即24p =.因为0p >，则2p =，所以抛物线E 的方程是24x y =.（2）设点()222312123123,,,,,444x x x A x B x C x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线AB 的斜率为()0k k >，因为AB BC ⊥，则直线BC 的斜率为1k-.因为AB BC =，则1223x x x x -=-，得()2312x x k x x -=-，①因为22121212444x x x x k x x -+==-，则124x x k +=，即124x k x =-，②因为223223231444x x x x k x x -+-==-，则234x x k +=-，即324x x k =--③将②③代入①，得()2242420x k k x k+--=，即()()322212120k k x k kk-+---=，则()()32211k xk k -=+，所以()()()()22222122··cos 451421AB AC AB AC AB x x k k x k ︒===-+=-+()()()()()2332222411614111k k k k k k k k ⎡⎤-+⎢⎥=-+=++⎢⎥⎣⎦因为212k k +≥，则()22214k k +≥，又()22112k k++≥，则()()3222121k k k +≥+，从而()()3222121kk k +≥+当且仅当1k =时取等号，所以AB AC 的最小值为32.题型六参数型最值范围问题【例6】已知点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆222:1(1)xC y a a+=>上，直线,OM ON 的斜率之积是13-，且22212x x a +=.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点()0,2Q 的直线与椭圆C 交于点,A B ，且(1)QB t QA t =>，求t 的取值范围.【答案】（1）2213x y +=；（2）(]1,3【解析】（1）椭圆方程改写为:2222x a y a +=，点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，有222211a y a x =-，222222a y a x =-，两式相乘，得：()()()222222222241142122122a a a y y a x a x x x x x --==-++，由22212x x a +=，得222212241a y y x x =，由直线,OM ON 的斜率之积是13-，得121213y y x x =-，即222212129y y x x =，∴49a =，23a =，椭圆C 的方程为：2213x y +=.（2）过点()0,2Q 的直线若斜率不存在，则有()0,1A ，()0,1B -，此时3t =；当过点()0,2Q 的直线斜率存在，设直线方程为2y kx =+，由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()22131290k x kx +++=，直线与椭圆C 交于点,A B 两点，∴()2221249(13)36360k k k ∆=-⨯⨯+=->，得21k >设()()1122,,,A x y B x y ''''，(1)QB t QA t =>，21x x t '='由韦达定理12122121212(1)13913k x x t x k x x tx k ''''-⎧+==+⎪⎪+⎨⎪⋅+'='=⎪⎩，消去1x '，得()229131441t k t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+，由21k >，2101k<<，∴()2311641t t <<+，由1t >，解得13t <<，综上，有13t <≤，∴t 的取值范围为(]1,3【变式6-1】已知A 、B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，O 为坐标原点，=6AB ，点2,3⎛⎫⎪⎝⎭5在椭圆C 上．过点()0,3P -，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆C 于M 、N 两个不同的点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 落在以线段MN 为直径的圆的外部，求直线的斜率k 的取值范围；（3）当直线的倾斜角θ为锐角时，设直线AM 、AN 分别交y 轴于点S 、T ，记PS PO λ=，PT PO μ=，求λμ+的取值范围．【答案】（1）22195x y +=；（2）227,,1,332k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）因为=6AB ，所以=3a ；又点2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5在图像C 上即()22252319b⎛⎫⎪⎝⎭+=，所以b 所以椭圆C 的方程为22195x y +=；（2）由（1）可得()3,0B ，设直线3l y kx =-：，设11(,)M x y 、22(,)N x y ，由22=-3=195y kx x y ⎧⎪⎨+⎪⎩得22(59)54360k x kx +-+=，22(54)436(59)0k k ∆=-⨯⨯+>解得23k >或23k <-①∵点()3,0B 在以线段MN 为直径的圆的外部，则0BM BN ⋅>，又12212254+=5+936=5+9k x x k x x k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩②211221212(3,)(3,)(1)3(1)()180BM BN x y x y k x x k x x ⋅=--=+-+++>，解得1k <或72k >由①②得227,,1,332k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）设直线3l y kx =-：，又直线的倾斜角θ为锐角，由（2）可知23k >，记11(,)M x y 、22(,)N x y ，所以直线AM 的方程是：()1133y y x x =++，直线AN 的方程是：()2233y y x x =++.令=0x ，解得113+3y y x =，所以点S 坐标为1130,+3y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；同理点T 为2230,+3y x ⎛⎫⎪⎝⎭.所以1130,3+3y PS x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2230,3+3y PT x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()0,3PO =.由PS PO λ=，PT PO μ=，可得：11333+3y x λ+=，22333+3y x μ+=，所以1212233y yx x λμ+=++++，由（2）得1225495k x x k +=+，1223695x k x =+，所以()()()1212121212122311333338229kx x k x x kx kx x x x x x x λμ--++-+-+=++=+++++()222254231189595254936369595k k k k k k k k ⎛⎫⋅+-- ⎪++⎝⎭=+⎛⎫++ ⎪++⎝⎭21012921k k k +=-⨯+++()()2110291k k +=-⨯++101291k =-⨯++，因为23k >，所以5131,0315k k +><<+，10142,2913k ⎛⎫-⨯+∈ ⎪+⎝⎭，故λμ+的范围是4,23⎛⎫⎪⎝⎭.【变式6-2】设A ，B 为双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形．（1）求双曲线C 的离心率；（2）已知4AB =，若直线AM ，AN 分别交直线1x =于P ，Q 两点，若()0D t ，为x 轴上一动点，当直线l 的倾斜角变化时，若PDQ ∠为锐角，求t 的取值范围．【答案】（1）2；（2）{2t t <-或}4t >【解析】（1）由双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，可得：右焦点(),0F c ，将x c =代入2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>中，2by a=±，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形，此时AF FM =，即2b ac a+=，整理得：220a ac b +-=，因为222b c a =-，所以2220a ac c +-=，方程两边同除以2a 得：220e e +-=，解得：2e =或1-（舍去），所以双曲线C 的离心率为2；（2）因为24AB a ==，所以2a =，因为2c e a ==，解得4c =，故22212b c a =-=，所以双曲线的方程为221412x y -=，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()4y k x =-，与双曲线联立得：()22223816120kxk x k -+--=，设()()1122,,,M x y N x y ，则212283k x x k +=-，212216123k x x k +=-，则()()()221212121244416y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦222221612321633k k k k k ⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭22363k k -=-，因为直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于,M N 两点，所以22121222816124,433k k x x x x k k ++=>=>--，解得：23k >，直线()11:22y AM y x x =++，则1131,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理可求得：2231,2y Q x ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以11,213y D x P t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，22,213y D x Q t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，因为PDQ ∠为锐角，所以()()12221192202D y y x Q t x P D t ⋅=+-+>++，即()1122122109224y y x x x t x t +-+++>+，所以22222221203693161216433k k k k t k t k -⨯-++--+++>-所以21290t t +-->即()219t ->，解得2t <-或4t >；当直线l 的斜率不存在时，将4x =代入双曲线可得6y =±，此时不妨设()()4,6,4,6M N -，此时直线:2AM y x =+，点P 坐标为()1,3，同理可得：()1,3Q -，所以()1,3DP t =-，()1,3DQ t =--，因为PDQ ∠为锐角，所以2280DP DQ t t ⋅=-->，解得2t <-或4t >；综上所述，t 的取值范围{2t t <-或}4t >【变式6-3】22122:1y x C a b-=上的动点P 到两焦点的距离之和的最小值为22:2(0)C x py p =>的焦点与双曲线1C 的上顶点重合．（1）求抛物线2C 的方程；（2）过直线:(l y a a =为负常数）上任意一点M 向抛物线2C 引两条切线，切点分别为AB ，坐标原点O 恒在以AB 为直径的圆内，求实数a 的取值范围．【答案】（1）24x y =；（2）40a -<<.【解析】（1）由已知：双曲线焦距为，则长轴长为2，故双曲线的上顶点为(0,1)，即为抛物线焦点.∴抛物线2C 的方程为24x y =；（2）设(,)M m a ，2111(,)4A x x ，2221(,)4B x x ，故直线MA 的方程为211111()42y x x x x -=-，即21142y x x x =-，所以21142a x m x =-，同理可得：22242a x m x =-，∴1x ，2x 是方程242a xm x =-的两个不同的根，则124x x a =，2212121()416OA OB x x x x a a ∴⋅=+=+，由O 恒在以AB 为直径的圆内，240a a ∴+<，即40a -<<．。

高考数学利用均值不等式求圆锥曲线中的最值(解析版)

利用均值不等式求圆锥曲线中的最值一、考情分析与圆锥曲线有关的最值问题,在高考中常以解答题形式考查，且难度较大，它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,因而备受命题者青睐，其中利用均值不等式求圆锥曲线中的最值是一类常见问题，求解时常涉及函数与方程、化归转化等数学思想．二、解题秘籍(一)利用均值不等式求圆锥曲线中最值的方法与策略利用均值不等式求圆锥曲线中的最值，一是直接根据圆锥曲线中的和(积)为定值的性质求积(和)的最大(小)值，如根据椭圆中PF 1 +PF 2 为定值，可求PF 1 PF 2 的最大值，二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用基本不等式求最值，求解这类问题的核心是建立参数之间的等量关系.【例1】(2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期9月联考)设椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，F 1，F 2是椭圆Γ的左、右焦点，点A 1,32 在椭圆Γ上，点P 4,0 在椭圆Γ外，且PF 2 =4-3．(1)求椭圆Γ的方程；(2)若B 1,-32，点C 为椭圆Γ上横坐标大于1的一点，过点C 的直线l 与椭圆有且仅有一个交点，并与直线PA ，PB 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，记△OMN ，△PMN 的面积分别为S 1，S 2，求S 21-S 1S 2+S 22的最小值．【解析】(1)因为点A 1,32 在椭圆Γ上，所以1a 2+34b 2=1，①因为点P 4,0 在椭圆Γ外，且PF 2 =4-3，所以c =3，即a 2-b 2=c 2=3，②由①②解得a 2=4，b 2=1，故椭圆Γ的方程为x 24+y 2=1．(2)设点M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，设直线MN ：x =my +t ，由椭圆性质以及点C 的横坐标大于1可知，t >2，将直线MN 代入方程x 24+y 2=1并化简可得，my +t 2+4y 2-4=0，即m 2+4 y 2+2mty +t 2-4=0，因为直线l 与椭圆有且仅有一个交点，所以Δ=4m 2t 2-4m 2+4 t 2-4 =0，即t 2=m 2+4．直线AP 的方程为：x =4-23y ；直线BP 的方程为l BP ：x =4+23y ，联立方程x =my +t ,x =4-23y ,得y 1=4-t 23+m ，同理得y 2=t -423-m，所以y 1-y 2=4-t -43 m 2-12=43t +4，所以S 1=12t y 1-y 2 ，S 2=124-t y 1-y 2 ，所以S 21-S 1S 2+S 22=14t 2y 1-y 2 2-t 4-t 4y 1-y 2 2+14(4-t )2y 1-y 22=14y 1-y 2 2t 2-4t +t 2+16-8t +t 2 =14×48t +4 23t 2-12t +16 =36-489t +8 t 2+8t +16，令9t +8=λλ>26 ，则S 21-S 1S 2+S 22=36-48×81λ+282λ+56≥97，当且仅当λ=28，即t =209时，不等式取等号，故当t =209时，S 21-S 1S 2+S 22取得最小值97．【例2】已知椭圆C ：y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的离心率为32，且过点1,2 .(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 被圆x 2+y 2=a 2截得的弦长为26，设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△OAB 面积的最大值.【解析】(1)e =32，b a =a 2-c 2a =1-e 2=12，由椭圆过点1,2 得4a 2+1b 2=1，解得a 2=8，b 2=2，∴椭圆C 的方程为y 28+x 22=1.(2)直线l 被圆x 2+y 2=8截得的弦长为26，则圆心到直线l 的距离d 满足6 2=22 2-d 2，解得d =2，当l 的斜率存在时，设l ：y =kx +m ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，圆心为原点则有d =m 1+k 2=2，∴m 2=2k 2+1.将l 方程代入椭圆方程中整理得：k 2+4 x 2+2mkx +m 2-8=0，∴x 1+x 2=-2mk k 2+4，x 1x 2=m 2-8k 2+4，AB =k 2+1⋅x 1+x 2 2-4x 1x 2=k 2+1⋅42k 2+8-m 2k 2+4=46⋅k 2+1k 2+4，∴S △OAB =12AB d =43×1k 2+1+3k 2+1≤2，当且仅当k 2+1=3k 2+1，即k =±2时取等号.当l 的斜率不存在时，则l ：x =±2，过椭圆的左、右顶点，此时直线l 与椭圆只有一个交点，不符合题意.∴△OAB 面积的最大值为2.(二)把距离或长度用单变量表示，然后利用均值不等式求最值.此类问题通常利用两点间距离或弦长公式，把距离或长度表示成关于直线斜率、截距或点的横坐标(纵坐标)的函数，然后利用均值不等式求最值.【例3】已知圆C 过定点A (0，p )(p >0)，圆心C 在抛物线x 2=2py 上运动，若MN 为圆C 在x 轴上截得的弦，设|AM |=m ，|AN |=n ，∠MAN =θ.(1)当点C 运动时，|MN |是否变化？试证明你的结论；(2)求m n +n m的最大值.【解析】(1)设C x 0,x 202p ，则AC =x 20+x 202p -p 2，故圆C 的方程x -x 0 2+y -x 202p2=x 20+x 202p -p2 ，令y =0有x -x 0 2+x 404p 2=x 20+x 404p 2-x 20+p 2，故x -x 0 2=p 2，解得x 1=x 0+p ，x 2=x 0-p ，故MN =x 1-x 2 =2p 不变化，为定值(2)由(1)不妨设M x 0-p ,0 ,N x 0+p ,0 ，故m =x 0-p 2+p 2，n =x 0+p 2+p 2，故m n +nm=m 2+n 2mn =x 0-p 2+p 2+x 0+p 2+p 2x 0-p 2+p 2x 0+p 2+p 2=2x 20+4p 2x 20+2p 2 2-4p 2x 2=2x 20+2p 2 x 40+4p 4=21+4x 20p 2x 40+4p 4=21+4p 2x 20+4p 4x 2≤21+4p 22x 20⋅4p 4x 20=22，当且仅当x 2=4p 4x 20，即x 0=±2p 时取等号.故m n +nm 的最大值为22(三)把面积表示为单变量函数，然后利用基本不等式求值该类问题求解的基本思路是把三角形面积表示成关于直线斜率与截距的函数，然后利用均值不等式求最值.【例4】(2022届陕西省汉中市高三上学期质量检测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(-3,0),F 2(3,0)且经过点P (3,2).(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若斜率为1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)【解析】(1)由椭圆的定义，可知2a =PF 1 +PF 2 =(23)2+4+2=4+2=6解得a =3，又b 2=a 2-(3)2=6.∴椭圆C 的标准方程为x 29+y 26=1.(2)设直线l 的方程为y =x +m ，联立椭圆方程，得5x 2+6mx +3m 2-18=0，△=36m 2-60m 2+360>0，得-15<m <15设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-6m 5,x 1⋅x 2=3m 2-185，∴|AB |=2⋅x 1+x 2 2-4x 1⋅x 2=2⋅36m 225-12m 2-725=435⋅15-m 2，点O (0,0)到直线l :x +y -m =0的距离d =|m |2，∴S △AOB =12|AB |⋅d =12×435×15-m 2×|m |2=6515-m 2 ⋅m2≤6515-m 2+m 22 2=65×152=362.当且仅当15-m 2=m 2,(-15<m <15)，即m 2=152,m =±302时取等号；∴△AOB 面积的最大值为362.(四)把面积用双变量表示，然后利用均值不等式求最值求解该类问题通常先建立两个变量之间的等量关系，然后利用和或积为定值，借助均值不等式求最值.【例5】(2022届湖南省长沙市高三上学期11月月考)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1的离心率为e =32，Q 2,22 为椭圆上一点.直线l 不经过原点O ，且与椭圆交于A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 两点.(1)求椭圆的方程；(2)求△OAB 面积的最大值，并求当△OAB 面积最大时AB 的取值范围.【解析】(1)∵e =c a =32,a 2=b 2+c 2,∴a 2=43c 2,b 2=c 23，∴3x 24c 2+3y 2c 2=1.将Q 2,22 代入得32c 2+32c2=1⇒c =3⇒a 2=4,b 2=1，∴椭圆方程为x24+y 2=1.(2)设l :x =ty +m m ≠0 ，与椭圆联立得：t 2+4 y 2+2tmy +m 2-4=0，所以y 1+y 2=-2tm t 2+4,y 1y 2=m 2-4t 2+4,Δ=16t 2+4-m 2 >0.则S △OAB =12m ⋅y 1-y 2 =2m t 2+4-m 2t 2+4=2m 2t 2+41-m 2t 2+4 ，因为t 2+4-m 2>0，故0<m 2t 2+4<1，所以2m 2t 2+41-m 2t 2+4 ≤m 2t 2+4+1-m 2t 2+4 =1当且仅当m 2t 2+4=12时取等号，此时Δ=16m 2>0，符合题意.所以S △OAB ≤1，即△OAB 面积的最大值为1.当t 不存在时，设l :y =h h ≠0 ，则S △OAB =21-h 2⋅h ≤1，当h =22时取等号.综上，△OAB 面积的最大值为1当△OAB 面积最大时：若t 存在，则此时t 2=2m 2-4≥0⇒m 2≥2，则AB =1+t 2⋅4t 2+4-m 2t 2+4=22-3m 2∈2,22 ，若t 不存在，则此时AB =41-h 2=22.综上，AB ∈2,22 .．(五)与斜率有关的最值问题与斜率有关的最值问题的思路一是设出动点.是利用斜率定义表示出斜率，然后利用函数或不等式知识求解，二是设出直线的点斜式或斜截式方程，利用根与系数之间的关系或题中条件整理关于斜率的等式或不等式求解.【例6】(2022届福建省福州第十八中学高三上学期考试)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2．(1)求C 的方程；(2)已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足PQ =9QF，求直线OQ 斜率的最大值．【解析】(1)抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F p 2,0 ，准线方程为x =-p2，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为p 2--p2=p =2，所以该抛物线的方程为y 2=4x ；(2)设Q x 0,y 0 ，则PQ =9QF=9-9x 0,-9y 0 ，所以P 10x 0-9,10y 0 ，由P 在抛物线上可得10y 0 2=410x 0-9 ，即x 0=25y 20+910，据此整理可得点Q 的轨迹方程为y 2=25x -925，所以直线OQ 的斜率k OQ =y 0x 0=y 025y 20+910=10y 025y 20+9，当y 0=0时，k OQ =0；当y 0≠0时，k OQ =1025y 0+9y 0，当y 0>0时，因为25y 0+9y 0≥225y 0⋅9y 0=30，此时0<k OQ ≤13，当且仅当25y 0=9y 0，即y 0=35时，等号成立；当y 0<0时，k OQ <0；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.(六)与数量积有关的最值问题求解与数量积有关的最值问题，通常利用数量积的定义或坐标运算，把数量积表示成某个变量的函数，然后再利用均值不等式求最值.【例7】设椭圆x 25+y 24=1的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C ，曲线C 的两条切线PA 、PB 交于点P ，且与C 分别切于A 、B 两点，求PA ⋅PB的最小值．【解析】设椭圆的两切线为l 1，l 2．①当l 1⊥x 轴或l 1⎳x 轴时，对应l 2⎳x 轴或l 2⊥x 轴，可知切点为；②当l 1与x 轴不垂直且不平行时，x ≠±5，设l 1的斜率为k ，则k ≠0，l 2的斜率为-1k，并设l 1,l 2 的交点为x 0,y 0 ，则l 1的方程为y -y 0=k x -x 0 ，联立x 25+y 24=1，得：5k 2+4 x 2+10y 0-kx 0 kx +5y 0-k 0x 0 2-20=0 ，∵直线与椭圆相切，∴Δ=0，得5y 0-kx 0 2k 2-5k 2+4 y 0-kx 0 2-4 =0，∴x 20-5 k 2-2x 0y 0k +y 20-4=0，∴k 是方程x 20-5 k 2-2x 0y 0k +y 20-4=0的一个根，同理-1k是方程x 20-5 k 2-2x 0y 0k +y 20-4=0的另一个根，∴k ⋅-1k =y 20-4x 20-5得x 20+y 20=9，其中x ≠±5，∴交点的轨迹方程为：x 2+y 2=9x ≠±5 ，∵±5,±2 也满足上式；综上知：轨迹C 方程为x 2+y 2=9；设PA =PB =x ，∠APB =θ，则在△AOB 与△APB 中应用余弦定理知，AB 2=OA 2+OB 2-2OA ⋅OB ⋅cos ∠AOB =PA 2+PB 2-2PA ⋅PB ⋅cos ∠APB ，即32+32-2⋅3⋅3cos 180°-θ =x 2+x 2-2x ⋅x ⋅cos θ ，即x 2=91+cos θ1-cos θ，PA ⋅PB =PA ⋅PB cos ∠APB =x ⋅x cos θ=91+cos θ cos θ1-cos θ，令t =1-cos θ∈0,2 ，则cos θ=1-t ，PA ⋅PB =92-t 1-t t =9t 2-3t +2 t =9⋅t +2t-3 ≥9⋅2t ⋅2t -3 =922-3 ，当且仅当t =2t，即t =2时，PA ⋅PB 取得最小922-3 ；综上，PA ⋅PB 的最小为922-3 .三、跟踪检测1.(2023届山东省青岛市高三上学期检测)在平面直角坐标系Oxy 中，动圆P 与圆C 1:x 2+y 2+2x -454=0内切，且与圆C 2:x 2+y 2-2x +34=0外切，记动圆P 的圆心的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程；(2)不过圆心C 2且与x 轴垂直的直线交轨迹E 于A ,M 两个不同的点，连接AC 2交轨迹E 于点B .(i )若直线MB 交x 轴于点N ，证明：N 为一个定点；(ii )若过圆心C 1的直线交轨迹E 于D ,G 两个不同的点，且AB ⊥DG ，求四边形ADBG 面积的最小值.【解析】(1)设动圆P 的半径为R ，圆心P 的坐标为x ,y由题意可知：圆C 1的圆心为C 1-1,0 ，半径为72；圆C 2的圆心为C 21,0 ，半径为12.∵动圆P 与圆C 1内切，且与圆C 2外切，∴PC 1 =72-RPC 2 =12+R⇒PC 1 +PC 2 =4>C 1C 2 =2∴动圆P 的圆心的轨迹E 是以C 1,C 2为焦点的椭圆，设其方程为：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，其中2a =4,2c =2,∴a =2,b 2=3从而轨迹E 的方程为：x 24+y 23=1(2)(i )设直线AB 的方程为y =k x -1 k ≠0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则M x 1,-y 1 由y =k x -1x 24+y 23=1可得：4k 2+3 x 2-8k 2x +4k 2-12=0∴x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2-124k 2+3直线BM 的方程为y +y 1=y 2+y 1x 2-x 1x -x 1 ，令y =0可得N 点的横坐标为：x N =x 2-x 1y 2+y 1y 1+x 1=k x 2-x 1 x 1-1 k x 1+x 2-2+x 1=2x 1x 2-x 1+x 2 x 1+x 2-2=2×4k 2-124k 2+3-8k 24k 2+38k 24k 2+3-2=4∴N 为一个定点，其坐标为4,0(ii )根据(i )可进一步求得：AB =1+k 2x 2-x 1 =1+k 2×x 2+x 12-4x 1x 2=1+k 2×8k 24k 2+3 2-4×4k 2-124k 2+3=12k 2+1 4k 2+3.∵AB ⊥DG ,∴k DG =-1k，则DG =12k 2+13k 2+4∵AB ⊥DG ，∴四边形ADBG面积S=12AB×DG=12×12k2+14k2+3×12k2+13k2+4=72k2+124k2+33k2+4(法一)S=72k2+124k2+33k2+4≥72k2+124k2+3+3k2+422=28849等号当且仅当4k2+3=3k2+4时取，即k=±1时，S min=288 49(法二)令k2+1=t,∵k≠0,∴t>1，则S=72t212t2+t-1=72-1t2+1t+12=72-1t-122+494当1t=12，即k=±1时，S min=288492.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点3,-32，且椭圆的离心率e=12，过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A,B及C、D．(1)求椭圆的方程；(2)求证：1|AB|+1|CD|为定值；(3)求|AB|+916|CD|的最小值．【解析】(1)由e=ca=12，得c2a2=14，∴a2=4c2=4(a2-b2)，∴3a2=4b2．①，由椭圆过点3,-3 2知，3a2+34b2=1②．联立①②式解得a2=4，b2=3．故椭圆的方程是x24+y23=1．(2)1|AB|+1|CD|为定值712．证明：椭圆的右焦点为F(1,0)，分两种情况．1°不妨设当AB的斜率不存在时，AB:x=1，则CD:y=0．此时|AB|=2b2a=3，|CD|=2a=4，1|AB|+1|CD|=712；2°当直线AB的斜率存在时，设AB:y=k(x-1)(k≠0)，则CD:y=-1k(x-1)．又设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立方程组y=k(x-1)3x2+4y2=12 ，消去y并化简得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0，∴x1+x2=8k24k2+3，x1∙x2=4k2-124k2+3，∴|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+k2|x1-x2|=1+k2∙(x1+x2)2-4x1x2=1+k2∙64k4-16(k2-3)(4k2+3)(4k2+3)2=12(k2+1)4k2+3，由题知，直线CD的斜率为-1 k，同理可得|CD |=12(1+k 2)4+3k 2所以1|AB |+1|CD |=7k 2+712(k 2+1)=712为定值．(3)解：由(2)知1|AB |+1|CD |=712，∴|AB |+916|CD |=127|AB |+916|CD | 1|AB |+1|CD |=1272516+916|CD ||AB |+|AB ||CD |≥1272516+2916|CD ||AB |×|AB ||CD |=214，当且仅当916|CD ||AB |=|AB ||CD |，即|AB |=34|CD |，即|AB |=3，|CD |=4时取等号，∴|AB |+916|CD |的最小值为214．3.(2023届四川省隆昌市第一中学高三上学期考试)已知离心率为12的椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过点1,32，抛物线C 2:y 2=2px p >0 ．(1)若抛物线C 2的焦点恰为椭圆C 1的右顶点，求抛物线方程；(2)若椭圆C 1与抛物线C 2在第一象限的交点为A ，过A 但不经过原点的直线l 交椭圆C 1于B ，交抛物线C 2于M ，且AM =MB，求p 的最大值，并求出此时直线l 的斜率．【解析】(1)由c a =12设a 2=4c 2，b 2=3c 2，所以将点1,32 代入椭圆C 1:x 24c 2+y 23c 2=1得：椭圆C 1:x 24+y 23=1，所以C 1的右顶点为2,0 ，依题意p 2=2，所以抛物线C 2方程为y 2=8x ；(2)设直线l 的方程为x =my +t t ≠0 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，M x 0,y 0 ，联立x =my +t x 24+y 23=1，消去x 整理得3m 2+4 y 2+6mty +3t 2-12=0，显然Δ>0则y 1+y 2=-6km 3m 2+4，所以y 0=y 1+y 22=-3km 3m 2+4，x 0=my 0+t =4t3m 2+4；联立x =my +t y 2=2px，消去x 整理得y 2-2pmy -2pt =0，∴Δ>0，且y 1y 0=-2pt∴y 1=-2pty 0=2p 3m 2+4 3m由抛物线方程得x 1=y 212p =2p 3m 2+4 29m 2，所以点坐标为A 2p 3m 2+4 29m 2,2p 3m 2+4 3m，将点A 代入椭圆方程3x 2+4y 2=12有：32p 3m 2+429m 22+42p 3m 2+4 3m 2=12整理得：27p2=133m +4m 4+43m +4m 2，令t =3m +4m2，则t ≥23m ⋅4m 2=48，当且仅当3m =4m即m =43，即直线l 的斜率k =32时t ≥48取等号，所以27p2=13t 2+4t ≥20×48，∴p 2≤9320，∴p ≤3540，即p 的最大值为3540，此时直线l 的斜率为32．4.平面直角坐标系中，椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦距为26，过焦点的最短弦长为 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)斜率为12的直线与椭圆交于A ,B 两点，P 为椭圆上异于A ,B 的点，求△PAB 的面积的最大值.【解析】(1)由题意得2c =26,2b 2a =2a 2-b 2=c 2⇒a 2=8,b 2=2，故椭圆的标准方程为x 28+y 22=1；(2)设直线AB 的方程为y =12x +m ，则x 28+y 22=1y =12x +m⇒x 2+2mx +2m 2-4=0，，Δ=16-4m 2>0⇒-2<m <2，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，x 1+x 2=-2m x 1x 2=2m 2-4AB =16-4m 2×1+14=5×4-m 2，当-2<m ≤0时，当P 到AB 的距离最大时，点P 在第二象限且过P 点的切线正好与AB 平行，设切线方程为y =12x +n ，n >0，x 28+y 22=1y =12x +n⇒x 2+2nx +2n 2-4=0，由Δ=16-4n 2=0得n =2，此时P (-2,1)，P 到AB 的距离最大为d =m -21+14=2m -2 5，故△PAB 的面积S =12×AB ×d =12×5×4-m 2×2m -2 5=4-m 2×m -2 ，则S 2=(2+m )(2-m )3=13(6+3m )(2-m )3≤13×6+3m +6-3m 4 4=27，故S ≤33，当且仅当m =-1时取等号. 当0<m <2时，当P 到AB 的距离最大时，点P 在第四象限且过P 点的切线正好与AB 平行，设切线方程为y =12x +n ，n <0，x 28+y 22=1y =12x +n⇒x 2+2nx +2n 2-4=0，由Δ=16-4n 2=0得n =-2，此时P (2,-1)，P 到AB 的距离最大为d =m +21+14=2m +2 5，故△PAB 的面积S =12×AB ×d =12×5×4-m 2×2m +2 5=4-m 2×m +2 ，则S 2=(2-m )(2+m )3=13(6-3m )(2+m )3≤13×6-3m +6+3m 4 4=27，故S ≤33，当且仅当m =1时取等号. 所以△PAB 的面积的最大值为33.5.平面直角坐标系中，过点(1,0)的圆C 与直线x =-1相切．圆心C 的轨迹记为曲线Γ．(1)求曲线Γ的方程；(2)设A ,B 为曲线Γ上的两点，记AB 中点为M ，过M 作AB 的垂线交x 轴于N ．①求x N -x M ；②当AB =10时，求x N 的最大值．【解析】(1)设C (x ,y )，由题意，则C 到(1,0)的距离等于C 到x =-1的距离，故C 的轨迹为抛物线y 2=4x ；(2)设A y 124,y 1 ,B y 224,y 2 ，则M y 12+y 228,y 1+y 22，①k AB =y 1-y 2y 124-y 224=4y 1+y 2故k MN=-y 1+y 24，MN :y -y 1+y 22=-y 1+y 24x -y 12+y 228，令y =0，得0-y 1+y 22=-y 1+y 24x -y 12+y 228，故x N =y 12+y 228+2，即xN -x M =2，②由题意y 124-y 2242+(y 1-y 2)2=10，即40=(y 1-y 2)2[(y 1+y 2)2+16]≤(y 1-y 2)2+(y 1+y 2)2+162=y 12+y 22+8，故x N =y 12+y 228+2≥6．6.已知点F 1、F 2分别为椭圆Γ:x 22+y 2=1的左､右焦点，直线l :y =kx +t 与椭圆Γ有且仅有一个公共点，直线F 1M ⊥l ,F 2N ⊥l ，垂足分别为点M 、N .(1)求证：t 2=2k 2+1；(2)求证：F 1M ⋅F 2N为定值，并求出该定值；(3)求OM +ON ⋅ OM -ON的最大值.【解析】(1)联立l :y =kx +t 与Γ:x 22+y 2=1得：2k 2+1 x 2+4ktx +2t 2-2=0，由直线与椭圆有一个公共点可知：Δ=4kt 2-42k 2+1 2t 2-2 =0，化简得：t 2=2k 2+1；(2)由题意得：F 1-1,0 ,F 21,0 ，因为F 1M ⊥l ,F 2N ⊥l ，所以F 1M ∥F 2N ，故F 1M ⋅F 2N =F 1M ⋅F 2N ，其中F 1M =-k +tk 2+1，F 2N =k +tk 2+1，所以F 1M ⋅F 2N =F 1M ⋅F 2N =-k +t k 2+1⋅k +t k 2+1=t 2-k 2 k 2+1=2k 2+1-k 2k 2+1=1，F 1M ⋅F 2N为定值，该定值为1；(3)OM +ON =OF 1 +F 1M +OF 2 +F 2N =F 1M +F 2N =F 1M +F 2N ，由题意得：点F 1,F 2在直线l 的同侧，所以F 1M +F 2N =-k +t k 2+1+k +t k 2+1=2t k 2+1，OM -ON =NM =F 1F 2 ⋅MNMN=F 1F 2 cos α=2k 2+1，(其中α为F 1F 2 ,MN 的夹角)，由此可知：OM +ON ⋅ OM -ON =4t k 2+1=8t t 2+1=8t +1t ≤82t ⋅1t=4，当且仅当t =1t即t =1,k =0时，等号成立，所以OM +ON ⋅ OM -ON 的最大值为4.7.(2022届广东省佛山市高三上学期12月模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率e =22，且点P 2,1 在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程;(2)若点A ,B 都在椭圆C 上，且AB 中点M 在线段OP (不包括端点)上.求△AOB 面积的最大值.【解析】(1)离心率e =c a =22，将P 代入椭圆方程，可得4a 2+1b2=1，又a 2-b 2=c 2 ，∴联立上述方程，可得：a =6， b =c =3，∴椭圆方程为x 26+y 23=1；(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 可得：x 21+2y 21=6,x 22+2y 22=6，相减可得：x 1-x 2 x 1+x 2 +2y 1-y 2 y 1+y 2 =0，由题意，k OM =k OP =12，即y 1+y 2x 1+x 2=12，∴直线AB 的斜率y 1-y 2x 1-x 2=-x 1+x 22y 1+y 2=-12×2=-1，故可设直线AB 为y =-x +t ，代入椭圆方程可得：3x 2-4tx +2t 2-6=0，由Δ=16t 2-12(2t 2-6)>0，解得-3<t <3，∴x 1+x 2=4t 3,x 1x 2=2t 2-63，AB =2⋅(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2⋅16t 29-8t 2-243=439-t 2，又O 到AB 的距离为d =t2，∴△AOB 面积为S =12AB d =23t 29-t 2≤23⋅t 2+9-t 22=322，当且仅当t 2=9-t 2，即t =±322时，S 取得最大值322.8.(2022届衡水金卷高三一轮复习摸底测试)已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的上顶点为B 0,1 ，过点2,0 且与x 轴垂直的直线被截得的线段长为233.(1)求椭圆Γ的标准方程﹔(2)设直线l 1交椭圆Γ于异于点B 的P ,Q 两点，以PQ 为直径的圆经过点B ,线段PQ 的中垂线l 2与x 轴的交点为(x 0,0)，求x 0的取值范围.【解析】(1)由已知条件得：b =1，令x =2，得y =±1-2a2，由题意知：21-2a 2=233，解得a =3，∴椭圆的标准方程为x 23+y 2=1，(2)①当直线PQ 的斜率不存在时，显然不合题意；②当直线PQ 斜率存在时，设PQ :y =kx +m ，当k =0时，此时P ,Q 关于y 轴对称，令P (x ,y ),Q (-x ,y )，∴BP =(x ,y -1),BQ =(-x ,y -1)且BP ⋅BQ=0，则(y -1)2=x 2，又x 2=3-3y 2，∴2y 2-y -1=0，解得y =-12或y =1(舍)，则P 32,-12 ,Q -32,-12符合题设.∴此时有x 0=0；当k ≠0时，则y =kx +mx 2+3y 2=3，得1+3k 2 x 2+6km x +3m 2-3=0，Δ=36k 2+12-12m 2>0，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，则y =kx +mx 2+3y 2=3，得1+3k 2 x 2+6km x +3m 2-3=0，Δ=36k 2+12-12m 2>0，且x 1+x 2=-6km 1+3k2x 1x 2=3m 2-31+3k 2，由BP ⋅BQ=x 1x 2+y 1-1 y 2-1 =0，即1+k 2 x 1x 2+k m -1 x 1+x 2 +m -1 2=0，∴1+k 2 ⋅3m 2-31+3k 2-k m -1 ⋅6km 1+3k 2+m -1 2=0，整理得2m 2-m -1=0，解得m =-12，m =1(舍去)，代入Δ=36k 2+12-12m 2>0得：k ∈R ，∴PQ 为y =kx -12，得：x M =x 1+x 22=3k 21+3k 2 ,y M =-121+3k 2 ，则线段的PQ 中垂线l 2为y +121+3k 2 =-1k x -3k 21+3k 2，∴在x 轴上截距x 0=k 1+3k 2，而x 0=k 1+3k 2≤k 2×3k=36，∴-36≤x 0≤36且x 0≠0，综合①②:线段PQ 的中垂线l 2在x 轴上的截距的取值范围是-36,36.9.(2022届河北省高三上学期12月教学质量监测)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1-1,0 ，F 21,0 ，点P 满足PF 1 +PF 2 =22，点P 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)不过F 1的直线l 与C 交于A ､B 两点，若直线l 的斜率是直线AF 1､BF 1斜率的等差中项，直线AB 和线段AB 的垂直平分线与y 轴分别交于P ､Q ，求PQ 的最小值.【解析】(1)由椭圆的定义知，点P 在以F 1，F 2为焦点且a =2的椭圆上，所以其方程为：x 22+y 2=1(2)由题意得直线l 的斜率存在且不为0.直线l 的方程为y =kx +b ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，直线方程与椭圆方程联立得x 2+2y 2=2y =kx +b得1+2k 2 x 2+4kb x +2b 2-2=0，所以Δ=4kb 2-41+2k 2 2b 2-2 >0得k 2+1>b 2x 1+x 2=-4kb 1+2k 2，x 1x 2=2b 2-21+2k 2由题意得2k =y 1x 1+1+y 2x 2+1，即2k x 1+1 x 2+1 =kx 1+b x 2+1 +kx 2+b x 1+1整理得b -k x 1+x 2 =2k -b∵直线l 不过F 1，∴b ≠k ，x 1+x 2=-2∴-4kb 1+2k 2=-2，∴b =1+2k 22k ∵b 2<k 2+1，∴1+2k 22k 2<k 2+1，解得k >22或k <-22线段AB 的中点为-1,b -k ，线段AB 中垂线方程为y -b -k =-1kx +1 当x =0时，y Q =-1k-k +b ，直线AB 与y 轴交点的纵坐标y P =b PQ =y P -y Q =k +1k，k >22或k <-22当k =±1时，PQ 最小，最小值为2.10.已知两圆C 1:(x -2)2+y 2=54,C 2:(x +2)2+y 2=6，动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1内切，和圆C 2外切.(1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；(2)过点A 3,0 的直线与曲线C 交于P ,Q 两点.P 关于x 轴的对称点为R ，求△ARQ 面积的最大值.【解析】(1)依题意，圆C 1的圆心C 12,0 ，半径r 1=36，圆C 2的圆心C 2-2,0 ，半径r 2=6，设圆M 的半径为r ，则有MC 1 =r 1-r ，MC 2 =r 2+r ，因此，MC 1 +MC 2 =r 1+r 2=46>4=C 1C 2 ，于是得点M 的轨迹是以C 1,C 2为焦点，长轴长2a =46的椭圆，此时，焦距2c =4，短半轴长b 有：b 2=a 2-c 2=20，所以动圆圆心M 的轨迹C 的方程为：x 224+y 220=1.(2)显然直线PQ 不垂直于坐标轴，设直线PQ 的方程为x =my +3(m ≠0)，P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，由x =my +35x 2+6y 2=120消去x 得：(5m 2+6)x 2+30my -75=0，则y 1+y 2=-30m 5m 2+6，y 1y 2=-755m 2+6，点P 关于x 轴的对称点R (x 1,-y 1)，S △PQR =12⋅|2y 1|⋅|x 2-x 1|，S △APR =12⋅2y 1⋅ 3-x 1 ，如图，显然x 1与x 2在3的两侧，即x 2-x 1与3-x 1同号，于是得S △AQR =S △PQR -S △APR =y 1 x 2-x 1- 3-x 1 =y 1⋅ x 2-x 1 -3-x 1=|y 1|⋅|x 2-3|=|y 1|⋅|my 2|=|my 1y 2|=75|m |5m 2+6=755|m |+6|m |≤7525|m |⋅6|m |=5304，当且仅当5|m |=6|m |，即m =±305时取“=”，因此，当m =±305时，(S △AQR )max =5304，所以△ARQ 面积的最大值5304.11.已知椭圆C ：x 2a2+y 2=1(a >0)的离心率为22，分别过左、右焦点F 1，F 2作两条平行直线l 1和l 2.(1)求l 1和l 2之间距离的最大值；(2)设l 1与C 的一个交点为A ，l 2与C 的一个交点为B ，且A ，B 位于x 轴同侧，求四边形AF 1F 2B 面积的最大值.【解析】(1)∵椭圆C ：x 2a2+y 2=1(a >0)的离心率为22，且b =1，∴a =2,b =1,c =1，∴x 22+y 2=1，设直线l 1：x =ty -1；直线l 2：x =ty +1.∴l 1和l 2之间距离d =21+t 2≤2，当t =0时，d max =2；(2)根据题意，不妨设直线l 1与椭圆C 交于A 、D 两点，直线l 2与椭圆C 交于B 、N 两点，则AD ∥BN ，且AD =BN ，即四边形ABND 为平行四边形，∴四边形AF 1F 2B 面积为四边形ABND 面积的一半，由(1)知，d =21+t 2，联立方程x =ty -1x 2+2y 2=2 ,则2+t 2 y 2-2ty -1=0，∴Δ=8t 2+1 >0,y 1+y 2=2t 2+t 2,y 1y 2=-12+t 2，∴AD =1+t 2y 1-y 2 =22t 2+1 2+t 2，∴12S ▱ABND =12d ⋅AD =12×21+t 2×22t 2+1 2+t 2=221+t 22+t 22，令u =1+t 2≥1，12S ▱ABND =22u u +1 2=221u +1u+2，∵u ≥1，∴u +1u+2≥4，∴12S ▱ABND ≤2，当且仅当t =0时，取等号.故四边形AF 1F 2B 面积的最大值2.12.(2022届广西玉林市、贵港市高三12月模拟)设椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过M 1,32 ，N 3,12 两点，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA ⊥OB若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围；若不存在，说明理由．【解析】(1)将M ，N 的坐标代入椭圆E 的方程得1a 2+34b 2=13a 2+14b 2=1 ，解得a 2=4，b 2=1．所以椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．(2)假设满足题意的圆存在，其方程为x 2+y 2=R 2，其中0<R <1，设该圆的任意一条切线AB 和椭圆E 交于A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 两点，当直线AB 的斜率存在时，令直线AB 的方程为y =kx +m ，①将其代入椭圆E 的方程并整理得4k 2+1 x 2+8km x +4m 2-4=0，由韦达定理得x 1+x 2=-8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2-44k 2+1，②因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2+y 1y 2=0，③将①代入③并整理得1+k 2 x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2=0，联立②得m 2=451+k 2 ，④因为直线AB 和圆相切，因此R =|m |1+k 2，由④得R =255，所以存在圆x 2+y 2=45满足题意．当切线AB 的斜率不存在时，易得x 12=x 22=45，由椭圆方程得y 12=y 22=45，显然OA ⊥OB ，综上所述，存在圆x 2+y 2=45满足题意．当切线AB 的斜率存在时，由①②④得AB =x 1-x 22+y 1-y 2 2=1+k 2x 1-x 2 2=1+k 2x 1+x 2 2-4x 1x 2=1+k 2-8km 4k 2+1 2-4×4m 2-44k 2+1=1+k216+64k 2-16m 21+4k 22=4551+k 21+16k 21+4k 22=45516k 4+17k 2+116k 4+8k 2+1=4551+9k 216k 4+8k 2+1=4551+916k 2+1k2+8，由16k 2+1k 2≥8，得1<1+916k 2+1k2+8≤54，即455≤AB ≤5．当切线AB 的斜率不存在时，易得AB =455，所以455≤AB ≤5．综上所述，存在圆心在原点的圆x 2+y 2=45满足题意，且455≤AB ≤5．13.(2022届上海市青浦区高三一模)已知抛物线y 2=x .(1)过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，求OA ∙OB 的值(其中O 为坐标原点)；(2)过抛物线上一点C x 0,y 0 ，分别作两条直线交抛物线于另外两点P x p ,y p ､Q x Q ,y Q ，交直线x =-1于A 1-1,1 ､B 1-1,-1 两点，求证：y p ⋅y Q 为常数(3)已知点D 1,1 ，在抛物线上是否存在异于点D 的两个不同点M ､N ，使得DM ⏊MN ?若存在，求N 点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题知，直线斜率不为0，故可设过焦点F 的直线为x =my +14，联立y 2=xx =my +14得y 2-my -14=0，y 1+y 2=my 1⋅y 2=-14，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则OA ∙OB =x 1x 2+y 1y 2=y 21⋅y 22+y 1y 2=-316；(2)由题可设过点C x 0,y 0 的一条直线交抛物线于P x p ,y p ，交直线x =-1于A 1-1,1 ，另一条直线交抛物线于Q x Q ,y Q ，交直线x =-1于B 1-1,-1 ，则k A 1C ≠0,k B 1C ≠0，k A 1C =y 0-1x 0+1,k B 1C =y 0+1x 0+1，直线A 1C 方程可表示为：y =y 0-1x 0+1x +1 +1，直线B 1C 方程可表示为：y =y 0+1x 0+1x +1 +1，联立直线A 1C 与抛物线方程y 2=xy =y 0-1x 0+1x +1+1可得y 2-x 0+1y 0-1y +x 0+1y 0-1+1 ，故y 0+y p =x 0+1y 0-1，即y p =x 0+1y 0-1-y 0，同理联立直线B 1C 和抛物线方程化简可得y 2-x 0+1y 0-1y +1-x 0+1y 0-1=0，故y 0+y Q =x 0+1y 0+1，y Q =x 0+1y 0+1-y 0，即y p ⋅y Q =x 0+1y 0-1-y 0 x 0+1y 0+1-y 0 =y 20+1y 0-1-y 0 y 20+1y 0+1-y 0=y 0+1y 0-1⋅1-y 0y 0+1=-1(3)假设存在点D 满足DM ⏊MN ，设M y 23,y 3 ,N y 24,y 4 ，DM =y 23-1,y 3-1 ,MN =y 24-y 23,y 4-y 3 ，则DM ⋅MN =y 23-1 ⋅y 24-y 23 +y 3-1 y 4-y 3 =0，易知y 3≠1,y 4≠y 3，化简得y 3+1 y 4+y 3 +1=0，即y 4=-1y 3+1+y 3 =-1y 3+1+y 3+1 -1，当y 3+1<0时，y 4=-1y 3+1-y 3+1 +1≥2-1y 3+1⋅-y 3+1 +1=3，当且仅当y 3=-2时取到等号，故y 4≥3；当y 3+1>0时，y 4=-1y 3+1+y 3+1 -1 ≤-21y 3+1⋅y 3+1 -1 =-1，当且仅当y 3=0时取到等号，因为y 3≠1，故y 3+1≠2，令t =y 3+1，则t +1t ≠52，但t =y 3+1=12能取到，此时t +1t =52，故y 4∈-∞,-1 ；故y 4∈-∞,-1 ⋃3,+∞ .。

微专题-圆锥曲线中的最值问题(解析版)

专题30 圆锥曲线中的最值问题【考情分析】与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。

江苏高考试题结构平稳，题量均匀．每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广．虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。

圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体．俗话说：他山之石可以攻玉．在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性．比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解．再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展【备考策略】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。

（4）利用代数基本不等式。

代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】1．已知双曲线12222=-by a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是[2,)+∞2． P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为73．抛物线y=-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是434．已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 32 .5．已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P 满足条件||||22PM PN -=.记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为：22x y 122－＝（x >0）（Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0，此时A （x 0，2x 2－），B （x 0，－20x 2－），OAO B ⋅ ＝2当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，代入双曲线方程22x y 122－＝中，得：(1－k 2)x 2－2kbx －b 2－2＝0 依题意可知方程1︒有两个不相等的正数根，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则2222122212244(1)(2)0201201k b k b kb x x k b x x k ⎧⎪∆=--∙--≥⎪⎪+=>⎨-⎪⎪+=>⎪-⎩解得|k |>1，又OA OB ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋（kx 1＋b ）（kx 2＋b ）＝（1＋k 2）x 1x 2＋kb （x 1＋x 2）＋b 2＝2222k 242k 1k 1＋＝＋－－>2 综上可知OA OB ⋅的最小值为2【典型示例】求抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值? 分析一：设抛物线上任一点坐标为P(0x ,-x20)，由点到直线的距离公式得P 到直线的距离d(0x )=5|834|200--x x =5320)32(320+-x 34≥，当0x =32时，d(0x )取得最大值34,分析二：设抛物线上点P(0x ,-x20)到直线4x+3y-8=0距离最小，则过P 且与抛物线相切的直线与4x+3y-8=0平行，故y '( 0x )=-2 0x =-34,∴0x =32,∴P(32,-94), 此时d=5|8943324|--⨯+⨯）（=34，. 分析三：设直线方程为4x+3y+C=0则当l 与抛物线相切时l 与4x+3y-8=0间的距离为所求最小，由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=0342C y x y x 得4x-3x 2+C=0，∴△=16+12C=0, ∴c=-34,此时d=345|348|=---）（【分类解析】例1:已知椭圆221259x y +=，A （4，0），B （2，2）是椭圆内的两点，P 是椭圆上任一点，求：（1）求5||||4PA PB +的最小值；（2）求||||PA PB +的最小值和最大值分析：（1）A 为椭圆的右焦点。

圆锥曲线求最值方法总结及典型例题

圆锥曲线最值问题—5大方面最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。

解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。

以下从五个方面予以阐述。

一．求距离的最值例1.设AB 为抛物线y=x 2的一条弦，若AB=4，则AB 的中点M 到直线y+1=0的最短距离为，解析：抛物线y=x 2的焦点为F （0 ，41），准线为y=41-，过A 、B 、M 准线y=41-的垂线，垂足分别是A 1、B 1、M 1，则所求的距离d=MM 1+43=21(AA 1+BB 1) +43=21(AF+BF) +43≥21AB+43=21×4+43=411, 当且仅当弦AB 过焦点F 时，d 取最小值411，评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。

二．求角的最值例2．M ，N 分别是椭圆12422=+y x 的左、右焦点，l 是椭圆的一条准线，点P 在l 上，则∠MPN 的最大值是 .解析：不妨设l 为椭圆的右准线，其方程是22=x ，点)0)(,22(00>y y P ，直线PM 和PN 倾斜角分别为βα和.∵)0,2(),0,2(N M -∴,232220tan 00y y k PM =+-==α22220tan 00y y k PN =--==β于是)tan(tan αβ-=∠MPN 2321232tan tan 1tan tan 0000y y y y ⋅+-=+-=αβαβ 33622262262200200=≤+=+=y y y y ∵)2,0[π∈∠MPN ∴6π≤∠MPN 即∠MPN 的最大值为6π. 评注：审题时要注意把握∠MPN 与PM 和PN 的倾斜角之间的内在联系.三、求几何特征量代数和的最值例3.点M 和F 分别是椭圆192522=+y x 上的动点和右焦点，定点B(2,2).⑴求|MF|+|MB|的最小值. ⑵求45|MF|+|MB|的最小值. 解析：易知椭圆右焦点为F(4,0)，左焦点F ′(-4,0)，离心率e=54，准线方程x=±425. ⑴|MF| + |MB| = 10―|MF ′ | + |MB| =10―（|MF ′|―|MB|）≥10―|F ′B|=10―210.故当M ，B ，F ′三点共线时，|MF|+|MB|取最小值10―210.⑵过动点M 作右准线x=425的垂线，垂足为H ，则54||||==e MH MF ⇒||54|H |MF M =. 于是45|MF|+|MB|=|MH|+|MB|≥|HB|=417. 可见，当且仅当点B 、M 、H 共线时，45|MF|+|MB|取最小值417. 评注：从椭圆的定义出发，将问题转化为平几中的问题，利用三角形三边所满足的基本关系，是解决此类问题的常见思路。

圆锥曲线中的定值问题(解析版)

圆锥曲线中的定值问题一、考情分析求定值是圆锥曲线中颇有难度的一类问题,也是备受高考关注的一类问题,由于它在解题之前不知道定值的结果,因而更增添了题目的神秘色彩.解决这类问题时,要善于运用辩证的观点去思考分析,在动点的“变”中寻求定值的“不变”性,用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值,揭开神秘的面纱,这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题,从而找到解决问题的突破口.同时有许多定值问题,通过特殊探索法不但能够确定出定值,还可以为我们提供解题的线索.二、解题秘籍(一)定值问题解题思路与策略1.定值问题肯定含有参数, 若要证明一个式子是定值, 则意味着参数是不影响结果的, 也就是说参数在解式子的过程中都可以消掉, 因此解决定值问题的关键是设参数：(1)在解析几何中参数可能是点(注意如果设点是两个参数时, 注意横坐标要满足圆锥曲线方程)(2)可能是角(这里的角常常是将圆锥曲线上的点设为三角函数角的形式),(3)也可能是斜率(这个是最常用的, 但是既然设斜率了, 就要考虑斜率是否存在的情况)常用的参数就是以上三种, 但是注意我们设参数时要遵循一个原则：参数越少越好.因此定值问题的解题思路是：(1)设参数；(2)用参数来表示要求定值的式子；(3)消参数.2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．【例1】(2023届湖湘名校教育联合体高三上学期9月大联考)已知椭圆C:x22+y2=1,F1为右焦点，直线l:y=t(x-1)与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段AS与线段BS的中垂线交于点Q．(1)当t=2时，求QF1；(2)当t≠0时，求QF1|AB|是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．【解析】(1)设A x1,y1,B x2,y2，线段AB的中点M坐标为x M,y M，联立得x2+2y2-2=0,y=2(x-1),消去y可得：9x2-16x+6=0，所以x1+x2=169, x1x2=69,所以x M=89，代入直线AB方程，求得y M=-29，因为Q为△ABS三条中垂线的交点，所以MQ⊥AB，有k MQ k AB=-1，直线MQ方程为y+29=-12×x-89.令y=0,x Q=49，所以Q49,0.由椭圆C :x 22+y 2=1可得右焦点F 11,0 ，故QF 1 =59．(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，中点M 坐标为x M ,y M ．x 212+y 21=1,x 222+y 22=1, 相减得y 2-y 1x 2-x 1=-12×x 1+x 2y 1+y 2=-x M 2y M ，k AB k OM =-12.又Q 为△ABS 的外心，故MQ ⊥AB ,k MQ k AB =-1，所以k MQ =2k OM =2y M x M ，直线MQ 方程为y -y M =2y Mx Mx -x M ，令y =0,x Q =x M 2=x 1+x 24，所以Q x 1+x 24,0 而F 11,0 ,所以QF 1 =1-14x 1+x 2 ，AF 1 =x 1-1 2+y 21=x 1-1 2+1-x 212=x 212-2x 1+2=2-12x 1，同理BF 1 =2-12x 2，|AB |=AF 1 +BF 1 =22-12x 1+x 2 ，QF 1 |AB |=1-14x 1+x 2 22-12x 1+x 2 =24，所以当t 变化时，QF 1 |AB |为定值24．【例2】(2023届河南省濮阳市高三上学期测试)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点为F ，圆O ：x 2+y 2=a 2，过F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 和圆O 所截得的弦长分别为433和2 2.(1)求C 的方程；(2)过圆O 上一点P (不在坐标轴上)作C 的两条切线l 1，l 2，记l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，直线OP 的斜率为k 3，证明：k 1+k 2 k 3为定值.【解析】(1)设椭圆C 的半焦距为c c >0 ，过F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 所截得的弦长分别为433，则2b 2a =433；过F 且垂直于x 轴的直线被圆O 所截得的弦长分别为22，则2a 2-c 2=22，又a 2-b 2=c 2，解得a =3b =2 ，所以C 的方程为x 23+y 22=1.(2)设P x 0,y 0 x 0y 0≠0 ，则x 20+y 20=3.①设过点P 与椭圆C 相切的直线方程为y -y 0=k x -x 0 ，联立2x 2+3y 2=6y -y 0=k x -x 0 得3k 2+2 x 2+6k y 0-kx 0 x +3y 0-kx 0 2-2 =0，则Δ=6k y 0-kx 0 2-4×3k 2+2 ×3y 0-kx 0 2-2 =0，整理得x 20-3 k 2-2x 0y 0k +y 20-2=0.②由题意知k 1，k 2为方程②的两根，由根与系数的关系及①可得k 1+k 2=2x 0y 0x 20-3=2x 0y 0-y 20=-2x 0y 0.又因为k 3=k OP =y 0x 0，所以k 1+k 2 k 3=-2x 0y 0⋅y 0x 0=-2，所以k 1+k 2 k 3为定值-2．(二)与线段长度有关的定值问题与线段长度有关的定值问题通常是先引入参数,利用距离公式或弦长公式得到长度解析式,再对解析式化简,得出结果为定值【例3】(2023届辽宁省朝阳市高三上学期9月月考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为2，点P 3,-1 在双曲线C 上.(1)求双曲线C 的方程；(2)点A ，B 在双曲线C 上，直线PA ，PB 与y 轴分别相交于M ,N 两点，点Q 在直线AB 上，若坐标原点O 为线段MN 的中点，PQ ⊥AB ，证明：存在定点R ，使得QR 为定值.【解析】(1)由题意，双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1的离心率为2，且P 3,-1 在双曲线C 上，可得9a 2-1b 2=1e =c a =2c 2=a 2+b 2，解得a 2=8,b 2=8，所以双曲线的方程为x 28-y 28=1.(2)由题意知，直线的AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y =kx +m ，联立方程组y =kx +mx 2-y 2=8，整理得(1-k 2)x 2-2km x -m 2-8=0，则Δ=(-2km )2-4(1-k 2)(-m 2-8)=4(m 2-8k 2+8)>0且1-k 2≠0，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=2km 1-k 2,x 1x 2=-m 2-81-k 2，直线PA 的方程为y +1=y 1+1x 1-3(x -3)，令x =0，可得y =-1-3y 1+3x 1-3，即M 0,-1-3y 1+3x 1-3 ,同理可得N 0,-1-3y 2+3x 2-3，因为O 为MN 的中点，所以-1-3y 1+3x 1-3 +-1-3y 2+3x 2-3=0，即-1-3(kx 1+m )+3x 1-3-1+3(kx 2+m )+3x 2-3)=0，可得(6k +2)x 1x 2-(3+9k -3m )(x 1+x 2)-18m =0，即(m +8)(m +3k +1)=0，所以m =-8或m +3k +1=0，若m +3k +1=0，则直线方程为y =kx -3k -1，即y +1=k (x -3)，此时直线AB 过点P 3,-1 ，不合题意；若m =-8时，则直线方程为y =kx -8，恒过定点D (0,-8)，所以PD =32+(-1-8)2=58为定值，又由△PQD 为直角三角形，且PD 为斜边，所以当R 为PD 的中点32,-92时，RQ =PD =582.(三)与面积有关的定值问题与面积有关的定值问题通常是利用面积公式把面积表示成某些变量的表达式,再利用题中条件化简.【例4】(2023届河南省部分学校高三上学期9月联考)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点为F 1-1,0 ，上、下顶点分别为A ，B ，∠AF 1B =90°．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆上有三点P ，Q ，M 满足OM =OP +OQ ，证明：四边形OPMQ 的面积为定值．【解析】(1)依题意c =1，又∠AF 1B =90°，所以b =c =1，所以a =b 2+c 2=2，所以椭圆方程为x 22+y 2=1.(2)证明：设M x ,y ，P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，因为OM =OP +OQ，所以四边形OPMQ 为平行四边形，且x =x 1+x 2y =y 1+y 2 ，所以x 1+x 2 22+y 1+y 2 2=1，即x 122+y 12+x 222+y 22+x 1x 2+2y 1y 2=1，又x 122+y 12=1，x 222+y 22=1，所以x 1x 2+2y 1y 2=-1，若直线PQ 的斜率不存在，M 与左顶点或右顶点重合，则x P =x Q =22，所以y P =y Q =32，所以S OPMQ =12×2x P ×2y P =62，若直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y =kx +t ，代入椭圆方程整理得1+2k 2 x 2+4ktx +2t 2-2=0，所以Δ=82k 2+1-t 2 >0，x 1+x 2=-4kt 1+2k 2，x 1x 2=2t 2-21+2k 2，所以y 1y 2=kx 1+t kx 2+t =k 2x 1x 2+kt x 1+x 2 +t 2=k 2⋅2t 2-21+2k 2+kt ⋅-4kt 1+2k2 +t 2所以2k 2+1 ⋅2t 2-21+2k 2+2kt ⋅-4kt 1+2k2 +2t 2=-1，整理得4t 2=1+2k 2，又PQ =k 2+1x 1-x 2 =k 2+1⋅81+2k 2-t 21+2k 2，又原点O 到PQ 的距离d =tk 2+1，所以S △POQ =12PQ d =2⋅1+2k 2-t 2⋅t 1+2k 2，将4t 2=1+2k 2代入得S △POQ =2⋅3t 2⋅t 4t2=64，所以S OPMQ =2S △POQ =62，综上可得，四边形OPMQ 的面积为定值62.(四)与斜率有关的定值问题与斜率有关的定值问题常见类型是斜率之积商或斜率之和差为定值,求解时一般先利用斜率公式写出表达式,再利用题中条件或韦达定理化简.【例5】(2023届江苏省南通市高三上学期第一次质量监测)已知A,A 分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右顶点，B ,F 分别是C 的上顶点和左焦点.点P 在C 上，满足PF ⊥A A ,AB ∥OP ,FA =2- 2.(1)求C 的方程；(2)过点F 作直线l (与x 轴不重合)交C 于M ,N 两点，设直线AM ,AN 的斜率分别为k 1,k 2，求证：k 1k 2为定值.【解析】(1)因为PF ⊥A A ，故可设P -c ,y 0 ，因为AB ∥OP ，故k AB ∥k OP ，即-b a =-y 0c ，解得y 0=bca.又P -c ,bc a 在椭圆C 上，故c 2a 2+b 2c 2a 2b2=1，解得a 2=2c 2=2a 2-2b 2，故a =2b =2c .又FA =2-2，故FA =a -c =2-1 c =2-2，故c =2，a =2,b =2.故C 的方程为x 24+y 22=1.(2)因为椭圆方程为x 24+y 22=1，故F -2,0 ,A 2,0 ，当l 斜率为0时A ,M 或A ,N 重合，不满足题意，故可设l ：x =ty -2.联立x 24+y 22=1x =ty -2可得t 2+2 y 2-22ty -2=0，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，则y 1+y 2=22t t 2+2,y 1y 2=-2t 2+2.故k 1k 2=y 1x 1-2⋅y 2x 2-2=y 1y 2ty 1-2-2 ty 2-2-2=y 1y 2t 2y 1y 2-2+2 t y 1+y 2 +2+2 2=1t 2-2+2 t y 1+y 2y 1y 2 +2+2 2y 1y 2=1t 2+22+2 t 2-2+2 2×t 2+2 2=1-23+22 =2-32故定值为2-32(五)与向量有关的定值问题与向量有关的定值问题常见类型一是求数量积有关的定值问题，二是根据向量共线,写出向量系数的表达式,再通过计算得出与向量系数有关的定值结论.【例6】(2023届湖南省部分校高三上学期9月月考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为62，点A 6,4 在C 上.(1)求双曲线C 的方程.(2)设过点B 1,0 的直线l 与双曲线C 交于D ,E 两点，问在x 轴上是否存在定点P ，使得PD ⋅PE为常数？若存在，求出点P 的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)因为双曲线C 的离心率为62，所以62 2=1+b 2a2，化简得a 2=2b 2.将点A 6,4 的坐标代入x 22b 2-y 2b 2=1，可得18b 2-16b2=1，解得b 2=2，所以C 的方程为x 24-y 22=1.(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ，直线l 的方程为y =k (x -1)，联立方程组y =k x -1 ,x 24-y 22=1,消去y 得(1-2k 2)x 2+4k 2x -2k 2-4=0，由题可知1-2k 2≠0且Δ>0，即k 2<23且k 2≠12，所以x 1+x 2=-4k 21-2k 2,x 1x 2=-2k 2+41-2k 2.设存在符合条件的定点P t ,0 ，则PD =x 1-t ,y 1 ,PE=x 2-t ,y 2 ，所以PD ⋅PE=x 2-t x 1-t +y 1y 2=k 2+1 x 1x 2-t +k 2 x 1+x 2 +t 2+k 2.所以PD ⋅PE =k 2+1 -2k 2-4 +4k 2t +k 2 +t 2+k 2 1-2k 2 1-2k 2，化简得PD ⋅PE =k 2-2t 2+4t -5 +t 2-4-2k 2+1.因为PD ⋅PE 为常数，所以-2t 2+4t -5-2=t 2-41，解得t =134.此时该常数的值为t 2-4=10516，所以，在x 轴上存在点P 134,0 ，使得PD ⋅PE 为常数，该常数为10516.【例7】(2022届上海市金山区高三上学期一模)已知P 0,1 为椭圆C ：x 24+y 23=1内一定点,Q 为直线l ：y =3上一动点,直线PQ 与椭圆C 交于A ､B 两点(点B 位于P ､Q 两点之间),O 为坐标原点.(1)当直线PQ 的倾斜角为π4时,求直线OQ 的斜率；(2)当△AOB 的面积为32时,求点Q 的横坐标；(3)设AP =λPB ,AB=μBQ ,试问λ-μ是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由.【解析】(1)因为直线PQ 的倾斜角为π4,且P 0,1 ,所以直线PQ 的方程为：y =x +1,由y =x +1y =3,得Q 2,3 ,所以直线OQ 的斜率是k OQ =32；(2)易知直线PQ 的斜率存在,设直线PQ 的方程为y =kx +1,由x 24+y 23=1y =kx +1,得3+4k 2 x 2+8kx -8=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则x 1+x 2=-8k 3+4k 2,x 1⋅x 2=-83+4k 2,所以x1-x 2 =x 1+x 2 2-4x 1⋅x 2=96+192k 23+4k 2,所以S △AOB =12OP ⋅x 1-x 2 =26+12k 23+4k 2=32,解得k 2=14,即k =±12,所以直线PQ 的方程为y =12x +1或y =-12x +1,由y =12x +1y =3,得Q 4,3 ；由y =-12x +1y =3,得Q -4,3 ；(3)易知直线PQ 的斜率存在,设直线PQ 的方程为x =m y -1 ,由x 24+y 23=1x =m y -1,得4+3m 2 y -1 2+8y -1 -8=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则y 1-1+y 2-1=-84+3m 2,y 1-1 ⋅y 2-1 =-84+3m 2,所以y 1-1+y 2-1=y 1-1 ⋅y 2-1 ,因为AP =λPB ,AB=μBQ ,所以λ=1-y 1y 2-1,μ=y 2-y 13-y 2=y 2-3+3-y 13-y 2=-1+3-y 13-y 2,所以λ-μ=1-y 1y 2-1+y 1-33-y 2+1,=21-y 1 +1-y 1 +21-y 1 1-y 1 y 2-1 3-y 2 +1=1.(六)与代数式有关的定值问题与代数式有关的定值问题．一般是依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值【例8】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右准线为直线l ，动直线y =kx +m (k <0,m >0)交椭圆于A ,B 两点，线段AB 的中点为M ，射线OM 分别交椭圆及直线l 于点P 、Q ，如图，当A 、B 两点分别是椭圆E 的右顶点及上顶点时，点Q 的纵坐标为1e(其中e 为椭圆的离心率)，且OQ =5OM ．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)如果OP 是OM 、OQ 的等比中项，那么mk是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．【解析】(1)椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1的右准线为直线l ，动直线y =kx +m 交椭圆于A ,B 两点，当A ,B 零点分别是椭圆E 的有顶点和上顶点时，则A (a ,0),B (0,,b ),M a 2,b2，因为线段AB 的中点为M ，射线OM 分别角椭圆及直线l 与P ,Q 两点，所以Q a 2c ,1e，由O ,M ,Q 三点共线，可得b a =1ea2c，解得b =1，因为OQ =5OM ，所以a 2c a 2=5，可得2a =5c ，又由a 2=b 2+c 2b =12a =5c，解得a 2=5,c 2=4，所以椭圆E 的标准方程为x 25+y 2=1.(2)解：把y =kx +m 代入椭圆E :x 25+y 2=1，可得(5k 2+1)x 2+10mkx +5m 2-5=0，可得x 1+x 2=10km 5k 2+1,x 1x 2=5m 2-55k 2+1，则y 1+y =k (x 1+x 1)+2m =2m 5k 2+1，所以x M =5km 5k 2+1,y M =m5k 2+1，即M 5km 5k 2+1,m 5k 2+1 ,所以直线OM 的方程为y =-15k x ，由y =-15k x x 25+y 2=1，可得x 2P =25k 25k 2+1，因为OP 是OM ,OQ 的等比中项，所以OP 2=OM ⋅OQ ，可得x 2P =x M ⋅x Q =25mk 2(5k 2+1)，又由25k 25k 2+1=25mk 2(5k 2+1)，解得m =-2k ，所以m k =-2，此时满足Δ>0，所以mk为常数-2.(六)与定值有关的结论1.若点A ,B 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上关于原点对称的两点,点P 是椭圆C 上与A ,B 不重合的点,则k PA ⋅k PB =-b 2a2；2.若点A ,B 是双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 上关于原点对称的两点,点P 是双曲线C 上与A ,B 不重合的点,则k PA ⋅k PB =b2a 2.3.设点P m ,n 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一定点,点A ,B 是椭圆C 上不同于P 的两点,若k PA +k PB =0,则直线AB 斜率为定值bm 2an 2n ≠0 ；4.设点P m ,n 是双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 一定点,点A ,B 是双曲线C 上不同于P 的两点,若k PA +k PB =0,直线AB 斜率为定值-bm 2an 2n ≠0 ；5.设点P m ,n 是抛物线C ：y 2=2px p >0 一定点,点A ,B 是抛物线C 上不同于P 的两点,若k PA +k PB=0,直线AB 斜率为定值-pn n ≠0 .6.设A ,B ,C 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上不同3点,B ,C 关于x 轴对称,直线AC ,BC 与x 轴分别交于点M ,N ,则OM ON =a 2.7.点A ,B 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 上动点,O 为坐标原点,若OA ⊥OB ,则1OA 2+1OB2=1a 2+1b 2(即点O 到直线AB 为定值)8.经过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)的长轴的两端点A 1和A 2的切线,与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2,则|PA 1|⋅|PA 2|=b 2.9.过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M ,N 两点,弦MN 的垂直平分线交x轴于P ,则|PF ||MN |=e2.10.点P 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0)(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点,过P 引x 轴、y 轴的平行线,交y 轴、x 轴于M ,N ,交直线y =-bax 于Q ,R ,记ΔOMQ 与ΔONR 的面积为S 1,S 2,则：S 1+S 2=ab 2.【例9】(2022届上海市黄浦区高三一模)设常数m >0且m ≠1,椭圆Γ：x 2m2+y 2=1,点P 是Γ上的动点．(1)若点P 的坐标为2,0 ,求Γ的焦点坐标；(2)设m =3,若定点A 的坐标为2,0 ,求PA 的最大值与最小值；(3)设m =12,若Γ上的另一动点Q 满足OP ⊥OQ (O 为坐标原点),求证：O 到直线PQ 的距离是定值．【解析】(1)∵椭圆Γ：x 2m2+y 2=1,点P 的坐标为2,0 ,∴m =2,c =3,∴Γ的焦点坐标为-3,0 ,3,0 ；(2)设P x ,y ,又A 2,0 ,由题知x 29+y 2=1,即y 2=1-x 29,∴PA 2=x -2 2+y 2=x -2 2+1-x 29=8x 29-4x +5=89x -94 2+12,又-3≤x ≤3,∴当x =-3时,PA 2取得最大值为25；当x =94时,PA 2取得最小值为12；∴PA 的最大值为5,最小值为22.(3)当m =12时,椭圆Γ：4x 2+y 2=1,设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,当直线PQ 斜率存在时设其方程为y =kx +t ,则由y =kx +t 4x 2+y 2=1,得4+k 2 x 2+2ktx +t 2-1=0,∴x 1+x 2=-2kt 4+k 2,x 1x 2=t 2-14+k2,Δ=2kt 2-44+k 2 t 2-1 >0,由OP ⊥OQ 可知OP ⋅OQ=0,即x 1x 2+y 1y 2=0,∴x 1x 2+kx 1+t kx 2+t =0,即1+k 2 x 1x 2+kt x 1+x 2 +t 2=0,∴1+k 2 ⋅t 2-14+k 2+kt ⋅-2kt 4+k2+t 2=0,可得1+k 2=5t 2,满足Δ>0,∴O 到直线PQ 的距离为d =t 1+k2=55为定值；当直线PQ 斜率不存在时,OP ⊥OQ ,可得直线方程为x =±55,O 到直线PQ 的距离为55.综上,O 到直线PQ 的距离是定值．三、跟踪检测1.(2023届江苏省南通市海安市高三上学期质量监测)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为32，短轴长为2.(1)求E 的方程；(2)过点M -4,0 且斜率不为0的直线l 与E 自左向右依次交于点B ，C ，点N 在线段BC 上，且MBMC=NBNC，P 为线段BC 的中点，记直线OP ，ON 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值.【解析】(1)由椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为32，短轴长为2，可知c a =32,2b =2 ，则1-b 2a2=34,∴a 2=4 ，故E 的方程为x 24+y 2=1；(2)证明：由题意可知直线l 的斜率一定存在，故设直线l 的方程为y =k (x +4)，设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),N (x 3,y 3),P (x 0,y 0)，联立x 24+y 2=1y =k (x +4)，可得(4k 2+1)x 2+32k 2x +64k 2-4=0，Δ=16(1-12k 2)>0,∴0<k 2<112，则x 1+x 2=-32k 24k 2+1,x 1x 2=64k 2-44k 2+1，所以x 0=-16k 24k 2+1,y 0=k (x 0+4)=4k 4k 2+1,∴P -16k 24k 2+1,4k4k 2+1 ，又MB MC =NB NC，所以x 1+4x 2+4=x 3-x 1x 2-x 3，解得x 3=2x 1x 2+4(x 1+x 2)x 1+x 2+8=2×64k 2-44k 2+1+4×-3k 24k 2+1-32k 24k 2+1+8=-1,y 3=3k ，从而N (-1,3k ) ，故k 1⋅k 2=y 0x 0⋅y 3x 3=-14k×(-3k )=34，即k 1k 2为定值.2.(2023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试)已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线，且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知D (2,0),E ,F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且DE ⋅DF=0,DG ⊥EF 于G ，证明：存在定点H ，使|GH |为定值.【解析】(1)因为双曲线C 与已知双曲线有相同的渐近线，设双曲线C 的标准方程为x 2-4y 2=λ代入点A 坐标，解得λ=4所以双曲线C 的标准方程为x 24-y 2=1(2)(i )当直线EF 斜率存在时，设EF :y =kx +m ，设E x 1,y 1 F x 2,y 2 ，联立y =kx +m 与双曲线x 24-y 2=1，化简得4k 2-1 x 2+8km x +4m 2+1 =0，Δ=(8km )2-44m 2+4 4k 2-1 >0，即4k 2-m 2-1<0，则有x 1+x 2=-8km4k 2-1x 1x 2=4m 2+44k 2-1，又y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2，因为DE ⋅DF=x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=0，所以k 2+1 ⋅x 1x 2+km -2 ⋅x 1+x 2 +m 2+4=0，所以k 2+1 ⋅4m 2+44k 2-1+km -2 ⋅-8km 4k 2-1+m 2+4=0，化简，得3m 2+16km +20k 2=0，即3m +10k m +2k =0，所以m 1=-2k ,m 2=-103k ，且均满足4k 2-m 2-1<0，当m 1=-2k 时，直线l 的方程为y =k x -2 ，直线过定点2,0 ，与已知矛盾，当m 2=-103k 时，直线l 的方程为y =k x -103 ，过定点103,0 (ii )当直线EF 斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE ：y =x -2，与双曲线C 方程联立解得x E =x F =103，此时EF 也过点M 103,0 ，综上，直线EF 过定点M 103,0.由于DG ⊥EF ，所以点G 在以DM 为直径的圆上，H 为该圆圆心，GH 为该圆半径，所以存在定点H 83,0 ，使GH 为定值23.3.(2023届江苏省南京市高三上学期9月学情调研)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点为F ，过点P (0，2)的动直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．当l 经过点F 时，点A 恰好为线段PF 中点．(1)求p 的值；(2)是否存在定点T ，使得TA ⋅TB为常数？若存在，求出点T 的坐标及该常数；若不存在，说明理由．【解析】(1)因为F p 2,0 ,P 0,2 ，且点A 恰好为线段PF 中点，所以A p4,1 ，又因为A 在抛物线上，所以12=2p ⋅p4，即p 2=2，解得P =2(2)设T m ,n ，可知直线l 斜率存在；设l ：y =kx +2，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 联立方程得：y 2=22xy =kx +2 ，所以k 2y 2-22y +42=0，所以y 1+y 2=22k ,y 1y 2=42k，又：TA ⋅TB =x 1-m x 2-m )+(y 1-n y 2-n=24y 21-m 24y 22-m +y 1-n y 2-n=18y 21y 22-24m y 21+y 22 +m 2-n y 1+y 2 +n 2=4k 2-24m 8k2-82k +m 2+42k -22n k +n 2=4-22m k2+4m +42-22n k +m 2+n 2，令4m +42-22n =04-22m =0，解之得：m =2n =4 ，即T 2,4 ，此时TA ⋅TB =m 2+n 2=184.(2023届重庆市2023届高三上学期质量检测)已知抛物线C :x 2=2py p >0 的焦点为F ，斜率不为0的直线l 与抛物线C 相切，切点为A ，当l 的斜率为2时，AF =10.(1)求p 的值；(2)平行于l 的直线交抛物线C 于B ，D 两点，且∠BAD =90°，点F 到直线BD 与到直线l 的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；否则，请说明理由.【解析】(1)由x 2=2py ，得y =x 22p，则y =xp ，令xp=2，则x =2p ，即点A 的横坐标为2p ，所以其纵坐标也为2p ，故AF =2p +p2=10，所以p =4；(2)由(1)得x 2=8y ，设直线BD 的方程为y =kx +m k ≠0 ，B x 1,x 218 ,D x 2,x 228 ,A x 0,x 208，由∠BAD =90°得x 218-x 208x 1-x 0·x 228-x 208x 2-x 0=-1，即x 1+x 0 x 2+x 0 =-64，即x 1x 2+x 0x 1+x 2 +x 20=-64，由(1)知y =k =x04,x 0=4k ，联立y =kx +m x 2=8y，消y 得x 2-8kx -8m =0，则x 1+x 2=8k ,x 1x 2=-8m ，所以-8m +32k 2+16k 2=-64，所以m =6k 2+8，l :y =x 04x -x 0 +x 28=kx -2k 2，设F 到直线l 和直线BD 的距离分别为d 1,d 2，则由l ∥BD 得，d 1d 2=m -2 2+2k 2=6k 2+62k 2+2=3，所以点F 到直线BD 与到直线l 的距离之比是定值，为定值3.5.(2023届江苏省百校联考高三上学期考试)设F 为椭圆C ：x 22+y 2=1的右焦点，过点F 且与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.(1)当BF=2FA 时，求FA ；(2)在x 轴上是否存在异于F 的定点Q ，使k QAk QB为定值(其中k QA ，k QB 分别为直线QA ，QB 的斜率)？若存在，求出Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)设直线l 的方程为x =my +1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立x =my +1x 2+2y 2=2，得m 2+2 y 2+2my -1=0，又因为BF=2FA ，所以y 1+y 2=-2m m 2+2y 1y 2=-1m 2+2y 2=-2y 1，解得m 2=27，y 1 =2m m 2+2=148，所以FA =1+m 2y 1 =328，即FA =328.(2)假设在x 轴上存在异于点F 的定点Q t ,0 t ≠1 ，使得k QAk QB为定值.设直线AB 的方程为x =my +1，联立x 22+y 2=1x =my +1，得m 2+2 y 2+2my -1=0，则y 1+y 2=-2m m 2+2，y 1y 2=-1m 2+2，所以y 1+y 2=2my 1y 2.所以k QA k QB =y 1x 1-t y 2x 2-t=y 1⋅x 2-t y 2⋅x 1-t =y 1my 2+1-t y 2my 1+1-t =my 1y 2+(1-t )y 1my 1y 2+(1-t )y 2=2my 1y 2+2(1-t )y 12my 1y 2+2(1-t )y 2=(3-2t )y 1+y 2y 1+(3-2t )y 2.要使k QA k QB为定值，则3-2t 1=13-2t ，解得t =2或t =1(舍去)，此时k QAk QB=-1.故在x 轴上存在异于F 的定点Q 2,0 ，使得k QAk QB为定值.6.(2022届湖南省长沙市宁乡市高三下学期5月模拟)已知抛物线G :y 2=4x 的焦点与椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点F 重合，椭圆E 的长轴长为4.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 且斜率为k 的直线l 交椭圆E 于A ,B 两点，交抛物线G 于M ,N 两点，请问是否存在实常数t ，使2AB +tMN 为定值？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)因为抛物线G :y 2=4x 的焦点为(1,0)，所以c =1，又a =2，则b 2=a 2-c 2=3，故椭圆E 的方程为：x 24+y 23=1；(2)设A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 ､M x 3,y 3 ､N x 4,y 4 ，设直线l 的方程为y =k x -1 ，与椭圆E 的方程联立x 24+y 23=1y =k x -1，得3+4k 2 x 2-8k 2x +4k 2-12=0，∴x 1+x 2=8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2-123+4k 2，∴AB =1+k 2⋅x 1+x 2 2-4x 1x 2=12(k 2+1)3+4k 2，设直线l 的方程y =k x -1 ，与抛物线G 的方程联立y 2=4xy =k x -1 ，得k 2x 2-2k 2+4 x +k 2=0，∴x 3+x 4=2k 2+4k 2，x 3x 4=1，∴MN =x 3+x 4+2=4k 2+1k 2，∴2AB +t MN=3+4k 26k 2+1 +tk 24k 2+1 =8+3t k 2+612k 2+1 ，要使2AB +1MN为常数，则8+3t =6，解得t =-23，故存在t =-23，使得2AB +1MN为定值12．7.(2023届江苏省南京市高三上学期数学大练)已知点B 是圆C :x -1 2+y 2=16上的任意一点，点F (-1，0)，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P .(1)求动点Р的轨迹E 的方程;(2)设曲线E 与x 轴的两个交点分别为A 1，A 2，Q 为直线x =4上的动点，且Q 不在x 轴上，QA 1与E 的另一个交点为M ，QA 2与E 的另一个交点为N ，证明:△FMN 的周长为定值.【解析】(1)因为点P 在BF 垂直平分线上，所以有PF =PB ，所以：PF +PC =PB +PC =BC =r =4，即PF +PC 为定值4>2，所以轨迹E 为椭圆，且a =2，c =1，所以b 2=3，所以轨迹E 的方程为：x 24+y 23=1.(2)由题知：A 1-2，0 ，A 22，0 ，设Q 4，t ，M x 1，y 1 ，N x 2，y 2则k QA 1=t 6，k QA 2=t2，所以QA 1方程为：y =t 6x +2 ，QA 2方程为：y =t2x -2 ，联立方程：y =t 6x +2x 24+y 23=1，可以得出M ：54-2t 227+t 2，18t27+t 2 同理可以计算出点N 坐标：2t 2-63+t 2，-6t3+t 2 ，当k MN 存在，即t 2≠9，即t ≠±3时，k MN =-6t(t 2-9)所以直线MN 的方程为：y +6t 3+t 2=-6t t 2-9x -2t 2-63+t 2即：y =-6t t 2-9x +6t t 2-9=-6tt 2-9x -1 ，所以直线过定点1，0 ，即过椭圆的右焦点F 2，所以△FMN 的周长为4a =8.当k MN 不存在，即t 2=9，即t =±3时，可以计算出x 1=x 2=1，周长也等于8.所以△FMN 的周长为定值8.8.(2023届安徽省皖南八校高三上学期考试)已知椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点为F 1，F 2，且左焦点坐标为-2,0 ，P 为椭圆上的一个动点，∠F 1PF 2的最大值为π2.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)若过点-2,-4 的直线l 与椭圆M 交于A ,B 两点，点N 2,0 ，记直线NA 的斜率为k 1，直线NB 的斜率为k 2，证明：1k 1+1k 2=1.【解析】(1)因为左焦点坐标为-2,0 ，所以c =2，当点P 在上､下顶点时，∠F 1PF 2最大，又∠F 1PF 2的最大值为π2.所以b =c =2，由a 2=b 2+c 2得a 2=4，所以椭圆M 的标准方程为x 24+y 22=1；(2)当直线l 的斜率为0时，直线l 的方程为y =-4，直线y =-4与椭圆x 24+y 22=1没有交点，与条件矛盾，故可设直线l 的方程为x =my +t ，联立直线l 的方程与椭圆方程可得，x =my +tx 24+y 22=1，化简可得my +t 2+2y 2=4，所以m 2+2 y 2+2mtx +t 2-4=0，由已知方程m 2+2 y 2+2mtx +t 2-4=0的判别式Δ=4m 2t 2-4m 2+2 t 2-4 =16m 2-8t 2+32>0，又直线x =my +t 过点-2,-4 ，所以-2=-4m +t ，所以7m 2-8m <0，所以0<m <87，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-2mt m 2+2，y 1y 2=t 2-4m 2+2，因为N 2,0所以1k 1+1k 2=x 1-2y 1+x 2-2y 2=my 1+t -2y 1+my 2+t -2y 2=2m +t -2 y 1+y 2y 1y 2，所以1k 1+1k 2=2m +t -2 -2mt t 2-4=2m -2mt t +2=2m -2mt 4m =2m -t 2=1方法二：设直线l 的方程为m x -2 +ny =1,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，由椭圆M 的方程x 2+2y 2=4，得(x -2)2+2y 2=-4x -2 .联立直线l 的方程与椭圆方程，得(x -2)2+2y 2=-4x -2 m x -2 +ny ，即1+4m (x -2)2+4n x -2 y +2y 2=0，1+4m x -2y 2+4n x -2y +2=0，所以1k 1+1k 2=x 1-2y 1+x 2-2y 2=-4n1+4m .因为直线l 过定点-2,-4 ，所以m +n =-14，代入1k 1+1k 2，得1k 1+1k 2=x 1-2y 1+x 2-2y 2=-4n 1+4m =1+4m1+4m =1.9.(2023届北京市房山区高三上学期考试)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴的两个端点分别为A -2,0 ,B 2,0 离心率为32．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)M 为椭圆C 上除A ，B 外任意一点，直线AM 交直线x =4于点N ，点O 为坐标原点，过点O 且与直线BN 垂直的直线记为l ，直线BM 交y 轴于点P ，交直线l 于点Q ，求证：|BP ||PQ |为定值．【解析】(1)由已知a =2，又e =c a =c 2=32，c =3，所以b =a 2-c 2=1，椭圆标准方程为x 24+y 2=1；(2)设M (x 1,y 1)，y 1≠0，则x 214+y 21=1，x 21+4y 21=4，直线AM 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，令x =4得y =6y 1x 1+2，即N 4,6y 1x 1+2，k BN =6y 1x 1+24-2=3y 1x 1+2,l⊥BN,k l=-x1+23y1，直线l的方程是y=-x1+23y1x，直线BM的方程为y=y1x1-2(x-2)，令x=0得y=-2y1x1-2，即P0,-2y1x1-2，由y=-x1+23y1xy=y1x1-2(x-2)，因为x21+4y21=4，故解得x=-6y=2(x1+2)y1，即Q-6,2x1+2y1，所以BPPQ=x P-x Bx Q-x P=0-2-6-0=1310.(2023届湖南师范大学附属中学高三上学期月考)已知A(-22,0),B(22,0)，直线PA,PB的斜率之积为-34，记动点P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)直线l与曲线C交于M,N两点，O为坐标原点，若直线OM,ON的斜率之积为-34，证明:△MON的面积为定值.【解析】(1)设P(x,y)，则直线PA的斜率k PA=yx+22(x≠-22)，直线PB的斜率 k PB=yx-22(x≠22)，由题意k PA⋅k PB=yx+22⋅yx-22=y2x2-8=-34，化简得 x28+y26=1(x≠±22)；(2)直线l的斜率存在时，可设其方程为y=kx+m，联立y=kx+m,x28+y26=1,化简得3+4k2x2+8km x+4m2-24=0，设M x1,y1,N x2,y2，则Δ=(8km)2-43+4k24m2-24=488k2+6-m2>0，x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-243+4k2，所以 k OM⋅k ON=y1y2x1x2=kx1+mkx2+mx1x2=k2x1x2+km x1+x2+m2x1x2=4m2k2-24k2-8k2m2+3m2+4k2m23+4k24m2-243+4k2=-24k2+3m24m2-24=-34化简得m2=4k2+3则|MN|=1+k2x1-x2=1+k2488k2+6-m23+4k2==431+k24k2+34k2+3=431+k23+4k2，又O到MN的距离d=|m|1+k2=4k2+31+k2，所以S△OMN=12|MN|⋅d=12⋅431+k23+4k2⋅3+4k21+k2=23，为定值.当直线l的斜率不存在时，可设 M x0,y0,N x0,-y0，则k CM⋅k ON=-y20x20=-34，且x208+y206=1，解得x20=4,y20=3，此时S△OMN=2×12×x0y0=23，综上，△OMN 的面积为定值23.11.(2023届贵州省遵义市新高考协作体高三上学期质量监测)已知点F 1是椭圆C :x 24+y 23=1的左焦点，Q是椭圆C 上的任意一点，A 12,1 ．(1)求QF 1 +QA 的最大值；(2)过点F 1的直线l 与椭圆C 相交于两点M ,N ，与y 轴相交于点P ．若PM =λMF 1 ，PN =μNF 1，试问λ+μ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解析】(1)由椭圆方程知：a =2，b =3，∴c =a 2-b 2=1，则F 1-1,0 ，F 21,0 ，由椭圆定义知：QF 1 =2a -QF 2 =4-QF 2 ，∴QF 1 +QA =QA -QF 2 +4，∵QA -QF 2 ≤F 2A (当且仅当A ,F 2,Q 三点共线，即与图中T 点重合时取等号)，又F 2A =12-1 2+1-0 2=52，∴QF 1 +QA 的最大值为4+52=8+52.(2)由题意知：直线l 斜率存在，设l :y =k x +1 ，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则P 0,k ，由y =k x +1x 24+y 23=1得：3+4k 2 x 2+8k 2x +4k 2-12=0，∴x 1+x 2=-8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2-123+4k 2；∵PM =λMF 1 ，即x 1,y 1-k =λ-1-x 1,-y 1 ，则λ=-x 11+x1；同理可得：μ=-x 21+x 2，∴λ+μ=-x 11+x 1-x 21+x 2=-x 11+x 2 +x 21+x 1 1+x 1 1+x 2=-2x 1x 2+x 1+x 2 x 1x 2+x 1+x 2 +1=-8k 2-243+4k 2-8k 23+4k 24k 2-123+4k 2-8k 23+4k2+1=-8k 2-24-8k 24k 2-12-8k 2+3+4k2=-83，∴λ+μ是定值-83.12.(2023届江苏省盐城市响水中学高三上学期测试)已知椭圆C ：x 24+y 22=1，A 0,1 ，过点A 的动直线l与椭圆C 交于P 、Q 两点.(1)求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；(2)是否存在常数，使得λAP ⋅AQ +OP ⋅OQ为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)①当直线l 存在斜率时，设P x 1,y 1 、Q x 2,y 2 、M x 0,y 0 ，x 0≠0，则应用点差法：x 214+y 212=1x 224+y 222=1，两式联立作差得：(x 1-x 2)(x 1+x 2)4+(y 1-y 2)(y 1+y 2)2=0，∴y 1-y 2 y 1+y 2 x 1-x 2 x 1+x 2=y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1+y 2x 1+x 2=k PQ ⋅2y 02x 0=k PQ ⋅y 0x 0=k PQ ⋅k OM =-12，又∵k PQ =k MA =y 0-1x 0，∴y 0-1x 0⋅y 0x 0=-12，化简得x 20+2y 20-2y 0=0(x 0≠0)，②当直线l 不存在斜率时，M 0,0 ，综上，无论直线是否有斜率，M 的轨迹方程为x 2+2y -12 2=12；(2)①当直线l 存在斜率时，设直线l 的方程为：y =kx +1，联立y =kx +1x 24+y 22=1并化简得：(2k 2+1)x 2+4kx -2=0，∴Δ>0恒成立，∴x 1+x 2=-4k 2k 2+1，x 1⋅x 2=-22k 2+1，又AP =x 1,k ⋅x 1 ，AQ =x 2,k ⋅x 2 ，OP =x 1,k ⋅x 1+1 ，OQ =x 2,k ⋅x 2+1 ，∴λAP ⋅AQ +OP ⋅OQ=λ1+k 2 ⋅x 1⋅x 2+1+k 2 ⋅x 1⋅x 2+k x 1+x 2 +1，=-2λ+1 1+k 2 2k 2+1-4k 22k 2+1+1=-2λ+2 k 2+2λ+12k 2+1，若使λAP ⋅AQ +OP ⋅OQ为定值，只需2λ+2 2=2λ+11，即λ=1，其定值为-3，②当直线l 不存在斜率时，直线l 的方程为：x =0，则有P 0,2 、Q 0,-2 ，又AP =0,2-1 ，AQ =0,-2-1 ，OP =0,2 ，OQ =0,-2 ，∴λAP ⋅AQ +OP ⋅OQ =-λ-2，当λ=1时，λAP ⋅AQ +OP ⋅OQ 也为定值-3，综上，无论直线是否有斜率，一定存在一个常数λ=1，使λAP ⋅AQ +OP ⋅OQ为定值-3.13.(2023届云南省下关第一中学高三上学期考试)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点(0,3)，离心率为22，直线y =kx (k ≠0)与椭圆E 交于A ，B 两点，过点B 作BC ⊥x ，垂足为C 点，直线AC 与椭圆E的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程；(2)试问∠ABD 是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．【解析】(1)由已知得b =3c a =22，解得a =6b =3c =3，所以E :x 26+y 23=1．(2)由已知，不妨设B x 0,y 0 ，则A -x 0,-y 0 ，C x 0,0 ，所以k =y 0x 0，k AC =y 02x 0=k 2，所以l AD :y =k2x -x 0 ，代入椭圆E :x 26+y 23=1的方程得：2+k 2 x 2-2x 0k 2x +k 2x 20-12=0，设D x D ,y D ，则-x 0+x D =2x 0k 22+k 2，即x D =2x 0k 22+k 2+x 0，所以y D =k 22x 0k22+k 2+x 0-x 0 =x 0k 32+k 2，即D 2x 0k 22+k 2+x 0,x 0k 32+k 2，所以k BD =x 0k 32+k 2-kx 02x 0k 22+k 2+x 0-x 0=-1k ，即k BD k =-1，即BD ⊥AB ，也即∠ABD 为定值π2．14.如图,点M 是圆A :x 2+(y +1)2=16上任意点,点B (0,1),线段MB 的垂直平分线交半径AM 于点P ,当点M 在圆A 上运动时,(1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)BQ ⎳x 轴,交轨迹E 于Q 点(Q 点在y 轴的右侧),直线l :x =my +n 与E 交于C ,D (l 不过Q 点)两点,且直线CQ 与直线DQ 关于直线BQ 对称,则直线l 具备以下哪个性质？证明你的结论？①直线l 恒过定点；②m 为定值；③n 为定值．【解析】(1)如图,由⊙A 方程,得A (0,-1),半径r =4,∵P 在BM 的垂直平分线上,∴PM =PB ,所以|PA |+|PB |=|PA |+|PM |=|AM |=4>|AB |=2,∴P 的轨迹E 是以A ,B 为焦点,长轴长为4的椭圆,由2a =4,则a =2,c =1,b 2=3,∴点P 的轨迹E 的方程为y 24+x 23=1．(2)解：∵直线l 与轨迹E 交于C ,D 两点,设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2),如图x =my +n ，y 24+x 23=1消x ,得y 24+(my +n )23=1,整理,得(3+4m 2)y 2+8mny +4n 2-12=0,y 1+y 2=-8mn 3+4m 2，y 1y 2=4n 2-123+4m 2,因为CQ 与DQ 关于BQ 对称,BQ ⎳x 轴,所以k CQ +k DQ =0,Q 32，1 ,x 1≠32,x 2≠32,y 1-1x1-32+y 2-1x 2-32=0,即(y 1-1)x 2-32 +(y 2-1)x 1-32 =0,∵x 1=my 1+n ,x 2=my 2+n ,∴整理：2my 1y 2+n -m -32(y 1+y 2)-2n +3=0,2m 4n 2-123+4m 2+n -m -32 -8mn 3+4m 2 -2n +3=0,即4m 2+(4n -8)m -2n +3=0,即(2m -1)(2m +2n -3)=0,若2m +2n -3=0,点Q 32，1满足l :x =my +n ,即C ,D ,Q 三点共线,不合题意,∴2m -1=0,即m =12,∴直线l 中m 为定值12．15.(2022届云南省红河州高三检测)在平面直角坐标系Oxy 中,点M 是以原点O 为圆心,半径为a 的圆上的一个动点.以原点O 为圆心,半径为b a >b >0 的圆与线段OM 交于点N ,作MD ⊥x 轴于点D ,作NQ ⊥MD 于点Q .(1)令∠MOD =α,若a =4,b =1,α=π3,求点Q 的坐标；(2)若点Q 的轨迹为曲线C ,求曲线C 的方程；(3)设(2)中的曲线C 与x 轴的正半轴交于点A ,与y 轴的正负半轴分别交于点B 1,B 2,若点E ､F 分别满足AE =-3OE ,4AF =3OB 2 ,设直线B 1E 和B 2F 的交点为K ,设直线l ：x =a 2c 及点H c ,0 ,(其中c =a 2-b 2),证明：点K 到点H 的距离与点K 到直线l 的距离之比为定值ca.【解析】(1)设Q x ,y ,则由题知x =4cos π3=2y =sin π3=32,因此Q 2,32 (2)(2)设∠MOD =α及Q x ,y ,则由题知x=acos αy =b sin α ,则点Q 的轨迹C 为椭圆,方程为：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 .(3)设K x ,y ,由题知,B 10,b ,E a 4,0 ,B 20,-b ,F a ,-34b ,l B 1E ：xa 4+y b =1,即4bx +ay =ab ,l B 2F ：y +b -34b +b=xa ,即bx -4ay =4ab ,联列上述直线方程,解得x =817ay =-1517b.KH =817a -c 2+-1517b 2=817a -c 2+-1517 2a 2-c 2=a 2+817c 2-2×817ac =a -817c令点K 到直线l 的距离为PM ,则c a ⋅PM =c a ⋅a 2c -817a =a -817c .因此有KH PM=ca .。

圆锥曲线—最值、范围问题-高考数学复习

第八章平面解析几何
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2．(2023·广东佛山市二模)双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的左顶点为 A，焦距为 4，过右焦点 F 作垂直于实轴的直线交 C 于 B、D 两点，且△ABD 是直角三角形．
(1)求双曲线 C 的方程； (2)M、N 是 C 右支上的两动点，设直线 AM、AN 的斜率分别为 k1、 k2，若 k1k2＝－2，求点 A 到直线 MN 的距离 d 的取值范围．
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圆锥曲线最值问题答题模板.
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【变式训练】 (2024·湖南三湘创新发展联合体联考)在直角坐标系xOy中，动点P到直线x＝4的距离是它到点M(1,0)的距离的2倍，设动点P的轨迹为曲线
C．
(1)求曲线C的方程； (2)直线l：x＝my－1与曲线C交于A，B两点，求△MAB面积的最大值．
则 y1＋y2＝－3m6m2－n 1，y1y2＝33mn22－－11(*)
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由 k1k2＝－2，得 y1y2＋2(x1＋1)(x2＋1)＝0，即 y1y2＋2(my1＋n＋1)(my2＋n＋1)＝0，整理得(2m2＋1)y1y2＋2m(n＋1)(y1＋y2)＋2(n＋1)2＝0，将(*)式代入得 3(n2－1)(2m2＋1)－12m2n(n＋1)＋2(n＋1)2(3m2－1)＝ 0. 化简可消去所有的含 m 项，解得 n＝5 或 n＝－1(舍去)．则直线 MN 的方程为 x－my－5＝0，则 d＝ m62＋1，

圆锥曲线解题中几种分式型函数最值的求法

圆锥曲线解题中几种分式型函数最值的求法在圆锥曲线解题中，我们常常会遇到各种分式型函数，并需要求出函数的最值。

本文将介绍几种常见的分式型函数最值求解方法，帮助读者更好地解决相关问题。

一、分式函数求极值的常见方法在解析几何中，我们常常遇到形如f(x) = P(x) / Q(x) 的分式函数，其中P(x)和Q(x)分别是x的多项式函数。

要求解该分式函数的最值，可以使用以下几种方法：1. 利用导数法求解导数法是最常用的方法之一。

通过求解函数的导数，再通过导数的性质来确定函数的最值点。

具体步骤如下：（1）求出函数f(x)的导数f'(x)；（2）求解f'(x)=0的解，即为函数f(x)的驻点；（3）将驻点和函数的定义域的端点进行比较，找出函数的最值。

2. 利用等价变形法求解有时，我们可以通过等价变形将分式函数转化为新的形式，从而更容易求解最值。

常见的等价变形方法有：（1）分子分母同乘以相同的因式，从而将分式函数简化成更简单的形式；（2）将分式函数展开为多项式，然后通过求解多项式的最值来求解分式函数的最值；（3）将分式函数分解成若干个部分，然后通过分别求解每个部分的最值，再综合得出总的最值。

二、若干种分式型函数的最值求法1. 高斯型函数高斯型函数是一种形如f(x) = e^(-ax^2 + bx + c)的分式函数。

其中a, b, c为常数。

对于这种类型的函数，我们可以通过以下步骤来求解最值：（1）求出函数的导数f'(x)；（2）求解f'(x) = 0的解，即为函数的驻点；（3）将驻点与函数定义域的端点进行比较，找出函数的最值。

2. 有理分式型函数有理分式型函数是指分子和分母都是多项式函数的函数。

对于这种类型的函数，我们可以使用以下方法来求解最值：（1）对函数进行等价变形，将分子分母简化为最简形式；（2）找出函数的定义域以及分母为零的点，剔除无定义的点；（3）求解导数f'(x)=0的解，即为函数的驻点；（4）将驻点与函数定义域的端点进行比较，找出函数的最值。

高中数学圆锥曲线与最值及取值范围问题(附经典例题与解析)

圆锥曲线与最值问题【知识点分析】方法一、圆锥曲线的的定义转化法借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．（1）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（2）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（3）抛物线：到定点与定直线距离相等。

【相似题练习】1．已知抛物线y 2＝8x ，点Q 是圆C ：x 2+y 2+2x ﹣8y +13＝0上任意一点，记抛物线上任意一点到直线x ＝﹣2的距离为d ，则|PQ |+d 的最小值为（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 1．已知双曲线C ：的右焦点为F ，P 是双曲线C 的左支上一点，M （0，2），则△PFM 周长最小值为．【知识点分析】方法二、函数法二次函数2y ax bx c =++顶点坐标为24b ac b ⎛⎫-- ⎪，1．已知F 1，F 2为椭圆C ：+＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，1•2的最大值、最小值分别为（） A ．9，7 B ．8，7 C ．9，8 D ．17，8【知识点分析】方法三、利用最短路径【问题1】“将军饮马”作法图形原理在直线l 上求一点P ，使P A +PB 值最小．作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ．两点之间线段最短． P A +PB 最小值为A B ＇．【问题2】作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使△PMN 的周长最小．分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短． PM +MN +PN 的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．【问题3】作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使四边形PQMN 的周长最小．分别作点Q 、P 关于直线1l 、2l 的对称点Q ＇和P ＇连Q ＇P ＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短．四边形PQMN 周长的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．【问题4】作法图形原理作点P 关于1l 的对称点P ＇，作P ＇B ⊥2l 于B ，交l 于A ．点到直线，垂线段最短． P A +AB 的最小值为线段P ＇B 的长．l B A lPB'AB l 1l 2Pl 1l 2NMP''P'P l 1l 2N MP'Q'Q P l 1l 2P Q l 1A P'Pl 1l 2P小．【问题5】作法图形原理A 为1l 上一定点，B 为2l 上一定点，在2l 上求点M ，在1l 上求点N ，使AM +MN +NB 的值最小．作点A 关于2l 的对称点A ＇，作点B 关于1l 的对称点B ＇，连A ＇B ＇交2l 于M ，交1l 于N ．两点之间线段最短． AM +MN +NB 的最小值为线段A ＇B ＇的长．【相似题练习】1．已知双曲线x 2﹣y 2＝1的右焦点为F ，右顶点A ，P 为渐近线上一点，则|PA |+|PF |的最小值为（）A ．B ．C ．2D ．【知识点分析】方法四、利用圆的性质【相似题练习】1．已知椭圆，圆A ：x 2+y 2﹣3x ﹣y +2＝0，P ，Q 分別为椭圆C 和圆A 上的点，F （﹣2，0），则|PQ |+|PF |的最小值为（） A ． B ． C ． D ．l 2l 1ABNMl 2l 1M N A'B'AB【知识点分析】方法五、切线法【相似题练习】1．如图，设椭圆C ：+＝1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，上顶点为A ，点B ，F 2关于F 1对称，且AB⊥AF 2（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知P 是过A ，B ，F 2三点的圆上的点，若△AF 1F 2的面积为，求点P 到直线l ：x ﹣y ﹣3＝0距离的最大值．【知识点分析】方法六、参数法1．圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x .2. 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x .3．抛物线px y 22=的参数方程可表示为)(.2,22为参数t pt y px x ⎩⎨⎧==.【相似题练习】已知点A （2，1），点B 为椭圆+y 2＝1上的动点，求线段AB 的中点M 到直线l 的距离的最大值．并求此时点B 的坐标．【知识点分析】方法七、基本不等式1、均值不等式定理：若0a >，0b >，则2a b ab +≥，2、常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22,2a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭．【相似题练习】1．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且∠AFB ＝，弦AB 的中点M 在准线l 上的射影为M ′，则的最大值为．方法七、利用三角形的三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

高中数学圆锥曲线最值问题的的7种必考题型

圆锥曲线中的最值问题探究一.点的横（纵）坐标的最值例题1.定长为l (22b l a >)的线段AB 的端点在双曲线12222=by －a x 的右支上，求AB 中点M 的横坐标的最小值解析：如图，作出双曲线的右准线，过A，B 作AA′、BB′垂直于准线，垂足为A′，B′。

又过AB 的中点M 作MM′垂直于准线，垂足为M′.因为|MM′|=21(|AA′|+|BB′|)，（1）据双曲线的第二定义：||||,=||||AF BF e eAA BB =''可得|AA′|=e 1|AF|，|BB′|=e1|BF|，将此二式代入（1），结合三角形两边之和大于第三边可得：|MM′|=e 21(|AF|+|BF|)≥e21|AB|，当且仅当A、F、B 三点共线时，即AB 过焦点F 时，有|AF|+|BF|=|AB|。

即'min |MM |=e 21|AB|=el 2，此时x―c a 2=e l 2=c al 2.即x=c a 2+222)2(2b a a l a c al ++=.AB 中点M的横坐标的最小值为：二.离心率最值例题2.设椭圆12222=+by a x (a >b >0)两焦点F 1、F 2，若椭圆上存在一点Q ，使∠F 1QF 2=120º，求椭圆离心率e 的最小值.解析：设1112(,),(,0),(,0),c 0P x y F c F c ->，则1121||,|PF a ex PF a ex =+=-在12PF F ∆中，由余弦定理得：22222201212111211||||||()()41cos1202||||2()()2PF PF F F a ex a ex c PF PF a ex a ex +-++--===-+-解得：22221243[0,]c a x a e -=∈，所以312c e a >=≥，即椭圆离心率e 的最小值为32FA'AB B 'MM 'Oyx变式：双曲线)0012222>>=-b a by a x ，（的左右焦点分别为21,F F ，若椭圆上存在点P，使得12||2||PF PF =,求双曲线离心率e 的最大值解析：由1212||2||||||=2PF PF PF PF a =⎧⎨-⎩得12||4||=2PF aPF a=⎧⎨⎩因为在12PF F ∆中，12||||>2c PF PF +，即422422a a c a a c+>⎧⎨-<⎩所以13c a<<又因为当三点一线时，422a a c+=所以综上得：离心率e 的取值范围是(1,3]，即双曲线离心率e 的最大值为3三.线段长度最值例题3.已知椭圆1422=+y x G ：，过点(),0m 作221x y +=的切线l 交椭圆G 于,A B 两点，求||AB 的最大值．解析：由题意得：点(),0m 在圆221x y +=上或在圆外，所以11-≤≥m m 或当1=m 时，切线1:=x l 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=14122y x x 得⎪⎩⎪⎨⎧±==231y x ，故3||=AB ，同理1-=m 时，3||=AB 当11-<>m m 或时，设)(:m x k y l -=，),(),,(2211y x B y x A 因为直线l 与圆221x y +=相切，所以11||2=+k km ，即2221k m k +=由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14)(22y x m x k y 得0448)4122222=-+-+m k mx k x k （所以⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+>-+-=∆222212221222244144,4180)1)(41(1664k m k x x k m k x x m k k m k 所以]4))[(1(||212212x x x x k AB -++=24233m |m |m ||m |==≤++当且仅当3±=m 时取等号，综上可知：||AB 的最大值为2.F 1F 2A MxyO变式：若点P 在抛物线x y =2上，点Q 在圆1)322=+-y x （上，求||PQ 的最小值解析：12111411)25(1)3(1222-≥-+-=-+-=-≥x y x PC PQ 即||PQ 的最小值为12-四.多线段运算最值例题4.1F 、2F 分别是椭圆1162522=+y x 的左右焦点，)2,2(A 为定点，M 为椭圆上任意点，求2MF MA +的最小值。

2025高考数学圆锥曲线中的最值、范围问题课件练习题

例1
训练1
例2
训练2
返回目录
突破2
圆锥曲线中的最值、范围问题
方法技巧
圆锥曲线中最值(范围)问题的求解方法
几何法
若题目的条件和结论明显能体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来
解决.
若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再
代数法求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不
第八章
平面解析几何
突破2 圆锥曲线中的最值、范围问题
目录
Contents
01
练习练透好题精准分层
突破2
圆锥曲线中的最值、范围问题
命题点1 最值问题
例1 [2023全国卷甲]已知直线 x －2 y ＋1＝0与抛物线 C ： y 2＝2 px ( p ＞0)交于 A ， B
两点，｜ AB ｜＝4 15 .
.
例1
训练1
例2
训练2
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突破2
圆锥曲线中的最值、范围问题
又 · ＝( x 3 －1， y 3 )·( x 4 －1， y 4 )＝ x 3 x 4 －( x 3 ＋ x 4 )＋1＋ y 3 y 4 ＝0，
所以
2
2
－
4−2
2
＋1＋
4

＝0，化简得 m 2 ＋ k 2 ＋6 km ＝4.
(2)若动点 P 与双曲线 C 的两个焦点 F 1， F 2的距离之和为定值(大于｜ F 1 F 2｜)，且
cos
1
∠ F 1 PF 2的最小值为－，求动点 P 的轨迹方程.
9
[解析]
2
2
由椭圆定义得 P 点轨迹为椭圆，可设其轨迹方程为 2 ＋ 2 ＝1( a ＞ b ＞0)，

圆锥曲线的最值问题常见类型及解法

例1：在圆x2+y2=4上求一点P，使它到直线L：3x-2y-16=0的距离最短。
略解：
圆心到直线L的距离d1=
所以圆上的点到直线的最短距离为 d=d1-r
问题：直线L的方程改为 3x-2y-6=0，其结果又如何？
16 32 22
16 13 13
16 13 2 13
思考：例1是否还有其他解题方法？
∵ |AF’|=
[1（4） ]2 1 26
∴ |MF|+|MA| 的最大值为问题：本题解题到此结束了吗？
10 26
最小值为
10 26
变式训练：
1 . 已知P点为抛物线
上的点，那么P点到点Q（2，-1）的距离与P点到抛物线焦点的距
离之和的最小值为 _ __，此时P点坐标为
y_. 2 4 x
y
x Q
3
，面积为
的等腰梯形. （1）求椭圆的方程; （2）过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求
33
F2AB面积的最大值.
练习、设椭圆中心在坐标原点A（2，0）、B（0，1）是它的两个顶点，直线两点，求四边形AEBF面积的最大值.
ykx (k0)
y
与椭圆交于E、F
思维导图：用k表示四边形的面积
B F
yx2 3
解：设椭圆与
平y行的切x线方程2为 3
y xb
y xb
x2 2
y2
1
3x2 4bx2b2 20 (1) (4b)2 43(2b2 2) 0
b 3
1)当b
3时,代入(1)得dmin
6; 2
2)当b
3时,代入(1)得dmax
3 6. 2
变式训练：

广东专用2024版高考数学总复习：圆锥曲线中的最值或范围问题课件

设的面积为，所以，当且仅当时等号成立，此时满足 .故面积的最大值为 .
【点拨】求与直线或与圆锥曲线有关的某个量的取值范围问题,依据已知条件建立关于该量的函数表达式,转化为求函数值域问题，要正确确定定义域.应注意到的是本例第（1）问使用了判别式法求参数范围.
变式1 如图，在平面直角坐标系中，已知等轴双曲线的左顶点为，过右焦点且垂直于轴的直线与交于，两点，若的面积为．
由得 .因为点为与的一个交点，所以，解得 .所以 .直线的方程变形为，设原点到直线的距离为，则 .所以 .
（方法一） .设，则 .所以
.因为（当且仅当时，等号成立）.所以面积的最大值为．（方法二） .设，则 .所以 .
第八章平面解析几何
综合突破五圆锥曲线的综合问题第1课时圆锥曲线中的最值或范围问题
核心考点精准突破
课时作业知能提升
规范答题——解析几何解答题
考点一构造函数求最值或范围问题
例1 已知椭圆上两个不同的点，关于直线对称.
（1）求实数的取值范围；
解：如图，由题意知，可设直线的方程为，， .由
（2）当点在轴上方时，过点作轴的垂线与轴相交于点，设直线与双曲线相交于不同的两点，，若，求实数的取值范围.
，，又，所以，所以（由题意取负），所以直线的斜率为 .代入式，得，所以，所以，又，所以的取值范围为 .
【点拨】若题设中给出直线（曲线）与曲线有公共点或无公共点的条件时，可以通过联立消元，得到一元二次方程，进而用判别式法得到不等关系代入求范围.
[答案] （方法一）设切点，因为，所以，则在点处的切线方程为，化简得，令，得 .