高中数学人教A版必修三教学案：第三章 第3节 几何概型含答案

[核心必知]

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P135～P136，回答下列问题．

(1)教材问题中甲获胜的概率与什么因素有关？

提示：与两图中标注B的扇形区域的圆弧的长度有关．

(2)教材问题中试验的结果有多少个？其发生的概率相等吗？

提示：试验结果有无穷个，但每个试验结果发生的概率相等．

2．归纳总结，核心必记

(1)几何概型的定义与特点

①定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．

②特点：(ⅰ)可能出现的结果有无限多个；(ⅱ)每个结果发生的可能性相等．

(2)几何概型中事件A的概率的计算公式

P(A)＝

构成事件A的区域长度(面积或体积)

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

.

[问题思考]

(1)几何概型有何特点？

提示：几何概型的特点有：

①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；

②每个基本事件出现的可能性相等．

(2)古典概型与几何概型有何区别？

提示：几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是：古典概型的试验结果是有限的，而几何概型的试验结果是无限的．

[课前反思]

通过以上预习，必须掌握的几个知识点：

(1)几何概型的定义：；

(2)几何概型的特点：；

(3)几何概型的计算公式：

.

某班公交车到终点站的时间可能是11∶30－12∶00之间的任何一个时刻． 往方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上． [思考1] 这两个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？ 提示：无限多个．

[思考2] 古典概型和几何概型的异同是什么？ 名师指津：古典概型和几何概型的异同 如表所示：

名称 古典概型

几何概型

相同点

基本事件发生的可能性相等

不同点

①基本事件有限个

①基本事件无限个

②P (A )＝0⇔A 为不可能事件 ②P (A )＝0A 为不可能事件 ③P (B )＝1⇔B 为必然事件

③P (B )＝1

B 为必然事件

讲一讲

1．取一根长为5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于2 m 的概率有多大？

[尝试解答] 如图所示．

记“剪得两段绳长都不小于2 m ”为事件A .把绳子五等分，当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．由于中间一段的长度等于绳长的1

5

，

所以事件A 发生的概率P (A )＝1

5

.

求解与长度有关的几何概型的关键点

在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找d 的过程中，

确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到不会影响事件A的概率．

练一练

1．(2016·

全国乙卷)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()

A.

1

3 B.

1

2 C.

2

3 D.

3

4

解析：选B如图，

7：50至8：30之间的时间长度为40 分钟，而小明等车时间不超过10 分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20 分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝

20

40＝

1

2.故选B.

讲一讲

2．(2014·辽宁高考)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()

A.

π

2 B.

π

4 C.

π

6 D.

π

8

[尝试解答]由几何概型的概率公式可知，质点落在以AB为直径的半圆内的概率P＝

半圆的面积

长方形的面积

＝

1

2

π·12

1×2

＝

π

4，故选B.

答案：B

解与面积相关的几何概型问题的三个关键点

(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；

(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积；

(3)套用公式，从而求得随机事件的概率．

练一练

2．如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围

分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )

A ．1－π4 B.π2－1 C ．2－π2 D.π

4

解析：选A 由几何概型知所求的概率P ＝S 图形DEBF S 矩形ABCD ＝2×1－1

4×π×12×2

2×1＝1－π

4.

讲一讲

3．如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1 内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．

[尝试解答] 点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球外．记点P 到点O 的距离大于1为事件A ，则P (A )＝23－12×4π

3×13

23

＝1－π

12

. 答案：1－π

12

如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A 所占的区域体积．

练一练

3．如图所示，有一瓶2升的水，其中含有1个细菌．用一小水杯从这瓶水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．

解：记“小杯水中含有这个细菌”为事件A ，则事件A 的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件．

∵小水杯中有0.1升水，原瓶中有2升水， ∴由几何概型求概率的公式得P (A )＝0.1

2

＝0.05.

——————————————[课堂归纳·感悟提