高中数学人教A版必修三教学案：第三章第3节几何概型含答案

合集下载

高中数学人教A版必修3教案-3.3_几何概型_教学设计_教案

教学准备1. 教学目标教学目标：知识与技能目标１．初步体会几何概型及其基本特点；２．会运用几何概型的概率计算公式，求简单的几何概型的概率问题；3．让学生初步学会把一些实际问题化为几何概型；过程与方法目标1．通过案例分析，体会几何概型与古典概型的区别；会用类比的方法学习新知识，提高学生的解题分析能力；2．经历将一些实际问题转化为几何概型的过程，探求正确应用几何概型的概率计算公式解决问题的方法，增强几何概型在解决实际问题中的应用意识；情感、态度与价值观目标通过对几何概型的研究，感知生活中的数学，体会数学文化，培养学生的数学素养。

2. 教学重点/难点教学重点：①理解几何概型的概念、特点；②用其求解随机事件的概率。

教学难点：将求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题，准确确定几何区域和与事件A对应的区域，并求出它们的几何度量。

3. 教学用具4. 标签教学过程教学过程：课题引入：试验1、①、在集合{0，1，2，3，4，5，6，7，8.，9}中任取一个元素a,则a ≥3的概率为_________②、如图在线段OA上任取一点B（a，0），则a≥3的概率为_________试验2、2011年我班元旦活动中将设置两种游戏：第一种：靶子如图所示，假设靶子机随机的射击一次，射在大小相同的气球上。

规定击中红球则中奖。

第二种：靶子如图所示，假设靶子机随机的掷一个飞镖扎在靶子上,飞镖不会落脱靶。

规定飞镖落在红色区域则中奖。

每人限报一种且执行一次。

假设你在参加游戏，你更愿意选择哪种呢？【设计目的】激发学生的求知欲望，复习旧知发现新知，通过类比分散难点，培养学生的发现问题，分析问题和解决问题能力。

思考交流、概念形成：问题：（1）两组试验涉及到问题的共同特征是什么？（2）对于“无限性”类问题，其概率的计算方法的共同特点是什么？（课前准备表格，待学生讨论结束，概念、公式形成后补充完整）几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.观察类比、公式形成：2、几何概型的概率公式：一般地，在几何区域中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域内＂为事件，则事件发生的概率练习：有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.解题注意事项：（1）要判断该概率模型是不是几何概型，注意与古典概型的区别；（2）要找出构成随机事件A的区域和试验的全部结果所构成的区域；（3）确定好几何度量。

人教A版高中数学必修3《几何概型》教案

参赛课题：几何概型使用教材：普通高中课程标准实验教科书数学必修3（人教A版）《几何概型》教案说明一、《几何概型》在教材中的地位本节课是高中数学（必修3）第三章概率的第三节几何概型的第一课时，是在学习了古典概型情况下教学的。

它是对古典概型内容的进一步拓展，主要是要把概率问题与几何问题完美的结合，用数形结合的思想，通过建立基本事件与相应点的对应，实现从有限到无限形式上的转化，使等可能事件的概念从有限向无限延伸，进而建立合理的几何模型解决相关概率问题。

此节内容也是新课标中增加的，反映了《新课标》对数学知识在实际应用方面的重视．同时也暗示了它在概率论中的重要作用，以及在高考中的题型的转变。

二、《几何概型》教学目标定位1、教学目标1）知识目标通过解决具体问题让学生感知用图形解决概率问题的思路，体会几何概型计算公式及几何意义。

2）能力目标通过多个问题的分析及试验让学生理解几何概型的特征，归纳总结出几何概型的概率计算公式，渗透有限到无限，转化与化归及数形结合的思想。

3）情感目标教会学生用数学方法去研究不确定现象的规律，帮助学生获取认识世界的初步知识和科学方法。

2、教学目标的设置意图几何概型概念中的核心是它的两个特征，（1）试验中所有可能出现的基本事件有无限多个；（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性），所以教学的重点不是“如何计算概率”，而是要引导学生动手操作，开展小组合作学习，通过举出大量的几何概型的实例与数学模型使学生概括、理解、深化几何概型的两个特征及概率计算公式。

同时使学生初步能够把一些实际问题转化为几何概型，并能够合理利用随机、统计、化归、数形结合等数学思想方法有效解决有关的概率问题。

三、《几何概型》的重难点分析1、教学重点：几何概型概念及计算公式的形成过程.2、教学难点：将实际问题转化为数学问题，建立几何概率模型，并求解。

3、诊断分析：本节课让学生动手操作，亲身体验感受基本事件的个数不可数的情形下，从而引起思维的困惑，进而引导学生利用数形结合的思想，通过建立等量替代的关系，实现有限和无限之间的对应转化，从而解决了无限性难以计算的问题，让学生理解这样的对应是内在的，逻辑的，因此建立的度量公式是合理，这是本节课的难点所在，也是学生难以理解的地方。

高中数学第三章《几何概型》教案新人教A版必修3

3.3 几何概型3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生一、教学目标： 1、知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式： P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ；（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；（4）了解均匀随机数的概念；（5）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；（6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题． 2、过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。

3、情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。

二、重点与难点：1、几何概型的概念、公式及应用；2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．三、学法与教学用具：1、通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；2、教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学．四、教学设想：1、创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。

例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。

2、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式： P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ；（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等． 3、例题分析：课本例题略例1 判下列试验中事件A 发生的概度是古典概型，还是几何概型。

2019-2020学年度高中数学人教A版必修三教学案：第三章第3节几何概型-含答案

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高中数学人教A版必修三教学案：第三章第3节几何概型-含答案______年______月______日____________________部门20xx最新高中数学人教A版必修三教学案：第三章第3节几何概型-含答案1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P135～P136，回答下列问题．(1)教材问题中甲获胜的概率与什么因素有关？提示：与两图中标注B的扇形区域的圆弧的长度有关．(2)教材问题中试验的结果有多少个？其发生的概率相等吗？提示：试验结果有无穷个，但每个试验结果发生的概率相等．2．归纳总结，核心必记(1)几何概型的定义与特点①定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．②特点：(ⅰ)可能出现的结果有无限多个；(ⅱ)每个结果发生的可能性相等．(2)几何概型中事件A的概率的计算公式P(A)＝.[问题思考](1)几何概型有何特点？提示：几何概型的特点有：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等．(2)古典概型与几何概型有何区别？提示：几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是：古典概型的试验结果是有限的，而几何概型的试验结果是无限的．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点：(1)几何概型的定义：；(2)几何概型的特点：；(3)几何概型的计算公式：.某班公交车到终点站的时间可能是11∶30－12∶00之间的任何一个时刻．往方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上．[思考1] 这两个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？提示：无限多个．[思考2] 古典概型和几何概型的异同是什么？名师指津：古典概型和几何概型的异同如表所示：名称古典概型几何概型相同基本事件发生的可能性相等点不同点①基本事件有限个①基本事件无限个②P(A)＝0⇔A为不可能事件②P(A)＝0A为不可能事件③P(B)＝1⇔B为必然事件③P(B)＝1B为必然事件1．取一根长为5 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于2 m的概率有多大？[尝试解答] 如图所示．记“剪得两段绳长都不小于 2 m”为事件 A.把绳子五等分，当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生．由于中间一段的长度等于绳长的，所以事件A发生的概率P(A)＝.求解与长度有关的几何概型的关键点在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到不会影响事件A的概率．1．(20xx·全国乙卷)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A. B. C. D.34解析：选B 如图，7：50至8：30之间的时间长度为40 分钟，而小明等车时间不超过10 分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20 分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝＝.故选B.2．(20xx·辽宁高考)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )A. B. C. D.π8[尝试解答] 由几何概型的概率公式可知，质点落在以AB为直径的半圆内的概率P＝＝＝，故选B.答案：B解与面积相关的几何概型问题的三个关键点(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积；(3)套用公式，从而求得随机事件的概率．2．如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A．1－ B.－1 C．2－ D.π4解析：选A 由几何概型知所求的概率P＝＝＝1－.3．如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1 中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1 内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．[尝试解答] 点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．记点P到点O的距离大于1为事件A，则P(A)＝＝1－.答案：1－π12如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A所占的区域体积．3．如图所示，有一瓶2升的水，其中含有1个细菌．用一小水杯从这瓶水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．解：记“小杯水中含有这个细菌”为事件A，则事件A的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件．∵小水杯中有0.1升水，原瓶中有2升水，∴由几何概型求概率的公式得P(A)＝＝0.05.——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是了解几何概型的意义，会求几何概型的概率．难点是理解几何概型的特点和计算公式．2．本节课要掌握以下几类问题：(1)理解几何概型，注意与长度有关的几何概型的求解关键点，见讲1.(2)求解与面积相关的几何概型问题的三个关键点，见讲2.(3)注意与体积有关的几何概型的求解策略，见讲3.3．本节课的易错点：不能正确求出相关线段的长度或相关区域的面积或相关空间的体积，如讲1,2,3.课下能力提升(十九)[学业水平达标练]题组1 与长度有关的几何概型1．在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为( )A. B. C. D.15解析：选B 在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1，即－2≤X≤1的概率为P＝.2．已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A. B. C. D.18解析：选 A 试验的所有结果构成的区域长度为10 min，而构成事件A的区域长度为1 min，故P(A)＝.3．在区间[－2,4]上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.解析：由|x|≤m，得－m≤x≤m，当m≤2时，由题意得＝，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．当2<m<4时，由题意得＝，解得m＝3.答案：34．如图所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．解：弦长不超过1，即|OQ|≥，而Q点在直径AB上是随机的，记事件A＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－.题组2 与面积、体积有关的几何概型5.在如图所示的正方形中随机撒入 1 000粒芝麻，则撒入圆内的芝麻数大约为________(结果保留整数)．解析：设正方形边长为2a，则S正＝4a2，S圆＝πa2.因此芝麻落入圆内的概率为P＝＝，大约有1 000×≈785(粒)．答案：7856．一个球型容器的半径为3 cm，里面装有纯净水，因为实验人员不小心混入了一个H7N9 病毒，从中任取1 mL水，含有H7N9 病毒的概率是________．解析：水的体积为πR3＝×π×33＝36π(cm3)＝36π(mL)．故含有病毒的概率为P＝.答案：136π7．(20xx·西安质检)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1 内随机取点，则该点落在三棱锥A1ABC内的概率是________．解析：设正方体的棱长为a，则所求概率P＝VA1ABCVABCDA1B1C1D1＝＝.答案：168．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是________．解析：设长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P＝＝，解得h＝3或h＝－(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3.答案：39．在街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm的小圆板．规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在边上，可重掷一次；若掷在正方形内，需再交5角钱才可玩；若压在正方形塑料板的顶点上，可获得一元钱．试问：(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？解：(1)如图(1)所示，因为O落在正方形ABCD内任何位置是等可能的，小圆板与正方形塑料板ABCD的边相交接是在圆板的中心O到与它靠近的边的距离不超过1 cm时，所以O落在图中阴影部分时，小圆板就能与塑料板ABCD的边相交接，这个范围的面积等于92－72＝32(cm2)，因此所求的概率是＝.(2)小圆板与正方形的顶点相交接是在圆心O与正方形的顶点的距离不超过小圆板的半径 1 cm时，如图(2)阴影部分，四块合起来面积为π cm2，故所求概率是.[能力提升综合练]1．下列关于几何概型的说法中，错误的是( )A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性B．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性解析：选A 几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，故选A.2．已有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：选A 利用几何概型的概率公式，得P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，∴P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B)，故选A.3．如图，在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是( )A. B. C. D.23解析：选C 因为△ABC与△PBC是等高的，所以事件“△PBC的面积大于”等价于事件“|BP|∶|AB|＞”．即P(△PBC的面积大于)＝＝.4．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机地取一点P，使△APB 的最大边是AB”发生的概率为，则＝( )A. B.C. D.74解析：选D 依题可知，设E，F是CD上的四等分点，则P只能在线段EF上且BF＝AB.不妨设CD＝AB＝a，BC＝b，则有b2＋2＝a2，即b2＝a2，故＝.5．(20xx·石家庄高一检测)如图，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率为________．解析：记“射线OA落在∠xOT内”为事件A.构成事件A的区域最大角度是60°，所有基本事件对应的区域最大角度是360°，所以由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.答案：166．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M是AB的中点．一只苍蝇在几何体ADFBCE内自由飞行，求它飞入几何体FAMCD 内的概率．解：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF＝AD＝DC＝a.因为VFAMCD＝S四边形AMCD×DF＝×(a＋a)·a·a＝a3，VADFBCE＝a2·a＝a3，所以苍蝇飞入几何体FAMCD内的概率为＝.7．在长度为10 cm的线段AD上任取两点B，C.在B，C处折此线段而得一折线，求此折线能构成三角形的概率．解：设AB，AC的长度分别为x，y，由于B，C在线段AD上，因而应有0≤x，y≤10，由此可见，点对(B，C)与正方形K＝{(x，y)|0≤x≤10,0≤y≤10}中的点(x，y)是一一对应的，先设x<y，这时，AB，BC，CD能构成三角形的充要条件是AB＋BC>CD，BC＋CD>AB，CD＋AB>BC，注意AB＝x，BC＝y－x，CD＝10－y，代入上面三式，得y>5，x<5，y－x<5，符合此条件的点(x，y)必落在△GFE中(如图)．同样地，当y<x时，当且仅当点(x，y)落在△EHI中，AC，CB，BD 能构成三角形，利用几何概型可知，所求的概率为＝.。

高中数学必修三(3.3.1几何概型)教案新人教A版必修3

每一个位置剪断都是一个基本事件 , 剪断位置可以是长度为 3 m的绳子上的任意一点 , 也是等
可能的 , 射中靶面内任何一点都是等可能的 , 但是硬币落地后只出现四种结果 , 是有限的 ; 而
剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的 ; 即一个基本事件是有限的 , 而另一个基本事件是无
限的 .
(4) 几何概型 .
验是不够的 , 还必须考虑有无限多个试验结果的情况 . 例如一个人到单位的时间可能是 8：00
至 9 ： 00 之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子
, 石子可能落在方格中的任何一
点……这些试验可能出现的结果都是无限多个 . 这就是我们要学习的几何概抛掷一枚均匀硬币两次 , 求两次出现相同面的概率？
70 m 外射箭 . 假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的
. 问射中黄心的概率为多少？
(3) 问题 (1)(2) 中的基本事件有什么特点 ?两事件的本质区别是什么 ?
(4) 什么是几何概型 ?它有什么特点 ?
(5) 如何计算几何概型的概率 ?有什么样的公式 ?
(6) 古典概型和几何概型有什么区别和联系 ?
(2) 试验 1. 取一根长度为 3 m 的绳子 , 拉直后在任意位置剪断 . 问剪得两段的长都不小于 1 m
的概率有多大？
试验 2. 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环 . 从外向内为白色 , 黑色 , 蓝色 , 红色 , 靶心是金
色. 金色靶心叫“黄心” . 奥运会的比赛靶面直径为
122 cm, 靶心直径为 12.2 cm. 运动员在
.
教学方法：
讲授法
课时安排：
1 课时
教学过程：
一、导入新课：
1 、复习古典概型的两个基本特点：（ 1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事

高中数学第三章概率 3.3.1 几何概型学案(含解析)新人教A版必修3

3.3.1 几何概型[提出问题]每逢节假日，各大型商场竞相出招，吸引顾客，其中某商场设立了一个可以自由转动的转盘，规定顾客消费100元以上，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准①，②或③区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券(转盘被等分成20个扇形)，一位顾客消费了120元．问题1：这位顾客获得100元购物券的概率与什么因素有关？提示：与标注①的小扇形个数多少(面积大小)有关．问题2：在该实例试验中，试验结果有多少个？其发生的概率相等吗？提示：试验结果有无穷多个，但每个试验结果发生的概率相等．问题3：如何计算该顾客获得100元购物券的概率？提示：用标注①的扇形面积除以圆的面积．[导入新知]1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．3．几何概型概率公式在几何概型中，事件A的概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积.试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积[化解疑难]理解几何概型应关注三点(1)几何概型中，每个基本事件在一个区域内均匀分布，所以随机事件概率的大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与区域的大小有关；(2)如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但不是不可能事件；(3)如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但不是必然事件．[例1] (1)在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________．(2)某汽车站每隔15 min 有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10 min 的概率．[解析] (1)∵区间[－1,2]的长度为3，由|x |≤1得x ∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x 取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x ，|x |≤1的概率P ＝23.(2)设上一辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，则线段T 1T 2的长度为15，设T 是线段T 1T 2上的点，且T 1T ＝5，T 2T ＝10，如图所示．记“等车时间超过10 min”为事件A ，则当乘客到达车站的时刻t 落在线段T 1T 上(不含端点)时，事件A 发生．∴P (A )＝T 1T 的长度T 1T 2的长度＝515＝13，即该乘客等车时间超过10 min 的概率是13.[答案] (1)23[类题通法]1．几何概型概率问题的一般步骤(1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)； (2)把基本事件转化为与之对应的区域D ； (3)把所求随机事件A 转化为与之对应的区域I ； (4)利用概率公式计算．2．与长度有关的几何概型问题的计算公式如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.[活学活用]1．(重庆高考)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．解析：设方程x 2＋2px ＋3p －2＝0的两个负根分别为x 1，x 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4p 2－p －，x 1＋x 2＝－2p <0，x 1x 2＝3p －2>0，解得23<p ≤1或p ≥2.故所求概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋－5＝23. 答案：232．一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒．当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯亮； (2)黄灯亮； (3)不是红灯亮．解：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25.(2)P ＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝115.(3)P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯亮或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35，或P ＝1－P (红灯亮)＝1－25＝35.[例2] (1)他应当选择的游戏盘为( )(2)四边形ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4C.π8D ．1－π8[解析] (1)根据几何概型的面积比，选项A 中的游戏盘中奖概率为38，选项B 中游戏盘的中奖概率为13，选项C 中游戏盘的中奖概率为r2－πr2r2＝4－π4，选项D 中游戏盘的中奖概率为r 2πr 2＝1π，故A 游戏盘的中奖概率最大．(2)如图所示，长方形面积为2，以O 为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为π2，因此取到的点到O 的距离小于1的概率为π2÷2＝π4，取到的点到O 的距离大于1的概率为1－π4.[答案] (1)A (2)B [类题通法]1．与面积有关的几何概型的概率公式如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：P (A )＝构成事件A 的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积.2．解与面积相关的几何概型问题的三个关键点 (1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积； (3)套用公式，从而求得随机事件的概率． [活学活用]1．(福建高考改编)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上. 若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0，B 点坐标为(1,0)，所以C 点坐标为(1,2)，D 点坐标为(－2,2)，A 点坐标为(－2,0)，故矩形ABCD 的面积为2×3＝6，阴影部分的面积为12×3×1＝32，故P ＝326＝14.答案：142．在平面直角坐标系xOy 中，设M 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向M 中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率是________．解析：如图，区域M 表示边长为4的正方形ABCD 的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，因此P ＝π×124×4＝π16.答案：π16[例3] CM ，与线段AB 交于点M .求AM ＜AC 的概率．[解] 如图，在AB 上取AC ′＝AC ，连接CC ′，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.设D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫在∠ACB 内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM ＜AC ，则所有可能结果的区域角度为90°，事件D的区域角度为67.5°，∴P (D )＝67.5°90°＝34.[类题通法]与角度有关的几何概型概率的求法(1)如果试验的所有结果构成的区域的几何度量可用角度表示，则其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域角度试验的全部结果构成的区域角度.(2)解决此类问题的关键是事件A 在区域角度内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的．[活学活用]在平面直角坐标系中，射线OT 为60°角的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内的概率是( )A.16 B ．23 C.13D ．160解析：选A 如图，∵在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内对应的角度为60度，而整个角集合对应的角度为圆周角，∴该角终边落在∠xOT 内的概率P ＝60°360°＝16.[例4] (1)在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )A.6π B ．32π C.3πD ．233π(2)已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，则在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是________．[解析] (1)由题意可得正方体的体积为V 1＝1.又球的直径是正方体的对角线，故球的半径R ＝32.球的体积V 2＝43πR 3＝32π.这是一个几何概型，则此点落在正方体内的概率为P ＝V 1V 2＝132π＝233π. (2)设正方体的棱长为2.正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的内切球O 的半径是其棱长的一半，其体积为V 1＝43π×13＝4π3.则点M 在球O 内的概率是4π323＝π6.[答案] (1)D (2)π6[类题通法]与体积有关的几何概型概率的求法如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.[活学活用]有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，求点P 到点O 的距离大于1的概率．解：圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π是试验的全部结果构成的区域体积．以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝12×4π3×13＝2π3，则构成事件A “点P 到点O 的距离大于1”的区域体积为2π－2π3＝4π3，由几何概型的概率公式得P (A )＝4π32π＝23.3.几何概型中的交汇性问题[典例] 设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，若a 是从区间[0,3]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．[解题指导] 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0”有实根．则Δ＝4a 2－4b 2≥0，即a 2≥b 2. 又∵a ≥0，b ≥0. ∴a ≥b .试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2}，而构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，即如图所示的阴影部分．所以P (A )＝3×2－12×223×2＝23.[多维探究]几何概型与其他知识的交汇问题，以其新颖性、综合性而渐成为命题者的一个重要着眼点，本题是以方程的根为依托考查了与面积有关的几何概型的求法，另外，几何概型还常与集合、解析几何等问题相交汇命题，出现在试卷中．[角度一] 几何概型与集合的交汇问题已知集合M ＝{}x ，y x ＋y ≤8，x ≥0，y ≥0，N ＝{}x ，yx －3y ≥0，x ≤6，y ≥0，若向区域M 随机投一点，则点P 落入区域N 的概率为( )A.13 B ．12 C.38D ．316解析：选D 根据题设中集合的意义，在平面直角坐标系中分别画出区域M 和N ，可分别计算区域M 和N 的面积，进而求解．将集合M 和N 所表示的区域在直角坐标系中画出，如图，则区域M 的面积S ＝12×8×8＝32，区域N 的面积S ′＝12×6×2＝6，所以点P 落入区域N 的概率为P ＝632＝316.[角度二] 几何概型与解析几何的交汇问题已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)求圆C 的圆心到直线l 的距离；(2)求圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率．解：(1)由点到直线l 的距离公式可得d ＝2542＋32＝5.(2)由(1)可知圆心到直线l 的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，设与圆相交且与直线l 平行的直线为l 1，其方程为4x ＋3y ＝15.则符合题意的点应在l 1：4x ＋3y ＝15与圆相交所得劣弧上，由半径为23，圆心到直线l 1的距离为3可知劣弧所对圆心角为π3.故所求概率为P ＝π32π＝16.[随堂即时演练]1．下列概率模型中，几何概型的个数为( ) ①从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到1的概率；②从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率； ③从区间[－10,10]内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率； ④向一个边长为4 cm 的正方形ABCD 内投一点P ，求点P 离中心不超过1 cm 的概率． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ①不是几何概型，虽然区间[－10,10]有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；②是几何概型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；③不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；④是几何概型，因为在边长为4 cm 的正方形和半径为1 cm 的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有相等可能被投到，故满足无限性和等可能性．2.如图所示，在一个边长为a ，b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底长分别为a 3与a2，高为b .向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )A.112 B ．14 C.512D ．712解析：选C S 矩形＝ab ，S 梯形＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋12a b ＝512ab .故所投的点在梯形内部的概率为P ＝S 梯形S 矩形＝512abab ＝512.3．方程x 2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根的概率为________．解析：由于方程x 2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根， ∴Δ≥0，即1－4n ≥0，∴n ≤14，又n ∈(0,1)，∴有实根的概率为P ＝141－0＝14.答案：144．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P (A )＝2400＝0.005.答案：0.0055．已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，求此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率．解：设正三角形ABC 的边长为4，其面积为4 3.分别以A ，B ，C 为圆心，1为半径在△ABC 中作扇形，除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的区域，其面积为43－3×12×π3×12＝43－π2，故所求概率P ＝43－π243＝1－324π.[课时达标检测]一、选择题1．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边长作正方形，这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为( )A.3681 B ．1236 C.1281D ．14答案：D2．(全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.710B.58C.38D.310解析：选B 如图，若该行人在时间段AB 的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB 长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B.3．已知函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么满足f (x 0)≤0，x 0∈[－5,5]的x 0取值的概率为( )A.310B ．35 C.15 D ．110答案：A4．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，即称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A.827 B ．127 C.2627D ．1527答案：B5．如图，A 是圆O 上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，它的长度小于或等于半径的概率为( )A.12 B ．32C.13 D ．14答案：C 二、填空题6．设D 是半径为R 的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C ，连接CD 得一弦，若A 表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P (A )＝________.解析：如图所示，△DPQ 为圆内接正三角形，当C 点位于劣弧PQ 上时，弦DC ＞PD ， ∴P (A )＝13.答案：137．在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为________．解析：点P 到点A 的距离小于等于a 可以看作是随机的，点P 到点A 的距离小于等于a 可视作构成事件的区域，棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率：P ＝18×43πa 3a 3＝16π.答案：16π8．已知正方形ABCD 的边长为2，H 是边DA 的中点．在正方形ABCD 内部随机取一点P ，则满足|PH |<2的概率为________．解析：如图，设E ，F 分别为边AB ，CD 的中点，则满足|PH |<2的点P 在△AEH ，扇形HEF 及△DFH 内，由几何概型的概率计算公式知，所求概率为14π22＋12×1×1×22×2＝π8＋14.答案：π8＋14三、解答题9．已知点M (x ，y )满足|x |≤1，|y |≤1.求点M 落在圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的内部的概率．解：如图所示，区域Ω为图中的正方形，正方形的面积为4，且阴影部分是四分之一圆，其面积为14π，则点M 落在圆(x －1)2＋(y－1)2＝1的内部的概率为14π4＝π16.10．小朋友做投毽子游戏，首先在地上画出如图所示的框图，其中AG ＝HR ＝DR ＝12GH ，CP＝DP ＝AE ＝2CQ .其游戏规则是：将毽子投入阴影部分为胜，否则为输．求某小朋友投毽子获胜的概率．解：观察图形可看出阴影部分面积占总面积的一半，投入阴影部分的概率只与阴影部分的面积和总面积有关，故所求事件(记为事件A )的概率为P (A )＝12.11．如图，已知AB 是半圆O 的直径，AB ＝8，M ，N ，P 是将半圆圆周四等分的三个分点．(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率； (2)在半圆内任取一点S ，求△SAB 的面积大于82的概率．解：(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM ，△ABN ，△ABP ，△AMN ，△AMP ，△ANP ，△BMN ，△BMP ，△BNP ，△MNP ，其中是直角三角形的只有△ABM ，△ABN ，△ABP 3个，所以组成直角三角形的概率为310.(2)连接MP ，取线段MP 的中点D ，则OD ⊥MP ，易求得OD ＝22，当S 点在线段MP 上时，S △ABS ＝12×22×8＝82，所以只有当S 点落在阴影部分时，△SAB 的面积才能大于82，而S 阴影＝S 扇形MOP －S △OMP ＝12×π2×42－12×42＝4π－8，所以由几何概型的概率公式得△SAB 的面积大于82的概率为4π－88π＝π－22π.。

【最新】高中数学人教A版必修三教学案：第三章第3节几何概型-含答案

高中数学 3.3.1几何概型教案新人教A版必修3

3. 3.1几何概型教材分析：和古典概型一样，在特定情形下，我们可以用几何概型来计算事件发生的概率．它也是一种等可能概型．教材首先通过实例对比概念给予描述，然后通过均匀随机数随机模拟的方法的介绍，给出了几何概型的一种常用计算方法．与本课开始介绍的P（A）的公式计算方法前后对应，使几何概型这一知识板块更加系统和完整．这节内容中的例题既通俗易懂，又具有代表性，有利于我们的教与学生的学．教学重点是几何概型的计算方法，尤其是设计模型运用随机模拟方法估计未知量；教学难点是突出用样本估计总体的统计思想，把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题．教学目标：1. 通过这节内容学习，让学生了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用．2. 通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法，设计估计未知量的方案，培养学生的实际操作能力．3. 通过学习，让学生体会试验结果的随机性与规律性，培养学生的科学思维方法，提高学生对自然界的认知水平．教学重点与难点：是随机模拟部分．这节内容的教学需要一些实物模型作为教具，如教科书中的转盘模型、例2中的随机撒豆子的模型等．教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果．随机模拟的教学中要充分使用信息技术，让学生亲自动手产生随机数，进行模拟活动．教学过程：一、问题情境如图，有两个转盘．甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向Ｂ区域时，甲获胜，否则乙获胜．问题：在下列两种情况下分别求甲获胜的概率．二、建立模型1. 提出问题首先引导学生分析几何图形和甲获胜是否有关系，若有关系，和几何体图形的什么表面特征有关系？学生凭直觉，可能会指出甲获胜的概率与扇形弧长或面积有关．即：字母B所在扇形弧长（或面积）与整个圆弧长（或面积）的比．接着提出这样的问题：变换图中B 与N的顺序，结果是否发生变化？（教师还可做出其他变换后的图形，以示决定几何概率的因素的确定性）．题中甲获胜的概率只与图中几何因素有关，我们就说它是几何概型．注意：（1）这里“只”非常重要，如果没有“只”字，那么就意味着几何概型的概率可能还与其他因素有关，这是错误的．（2）正确理解“几何因素”，一般说来指区域长度（或面积或体积）．2. 引导学生讨论归纳几何概型定义，教师明晰———抽象概括如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：3. 再次提出问题，并组织学生讨论（1）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？（2）在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率．（3）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10min的概率．通过以上问题的研讨，进一步明确几何概型的意义及基本计算方法．三、典型例题1. 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少．分析：我们有两种方法计算事件的概率．（1）利用几何概型的公式．（2）利用随机模拟的方法．解法1：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间，纵坐标表示父亲离开家去工作的时间．假设随机试验落在方形内任一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以解法2：设X，Y是0～1之间的均匀随机数．X＋6.5表示送报人送到报纸的时间，Y＋7表示父亲离开家去工作的时间．如果Y＋7＞X＋6.5，即Y＞X－0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸．用计算机做多次试验，即可得到P（A）．教师引导学生独立解答，充分调动学生自主设计随机模拟方法，并组织学生展示自己的解答过程，要求学生说明解答的依据．教师总结，并明晰用计算机（或计算器）产生随机数的模拟试验．强调：这里采用随机数模拟方法，是用频率去估计概率，因此，试验次数越多，频率越接近概率．2. 如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率的值．解：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即假设正方形的边长为2，则由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以这样就得到了π的近似值．另外，我们也可以用计算器或计算机模拟，步骤如下：（1）产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；（2）经平移和伸缩变换，a＝（a1－0.5）*2，b＝（b1－0.5）*2；（3）数出落在圆内a2＋b2＜1的豆子数N1，计算（N代表落在正方形中的豆子数）．可以发现，随着试验次数的增加，得到π的近似值的精度会越来越高．本例启发我们，利用几何概型，并通过随机模拟法可以近似计算不规则图形的面积．［练习］1. 如图30-4，如果你向靶子上射200镖，你期望多少镖落在黑色区域．2. 利用随机模拟方法计算图30-5中阴影部分（y＝1和y＝x2围成的部分）的面积．3. 画一椭圆，让学生设计方案，求此椭圆的面积．作业：课本3.3.1几何概型课前预习学案一、预习目标1. 了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用．2. 通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法，设计估计未知量的方案，培养学生的实际操作能力．二、预习内容1.，简称为几何概型．2.在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：3. 讨论：（1）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？（ 2）在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率．三、提出疑惑课内探究学案一、学习目标：了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用．学习重点与难点：几何概型的计算方法．二、学习过程：例1. 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少．分析：我们有两种方法计算事件的概率．（1）利用几何概型的公式．（2）利用随机模拟的方法．解法1：解法2：例2. 如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率的值．解：用计算器或计算机模拟，步骤如下：（1）（2）（3）三、反思总结 1、数学知识： 2、数学思想方法：四、当堂检测一、选择题1. 取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率是.A.21 B.31 C.41D.不确定 2. 已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min.则乘客到达站台立即乘上车的概率是A.101 B.91 C.111 D.81 3. 在1万 km 2的海域中有40 km 2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是.A.2511 B.2491 C.2501 D.2521二、填空题1. 如下图，在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为2 cm 的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是________.2. 如下图，在一个边长为a 、b （a ＞b ＞0）的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为31a 与21a ，高为b ，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为________.aa a b1123三解答题1在等腰Rt △ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 的长小于AC 的长的概率. 答案一、选择题1. B2. A3. C 二、填空题1. 942. 125三、解答题解：在AB 上截取AC ′=AC ，于是P （AM ＜AC ）=P （AM ＜C A '）=答：AM 的长小于AC 的长的概率为22. 22=='AB AC AB C A 课后练习与提高1．两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率是________.2. 如下图，在直角坐标系内，射线OT 落在60°的终边上，任作一条射线OA ，则射线落在∠xOT 内的概率是________.3. 如下图，在半径为1的半圆内，放置一个边长为21的正方形ABCD ，向半圆内任投一点，该点落在正方形内的概率为_________.4. 在1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL ，含有麦锈病种子的概率是多少？。

高中数学必修3(人教A版)第三章概率3.3知识点总结含同步练习及答案

Q
A．
1 4 1 2
B．
1 3
C．
D．
解：C
2 3
1 |AB||CD| 1 S △ABE 点 Q 取自 △ABE 内部的概率为 = 2 = ． 2 |AB||CD| S 矩形ABCD
设不等式组 { 0 ⩽ x ⩽ 2 表示的平面区域为 D ，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原
0⩽y⩽2 点的距离大于 2 的概率是（ π A． 4 π C． 6
解：（1）先后抛掷两枚质地均匀的骰子，出现的可能结果有 6 × 6 = 36(种)，且它们都是等可能的，因此属于古典概型．（2）游戏中指针指向 N 区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”的概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型．如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中点，若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q，则点 Q 取自 △ABE 内部的概率等于（）

2 ． 3

高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
x 的二次方程两根都是实数"为事件 A ．由题意，得 Δ = 4 (a2 + b 2 ) − 4 ⩾ 0,
即
a2 + b 2 ⩾ 1.
因为点 (a, b) 的集合是边长为 2 的正方形以及内部的平面区域，所以事件 A 对应的是在正方形内的圆 a2 + b 2 = 1 外的平面区域，如图所示．故所求的概率为
P (A ) =
构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
.
例题：判断下列试验是古典概型还是几何概型．（1）先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“ 4 点”的概率；（2）如图所示，图中有一个转盘，甲、乙两人玩转盘游戏，规定指南针指向 N 区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率．

人教版高中数学必修三第三章概率《几何概型》教案

《几何概型》教案教材分析：几何概型是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸.几何概型的基本特点是：在每次随机试验中，不同的试验结果有无限多个，即基本事件有无限个；在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件是等可能的.几何概型与古典概型的区别在于，几何概型是无限个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限个.教材从两者的比较入手，通过分析简单的几何概型的例子入手引出几何概型的计算方法。

本节安排的例题和习题分别从一维的长度，二维的面积，三维的体积作为测度进行分析的.教学目标：知识与技能：1.学生初步掌握并运用几何概型解决有关概率问题；2、能够正确区分几何概型与古典概型；3、提高学生判断与选择几何概型的概率公式的能力；过程与方法：通过实例把几何概型与古典概型进行比较分析发掘几何概型的特点以及几何概型的概率计算方法；情感态度价值观：学生体会数学来源于实践，并且培养学生发现问题、分析问题进而解决问题的良好习惯.教学重点与难点：重点：几何概型的特点及其几何概型的概率公式的判断与选择；难点：几何概型的概率公式的判断与选择.教学方法：探究性学习，体现以“教师为主导，学生为主体”教学过程:一、知识回顾1.古典概型的特点2.概率公式：二、探索研究【对比研究】(骰子游戏)：甲乙两人掷骰子，掷一次，规定谁掷出6点朝上则谁胜，请问甲、乙谁获胜的概率大？学生分析：掷骰子的结果是有限个，且掷得每个结果都是等可能性的，符合古典概型的特点，因而可以利用古典概型计算；学生求解：1;6p=甲16p=乙。

（转盘游戏）：图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?①②师生共同分析：1、指针指向的每个方向都是等可能性的，但指针所指的位置却是无限个的，因而不是古典概型；2、利用B区域的所对弧长、所占的角度或所占的面积与整个圆的弧长、角度或面积成比例研究概率；学生求解：法一（利用B区域所占的弧长）：1(1)();2B p B ==所在扇形区域的弧长整个圆的弧长3(2)().5B p B ==所在扇形区域的弧长整个圆的弧长法二（利用B 区域所占的圆心角）：1801(1)();3602B p B ︒︒===所在圆心角的大小圆周角336035(2)();3605B p B ︒︒⨯===所在圆心角的大小圆周角法三（利用B 区域所占的面积）：1(1)();2B p B ==所在扇形的面积整个圆的面积3(2)().5B p B ==所在扇形的面积整个圆的面积【提出问题】⑴两个问题中，求概率的方法一样吗？若不一样,请问是什么原因？ ⑵你是如何解决这些问题的？学生对比分析：⑴ 骰子游戏中色子的六个面上的数字是有限个的，且每次投掷都是等可能性的，因而是古典概型；转盘游戏中指针指向的每个方向都是等可能性的，但指针所指的方向却是无限个的，因而不是古典概型.⑵借助几何图形的长度、面积等计算概率；【问题探究】分析下列三个问题的概率，从中你能得出哪些求概率的结论？问题 1（绳子问题）：某人在家门前相距6米的两棵树间系一条绳子，并在绳子上挂一个衣架，求衣架钩与两树的距离都大于2米的概率.学生分析：衣架钩与两树的距离都大于2米, 所以衣架钩应在图中B 、C 之间的任何一点都可以，结果有无数多种，而且等可能，所以不是古典概型；学生求解:记“衣架钩与两树的距离都大于2米”为事件A ，所以30P()0.650A == 学生归纳：1、该概率的特点不符合古典概型，不能利用古典概型；2、A P()A =构成事件的区域长度试验的全部结果构成的区域长度问题2（撒豆子问题）：如图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,计算它落到阴影部分的概率.学生分析：豆子撒在图形的每个位置的机会是等可能的，但豆子的位置却是无限多个的，因而不能利用古典概型。

人教A版数学必修3第三章3.3.1 几何概型(1)教案

3.3.1 几何概型（1）三维目标1．知识与技能(1)了解几何概型的概念．(2)会用公式求解随机事件的概率．2．过程与方法通过试验，将已学过计算概率的方法做对比，提出新问题，师生共同探究，引导学生继续对概率的另一类问题进行思考、分析，进而提出可行性解决问题的建议或想法．3．情感、态度与价值观通过试验，感知生活中的数学，培养学生用随机的观点来理性的理解世界，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度．●重点难点重点：(1)了解几何概型的概念、特点；(2)会用几何概型概率公式求解随机事件的概率．难点：如何判断一个试验是否为几何概型，弄清在一个几何概型中构成事件A 的区域和试验的全部结果所构成的区域及度量．一、复习：古典概型的两个基本特点:（1）所有的基本事件只有有限个;（2）每个基本事件发生都是等可能的.问：那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如果求呢?二、问题情境1.取一根长度为30cm 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm 的概率有多大？基本事件: 从30cm 的绳子上的任意一点剪断.2.射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm.运动员在70m 外射箭,假设每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率是多少?基本事件:射中靶面直径为122cm 的大圆内的任意一点.问：这两个问题能否用古典概型的方法来求解呢? 怎么办呢? 对于问题1.记“剪得两段绳长都不小于10cm ”为事件A. 把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A 发生.由于中间一段的长31A)事件A发生的概率P(度等于绳长的1/3.建构数学：对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.几何概型的特点:(1)基本事件有无限多个;(2)基本事件发生是等可能的.一般地,在几何区域D 中随机地取一点,记“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A,则事件A 发生的概率:注:（1）古典概型与几何概型的区别在于：几何概型是无限多个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限多个；(2)D 的测度不为0,当D 分别是线段、平面图形、立体图形时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积.（3）区域应指“开区域” ，不包含边界点；在区域 D 内随机取点是指：该点落在 D 内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性只与该部分的测度成正比而与其性状位置无关．三、典型例题：题型一：长度型的几何概型：事件B发生.的黄心内时,cm 12.2π41而当中靶点落在面积为的大圆内,cm 122π41为面积由于中靶点随机地落在黄心”为事件B,对于问题2.记“射中2222⨯⨯⨯⨯0.01122π4112.2π41(B)事件B发生的概率为P 22=⨯⨯⨯⨯=例 1.某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想听电台整点报时，求他等待的时间短于10分钟的概率.题型二：面积型的几何概型例2：ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点．在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )题型三：体积型的几何概型例3.在1L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的概率是多少?总结：用几何概型解简单试验问题的方法：1、适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解；2、把基本事件转化为与之对应的区域D ；3、把随机事件A 转化为与之对应的区域d ；4、利用几何概型概率公式计算。

113.人教版高中数学必修三(教案)3.3几何概型(2课时)

第一课时 3.3.1 几何概型教学要求：结合已学过两种随机事件发生的概率的方法，更进一步研究试验结果为无穷多时的概率问题理解几何概型的定义与计算公式.教学重点：初步体会几何概型的意义.教学难点：对几何概型的理解.教学过程：一、复习准备：1. 回忆基本事件的两个特点：（1）任何两个基本事件是互斥的。

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.2．回忆古典概型有两个特征：有限性和等可能性.3．提出问题：在现实生活中，常常遇到试验结果是无穷多的情况，那又怎样计算呢？二、讲授新课：1. 教学：几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability ）简称为几何概型.在几何概型中，事件A 概率计算公式为：()()()A P A =构成事件的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积几何概型的特点：在一个区域内均匀分布，只与该区域的大小有关.几何概型与古典概型的区别：试验的结果不是有限个.例1 某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）．可以认为人在任一时刻到站是等可能的．设上一班车离站时刻为a ，则某人到站的一切可能时刻为 Ω= (a, a+5)，记A={等车时间少于3分钟}，则他到站的时刻只能为g = (a+2, a+5)中的任一时刻，故3()5g P A ==Ω的长度的长度例2.某个人午觉醒来，他打开收音机。

想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.分析：在0到60分钟任一时刻打开收音机是等可能的，但0到60分钟之间有无穷个时刻，不能用古典概型的公式计算，，因为是等可能的，所以他在哪一时段打开收音机的概率只与该时段的长度有关而与位置无关，这符合几何概型的要求.）3. 小结：如何利用几何概型事件和随机模拟方法来求一些求知量？三、巩固练习：1.（会面问题）两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．求两人会面的概率.答案：592.猪八戒每天早上7点至9点之间起床，求它在7点半之前起床的概率.（将问题转化为时间长度）1. 作业：P137，A 组第1题第二课时 3.3.2均匀随机数的产生教学要求：让学生知道如何利用计算机Excel 软件产生均匀随机数关利用随机模拟方法估计求知量.教学重点：体会随机模拟中的统计思想.教学难点：如何把求未知量的问题转化为几何概型概率的问题.教学过程：一、复习准备：1. 回忆：几何概型的定义，以及相关的古典概型中的随机模拟方法.二、讲授新课：1.教学：均匀随机数的产生操作方法与整数值随机数产生的方法相同，前面学生有了基础这里易掌握只要老师在课堂是带学生操作一次就行。