高中数学立体几何中平行和垂直
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EB1 MA, EB1 MC,
x
O
y
EB1是平面MAC的法向量， EB1 平面MAC.
例2.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形, PA=AD, M、N分别是AB,PC的中点.求证: 平面DMN⊥平面PCD. 证:如图建立空间直角坐标系， z
设 | AB | 2,| AD | 2a, 则可得
由此可得平面DMN的 一个法向量为m (2a,1, 1),
平面PCD的一个法向量为 n (0,1,1),
O
z
y x
m n 2a 0 11 (1) 1 0
m n,平面DMN 平面PCD.
例3.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD, CD=2AB, P、O分别是CC1、C1D1的中点. 求证：AC∥平面BPO .
证： AC AB BC
OC1 BP PC
BP (OC1 C1P)
BP OP ，
又 AC 平面BPO, AC // 平面BPO.
例4. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,M,N 分别为A1B1,A1D1,B1C1,C1D1 的中点,求证： 平面AEF∥平面BDMN.
面面垂直： u v u v 0
3.共面向量定理
如果两个向量a, b不共线，则向量 p与向量a, b 共面的充要条件是存在 实数对x，y，使 p＝x a＋yb。
例1.在正方体ABCD - A1B1C1D1中, E是底面ABCD的中 心,M是棱D1 D的中点，求证：B1 E ⊥ 平面MAC.
证：如图所示建立空间直角坐标系,设 | AB | 2, 则
A(2,0,0), C(0, 2,0), E(1,1,0),
M (0,0,1), B1 (2, 2, 2),
MA (2,0, 1), MC (0, 2, 1),
z
EB1 (1,1,2)
EB1 MA 0, EB1 MC 0,
注意：线线平行包括线线重合， 线面平行包括线在面内， 面面平行包括面面重合．
2.空间垂直关系的向量表示：
设直线l , m的方向向量分别为a， b， 平面 , 的法向量分别为u， v，则有
线线垂直：l m a b a b 0
线面垂直：l a // u a ku(k R)
易得平面AEF的一个法向量为 n (2, 2,1),
x O y
又易证 n 平面BDMN ,
平面AEF // 平面BDMN .
课堂练习：
1.如图,在正方体AC1中,E为DD1的中点,求证：
DB1//面A1C1E. D1 C1
2.课本P111 练习1,3
A1
E
B1
D A
C
B
小结：
利用向量可证明四点共面、线线平 行、线面平行、线线垂直、线面垂直等问 题，其方法是通过向量的运算来判断，这 是数形结合的典型问题.
作业：P112 A组2,3
P117 A组3
证：如图所示建立空间直角坐标系,设 | AB | 2, 则 A(2,0,0), B(2, 2,0), E(2,1, 2), z
F (1,0, 2), M (2,1, 2), N (0,1, 2),
AE (0,1,2), AF (1,0,2)
DB (2, 2,0), DN (0,1, 2),
立体几何中平行和垂直 问题的向量证法
课前复习：
1.空间平行关系的向量表示： 设直线l , m的方向向量分别为a， b，
平面 , 的Байду номын сангаас向量分别为u， v，则有
线线平行：l // m a // b a kb(k R)
线面平行：l // a u a u 0
面面平行： // u // v u kv (k R)
M (1,0,0), C (2, 2a,0), D(0, 2a,0),
y
O
P(0,0, 2a), N (1, a, a),
DM (1, 2a,0), DN (1, a, a), DC (2,0,0), DP (0,2a, 2a),
x
例2.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形, PA=AD, M、N分别是AB,PC的中点.求证: 平面DMN⊥平面PCD.
x
O
y
EB1是平面MAC的法向量， EB1 平面MAC.
例2.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形, PA=AD, M、N分别是AB,PC的中点.求证: 平面DMN⊥平面PCD. 证:如图建立空间直角坐标系， z
设 | AB | 2,| AD | 2a, 则可得
由此可得平面DMN的 一个法向量为m (2a,1, 1),
平面PCD的一个法向量为 n (0,1,1),
O
z
y x
m n 2a 0 11 (1) 1 0
m n,平面DMN 平面PCD.
例3.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD, CD=2AB, P、O分别是CC1、C1D1的中点. 求证：AC∥平面BPO .
证： AC AB BC
OC1 BP PC
BP (OC1 C1P)
BP OP ，
又 AC 平面BPO, AC // 平面BPO.
例4. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,M,N 分别为A1B1,A1D1,B1C1,C1D1 的中点,求证： 平面AEF∥平面BDMN.
面面垂直： u v u v 0
3.共面向量定理
如果两个向量a, b不共线，则向量 p与向量a, b 共面的充要条件是存在 实数对x，y，使 p＝x a＋yb。
例1.在正方体ABCD - A1B1C1D1中, E是底面ABCD的中 心,M是棱D1 D的中点，求证：B1 E ⊥ 平面MAC.
证：如图所示建立空间直角坐标系,设 | AB | 2, 则
A(2,0,0), C(0, 2,0), E(1,1,0),
M (0,0,1), B1 (2, 2, 2),
MA (2,0, 1), MC (0, 2, 1),
z
EB1 (1,1,2)
EB1 MA 0, EB1 MC 0,
注意：线线平行包括线线重合， 线面平行包括线在面内， 面面平行包括面面重合．
2.空间垂直关系的向量表示：
设直线l , m的方向向量分别为a， b， 平面 , 的法向量分别为u， v，则有
线线垂直：l m a b a b 0
线面垂直：l a // u a ku(k R)
易得平面AEF的一个法向量为 n (2, 2,1),
x O y
又易证 n 平面BDMN ,
平面AEF // 平面BDMN .
课堂练习：
1.如图,在正方体AC1中,E为DD1的中点,求证：
DB1//面A1C1E. D1 C1
2.课本P111 练习1,3
A1
E
B1
D A
C
B
小结：
利用向量可证明四点共面、线线平 行、线面平行、线线垂直、线面垂直等问 题，其方法是通过向量的运算来判断，这 是数形结合的典型问题.
作业：P112 A组2,3
P117 A组3
证：如图所示建立空间直角坐标系,设 | AB | 2, 则 A(2,0,0), B(2, 2,0), E(2,1, 2), z
F (1,0, 2), M (2,1, 2), N (0,1, 2),
AE (0,1,2), AF (1,0,2)
DB (2, 2,0), DN (0,1, 2),
立体几何中平行和垂直 问题的向量证法
课前复习：
1.空间平行关系的向量表示： 设直线l , m的方向向量分别为a， b，
平面 , 的Байду номын сангаас向量分别为u， v，则有
线线平行：l // m a // b a kb(k R)
线面平行：l // a u a u 0
面面平行： // u // v u kv (k R)
M (1,0,0), C (2, 2a,0), D(0, 2a,0),
y
O
P(0,0, 2a), N (1, a, a),
DM (1, 2a,0), DN (1, a, a), DC (2,0,0), DP (0,2a, 2a),
x
例2.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形, PA=AD, M、N分别是AB,PC的中点.求证: 平面DMN⊥平面PCD.