《线段的垂直平分线的性质与判定》案例
1.3.1线段的垂直平分线的性质
（2013•烟台）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，点D为AB中点，且OD⊥AB，∠BAC 的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为108度．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：如图，连接OB、OC，∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°，又∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣54°）=63°，∵DO是AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=27°，∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°，∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴OB=OC，∴点O在BC的垂直平分线上，又∵DO是AB的垂直平分线，∴点O是△ABC的外心，∴∠OCB=∠OBC=36°，∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE=CE，∴∠COE=∠OCB=36°，在△OCE中，∠OEC=180°﹣∠COE﹣∠OCB=180°﹣36°﹣36°=108°．故答案为：108．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．（2013•义乌市）（2013•锦州）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE．已知AE=5，tan∠AED=，则BE+CE=6或16．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】本题有两种情形，需要分类讨论．首先根据题意画出图形，由线段垂直平分线的性质，即可求得AE=BE，又由三角函数的性质，求得AD的长，继而求得答案．【解答】解：①若∠BAC为锐角，如答图1所示：∵AB的垂直平分线是DE，∴AE=BE，ED⊥AB，AD=AB，∵AE=5，tan∠AED=，∴sin∠AED=，∴AD=AE•sin∠AED=3，∴AB=6，∴BE+CE=AE+CE=AC=AB=6；②若∠BAC为钝角，如答图2所示：同理可求得：BE+CE=16．故答案为：6或16．【点评】本题考查了线段垂直平分线、等腰三角形、解直角三角形等知识点，着重考查了分类讨论的数学思想．（2012•邵阳）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，ED是BC的垂直平分线，请写出图中两条相等的线段是BD=CD（答案不唯一）．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线．【专题】压轴题；开放型．【分析】由ED是BC的垂直平分线，可得BE=CE，BD=CD，又由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，易证得△AEC是等边三角形，即可得AE=EC=AC=BE．【解答】解：∵ED是BC的垂直平分线，∴BE=CE，BD=CD，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠ECB=∠B=30°，∠A=90°﹣∠B=60°，∴∠ACE=90°﹣30°=60°，∴△AEC是等边三角形，∴AE=EC=AC，∴AE=AC=EC=BE．∴图中两条相等的线段是：BE=CE=AC=BE或BD=CD．故答案为：此题答案不唯一，如BD=CD等．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．（2008•凉山州）菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB=4cm．那么，菱形ABCD的面积是8cm2，对角线BD的长是4cm．【考点】线段垂直平分线的性质；菱形的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】要求菱形的面积就要求两对角线的长，可根据线段垂直平分线的性质计算．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=4cm，又∵AE垂直平分BC，∴BE=EC=×BC=×4=2cm在Rt△ABE中，AB=4cm，BE=2cm由勾股定理得AE===2=BC•AE=4×2=8cm2∵AB=BC=4cm，∴S菱形ABCD在Rt△AEC中，AE=2cm，EC=2cm∴AC==4，OC=AC=2在Rt△BCO中，BC=4cm，OC=2cm，∴OB===2对角线BD的长=2•OB=2×2=4cm．菱形ABCD的面积是8cm2，对角线BD的长是4cm．【点评】本题考查的是菱形的性质及线段垂直平分线的性质，是中学阶段的常规题．（2004•陕西）如图，有一腰长为5cm，底边长为4cm的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有4（因还有一个凹四边形，所以填5也对）个不同的四边形．【考点】线段垂直平分线的性质；剪纸问题．【专题】压轴题；开放型．【分析】可动手操作拼图后解答．【解答】解：让三条相等的边互相重合各得到一个平行四边形；让斜边重合还可以得到一个一般的平行四边形．那么能拼出的四边形的个数是4个．【点评】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．（2002•天津）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAC；④△ABC是正三角形．请写出正确结论的序号①③（把你认为正确结论的序号都填上）【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．【分析】由已知条件，首先得到等腰三角形，利用线段的垂直平分线的性质进一步得到其它结论．【解答】解：∵AB=AC，AC=AD，∴AB=AD∵AC 平分∠DAB∴AC 垂直平分BD，①正确；∴DC=CB，易知DC＞DE，∴BC＞DE，②错；D、C、B 可看作是以点A 为圆心的圆上，根据圆周角定理，得∠DBC=∠DAC，③正确；当△ABC 是正三角形时，∠CAB=60°那么∠DAB=120°，如图所示是不可能的，所以错误．故①③对．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线的性质；利用等腰三角形的三线合一是常用的判断方法；注意把图形放入圆中解决可使问题简化．（2010•江西）课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题．实验与论证：设旋转角∠A 1A 0B 1=α（α＜∠A 1A 0A 2），θ3、θ4、θ5、θ6所表示的角如图所示．（1）用含α的式子表示角的度数：θ3=60°﹣α，θ4=α，θ5=36°﹣α；（2）图1﹣图4中，连接A 0H 时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A 0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想：设正n 边形A 0A 1A 2…A n﹣1与正n 边形A 0B 1B 2…B n﹣1重合（其中，A 1与B 1重合），现将正多边形A 0B 1B 2…B n﹣1绕顶点A 0逆时针旋转α（0°＜α＜°）；（3）设θn 与上述“θ3、θ4、…”的意义一样，请直接写出θn 的度数；（4）试猜想在正n 边形的情形下，是否存在与直线A 0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．【考点】线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定；等边三角形的性质；正方形的性质．【分析】（1）由正三角形的性质得α+θ3=60°，再由正方形的性质得θ4=45°﹣（45°﹣α）=α，最后由正五边形的性质得θ5=108°﹣36°﹣36°﹣α=36°﹣α；（2）存在，如在图1中直线A 0H 垂直且平分的线段A 2B 1，△A 0A 1A 2≌△A 0B 1B 2，推得A 2H=B 1H，则点H 在线段A 2B 1的垂直平分线上；由A 0A 2=A 0B 1，则点A0在线段A 2B 1的垂直平分线上，从而得出直线A 0H 垂直且平分的线段A 2B 1（3）当n 为奇数时，θn =﹣α；当n 为偶数时，θn =α（4）多写几个总结规律：当n 为奇数时，直线A 0H 垂直平分，当n 为偶数时，直线A 0H 垂直平分【解答】解：（1）60°﹣α，α，36°﹣α（2）存在．下面就所选图形的不同分别给出证明：选图如，图中有直线A 0H 垂直平分A 2B 1，证明如下：方法一：证明：∵△A 0A 1A 2与△A 0B 1B 2是全等的等边三角形∴A 0A 2=A 0B 1∴∠A 0A 2B 1=∠A 0B 1A 2又∠A 0A 2H=∠A 0B 1H=60°∴∠HA 2B 1=∠HB 1A 2∴A 2H=B 1H，∴点H 在线段A 2B 1的垂直平分线上又∵A 0A 2=A 0B 1，∴点A0在线段A 2B 1的垂直平分线上∴直线A 0H 垂直平分A 2B 1方法二：证明：∵△A 0A 1A 2与△A 0B 1B 2是全等的等边三角形∴A 0A 2=A 0B 2∴∠A 0A 2B 1=∠A 0B 1A 2又∠A 0A 2H=∠A 0B 1H=60°∴∠HA 2B 1=∠HB 1A 2∴A 2H=B 1H，在△A 0A 2H 与△A 0B 1H 中∵A 0A 2=A 0B 1，HA 2=HB 1，∠A0A 2H=∠A 0B 1H ∴△A 0A 2H≌△A 0B 1H ∴∠A 0A 2H=∠A 0B 1H，∴A 0H 是等腰三角形A 0A 2B 1的角平分线，∴直线A 0H 垂直平分A 2B 1选图如，图中有直线A 0H 垂直平分A 2B 2，证明如下：∵A 0B 2=A 0A 2∴∠A 0B 2A 2=∠A 0A 2B 2又∵∠A 0B 2B 1=∠A 0A 2A 3∴∠HB 2A 2=∠HA 2B 2∴HB 2=HA 2∴点H 在线段A 2B 2的垂直平分线上又∵A 0B 2=A 0A 2，∴点A 0在线段A 2B 2的垂直平分线上∴直线A 0H 垂直平分A 2B 2（3）当n 为奇数时，θn =﹣α；当n 为偶数时，θn =α．（4）存在．当n 为奇数时，直线A 0H 垂直平分，当n 为偶数时，直线A 0H 垂直平分【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．（2009•烟台）（2003•海南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交BC于D，交AB于点E，F在DE上，并且AF=CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请证明你的结论；（3）四边形ACEF有可能是矩形吗？为什么？【考点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）ED是BC的垂直平分线，根据中垂线的性质：中垂线上的点线段两个端点的距离相等，得；EB=EC．由等边对等角得∠3=∠4，在直角三角形ACB中，∠2与∠4互余，∠1与∠3互余．∴∠1=∠2．∴AE=CE．又∵AF=CE，∴△ACE和△EFA都是等腰三角形．∵FD⊥BC，AC⊥BC，∴AC∥FE．∴∠1=∠5．∴∠AEC=∠EAF，∴AF∥CE．∴四边形ACEF是平行四边形．（2）由于△ACE是等腰三角形，当∠1=60°时△ACE是等边三角形，有AC=EC，有平行四边形ACEF是菱形．（3）当四边形ACEF是矩形时，有∠2=90°，而∠2与∠3互余．∠3≠0°，∴∠2≠90°．∴四边形ACEF不可能是矩形．【解答】（1）证明：∵ED是BC的垂直平分线，∴EB=EC．∴∠3=∠4．∵∠ACB=90°，∴∠2与∠4互余，∠1与∠3互余，∴∠1=∠2．∴AE=CE．又∵AF=CE，∴△ACE和△EFA都是等腰三角形．∴AF=AE，∴∠F=∠5，∵FD⊥BC，AC⊥BC，∴AC∥FE．∴∠1=∠5．∴∠1=∠2=∠F=∠5，∴∠AEC=∠EAF．∴AF∥CE．∴四边形ACEF是平行四边形．（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．证明如下：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴∠1=∠2=60°．∴△EAC为等边三角形，∴AC=EC．∴平行四边形ACEF是菱形．（3）解：四边形ACEF不可能是矩形．理由如下：由（1）可知，∠2与∠3互余，∠3≠0°，∴∠2≠90°．∴四边形ACEF不可能是矩形．【点评】本题利用了：（1）中垂线的性质，（2）等边对等角和等角对等边，（3）直角三角形的性质，（4）平行四边形和判定和性质，（5）一组邻边相等的平行四边形是菱形，（6）矩形的性质．（1999•杭州）如图，O是△ABC的外心，弦AB的垂直平分线与AB和AC分别相交于点M、N，与BC边的延长线相交于点P，求证：OA2=ON•OP．【考点】线段垂直平分线的性质；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】连接OB，所求的乘积式可化为：OA•OB=ON•OP；将上式化为比例式，然后证线段所在的三角形相似，即证△OAN∽△OPB．【解答】证明：连接OB；∵PM垂直平分AB，∴OA=OB，AM=BM，OM⊥AB；∴∠AOM=∠BOM=∠AOB；∵∠ACB=∠AOB，∴∠ACB=∠AOM；∴∠NAO+∠ANO=∠P+∠PNC；∵∠PNC=∠ANO，∴∠P=∠NAO；∵∠AOM=∠MOB，∴∠AON=∠BOP；∴△ANO∽△PBO，∴，即OA•OB=OP•ON；∵OA=OB，∴OA2=ON•OP．【点评】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，涉及到的知识点有：线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形的外角性质等，综合性强，难度偏大．（1998•上海）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N，求证：CM=2BM．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】先根据垂直平分线的性质，判定AM=BM，再求出∠B=30°，∠CAM=90°，根据直角三角形中30度的角对的直角边是斜边的一半，得出BM=AM=CA即CM=2BM．【解答】证法1：如答图所示，连接AM，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵MN是AB的垂直平分线，∴BM=AM，∴∠BAM=∠B=30°，∴∠MAC=90°，∴CM=2AM，∴CM=2BM．证法二：如答图所示，过A作AD∥MN交BC于点D．∵MN是AB的垂直平分线，∴N是AB的中点．∵AD∥MN，∴M是BD的中点，即BM=MD．∵AC=AB，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵∠BAD=∠BNM=90°，∴AD=BD=BM=MD，又∵∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=120°﹣90°=30°，∴∠CAD=∠C，∴AD=DC，BM=MD=DC，∴CM=2BM．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．（2011•河池）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB 于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】由在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC与∠C的度数，又由AB的垂直平分线是DE，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD=BD，继而求得∠ABD的度数，则可知BD平分∠ABC；可得△BCD的周长等于AB+BC，又可求得∠BDC的度数，求得AD=BD=BC，则可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C==72°，∵AB的垂直平分线是DE，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=36°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=72°﹣36°=36°=∠ABD，∴BD平分∠ABC，故A正确；∴△BCD的周长为：BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB，故B正确；∵∠DBC=36°，∠C=72°，∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，∴AD=BD=BC，故C正确；∵BD＞CD，∴AD＞CD，∴点D不是线段AC的中点，故D错误．故选D．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换．（2011•丹东）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（）【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】计算题；压轴题．【分析】由角平分线的定义得到∠CBE=∠ABE，再根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，则∠A=∠ABE，可得∠CBE=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE=2EC，即AE=2EC，由AE+EC=AC=9，即可求出AC．【解答】解：∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，∵ED垂直平分AB于D，∴EA=EB，∴∠A=∠ABE，∴∠CBE=30°，∴BE=2EC，即AE=2EC，而AE+EC=AC=9，∴AE=6．故选C．【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．（2008•德阳）（2006•淮安）如图，平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是（）【考点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质．【专题】压轴题；转化思想．【分析】根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质可知，△CDE的周长=CD+DE+CE=CD+DE+AE=CD+AD=AB+BC=3+5=8．【解答】解：根据垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等知，EC=AE；根据在平行四边形ABCD中有BC=AD，AB=CD，∴△CDE的周长等于CD+DE+CE=CD+DE+AE=CD+AD=AB+BC=3+5=8．故选B．【点评】本题结合线段垂直平分线的性质考查了平行四边形的性质，利用中垂线将已知转化是解题的关键．（2013•仙桃）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm【考点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质．【分析】连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，求出AB、AC值，求出BE、CF值，求出BM、CN 值，代入MN=BC﹣BM﹣CN求出即可．【解答】解：连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，∴∠B=∠C=30°，BD=CD=3cm，∴AB==2cm=AC，∵AB的垂直平分线EM，∴BE=AB=cm同理CF=cm，∴BM==2cm，同理CN=2cm，∴MN=BC﹣BM﹣CN=2cm，故选C．【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，解直角三角形等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．（2012•勃利县校级模拟）△ABC中，AB=AC，BC=10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D、E且DE=4，则AD+AE的值为（）A．6B．10C．6或14D．6或10【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】作出图形，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，AE=CE，然后分两种情况讨论求解．【解答】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，∴AD=BD，AE=CE，∴AD+AE=BD+CE，∵BC=10，DE=4，∴AD+AE=BD+CE=BC﹣DE=10﹣4=6，AD+AE=BD+CE=BC+DE=10+4=14（舍去），综上所述，AD+AE=6或14（舍去）．故选C．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，难点在于要分情况讨论．（2009•钦州）如图，AC=AD，BC=BD，则有（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】由已知条件AC=AD，利用线段的垂直平分线的性质的逆用可得点A在CD的垂直平分线上，同理，点B也在CD的垂直平分线上，于是A是符合题意的，是正确的，答案可得．【解答】解：∵AC=AD，BC=BD，∴点A，B在线段CD的垂直平分线上．∴AB垂直平分CD．故选A．【点评】本题考查的知识点为：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．分别应用垂直平分线性质定理的逆定理是解答本题的关键．（2009•山西）（2008•眉山）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=a，DC=b，DC边的垂直平分线EF交BC 边于E，且E为BC边的中点，又DE∥AB，则梯形ABCD的周长等于（）A．2a+2b B．3a+b C．4a+b D．5a+b【考点】线段垂直平分线的性质；梯形．【分析】根据平行四边形的性质可知，AD=BE，由线段垂直平分线的性质可知，DE=EC，则梯形的性质可求解．【解答】解：根据已知，得四边形ABED是平行四边形，则DE=AB=a，BE=AD．根据线段的垂直平分线的性质，得CE=DE．又E为BC边的中点，所以BC=2CE=2AB=2a，AD=BE=a．所以梯形的周长是4a+b．故选C【点评】本题综合运用平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质．（2012•遂宁）如图，△ABC中，AB=AC=6，BC=4.5，分别以A、B为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长是10.5．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】先判定出D在AB的垂直平分线上，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BD=AD，再求出△BCD的周长=AC+BC，然后代入数据进行计算即可得解．【解答】解：根据作法，点D在线段AB的垂直平分线上，则BD=AD，则△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，∵AC=6，BC=4.5，∴△BCD的周长=6+4.5=10.5．故答案为：10.5．【点评】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．（2011•海南）如图，在△ABC中，AB=AC=3cm，AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是5cm，则BC的长等于2cm．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由AB的垂直平分线交AC于点N，根据线段的垂直平分线的性质得到NA=NB，而BC+BN+NC=5cm，则BC+AN+NC=5cm，由AC=AN+NC=3cm，即可得到BC的长．【解答】解：∵AB的垂直平分线交AC于点N，∴NA=NB，又∵△BCN的周长是5cm，∴BC+BN+NC=5cm，∴BC+AN+NC=5cm，而AC=AN+NC=3cm，∴BC=2cm．故答案为：2．【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线的点到线段两端点的距离相等；也考查了三角形周长的定义．（2010•黄石）如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为45°．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=∠ABD=30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD=45°．【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故填45．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用三角形外角的性质求得求得∠BDC=60°是解答本题的关键．本题的解法很多，用底角75°﹣30°更简单些．（2008•临沂）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连接CE，则CE的长为．【考点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题首先利用线段垂直平分线的性质推出△AOE≌△COE，再利用勾股定理即可求解．【解答】解：EF垂直且平分AC，故AE=EC，AO=CO．所以△AOE≌△COE．设CE为x．则DE=AD﹣x，CD=AB=2．根据勾股定理可得x2=（3﹣x）2+22解得CE=．故答案为．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质以及矩形的性质．关键是要设所求的量为未知数利用勾股定理求解．（1997•广西）如图，∠A=52°，O是AB、AC的垂直平分线的交点，那么∠OCB=38°．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据题意确定点O是△ABC的外心，所以连接OB．利用圆周角定理可知∠BOC=2∠A，然后等腰△BOC的性质和三角形内角和定理来求∠OCB的度数即可．【解答】解：∵O是AB、AC的垂直平分线的交点，∴点O是△ABC的外心．如图，连接OB．则∠BOC=2∠A=104°．又∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．∴∠OCB=（180°﹣∠BOC）÷2=38°，故答案是：38°．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质．解答该题的技巧性在于利用线段垂直平分线的性质找到三角形外接圆的圆心，利用圆周角定理、三角形内角和定理将所求的角与已知角的数量关系联系起来．（2012•常州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE=AF．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】方法一：连接CE，由与EF是线段AC的垂直平分线，故AE=CE，再由AE∥BC可知∠ACB=∠DAC，故可得出△AOE≌△COF，故AE=CF，所以四边形AFCE是平行四边形，再根据AE=CE可知四边形AFCE是菱形，故可得出结论．方法二：首先证明△AOE≌△COF，可得OE=OF，进而得到AC垂直平分EF，再根据线段垂直平分线的性质可得AE=AF．【解答】证明：连接CE，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，OA=OC，∵AE∥BC，∴∠ACB=∠DAC，在△AOE与△COF中，∵，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AE=CE，∴四边形AFCE是菱形，∴AE=AF．另法：∵AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，∵，∴△AOE≌△COF﹙ASA﹚，∴OE=OF，∴AC垂直平分EF，∴AE=AF．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及菱形的判定定理，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题的关键．（2008•广安）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F（1）求证：CF=AD；（2）若AD=2，AB=8，当BC为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上，为什么？【考点】线段垂直平分线的性质；梯形．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）通过求证△FEC≌△AED来证明CF=AD；（2）若点B在线段AF的垂直平分线上，则应有AB=BF∵AB=8，CF=AD=2，∴BC=BF﹣CF=8﹣2=6时有AB=BF．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠F=∠DAE．（1分）又∵∠FEC=∠AED，∴∠ECF=∠ADE，∵E为CD中点，∴CE=DE，在△FEC与△AED中，∵，∴△FEC≌△AED．（3分）∴CF=AD；（4分）（2）解：当BC=6时，点B在线段AF的垂直平分线上，（6分）其理由是：∵BC=6，AD=2，AB=8，∴AB=BC+AD．（7分）又∵CF=AD，BC+CF=BF，∴AB=BF．（8分）∴△ABF是等腰三角形，∴点B在AF的垂直平分线上．（9分）【点评】本题利用了：（1）梯形的性质，（2）全等三角形的判定和性质，（3）中垂线的性质．（2006•厦门模拟）如图，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD=AB，点G、E、F分别为边AB、BC、AC的中点．求证：DF=BE．【考点】线段垂直平分线的性质；三角形中位线定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定．【专题】证明题；压轴题．【分析】连接GF，易得AF是GD的中垂线，所以AD=AG．又∠BAC=90°，即AF⊥BD，所以DF=FG．因为EF为△ABC的中位线，所以BG=EF，BG∥EF，所以四边形BEFG为平行四边形，所以GF=BE．【解答】证法（﹣）：连接GF，∵AD=AB，点G为AB边的中点，∴AD=BG=AB．∴AD=AG．又∵∠BAC=90°，即AF⊥BD，∴DF=FG．∵EF为△ABC的中位线，∴EF=AB，EF∥AB．∴BG=EF，BG∥EF．∴四边形BEFG为平行四边形．∴GF=BE．∴BE=DF．证法（二）：∵F，E是AC，BC的中点，∴FE=AB（中位线定理）；∵AD=AB，∴AD=FE，∵点F是AC中点，∴AF=FC，又∠DAF=∠CFE=90°，∴△DAF≌△FEC，∴DF=EC，∴DF=BE．【点评】本题利用了中垂线的判定和性质，三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质求解．。
《线段的垂直平分线》教案 (公开课)2022年北师大版数学下册
1．3线段的垂直平分线第1课时线段的垂直平分线1．掌握线段垂直平分线的性质；(重点)2．探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的问题．(难点)一、情境导入如下列图，有一块三角形田地，AB＝AC＝10m，作AB的垂直平分线ED交AC 于D，交AB于E，量得△BDC的周长为17m，你能帮测量人员计算BC的长吗？二、合作探究探究点一：线段的垂直平分线的性质定理【类型一】应用线段垂直平分线的性质定理求线段的长如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC 于D，假设△DBC的周长为35cm，那么BC 的长为()A．5cmB．10cmC．15cm解析：∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD ＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20，∴BC＝35－20＝15cm.应选C.方法总结：利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．【类型二】线段垂直平分线的性质定理与全等三角形的综合运用如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答；(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD ＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.方法总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．探究点二：线段的垂直平分线的判定定理如下列图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，试说明AD 与EF 的关系．解析：先利用角平分线的性质得出DE ＝DF ，再证△AED ≌△AFD ，易证AD 垂直平分EF .解：AD 垂直平分EF .理由如下：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠EAD ＝∠F AD ，∠AED ＝∠AFD .在△ADE 和△ADF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠DAE ＝∠DAF ，∠AED ＝∠AFD ，AD ＝AD ，∴△ADE ≌△ADF ，∴AE ＝AF ，DE ＝DF ，∴直线AD 垂直平分线段EF .方法总结：当一条直线上有两点都在同一线段的垂直平分线上时，这条直线就是该线段的垂直平分线，解题时常需利用此性质进行线段相等关系的转化．三、板书设计1．线段的垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．2．线段的垂直平分线的判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因此本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，到达了教学的目的．缺乏之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行稳固和提高.第2课时 利用直角坐标系和方位描述物体间的位置1．了解用平面直角坐标系和方位来表示物体间的位置的意义；(重点) 2．利用坐标表示物体间的位置；(重点)3．建立适当的直角坐标系，利用平面直角坐标系解决实际问题．(难点)一、情境导入“怪兽吃豆〞是一种计算机游戏，如下列图的标志表示“怪兽〞先后经过的几个位置．如果用(1，2)表示“怪兽〞按图中箭头所指路线经过的第三个位置，那么你能用同样的方式表示图中“怪兽〞经过的其他几个位置吗？二、合作探究探究点一：建立适当的平面直角坐标系如图是某公园景点的平面图(比例尺为1∶10000)，请建立适当的平面直角坐标系，用坐标分别表示各建筑的位置．解析：根据“利于点的坐标表示〞的原那么，选广场为原点比较适当，其他各地与广场的水平距离和垂直距离都相对较小．解：如图，以广场为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，cm，根据比例尺实际距离为150m，以1m为一个单位长度，图中各地的坐标为广场(0，0)，打靶场(－150，75)，钓鱼台(－75，225)，碰碰车(0，150)，动物馆(75，225)．方法总结：利用平面直角坐标系，绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；(3)在坐标平面内描出这些点，确定出各点的坐标和各个地点的名称．注意：在构建直角坐标系时，一般选水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，或向东为x轴正方向，向北为y轴正方向．探究点二：用方向、距离描述位置如下列图是小明家附近的简单地图. OA＝2cm，OB，OP＝4cm，C为OP的中点．答复以下问题(“O〞处表示小明家)：(1)图中到小明家距离相等的是哪些地方？(2)图中商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么位置？解析：首先根据图形确定方向，然后再在对应射线上确定距离．解：(1)学校和公园；(2)图中商场在小明家北偏西30°cm处，学校在小明家北偏东45°方向(或东北方向)2cm处，公园在小明家南偏东60°方向2cm处，停车场在小明家南偏东60°方向4cm处．方法总结：(1)用方向和距离表示物体位置时必须选定一个统一的参照物，同时也要一对数，这对数是相对于参照物的方位和距离；(2)用方向和距离确定物体位置时要考虑方向在前、距离在后的顺序．三、板书设计利用直角坐标系和方位描述物体间的位置1．建立适当的平面直角坐标系表示平面内点的位置；2．用方向、距离描述位置．将现实生活中常用的定位方法呈现给学生，进一步丰富学生的数学活动经验，培养学生观察、分析、归纳、概括的能力．教学过程中创设生动活泼、直观形象且贴近他们生活的问题情境；另一方面，为学生创造自主学习、合作交流的时机，促使他们主动参与、积极探究.。
16.2.1 线段的垂直平分线的性质经典课件链接中考
用尺规 作线段
1.分别以点A，B为圆心，以大于
1 2
AB
的长为半径，在线段AB的两侧画弧，
C
的垂直 平分线
作法
分别相交于点C，D；
2.连接CD.
B
直线 CD即为所求.
应用
D
验证结论
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．求证：PA
=PB．
l
证明：∵ l⊥AB，
P
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
A
C
B
∴ PA =PB．
变式练习1 （1）有时我们感觉两个平面图形成轴对称的，如何验证呢？
P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系．
P1A _＝___P1B
P2A __＝__ P2B
P3A __＝__ P3B
A
P3 P2
P1 B
l
猜想： 点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等． 由此你能得到什么结论？
命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 你能验证这一结论吗？
16.2.1 线段的垂直平分线的性质
教学目标
线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的判定
感悟新知
知识点
线段垂直平分线的性质
探究 如图, 直线l垂直平分线段
AB，P1, P2, P3, ……是l上的点， 请你猜想点P1，P2, P3, …到点 A A与点B的距离之间的数量关系.
P3 P2 P1
B
垂直平分线定义
垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线.
《线段的垂直平分线的性质与判定》案例
《线段的垂直平分线的性质与判定》案例教学目标：1、掌握线段垂直平分线的性质和判定。
2、理解线段垂直平分线的性质的推导过程。
3、培养学生逆向思维能力和严谨的学习品质。
重点与难点：重点：线段垂直平分线的性质与判定。
难点：理解线段垂直平分线的性质的推导过程。
教学过程：＜一＞创设情境线段AB的垂直平分线与线段AB的对称轴有什么关系？＜二＞探究新知1.直线I是线段AB的垂直平分线，P是I上一点，试观察PA.PB的长度有什么关系？2.不论P点在直线I上怎样移动，上述结论还成立吗？你能说一说理由说明：1、因为I是线段AB的直平分线，从而点A与点B关于直线I对称,于是沿I折叠时A与B重合，又P对称在对称轴I上，所以PA=PB.2、在探究新知问题2的过程要培养学生用运动的、变化观点来分析事物，让P 点在L上移动，在这个过程中采用让学生量一量，测一测，运用由“特殊”到“一般”的思维方法来实现这一教学目标。
3、通过上述分析，你能得出什么结论？由此得出：线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的端点的距离相等。
阅读与分析反过来，和两点A，B的距离相等的点是否在线段的直平分线上？设P点和A，B两点的距离相等，作/ APB的平分线PC(由折叠得到)。
在关于直线PC的轴反射下，射线PB与PA重合，又由于PA= PB因此B点与A重合。
从而A, B两点关于直线PC对称，因此PC是线段AB的垂直平分线。
(1)你能根据上述短文画出几何图形？(2)通过上述的阅读与分析你得到什么结论？由此得出：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
＜三〉应用新知1.尺规作图是把限定用直尺和圆规来画图F面是用尺规作图的方法作线段AB的垂直平分线的步骤。
(1)分别以点A和B为圆心，以大于1/2AB的长度为半径作弧，两弧相交于点C和Do(2)作直线CD直线CD就是线段AB的垂直平分线。
问题＜一＞:请根据上述步骤作出AB的垂直平分线。
问题＜二＞:你能说出上述作图的根据吗？理由：因为两点确定一条直线，所以要作出线段AB的垂直平分线，只要找出线段AB的垂直平分线上任意两点就可以了。
121线段垂直平分线的性质与判定
O
P
B
如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易 的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保 持射出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？
A
O
P
B PA＞PB
如图，用一根木棒和一根弹性均衡的橡皮筋，做一个简易 的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保
持射出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？ A P
C
O
B
D
一、线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
二、线段垂直平分线的判定性质:
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分 线上。
三、关系：互逆
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点与这 条线段两个端点的距离相等
与一条线段两个端点距离相等的 点，在这条线段的垂直平分线上
M A
E C
解:
∵OM⊥PA于E，EA=EP，点C在OM上， ∴CA=CP(线段垂直平分线上的点与这条线 O
P DF N
段的两个端点的距离相等）
B
同理，
∵ON⊥PB于F，FB=FP，点D在ON上，
∴DB=DP
∵△PCD周长=CP+CD+DP=CA+CD+DB=AB 又∵AB=15cm
∴△PCD周长=15cm
A
O
B
C ≌RtΔ BOC（HL）
∴OA=OB
又∵CO⊥AB于O
∴C在AB的垂直平分线上
已知:如图,AC=AD，BC=BD， 求证：AB垂直平分CD。
证明:
A
∵AC=AD ∴点A在CD的垂直平分线上（ 与一条线段两
最新人教版八年级数学《线段的垂直平分线的性质及其判定》省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
A
1、∵ AD为BC旳中垂，线
B
∴AB＝AC（ 线__段_垂__直__平_分__线__上_旳__点__与_这__条__线_段）
两个端点旳距离相等．
D
C
2、∵ _______A_B__＝__A_C__________ ，
小于1 AB旳长为半径作弧，两
2
弧相交于C、D两点；
A
B ⑵作直线CD .
CD即为所求旳直线.
D 结论：对于轴对称图形，只要找到任意一组相应点，作出相 应点所连线段旳垂直平分线，就得到此图形旳对称轴.
【跟踪训练】
1.下图中旳五角星有几条对称轴？作出
n
这些对称轴． A
B
作法：（1）找出五角星旳一对
相应点A和B，连接AB．
思索：生活中旳数学
A
某区政府为了以便居民旳生
活，计划在三个住宅小区A、B、
C之间修建一种购物中心，试问，
该购物中心应建于何处，才干
使得它到三个小区旳距离相等。
·
B
C
尺规作图
怎样用尺规作图旳措施经过直线外一点作已知直线 旳垂线？
已知：直线AB和AB上一点C（如图） 求作：AB旳垂线，使它经过点C
作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB旳两旁。
随堂练习
1、如图,已知AB是线段CD旳垂直平 分线,E是AB上旳一点,假如EC=7cm, 那么ED= 7 cm;假如∠ECD=600,那 么∠EDC= 60 0.
C
AE
B D
2、如图所示，在 △ABC中， AB=AC＝32， MN是AB旳垂直 平分线，且有 BC=21，
人教版八年级上册数学13.1.2线段的垂直平分线优秀教学案例
针对本节课的内容，我设计了一系列具有层次性的练习题，让学生在练习中巩固知识，提高解题能力。同时，我将课堂拓展到生活中，让学生观察身边的线段垂直平分线，体会数学与生活的紧密联系，培养学生的应用意识。
在评价方式上，我注重过程性评价与终结性评价相结合，全面、客观地评价学生在课堂上的表现，鼓励学生积极参与，大胆表达，培养学生的自信心。通过本节课的学习，学生能掌握线段的垂直平分线的性质和作法，提高空间想象能力和逻辑思维能力，为后续几何学习打下坚实基础。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.学生能够理解线段的垂直平分线的概念，掌握其性质和作法。
3.小组合作的学习方式：组织学生进行小组讨论和合作，让学生在互动中交流思想，共享成果。小组合作不仅培养了学生的团队合作精神，还提高了学生的表达和沟通能力，促进学生的全面发展。
4.反思与评价的培养环节：在教学过程中，注重引导学生进行反思与评价，让学生总结经验，提高自我认知。通过互评和自评，培养学生的评价能力和批判性思维，使学生能够更好地发现自己的不足，不断进步。
3.鼓励学生提出问题，培养学生的质疑精神和批判性思维。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论，促进学生之间的交流与合作。
2.设计具有挑战性的任务，让学生在合作中解决问题，提高团队协作能力。
3.引导学生进行小组评价，培养学生的评价能力和自我反思能力。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己的学习过程进行反思，总结经验，提高自我认知。
《线段的垂直平分线》课件
线段垂直平分线是数学竞赛中常用的解题工具之一。在数学竞赛中，常常会遇到一些复杂的几何问题 ，需要利用线段垂直平分线的性质来解决。通过深入理解线段垂直平分线的性质和定理，可以更好地 解决数学竞赛中的几何问题，提高解题效率。
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《线段的垂直平分线》PPT 课件
目录
• 引言 • 线段垂直平分线的性质证明 • 线段垂直平分线的作法 • 线段垂直平分线的应用实例
01
引言
什么是线段的垂直平分线是一条 过线段中点且垂直于线段 所在直线的直线。
性质
垂直平分线上的任意一点 到线段两端点的距离相等 。
详细描述
首先，连接两个给定点并确定中点。 然后，同样使用直角三角板或量角器 ，过中点作与线段垂直的垂线。最后 ，标记垂足，完成作图。
通过三个给定点作已知线段的垂直平分线
总结词
通过三个给定点作已知线段的垂直平分线的方法较为复杂，需要先确定三个点 的中点，然后过中点作垂线。
详细描述
首先，连接三个给定点并确定其中两个点的中点。然后，使用直角三角板或量 角器，过中点作与线段垂直的垂线。接着，再确定第三个点与前两个点的中点 ，重复上述步骤。最后，标记所有垂足，完成作图。
04
线段垂直平分线的应 用实例
线段垂直平分线在几何图形中的应用
总结词
解决几何图形问题
详细描述
线段的垂直平分线在几何图形中有着广泛的应用。它可以用来解决与线段、三角 形、四边形等有关的几何问题，例如线段的等分、角度的确定等。通过利用线段 垂直平分线的性质，可以简化几何图形的解题过程。
线段垂直平分线在日常生活中的应用
在三角形中，垂直平分 线将三角形分为两个面
积相等的子三角形。
《线段的垂直平分线》典例精析1
《线段的垂直平分线》典例精析1【例1】如图，△ABC中AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD的周长是（）A．9 B．8 C．7 D．6【思路点拨】先根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，即AD+CD=BD+CD=AC，再根据△BCD 的周长=BC+BD+CD即可进行解答．【答案】A；【解析】因为BD=AD,所以△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9.【总结升华】此题正是应用了线段垂直平分线的性质定理，也就是已知直线是线段垂直平分线，那么垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，从而把三角形的边进行转移，进而求得三角形的周长．举一反三：【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点【答案】D；提示:根据等边对等角、三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质定理即可推得选项A、B、C正确；所以选D,另外，注意排除法在解选择题中的应用．【变式2】如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．【答案】解：∵DE为AB的中垂线，∴AE=BE，∵FG是AC的中垂线，∴AG=GC，△AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE和AG用BE和GC代替得：△AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，所以△AEG的周长为BC的长度即7．【例2】如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证：AD是线段BC的垂直平分线．【答案与解析】证明：∵ AB=AC（已知）∴∠ABC=∠ACB (等边对等角)又∵∠ABD=∠ACD (已知)∴∠ABD-∠ABC =∠ACD-∠ACB (等式性质)即∠DBC=∠DCB∴DB=DC （等角对等边）∵AB=AC（已知）DB=DC（已证）∴点A和点D都在线段BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）∴AD是线段BC的垂直平分线。
八年级数学上册《线段垂直平分线的性质和判定定理》优秀教学案例
-学生在学习过程中，认识到数学知识的重要性，树立正确的价值观。 Nhomakorabea三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解线段垂直平分线的性质和判定定理，我将采用生活化的情景创设，将抽象的数学概念与学生的实际生活相结合，提高学生的学习兴趣和参与度。
1.利用多媒体展示生活中常见的对称图形，如剪纸、建筑等，让学生直观感受对称美的同时，引导学生思考这些图形中隐藏的几何性质。
-线段垂直平分线的性质有哪些？
-如何判定一条直线是线段的垂直平分线？
-线段垂直平分线在实际生活中的应用有哪些？
2.教师巡回指导，关注每个小组的讨论情况，适时给予提示和引导。
（四）总结归纳
1.教师带领学生回顾本节课所学内容，总结线段垂直平分线的性质和判定定理。
-性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
1.利用多媒体展示生活中常见的对称图形，如剪纸、建筑等，引导学生观察并思考这些图形的特点，从而引出线段垂直平分线的概念。
-提问：“同学们，你们在生活中见到过哪些对称的图形？”
-学生回答后，教师总结：“这些对称图形都有一条特殊的线，那就是我们今天要学习的线段垂直平分线。”
2.通过实际问题导入，如“从学校到家有两条路，如何确定哪条路更短？”引导学生思考线段垂直平分线在实际生活中的应用。
-学生能够掌握尺规作图的基本技能，准确绘制线段的垂直平分线。
-学生能够运用尺规作图和垂直平分线的知识解决几何图形中的位置关系问题。
3.能够运用线段垂直平分线的性质和判定定理，解决实际生活中的问题，如最短路径、对称设计等。
（二）过程与方法
1.探索与实践：通过观察、操作、画图等实践活动，引导学生自主探索线段垂直平分线的性质和判定定理。
《线段的垂直平分线的性质和判定》精品课件
3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E 为 CD 的中点， 连接 AE，BE，BE⊥AE，延长 AE 交 BC 的延长线于 点 F. 求证：(1)AD=FC；
证明：∵AD∥BC， ∠ADE=∠FCE. ∵E是CD的中点，∴DE=CE. 在△ADE和△FCE 中， ∠ADE=∠FCE，
的垂直平分线上
平分线上
A
B
课堂小结
1 从课后习题中选取； 2 完成练习册本课时的习题。
DE=CE， ∠AED=∠FEC. ∴△ADE≌△FCE(ASA). ∴AD=FC
4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点， 连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE 交 BC 的延长线于点 F.求证：(2)AB=BC+AD
证明：由(1)知△ADE≌ △FCE，
∴AD=FC，AE=FE.
D
和点
E
为圆心，大于
1
2 DE
的长为半径作弧，两弧相交于点 F .
F
（3）连接 CF.
直线 CF 就是所求作的垂线.
A D C EB
【点击打开视频】
课堂练习
1.如图，在△ABC中，DE 是 BC 的垂直平分线.若
AB = 5，AC = 8，则△ABD的周长是___1_3____.
课堂练习
2. 如图，DE 是△ABC的边 BC 的垂直平分线，分别 交边 AB， BC 于点 D、E.若 AB = 12，△ACD的周
B
的距离，你有什么发现？相等
l
【点击打开几何画板文件】
探究新知
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
P3 P2
P1
2、线段垂直平分线的性质与判定
A
M
M’ P
你能依据例1得到什么结论？ 结论： 三角形三边垂直平分线交于一点， 这一点到三角形三个顶点的距离相等。
B C ∴PA=PC. N 到线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上) ∴点P在AC的垂直平分线上(; N’ ∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于点 P.
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
PA=PB
到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上
任何图形都是有点组成的。因 三、 此我们可以把图形看成点的集 线段的垂直平分线的集合定义： 合。由上述定理和逆定理，线 线段的垂直平分线可以看作是到线 段的垂直平分线可以看作符合 段两上端点距离相等的所有点的集合 什么条件的点组成的图形？
烟威 高 速 公 路
线段的垂直平分线
动手操作：作线段AB的中垂线MN，垂
足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB； M P
量一量：PA、PB的长，你能发现什么？
PA=PB P1A=P1B ……
由此你能得出什么规律
命题：线段垂直平分线上的
点到这条线段两个端点的距 离相等。
A C P1 B
N
线段的垂直平分线
A
实际问题2
在烟威高速公路L的同侧，有两个化 工厂A、B，为了便于两厂的工人看病 市政府计划在公路边上修建一所医院， 使得两个工厂的工人都没意见，问医 B 院的院址应选在何处？
烟威 高 速 公 路
线段的垂直平分线
实际问题
2、如图，在直线L上求 作一点P，使PA=PB.
线段的垂直平分线的性质和判定
已知：直线MN AB,垂足为C，
P
且AC BC, P是MN上任意一点.
求证：PA PB
A
C
B
N
已知：直线MN AB,垂足为C，且AC BC , P是MN上任意一点.
求证：PA PB
M
为自己点赞吧！
P
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC，PC=PC,
A
∴△PCA≌△PCB(SAS) ；
C
B
这条线段两个端点的距离相等. )
N
定理: 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?如果是，
请加以证明.
如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个
点在这条线段的垂直平分线上．
如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个 点在这条线段的垂直平分线上．
△ABC内一点，且 OB = OC.
A
求证：直线AO垂直平分线段BC．
证明：
∵AB=AC
O
∴点A在BC的垂直平分线上(到一条线段两个端点
距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上)
B
C
同理,点O在BC的垂直平分线上
∴直线 AO 垂直平分线段BC(两点确定一条直线)
1.如图,是一个三角形测平架,已知AB＝AC,在BC的中点D
1.判断一个数学结论是否正确，必须进行有根有据的证明. 2.文字证明题的三个步骤：画出几何图形；
写出已知和求证； 写出证明过程.
1．如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上 的一点，如果EC=7cm，那么ED=_____cm；
C
A
E
B D
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《线段的垂直平分线的性质与判定》案例
教学目标：
1、掌握线段垂直平分线的性质和判定。
2、理解线段垂直平分线的性质的推导过程。
3、培养学生逆向思维能力和严谨的学习品质。
重点与难点：
重点：线段垂直平分线的性质与判定。
难点：理解线段垂直平分线的性质的推导过程。
教学过程：
＜一＞创设情境
线段AB的垂直平分线与线段AB的对称轴有什么关系？
＜二＞探究新知
1.直线l是线段AB的垂直平分线，P是l上一点，试观察PA.PB的长度有什么关系？
2.不论P点在直线l上怎样移动，上述结论还成立吗？你能说一说理由吗？
-1-
说明：1、因为l是线段AB的直平分线，从而点A与点B关于直线l对称，于是沿l折叠时A与B重合，又P对称在对称轴l上，所以PA=PB. 2、在探究新知问题2的过程要培养学生用运动的、变化观点来分析事物，让P
点在L上移动，在这个过程中采用让学生量一量，测一测，运用由“特殊”到“一般”的思维方法来实现这一教学目标。
3、通过上述分析，你能得出什么结论？
由此得出：线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的端点的距离相等。
阅读与分析
反过来，和两点A，B的距离相等的点是否在线段的直平分线上？
设P点和A，B两点的距离相等，作∠APB的平分线PC（由折叠得到）。
在关于直线PC的轴反射下，射线PB与PA重合，又由于PA＝PB。
因此B点与A重合。
从而A，B两点关于直线PC对称，因此PC是线段AB的垂直平分线。
（1）你能根据上述短文画出几何图形？
（2）通过上述的阅读与分析你得到什么结论？
由此得出：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
<三>应用新知
-2-
1.尺规作图是把限定用直尺和圆规来画图。
下面是用尺规作图的方法作线段AB的垂直平分线的步骤。
(1)分别以点A和B为圆心，以大于1/2AB的长度为半径作弧，两弧相交于点C和D。
(2)作直线CD。
直线CD就是线段AB的垂直平分线。
问题＜一＞：请根据上述步骤作出AB的垂直平分线。
问题＜二＞：你能说出上述作图的根据吗？
理由：
因为两点确定一条直线，所以要作出线段AB的垂直平分线，只要找出线段AB的垂直平分线上任意两点就可以了。
根据“和一条线段两端距离相等的点，在这条垂直平分线上”。
反馈练习：
1、线段AB、BC的垂直平分线相交于点P，试问线段PA、PB、PC的长度是否相等？你能说一说理由吗？
2、有一家工厂的三栋厂房形成了一个三角形，为方便职工生活，准备建一个食堂，请问食堂建在什么位置才能使三栋厂房内的工人走的路相等？
小结：
1. 线段垂直平分线有哪些性质？
-3-
2.如何判定一条直线是否为线段的垂直平分线? -4-。