巧解指数、对数函数综合题

巧解指数、对数函数综合题

指数函数y ＝a x 和对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们有共同的底数，且底数起了核心作用，其变化规律是：当a ＞1时，它们在各自的定义域内都是增函数；当0＜a ＜1时，它们在各自的定义域内都是减函数，因此在解决指数、对数函数型问题时，以底数为突破口，往往能够快速解题.

1.共享底数

对数式与指数式互化，其底数一致，即log a N ＝b ，a b ＝N .利用它可以解决指数、对数方程及互化等问题.

例1 方程log 3(1－2·3x )＝2x ＋1的解x ＝________.

解析 将对数式化为指数式，得32x ＋1＝1－2· 3x ，

即3·(3x )2＋2·3x －1＝0，得3x

＝13，故x ＝－1.答案 －1 2.亮出底数

在有些指数、对数函数问题，特别是图象问题中，只要突出底数作用，即亮出底数，根据函数的单调性，就可解决.

例2 当a ＞1时，在同一坐标系中，能表示函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图象的是( )

解析 由a ＞1时，有0＜1a ＜1，则指数函数y ＝a －x ＝(1a )x 在R 上是

减函数，对数函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，故排除B 、C 、

D.答案 A

3.变换底数

对数或指数运算最怕是不同底，这时可利用换底公式等手段变换底数.

例3 若log a 2＜log b 2＜0，则( )

A.0＜a ＜b ＜1

B.0＜b ＜a ＜1

C.a ＞b ＞1

D.b ＞a ＞1

解析 化为同底，有1log 2a ＜1log 2b ＜0，从而log 2b ＜log 2a ＜0，即log 2b ＜log 2a ＜log 21.

∵对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数.∴0＜b ＜a ＜1.答案 B

4.讨论底数

当底数不定时，常分0＜a ＜1与a ＞1两种情况进行讨论.

例4 函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的差为5，则a ＝________. 解析 由题意知，a ＞0，且a ≠1.①当a ＞1时，有a 1－a 0＝5，即a ＝6；②当0＜a ＜1时，有a 0－a 1＝5，即a ＝－4(舍去).综上知，a ＝

6.答案 6

5.消去底数

有时候指数及对数问题的底数存在，会给解题带来一定的麻烦，我们还可利用转化的思想(如用同底法、换底法等)消去底数，使问题简化. 例5 设0＜x ＜1，a ＞0且a ≠1.试比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小. 解 作商⎪⎪⎪⎪

⎪⎪log a (1－x )log a (1＋x )＝|log (1＋x )(1－x )|， ∵0＜x ＜1，∴0＜1－x ＜1,1＜1＋x ＜2,0＜1－x 2＜1，

∴|log (1＋x )(1－x )|＝－log (1＋x )(1－x )

＝log(1＋x)

1

1－x

＝log(1＋x)

1＋x

1－x2

＞log(1＋x)(1＋x)＝1.∴|log a(1－x)|＞

|log a(1＋x)|.