高考指数函数与对数函数专题复习

例1.设a ＞0, f (x)＝x

x e

a

a e -是R 上的奇函数.

(1) 求a 的值;

(2) 试判断f (x )的反函数f －

1 (x)的奇偶性与单调性. 解：(1) 因为)x (f 在R 上是奇函数, 所以)0a (1a 0a a

1

0)

0(f >=⇒=-⇒

=, (2)

=-⇒∈++=--)x (f )R x (2

4

x x ln )x (f 121

-=++-24x x ln 2=++2

4x x ln 2)x (f 1--, ∴)x (f 1-为奇函数.

用定义法可证)x (f 1

-为单调增函数.

例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2

a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在,

说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 解：设x ax )

x (u 2-=, 对称轴a

21x =

. (1) 当1a >时, 1a 0

)2(u 2

a 21>⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≤;

(2) 当1a 0<<时, 81a 00)4(u 4

a 21

≤<⇒⎪⎩

⎪⎨⎧>≥. 综上所述: 1a >

1.（安徽卷文7）设

232

555

322555a b c ===（）,（），（）

，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a

【答案】A 【解析】2

5

y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2

()5x

y =在0x >时是减函数，所以c b >。

2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a

x

(ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可

能是【答案】D

【解析】对于A 、B 两图，|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b

a <1得-1

a

<0,矛盾，对

于C 、D 两图，0<|b a |<1,在C 图中两根之和-b

a <-1，即

b a

>1矛盾，选D 。

3.（辽宁卷文10）设525b

m ==，且112a b +=，则m =【答案】D

（A ）

10 （B ）10 （C ）20 （D ）100

解析：选A.211

log 2log 5log 102,10,

m m m m a b +=+==∴=又0,10.m m >∴=

4.（全国Ⅰ卷理8文10）设a=3

log 2,b=In2,c=1

2

5

-

,则【答案】C

A. a

B. b

C. c

【解析】 a=3log 2=21log 3, b=In2=

21

log e ,而22log 3log 1e >>,所以a

c=1

2

5

-=

15

,而

2252log 4log 3

>=>,所以c

5.（全国Ⅰ卷理10）已知函数F(x)=|lgx|,若0

(22,)+∞ (B)[22,)+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞

【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视

a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b

2

22a a =+

>,从而错选A,这也是命题者的用苦良心之处.

【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或

1b a =

，所以a+2b=2

a a +

又0

2

()f a a a =+

,由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，

所以f(a)>f(1)=1+2

1=3,即a+2b 的取值范围是(3,+∞).

6.（全国Ⅰ卷文7）已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是

(A)

(1,)+∞ (B)[1,)+∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞

【答案】C

【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视

a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=

12a a +

≥,从而错选D,这也是命题者的用苦良心之处.

7.（山东卷文3）函数()()

2log 31x f x =+的值域为【答案】A

A.

()0,+∞ B. )0,+∞⎡⎣ C. ()1,+∞ D. )1,+∞⎡⎣

【解析】因为311x

+>，所以

()()22log 31log 10

x f x =+>=，故选A 。

【命题意图】本题考查对数函数的单调性、函数值域的求法等基础知识。

8.（陕西卷文7）下列四类函数中，个有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是

[ C ]

（A ）幂函数

（B ）对数函数 （C ）指数函数 （D ）余弦函数

【解析】因为x y

x y a

a a +=所以f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）。

9.（上海卷文17）若

x 是方程式

lg 2x x +=的解，则0x 属于区间 [答]（ ）

（A ）（0，1）. （B ）（1，1.25）. （C ）（1.25，1.75） （D ）（1.75，2）

解析：0

41

47lg )47()75.1(,2lg )(<-==-+=f f x x x f 由构造函数

10.（四川卷文2）函数y=log2x 的图象大致是高^考#资*源^网

(C)

(A) (B) (C) (D) 11.（天津卷文6）设

554a log 4b log c log ===2

5，（3），，则

【答案】D

(A)a

55a log 4log 5=1,=<2255(log 3)(log 5)=1,b =<544c log log 41

=>=，

所以c 最大，排除A 、B ；又因为a 、b

(0,1)∈，所以a b >，故选D 。

12.（浙江卷文2）已知函数 1()log (1),

f x x =+若()1,f α= α=

(A)0

(B)1

(C)2

(D)3

解析：α+1=2，故α=1，选B ，本题主要考察了对数函数概念及其运算性质，属容易题

13.（重庆卷文4）函数

164x

y =-的值域是【答案】C

（A ）[0,+∞） (B)

[0,4] (C) [0,4) (D) (0,4)