信号与系统2008第1章3讲

Signal and system
任意一个函数f(t)在区间[t1,t2]内，可以用这n个正 交函数的线性组合来近似表示：
n
f (t) c1g1(t) c2g2(t) ... cngn(t) crgr(t)
r1
在使近似式的均方误差最小的情况下，可分别求得 系数c1,c2,…,cn：
2
15
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单位冲激函数的特性：
单位冲激函数的积分是单位阶跃函数
t
u(t) ( )d (1.5 16)
(t) d u(t)
dt
(1.5 17)
16
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连续函数f(t)与单位冲激函数的乘积等于冲 激点的函数值与(t)相乘
f (t) (t) f (0) (t) (15 21)
若冲激点在t0处，且f(t)在t0处连续，则
f (t) (t t0) f (t0) (t t0)
17
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筛选特性：单位冲激函数与连续函数f(t) 的乘积的积分等于冲激点的函数值
f (t) (t)dt f (0) (1.5 14)
或
f (t) (t t0 )dt f (t0 )
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所谓完备，是指对任意函数f(t)，都可以用一无穷级 数表示：
f (t) cr gr (t)
r 1
此级数收敛于f(t)。上式即f(t)的正交分解。
三、基本信号及其时域特性 表示常用信号的连续函数
正弦函数 指数函数 抽样函数 钟形脉冲函数（高斯函数）
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t
1 t2 t1
t2 t1
f
(t)
n r1
2
crgr (t) dt
Signal and system
2
t
1 t2 t1
t2 t1
f
(t)
n r1
2
crgr (t) dt
令 d 2 0
则：
dci
ci
t2 t1
f
t2 t1
(t) gi (t)dt gi 2 (t )dt
1 ki
u(t-t0) 1
0
t0
t
11
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单位阶跃函数的特性：
t
R(t) u( )d
(1.5 7)
u(t) dR(t) (t 0) (1.5 8) dt
12
单位阶跃函数的接入特性：
f (t) sint • u(t)
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sint•u(t)
(t t0 ) (t t0 )
Signal and system
R(t)
1
1
t
R(t-t0) 1
t0
t
返回
10
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2、单位阶跃函数
0 t 0
u(t)
u(t) 1 t 0 (1.5 6)
1 0
t
若跳变点移至t0，则
u(t
t0 )
0 1
(t t0 ) (t t0 )
a
a0
(1.5 20)
证明： 1、当a>0时，令=at
(at)dt ( )d ( )
a
1
( )d
1
2
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正交函数集：
定义：在[t1,t2]区间上定义的n个非零实函数集
g1(t), g2(t) ,…,gn(t)，其中任意两个函数gi(t)、
gj(t)均满足：
t2 t1
gi (t)g j(t)dt
0
t2 t1
gi2 (t)dt
ki
i j
(1.4 13)
其中，ki为常数，称此函数集为正交函数集
18
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奇偶性：
(t) (t) (1.5 18)
(t) f (t)dt (t) f (t)d(t)
(t) f (t)dt f (0)
(t) f (t)dt f (0)
返回
19
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尺度变换：
(at) 1 (t)
定相应的系数an的问题了。
1
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如果系数要满足终结性，在表示式成立的时间 区间内， 要求基函数集 n(t),是正交函数集。
二、正交函数
在[t1,t2]区间上定义的非零实函数f1(t)与f2(t)，若满足 条件：
t2
t1
f1(t)
f2 (t )dt
0
(1.4 9)
则函数f1(t)与f2(t)为区间[t1,t2]上的正交函数。
0
t
信号在t0时刻接入：
sin（t)•u(t-t0)
f (t) sint • u(t t0 ) t0
0
t
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3、单位冲激函数(t) 矩形脉冲演变为冲激函数
G(t)
(t)
1
(1)
0
2
2
t
0
0
t
G(t)
1
u(t
2
)
u(t
2来自百度文库
)
(t
)
lim0 1
u(t
2
)
u(t
2
)
8
Signal and system
奇异信号 有简单的数学形式，但其本身、或其导数、 或其积分有不连续点。
1、单位斜坡函数 2、单位阶跃函数 3、单位冲激函数(t) 4、单位冲激偶'(t)
9
1、单位斜坡函数
R(t)
0 t
t0 t0
(1.5 5)
如果将起始点移至t0，则
0 R(t t0) t t0
(1.5 11)
14
狄拉克（Dirac）定义
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(t) (1)
满足狄拉克条件：
0
t
(t)dt 1
(t) 0 t 0
(1.5 12)
若冲激点在t=t0处，则定义式为：
(t
t0 )dt
1
(t t0 ) 0 (t t0 )
(t-t0) (1)
0
t0 t
Signal and system
1、信号的基函数表示法 复习 2、正交函数
3、基本信号及其时域特性
一、信号的基函数表示法 希望用统一的形式来表示任意信号：
数学上证明可以用一组基函数的线性组合 来表示信号
a f (t)
n
(t)
n
n=0,±1, ±2…
(1.3—1)
n
就变成了如何选择最佳的 基函数n(t),和确
t2 t1
f
(t) gi (t)dt
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常用的完备正交函数集: 1、三角函数集：
函数1，cost,cos2t, …,cosnt,...,sint, sin2t,… ,sinnt,…,
当所取函数有无限多个时，在区间[t0，t0+T]内组成 完备正交函数集。其中T=2/
2、复指数函数集： 函数集ejnt,n=0,±1, ±2,…,是一个复变函数集，在区 间[t0，t0+T]内是完备正交函数集。