材料力学第六章
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三 简单证明： 梁任意截面弯矩为 M Mi 每一弯矩单独引起的挠度为wi，根据挠曲线的近似 微分方程
EIwi" M i
" " EIw M EI w i i i M
EIw" M
w wi
材料力学 第六章 弯曲变形
Page 20
例一：求图示简支梁C点挠度
y A l/2 F C l/2 x B
' ' wC w C , wC wC
F a C b FRB x B
代入连续性条件 求得积分常数
Fb 2 Fab 2 C1 l b , C2 l a 6l 6l
材料力学 第六章 弯曲变形
Page 15
四 积分法总结
优点：适用范围广、精确 缺点：计算繁琐
材料力学 第六章 弯曲变形
Page 12
例二（续）
分段列挠曲线近似微分方程 AC EIw1'' M1 分段积分
Fa 2 Fb 2 ' EIw x l 2 C2 EIw x1 C1 2 2l 2l BC AC Fa 3 Fb 3 EIw x l 2 C2 x2 l D2 EIw1 x1 C1 x1 D1 2 6l 6l
Page 8
三 解题步骤
1.
写出弯矩方程，若弯矩不能用一个函数给出，要 分段写出 由挠曲线近似微分方程，积分出转角、挠度函数 利用边界条件、连续性条件确定积分常数，如果 分n段写出弯矩方程，则有2n个积分常数
2.
3.
材料力学 第六章 弯曲变形
Page 9
例一
悬臂梁端部受载F=200N，圆形截面直径d=10mm，长度为 l=50mm，材料的杨氏模量为E=210GPa，试求外伸端的转 角和挠度。 解：任意横截面的弯矩为
材料力学 第六章 弯曲变形
Page 4
基本概念（续）
y x
θ w dx
θ dw
F
x
挠曲线方程：w=f(x)
挠度与转角的关系：
dw 小变形 tan dx
dw tan w' dx
材料力学 第六章 弯曲变形
Page 5
二 挠曲线方程推导
1
w'' 1 w
4）求得
FRB 3ql 8
5 ql 2 其余支反力： FRA ql M RA （逆时针） （上） 8 8
材料力学 第六章 弯曲变形
Page 26
二 总结：超静定梁的求解方法
1 ）解除多余约束，以多余约束力代替多余约束 （建立相当系统）； 2 ）列变形协调条件； 3 ）由物理关系建立补充方程； 4 ）求解多余反力、支反力； 5 ）求解其他问题(内力、应力、应变等)
' 1
'' EIw BC 2 M2
材料力学 第六章 弯曲变形
Page 13
例二（续）
y FRA A x1 x2 l a C F b FRB x B
代入边界条件
w1 x 0 0, w2
1
x2 l
0
求得积分常数
D1 D2 0
材料力学 第六章 弯曲变形
Page 14
例二（续）
y FRA A x1 x2 l
材料力学 Mechanics of Materials
苏文政 土木与安全工程学院 力学教研室 wzhsu@126.com
第六章 弯曲变形
§6.1工程中的弯曲变形问题
§6.2挠曲线微分方程
§6.3用积分法求弯曲变形
§6.4用叠加法求梁的变形
§6.5简单超静定梁 §6.6提高弯曲刚度的一些措施
材料力学 第六章 弯曲变形
y A x l θB B x wB
M F l x
挠曲线近似微分方程为
EIw'' M F l x
积分，得 EIw' F x 2 Flx C ; EIw F x 3 Fl x 2 Cx D 2 6 2 ' 代入边界条件 wA A 0, wA 0 求得积分常数 C 0, D 0
' 2 3 2
小变形
1
w
' 2
1
1
Biblioteka Baidu
w"
高等数学
M EI
2 d w M '' w 2 dx EI
材料力学
2 d w M ——挠曲线近似微分方程 '' w 2 dx EI
材料力学 第六章 弯曲变形
Page 6
§6.3用积分法求弯曲变形
一 微分方程的积分
M dw dx C 2 EI d w M d dw M dx 2 M dx EI dx dx EI w dx dx Cx D EI
Page 2
§6.1 工程/生活中的弯曲变形
材料力学 第六章 弯曲变形
Page 3
§6.2 挠曲线微分方程
一 基本概念 挠曲线：变形后梁的轴线；
挠度：横截面形心沿y方向位移，向上为正；
y x θ w dx θ dw F
x
截面转角（θ）：横截面对其原来位置转过的角度， 逆时针为正；等于挠曲线的倾角
任意点的挠度均包含刚体位移和形变位移两部分
材料力学 第六章 弯曲变形
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例三：求图示梁C点的挠度
l A B
F A B C
a
F C
分段变形叠加法
=
F A B C
+
F A Fa B θB C w1
B
F C w2
Fal Fa3 Fa 2 wC w1 w2 a l a 3EI 3EI 3EI
材料力学 第六章 弯曲变形
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§6.6 提高弯曲刚度的一些措施
改善结构形式，减小弯矩数值 合理安排约束 合理加载 增加支座 选择合理的截面形状 增大截面惯性矩
材料力学 第六章 弯曲变形
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材料力学 第六章 弯曲变形
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§6.5简单超静定梁
一 基本概念 超静定梁：支反力只用静力 平衡方程不能全部确定 多余约束：多于维持平衡所必须的约束
F
超静定次数：多余约束或多余支反力数目 多余反力：与多余约束相 应的支反力或支反力偶矩
F
相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统
材料力学 第六章 弯曲变形
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例二
求图示简支梁的弯曲变形
y FRA A x1 x2 l a C F b FRB x B
解：1）求出梁的支反力 分段列出弯矩方程
Fb Fa FRA , FRB l l
Fb x1 0 x1 a AC段 M 1 l Fa BC段 M 2 l x2 a x2 l l
五 刚度条件
w max w max
练习：写边界条件和连续性条件
A B
C
D
边界条件 wA 0; wB 0
' ' w w ; 或 w w 连续性条件 C C C C C C ' ' wD wD ; D D 或wD w D
如何确定积分常数？
材料力学 第六章 弯曲变形
Page 7
二 积分常数的确定
1 边界条件
w0 w0
w 0, w' 0
w
2 连续性条件
F
' ' w w , w w
F
' ' w w , w w
材料力学 第六章 弯曲变形
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引例：求解超静定问题
q A l B
解：1）本例为一次超静定问题，解除B点约束，建立 相当系统
B A FRB
2）变形协调条件为 wB wBq wBR 0
B A
B A FRB
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材料力学 第六章 弯曲变形
例题（续）
B A
B A FRB
3）物理关系为
FRBl 3 ql 4 wBq , wBR 8EI 3EI ql 4 FRB l 3 0 补充方程 8EI 3EI
§6.4 用叠加法求梁的变形
一 叠加原理 当梁上同时作用几个载荷时，任一横截面的总位 移，等于各载荷单独作用时该截面位移的矢量和
F1 w F1 w1 F2
=
F2
+
w2
二 适用条件
材料服从胡克定律和小变形条件——挠度和转角均 与载荷成线性关系
材料力学 第六章 弯曲变形
Page 19
§6.4 用叠加法求梁的变形
材料力学 第六章 弯曲变形
Page 17
练习（续）
y a x b l
边界条件 w x0 0; x0 0 连续性条件
w xa w xa ; xa xa w xb w xb ; xb xb
Page 18
材料力学 第六章 弯曲变形
=
y F C l/2 l/2 x B
y A l/2 C l/2 x B
+
A
wC wC q wC F
5ql 4 Fl 3 384 EI 48EI
材料力学 第六章 弯曲变形
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例二：求图示梁C点的挠度
l A F B a C
F A wB B C
B
w1
Fl 3 Fl 3 Fl 2 Fl 2 wC wB w1 B a a 2l 3a 3EI 3EI 2 EI 6 EI
例一（续）
F 2 故 EIw x Flx 2 F 3 Fl 2 EIw x x 6 2
'
y A x l θB B x wB
2 3 Fl Fl ' 从而在B端 B wB , wB 2 EI 3EI
代入数值，θB=-0.00242rad；wB=-0.0805mm
材料力学 第六章 弯曲变形
EIwi" M i
" " EIw M EI w i i i M
EIw" M
w wi
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例一：求图示简支梁C点挠度
y A l/2 F C l/2 x B
' ' wC w C , wC wC
F a C b FRB x B
代入连续性条件 求得积分常数
Fb 2 Fab 2 C1 l b , C2 l a 6l 6l
材料力学 第六章 弯曲变形
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四 积分法总结
优点：适用范围广、精确 缺点：计算繁琐
材料力学 第六章 弯曲变形
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例二（续）
分段列挠曲线近似微分方程 AC EIw1'' M1 分段积分
Fa 2 Fb 2 ' EIw x l 2 C2 EIw x1 C1 2 2l 2l BC AC Fa 3 Fb 3 EIw x l 2 C2 x2 l D2 EIw1 x1 C1 x1 D1 2 6l 6l
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三 解题步骤
1.
写出弯矩方程，若弯矩不能用一个函数给出，要 分段写出 由挠曲线近似微分方程，积分出转角、挠度函数 利用边界条件、连续性条件确定积分常数，如果 分n段写出弯矩方程，则有2n个积分常数
2.
3.
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例一
悬臂梁端部受载F=200N，圆形截面直径d=10mm，长度为 l=50mm，材料的杨氏模量为E=210GPa，试求外伸端的转 角和挠度。 解：任意横截面的弯矩为
材料力学 第六章 弯曲变形
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基本概念（续）
y x
θ w dx
θ dw
F
x
挠曲线方程：w=f(x)
挠度与转角的关系：
dw 小变形 tan dx
dw tan w' dx
材料力学 第六章 弯曲变形
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二 挠曲线方程推导
1
w'' 1 w
4）求得
FRB 3ql 8
5 ql 2 其余支反力： FRA ql M RA （逆时针） （上） 8 8
材料力学 第六章 弯曲变形
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二 总结：超静定梁的求解方法
1 ）解除多余约束，以多余约束力代替多余约束 （建立相当系统）； 2 ）列变形协调条件； 3 ）由物理关系建立补充方程； 4 ）求解多余反力、支反力； 5 ）求解其他问题(内力、应力、应变等)
' 1
'' EIw BC 2 M2
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例二（续）
y FRA A x1 x2 l a C F b FRB x B
代入边界条件
w1 x 0 0, w2
1
x2 l
0
求得积分常数
D1 D2 0
材料力学 第六章 弯曲变形
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例二（续）
y FRA A x1 x2 l
材料力学 Mechanics of Materials
苏文政 土木与安全工程学院 力学教研室 wzhsu@126.com
第六章 弯曲变形
§6.1工程中的弯曲变形问题
§6.2挠曲线微分方程
§6.3用积分法求弯曲变形
§6.4用叠加法求梁的变形
§6.5简单超静定梁 §6.6提高弯曲刚度的一些措施
材料力学 第六章 弯曲变形
y A x l θB B x wB
M F l x
挠曲线近似微分方程为
EIw'' M F l x
积分，得 EIw' F x 2 Flx C ; EIw F x 3 Fl x 2 Cx D 2 6 2 ' 代入边界条件 wA A 0, wA 0 求得积分常数 C 0, D 0
' 2 3 2
小变形
1
w
' 2
1
1
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w"
高等数学
M EI
2 d w M '' w 2 dx EI
材料力学
2 d w M ——挠曲线近似微分方程 '' w 2 dx EI
材料力学 第六章 弯曲变形
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§6.3用积分法求弯曲变形
一 微分方程的积分
M dw dx C 2 EI d w M d dw M dx 2 M dx EI dx dx EI w dx dx Cx D EI
Page 2
§6.1 工程/生活中的弯曲变形
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§6.2 挠曲线微分方程
一 基本概念 挠曲线：变形后梁的轴线；
挠度：横截面形心沿y方向位移，向上为正；
y x θ w dx θ dw F
x
截面转角（θ）：横截面对其原来位置转过的角度， 逆时针为正；等于挠曲线的倾角
任意点的挠度均包含刚体位移和形变位移两部分
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例三：求图示梁C点的挠度
l A B
F A B C
a
F C
分段变形叠加法
=
F A B C
+
F A Fa B θB C w1
B
F C w2
Fal Fa3 Fa 2 wC w1 w2 a l a 3EI 3EI 3EI
材料力学 第六章 弯曲变形
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§6.6 提高弯曲刚度的一些措施
改善结构形式，减小弯矩数值 合理安排约束 合理加载 增加支座 选择合理的截面形状 增大截面惯性矩
材料力学 第六章 弯曲变形
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材料力学 第六章 弯曲变形
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§6.5简单超静定梁
一 基本概念 超静定梁：支反力只用静力 平衡方程不能全部确定 多余约束：多于维持平衡所必须的约束
F
超静定次数：多余约束或多余支反力数目 多余反力：与多余约束相 应的支反力或支反力偶矩
F
相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统
材料力学 第六章 弯曲变形
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例二
求图示简支梁的弯曲变形
y FRA A x1 x2 l a C F b FRB x B
解：1）求出梁的支反力 分段列出弯矩方程
Fb Fa FRA , FRB l l
Fb x1 0 x1 a AC段 M 1 l Fa BC段 M 2 l x2 a x2 l l
五 刚度条件
w max w max
练习：写边界条件和连续性条件
A B
C
D
边界条件 wA 0; wB 0
' ' w w ; 或 w w 连续性条件 C C C C C C ' ' wD wD ; D D 或wD w D
如何确定积分常数？
材料力学 第六章 弯曲变形
Page 7
二 积分常数的确定
1 边界条件
w0 w0
w 0, w' 0
w
2 连续性条件
F
' ' w w , w w
F
' ' w w , w w
材料力学 第六章 弯曲变形
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引例：求解超静定问题
q A l B
解：1）本例为一次超静定问题，解除B点约束，建立 相当系统
B A FRB
2）变形协调条件为 wB wBq wBR 0
B A
B A FRB
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材料力学 第六章 弯曲变形
例题（续）
B A
B A FRB
3）物理关系为
FRBl 3 ql 4 wBq , wBR 8EI 3EI ql 4 FRB l 3 0 补充方程 8EI 3EI
§6.4 用叠加法求梁的变形
一 叠加原理 当梁上同时作用几个载荷时，任一横截面的总位 移，等于各载荷单独作用时该截面位移的矢量和
F1 w F1 w1 F2
=
F2
+
w2
二 适用条件
材料服从胡克定律和小变形条件——挠度和转角均 与载荷成线性关系
材料力学 第六章 弯曲变形
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§6.4 用叠加法求梁的变形
材料力学 第六章 弯曲变形
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练习（续）
y a x b l
边界条件 w x0 0; x0 0 连续性条件
w xa w xa ; xa xa w xb w xb ; xb xb
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材料力学 第六章 弯曲变形
=
y F C l/2 l/2 x B
y A l/2 C l/2 x B
+
A
wC wC q wC F
5ql 4 Fl 3 384 EI 48EI
材料力学 第六章 弯曲变形
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例二：求图示梁C点的挠度
l A F B a C
F A wB B C
B
w1
Fl 3 Fl 3 Fl 2 Fl 2 wC wB w1 B a a 2l 3a 3EI 3EI 2 EI 6 EI
例一（续）
F 2 故 EIw x Flx 2 F 3 Fl 2 EIw x x 6 2
'
y A x l θB B x wB
2 3 Fl Fl ' 从而在B端 B wB , wB 2 EI 3EI
代入数值，θB=-0.00242rad；wB=-0.0805mm
材料力学 第六章 弯曲变形