第20届全国希望杯高一数学邀请赛第二试(第1类)

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第20届全国希望杯高一数学邀请赛第二试(第1类)

一、选择题(每题4分,40分)

1、设的定义域为D ,又()()().h x f x g x =+若(),()f x g x 的最大值分别是M ,N ,最小值分别是m ,n ,则下面的结论中正确的是( )

A .()h x 的最大值是M+N

B .()h x 的最小值是m +n

C .()h x 的值域为{|}x m n x M N +≤≤+

D .()h x 的值域为{|}x m n x M N +≤≤+的一个子集

2、方程log (0,1)x a a x a a -=>≠的实数根的个数为( )

A .0

B .1

C .2

D .3

3、已知函数32()1(0)f x ax bx cx a =++-<,且(5)3f =,那么使()0f x =成立的x 的个数为( )

A .1

B .2

C .3

D .不确定的

4、设22{(,)|S x y x y =-是奇数,,}x y R ∈,22{(,)|sin(2)sin(2)T x y x y ππ=-= 22cos(2)cos(2),,}x y x y R ππ-∈,则S ,T 的关系是( )

A .S ≠⊂T

B .T ≠

⊂S C .S=T D .S T =Φ 5、定义集合M,N 的一种运算*,:1212*{|,,}M N x x x x x Mx N ==∈∈,若{1,2,3}M =,N={0,1,2},则M*N 中的所有元素的和为( )

A .9

B .6

C .18

D .16

6、关于x 的整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠中,若a b +是偶数,c 是奇数,则( )

A .方程没有整数根

B .方程有两个相等的整数根

C .方程有两个不相等的整数根

D .不能判定方程整数根的情况

7、设x 是某个三角形的最小内角,则cos cos sin 22

x y x x =-的值域是( ) A

.( B

.( C

. D

. 8、已知e

tan )

A

.<< B

.sin << C

.sin < D .

<<9、()f x 是定义在R 上的奇函数,且(2)f x -是偶函数,则下列命题中错误的是( )

A .()f x 的图像关于x =2对称

B .()f x 的图像关于点(4,0)-对称

C .()f x 的周期为4

D .()f x 的周期为8

10、某航空公司经营A,B,C,D 四个城市之间的客运业务,其中部分单程机票的价格如下: A,B 区间:2000元;A,C 区间:1600元;A,D 区间:2500元;B,C 之间:1200元;C,D 区间:900元。已知这家公司规定的机票与城市间的直线距离成正比,则B,D 区间机票价格为( )

A .1200元

B .1500元

C .1600元

D .2000元

二、填空题(每题4分,共40分)

11、如图1,动点P 从直角梯形ABCD 的直角顶点B 出发,沿B —C —D —A 的

顺序运动,得到以点P 运动的路程x 为

自变量,△ABP 的面积y 为函数的图像,

如图2,则梯形ABCD 的面积为 。

12、锐角△ABC 的三个内角的度数成等

比数列,且B =2A ,则其中最小角的值等于 。

13、已知公差大于零的等差数列的第5项与第13项的绝对值相等,则当前n 项和最小时,n = 。

14、已知等比数列{a n }中,a 3=2,当此数列的前5项和取得最小值时,前5项依次为 。

15、已知3432

()23,(())4474f x x x f g x x x x x =--=+--,则()g x 的各项系数(包括常数项)的和等于 。 16、设O 为△ABC 内一点,则OA BC OB CA OC AB ⋅+⋅+⋅ = 。

17、The number 2009 has the following properties:

①It is divisible by 7 ;②When divisible by 8, it has a remainder of 1;③When divisible by 9, it has a remainder of 2。The 3-digit number with the above properties is 。

18

4=,则23x y +的取值范围是 。

19、2009 apples are distributed among a number of children so that each child gets a different positive mumber of apples 。How many children are there at the most ?Answer :

20、设集合A ={1,2,3,…,n },则集合A 的所有非空子集中元素和的和等于 。

三、解答题 每题都要写出推算过程

21、本题10分

图1

已知关于x 的不等式250ax x a

-<-的解集为M ,若2及-1有且恰有一个不在M 中,求实数a 的取值范围。

22、本题满分15分

向量a ,b 的夹角为60°,且|a|=|b|=1

(1)当|a +tb|取得最小值时,求t 的值;

(2)当|a +tb|取得最小值时,证明:b ⊥(a +tb )

23、本题满分15分

数列{a n }是各项均为正数的等差数列,前n 项的和为S n 。数列{b n }是等比数列,且满足

111b a ==,33b S =144,{}n a b 的公比=16,求数列{a n }

,{b n }的通项公式。

参考答案

DBCAD ACCCB

11、104

12

、37

13、8或9

14、2,-2,2,-2,2

15、0或2

16、0

17、497

18、[9,17]

19、62

20、2(1)2n n n -+⋅

21、当2,1M M ∈-∉时,有250450a 11a a a a

-⎧<⎪⎪-⎨--⎪≥⎪-⎩或= 解得a 的范围为5

5][1,)(4,)2

∞+∞ (-,- 当2,1M M ∉-∈时,有250a 4501a a a a

-⎧≥⎪⎪-⎨--⎪<⎪-⎩或=4解得a 的范围为φ 综上所述:a 的范围为

5

5][1,)(4,)2∞+∞ (-,- 22、(1)22||1a tb t t +=++ ,∴当t =12-时,||a tb + 最小

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