11.2排列组合-2021届高三数学(新高考)一轮复习课件(共36张PPT)

题型二 组合问题[自主练透] 1．[2020·山东新高考预测卷]北京园艺博览会期间，安排 6 位志愿 者到 4 个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两 个展区各安排两个人，其中小李和小王不在一起，不同的安排方案共 有( ) A．168 种 B．156 种 C．172 种 D．180 种
类题通法 “至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须 十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏 解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间 接法求解.
题型三 排列与组合的综合问题[师生共研] [例 1] (1)若由 3 人组成的微信群中有 4 个不同的红包，每个红包 只能被抢一次，且每个人至少抢到 1 个红包，则红包被抢光的方式共 有( ) A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种
丙机在甲机之前和丙机在甲机之后的数目相同，则此时有12×C12A44＝24 种不同的着舰方法．则一共有 24＋24＝48 种不同的着舰方法，故选
C.
类题通法 解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进 行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问 题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他 元素(或位置).
6．[2018·全国Ⅰ卷]从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛， 且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写 答案)
答案：16 解析： 解法一 按参加的女生人数分两类，共有 C12C42＋C22C41＝16(种)． 解法二 C63－C43＝20－4＝16(种)．
A．240 种 B．188 种 C．156 种 D．120 种
答案：D 解析：当 E，F 排在前三位时，共有 A22A22A33＝24 种安排方案；当 E，F 排在后三位时，共有 C31A23A22A22＝72 种安排方案；当 E、F 排在 三、四位时，共有 C12A13A22A22＝24 种安排方案，所以不同安排方案共 有 24＋72＋24＝120 种，故选 D.
答案：D 解析：可以分为两步：第一步，将 4 个不同的红包分为 3 组，共 有 C42种分法；第二步，将 3 组分配给 3 个人，共有 A33种分法，所以共 有 C42·A33＝6×6＝36 种，故选 D.
(2)《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海 军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长 要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重 点任务 A 必须排在前三位，且任务 E，F 必须排在一起，则这六项任 务的不同安排方案共有( )
【跟踪训练】 (1)北京 APEC 峰会期间，有 2 位女性和 3 位男性共 5 位领导人站 成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3 位男性领导人中有且只有 2 位相邻的站法有( ) A．12 种 B．24 种 C．48 种 D．96 种
答案：C 解析：从 3 位男性领导人中任取 2 人“捆”在一起记作 A，A 共 有 C32A22＝6(种)不同排法，剩下一位领导人记作 B，两位女性分别记作 甲、乙，则女领导人甲必须在 A，B 之间，此时共有 6×2＝12(种)排 法(A 左 B 右和 A 右 B 左)，最后在排好的三个元素形成的四个空中插 入乙，∴共有 12×4＝48(种)不同排法．
解析：添入三个节目后共十个节目，故该题可转化为安排十个节 目，其中七个节目顺序固定．这七个节目的不同安排方法共有 A77种， 添加三个节目后，节目单中共有十个节目，先将这十个节目进行全排 列，不同的排列方法有 A1100种，而原先七个节目的顺序一定，故不同 的安排方式共有AA117700＝720(种)．
(4)我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训 练中，有 5 架“歼－10”飞机准备着舰，规定乙机不能最先着舰，且 丙机必须在甲机之前着舰(不一定相邻)，那么不同的着舰方法种数为
() A．21 B．36 C．48 D．96
答案：C 解析：根据题意，分 2 种情况讨论：①丙机最先着舰，此时只需 将剩下的 4 架飞机全排列，有 A44＝24 种情况，即此时有 24 种不同的 着舰方法；②丙机不最先着舰，此时需要在除甲、乙、丙之外的 2 架 飞机中任选 1 架，作为最先着舰的飞机，将剩下的 4 架飞机全排列，
题型一 排列问题[自主练透] 1．现有 8 个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三个人两两不相邻 的排法的种数为( ) A．A35·A33 B．A88－A66·A33 C．A36·A55 D．A88－A64
答案：C 解析：先排剩下 5 人，再从产生的 6 个空中选 3 个位置排甲、乙、 丙三人，即 A36·A55，故选 C.
答案：B 解析：利用间接法得不同的安排方案共有 C16C51C42C22－C12C24C21C11＝ 180－24＝156 种，故选 B.
2．为了应对美欧等国的经济制裁，俄罗斯天然气公司决定从 10 名办公室工作人员中裁去 4 人，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ求甲、乙二人不能全部裁去，则不 同的裁员方案的种数为________．
(2)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队 员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，则共有 __6_6_0____种不同的选法．(用数字作答)
解析：解法一 只有 1 名女生时，先选 1 名女生，有 C21种方法； 再选 3 名男生，有 C36种方法；然后安排队长、副队长，有 A24种方法．由 分步乘法计数原理知，共有 C21C36A24＝480(种)选法．有 2 名女生时，再 选 2 名男生，有 C62种方法；然后安排队长、副队长，有 A42种方法．由 分步乘法计数原理知，共有 C62A24＝180(种)选法．所以依据分类加法计 数原理知，共有 480＋180＝660(种)不同的选法．
答案：36 解析：设这 5 件不同的产品分别为 A，B，C，D，E，先把产品 A 与产品 B 捆绑有 A22种摆法，再与产品 D，E 全排列有 A33种摆法，最后 把产品 C 插空有 C13种摆法，所以共有 A22A33C13＝36(种)不同摆法．
三、走进高考
5．[2017·全国Ⅱ卷]安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有( )
答案：78 解析：根据题意知，要求这个五位数比 20 000 大，则首位必须是 2,3,4,5 这 4 个数字中的一个，当首位是 3 时，百位数不是数字 3，符 合要求的五位数有 A44＝24(个)；当首位是 2,4,5 时，由于百位数不能是 数字 3，则符合要求的五位数有 3×(A44－A33)＝54(个)，因此共有 54＋ 24＝78(个)五位数符合要求.
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排列组合中的分组分配问题 分组问题是同学们学习中的难点问题，在考试中不容易得分，在 解题过程中容易掉入陷阱，本文结合一些典型问题谈谈如何避免掉进 分组问题中的陷阱． 解决这类问题的一个基本指导思想是先分组后分配．关于分组问 题，有整体均分、部分均分和不等分组三种，无论分成几组，应注意 的是只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．
Cnm＝AAmmmn ＝ nn－1n－2…n－m＋1
m！
＝m！nn－！m！
性质 Ann＝ n！，0！＝ 1
Cnm＝Cnn－m，Cmn ＋Cmn －1＝ Cnm＋1
备注
m，n∈N*且 m≤n
【教材提炼】
一、教材改编 1．[选修三·P27 T7]学校要安排一场文艺晚会的 11 个节目的演出顺 序，除第 1 个节目和最后 1 个节目已确定外，还有 4 个音乐节目，3 个舞蹈节目，2 个曲艺节目，3 个舞蹈节目要求不能相邻，2 个曲艺节 目出场前后顺序已定，共有________种不同排法．
(3)将标号为 1,2,3,4 的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少 分到一个篮球，且标号 1,2 的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不 同的分法种数为( )
A．15 B．20 C．30 D．42
答案：C 解析：(1)四个篮球中两个分到一组有 C24种分法，三个篮球进行全 排列有 A33种分法，标号 1,2 的两个篮球分给同一个小朋友有 A33种分法， 所以有 C42A33－A33＝36－6＝30 种分法．
2．某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加 了 2 个新节目．如要将这 2 个节目插入原节目单中，那么不同插法的 种类为( )
A．42 B．30 C．20 D．12
答案：A 解析：A27＝7×6＝42(种)．
3．用 1,2,3,4,5 这五个数字，可以组成比 20 000 大，并且百位数 不是数字 3 的没有重复数字的五位数，共有________个．
答案：182 解析：甲、乙中裁一人的方案有 C21C83种，甲、乙都不裁的方案有 C84种，故不同的裁员方案共有 C12C38＋C48＝182(种)．
3．从 7 名男生，5 名女生中选取 5 人，至少有 2 名女生入选的种 数为________．
答案：596 解析：“至少有 2 名女生”的反面是“只有一名女生或没有女 生”，故可用间接法，所以有 C152－C15C47－C57＝596(种).
答案：B 解析：第一类：甲在最左端，有 A55＝5×4×3×2×1＝120(种)排 法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有 4A44＝4×4×3×2×1＝ 96(种)排法．所以共有 120＋96＝216(种)排法．
4．把 5 件不同产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不相邻，则不同的摆法有________种．
类题通法 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法和元素 分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有 限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用 间接法． (2)常见排列数的求法为：①相邻问题采用“捆绑法”；②不相邻 问题采用“插空法”；③有限制元素采用“优先法”；④特定顺序问 题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
答案：75 600 解析：先把 4 个音乐节目，2 个曲艺节目，进行全排列 A66，由于 2 个曲艺节目出场前后顺序已定，故有12A66种排法，形成了 7 个空，选 3 个，把舞蹈节目插入，故有12A66A73＝75 600(种)．
2．[选修三·P18 T3]在 100 件产品中，有 2 件次品，从中任取 3 件， 其中至少有 1 件次品的抽法有________种．
第2节 排列组合
【教材回扣】 1．排列、组合的定义
2．排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数
组合数
从 n 个不同元素中取出
从 n 个不同元素中取出
定义 m(m≤n)个元素的所有 不同排列 的个数
m(m≤n)个元素的所有 不同组合 的个数
Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m 公式 ＋1)＝n－n！m！
A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种
答案：D 解析：4＝2＋1＋1.由题意，3 名志愿者中，有两人各完成 1 项， 一人完成 2 项，先将 4 项工作分成三堆，共C24AC1222C11种分组方法，再把 这三堆分配给 3 名志愿者，共 A33种分配方法，由分步乘法计数原理， 共C24AC1222C11·A33＝36 种，故选 D.
答案：9 604 解析： 解法一 C21C298＋C22C918＝9 604(种)． 解法二 C1300－C938＝9 604(种)．
二、易错易混 3．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能 排甲，则不同的排法共有( ) A．192 种 B．216 种 C．240 种 D．288 种
解法二 不考虑限制条件，共有 A28C62种不同的选法，而没有女生 的选法有 A26C42种，故至少有 1 名女生的选法有 A28C62－A62C42＝840－180 ＝660(种)．
(3)某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了 活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友分别演唱经典歌曲，并 要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同 的安排方式有__7_2_0____种．