交叉熵损失函数的导数

交叉熵损失函数的导数

在深度学习中，交叉熵损失函数通常使用以下公式表示：

C = -sum(y * log(y_hat))

为了计算交叉熵损失函数的导数，我们需要将公式中的log函数展开，并使用链式法则求导。首先，让我们展开交叉熵损失函数：

C = -sum(y * log(y_hat))

= -sum(y * (log(y_hat_1) + log(y_hat_2) + ... +

log(y_hat_n)))

接下来，我们对每个y_hat_i进行求导：

∂C/∂y_hat_i = -sum(y * (∂log(y_hat_1) + ∂log(y_hat_2) + ... + ∂log(y_hat_n)))

为了计算导数，我们需要对log函数进行求导。根据链式法则，我们有：

∂log(y_hat_i)/∂y_hat_i = 1/y_hat_i

因此，继续推导交叉熵损失函数的导数：

∂C/∂y_hat_i = -sum(y * (1/y_hat_1 + 1/y_hat_2 + ... +

1/y_hat_n))

= -sum(y/y_hat_1 + y/y_hat_2 + ... + y/y_hat_n)

= -sum(y * (1/y_hat_1 + 1/y_hat_2 + ... + 1/y_hat_n))

= -sum(y * (1/y_hat_1 + 1/y_hat_2 + ... + 1/y_hat_n))

综上所述，交叉熵损失函数相对于y_hat_i的导数可以表示为：

∂C/∂y_hat_i = -sum(y * (1/y_hat_1 + 1/y_hat_2 + ... +

1/y_hat_n))

这是交叉熵损失函数的导数公式，它对于深度学习中模型训练的反向

传播非常重要。在实际应用中，这个导数用于计算模型参数的梯度，然后

使用梯度下降算法来更新模型的参数，以最小化损失函数。

需要注意的是，在实际计算中，为了避免除以零的情况，通常会在

log函数中增加一个极小的正数ϵ，即log(y_hat_i + ϵ)。这个技巧被称

为平滑（smoothing）操作，它确保在计算过程中不会出现除以零的情况，从而保证数值的稳定性。

总结起来，交叉熵损失函数的导数对于深度学习模型的优化和训练非

常重要。通过计算损失函数相对于预测概率向量的导数，我们可以获得梯

度信息，并使用梯度下降算法来更新模型参数，以提高模型的性能。