第三章光纤模式理论.

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光纤通信技术习题

TE偶模式
A cos x x h / 2 k n 2 2 0 1 Ey B exp( x ) x h / 2 2 k0 n2 2 dE y Ey , E y , H z 在界面上连续在界面上连续 dx
阶跃折射率光纤的单模条件是:归一化频率小于2.4048.
2π 2π 2π 2 2 V a n1 n 2 an1 2Δ aNA 2.4048 λ λ λ
定义截止波长为λc
c 2 aNA / 2.4048
2 n1 NA2 n2 1.456
纤芯折射率相对折射率差
0.004
光纤纤芯直径 dcore 2.4048c / NA 7.65 m
2. 假设某阶跃折射率分布的光纤，其包层折射率为 1.445，芯子直径8um，要想使得该光纤对1250nm 波长刚好满足单模条件， 1)该光纤的数值孔径是多少？纤芯折射率是多少? 2）对于1550nm和1300nm的光，该光纤最大接收角是多少？ 3) 如果浸入折射率为n=1.3的液体中，对于1550nm 光，该光纤最大接收角变为多少? 4)对于波长980nm的光是否单模？如果折射率不变，芯子直径应为多大能使980nm光满足单模条件？
构成光信号的电磁波各频率分量在光纤中具有不同传输速度的现象模间色散：不同模式不同传输速度光纤色散材料色散：不同频率不同折射率波导色散：不同频率不同模场分布偏振模色散：不同偏振态不同传输速度为什么会有传输速度的不同?
3、请说明现有单模光纤的主要种类以及它们之间的主要区别。 G652,G653,G654,G655,主要区别是零色散波长位置 G652 普通单模光纤；零色散波长 1310nm G653 色散位移单模光纤；零色散波长 1550nm G654 截止波长移位单模光纤；零色散波长 1310nm G655 非零色散移位单模光纤；在1550nm窗口色散的绝对值不为零，非零色散值可以抑制非线性四波混频对DWDM系统的影响。

第三章光纤传输理

n2 θ c = arcsin n1
入非非入
n1
非非非入
θc
折非非入
90° n2
Hale Waihona Puke 光在两种介质界面上的反射和全反射
•
当入射角θ1>θc时，光线在分界面上发生全反射，这是用几何光学描述均匀光波导均匀光波导中光线传播特点的一个理论依据。理论依据。中光线理论依据
光纤中的两类光线：子午光线和斜光线子午光线和斜光线
• •
3.2.2 全反射定律
由斯涅尔定律可以得到，折射 n1 sin θ1 角 θ 2 = arcsin n 。 2 n1 sin θ1 =1 • 如果n1>n2，则在时，折射角 n2 θ2=90°； • 当（n1 sinθ1）/n2>1时， θ2为非实数为非实数，这意味着发生了全反射。就称满足（n1 sinθ1）/n2=1的入射角临界角，记为θc，则有 θ1为全反射的临界角临界角
第三章光纤传输理论
2012.02.28 星期三
主要内容
• • • • 3.1 基本结构 3.2 光线理论 3.3 模式理论 3.4单模光纤中的偏振现象光在非正规波导单模光纤中的偏振现象,光在非正规波导单模光纤中的偏振现象中的传输
3.1 基本结构
图.光纤的折射率分布光纤的折射率分布单模光纤通常是阶跃型的；多模光纤有的是阶跃单模光纤型的，有的是渐变型的
• 小孔衍射。小孔衍射。 • 当小圆孔尺寸大小的数量级远远大于光的波长时，光直接通过圆孔，投入圆孔后面的屏幕上； • 当小圆孔的大小量级与光的波长比拟即相当时，才观察到衍射光斑。 • 因此，当空间尺度远大于光波长时，可以用较成当空间尺度远大于光波长时，熟的几何光学分析法分析光在物质中的运动； • 当空间尺度与光波长相当时，应采用波动理论分析法。对于多模光纤；对于单模光纤。对于多模光纤对于单模光纤

光纤通信系统-阶跃折射率光纤的模式理论解析

Z z e jz
经整理求得光纤波导的特征方程，该特征方程有如下形式：
利用以上边界条件可以得到特征方程
上式是弱导光纤的特征方程，它是分析弱导光纤传输特性的基础，由于该方程是一个复杂的超越方程，通常只能用数值解。
•
通过对特征方程的求解，可以发现传播常数为一系列的离散值，通常，对于每个整数m，都存在多个解，记为， n=1,2,3· · · · 。每一个值都对应着由（2.2.38）～(2.2.42) 式确定的、能在光纤中传播的光场的一个空间分布，这种空间分布在传播的过程中只有相位的变化，没有形态的变化，且始终满足边界条件，这种空间分布称为导波模的模式，简称模式。除了m＝0的情况外，光纤中导波模的模式分布中，电场和磁场的纵向分量都存在，我们将这种情况称之为混合模，根据或哪一个相对作用大些，又可将混合模分成模EH (Ez>Hz)和模（Hz>Ez）；当m＝0时，将模 HE0n和模EH0n分别记为TE0n和TH0n，它们分别对应于场的纵向分量Ez＝0和 Hz＝0的模式，简称TE模和TM模。
' 0 ' 0 0 0
1
1
0
0
2
1
2
1
0
1
0
m 1 m
m 1
m
m 1 m
m 1
m
m2
m2
J m1 (U )
K m1 (W )
4. 导波模截止一个导波模的特性可以用三个参数 U、W和来表达，U表示导波模场在纤芯内部的横向分布规律，W表示它在包层中的横向分布规律，两者结合起来，就可以完整地描述导波模的横向分布规律，是轴向的相位传播常数，表明导模的纵向传输特性，要得到特征方程的精确解，须用数值法求解。在此为了简化分析，只考虑两种极端情况下特征方程的解，这两种情况分别是导波模在截止和远离截止时的特性。导波模截止是指电磁能量已经不能集中在纤芯中传播而向包层弥散的临界状态，此时的导波模径向归一化衰减常数＝0，将此时的归一化频率和归一化相位常数分别记为U、V 。通过由特征方程对、的求解，可以知道相应模式的截止条件，即光纤参数与工作波长的制约条件。 Vc 2 U c 2 Wc 2 U c 2 (1)TE、TM模的截止条件由TE、TM模的特性方程（ 2.2.47）式和（ 2.2.48）式，在模式截止时，且由贝塞尔函数 2 1 K (W ) ln K (W ) 的渐近公式 W W J (U ) 0 可得 (2.2.53) 截止状态时的归一化相位常数（等于归一化频率）是零阶贝塞尔函数的零点，零阶贝塞尔 TE (TM ) 、… 函数有几穷多个零点：2.405，5.520，8.654 …,它们分别对应着 TE (TM ) 、模式的截止频率。光波在光纤中传播时，如果工作波长、光纤参数a、n1、n2都是确定的，则归一化频率是一个完全确定的数。如果大于某个模式的归一化频率，则有W>0，该模式可以在光纤中传播；反之，如果小于某个模式的归一化截止频率，则W<0，该模式截止，成为辐射模，也就是说，光纤中任意一个模式传播条件为 V V (2.2.54) 如V>2.408，则模就能在光纤中存在，所有和模中，基模的归一化截止频率最低、截止波长最大。

光纤PPT课件

光纤的典型结构是多层同轴圆柱体由图31-1 所示，自内向外为纤芯、包层及涂覆层。纤芯和包层合起来构成裸光纤，光纤的光学及传输特性主要由它决定。涂覆层
2
光纤按折射率分布来分类，一般可分为阶跃型光纤和渐变型光纤。
(1) 阶跃型光纤
如果纤芯折射率(指数)n1半径方向保持一定，包层折射率n2沿半径方向也保持一定，而且纤芯和包层的折射率在边界处呈阶梯型变化的光纤，称为阶跃型光纤，又可称为均匀光纤，它的结构如图3-1-2(a)所示。
2
渐变折射率光纤可以降低模间色散，如图3-2-2所示
选择合适的折射率分布就有可能使所有光线同时到达光纤输出端。
相对折射指数差Δ和数值孔径NA是描述光纤性能的两个重要参数。
1相对折射指数Δ
光纤纤芯的折射率和包层的折射率的相差程度可以用相对折射指数差Δ来表示
相对折射指数Δ很小的光纤称为弱导
(2) 渐变型光纤
如果纤芯折射率n1随着半径加大而逐渐减小，而包层中折射率n2是均匀的，这种光纤称为渐变型光纤，又称为非均匀光纤，它的结构如图3-1-2(b)所示。
1
光线入射在纤芯与包层界面上会发生全反射，当全反射的光线再次入射到纤芯与包层的分界面时，它被再次全反射回纤芯中，这样所有满足θ1＞θc的光线都会被限制在纤芯中而向前传输，这就是光纤传光的基本原理。
第三章光纤
3.1光纤概述 3.2光纤的导光原理 3.3相对折射指数差Δ和数值孔径NA 3.4阶跃型光纤的波动光学理论 3.5阶跃型光纤的标量模 3.6可导与截止 3.7渐变型光纤的理论分析 3.8光纤的损耗特性 3.9光纤的色散特性 3.10单模光纤 3.11光纤的传输带宽
1光纤结构

光纤通信基本知识ppt课件

VC-3
VC-4
复用段层网络再生段层网络物理层网络
27
电路层
低阶高阶
通道层
SDH 传送层
段层传输媒质层
完整最新ppt
SDH的承载业务
L5~7
Application
L4
TCP/UDP
L3
IP
L2 ATM FR PPP/HDLC LAPS SDL
L1
SDH
L0
WDM
FR: Frame Relay
6
7
MSOH
8
9
23
9列
261列
完整最新ppt
SDH开销字节的分层
分支
分支
--分支组装
POH
--分支取出
POH插入 MSOH
MSOH
POH提取 MSOH
插入
提取
RSOH RSOH RSOH RSOH RSOH
插入
提取/插入
提取
载波
载波
光接口
光接口
光接口
物理线路
物理线路
终端
再生器
终端
通道层复用层再生层物理层
21
完整最新ppt
SDH的比特率
等级 STM-1
速率（Mb/s） 155.520
STM-4
622.080
STM-16 2488.320
STM-64 9953.280
22
完整最新ppt
SDH的帧结构
STM-1的帧结构
125us 9x270=2430个字节
第1行
2
RSOH
3
4 AU PTR
5
净荷（含POH）
35

光纤模式理论讲义

功率流密度
ey (x, y) C1Jm (U)e jm 0 1 ey (x, y) C 2Km (W)e jm 1
2
a
Pcore 0 d 0 Szrdr
Pclad
2
0 d a Szrdr
Ht
0
ez
Et
hx An 0 0 ey
功率限制因子
Pcore
Pcore Pclad
或者
UJ J
m1 U mU
WKm1 W KmW
0
UJ J
m1 U m U
WK K
m1 W m W
0
四、LPy截止条件 W 0
UJm1 U JmU
WKm1 W KmW
0
WKm1W KmW
0
当m 0时
因为： J0 U 1 所以： UJ1 U 0
J
即, U 0 和J1 U 0
截特征止方程
远离截止方程简并关
系
单模条件
J1U K1W
UJ0 (U ) WK0 (W )
J0 (U) 0
J1U 0
J m1U Km1W
UJm (U ) WKm (W )
Jm (U) 0
J m1U 0
J m1U Km1W
UJm (U ) WKm (W )
m 1
标量模 LP01 LP11
矢量, 模 HE 11
模式总数 2
TE 01, TM 01 HE 21
6
LP02, LP21
HE 12 EH 11 HE 31
12
LP02 , LP31
EH 21 HE 41
16
LP21 , LP31

2008第3章(光纤模式理论10)

(1)
(2)
TE模式：特征方程：
Ez=0
E0=0
根据（2）m＝0
K '0 W J '0 U 0 WK 0 (W ) UJ0 (U )
Hz=0 H0=0 根据（1）m＝0
2 n2 K '0 W n12 J '0 U 0 WK 0 (W ) UJ0 (U )
TM模式：
1 0 n12 mE 0 U UH 0 a U H r1 j Jm r J 'm r e jm r a U J m (U ) a a
2
Hr2
2 1 0 n2 mE 0 a W WH 0 W j Km r K 'm r e jm r a W K m (W ) a a 2
J 0 U
TE0n TM0n
2.405
5.520
8.654 U
只有归一化频率V大于归一化截止频率时，才能使W>0，此时才能传输
V Vc
2

a n n
2 1

2 1/ 2 2

2
C
a n n
2 1

2 1/ 2 2

例：直径为8微米，芯区折射率为1.45，相对折射率差0.005，输入波长为1.55微米，那么能否传输TE02阶模式？ V=2.35
1 0 m H0 a W WE 0 W Er 2 j Km r K 'm r e jm r a W K m (W ) a a
2
1 m E0 U 0UH0 a U E1 j Jm r J 'm r e jm a U J m (U ) r a a 2 1 m E0 a W WH 0 W E 2 j Km r 0 K 'm r e jm a W K m (U ) r a a

光模式理论简介

d 2 m 2 0 2 d
m2
d 2 R 1 dR m 2 R 0 1 dX 2 X dX X 2
E z j0 H z r r j E z H z k c2 E j0 r r k c2 Er j j0 n 2 E z H z k Hr j r r E z j H z k c2 H j0 n 2 r r r
1、光纤结构
涂覆层
包层
纤芯
图 1 光纤横截面结构
图2 不同芯径的光纤
Harbin Engineering University

b 多模光纤
a 单模光纤
图 3 光纤中的光线传输
光纤五要素：纤芯/包层折射率、阶跃型/渐变型、纤芯/包层直径、数值孔径以及材料
光线在包层和外界环境交界面处有一定而可以进行传感。
m0
TE模 TM模
' ' J 0 U K 0 W 0 UJ 0 U WK 0 W
' 2 ' n12 J 0 U n2 K 0 W 0 UJ 0 U WK0 W
m 0 且满足弱导近似
' ' J m U K m W 1 1 m 2 2 UJ m U WK m W W U
Harbin Engineering University
主要内容
1、光纤结构 2、模式概念 3、光纤内模式传输的理论分析 4、结论
Harbin Engineering University
2、模式概念
1）模式是指满足亥姆霍兹方程的一个特解，并满足波导中心有界、在边界趋于无穷时为零等边界条件。
Harbin Engineering University

光纤光学第三章分析

第12页
《光纤光学》第三章阶跃折射§率3.2分阶布跃光光纤纤场解
波动光学光波导理论逻辑过程
Maxwell方程
波动方程波导方程边界条件
t2 k 2 2 e 0 t2 k 2 2 h 0
第13页
E jH H j E
n12 n22
1
n1(2) 2
第4页
《光纤光学》第三章阶跃折射率分布光纤
SIOF中光线的传播
ni sini n12 n22
导光条件
n1 / c
最大
光线传播单位轴向长度
时延差
所花时间为
延时（渡越
时间）
相对折
射率差
子午光线
数值孔径
zc arccos(n2 / n1)
场的通解边界条件
模场分布
特征方程
传输常数场的解
《光纤光学》第三章阶跃折射§率3.2分阶布跃光光纤纤场解
圆柱波导中场解的描述形式
E iH H i E

E H

x,
y,
z

e h

x,
y

ei
z

E H

r
,
s

n1

1
n1
n12 NAs2 c
•延时差大于子午光线
•极限情况:cos =n2/n1, s,仅反射不传播，传输带宽比子午光线小
第11页
《光纤光学》第三章阶跃折射率分布光纤
§3.2 阶跃光纤场解
•阶跃折射率光纤中的场模式 •弱导光纤中的线偏振模 •光波导中模式的普遍性质

2008第3章(光纤模式理论9)

5.1 阶跃折射率光纤的模式场一、光纤的结构
y
n1 r a nr n2 r a
１，写出光纤的模式场２，分析模场场所满足的方程３，讨论方程的解
r
n2
b
n1
a
x
４，根据物理含义确定解的形式
５，根据边界条件得到特征方程，进而求出传输常数
一、求解波动方程
１、光纤中的模式场
5.光子晶体光纤：规则排列结构，
（二）按传输模式分
利用非线性实现各种功能（如开关、滤波）作各种器件。；单模光纤：外径
多模光纤：外径125 ，芯径 50 125 ，芯径 8～10 。
用阳光照亮地铁
由于地铁建造于地下，其光源完全由电力提供，非常浪费能源。于是一位名叫Caroline Pham学生就设计出了这样一套地铁采光系统。它通过收集户外的阳光并用光纤传导到地下，供给地铁的照明，而且照明墙上还会绘制各种各样的图画，为冰冷的地铁增添一丝趣味。
根据边界条件： E a E a z1 z2

U kc a k n
2 2 0 1

2 2 1/ 2 0 2

a
2 1/ 2
2 2 V 2 W 2 U 2 a 2 k0 n12 n2

H z1 a H z 2 a
a

V称为归一化频率
E0= A1 J m U A2 K m W H0= B1 J m U B2 K m W
令等式两边等于m2
其解为：
1 2 m2 2
2 2
m 2 0
A cos m B sin m
是实数

光纤的模式理论2010-10-26

Fx

x
30
圆柱坐标系中的波动方程
j E z H z Er 2 ( r r ) t j E z H z E 2 ( r ) t H j ( H z E z ) r t2 r r H j ( H z E z ) t2 r
此时本征方程可简化为59阶跃光纤中的模式分析本征方程的统一形式heehhetmtelplplp60lmlp模截止值和远离截止值u值lp模截止条件远离截止条件截止远离截止值38317701561017313322404855201865371179149324048552018653711791493383177015610173133238317701561017313325135684171162147901lp02lp03lp04lp05lp11lp12lp13lp14lp15lp21lp22lp23lp24lp25lp61几种低阶模横截面上的光斑图62几种低阶模横截面上的光斑图63几种低阶模横截面上的光斑图64几种低阶模横截面上的光斑图65几种低阶模横截面上的光斑图66几种低阶模横截面上的光斑图6701lp几种低阶模横截面上的光斑图68几种低阶模横截面上的光斑图69模横截面上的光斑图1617lp70几种低阶模的归一化光功率分布01lp21lp11lp左边b09右边b0171he电场磁场四个低阶模式的电磁场矢量结构图横截面上72几个低阶模式的电磁场矢量结构图73多模渐变型光纤的模式特性传输常数传输常数多模渐变型光纤多模渐变型光纤传输常数的普遍公式为g和k前面已经定义了m是模式总数模式总数m是传输常数大于的模式数模式数
根据麦克斯韦方程组和物质方程（无源、各向同性介质中） D H D E ：介电常数 t B H B/ ：磁导率 E t j E H z 可得出 E ( z )

第三章光纤模式理论

n12 n22 2n12
m W 2
Km1 W WKm W
1
n12 n22 2n12
m W2
Km1 W WKm W
2
m
k0n1
2
V UW
4
2
W0 U Vc
lim
W 0
K m1 WK m
W W
1
2m 1
,
m
1
截止时的特征方程
Jm1 Vc Jm Vc
Vc m 1
n2 2 n12 n22
1 r
H r
1 r2
2H
2
2H z 2
k02n j2H
0
j=1, 2 芯层，包层（r,,z）为柱坐标系 k0 00 2
把E=Er+E+Ez 代入到波动方程，并在柱坐标系下展开横场纵场
2E r 2
1 r
E r
1 r2
2E
2
2E z 2
k02nj2E
0
柱坐标系下，横场满足的方程十分复杂，除Ez 、Hz 外，其它横向分量都不满足标量的亥姆霍兹方程。因而矢量解法是从解Ez 、 Hz 的标量亥姆霍兹方程入手，再通过场的横向分量与纵向分量的关系，求其他分量。
对称性的波动方程
光纤的圆对称性
电磁场沿方向为驻波解
Ez Frexp jm exp jz, m 0,1,2,...
2E r 2
1 r
E r
1 r2
2E
2
2E z 2
k02n j2E
0
d 2 F1 dr 2
1 r
dF1 dr
U a
2 2
m2 r2
F1
0, r

光纤光学-第三章概要

波导场方程
第3页
《光纤光学》第Βιβλιοθήκη 章阶跃折射率分布光纤Ｏ
θz 纤壁入射角 n1 n2
n0 sin c n1Sin c
2 n12 n2
ψ
θz 线轴角Ｏ’
端面入射角
n0
• 通常将称之为孔径角，它表示光纤集光能力的大小。工 c 程上还用数值孔径来表示这种性质，记作 N.A. 定义为
《光纤光学》第三章传输容量限制
阶跃折射率分布光纤
返回框图
n1 1 Ln12 T 1 L c sin c cn2 •色散导致的传输光脉冲展宽
1 n2 c T BL 2 B n1
1/B
色散对光纤所能传输的最大比特率B的影响可利用相邻脉冲间不产生重叠的原则来确定，即
最大时延差
子午光线
数值孔径
入射媒质折射率与最大入射角的正弦值之积，只与折射率有关，与几何尺寸无关
相对折射率差
(n n ) / 2n
2 1 2 2 2 1
2 NA ni sin im n12 n2 n1 2
第5页
《光纤光学》第三章模间色散
阶跃折射率分布光纤
波导方程边界条件
t2 k 2 2 e 0 t2 k 2 2 h 0
第13页
场的通解边界条件
特征方程
传输常数
模场分布场的解
《光纤光学》第三章
阶跃折射率分布光纤 §3.2 阶跃光纤场解
E i H H i E
1 T B
L
T
例如：
第8页
n1 1.5
2 103

光纤传输理论

Er
k02n2
j
2
Ez r
0 0
k0 r
H z
E
k02n2
j
2
r
Ez
0 0
k0 r
H r
z
Hr
k02n2
j
2
H z r
k0n2 r
Ez
H
k02n2
j
2
H z r
0 0
k0n2
Ez
光纤中场的纵向分量：
2Ez r 2
1 r
Ez r
1 r2
2Ez
2
(k 2
2)Ez
0
2Hz r 2
n(r
)
径向分量：
d
(n
dr
)
nr
d
2
dn
ds ds ds dr
轴向分量：圆周分量：
n dr d d nr d 0
ds ds ds ds d (n dz) 0 ds ds
求解光线方程的过程：
n(r0 ) sinn no sin0 sin0
光纤入射端处折射光线波矢量K的圆柱分量:
几何光学方法更简单直观，但用波动理论可以对光纤的传输特性和传输原理有更精确的分析
波动理论和射线理论之比较
适用条件研究对象基本方程研究方法主要特点
几何光学方法 l << 2a 光线射线方程
折射/反射定理约束光线
波动光学方法 l ~ 2a 模式
波导场方程边值问题模式
3.2.1 传输条件
3.3 光纤的波动理论
光线理论分析法虽然可简单直观地得到光线在光纤中传输的物理图像，但由于忽略了光的波动性质，不能了解光场在纤芯、包层中的结构分布以及其他许多特性。尤其是对单模光纤，由于芯径尺寸小，光线理论就不能正确处理单模光纤的问题。

光纤模式理论

光纤通常是指具有园对称结构的纵向均匀光波导具有园对称性与纵向均匀性通常在柱坐标系下进行分析只有很少几种折射率分布能够进行严格的解析分析，大多数情况下需要采用数值方法或各种近似方法对光纤的光学特性进行分析
Step Fiber
Index Profile
⎧n1 , r ≤ a (n1 > n2 ) n=⎨ ⎩n2 , a < r < b
(r > a)
阶跃光纤芯区中的场
芯区内场的径向变化 F( r ) 所满足的方程是：
d 2 F 1 dF ⎛ U 2 m 2 ⎞ + + ⎜ 2 − 2 ⎟ F = 0, 2 dr r dr ⎜ a r ⎟ ⎝ ⎠
由于 β ≤ k0n1 时，上述方程的解为：
U 2 = k02 n12 − β 2 a 2 , (r ≤ a )
(
)
d 2 F 1 dF ⎛ m 2 ⎞ + + ⎜1 − 2 ⎟ F = 0 2 dx x dx ⎜ x ⎟ ⎝ ⎠ 当 δ2 < 0 时，作代换 x=δr/a，上述方程成为m阶虚综量Bessel方程的标准形式 d 2 F 1 dF ⎛ m 2 ⎞ + − ⎜1 + 2 ⎟ F = 0 2 dx x dx ⎜ x ⎟ ⎠ ⎝
2⎛ x 1 (m − k − 1)! ⎛ x ⎞ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ln + C ⎟ J m ( x) − ∑ k! π⎝ 2 π k =0 ⎠ ⎝2⎠
m −1
1 N 0 (x) 0 N 1 (x) -1
− m+ 2k
−
⎛ x⎞ L⎜ ⎟ ∑ π k =m ⎝ 2 ⎠ 1
∞
− m+ 2k
N0(x)

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对称性的波动方程
光纤的圆对称性
电磁场沿方向为驻波解
Ez Frexp jm exp jz, m 0,1,2,...
2E r 2
1 r
E r
1 r2
2E
2
2E z 2
k02n j2E
0
d 2 F1 dr 2
1 r
dF1 dr
U a
2 2
m2 r2
F1
0, r
a
m阶Bessel方程
d 2F2 1 dF2 dr2 r dr
30
x
贝塞尔函数性质
N函数
1 N0(x)
0
N1(x) -1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
0
5
10
15
20
25
30
x
贝塞尔函数性质
I函数
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
x
I0(x) 2
I1(x) I2(x)
2.5
3
贝塞尔函数性质
K函数
10
9
8
7
6
5
K1(x)
4
3
2
K0(x)
1
ez t H z jez Ht jEt
j
Et k02n2 2
t Ez 0ez t H z
Ht
j
k02n2 2
t H z
e z
tEz
ez ez At At
对称性的波动方程
光纤的圆对称性
电磁场沿方向为驻波解
Er,, z Er, exp jz
Ez Frexp jm exp jz, m 0,1,2,...
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
贝塞尔函数递推关系(了解，会用)
Jm x 1 m Jm x
J m (x)
k 0
(1) k ( x )m2k k!(m k)! 2
J m1 x
2m x
J m x
J m1 x
J
m
x
1 2
J m1 x
J m1 x
K
m
x
1 2
K
m1
x
K
m1
x
dJ0 x
F2 r
CK
m
Wr a
DI
m
Wr a
F2 r
E0
Km W
K
m
Wr a
虚宗量Neumann函数虚宗量Bessel函数
贝塞尔函数性质
J m
(x)
k 0
(1) k ( x )m2k k!(m k)! 2
J函数
1 J0(x)
J1(x) 0.5
J2(x)
0
-0.5 0
5
10
15
20
25
A
2
ex ey ez x y z Ax Ay Az
2 2 2
x2 y2 z 2
柱坐标（r,,z）
er , e , ez
er
r
e
1 r
ez
ห้องสมุดไป่ตู้
z
1 rAr 1 A Az
r r r z
er e ez 1
r r z
Ar rA Az
1 r
r
r
r
1 r2
2 2
2
z 2
波动光学光波导理论逻辑过程
第三章光纤模式理论 Mode Theory for Optical Fibers
主要内容
阶跃折射率光纤中的场模式弱导光纤中的线偏振模光波导中模式的普遍性质波导横向非均匀性的微扰法处理纵向非均匀性与模式耦合方程
坐标系
直角坐标（x,y,z）
基矢
ex,ey,ez
A
ex
x
ey
y
ez
z
Ax Ay Az x y z
W2 a2
m2 r2
F2
0, r
a
m阶虚宗量Bessel方程
U 2 a2 k02n12 2 ,W 2 a2 2 k02n22 V 2 U 2 W 2 a2 k02n12 k02n22
d2R 1 dr 2 x
dR dr
1
m2 x2
R 0
m阶Bessel方程
d2R 1
m2 r2
F1
0,
r
a
尔方
d 2F2 dr2
芯层
1 r
dF2 dr
W2 a2
m2 r2
F2
0, r
a
Nm(0)=
程
的F1 解
r
AJ
m
Ur a
Bessel函数
BN m
Ur a
F1 r
Neumann函数
E0
Jm U
J
m
Ur a
Ez连续：
Im( )=
F1|r=a = F2|r=a
包层
阶跃型光纤折射率剖面结构
n1 n2
ab
Step index
n
nn12,,
ra ar
b n1
n2
波动方程(柱坐标)
Helmholtz
2E k 2E 0, 2H k 2H 0
k
k0n, k0
c
2f
c
2
2E r 2
1 r
E r
1 r2
2E
2
2E z 2
k02nj2E
0
2H r 2
dx
J1
x
dK0 x
dx
K1
x
电磁场的纵向分量
Ez r, E0Gmrexp jm Hz r, H0Gmrexp jm
Maxwell方程
波动方程边界条件
场的解
边界条件
模场分布
特征方程传输常数场的解
一.阶跃折射率光纤中的场模式
➢ 光纤的对称性与柱坐标系下的波动方程 ➢ 纵向均匀光波导中场的纵横关系 ➢ Bessel方程及其解 ➢ 阶跃光纤中矢量模的场分布 ➢ 矢量模的特征方程、模式分类与命名规则 ➢ 矢量模的特性曲线 ➢ 模式的截止特性、基模与光纤的单模工作条件 ➢ 矢量模在光纤横截面上的场分布与光功率密度分布
d2R 1 dr 2 x
dR dr
1
m2 x2
R 0
m阶Bessel方程
d2R 1
dx2
x
dR dx
1
m2 x2
R 0
m 阶虚宗量 Bessel 方程
R(x) AJ m x BN m x
R(x) CK m x DI m x
贝塞
d 2F1 dr2
1 r
dF1 dr
U2 a2
1 r
H r
1 r2
2H
2
2H z 2
k02n j2H
0
j=1, 2 芯层，包层（r,,z）为柱坐标系 k0 00 2
把E=Er+E+Ez 代入到波动方程，并在柱坐标系下展开横场纵场
2E r 2
1 r
E r
1 r2
2E
2
2E z 2
k02nj2E
0
柱坐标系下，横场满足的方程十分复杂，除Ez 、Hz 外，其它横向分量都不满足标量的亥姆霍兹方程。因而矢量解法是从解Ez 、 Hz 的标量亥姆霍兹方程入手，再通过场的横向分量与纵向分量的关系，求其他分量。
dx2
x
dR dx
1
m2 x2
R 0
m 阶虚宗量 Bessel 方程
d 2F1 dr 2
1 r
dF1 dr
U a
2 2
m2 r2
F1
0, r
a
m阶Bessel方程
d 2F2 dr 2
1 dF2 r dr
W2 a2
m2 r2
F2
0, r
a
m阶虚宗量Bessel方程
Bessel方程的解
场分布形式
纵横关系
传输因子
Er,, z Er, exp jz
纵向均匀、无损、z向传输
t
Ez
ez
Et z
j 0Ht
Et er Er e E
t Hz
e
z
H z
t
jEt
Ht er H r e H
t
er
r
e
1 r
t Az ez t Az
ez t Ez jez Et j0Ht