史上最详细的光纤模式推导
光纤传输原理
要详细描述光纤传输原理，需要求解由麦克斯韦 方程组导出的波动方程。但在极限(波数k=2π/λ非常 大，波长λ→0)条件下，可以用几何光学的射线方程 作近似分析。几何光学的方法比较直观， 容易理解， 但并不十分严格。不管是射线方程还是波动方程， 数学推演都比较复杂， 我们只选取其中主要部分和 有用的结果。
d 2Ea (r) dr 2
1 r
dEZ (r) dr
u2 (a2
v2 r2
)EZ
(r)
0
(0≤r≤a) (2.23a)
d 2Ea (r) dr 2
1 r
dEZ (r) dr
w2 ( a2
v2 r2
)EZ
(r)
0
(r≥a)
(2.23b)
因为光能量要在纤芯(0≤r≤a)中传输， 在r=0处，电磁场应为有限实数；在包层 (r≥a)，光能量沿径向r迅速衰减，当r→∞时， 电磁场应消逝为零。
2E ( nw)2 E 0 c
2H ( nw)2 H 0 c
(2.18)
式中，E和H分别为电场和磁场在直角坐标中的任一分量， c为光速。选用圆 柱坐标(r, φ，z)，使z轴与光纤中心轴线一致， 将式(2.18)在圆柱坐标中展开，得 到电场的z分量Ez的波动方程为(磁场分量Hz方程的形式完全相同)：
根据这些特点，式(2.23a)的解应取v阶贝塞尔函数Jv(ur/a)，而式(2.23b)的解则
应取v阶修正的贝塞尔函数Kv(wr/a)。因此，在纤芯和包层的电场Ez(r, φ, z)和磁场
Hz(r, φ, z)
Ez1(r, φ, z)
A J v (ur / a) e j(v) Jv
Hz1(r, φ, z)=
c = 1/( o o )1/2 = 3.0×108 m/s 与真空中的光速相等。
光纤的传输原理
光纤的传输原理
光纤传输原理是指通过光的全内反射原理来实现光信号的高速传输和传输距离的延长。
光纤由芯、包层和护套组成。
芯是光信号的传导通道，包层则是用来保护芯，护套则是对整个光纤进行保护。
光纤的传输原理可以简单概括为以下几个步骤：
1. 光的全内反射：当光从一个介质（如空气）射入到光密介质（如光纤芯）中时，光线会受到折射，并在界面上发生反射。
当折射角大于临界角时，光线会发生全内反射，沿着介质中传导。
2. 光信号的调制：为了在光纤中传输信息，需要将电信号转化为光信号。
这可以通过光电调制器实现，利用电流的强弱控制光的强弱，即光的亮度表示二进制码的高低。
3. 信号的传输和放大：在光纤中传输的过程中，光信号会不断衰减，因此需要使用光放大器对信号进行放大。
光放大器可以根据需要在光纤中加入适量的掺铥离子等物质，利用泵浦光源激发这些离子，使其能够将吸收的能量传递给光信号，从而实现信号的放大。
4. 信号的检测和解调：在光纤的接收端，需要使用光电探测器将光信号转化为电信号。
光电探测器可以利用光电效应将光的能量转化为电子。
接收到的电信号需要经过解调器进行处理，以恢复原始的信息信号。
通过这样的原理，光纤能够实现高速、远距离和大容量的数据传输。
由于光在光纤中的传播速度非常快，光纤传输相比传统的电缆传输具有更高的速率和更低的延迟。
此外，光纤还具有抗干扰性强、信号损耗小、安全可靠等优点，被广泛应用于通信、互联网和数据中心等领域。
光纤技术原理
光纤技术原理光纤技术是一种利用光在玻璃或塑料制成的纤维中传播的通信技术。
它通过将光信号转换成电信号，实现远距离、高速度的信息传输。
光纤技术的原理主要基于全内反射和光的调制。
全内反射是光纤技术的核心原理。
当光从折射率较高的介质进入折射率较低的介质时，如果入射角大于临界角，光将不会折射到外部介质，而是完全反射回原介质。
光纤由中心的纤芯和外围的包层组成，纤芯的折射率比包层高。
当光在纤芯中传播时，只要入射角大于临界角，光就会在纤芯和包层的界面上不断反射，沿着光纤传播，而不会泄漏到外部。
光的调制是光纤通信的关键技术。
通过改变光的强度、频率或相位，可以将电信号转换成光信号。
常用的调制方式有幅度调制（AM）、频率调制（FM）和相位调制（PM）。
在实际应用中，通常采用强度调制，即将电信号的强弱变化转换成光信号的亮度变化。
调制后的光信号通过光纤传输到接收端，再通过光电探测器将光信号转换成电信号，实现信息的传输。
光纤技术具有许多优点。
首先，光纤的带宽远大于传统的铜线，可以传输更多的信息。
其次，光纤的信号衰减率低，传输距离远，适合长距离通信。
此外，光纤对电磁干扰不敏感，信号传输稳定可靠。
最后，光纤的直径小，重量轻，易于布线和维护。
光纤技术在通信领域得到了广泛应用。
在长途通信中，光纤是主要的传输介质，实现了全球范围内的信息互联。
在局域网中，光纤也常用于连接高速网络设备，提高网络性能。
此外，光纤技术还应用于光纤传感器、光纤激光器等领域，推动了相关技术的发展。
总之，光纤技术基于全内反射和光的调制原理，具有高带宽、长距离、抗干扰等优点，在通信领域发挥着重要作用。
随着光纤技术的不断进步，未来将为信息传输带来更多的可能性。
光纤原理 布
光纤原理布
光纤原理是指利用光纤的特殊性质传输光信号的工作原理。
光纤是一种非常细长的柔性结构，由用于传输光的纯净玻璃或塑料材料制成。
光信号是以光的形式通过光纤内部的表面反射实现传输。
光纤原理的基础是全反射现象。
当光从一个介质传导到另一个介质时，如果入射角小于一个特定的临界角，光会被完全反射回原介质中。
通过保持光纤的折射率高于周围介质，光信号可以在光纤内部进行多次完全反射，从而实现信号的传输。
光纤的核心是由一个折射率高于外层材料的介质构成。
光信号通过传送器件（例如激光器或发光二极管）以光脉冲的形式输入光纤，然后通过光纤沿着其轴向传播。
光在传输过程中会一直保持在光纤的核心中，并通过全反射来避免信号的损失。
光纤的外层是包围核心的光波导层，其折射率稍低于核心材料。
这种设计有助于限制光信号在核心中传播，并防止光能散失。
此外，光纤还经过防护层的保护，以提高其耐久性和抗干扰能力。
为了提高光纤传输的质量和效率，现代光纤通信系统通常采用单模光纤或多模光纤。
单模光纤只允许以一种模式传输光信号，从而减少光信号的扩散和衰减。
多模光纤允许多种模式的光信号传输，但在长距离传输时会出现信号失真的问题。
总的来说，光纤原理利用了光的全反射现象，通过保持光信号
在光纤内部的反射传播来实现光信号的传输。
这种原理使得光纤成为了一种高速、长距离和稳定的光信号传输媒介，广泛应用于光纤通信、传感器技术和医疗设备等领域。
光纤工作原理
光纤工作原理
光纤是一种利用光的传输特性进行信息传输的高速通信线路。
其工作原理是基于光的全内反射原理。
光纤由内芯、包层和包覆组成。
内芯是光信号的传输介质，由高折射率的玻璃或塑料材料制成。
包层包裹在内芯的外部，由低折射率材料制成，用于保护和维持光信号的传播。
包覆是外层保护层，一般由塑料材料制成，用于保护光纤免受外界损伤。
光纤的工作原理是利用光的全内反射。
当光信号从光纤的一端入射时，由于包层的折射率较低，光信号会在内芯和包层之间形成一个边界。
当光线以小于临界角的角度射入边界时，光会被全内反射，完全保持在内芯中传播。
这使得光信号可以沿着光纤的长度传输，而不会损失信号强度。
为了保持光信号的传输质量，光纤通常采用单模或多模结构。
在单模光纤中，只有一束模式的光可以在内芯中传播，由于传播路径唯一，可以实现高速和长距离的传输。
而多模光纤中，光信号可以以多个模式传播，由于存在不同路径的传播，一般用于较短距离和低速的传输。
光纤的优点主要包括高速传输、大容量、低延迟和抗电磁干扰等。
它已广泛应用于通信、数据传输、医疗设备和工业控制等领域，成为现代高速通信的重要基础。
光纤ns=根号下(n1^2-n2^2)推导过程
光纤是一种利用光的传播特性进行信息传输的重要工具，其传输速度快、带宽大、抗干扰能力强等优点使得其在通信领域得到了广泛的应用。
光纤的工作原理涉及到光的折射和传播，其中光纤的折射是光纤能够实现信号传输的基础。
光纤的折射是基于光在两种介质之间的折射现象，根据折射定律可以推导出光纤的折射角和入射角之间的关系。
而光纤的折射角则是根据光纤的折射率和光的入射角计算得出的，光纤的折射率则是光在光纤内部传播的一个重要参数。
在光纤的折射过程中，折射率的不同会导致光的传播速度和路径发生变化。
而光纤的折射率则可以通过其折射率公式来计算，光纤的折射率公式为ns=根号下(n1^2-n2^2)。
其中，ns为光纤的折射率，n1为光在光纤的n1材质中的折射率，n2为光在光纤的n2材质中的折射率。
通过这个折射率公式，我们可以计算得到不同材质中光纤的折射率，并进而推导出光纤折射角和入射角之间的关系。
下面我们来具体推导一下光纤折射率公式ns=根号下(n1^2-n2^2)的过程：1. 我们需要知道光在不同材质中的折射率n1和n2，这两个折射率是光纤内部材质的重要物理参数。
根据折射率公式ns=根号下(n1^2-n2^2)，我们可以得出光纤的折射率ns的计算公式。
2. 我们需要明确光纤的折射率是如何影响光的传播的。
当光经过一个介质的边界面并射入另一个介质时，根据折射定律，入射角和折射角之间的关系可以通过折射率来描述。
光纤的折射率决定了光在光纤内的传播速度和路径，因此光纤的折射率公式对理解光纤的传播特性具有重要意义。
3. 我们可以通过具体的数值计算来验证光纤的折射率公式的准确性。
通过选择不同的n1和n2值，利用折射率公式计算得到的光纤折射率ns是否符合实际情况，从而验证光纤折射率公式的有效性和准确性。
光纤折射率公式ns=根号下(n1^2-n2^2)的推导过程涉及到光在介质中的折射现象和折射定律的应用，对于理解光纤的传播特性具有重要意义。
通过深入研究光纤折射率公式的推导过程，可以更好地理解光纤的工作原理和应用，为光纤技术的进一步发展提供重要的理论基础。
[普及知识]光纤的传输原理
![[普及知识]光纤的传输原理](https://img.taocdn.com/s3/m/8cef65d059f5f61fb7360b4c2e3f5727a5e9244c.png)
[普及知识]光纤的传输原理（一）光波速度光波与电磁波在真空中的传输速度为c=3×105km/s。
光在均匀介质中直线传播，速度与介质的折射率成反比，即式中 n——介质光折射率；c——真空中的光速。
真空的光折射率为1，其他介质的折射率大于1，因此传输速度比在真空中小。
其中空气的折射率近似为1，而石英光纤的折射率为1.458，则光波速度为v=2×105km/s。
光波的波长（λ）、频率（f）和速度之间的关系为c=fλ或（二）光波的折射与反射光在同一均匀介质中是直线传播的，但在两种不同的介质的交界处会发生反射和折射现象，如图1.9所示。
设MM′为空气与玻璃的界面，NN′为界面的法线，空气折射率n1＜玻璃折射率n2。
当入射光到MM′与NN′的交接处O点时，发生一部分光反射回空气，另一部分光折射进入玻璃中的现象。
图1.9 光的反射和折射根据反射定律，=∠φ1，则根据折射定律，假设光在空气和玻璃中的速度分别为v1和v2，则根据波动理论可知因此，可推导出（三）光波的全反射根据折射定律，光从折射率大的介质到折射率小的介质时，折射角大于入射角，并随入射角增大而增大。
当入射角增大到临界角φ0时，折射角∠φ2=90°，如图1.10所示，这时光以φ1角全反射回去，从能量角度看，折射光能量越来越小，反射光能量逐渐增大，直到折射光能量消失。
即图1.10 光波的全反射在这种情况下，（四）光纤导光原理光纤的传输原理，可以用几何光学的反射、折射特性来分析。
当光从光密媒介（折射率相对较大）到光疏媒介的交界面会发生全反射现象，即入射角达到一定值时，折线光线将与法线成90°角，再增大会使折射光线进入原媒介（即光纤）传输。
以阶跃型多模光纤的交轴（子午）光线为例，进一步讨论光纤的传输条件。
设纤芯和包层折射率分别为 n1和 n2，空气的折射率 n0=1，纤芯中心轴线与 z轴一致，如图1.11所示。
光线在光纤端面以小角度θ从空气入射到纤芯（n0＜n1），折射角为θ1，折射后的光线在纤芯直线传播，并在纤芯与包层交界面以角度ψ1入射到包层（n1＞n2）。
光纤F-P公式推导
1、例如，一个信息速率为565Mb/s 的单模光缆传输系统采用5B6B 码型，传输速率为677990 kb/s (B )。
使用InGaAs 掩埋结构多纵模激光器，阈值小于50 mA ， 标称波长为 1310 nm ，脉冲线宽为2 nm(σλ)，发送光功率为-2.5dBm （Ps ），使用PIN-FET 组件，在BER 达到10-9的条件下接收机灵敏度可达-37 dBm(P R )。
光连接器损耗为1 dB ，在发送和接收端各有一个，光纤熔接头损耗为0.2 dB/km ，光纤损耗为0.4 dB/km ，设备功率富余度为6.5 dB (M E ).光纤色散系数D =2.5 ps/（km·nm ）解： 由题意得：P S -P R =2αc +N αs +αF L+M E所以，-2.5-（-37）=2+（0.4+0.2）×L+6.5 因此， L=43.3 km 。
再考虑色散限制，。
显然这是一个色散限制系统， 最大中继距离应小于33.9 k m { 色散受限系统的中继距离对于损耗较低的光纤传输系统，光纤色散使得脉冲展宽得很严重，出现码间干扰，从而限制了传输距离。
其中，B 为比特速率，单位为M b/s 。
D 是光纤色散系数（单位为λσεBD L 610⨯=km L 9.335.2299.67710115.06=⨯⨯⨯=λσεBD L 610⨯=ps/(km·nm)），L是光纤长度（单位为km），σλ是光源的均方根谱宽（单位为nm）。
ε为常数，与光源的类型有关。
(当光源是多纵模激光器时，式中ε取0.115；当光源是发光二极管时，ε取0.306。
)}2、NdB/km= , Pout=Pin/10N L/103、相位常数：u2=k12－β2，ω2=β2- k22=β2-k02n22, V2=U2+W24、F—P公式推导：。
光纤的构造原理
光纤的构造原理
光纤是一种用于传输光信号的通信线路，它由两部分构成：光纤芯和包覆在芯上的光纤壳。
光纤芯是由高折射率材料制成的细长圆柱形结构，而光纤壳则是由低折射率材料制成的外层保护结构。
这种结构使得光能够在芯中沿着一条直线传播，并且不会被周围环境所干扰。
光纤的原理基于全反射现象。
当入射角度大于临界角时，光线会完全反射回芯内部，而不会向外传播。
因此，在理想情况下，只有沿着芯轴线方向传输的光线才能被保留下来，并且不会受到损失。
为了实现这种全反射效应，需要使用高折射率材料制成的芯和低折射率材料制成的壳。
这种结构使得入射角度大于临界角时，光线会完全反射回芯内部，并沿着芯轴方向传播。
同时，在壳层中还加入了一些控制器件（如衰减器、分光器等），以保证光信号的传输质量。
光纤的构造还包括两种不同的类型：单模光纤和多模光纤。
单模光纤只能传输一条光线，而多模光纤则可以同时传输多条光线。
这种区别主要是由于芯的直径不同所导致的。
总之，光纤的构造原理基于全反射现象，并且需要使用高折射率材料制成的芯和低折射率材料制成的壳。
这种结构使得只有沿着芯轴线方
向传输的光线才能被保留下来，并且不会受到损失。
同时，为了实现更高效率和更稳定的信号传输，还需要加入一些控制器件进行调节和控制。
第三章光纤模式理论
n12 n22 2n12
m W 2
Km1 W WKm W
1
n12 n22 2n12
m W2
Km1 W WKm W
2
m
k0n1
2
V UW
4
2
W0 U Vc
lim
W 0
K m1 WK m
W W
1
2m 1
,
m
1
截止时的特征方程
Jm1 Vc Jm Vc
Vc m 1
n2 2 n12 n22
1 r
H r
1 r2
2H
2
2H z 2
k02n j2H
0
j=1, 2 芯层，包层 （r,,z）为柱坐标系 k0 00 2
把E=Er+E+Ez 代入到波动方程，并在柱坐标系下展开 横场 纵场
2E r 2
1 r
E r
1 r2
2E
2
2E z 2
k02nj2E
0
柱坐标系下，横场满足的方程十分复杂，除Ez 、Hz 外，其它横 向分量都不满足标量的亥姆霍兹方程。因而矢量解法是从解Ez 、 Hz 的标量亥姆霍兹方程入手，再通过场的横向分量与纵向分量 的关系，求其他分量。
对称性的波动方程
光纤的圆对称性
电磁场沿方向为驻波解
Ez Frexp jm exp jz, m 0,1,2,...
2E r 2
1 r
E r
1 r2
2E
2
2E z 2
k02n j2E
0
d 2 F1 dr 2
1 r
dF1 dr
U a
2 2
m2 r2
F1
0, r
史上最详细的光纤模式推导
史上最详细的光纤模式推导史上最详细的光纤中的模式推导前言如果你是因为“史上最详细”这几个字来看这篇文章的，那可能会让您失望了，因为我只是想给我的文章起个霸气的名字，博取眼球。
但倘若你不是特别忙的话，不妨读一读，也许会有收获。
波动光学-光纤波导模式理论推导研究光学通常有两种方法——几何光学和波动光学，几何光学比较简单，画几根线，代几个公式，最复杂的可能解一个程函方程也能解决。
相比而言，波动光学则比较复杂，里面涉及到数学和电磁学的东西比较多。
本人的研究方向是光网络通信，因而本着实用主义的原则剖析整个光波导模式的推导过程。
如下图所示，这是光波导模式理论的推导逻辑。
整个波动光学都是基于Maxwell方程组的，因而Maxwell方程也是此次推导的源头，由Maxwell方程组可推导出波动方程，结合边界条件可以求得场解的一般形式，然后再结合边界条件可以求得特征方程，解特征方程得传播常数，最后便可容我一一道来，过程有些许复杂，得到模场分布。
．以下推导以电场分量为例。
Maxwell方程组简化先让我们花三秒钟一起膜拜一下Maxwell方程组：(1)由于光纤是无源介质，不存在自由电荷和传导电，于是，Maxwell方程组可流，即以简化成如下形式：(2)波动方程推导明白推导的可以直接跳过，波动方程可直接由(2)式得到，对两边取旋度得（二者作用的对象不旋度和偏微分可以交换顺序同，旋度针对空间坐标，而偏微分针对时间）：(3)之间满足物质方程：E和、H和BD为感应电极化因而，P光纤是无磁介质，强度，不考虑非线性因素，通常可以简化为：(5)式代入(3)式得：又因为（无源），因而其中最后，得到波动方程：亥姆赫兹方程推导得到波动方程的过程我们通常称为电磁分离，也就是说把原本错综复杂的电磁关系变成了电场和磁场的单独关系。
但是波动方程依旧很复杂，因为其场量既包括时间分量也包括空间分量，好在我们通常研究的是单色波，具有时谐电磁场的性质，因而，可以进一步进行时空分离，得到亥姆赫兹方程，需要指出的是，亥姆赫兹方程只是波动方程的一个特例。
光纤通信原理光纤传输原理图
光纤通信原理光纤传输原理图光纤通信原理光纤是光导纤维的简写，是一种利用光在玻璃或塑料制成的纤维中的全反射原理而达成的光传导工具。
掺铒光纤是在石英光纤中掺入了少量的稀土元素铒(Er)离子的光纤，它是掺铒光纤放大器的核心。
从20世纪80年代后期开始，掺铒光纤放大器的研究工作不断取得重大的突破。
WDM技术、极大地增加了光纤通信的容量。
成为当前光纤通信中应用最广的光放大器件。
光纤放大器是光纤通信系统对光信号直接进行放大的光放大器件。
在使用光纤的通信系统中，不需将光信号转换为电信号，直接对光信号进行放大的一种技术。
掺铒光纤放大器(EDFA即在信号通过的纤芯中掺入了铒离子Er3 + 的光信号放大器)是1985年英国南安普顿大学首先研制成功的光放大器，它是光纤通信中最伟大的发明之一。
掺铒光纤放大器的工作原理：铒光纤放大器主要是由一段掺铒光纤（长约10-30m）和泵浦光源组成。
其工作原理是：掺铒光纤在泵浦光源（波长980nm或1480nm）的作用下产生受激辐射，而且所辐射的光随着输入光信号的变化而变化，这就相当于对输入光信号进行了放大。
研究表明，掺铒光纤放大器通常可得到15-40db的增益，中继距离可以在原来的基础上提高100km以上。
那么，人们不禁要问：科学家们为什么会想到在光纤放大器中利用掺杂铒元素来提高光波的强度呢？我们知道，铒是稀土元素的一种，而稀土元素又有其特殊的结构特点。
长期以来，人们就一直利用在我学器件中掺杂稀土元素的方法，来改善光学器件的性能，所以这并不是一个偶然的因素。
另外，为什么泵浦光源的波长选在980nm或1480nm呢？其实，泵浦光源的波长可以是520nm、650nm、980nm、和1480nm，但证明波长980nm的泵浦光源激光效率最高，次之是波长1480nm的泵浦光源。
掺铒光纤放大器的基本结构：EDFA的基本结构，它主要由有源媒质(几十米左右长的掺饵石英光纤，芯径3-5微米，掺杂浓度(25-1000)x10-6)、泵浦光源(990或1480nm LD)、光耦合器及光隔离器等组成。
光纤的传光原理及光纤模式
光纤的传光原理及光纤模式光纤是一种利用光的全反射传输信息的技术，具有高速、大容量、低损耗等优点，在现代通信系统中得到了广泛应用。
光纤的传光原理基于光的全反射现象，并且光在光纤中会以不同的模式传播。
光纤的传光原理主要涉及到光的波导特性和全反射现象。
当光从一种折射率较高的介质传播到另一种折射率较低的介质界面时，会发生折射现象。
当折射角超过了一定的临界角时，光会发生全反射，即光全部反射回原介质。
光纤的核心部分由高折射率的材料构成，外部由低折射率的材料包围，因此光在光纤中会发生多次全反射而传播。
光纤中的光传播可以分为单模和多模两种模式。
单模指的是只允许一种光模式在光纤中传播，而多模则允许多种不同的光模式在光纤中传播。
在光纤中，单模传播的光波成为基模，它沿光纤的轴线传播，光的强度在截面上呈高斯分布。
单模光纤具有较小的芯径和特定的折射率分布，能够抑制模式间的混合，减少色散，保持光信号的纯净性和传输质量。
单模光纤主要应用于长距离传输和高速通信中。
而多模光纤中，多种不同的光模式可以同时传播。
在多模光纤中，光波可以沿着各种路径传播，每种路径对应一种光模式。
多模光纤由于光的路径较多，会导致光传播时发生色散，信号失真较大，因此适用于短距离通信和低速传输。
光纤的传光过程中，光信号会遇到一些影响其传输性能的因素。
首先是光损耗，即信号在传输过程中由于吸收、散射、弯曲和连接损耗等原因而减弱。
光纤的损耗主要分为吸收损耗、弯曲损耗和连接损耗。
吸收损耗是指光在光纤材料中的能量损失，主要由材料本身和杂质引起；弯曲损耗则是光在光纤中弯曲时由于折射率的变化产生的能量损失；而连接损耗则是由于光纤连接部分的不完美导致的能量损失。
另一个影响光纤传输的因素是色散，即不同波长的光在光纤中传播速度不同。
色散主要包括色散和时间色散。
色散导致信号在光纤中延迟，降低了信号的传输速度和质量。
为了解决色散问题，可以采用色散补偿技术或者使用特殊的光纤结构来减少色散效应。
06光纤模式理论
cos m sin m
e
i
z
Ez2
A2
K
m
(c
r
)
sin cos
m m
e
iβz
模参量
U Kca a
n12
K
2 0
2
Hz2
B2 Km
(cr )
cos m sin m
ei z
归一化径向相位常数 无
W ca a
2
n22
K
2 0
归一化径向衰减常数
量
设计参量 V U 2 W 2 aK0 n12 n22 aK0n1 2 归一化频率 纲
Km (W ) ][ n12Jm (U ) WKm (W ) UJm (U )
n22 Km (W )] WKm (W )
m
2
1
( U
2
1 W2
)(
n12 U2
n22 W2
)
J Jm (U ) UJm (U )
d
m
dx Km ( x) Km1( x) x Km ( x)
10
第6章 光纤模式理论
6.2 阶跃光纤电磁场方程的矢量解法
6.2.1 芯区和包层的电磁场
径向函数R(r)
x2
d2R dx 2
x
dR dx
(
x2
m2
)R
0
K
2 c
n2
K
2 0
2
Kcr x
包层 r>a, n=n2
K
2 c2
n22
1
mB( U
2
1 W2
)
场量只有E 、Hr Hz
TE模特征方程
J
光纤光学光纤传输的基本理论
模式的概念
从而光场可表示为分离的形式：
E e j (t z ) ( x, y, z, t ) ( x, y)e h H
式中 为相移常数，也称为传播常数； e ( x, y ) 和 h ( x, y)都是复矢
量，有幅度、相位和方向，表示了 E 和 H 沿光纤横截面的分 布，称为模式场。
渐变型多模光纤具有自聚焦效应，不仅不同入射角相应的 光线会聚在同一点上，而且这些光线的时间延迟也近似相等。
1.2.2 光纤传输的波动理论
波动理论是一种比几何光学方法更为严格的分析 方法，其严格性在于：
(1)从光波的本质特性─电磁波出发，通过求解 电磁波所遵从的麦克斯韦方程，导出电磁场的场 分布,具有理论上的严谨性； (2) 未作任何前提近似，因此适用于各种折射率 分布的单模和多模光波导。
用纵向场表示横向场
E ( x, y ) 2 2 2 E ( x, y ) ( k0 n ) 0 H ( x, y ) H ( x, y )
2 t
波动光学方法的最基本方程。它是一个 典型的本征方程。当给定波导的边界条件时， 求解波导场方程可得本征解及相应的本征值。 通常将本征解定义为“模式”。
渐变型多模光纤具有能减小脉冲展宽、增加带宽的优点。
r g 12 r g n1[1 2 ( ) ] n1[1 ( ) ] a a
n(r)=
0≤r≤a r≥a (2.6)
n1［1-Δ］=n2
式中，n1和n2分别为纤芯中心和包层的折射率， r和a分别为 径向坐标和纤芯半径， Δ=(n1-n2)/n1 为相对折射率差， g 为折射率 分布指数 g→∞， (r/a)→0的极限条件下，式(2.6)表示突变型多模光纤 的折射率分布 g=2，n(r)按平方律(抛物线)变化，表示常规渐变型多模光纤 的折射率分布。具有这种分布的光纤，不同入射角的光线会聚在 中心轴线的一点上，因而脉冲展宽减小
史上最详细的光纤模式推导
史上最详细的光纤模式推导史上最详细的光纤中的模式推导前言如果你是因为“史上最详细”这几个字来看这篇文章的，那可能会让您失望了，因为我只是想给我的文章起个霸气的名字，博取眼球。
但倘若你不是特别忙的话，不妨读一读，也许会有收获。
波动光学-光纤波导模式理论推导研究光学通常有两种方法——几何光学和波动光学，几何光学比较简单，画几根线，代几个公式，最复杂的可能解一个程函方程也能解决。
相比而言，波动光学则比较复杂，里面涉及到数学和电磁学的东西比较多。
本人的研究方向是光网络通信，因而本着实用主义的原则剖析整个光波导模式的推导过程。
如下图所示，这是光波导模式理论的推导逻辑。
整个波动光学都是基于Maxwell方程组的，因而Maxwell方程也是此次推导的源头，由Maxwell 方程组可推导出波动方程，结合边界条件可以求得场解的一般形式，然后再结合边界条件可以求得特征方程，解特征方程得传播常数，最后便可得到模场分布。
过程有些许复杂，容我一一道来，以下推导以电场分量为例。
Maxwell方程组简化先让我们花三秒钟一起膜拜一下Maxwell方程组：(1)由于光纤是无源介质，不存在自由电荷和传导电流，即，于是，Maxwell方程组可以简化成如下形式：(2)波动方程推导明白推导的可以直接跳过，波动方程可直接由(2)式得到，对两边取旋度得旋度和偏微分可以交换顺序（二者作用的对象不同，旋度针对空间坐标，而偏微分针对时间）：(3)D和E、H和B之间满足物质方程：光纤是无磁介质，因而，P为感应电极化强度，不考虑非线性因素，通常可以简化为：(5)式代入(3)式得：又因为其中（无源），因而最后，得到波动方程：亥姆赫兹方程推导得到波动方程的过程我们通常称为电磁分离，也就是说把原本错综复杂的电磁关系变成了电场和磁场的单独关系。
但是波动方程依旧很复杂，因为其场量既包括时间分量也包括空间分量，好在我们通常研究的是单色波，具有时谐电磁场的性质，因而，可以进一步进行时空分离，得到亥姆赫兹方程，需要指出的是，亥姆赫兹方程只是波动方程的一个特例。
光纤的导光原理
谢谢观赏
主模（或基模）HE11模以外，其余 模式均截止，此时可实现单模传 输。
多模传输的模式数
• 对于阶跃型光纤，光纤中的传输模式数为
Ns
V2 2
• 对于渐变型光纤，光纤中的传输模式数为
Ns
V2 4
截止波长
• 截止波长是单模光纤特有的参数，是对应于第
一高阶模的归一化截止频率 Vc 2.405
波长。即
V
2a c
n1
2 2.405
时的
故
c
2an1 2
2.405
• 通常可用它判断是否单模传输。
模场直径 d
• 由于单模光纤的边界没有明确的边界， 包层之外有相当大的光场存在，故不能 象多模光纤一样用纤芯表示横截面的导
光范围，只能用模场直径 d 表示。它表
示了单模光纤的基模能量集中的程度。 CCITT规定，单模光纤.31μ m处的模场直 径应在9～10μ m,偏差不应超过±10%。
第三讲 光纤的导光原理
主要内容
• 一、光的基本特性 • 二、阶跃光纤的导光原理分析 • 三、渐变光纤的导光原理分析 • 四、光纤的模式 • 五、光纤的特性参数
光的反射与折射示意图
光的全反射示意图
n2
3
2
n1 n2
1
0
① ② n1
4
n2
阶跃光纤的导光原理示意图
阶跃型光纤折射率是沿径向呈阶跃分布，在轴向呈均匀
NA sin0 n12 n22
由于
n1 2 2
n1
2n2，2 上式简化成为
NA n1 2
可见，光纤的数值孔径与纤芯与包层直径无关，只与两者的相 对折射率差有关。若纤芯和包层的折射率差越大，NA值就越大， 即光纤的集光能力就越强。
光纤_公式推导__
当光纤包层半径足够大时， 在包层边界之处，导波场将衰 减到很小。
在柱坐标系中有zr r r r r r 2222222111∂+∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∇ψψψψθ 将式代入（2.2.31）中，则可变换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+∂+∂+∂+∂=+∂+∂+∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂01101120202222222222222222H n R z H H r r H r H E n R z E E r r E r E z z zzzzzzzzr r θθ 均匀光纤(芯层折射率为n 1)，芯层中E z 和H z 的波方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+∂+∂+∂+∂=+∂+∂+∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂0120110120112222222222222222H n R z H H r r H rH E n R z E E r r E r E z r z r z z z z z z z z θθ ①包层(折射率为n 2)中,E z 和H z 的波方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+∂+∂+∂+∂=+∂+∂+∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂0220110220112222222222222222H n R z H H r r H rH E n R z E E r r E r E z r z r z z z z zz z z θθ ② 假设试探函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθz Z r AR EzA 是待定系数，⎪⎭⎫ ⎝⎛r R 是Ez随r 的变化规律，⎪⎭⎫ ⎝⎛z Z 是E z 随z 的变化规律，⎪⎭⎫ ⎝⎛θθ是Ez随θ的变化规律。
首先讨论⎪⎭⎫ ⎝⎛z Z 的表达式形式，设导波沿z 向传播，由导波概念可知，导波沿z 向呈行波状态。
用β表示行波的相位常数，则有eEzj zβ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛θθ表示E z沿光纤周围方向的变化规律。
由导波理论可知，导波沿θ向呈驻波状态变化。
所以⎪⎭⎫ ⎝⎛θθ可以表示为()()⎩⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛θθθθm m sin cos m=0,1,2…将试探函数代入式①②中，可求得⎪⎭⎫ ⎝⎛r R 的表达式()()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++0200102222222222222222r d r r d r r d r r d r R m r n R r R d r R d r R m r n R r R d r R d r ββ ③ 式③是只含r 的贝塞尔方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
史上最详细的光纤中的模式推导
前言
如果你是因为“史上最详细”这几个字来看这篇文章的，那可能会让您失望了，因为我只是想给我的文章起个霸气的名字，博取眼球。
但倘若你不是特别忙的话，不妨读一读，也许会有收获。
波动光学-光纤波导模式理论推导
研究光学通常有两种方法——几何光学和波动光学，几何光学比较简单，画几根线，代几个公式，最复杂的可能解一个程函方程也能解决。
相比而言，波动光学则比较复杂，里面涉及到数学和电磁学的东西比较多。
本人的研究方向是光网络通信，因而本着实用主义的原则剖析整个光波导模式的推导过程。
如下图所示，这是光波导模式理论的推导逻辑。
整个波动光学都是基于Maxwell方程组的，因而Maxwell方程也是此次推导的源头，由Maxwell方程组可推导出波动方程，结合边界条件可以求得场解的一般形式，然后再结合边界条件可以求得特征方程，解特征方程得传播常数，最后便可得到模场分布。
过程有些许复杂，容我一一道来，以下推导以电场分量为例。
Maxwell方程组简化
先让我们花三秒钟一起膜拜一下Maxwell方程组：
(1)
由于光纤是无源介质，不存在自由电荷和传导电流，即，于是，Maxwell方程组可以简化成如下形式：
(2)
波动方程推导
明白推导的可以直接跳过，波动方程可直接由(2)式得到，对两边取旋度得
旋度和偏微分可以交换顺序（二者作用的对象不同，旋度针对空间坐标，而偏微分针对时间）：
(3)
D和E、H和B之间满足物质方程：
光纤是无磁介质，因而，P为感应电极化强度，不考虑非线性因素，通常可以简化为：(5)式代入(3)式得：
又因为
其中（无源），因而
最后，得到波动方程：
亥姆赫兹方程推导
得到波动方程的过程我们通常称为电磁分离，也就是说把原本错综复杂的电磁关系变成了电场和磁场的单独关系。
但是波动方程依旧很复杂，因为其场量既包括时间分量也包括空间分量，好在我们通常研究的是单色波，具有时谐电磁场的性质，因而，可以进一步进行时空分离，得到亥姆赫兹方程，需要指出的是，亥姆赫兹方程只是波动方程的一个特例。
假设
代入(8)式（简单的求导，不赘述），得：
通常令，k称为波数，最终得到亥姆赫兹方程：
分离变量法求解
由于光纤的圆柱对称特性，因而采用柱坐标求解比较方便，(10)式所表示的波动方程在柱坐标系下，可以表示为：
这里需要强调一点，因为和满足Maxwell方程组，因而6个分量其实只有2个是独立的，习惯上选择和作为独立分量。
关于的波动方程可以用分离变量求解，通解为（至于通解是怎么来的，这应该属于数学问题，这里可以不必深究）：
将通解(12)代入波动方程(11)，得：
这个方程就是总所周知的贝塞尔函数的微分方程，当然稍微不太一样，于是，就有了下面的一些简单变换：
首先，，当，（这个量其实是横向传
播常数，在纤芯内这个量必须为整数，而在包层则为负数）。
有了上面的条件，可以定义：
最后，将定义(14)代入贝塞尔微分方程(13)，得到两个方程：
这个方程怎么解？我也不知道怎么解，不过贝塞尔已经帮我们解好了：
因为，这二者不能满足光纤传播条件，因而被舍去，同时，根据
边界连续条件：
所以：
最后：
分割线
看到这里，你已经基本掌握了利用波动光学求解光纤中传导模式的方法，虽然复杂，但细细去看，并不算难，既然这个东西如此重要，何妨多花点时间看看。
如果你已经看懂了上面的推导，那我们就继续。
本征值方程
上面(18)式是的通解，采用同样的办法可以求得的通解，但这其中仍然有一些不确定的参数，如想要求这些参量，就要再一次用到边界条件：切向分量（、）在边界处连续。
根据边界条件（就是把代入电场和磁场通解中，然后对求偏微分），得到本征方程（亦成为特征值方程）：
本征值方程对每个整数有几个不同的解，习惯上把这些解用表示，其中都为整数，每个本征值对应光纤所能支持的一种特定模式，通常分两种情况，分别求解该特征方程。
（1）当，也就是说电场或者磁场的轴向分量趋于0，这些模式类似于平面波导的横电（磁）模（TE或者TM）。
（2）当，光纤模式变为混合模，此时模式为或。
当然，要解这两个方程，比较复杂，这里不作求解，通常我们只是求截止频率，这里要用到宗量近似。