机械优化设计复习试题与答案

机械优化设计复习题

一.单项选择题

1．一个多元函数()F X 在X *

附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（ ）

A ．()

*0F X ?= B. ()*0F X ?=,()

*H X 为正定 C ．()

*0H X = D. ()*0F X ?=,()

*H X 为负定

2.为克服复合形法容易产生退化的缺点，对于n 维问题来说，复合形的顶点数K 应（ ）

A ． 1K n ≤+ B. 2K n ≥ C. 12n K n +≤≤ D. 21n K n ≤≤- 3．目标函数F （x ）=4x 2

1+5x 2

2，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=2x 1+3x 2-6=0,则目标函数的极小值为（ ）

A ．1

B ． 19.05

C ．

D ．

4.对于目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c+x ≤0的最优化设计问题，用外点罚函数法求解

时，其惩罚函数表达式Φ(X,M (k)

)为( )。

A. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k)

为递增正数序列

B. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k)

为递减正数序列

C. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k)

为递增正数序列hn

D. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k)

为递减正数序列

10C. 13A 16 D

5.黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（ ）。 B.0.186 C. 在区间［x 1,x 3］上为单峰函数，x 2为区间中一点，x 4为利用二次插值法公式求得的近似极值点。如x 4-x 2>0,且F(x 4)>F(x 2)，那么为求F(X)的极小值，x 4点在下一次搜索区间内将作为( )。 1 3 C

7.已知二元二次型函数F(X)=AX X 21

T ，其中A=??

????4221，则该二次型是( )的。 A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定 8.内点罚函数法的罚因子为（ ）。

A.递增负数序列

B.递减正数序列

C.递增正数序列

D.递减负数序列

9.多元函数F(X)在点X *

附近的偏导数连续，?F(X *

)=0且H(X *

)正定，则该点为F(X)的

（ ）。 A.极小值点 B.极大值点 C.鞍点 D.不连续点 (X)为定义在n 维欧氏空间中凸集D 上的具有连续二阶偏导数的函数，若H(X)正定，则称F(X)为定义在凸集D 上的（ ）。

A.凸函数

B.凹函数

C.严格凸函数

D.严格凹函数

10C. 13A 16 D

11.在单峰搜索区间[x 1 x 3] (x 1x 4,并且其函数值F （x 4）

12.用变尺度法求一n 元正定二次函数的极小点，理论上需进行一维搜索的次数最多为（ ）

A. n 次

B. 2n 次

C. n+1次

D. 2次 13.在下列特性中，梯度法不具有的是（ ）。 A.二次收剑性 B.要计算一阶偏导数

C.对初始点的要求不高

D.只利用目标函数的一阶偏导数值构成搜索方向 14.外点罚函数法的罚因子为（ ）。

A.递增负数序列

B.递减正数序列

C.递增正数序列

D.递减负数序列 15.内点惩罚函数法的特点是（ ）。

A ．能处理等式约束问题 B.初始点必须在可行域中

C.初始点可以在可行域外

D.后面产生的迭代点序列可以在可行域外 16.约束极值点的库恩—塔克条件为?F(X)=)X (g i

q

1

i i

?λ-

∑=，当约束条件

g i (X)≤

0(i=1,2,…,m)和λi ≥0时，则q 应为 ( )。

A.等式约束数目；

B.不等式约束数目；

C.起作用的等式约束数目

D.起作用的不等式约束数目

17 已知函数F(X)=-122212

1x 2x x x 2x 2+-+，判断其驻点(1，1)是( )。

A.最小点

B.极小点

C.极大点

D.不可确定

18．对于极小化F(X)，而受限于约束g μ(X)≤0(μ=1,2,…,m)的优化问题，其内点罚函数表

达式为（ ） A. Ф(X, r (k)

)=F(X)-r

(k)

11/()

g

X u u m

=∑ B. Ф(X, r (k))=F(X)+r

(k)

11/()

g

X u u m

=∑

C. Ф(X, r (k))=F(X)-r

(k)

max[,()]01

g

X u u m

=∑ D. Ф(X, r

(k)

)=F(X)-r

(k)

min[,()]01

g

X u u m

=∑

19. 在无约束优化方法中，只利用目标函数值构成的搜索方法是( ) A. 梯度法 B. Powell 法 C. 共轭梯度法 D. 变尺度法 10C. 13A 16 D

20. 利用法在搜索区间［a,b ］内确定两点a 1=,b 1=，由此可知区间［a,b ］的值是( ) A. ［0,］ B. ［,1］ C. ［,1］ D. ［0,1］

21. 已知函数F(X)=x 12+x 22

-3x 1x 2+x 1-2x 2+1，则其Hessian 矩阵是( ) A. ????

??--2332 B. ??????2332 C. ??????2112 D. ??

?

???--3223

22. 对于求minF(X)受约束于g i (x)≤0(i=1,2,…,m)的约束优化设计问题，当取λi ≥0时，则约束极值点的库恩—塔克条件为( ) A. ?F(X)=

∑=?λm

1

i i

i

(X)g ,其中λi

为拉格朗日乘子

B. -?F (X)=

∑=?λm

1

i i

i

(X)g ,其中λi

为拉格朗日乘子

C. ?F(X)=

∑=?λq

1

i i

i

(X)g ,其中λi

为拉格朗日乘子，q 为该设计点X 处的约束面数

D. -?F(X)=

∑=?λq

1

i i

i

(X)g ,其中λi

为拉格朗日乘子，q 为该设计点X 处的约束面数

23. 在共轭梯度法中，新构造的共轭方向S (k+1)

为( )

A. S (k+1)= ?F(X (k+1))+β(k)S (K)，其中β(k)

为共轭系数

B. S (k+1)=?F(X (k+1))－β(k)S (K)，其中β(k)

为共轭系数

C. S (k+1)=-?F(X (k+1))+β(k)S (K)，其中β(k)

为共轭系数

D. S (k+1)=-?F(X (k+1))－β(k)S (K)，其中β(k)

为共轭系数

24. 用内点罚函数法求目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c-x ≥0的约束优化设计问题，其惩罚函数表达式为( ) A. ax+b-r (k)

x

-c 1，r (k)

为递增正数序列 B. ax+b-r

(k)

x

-c 1，r (k)

为递减正数序列 C. ax+b+ r (k)

x

-c 1，r (k)

为递增正数序列 D. ax+b+r

(k)

x

-c 1，r (k)

为递减正数序列 25. 已知F(X)=x 1x 2+2x 22

+4,则F(X)在点X (0)

=?

??

??

?-11的最大变化率为( ) A. 10 B. 4 C. 2 D. 10

26.在复合形法中，若映射系数α已被减缩到小于一个预先给定的正数δ仍不能使映射点可

行或优于坏点，则可用（ ）

A.好点代替坏点

B.次坏点代替坏点

C.映射点代替坏点

D.形心点代替坏点

10C. 13A 16 D

27. 优化设计的维数是指( )

A. 设计变量的个数

B. 可选优化方法数

C. 所提目标函数数

D. 所提约束条件数

28.在matlab 软件使用中，如已知x=0:10，则x 有______个元素。 A. 10 B. 11 C. 9 D. 12 29.如果目标函数的导数求解困难时，适宜选择的优化方法是（ ）。

A. 梯度法

B. Powell 法

C. 共轭梯度法

D. 变尺度法

30.在法迭代运算的过程中，迭代区间不断缩小，其区间缩小率在迭代的过程中（ ）。 A ．逐步变小 B 不变 C 逐步变大 D 不确定

二 填空

1.在一般的非线性规划问题中，kuhn-tucker 点虽是约束的极值点，但 是全域的最优点。

2.判断是否终止迭代的准则通常有 . 和 三种形式。

3.当有两个设计变量时，目标函数与设计变量关系是 中一个曲面。

4.函数在不同的点的最大变化率是 。

5.函数()2212144f x x x x =+-+，在点()

[]132T

X

= 处的梯度为 。

6.优化计算所采用的基本的迭代公式为 。

7．多元函数F （x ）在点x *

处的梯度▽F （x *

）＝0是极值存在的 条件。 8．函数F （x ）=3x 21+x 2

2-2x 1x 2+2在点（1，0）处的梯度为 。 9．阻尼牛顿法的构造的迭代格式为 。

10．用二次插值法缩小区间时，如果p x x <2，p f f >2，则新的区间（a,b ）应取作 ， 用

以判断是否达到计算精度的准则是 。

11.外点惩罚函数法的极小点是从可行域之 向最优点逼近，内点惩罚函数法的极小点是从可行域之 向最优点逼近。

12．罚函数法中能处理等式约束和不等式约束的方法是 罚函数法。 法是以 方向作为搜索方向。

14.当有n 个设计变量时，目标函数与n 个设计变量间呈 维空间超曲面关系。

1．不 2。距离.目标函数改变量.梯度 3。三维空间 4。不同的 5。[]T

42

6．k k k k d x x

α+=+1

7。必要条件 8。][T 2

6- 9。()[]()k k k k x f x f x ??--12α

10．[]b x 2

,ε<-a b ? 11.外.内 12.。混合 13.。逐次构造共轭 14.。n+1

三 问答题

1. 变尺度法的基本思想是什么？

2. 梯度法的基本原理和特点是什么？

3．什么是库恩－塔克条件？其几何意义是什么？

4. 在内点罚函数法中，初始罚因子的大小对优化计算过程有何影响?

5. 选择优化方法一般需要考虑哪些因素?

6. 满足什么条件的方向是可行方向？满足什么条件的方向是下降方向？作图表示。

7. 简述传统的设计方法与优化设计方法的关系。

8. 简述对优化设计数学模型进行尺度变换有何作用。 9. 分析比较牛顿法.阻尼牛顿法和共轭梯度法的特点

10．为什么选择共轭方向作为搜索方向可以取得良好的效果？

11．多目标问题的解与单目标问题的解有何不同？如何将多目标问题转化为单目标问题求

解？

12.黄金分割法缩小区间时的选点原则是什么？为何要这样选点？

四.计算题

1.用外点法求解此数学模型

()()min ..

10F X x s t g x x =???

=-≤?? 2 将()2

2

121212262233f x x x x x x x =+++++写成标准二次函数矩阵的形式。

3 用外点法求解此数学模型 ：()()()12

211221min ..00

f X x x s t

g X x x g X x =+=-≤=-≤

4 求出()2

2

1122262420f x x x x x =-+-+的极值及极值点。

5 用外点法求解此数学模型 ：()()()()3

1211221min 13

..100

f X x x s t

g X x g X x =++=-+≤=≥

6．用内点法求下列问题的最优解：

31

2)(2112221≤-=?+-+=x g t

s x x x x f m in

（提示：可构造惩罚函数 []∑=-=2

1

)(ln )(),(u u x g r x f r x φ，然后用解析法求解。

）。 7.设已知在二维空间中的点[]T x x x 21

=，并已知该点的适时约束的梯度

[]T g 11--=?，目标函数的梯度[]T f 15

.0-=?，试用简化方法确定一个适用

的可行方向。

8. 用梯度法求下列无约束优化问题：Min F(X)=x 12

+4x 22

，设初始点取为X (0)

=[2 2]T

，以梯

度模为终止迭代准则，其收敛精度为5。

9. 对边长为3m 的正方形铁板，在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？建立该问题的优化设计的数学模型。 10. 已知约束优化问题：

)(0)(0

25)(124)(m in 2312222112

21≤-=≤-=≤-+=?--=x x g x x g x x x g t

s x x x f

试以[][][]T T T x x x 33

,14

,120

30

20

1===为复合形的初始顶点，用复合形法进

行一次迭代计算。

机械优化设计综合复习题参考答案

一.单项选择题

13A 16 D

二 填空

1．不 2。距离.目标函数改变量.梯度 3。三维空间 4。不同的 5。[]T

42

6．k k k k d x x

α+=+1

7。必要条件 8。][T 2

6- 9。()[]()k k k k x f x f x ??--12α

10．[]b x 2

,ε<-a b ? 11.外.内 12.。混合 13.。逐次构造共轭 14.。n+1

三 问答题

1.变尺度法的基本思想是：通过变量的尺度变换把函数的偏心程度降低到最低限度，显著地改进极小化方法的收敛性质。

2．梯度法的基本原理是搜索沿负梯度方向进行，其特点是搜索路线呈“之”字型的锯齿路线，从全局寻优过程看速度并不快。

3．库恩-塔克条件是判断具有不等式约束多元函数的极值条件。

()

()

()()

()()????

?

???

????=≥???==???==??+??**=*∑m j m j x g n i x x g x x F j j j i j m j j i ,,2,10,,2,10,,2,101μμμ 库恩—塔克条件的几何意义是: 在约束极小值点*

X 处，函数()x F 的负梯度一定能表示成

所有起使用约束在该点梯度（法向量）的非负线性组合。

4．初始罚因子0r ，一般来说0r 太大将增加迭代次数，0r 太小会使惩罚函数的性态变坏，甚至难以收敛到极值点。

5．选择优化方法一般要考虑数学模型的特点，例如优化问题规模的大小，目标函数和约束函数的性态以及计算精度等。在比较各种可供选用的优化方法时，需要考虑的一个重要因素是计算效率。

6．可行条件应满足第二式：

7.下降条件应满足第一式：

搜索方向应与起作用的约束函数在k

x 点的梯度及目标函数的梯度夹角大于或等于900。 8．数学模型的尺度变换是一种改善数学模型性态，使之易于求解的技巧。一般可以加速优化设计的收敛，提高计算过程的稳定性。 9．牛顿法的迭代关系式为：

阻尼牛顿法的迭代关系式为：

-0

)]([)

()(>-?k T k S X F 0

)]([)()(≥?k T k j S X

g J j ,...,2,1={

共轭梯度法的迭代关系式为：

牛顿法适合二次型问题，阻尼牛顿法有防止目标函数值上升的阻尼因子，适合非二次型问题，两者均需计算海森矩阵及其逆矩阵，计算量大。共轭梯度法用梯度构造共轭方向，

仅需梯度计算且具有共轭性质，收敛速度快，不必计算海森矩阵，使用更加方便。

10．根据共轭方向的性质：从任意初始点出发顺次沿n 个G 的共轭方向进行一维搜索，最多经过n 次迭代就可找到二次函数的极小点，具有二次收敛性。

11．单目标问题的解一般是唯一理想解，多目标的解一般是相对理想解。多目标问题转成单目标问题的常用方法有：主要目标法.线性加权法.理想点法.平方和加权法.分目标乘除法.功率系数法和极大极小法。 12．选点原则是插入点应按分割区间。因为这样选点可以保持两次迭代区间的相同比例分布，具有相同的缩短率。

四.计算题

1．提示：先转化为惩罚函数形式 答案1=x 2．二次函数的矩阵标准形式为

C x B Gx x T T

++2

1 答案为?????

??

?

???

?????1222421T x x +[]32x +3 3．参考第六章复习题提示 结果为][T x 0

0=

4. 用梯度计算极值点 答案为][T 1

5.1

5. 先构造外点罚函数 答案为][T 01-

6. 先构造内点罚函数 答案为][T 3

1

7. 用图解法，先画出约束函数梯度及目标函数梯度，做两者的垂线，与两梯度夹角均大于900

的任意方向均可。

8. 以负梯度为搜索方向进行迭代计算 答案为[]T 0

9. 设剪掉的正方形边长为1x

121[()]()

(0,1,2,)

k k k k k f f k α+-=-??=L x x x x 212

()()

k k

k f f β

+?=

?x x

数学模型为 Min []12)23()(x x x F -=

..t s 01≥x

0231≥-x

10. 提示 先算三点的目标函数值并排序，将最差点沿其余点中心进行反射，计算反射点函数值并判断可行性。 答案为][T

5.31