通信原理课后习题

H
500 log 500 1000 2 1000
125 1000
log
2
125 1000
125 1000
log
2
125 1000
250 1000
log
2
250 1000
1 11 11 11 1 131 2 log 2 2 8 log 2 8 8 log 2 8 4 log 2 4 2 4 2 1.75bit / symbol
端收到的错码为 10 个，试求此系统的误码率。
解：连续工作 1 小时后，系统的误码率为：
Pe
10 1000 3600
2.78 106
1-5 某系统经长期测定，它的误码率 Pe 10 5 ，系统码元速率为 1200B，问 在多少时间内可能收到 360 个错误码元。
解：
t
360 105 1200
0
6
Nq
0.5 (x 0.75)2 (x 1)dx
1
0 (x 0.25)2 (x 1)dx
0.5
0.5 (x 0.25)2 (1 x)dx 1 (x 0.75)2 (1 x)dx
0
0.5
0.0026041 0.0078225 0.0078125 0.00260125
5-6 设有离散无记忆信源 X 为
x P(
x)
x1 0.3
x2 0.2
x3 0.2
x4 0.1
x5 0.1
0x.61
（1） 计算该信源的熵；
（2） 用霍夫曼编码方法对此信源进行编码；
（3） 计算平均码长，并讨论霍夫曼编码的效率。
解：（1）
6
H (x) p(xi ) log 2 p(xi ) 0.3log 2 0.3 0.4 log 2 0.2 0.3log 2 0.1 2.446 i 1
模块 01 数字通信概论
1-1 已知二进制信源(0,1),若 1 符号出现的概率为 1 ,求出现 0 符号的信息 4
量。
解：由题意知 0 出现的概率为 3 ，0 符号出现携带的信息量为： 4
I (0)
log 2
3 4
0.415bit
1-2 某 4ASK 系统的四个振幅值分别为 0,1,2,3，这四个振幅是相互独立的。
（1） 振幅 0,1,2,3 出现的概率分别为 1 , 1 , 1 , 1 ，求每个振幅的信息量和 2488
各种振幅信息的平均信息量。
（2） 设每个振幅的持续时间（码元宽度）为 2 s ，求此系统的信息速率。
解：（1）每个振幅的信息量如下：
I (0)
log 2
1 2
1bit
I (1)
log 2
1 4
7-2 设输入码流为{00}，试将其编码为 HDB3 码，并画出其波形图。 解：
a
0 2a
2a 1! 2
8
（根据积分公式： x2nex2 / a2 dx 2n! ( a )2n1 ） n! 2
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ) a 1 2 a 1 8 16 16
2-2 已知 X (t) 和 Y (t) 是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数及功率
3-2 信道中常见的起伏噪声有哪些其统计特性如何 答：起伏噪声是一种持续波随机噪声，例如热噪声、散弹噪声和宇宙噪声等。 起伏噪声（特别是热噪声）具有很宽的带宽，且始终存在，它是影响通信系统 性能的主要因素。
3-3 已知有线电话信道的带宽为 4KHz。
（1）试求信道输出信噪比为 20dB 时的信道容量。
Rb RB H 1000 1.75 1.75kb/ s （2）
RB 250 4 1000B
H
4(
1 4 log 2
1) 4
2bit / symbol
Rb RB H 1000 2 2kb/ s
1-4 某 4PSK 数字通信系统，码 t 元速率为 1000B，连续工作 1 小时后，接收
（2）若在该信道中传送 s 的数据，试求接收端要求的最小信噪比。
解：（1）由题意知 S 20dB 100 ,由信道容量的公式有： N
C
B log 2 (1
S N
)
4000log 2 (1100)
2.663104
26.63kb/ s
（2）最小信噪比应为：
S
33.6
2 4
1 336 .794
N
3-4 假设彩色电视图像由 5105 个像素组成，每个像素有 64 种颜色，每种颜色
a
a x2
a
1 dx 2a
1 6a
[
x
3
]
a a
a2 3
D(X ) E(X 2 ) E 2 (X ) a2 3
（2）
E(X )
xf (x)dx
0
x
1
x2
e a dx
0 2a
1
de
x2 a
04
1
[e
x2 a
4
]0
1 4
E( X 2 )
x2
1
x2
e a dx
1
2!( a )3
有 16 个灰度级，若所有颜色和灰度级的组合机会均等，且统计独立。
（1）试求每秒传送 25 个画面所需的信道容量。
（2）如果接收端信噪比为 30dB,试求传送彩色图像所需的信道带宽。
解：（1）每个像素的信息量为：
1 I P log 2 64 16 10bit
每秒 25 个画面所含的信息量为： 25 5105 10 125Mb/ s 此时信道容量至少为： C 125Mb/ s
f s 2.2 fm 8.8kHz 设对抽样值最小采用 L 个量化值，有：
Sq 20lg L 30dB ,则 L 32 Nq 每个量化值至少需要 N 个二进制码进行编码，则有： 2N L ,现在 L 32，则 N 5 这个 PCM 系统的信息速率为：
Rb 8800 5 log 2 2 4.4Mb / s
3 104
秒
8.3小时
模块 02 信号
2-1 试求下列概率密度函数的数字期望和方差：
（1）
f
(
x)
1 2a
,a
x
a
0, 其他
（wk.baidu.com）
f
(x)
1
2a
x2
ea
x0
0, 其他
解：（1） E(X )
a
x f (x)dx
a
a a
x
1 dx 2a
1 4a
[
x
2
]a a
0
E(X 2 )
a x2 f (x)dx
5-5 已知语音信号的最高频率 fm 3400 Hz ，若用 PCM 系统传输，要求量化信 噪比为 30 dB ，试求该 PCM 系统的带宽。 解：由量化信噪比有：
Sq 20lg L 30 Nq 最小量化级 L 32 每个量化值需 N 位 二进制进行编码有： 2N L , N 5 系统带宽： B N fm 5 3400 17kHz
解：原始信号含有两个频率成分 f1 20Hz, f2 200 Hz ，抽样信号的频谱是连续 信号的周期延拓，周期为 500 Hz ，经过理想低通滤波器后，存在的频率成分 有：20Hz,200Hz,300Hz.
5-2 语音信号的带宽在 300~3400Hz 之间，假设采用 fs 8000 Hz 对其抽样，若 输出端所需的峰值信号功率与平均量化噪声功率的比值为 30 dB ，试问均匀量 化最小需要多少个电平每个样值最少需要几个比特
D[Z (t)] D[ X cosct Y cosct] cos2 ct[D[X ] D[Y ]] 2 cos2 ct 2 （2） Z (t) 为两高斯随机过程的线性组合，也为一高斯过程，概率密度如下：
z2
f (z)
1
e 4 cos2 (ct ) 2
2 cos(ct)
（3）
R[Z (t1,t2 )] E[(X cosct1 Y cosct1 )(X cosct2 Y cosct2 )]
2bit
1 I (2) log 2 8 3bit
I (3)
log 2
1 8
3bit
各种振幅的平均信息量为：
H
1 2
log 2
1 2
1 4
log 2
1 4
1 4
log 2
1 8
0.5
0.5
0.75
1.75bit
/
symbol
（2）
Rb
RB
H
1 2 106
1.75
875kb/ s
1-3 某 4PSK 数字通信系统用正弦波的四个相位 0， 2, ,3 2 来传输信息， 设这四个相位是相互独立的。 （1） 若每秒钟内 0， 2, ,3 2 出现的次数分别为 500,125,125,250，求 此数字通信系统的码元速率和信息速率。 （2） 若每秒钟内这四个相位出现的次数均为 250，求此数字通信系统的码 元速率和信息速率。 解：（1） RB 500 125 125 250 1000 B
谱密度函数分别为 RX ( ), RY ( ), PX (), PY () ,试求 Z(t) X (t)Y (t) 的自相关函数 和功率谱密度。
解： RZ ( ) E[Z(t)Z(t )] E[X (t)Y (t)X (t )Y (t )] RX ( ) RY ( )
PZ
()
1 2
[PX
f(x)
1
-1
01
x
解：（1）按 8 电平进行均匀量化，量化间隔为 0.25 ，量化电平为
{，，，,,,,}。
（2）按 4 电平进行均匀量化，信号功率 S q 、噪声功率 N q 如下：
Sq
1 x2 f (x)dx
1
0 x2 (x 1)dx
1
1 x2 (1 x)dx 1 0.1667
()
PY
()]
2-3 设 Z (t) X cosCt Y cosCt 是一随机过程，若 X 和 Y 彼此统计独立，且均
值都为 0，方差均为 2 的高斯随机变量，试求： （1） Z (t) 的均值和方差。
（2） Z (t) 的一维概率密度函数。
（3） Z (t) 的自相关函数。
解：（1）
E[Z (t)] E[X cosct Y cosct] E[X ]cosct E[Y ]cosct 0
(k 2n0
/
4 )
fH fH
e
j df
k 2n0 f H (sin 2f H / 2f H )
模块 03 信道
3-1 简述窄带高斯白噪声中的“窄带”、“高斯”和“白”的含义。 答：“窄带”是系统的频带比起中心频率小得多；“高斯”是指噪声的概率密度 函数服从正态分布；“白”是指噪声的功率谱密度函数是常数。
输入 R
C 输出
解：因为理想低通滤波器的传输特性可以表示成：
H
(
f
)
k e 0,
, jtd f f 其它处
H
所以有:
H( f ) 2 k2, f fH
输出信号的功率谱密度为:
PY ( f )
H(
f
)
2
PX
(
f
)
k
2
n0 2
,
f
fH
输出信号的自相关函数:
RY ( )
PY
(
f
)e
j
df
（2）由信道容量公式： C
B log 2 (1
S N
) 有：
B
C
125 12.54MHz
S log 2 (1 N )
log 2 1001
模块 05 模拟信号的数字化传输
5-1 一个信号 s(t) 2cos400t 6cos40t ，用 f s 500 Hz 的抽样频率对它进行 理想抽样，若抽样后的信号经过一个截止频率为 400Hz 的理想低通滤波器，输 出端会有哪些频率成分
E[ X 2 cosct1 cosct2 2 XY cosct1 cosct2 Y 2 cosct1 cosct2 ]
2 2 cos(ct1 ) cos(ct2 )
2-4 当均值为 0，双边功率谱密度为 n0 2 的白噪声通过如图所示的 RC 低通滤波 器时，试求输出噪声的功率谱密度和自相关函数。
0.02084
Sq 0.1667 8 Nq 0.02084
5-4 已知正弦波信号的最高频率 fm 4kHz ，试分别设计一个 PCM 系统，使系统 的输出量化信噪比满足 30 dB 的要求，求系统的信息速率。 解 ： 由 信 号 的 最 高 频 率 fm 4kHz ， 根 据 抽 样 定 义 选 取 抽 样 频 率 为
（2）
x1 码字：11 010
x2 码字：10 001
x3 码字：011 000
（4） 平均码长为：
l 0.3 2 0.2 2 0.2 3 0.1 3 3 2.5
编码效率为：
H (x)
l
2.446 2.5
97.84%
x4 码字： x5 码字： x6 码字：
模块 07 数字信号的基带传输
7-1 设输入码流为{10},试将其编码为（1）双相码，（2）CMI 码和（3）AMI 码，并画出响应的波形。 解：
解：设最小需要 L 个量化电平，每个样值最少需要 N 比特，则有： Sq 20 lg L Nq 即：30 20lg L L 32
又由 2N L L 32, N 5
5-3 已知模拟信号抽样值的概率密度函数 f (x) 如下图所示。 （1）若按 8 电平进行均匀量化，试确定量化间隔和量化电平。 （2）若按 4 电平进行均匀量化，试计算信号与量化噪声功率比。