电路(第五版)答案13章

第十三章非正

12—1 求图示波形的傅里叶级数的系数。 解：f(t) 在第一个周期(πω21=T )内的表达式为

题12-1图

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪

⎨⎧---+--=)

()

()()(1

11πωα

πωαπωαπt E t E t E t f m m m πωααωααωπ≤≤≤≤--≤≤-t t t 111

显然,f(t)为奇函数 f(t)展开为傅里叶级数为

∑∞

=++

=1

110)cos cos ()(k k k

t k b t k a

a t f ωω

由于f(t)为奇函数 , 所以 , 有0,00==k a a 。 而 b k =)

()sin()()()]sin()([

2

1111110

t d t k t a E t d t k t a

E a

m a

m ωωπωπ

ωωωπ

π

--+

⎰

⎰

=

⎭⎬⎫+--++-⎩⎨⎧a t k k

t k k t t k k a E a t k k t k k t a E m m πωωωωππωωωπ)]sin(1)cos()cos([0)]sin(1)cos([212

1111211

=

ka

a a k E m sin )

(22

-π (k=1,2,3…….)

12—2 以知某信号半周期的波形如图所示。试在下列各不同条件下画出整个周期的波形：

（1）a

0=0; (2) 对所有k，b

k

=0;（3）对所有 k，a

k

=0;（4）a

k

和b

k

为零，当k为

偶数时。

解：（1）当a

=0时，在后半个周期上，只要画出f(t)的负波形与横轴（t轴）所围面积与已给出的前半个周期波形所围面积相等即可。以下题解12—2 图中的（b），（c）图均满足此条件。

题12-2图

（a）（b）

（c）

题解12-2图

（2）对所有k,b

k

=0,f(t)应为偶函数，即有f(t)=f(-t),波形如题解12—2图（a）所示，波形对称于纵轴。

（3）对所有 k,a k =0,f(t) 应为奇函数，即f(t)= -f(-t), 波形如图（b ）所示，波形对称于原点。

（4）a k 和 b k 为零，当k 为偶数时，此时，f(t) 称为奇谐波函数，既 a k 和 b k 只出现在k 为奇数时，函数f(t) 满足镜对称性质，即有f(t)= -f(t+2

T ) , 波形如图（c ）

所示。

注：12—1和12—2题的分析说明，周期函数含有某种对称时，其傅里叶级数中不含某些谐波。充分利用这些对称性，可使分解计算大为简化。需要指出的是函数的奇偶性除与函数本身有关外，还与计时起点的选择有关，因此，对某些周期函数可以适当选择计时起点，使它成为奇函数或偶函数，以便简化傅立叶级数的系数计算。

12—3 一个RLC 串联电路。其R=11Ω,L=0.015H ,C=70μF , 外加电压为 u(t) = [11+141.4cos(1000t) –35.4sin(2000t)]V 试求电路中的电流i(t) 和电路消耗的功率。

解： RLC 串联电路如题解12—3图所示，电路中的非正弦周期电压 u(t) 为已知，分别有直流分量，基波和二次谐波分量。可写出电流相量的一般表达式

()()

()

)

1()

(.

.

C

k L k j R U Z U

I k k k k ωω-

+=

=

其中 ,ωL =15Ω,

C

ω1

=14.286Ω .

电压分量分别作用，产生的电流和功率分量为：

（1） 直流 0U =11V 作用时，电感L 为短路，电容 C 为开路，故，I 0=0 , 0P =0 。 （2） 基波 (k=1)作用时，令.

U =10000∠V

Z )1( = R+j(ωL — C

ω1

) =（11+j0.714）Ω =11.023071.3∠Ω 故 ()1.

I =

)

1()1(Z U =

71

.3023.110

100∠∠ =9.072071.3-∠ A

P )1( = I 2)1(R = 905.28 W

（3）二次谐波 (k=2) 作用时，令)

2(U =0

9024.35∠=25.032090∠V

Z )2(=R +j(2ωL — C

ω21) =11 +j(30 — 2

1⨯14.286) =25.366Ω∠0

3.64

故 )2(I =

)

2()2(Z U =

03

.64366.2590

032.25∠∠ = 0.98707.25∠ A

P )2(=I 2)2(R =(0.98)2⨯11 = 10.716 W 所以，电路中的电流 i (t) 为

i (t) = 0 +⨯29.072 cos (1000t — 3.710) +⨯20.987 cos (2000t + 25.70) = 12.83 cos (1000t - 3.710) – 1.396 sin (2000t – 64.30) A 电路消耗的功率

P = 0P +)1(P +)2(P = 905.28 +10.716 = 916 W 12—4 电路如图所示，电源电压为

S u (t) = [ 50 + 100 sin ( 314t ) – 40 cos (628t ) + 10 sin ( 942t + 200)]V 试求电流 i (t) 和电源发出的功率及电源电压和电流的有效植。