高等代数(北大版)第9章习题参考答案
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第九章欧氏空间
1.设a ij是一个n阶正定矩阵,而
(x1,x2,,x n),(y1,y2,,y n),
在n
R中定义内积(,),
1)证明在这个定义之下,
n
R成一欧氏空间；
2)求单位向量
1(1,0,,0),(0,1,,0)
2,⋯,(0,0,,1)
n，的度量矩阵；
3)具体写出这个空间中的柯西
—布湿柯夫斯基不等式。
解1)易见(,)是
n
R上的一个二元实函数，且
(1)(,)()(,)，
(2)(k,)(k)k()k(,)，
(3)(,)()(,)(,)，
(4) (,)a
ij xy，ij
i,j
由于A是正定矩阵，因此
i,
j a ij xy
i
j是正定而次型，从而(,)0，且仅当
0时有
(。
,)0
2)设单位向量
11,00),(0,1,,0)
(,,2,⋯,(0,0,,1)
n，
的度量矩阵为()
Bb，则
ij
a 11 a
12
a
1n
b
ij (,)(0,,
ij
1,
(i)
0)
a
22
a
22
a
2n 1 ( j
)
=a ij，(i,j1,2,,n)，
a
n1
a
n2
a
nn 0
因此有BA。
4)由定义，知
(,) a ij xy(,)a ij x i x j
ij (,)a ij y i y j
i,j，i,ji,j
，，故柯西—布湿柯夫斯基不等式为
axyaxxayy
ijijijijijiji,ji,ji,j
2.在
4
R中,求,之间,(内积按通常定义)，设:
1)(2,1,3,2),(1,2,2,1)，
2)(1,2,2,3),(3,1,5,1)，
3)(1,1,1,2),(3,2,1,0)。
解1)由定义,得
(,)21123(1)210
，所以
,
2
。
2)因为
(，
,)1321253118
(,)11222233 18
，
(，
,)3311223336
cos,
18
18 36 2 2
，
所以
,。
4 3)同理可得
(,(,)17,(,)3, ,)3
3 cos,，
77
3
1
,cos
所以77
。
3.d(,)通常为,的距离，证明；
d。
(,)d(,)d(,)
证由距离的定义及三角不等式可得
d(,)()()
d(,)d(,)。
4中求一单位向量与1,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,3正交。
4在R
解设x1,x2,x3,x4与三个已知向量分别正交，得方程组
x 1 x
2
x
3
x
4
x 1 x
2
x
3
x
4
0，
2x
1 x
2
x
3
3x
4
因为方程组的系数矩阵A的秩为3，所以可令x31x14,x20,x43，即4,0,1,3。
再将其单位化，则
1 a 1
26
4,0,1,3 ，
即为所求。
5．设1,2,n是欧氏空间V的一组基，证明：
1）如果V使,i0i1,2,,n,，那么0。
2）如果1,2V使对任一V有1,2,，那么12。
证1)因为1,2,n为欧氏空间V的一组基，且对V，有,i01,2,,n，
所以可设k11k22k nn，
且有
,, k
1
kk 122nn
k 1 ,1k
2
,2k
n
,n
即证0。
2)由题设，对任一V总有12,
1，特别对基i也有
11i2,，或者12,i0i1,2,,n，
i
再由1)可得0
1，即证12。
2
6设1,2,3是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：
1 3 22
1
123
1 3 22
12
23
1 3
22 12
33
也是一组标准正交基。
证因为
1
1,22,22
212312
9
3
1 9
2 1,22,,2
1223
3
1 9 4(2)(2)0
，
同理可得
,32,30
1，
另一方面
1
1,22,22
11231
9
23
1 9 4 1,4,,
1223
3