特殊三角形讲义

特殊三角形讲义

【知识点精析】

一、等腰三角形

１. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形。

2．等腰三角形的性质:

（１）等腰三角形的两个底角相等;

(2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

3.等腰三角形的判定:

如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。

4. 等边三角形的性质：

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

5．等边三角形的判定:

（1)三个角都相等的三角形是等边三角形;

(2)有一个角是６0°的等腰三角形是等边三角形。

6．含30°角的直角三角形的性质：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

二、直角三角形

1.认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。

按照角的度数对三角形进行分类:如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”,其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。如果△ABC是直角三角形,习惯于把以Ｃ为顶点的角当成直角。用三角A、B、C对应的小写字母ａ、b、ｃ分别表示三个角的对边。

如果AＢ＝AC且∠Ａ=９0°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形,我们称之为等腰直角三角形。

2. 掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。

３．会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。

4. 掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。

５在直角三角形中如果一个锐角是30°，则它所对的直角边等于斜边的一半”。

难点:

在直角三角形中如何正确添加辅助线通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜边上的中线。

三、勾股定理及逆定理

一、勾股定理及其证明

勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

符号语言：在△ABC中，∠Ｃ=90°（已知）

2c

2

2

+

∴

a=

b

(1)已知两边(或两边关系)求第三边;

（２)已知一边求另两边关系；

(3)证明线段的平方关系；

(4）作长为n的线段.

三、勾股定理的逆定理

ﻩ如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+那么这个三角形是直角三角形.

ﻩ1.勾股定理的逆定理的证明是构造一个直角三角形，然后通过证全等完成；

2.勾股定理的逆定理实质是直角三角形的判定之一，与以前学的判定方法不同，它是用代数运算来证明几何问题,这是数形结合思想的最好体现,今后我们会经常用到.

利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ﻩ1．先找出最大边（如c)；

２．计算2c 与22b a +，并验证是否相等．

若222b a c +=，则△AB Ｃ是直角三角形. 若222b a c +≠，则△ＡＢC 不是直角三角形.

注意:（1)△ABC 中，若222c b a =+,则∠C=90°；而222a c b =+时,则∠A=

90°;222b c a =+时,则∠Ｂ＝９0°.

(２)若222c b a <+，则∠C 为钝角,则△ABC 为钝角三角形.

若222c b a >+，则∠C 为锐角,但△ABC 不一定为锐角三角形． 三、勾股数:能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数（或勾股弦数),如3、4、５；6、8、1０;５、12、１3;8、15、17等.

四、全等三角形的概念、性质与判定

1． 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

２． 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等。 3. 全等三角形的判定

(1)三边对应相等的两个三角形全等(简记为：“边边边”或“SSS ”);

（2)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为“边角边”或“SAＳ”)；

（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为“角边角”或“ASA”)；

(4)两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为:“角角边”或“AＡＳ”)；

(5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为：“斜边、直角边”或“ＨＬ”）。

4.常见的一个三角形经过变换得到另一个全等三角形。

(1)平移

(2)翻折

(3）旋转

5. 判定两个三角形全等所需条件:

（１)需要三个条件;

（2)至少有一个条件为边。

注意:“边边角”不一定成立。

反例：如图,△ABC与△AＢC'中,AＢ＝AB,AＣ=AC'，∠ABＣ＝∠ＡBＣ＇，但△ＡBC与△ABC＇不全等。

【典型例题分析】

例1. (2０05年苏州)

如图,等腰三角形ＡBC的顶角为1２0°，腰长为10,则底边上的高ＡD＝_＿＿_____。

例2. 已知,如图,△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝9０°,ＡB的垂直平分线交AB 于Ｅ,交ＡC于D，ＡＤ＝8,∠Ａ=30°，求CD的长。

C

D

A B

E

例3. 已知,如图，△ABC是等边三角形，Ｅ是AB上一点，D是ＡC 上一点,且AE=ＣD,又BD与CE交于点Ｆ,试求∠BFE的度数。

A

E D

F

例4 已知一直角三角形两条直角边上的中线长分别为AE＝5，

BD 210，求其斜边AB长。