双曲抛物面

z z0
2 0

c2

b 2 1
2 0

c2
1
是 z z0 平面上的椭圆
最后与平面 z c 相交于点 (0,0,c)
综上讨论，可知椭球面 形状如图
Z
X Y
类似的，若用平行于xoz及yoz坐标面的两组平面 截椭球面，得到的解痕仍是两组椭圆，如图
z
例2 求与原点O及点A(2,3, 4)的距离之比为1: 2的点的轨迹方程， 并判断其性状。
解：设M (x, y, z)为曲面上任一点，则
| OM | 1 | AM | 2
x2 y2 z2 1 (x 2）2 （y - 3）2 (z 4)2
2
所求方程为 x2 y2 z2 4 x 2 y 8 z 29 0
, x2 y2
f ( y1, z ) 0
得f ( x2 y2 , z) 0 为所求旋转曲面方程。
同理： 曲线C : f ( y, z) 0绕y轴旋转的曲面方程为 f ( y, x2 z2 ) 0
曲线C : f (x, z) 0绕x轴旋转的曲面方程为 f (x, y2 z2 ) 0
c0
x2
:

a
2

y2 b2

z2 c2
1
x2

a
2

y2 b2
1
z 0
z 0
是xoy面上的椭圆
再看：与 z z0( z0 c) 平面的交线
x2
y2
z z cz0
x2
:

a
2

y2 b2
z z0

z2 c2
1


a
2
1
解决方法：采用截痕法，即用坐标面及平行于 坐标面的平面去截曲面，观察所的截线的形状， 从而确定曲面图形。
下面讨论几个特殊的二次曲面
一、椭球面
方程
：x 2
a2

y2 b2

z2 c2
1,
(a 0,b 0, c 0)
首先： x a,
y b, z c
其 次 ： 与 xoy 坐 标 面 的 交 线 （ 截 痕 ）

0, (2)z

4,
(3)

x y

0 0
各表示什么图形？
解：(1)z 0 xoy坐标面
(2)z 4 平行于xoy面且距离为4的平面
x 0
(3) z
y

0
yoz与zox面的交线，即z轴
z
o
x
4
o
y
y
x
定义 一条平面曲线绕着平面上一条直线旋转一周所成的曲面 叫做旋转曲面。
三、柱面 例7 在空间直角坐标系中，方程x2 y2 R2表示怎样的曲面？
解：在xoy面上,x2 y2 R2表示圆。 显然直线L上点M (x, y, z)满足
x2 y2 R2 故曲面:x2 y2 R2称为圆柱面 圆x2 y2 R2 ---准线， L 母线（平行于z轴） 定义 平行于定直线，并沿定曲线C移 动的直线L形成的轨迹叫做柱面 定曲线C 准线, 动直线L 母线
一般的
F(x, y) 0 母线 z轴的柱面 G(x, z) 0 母线 y轴的柱面 特点：缺一个变量
H ( y, z) 0 母线 x轴的柱面
例8
x2 a2

y2 b2
1 母线
z轴的双曲柱面；
x y 0 过z轴的平面；
z2 5 母线 轴的柱面。
3
3
即 (x 2）2 （y 1）2 (z 4)2 ( 2 39)2
3
33
－－－球心( 2 , 1, 4)，半径R 2的球面
3
3
3
求面方程的一般形式 Ax2 Ay2 Az2 Dx Ey Fz G 0(A 0)
特点 缺xy, yz, zx；平方项系数相等 例3 设有点A(1, 2,3)和B(2, 1, 4)，求线段AB的垂直平分面的方程。
z
0
x
z y
0
x-y=0 x
yz
0
y
x
四 二次曲面 称三元二次方程F(x, y, z) 0所表示的曲面为二次曲面。 Ax2 By2 Cz2 Dx Ey Fz G 0(A, B,C不全为零) 而Ax By Cz 0表示的的曲面称为一次曲面---平面。
问题：给定方程F(x,y,z)=0，如何确定方程所 表示的曲面形状？
曲线C－母线 定直线L－轴
M (x, y, z)
0
z

0
C : f (x, y) 0 M1(x, y, z)
y
x
百度文库 设C为yoz平面上一条曲线，
C : f (y, z) 0
建立曲线C绕z轴旋转的曲面 的方程
解：设M (x, y, z)为上任一点，则M点是由C上一点旋转所成，故
z1 z y1
解：设M (x, y, z)为平面上任一点，则 | AM || BM |
即 (x 1）2 （y - 2）2 (z 3)2 (x 2）2 （y 1）2 (z 4)2
整理化简 2x 6y 2z 7 0 平面方程，三元一次方程
例4
问：空间坐标系中，方程(1) z
绕z轴旋转的曲面方程为 f ( x2 y2 , z) 0
曲线C : f (x, y) 0绕x轴旋转的曲面方程为 f (x, y2 z2 ) 0
绕y轴旋转的曲面方程为 f ( x2 z2 , y) 0
例5 yoz平面上直线L : z cot y绕z旋转的曲面方程：
z
o x
o
yx
y
特别的：
x2 y2 z2
a=b时，方程
a2

2
b

c2
1为旋转椭球面
a=b=c时，方程为 x2 y2 z2 a2 为球面
: z x2 y2 cot 0
即z2 cot2 (x2 y2 ) 圆锥面方程
－－ 圆锥的半顶角 若＝ ，则
4 ：z2 x2 y2
例6 建立xoz面上抛物线z2 5x分别绕x轴，z轴旋转一周所 形成曲面的方程，并画图。 解：绕x轴旋转的曲面方程：z2 5 x2 y2 绕z轴旋转的曲面方程：y2 z2 5x