椭圆、双曲线切线方程的一个简便求法
cfd椭圆型方程 双曲线方程
椭圆型方程和双曲线方程在数学和物理学中都是重要的方程形式。
它们在描述各种自然现象和工程问题中起着非常重要的作用。
本文将分别介绍椭圆型方程和双曲线方程的相关知识和应用。
一、椭圆型方程1.1 椭圆型方程的定义椭圆型方程是指二次型方程中的常对称阵为正定的方程。
具体而言，一个椭圆型方程可以写成如下形式：a(x^2) + 2bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0其中a，b，c为实数且满足a*c - b^2>0。
当a*c - b^2=0时，方程表示一个退化的椭圆。
1.2 椭圆型方程的性质椭圆型方程描述的图形是一个椭圆，其性质包括但不限于：（1）椭圆对称性：椭圆与x轴和y轴对称。
（2）离心率：椭圆的长轴和短轴之比称为椭圆的离心率，是一个重要的椭圆参数。
（3）焦点、直径、面积等椭圆的相关性质。
1.3 椭圆型方程的应用椭圆型方程在物理学、工程学和金融学等领域有着广泛的应用。
在天体力学中，行星公转的轨道可以用椭圆型方程描述；在工程学中，椭圆型方程可以用于描述声波在二维介质中的传播等。
二、双曲线方程2.1 双曲线方程的定义双曲线方程是指二次型方程中的常对称阵为否定定的方程。
具体而言，一个双曲线方程可以写成如下形式：a(x^2) - c(y^2) = 1其中a，c为实数且满足a*c - 1<0。
当a*c - 1=0时，方程表示一个退化的双曲线。
2.2 双曲线方程的性质双曲线方程描述的图形是一个双曲线，其性质包括但不限于：（1）双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与曲线的两支趋向于并成的方向平行。
（2）双曲线的焦点、直径、面积等相关性质。
2.3 双曲线方程的应用双曲线方程在物理学、工程学和经济学等领域也有着广泛的应用。
在电磁学中，电磁波的传播可以用双曲线方程描述；在经济学中，需求曲线和供给曲线的交点通常可以用双曲线方程来表示。
椭圆型方程和双曲线方程是数学中重要的方程形式，它们在各个领域都有着广泛的应用。
过椭圆上一点的切线方程公式
过椭圆上一点的切线方程公式结论：过椭圆 \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 上一点 p（x_{0}，y_{0}）切线方程为\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}=1推导：法一：利用判别式△=0设直线 l：y-y_{0}=k(x-x_{0})联立直线与椭圆方程，消去y，此时只有斜率k为未知数，利用联立后方程中△=0可以解出k将k代回直线化解即可，但化解过程会有些复杂法二：对椭圆求导用隐函数求导的方法可以求出 \frac{dy}{dx}=-\frac{b^{2}x}{a^{2}y} 将p点代入后可列出直线方程：y-y_{0}=-\frac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}} (x-x_{0}) 化解后可得：a^{2}y_{0}y+b^{2}x_{0}x=a^{2}y_{0}^{2}+b^{2}x_{0}^{2}上式两边同时除以a²b²即可得\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}=1法三：仿射变化令x^{’}=\frac{x}{a}y^{'}=\frac{y}{b} 此时椭圆化为单位圆 x^{'}+y^{'}=1 p点坐标写为（\frac{x_{0}}{a},\frac{y_{0}}{b}）由圆切线方程易得p点处切线方程为\frac{x_{0}}{a}x^{'}+\frac{y_{0}}{b}y^{'}=1由仿射不变性代回得椭圆上p点处切线方程\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}=1推导方法还有很多，在此就不一一叙述了结论虽然好用，不过在大题里不可以直接用。
如果要用需要先写出步骤（设方程联立△=0或根据对称性得到某一区域的函数求导），有步骤后再直接写出直线方程。
双曲线的(切线(全面版))
双曲线的（切线(全面版)）
双曲线的切线是椭圆的切线。
它体现的是椭圆的两个焦点之间的线性关系。
椭圆的切线被分为三类：椭圆的位置切线、双曲线的切线以及抛物线的切线。
双曲线的切线是一类特殊的椭圆的切线，表示椭圆的两个焦点之间线性关系的另一种形式。
双曲线的切线有两个焦点，它们形成两个平行线，平行线上的点之间线性关系紧密，更加复杂。
双曲线的切线是双曲线方程中的一类特殊解决方案。
解决双曲线的切线时，需要考虑双曲线的焦点的位置。
由于双曲线的焦点不在坐标轴上，双曲线的切线的解决方案具有较大的难度。
双曲线的切线在双曲线方程中求解角度时，也会产生一些概念上的模糊，所以具有较大的难度。
可以采用几何方法来解释双曲线的切线，通过椭圆的变形，将双曲线变成一个椭圆，椭圆的两个焦点将在直线上，椭圆在其他点上的切线将按照双曲线方程中的解给出双曲线的切线。
这样，可以通过尝试来解决双曲线的切线，但是要避免估计的误差。
因此，解决双曲线的切线，既可以采用几何方法，也可以采取解析方法。
几何方式解决双曲线的切线，需要用户预估双曲线方程中的焦点位置，容易出错；而采取解析方法，利用双曲线方程转换情况，有助于推导出双曲线的切线，解决效果更好。
综上所述，双曲线的切线是双曲线方程中的特定解决方案，可以采用几何方法和解析法求得正确的解答，但是结果的正确性取决于用户的判断力。
二次曲线的切线方程及应用
二次曲线的切线方程及应用[摘要] 本文主要利用隐函数求导的方法推导常见二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）上某点处的切线方程，并得出一般二次曲线的切线方程及切点弦方程，再将相应结论进行应用。
[关键词] 二次曲线切线方程切点弦方程有关二次曲线的切线方程及其应用问题，近年来在各类考试中出现的频率颇高，为更好地解决此专题的问题，笔者将常见二次曲线的切线方程及切点弦方程的有关结论及推导过程整理一遍，并简述其应用，以供广大教师及学生参考．1几个常见结论及推导1．在圆上一点处的切线方程为：．（注：为与求其它二次曲线的切线方程所用方法一致，这里利用涉及隐函数求导的方法来推导．）将圆的方程中的y视为关于x的函数（即y是x的隐函数），那么就可以在上式两边分别对x求导数．隐函数求导法则，实际与复合函数求导法则一致，将y看作中间变量，外函数是，内函数为，故．于是有：在两边分别对x求导，得，若，则有．由导数的几何意义知，曲线上某点处切线的斜率是该点的导数值．故对于圆上点，若，则有，此即为在点M处切线的斜率，故所求切线方程为．又，① 为所求．若，由图象可知，此时所求切线方程为：或．又，故所求切线方程为：或．也满足①式．故在圆上一点处的切线方程可统一写为：．2．在椭圆上一点处的切线方程为：．推导过程如下：在两边分别对x求导得：，对于点，若，则有，此即为在点M处切线的斜率．故所求切线方程为，又，故②为所求．若，此时所求切线方程为：或，也满足②式．故在椭圆上一点处的切线方程为：．3．在双曲线上一点处的切线方程为：③．注：推导过程与结论1和结论2的推导过程类似，可让学生动手推导，体会其中的思想．4．在抛物线上一点处的切线方程为：．在两边对x求导，得．对于点，若，则有，此即为在点M处的切线的斜率．故所求切线方程为，即，又在抛物线上，故，因此所求切线方程为：④．若，此时所求切线方程为：也满足④式．故在抛物线上一点处的切线方程为：．结论4的切线方程形式与前3个结论有些不同，引导学生从抛物线的方程的形式观察，得到结论：抛物线的切线方程实际上可写为，进而得到一般性的结论5．将以上四个结论推广，可得到以下结论：5．设是二次曲线上一点，则此曲线在点M处的切线方程为：⑤．注：二次曲线的方程中不含项．此结论推导过程可仿照上述结论的推导过程来完成，这里不再赘述．从结论5出发，进一步思考，若点在二次曲线外，则过点M可作曲线的两条切线，设切点分别为，那么由切点在曲线上及结论5可知，曲线在点A处的切线方程为，曲线在点B处的切线方程为，因点在切线上，故⑥，同理，⑦，综合⑥⑦得，点，的坐标都满足方程．因为经过点的直线是唯一的，故过点A,B的直线方程为：．由此，我们可以得到另一个结论：6．设是二次曲线外一点，则过点M可作曲线的两条切线，设切点分别为，则直线AB的方程（即切点弦方程）为：．由结论6，将曲线方程特殊化为高中常见的二次曲线方程，即可得到关于圆、椭圆、双曲线和抛物线的切点弦方程的相应结论．2应用有关切线方程及切点弦方程的考题，近几年均是热点，比如广州市2013届普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）（简称“广州市一模”）第20题，2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科/理科）第20题，2014年清华等七校自主招生考试（简称“华约卷”）第5题等．2013年广东高考的解析几何题虽和当年广州市一模的解析几何题有较大相似度，但考试结果仍不理想，文[1]指出，2013年的解析几何题“不仅加大了计算量，而且对计算的技巧性的要求大大增强，与压轴题的难度接近（第20题得分2.85分，第21题得分2.13）．”因此，有必要对切线方程及切点弦方程这一专题内容做一个梳理．现将2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学第20题展示如下：已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线 :的距离为 .设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线 ,其中为切点.(Ⅰ) 求抛物线的方程；(Ⅱ) 当点为直线上的定点时,求直线的方程；(Ⅲ) 当点在直线上移动时,求的最小值.略解：(Ⅰ)易得所求抛物线方程是：．(Ⅱ)利用第1部分的结论6，即得所求直线的方程（即切点弦方程）为：，即．（注：高考需将结论6的过程在答卷上推演一遍，因其不是高中课本内的结论.第(Ⅲ)小题解答略．）从此题的解答看，熟知第1部分的几个结论虽可立即得正解，但在高考题的作答中仍要将推导过程再演算一遍，似乎不太便捷，这是因为此题直接考查结论（求切点弦方程），若考查的是利用切点弦方程再求其它问题，那熟知结论的优越性立刻体现．请看2014年华约卷第5题：过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，设直线与轴、轴分别交于点，求的面积的最小值．解析：法一：设，由结论6知，直线的方程为：，，，故的面积．又点在椭圆上，故．由基本不等式得：，即（当且仅当时，等号成立），．，即的面积的最小值为．法二：（利用椭圆的参数方程求解）因点在椭圆上，故可设，由结论6知，直线的方程为：，故，的面积（当且仅当，即或时，等号成立），故的面积最小值为．解法一与解法二虽具体利用的知识不同，但其求解思路是一致的，关键的一步在于写出直线PQ的方程，而在自主招生或竞赛类考试中，直接写出二次曲线的切线方程或切点弦方程是允许的．因此，教师可将有关二次曲线的切线方程及切点弦方程问题形成一个小专题，根据学生水平及实际需要，适当讲解以上结论作为拓展，为学生获得更佳成绩打好基础．3小结由于高中阶段没有涉及到隐函数求导的内容，因此高考题在考纲范围内只能考查形如的抛物线的切点弦方程，对于一般水平的学生，教师只需讲透高中常见的解法即可．而第1部分的结论是常见二次曲线的有关切线方程和切点弦方程的结论，结论5、结论6将常见二次曲线的切线方程、切点弦方程统一起来，得到一般二次曲线的切线方程、切点弦方程．实践表明，对于能力较强的学生，是可以理解第1部分的几个结论的推导，并且利用这些结论对于他们应对自主招生或竞赛类考试有一定的帮助．参考文献[1] 彭建开.于平凡处见“真功夫”——2013年高考广东理科试题第20题解析[J].广东教育(高中版), 2013(7·8): 59-60．。
求椭圆切线方程(3篇)
第1篇椭圆是平面解析几何中的一种基本曲线，其方程一般形式为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是椭圆的半长轴和半短轴，且 $a > b$。
在数学分析、几何学以及物理学中，椭圆切线方程的研究具有重要意义。
本文将探讨椭圆切线方程的求解方法。
一、椭圆切线的几何性质椭圆的切线具有以下几何性质：1. 切线与椭圆相切于一点，且在该点处切线斜率存在。
2. 对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其切线斜率 $k$ 与椭圆上切点坐标 $(x_0, y_0)$ 满足关系 $k = -\frac{b^2}{a^2} \cdot\frac{x_0}{y_0}$。
3. 对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其切线方程可以表示为 $y = kx + m$，其中 $m$ 为切线在 $y$ 轴上的截距。
二、椭圆切线方程的求解方法1. 直接法直接法是指直接根据椭圆的方程和切线的几何性质，推导出椭圆切线方程的方法。
设椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上的切点坐标为 $(x_0,y_0)$，切线斜率为 $k$。
根据切线斜率的几何性质，有 $k = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{x_0}{y_0}$。
又因为切点 $(x_0, y_0)$ 满足椭圆方程，所以 $\frac{x_0^2}{a^2} +\frac{y_0^2}{b^2} = 1$。
联立上述两个方程，解得 $x_0 = \frac{a^2k}{\sqrt{k^2 + b^4/a^4}}$，$y_0 = \frac{b^2}{\sqrt{k^2 + b^4/a^4}}$。
将 $x_0$ 和 $y_0$ 代入切线方程 $y = kx + m$，得 $y = k \cdot\frac{a^2k}{\sqrt{k^2 + b^4/a^4}} + m$。
椭圆上一点处切线方程的几种求法
椭圆上一点处切线方程的几种求法
王 洪 涛
（新 乡职业技 术学院 河南 新 乡 ４５３００６）
在 中学阶段 ，曾学过直线与圆的位置关 系 。若直线与圆相切，则有圆心到直线 的距 离等于圆的半径 。但对 于椭 圆来说 ，若直线 与椭圆相切 ，就没法得 出上述 结论 了。如何
Ｘ ＯＸ
＋
一（ ＋
－．．
，
·点 · ．
尸（
ｙ。）在
分析：显然，题 目已经给出点Ｐ 的坐 垒 ＋兰 ：０
椭 圆 上
标 ，只需求 出切线 ｆ的斜率 ，即可得 出切线 Ｚ 方程 。
二 、 解法 举 例 方 法 一 ： 交 点个 数 法
分析：由椭圆Ｃ 与直线，相切于点Ｐ
得，直线 ，与椭圆 Ｃ 只有一个交点，通过联
２、对 于本文开头给 出的问题来 说，若
方法四：参数求导法
使用命题 的结论 ，那么可以直接得 出答案：
分析：显然，椭圆ｃ：等 了７２＝１可以转
化为参数函数，结合参数 函数求导法及导数 的几何意义可得椭圆Ｃ 在点Ｐ 处的切线 ， 的斜率 。
解 ：设切线 Ｚ的斜 率为 ｋ ，由椭 圆
３
即 一 ３ｘ 由导数的几何意义及点 Ｐ（１ ３ 即 ４ｙ ， ，由导数的几何意义及点 ｋｘ， ２
ｋ ： 一 １３－１
： 一
得 ， ’ｉ ‘ ．切 线 Ｚ ：
ｃ 一 一
＝ 一
，
· ． ．
＋ 等一 ．·．切线，： ＸＯＸ＋ 一－＝ｏ
ｚｎ ＹｎＹ ．
即 ：
注 ：１、除了隐 函数 求导法 以外，还可 以利 用 复合 函数 法 ，参 数函数 法等加 以证 明 。
求曲线（圆、椭圆、抛物线和一般曲线）的切线方程专题讲义-云南民族大学附属中学高三数学复习
求曲线（圆、椭圆、抛物线和一般曲线）的切线方程专题一 考纲解析：曲线的切线方程是近几年高考的重点和难点，一般出现在选择、填空和大题等位置。
常出现的题型包括圆的切线方程，椭圆、双曲线、抛物线以及一般曲线的切线方程。
处理方法有用直线与曲线联立∆判别式为零确定相切情况和利用导数几何意义求曲线的切线方程。
二、题型解析题型一 圆的切线方程方法指导：圆切线问题处理步骤首先看点),(000y x P 是在圆上还是圆外：若过圆上一点且与圆相切的切线方程只要一条；若过圆外一点且与圆相切需结合图形分析，过圆外一点且与圆相切要考虑切线斜率是否存在？如果斜率存在一般设切线方程：)(00x x k y y -=-切通过点到切线距离等于圆半径求出切线斜率，最后可通过图形检验切线斜率的正负性。
典例一 过点M （0,5）、N （3，-4）的圆圆心C 在直线：-2x+3y+3=0.求过点H （-2,4）且与圆C 相切的切线方程【解】：根据圆知识点圆内两条相交弦的交点即为圆心，3354-=--=MN k ,M,N 的中点为 （21,23），直线MN 的中垂线为：)23(3121-=-x y ，设圆心坐标为(a,b) 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧-=-=++-)23(31210332a b b a 解得圆心坐标（3,1），故圆C 方程：25)1()3(22=-+-y x 如上图所示，H 点在圆外部，其中一条切线方程显然为：x=-2另外一条存在斜率，设为：)2(4+=-x k y ，圆心C(3,1)到直线的距离51|35|2=++=k k d ，解出,158则方程为：8x-15y+16=0,综述切线方程为：x=-2或8x-15y+16=0. 变式训练：(1)（2010年课标全国）圆心在原点且与直线x+y+2=0相切的圆的方程为【解】设圆的方程为：222r y x =+，根据题意，得22|2|=-=r ，所以圆的方程为：222=+y x(2) (2020.浙江)已知直线1)4(1)0(2222=+-=+>+=y x y x k b kx y 和圆与圆均相切，则k= ,b= .【解】: 如下图所示：满足k>0的直线方程即与122=+y x 圆相切且又与1)4(22=+-y x 圆相切的直线为直线AB ，则设直线AB方程为：)2(-=x k y ,圆心O （0,0）到直线AB的距离11|2|2=+-=k k d ，解得332,33-==b k 进而得到。
椭圆一点处的切线方程
椭圆一点处的切线方程一、椭圆的定义与性质椭圆可以用数学方式定义为平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个固定点称为焦点，常数称为焦距。
椭圆还有一个重要的参数，即长半轴和短半轴，分别表示椭圆的长和宽。
椭圆具有许多重要的性质。
首先，椭圆是一个闭合曲线，它的内部被圆形所包围。
其次，椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于焦距。
此外，椭圆的两个焦点和中心共线，并且椭圆的两个焦点之间的距离等于长半轴的两倍。
椭圆还具有对称性，即椭圆关于x 轴和y轴都具有对称性。
二、椭圆上一点处的切线方程在椭圆上的任意一点，都存在唯一的切线。
切线是与曲线仅有一个公共点且与曲线在该点处切于一点的直线。
对于椭圆上的一点P(x,y)，其切线方程可以通过以下步骤求得。
我们需要知道椭圆的方程。
椭圆的标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
假设椭圆的中心为原点(0,0)，则椭圆上的一点P(x,y)满足该方程。
我们需要求出椭圆上一点处的斜率。
椭圆上一点处的切线斜率等于曲线在该点处的导数。
对椭圆的标准方程进行求导，可以得到导数的表达式。
然后将椭圆上一点的横坐标x代入导数表达式中，即可得到切线的斜率。
我们可以利用点斜式或一般式来表示切线方程。
点斜式通过一点的坐标和斜率来表示直线方程，而一般式则通过直线的一般形式Ax+By+C=0来表示直线方程。
三、切线方程的实例为了更好地理解椭圆上一点处的切线方程，我们来看一个实例。
假设椭圆的方程为(x/4)^2 + (y/3)^2 = 1，而我们要求解椭圆上的一点P(2,1)处的切线方程。
根据椭圆的方程可知，a=4，b=3。
然后，求解椭圆的导数表达式，得到导数为dy/dx = -3x/4y。
接下来，将点P(2,1)的横坐标2代入导数表达式中，得到切线的斜率为dy/dx = -3*2/4*1 = -3/2。
我们可以使用点斜式或一般式来表示切线方程。
二次曲线的切线问题
二次曲线的切线问题洪江摘要：本文针对历年来的二次曲线的切线这个高考热点问题进行探讨。
其中主要介绍椭圆、双曲线、抛物线这三种二次曲线。
文中概述了切点在曲线上和曲线外时切线的求法，并以高考题目作为例子进行论述。
随后本文还讨论了切点所带来的切点弦问题、切点弦方程的求法及应用的关键。
最后还提出和总结了几种二次曲线中与切线相关的小性质，并且说明了其来源。
关键词：二次曲线；椭圆；双曲线；抛物线；切线；切点弦；性质An Study on Tangent Lines of ConicHongjiangAbstract: This study intends to discuss tangent lines of conic which has been a hot topic in National College Entrance Examination since these years. Firstly, it mainly exam Three parts of conic—Ellipse, Hyperbola, Parabola. This study summarizes ways to get tangent pains either on the curve or out of it and it also uses questions from NCEE to support it. Secondly, in this study, we discuss chord of contact which follows the tangent point, methods to work out equation of the cut point and how to use well. Finally, it also finds and summarizes some qualities of conic and shows their origins.Key words: Conic, Ellipse, Hyperbola, Parabola, Tangent, Quality二次曲线在高考中占着很重要的地位，往往是作为压轴题出场，特别是近年来其切线问题的应用的综合性问题更是一个热点。
导数法求双曲线切线方程的三种题型
导数法求双曲线切线方程的三种题型双曲线是数学中的一种曲线，它的方程可以通过导数法求解切线方程。
在求解双曲线切线方程时，我们可以遇到三种不同的题型，分别是直角双曲线、平方差双曲线和标准双曲线。
下面将逐一介绍这三种题型的求解方法。
1. 直角双曲线的切线方程对于直角双曲线的切线方程的求解，步骤如下：1. 先将直角双曲线的方程表示为标准方程，即$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$。
2. 求出曲线上任意一点 $(x_0, y_0)$ 的导数 $y'$。
3. 代入切点 $(x_0, y_0)$ 的坐标，求出导数的值 $y'(x_0)$。
4. 利用点斜式或一般式，得到切线方程。
2. 平方差双曲线的切线方程平方差双曲线的切线方程的求解过程如下：1. 先将平方差双曲线的方程表示为标准方程，即$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = \pm 1$。
2. 求出曲线上任意一点 $(x_0, y_0)$ 的导数 $y'$。
3. 代入切点 $(x_0, y_0)$ 的坐标，求出导数的值 $y'(x_0)$。
4. 利用点斜式或一般式，得到切线方程。
3. 标准双曲线的切线方程标准双曲线的切线方程的求解过程如下：1. 标准双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$。
2. 求出曲线上任意一点 $(x_0, y_0)$ 的导数 $y'$。
3. 代入切点 $(x_0, y_0)$ 的坐标，求出导数的值 $y'(x_0)$。
4. 利用点斜式或一般式，得到切线方程。
这三种题型的求解方法都是利用导数法来求解切线方程，但具体求解步骤可能会有所不同。
以上就是求解双曲线切线方程的三种题型的基本方法。
对于更复杂的情况，可能需要借助其他数学知识和技巧来进行求解。
希望这份文档能对你有所帮助！。
椭圆和双曲线的公式
椭圆和双曲线的公式
椭圆和双曲线是数学中两种不同的曲线类型，它们的公式可以用来描述它们的形状和特点。
椭圆的公式为x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a和b是椭圆长轴和短轴的长度。
椭圆是一个类似于圆形但更加扁平的曲线，它的所有点到两个固定点（焦点）的距离和为定值，这个定值就是椭圆的两个轴的长度之和。
椭圆在几何学和物理学中都有着广泛的应用，例如描述行星轨道、电子轨道等。
双曲线的公式为x^2/a^2-y^2/b^2=1，其中a和b是双曲线的两个参数。
双曲线是一个类似于椭圆但更加瘦长的曲线，它的形状类似于两个开口的漏斗。
双曲线是极坐标系中的渐进线之一，也是物理学和工程学中常见的曲线，例如描述声波、电磁波等。
除了它们的公式之外，椭圆和双曲线还有很多有趣的性质和应用。
例如，它们都有着不对称的特点，即它们的左右两侧和上下两侧的形状是不同的。
这一特点在图像处理、信号处理和模式识别等领域中都有重要的应用。
另外，椭圆和双曲线还有很多有用的参数和变换。
例如，对于一个椭圆，我们可以通过改变它的长短轴的长度和方向、旋转角度、平移等方式来生成不同形状的椭圆。
总之，椭圆和双曲线是数学中非常重要的曲线类型，有着广泛的应用。
它们的公式和形状特点可以帮助我们更好地理解它们的性质并进行相关的研究和应用。
二次曲线的切线方程
二次曲线的切线方程二次曲线，即二次函数曲线，是椭圆、抛物线、双曲线等曲线的总称。
它们都可以用一般形式的二次方程来解释，并且都有它们的切线方程。
关于二次曲线的定义和切线方程的探讨，以及它们在数学上的应用，也引起了很多学者的兴趣。
一、定义从几何上来看，二次曲线是一种将二次函数与一条曲线结合在一起的直线段，它可由二次函数或者一般形式的二次方程所表示。
具体而言，一般形式的二次方程为：y=ax2+bx+c（其中a、b和c为实数，a≠0），其中a代表二次曲线的开口方向，b代表曲线的斜率，c代表曲线的位置。
根据a的值的不同，可分为椭圆、抛物线和双曲线三种形式。
二、切线方程对于任意一个二次曲线，每个点都有一条唯一的切线，这条切线的斜率可以通过二次曲线的切线方程来得到，公式如下：切线方程：y=2ax+b其中，a代表二次曲线的一阶导数，b为切线与曲线交点的横坐标值。
以椭圆为例，它的一般形式二次方程为：y=ax2+bx+c（其中a、b和c为实数，a≠0）它的一阶导数：dy/dx=2ax+b因此，椭圆的切线方程为：y=2ax+b以上就是二次曲线的切线方程的定义及求解过程，将它们用于实际应用就需要深入研究。
三、实际应用1、二次曲线的切线方程在求解几何问题中是很有用的。
例如，求两曲线的位置关系、点到曲线的距离等，都可以利用它来解决。
2、切线方程在微积分中也有实际应用，比如求解曲线的面积、极限等，这些问题都可以使用切线来求解。
3、当考虑回归分析的时候，我们也可以运用二次曲线的切线方程来拟合不同的数据点，以获得该数据的更准确的特征值。
、总结二次曲线的切线方程的求解及应用，是数学中一个重要的研究课题，蕴含着丰富的内涵。
它使用得越多，就能帮助我们更好地理解几何图形及数学方程，从而更好地发掘它们之间的联系，为我们解决现实问题提供更多依据。
互相垂直的椭圆切线轨迹
互相垂直的椭圆切线轨迹
互相垂直的椭圆切线之间的轨迹是一个双曲线。
设两个椭圆的方程分别为:
椭圆1: $\frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1$
椭圆2: $\frac{x^2}{a_2^2}+\frac{y^2}{b_2^2}=1$
一个椭圆的切线方程为: $y=mx+c$
代入椭圆方程后可得到切线和椭圆的交点坐标为:
$x=\frac{a^2(m^2 b^2_1+a^2)}{b^2_1+m^2 a^2}$
$y=\frac{m a c}{\sqrt{b^2_1+m^2 a^2}}$
为了使另一个椭圆与该切线垂直，两个切线的斜率的乘积应该为-1，即 $m_1m_2=-1$。
代入另一个椭圆的切线方程后可得到切线和椭圆的交点坐标为:
$x=\frac{a_2^2(m^2 b_2^2+a_2^2)}{b_2^2+m^2 a_2^2}$
$y=\frac{m a_2 c}{\sqrt{b_2^2+m^2 a_2^2}}$
根据两个椭圆切线的交点坐标之间的关系，可以写出下列方程:
$\frac{a_1^2(m^2 b_1^2+a_1^2)}{b_1^2+m^2 a_1^2} \cdot
\frac{a_2^2(m^2 b_2^2+a_2^2)}{b_2^2+m^2 a_2^2} = \frac{a
a_2 c^2}{\sqrt{b_2^2+m^2 a_2^2}} \cdot \frac{m a
c}{\sqrt{b_1^2+m^2 a_1^2}}$
这是一个二次方程，当满足这个二次方程时，两个椭圆切线之间的轨迹是一个双曲线，方程的图像就是这个轨迹。
过椭圆上任意一点的切线方程引发的思考与结论
过椭圆上任意一点的切线方程引发的思考与结论最近笔者在讲授高三第一轮复习时遇见复习资料上一个题目：过椭圆外一点向椭圆作切线，与椭圆切于两点，可知经过两点的直线的方程为．类比上述方法，过双曲线外一点向双曲线作切线，与双曲线切于两点，则经过两点的直线的方程为．资料书上虽然给出了答案．但是推导结论的方法，很多同学一知半解，授人以鱼，不如授人以渔，数学中不少结论和公式的推导过程本身蕴含着丰富的思想和方法，它们是我们进行研究性学习的良好素材，本文就这一结论的推导过程谈一点自己的思考．用同一种数学思想方法解决不同的数学问题我们称之为“多题一解”．在现代教育背景下，教师应当积极地将多题一解的思想融入教学当中去，从而促使学生的解题能力和知识理解能力得到强化．本文主要对多题一解思想在高中的数学教学中的渗透实施进行了分析，希望能为高中数学教学开展效果提升做出贡献．问题一已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线的方程．解：如上图，设切线的斜率为，则，，．经过点的切线方程是：整理得．因为点在圆上，所以．所求的直线方程为．当点在坐标轴上时上面方程同样适用．问题二已知椭圆的方程是，求经过椭圆上一点的切线的方程．解：由对称性知，只要求椭圆在轴上方部分即可．，，．由点斜式得，变形得，化简即得．问题三已知双曲线的方程是，求经过双曲线上一点的切线的方程．解：由对称性知，只要求双曲线在轴上方部分即可．，，．由点斜式得，变形得，化简即得．问题四已知抛物线的方程是，求经过抛物线上一点的切线的方程．解：由得，，．由点斜式得，变形得，化简即得．问题五过圆外一点向圆作切线，与圆切于两点，求经过两点的直线的方程．解：设，由问题一可知、的方程分别为、，则有、．可知点在直线上，点在直线上，所以直线的直线方程为．问题六过椭圆外一点向椭圆作切线，与椭圆切于两点，求经过两点的直线的方程．解：设，由问题二可知、的方程分别为、，则有、．可知点在直线上，点在直线上，所以直线的直线方程为．问题七过双曲线外一点向双曲线作切线，与双曲线切于两点，求经过两点的直线的方程．解：设，由问题三可知、的方程分别为、，则有、．可知点在直线上，点在直线上，所以直线的直线方程为．问题八过抛物线外一点向抛物线作切线，与抛物线切于两点，求经过两点的直线的方程．解：设，由问题四可知、的方程分别为、，则有、．可知点在直线上，点在直线上，所以直线的直线方程为．由以上几个问题可知，用多题一解的思想学习高中数学，可使零散的知识得到集中，孤立的知识得到统一，这对于学生构建知识网络、提高学生分析问题、解决问题的能力，有着重要意义．参考文献：1、李红春．椭圆切线方程的两种巧妙求法．中学生数学?2014年10月上?第499期(高中)．2、殷献云．论多题一解思想在高中数学学习中的渗透．《数学学习与研究》2018年第09期．3、刘志修．试论过圆、椭圆、双曲线上一点的切线方程的统一性．中学数学研究2007年第1期．。
椭圆双曲线的经典结论
椭圆双曲线的经典结论一、椭圆1. 点 P 处的切线 PT 均分△ PF 1F 2 在点 P 处的外角 .2.PT 均分△ PF 1F 2 在点 P 处的外角， 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除掉长轴的两个端点 .3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相离 .4.以焦点半径 PF 1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆 内切 .5.若 P 0 ( x 0 , y 0 ) 在椭圆 x 2 y 21上，则过x 0 x y 0 y 1.22P 0的椭圆的切线方程是b 2a ba 26.若 P 0 ( x 0 , y 0 ) 在椭圆x 2 y 2 1外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点a2b2弦 P P 的直线方程是 x 0 xy 0 y 1.12a 2b 27.椭圆 x2y 2 1 (a ＞ b ＞ 0) 的左右焦点分别为F 1 ， F 2 ，点 P 为椭圆上随意一点a 2b 2F 1 PF 2，则椭圆的焦点角形的面积为SFPF2b 2 tan .128.椭圆 x2y 2 1（ a ＞ b ＞ 0）的焦半径公式：a 2b 2|MF 1| a ex 0 , |MF 2 | a ex 0 ( F 1( c,0) , F 2 (c,0) M ( x 0 , y 0 ) ).9.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆订交P 、 Q 两点， A 为椭圆长轴上一个极点，连接AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、 N 两点，则 MF ⊥ NF.10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 、 A 为椭圆长轴上的极点， AP 和 AQ1212交于点 M ， A P 和 A Q 交于点 N ，则 MF ⊥NF.2111. AB 是 椭 圆x 2y 2 1 的 不 平 行 于 对 称 轴 的 弦 ， M (x 0 , y 0 ) 为 AB 的 中 点 ， 则a 2b 2kOMkABb 2a 2，即K AB b 2x 0 。
椭圆、双曲线切线方程的一个简便求法
椭圆、双曲线切线方程的一个简便求法中学数学研究2009年第6期的直线方程.分析:要求A的内外角平分线所在的直线方程,只要分别求出它们的斜率即可,由角平分线到两边的角相等,很容易求出斜率.解:设A的角平分线为AM,由AB到AM的角等于AM到Ac的角可知:kAc--kAM,解得k-=711kAcAM或+.忌AB+.‰忌=一专,所以直线AM的方程为:ll:7x—Y一17=0或Z2:+7y一31=0,它们分别是A的内外角平分线所在的直线方程.因为内角平分线内分对边,所以点B,C应在AM的异侧.经验证,点B,C在直线l1的异侧,而点B,C在直线z2的同侧.因而z1:7x—y一17=0为A内角平分线所在直线方程,z2:z+7y一31=0为A的外角平分线所在的直线方程.例7已知集合A={(,Y)IY一√3z≤0},集合B={(z,Y)I+(Y一口)≤1},若AnB=B,求a的取值范围.解:Y一√3z≤0表示直线Y一√3z=0右下方的平面区域,+(Y—a)≤1表示圆+(Y一口)=1的内部和圆周上的点的集合,要使AnB=B,只要z+(Y一口)≤1的区域全部在Y一√3z≤0区域的右下方即可,所以圆心到直线的距离大于这个圆的半径就可以了.I一一I即d=L>1,由于a<0,所以口<一2.总之,线性规划不光能解决目标函数在线性约束条件下的最值问题,还可以解决与平面区域有关的问题,而且运算量较小.因此可以促进思维能力创新,请在复习中认真体会,仔细推敲.参考文献[1]高考复习专题二,2009年高考复习预测.中学数学教学增刊.[2]陈贵伦.直线与椭圆位置关系问题的换元解法,中学数学教学(.,).2009,1.簟■j-}_}业,'}j-}-}-}j-}-}jkr,'簟j.},Ij●}1■}j-}_}■}—j●}-}——j_}j-}1-'}j-}—_}1■}j-}j-椭圆,双曲线切线方程的一个简便求法江西省吉安县二中(343100)罗章军大家都知道,求椭圆,双曲线切线方程通常用导数法,△法等,但运算量都较大.笔者运用线性规划知识找到一种求椭圆,双曲线切线方程新法,较为简便实用.现简述如下.定理1若直线z:Y=如+m为椭圆f.znncosa,.(口>0,b>o,∈[0,27f))的切线,(Yo—Osm0'设z=k.zo+m—Yo,贝0仃mx=0或tIli=0.其中k为直线z的斜率.证明:若l与椭圆相切,则椭圆上的点都在z的同侧,据线性规划知识可知,对于椭圆上任一点P(xo,Yo),=kXo+m—Yo>/o或≤0,.'.liII=0或一=0,当且仅当P为切点时等号成立.例1为使直线j,z+m与椭圆+25=1有两个公共点,求的范围.解:设=.z+6为椭圆+25=1的切线,令z=xo+b-yo,其~中.1(x.o:=51s2icnosO∈[.,27r),因为=13+b=0或z.m=一13+b=0'...Y=z±13为已知椭圆的切线,所以m∈(一13,13).例2求函数s=的值域.解:令P(2cos0,sin0),Q(一4,一3),则==一sinO-一(f-一3)2cosO42eosO4=足'...s的值域+一(一)''2009年第6期中学数学研究即为椭~圆{x0=2.cos0上的点P与Q连线的斜lY0一slnU率范围,设过Q的切线方程为Y+3=k(z+4),令z=o—Y0+4k一3,则z=2kcosO—sin0+4k一3,由=0或Zmi:0,得4k一3±而:0,.?.k:—3+43...[学,学].定理2若直线l:Y=妇+为双曲线{xo:=asect).,(a>0,b>0,0EyobtanO(一号,)u'{(>,>,(一_兰_,)【J【=,,,2'2 (詈,))的切线,其中k为直线z的斜率,令kzo+m—Yo,则(zcos0)=0或(zcosO)~=0.证明:①.若直线与双曲线右支相切,当k>0时,因为双曲线的右支都位于l的右侧,据线性规划知识可知对于右支上任一点P(X0,yo),有=kcco+m—Y0>/o,显然此时0∈(一,詈),.'.cosO>0,.'.有zcosO≥0,因此(zcos0)TI1i:0,而当k<0同理可得(zcosO)=0.当且仅当P为切点时等号成立.②.若直线l与双曲线左支相切时,同样可得0E(詈,警)时有(cos0)rI1i=0或(zcos0).~x=0.当且仅当P为切点时等号成立.又因为ZCOS0=(0+m—Yo)ms0=ah+mcos0一bsin0,由正弦函数的性质可知,若zmsO在开区间(一号,詈)与(号,萼)存在最大值或最小值,其值分别为+√6+m2.一V厂.综合①②,若直线1:=taz+为双曲线的切线,则有(zcosO)=0或(ZCOS0)r=x=0.例3求过点(1,2)且与双曲线等一=1相切的直线方程的斜率.解:若P(xo,Yo)为双曲线上任一点,则有c一苎,设切线方程为Y一2=k(z一1),令=kxo—0+2一k,...zcosO=3k一2sin0+(2一志)cosO,由(zeosO)=0或(zcosO)一=0,得3k±研:0,...忌:寺.坐坐业坐业业业坐业~~e,,ale--ale-.ale--ale-业坐业业业业坐业尘业业业坐一道课本复习题的证法研究与拓展西北师范大学实验中学(730070)宋波人教版新教材高中数学第二册(下B)146页第8题(2)证明:c+2C2+3C3+…十c:=?2—(∈N).一,问题的证法研究笔者在教学中,根据此等式的结构特征,利用组合数的意义,运用联想,类比,转化等数学思想方法,多角度,多方向思维,得到了多种不同的证法.通过这种一题多解的教学,对激发学?42?生兴趣,拓宽思路,提高思维能力大有好处.下面给出这道题的六种证法,其中前三种为常见证法,后三种为创新证法.证法1:左边=1[(C十2C2+…+7z)+(C+2C2+…+,zc)]=—{[(c+(,z一1)c一]+[2c+(一2)c一]+…+[(,2—2)c一+2C2]+[(一1)c一+c]十c:十,zc:}=—专{[(c+(一1)C]+[2c+(一。
椭圆双曲线抛物线公式汇总 椭圆双曲线抛物线公式
椭圆双曲线抛物线公式汇总椭圆双曲线抛物线公式双曲线的标准公式为: X /a - Y /b = 1(a>0,b>0) 而反比例函数的标准型是xy = c (c ≠ 0) 但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的因为xy = c的对称轴是y=x, y=-x 而X /a - Y /b = 1的对称轴是x轴,y轴所以应该旋转45度设旋转的角度为a (a≠0,顺时针) (a为双曲线渐进线的倾斜角) 则有X = xcosa ysina Y = - xsina ycosa 取a = π/4 则X - Y = (xcos(π/4) ysin(π/4)) -(xsin(π/4) - ycos(π/4)) = (√2/2 x √2/2 y) -(√2/2 x - √2/2 y) = 4 (√2/2 x) (√2/2 y) = 2xy. 而xy=c 所以X /(2c) - Y /(2c) = 1 (c>0) Y /(-2c) - X /(-2c) = 1 (c 由此证得,反比例函数其实就是双曲线函数椭圆的面积公式S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).椭圆的周长公式椭圆周长没有公式,有积分式或无限项展开式。
椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。
如L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost) )dt≈2π√((a b )/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比,设椭圆上点P到某焦点距离为PF,到对应准线距离为PL,则e=PF/PL椭圆的准线方程x=±a /C椭圆的离心率公式e=c/a(e2c)椭圆的焦准距:椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0)与准线x= a /C)的距离,数值=b /c椭圆焦半径公式|PF1|=a ex0 |PF2|=a-ex0椭圆过右焦点的半径r=a-ex过左焦点的半径r=a ex椭圆的通径:过焦点的垂直于x轴(或y轴)的直线与椭圆的两焦点A,B之间的距离,数值=2b /a点与椭圆位置关系点M(x0,y0) 椭圆x /a y /b =1点在圆内: x0 /a y0 /b点在圆上: x0 /a y0 /b =1点在圆外: x0 /a y0 /b >1直线与椭圆位置关系y=kx m ①x /a y /b =1 ②由①②可推出x /a (kx m) /b =1相切△=0相离△相交△>0 可利用弦长公式:A(x1,y1) B(x2,y2)|AB|=d = √(1 k )|x1-x2| = √(1 k )(x1-x2) = √(1 1/k )|y1-y2| = √(1 1/k )(y1-y2)椭圆通径(定义:圆锥曲线(除圆外)中,过焦点并垂直于轴的弦)公式:2b /a椭圆的斜率公式过椭圆上x /a y /b 上一点(x,y)的切线斜率为b *X/a y 抛物线的标准方程右开口抛物线:y =2px左开口抛物线:y =-2px上开口抛物线:x =2py下开口抛物线:x =-2pyp为焦准距(p>0)[编辑本段]3.抛物线相关参数(对于向右开口的抛物线)离心率:e=1焦点:(p/2,0)准线方程l:x=-p/2顶点:(0,0)通径(定义:圆锥曲线(除圆外)中,过焦点并垂直于轴的弦):2P [编辑本段]4.它的解析式求法:以焦点在X轴上为例知道P(x0,y0)令所求为y =2px则有y0 =2px0∴2p=y0 /x0∴抛物线为y =(y0 /x0)x [编辑本段]5.抛物线的光学性质:经过焦点的光线经抛物线反射后的光线平行抛物线的对称轴。