专题椭圆的切线方程
过椭圆上一点的切线方程公式
过椭圆上一点的切线方程公式结论：过椭圆 \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 上一点 p（x_{0}，y_{0}）切线方程为\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}=1推导：法一：利用判别式△=0设直线 l：y-y_{0}=k(x-x_{0})联立直线与椭圆方程，消去y，此时只有斜率k为未知数，利用联立后方程中△=0可以解出k将k代回直线化解即可，但化解过程会有些复杂法二：对椭圆求导用隐函数求导的方法可以求出 \frac{dy}{dx}=-\frac{b^{2}x}{a^{2}y} 将p点代入后可列出直线方程：y-y_{0}=-\frac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}} (x-x_{0}) 化解后可得：a^{2}y_{0}y+b^{2}x_{0}x=a^{2}y_{0}^{2}+b^{2}x_{0}^{2}上式两边同时除以a²b²即可得\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}=1法三：仿射变化令x^{’}=\frac{x}{a}y^{'}=\frac{y}{b} 此时椭圆化为单位圆 x^{'}+y^{'}=1 p点坐标写为（\frac{x_{0}}{a},\frac{y_{0}}{b}）由圆切线方程易得p点处切线方程为\frac{x_{0}}{a}x^{'}+\frac{y_{0}}{b}y^{'}=1由仿射不变性代回得椭圆上p点处切线方程\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}=1推导方法还有很多，在此就不一一叙述了结论虽然好用，不过在大题里不可以直接用。
如果要用需要先写出步骤（设方程联立△=0或根据对称性得到某一区域的函数求导），有步骤后再直接写出直线方程。
求椭圆切线方程(3篇)
第1篇椭圆是平面解析几何中的一种基本曲线，其方程一般形式为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是椭圆的半长轴和半短轴，且 $a > b$。
在数学分析、几何学以及物理学中，椭圆切线方程的研究具有重要意义。
本文将探讨椭圆切线方程的求解方法。
一、椭圆切线的几何性质椭圆的切线具有以下几何性质：1. 切线与椭圆相切于一点，且在该点处切线斜率存在。
2. 对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其切线斜率 $k$ 与椭圆上切点坐标 $(x_0, y_0)$ 满足关系 $k = -\frac{b^2}{a^2} \cdot\frac{x_0}{y_0}$。
3. 对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其切线方程可以表示为 $y = kx + m$，其中 $m$ 为切线在 $y$ 轴上的截距。
二、椭圆切线方程的求解方法1. 直接法直接法是指直接根据椭圆的方程和切线的几何性质，推导出椭圆切线方程的方法。
设椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上的切点坐标为 $(x_0,y_0)$，切线斜率为 $k$。
根据切线斜率的几何性质，有 $k = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{x_0}{y_0}$。
又因为切点 $(x_0, y_0)$ 满足椭圆方程，所以 $\frac{x_0^2}{a^2} +\frac{y_0^2}{b^2} = 1$。
联立上述两个方程，解得 $x_0 = \frac{a^2k}{\sqrt{k^2 + b^4/a^4}}$，$y_0 = \frac{b^2}{\sqrt{k^2 + b^4/a^4}}$。
将 $x_0$ 和 $y_0$ 代入切线方程 $y = kx + m$，得 $y = k \cdot\frac{a^2k}{\sqrt{k^2 + b^4/a^4}} + m$。
椭圆某点的切线方程
椭圆某点的切线方程
要求求解椭圆上某点的切线方程，需要以下信息：
1.椭圆的方程：一般椭圆的方程可表示为x²/a²+ y²/b²= 1，
其中 a 和 b 分别是椭圆的长半轴和短半轴长度。
2.某点的坐标：已知椭圆上的某点P(x₀, y₀)。
步骤：
1.求解椭圆上某点的斜率：
o对椭圆方程进行求导，得到关于x 的导数：(2x/a²) + (2y/b²) * (dy/dx) = 0。
o将上述导数表达式中的 x 和 y 替换为给定点的坐标x₀ 和y₀，求解 dy/dx，得到某点切线的斜率。
2.使用点斜式或一般式得到切线方程：
o点斜式：使用某点P(x₀, y₀) 和切线的斜率，即可得到切线方程为 y - y₀ = m(x - x₀)，其中 m 是切线的斜率。
o一般式：通过将点斜式转化为一般式 Ax + By + C = 0 的形式，最终得到切线方程。
需要注意的是，当椭圆方程不在标准形式 x²/a² + y²/b² = 1 时，求导并代入点坐标的步骤会略有不同。
在这种情况下，需要根据给定的椭圆方程进行计算。
专题_椭圆的切线方程
“椭圆的切线方程”教学设计马二中向兵一、教学目标知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程；2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。
过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。
情感态度与价值观：通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的学习精神。
二、教学重点与难点教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。
教学难点：椭圆的切线方程的探究。
三、教学流程设计(一）创设情境复习：怎样定义直线与圆相切？设计意图：温故而知新。
由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。
定义做类比，都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一元二次方程中的判别式等于零来解决。
(二）探究新知基础铺垫：问题1、已知椭圆22:182x yC+=与直线l只有一个公共点（1）请你写出一条直线l的方程；（2）若已知直线l的斜率为1k=-，求直线l的方程；（3）若已知切点(2,1)P,求直线l的方程；（4）若已知切点)2P,求直线l的方程。
设计意图：（1）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如x y=±=特殊情况过渡到一般情况。
切线确定，切点确定。
（2）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。
利用斜截式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
切线斜率确定，切线不确定。
（3）已知切点求切线，只有唯一一条。
利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
由于切点是整数点，运算简洁。
切点确定，切线确定。
可总结由（2）（3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
（4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切点得到椭圆切线的一般方法。
问题一般化：猜想：椭圆2222:1x y C a b+=与直线l 相切于点00(,)P x y ，则切线l 的方程？（椭圆的切线方程的具体求法，详情请见微课）设计意图：类比经过圆上一点P(x 0，y 0)的切线的方程为200x x y y r +=进行猜想，培养学生合情推理的能力。
专题椭圆的切线方程
“椭圆的切线方程”教学设计马鞍山二中刘向兵一、教学目标知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程；2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。
过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。
情感态度与价值观：通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的学习精神。
二、教学重点与难点教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。
教学难点：椭圆的切线方程的探究。
三、教学流程设计(一）创设情境复习：怎样定义直线与圆相切？设计意图：温故而知新。
由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。
定义做类比，都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一元二次方程中的判别式等于零来解决。
(二）探究新知基础铺垫：问题1、已知椭圆22:182x yC+=与直线l只有一个公共点（1）请你写出一条直线l的方程；（2）若已知直线l的斜率为1k=-，求直线l的方程；（3）若已知切点(2,1)P,求直线l的方程；（4）若已知切点)2P,求直线l的方程。
设计意图：（1）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如x y=±=特殊情况过渡到一般情况。
切线确定，切点确定。
（2）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。
利用斜截式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
切线斜率确定，切线不确定。
（3）已知切点求切线，只有唯一一条。
利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
由于切点是整数点，运算简洁。
切点确定，切线确定。
可总结由（2）（3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
（4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切点得到椭圆切线的一般方法。
问题一般化：猜想：椭圆2222:1x y C a b+=与直线l 相切于点00(,)P x y ，则切线l 的方程？（椭圆的切线方程的具体求法，详情请见微课）设计意图：类比经过圆上一点P(x 0，y 0)的切线的方程为200x x y y r +=进行猜想，培养学生合情推理的能力。
椭圆曲线的切线方程和切点弦方程
椭圆曲线的切线方程和切点弦方程
概述
椭圆曲线是数学中的一种曲线形式，具有许多应用领域，包括密码学和计算机科学。
切线是椭圆曲线上的一条直线，与曲线相切于某一点。
切点弦是连接切线切点和另一点的直线。
本文将介绍如何求解椭圆曲线的切线方程和切点弦方程的相关知识。
椭圆曲线的切线方程
在椭圆曲线上选择一点P，我们可以通过求解该点处曲线的导数来得到切线的斜率。
将该斜率和该点的坐标代入直线方程y = mx + b，即可得到椭圆曲线上过该点的切线方程。
具体步骤如下：
1. 求解曲线在点P的导数，即椭圆曲线的斜率m。
2. 将斜率和点P的坐标代入直线方程y = mx + b。
3. 解方程得到b的值。
4. 得到切线方程。
椭圆曲线的切点弦方程
切点弦是连接切线切点和另一点的直线，我们可以通过利用切线方程和切点的坐标来求解切点弦方程。
具体步骤如下：
1. 使用椭圆曲线的切线方程，将切点的坐标代入切线方程得到斜率。
2. 利用切点和斜率代入直线方程y = mx + b。
3. 解方程得到b的值。
4. 得到切点弦方程。
总结
椭圆曲线的切线方程和切点弦方程可以通过求解切线的斜率和代入直线方程来得到。
这些方程可以在研究和应用领域中有重要的作用。
对于更复杂的椭圆曲线，求解切线方程和切点弦方程可能会更加复杂，需要进一步的数学技巧和方法。
以上是关于椭圆曲线的切线方程和切点弦方程的简要介绍。
希望对您的研究和学习有所帮助。
椭圆外一点的切线方程公式
椭圆外一点的切线方程公式
椭圆是一种曲线，它的方程为：
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
其中，a和b是椭圆的长轴和短轴，它们的值决定了椭圆的形状。
椭圆外一点的切线方程是一种特殊的方程，它可以用来描述椭圆外一点的切线。
它的公式为：
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1+\frac{2b^2}{a^2}(x-
x_0)+\frac{2a^2}{b^2}(y-y_0)$$
其中，$(x_0,y_0)$是椭圆外一点的坐标，a和b是椭圆的长轴和短轴。
椭圆外一点的切线方程可以用来求解椭圆外一点的切线，这对于研究几何图形
非常有用。
例如，我们可以使用椭圆外一点的切线方程来求解椭圆的焦点，从而确定椭圆的形状。
此外，椭圆外一点的切线方程还可以用来求解椭圆的极坐标方程，从而确定椭
圆的极坐标。
总之，椭圆外一点的切线方程是一种非常有用的方程，它可以用来求解椭圆外
一点的切线，从而确定椭圆的形状和极坐标。
专题：椭圆的切线方程
“椭圆的切线方程”教学设计马鞍山二中 刘向兵一、教学目标知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程；2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。
过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。
情感态度与价值观： 通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的学习精神。
二、教学重点与难点教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。
教学难点：椭圆的切线方程的探究。
三、教学流程设计 (一）创设情境复习：怎样定义直线与圆相切？设计意图：温故而知新。
由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。
定义做类比，都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一元二次方程中的判别式等于零来解决。
(二）探究新知 基础铺垫：问题1、已知椭圆22:182x y C +=与直线l 只有一个公共点 （1）请你写出一条直线l 的方程；（2）若已知直线l 的斜率为1k =-，求直线l 的方程；（3）若已知切点(2,1)P ,求直线l 的方程；（4）若已知切点P ,求直线l 的方程。
设计意图：（1）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如x y =±=特殊情况过渡到一般情况。
切线确定，切点确定。
（2）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。
利用斜截式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
切线斜率确定，切线不确定。
（3）已知切点求切线，只有唯一一条。
利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
由于切点是整数点，运算简洁。
切点确定，切线确定。
可总结由（2）（3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
（4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切点得到椭圆切线的一般方法。
问题一般化：猜想：椭圆2222:1x y C a b+=与直线l 相切于点00(,)P x y ，则切线l 的方程？（椭圆的切线方程的具体求法，详情请见微课）设计意图：类比经过圆上一点P(x 0，y 0)的切线的方程为200x x y y r +=进行猜想，培养学生合情推理的能力。
椭圆的切线专题证明题
椭圆的切线专题证明题
引言
椭圆是一种重要的数学曲线，它具有许多特殊的性质。
其中之
一就是椭圆上任意一点的切线与椭圆的切点和法线垂直。
本文将证
明这一结论，并给出相应的证明过程。
证明过程
设椭圆的标准方程为$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$分别为椭圆的长轴和短轴长度。
设椭圆上一点为
$(x_0, y_0)$，其切线方程为$y = mx + c$，切点为$P(x_0, y_0)$。
步骤一：切点的坐标
由于切点在椭圆上，代入椭圆的标准方程，得到：
$\dfrac{x_0^2}{a^2} + \dfrac{y_0^2}{b^2} = 1$
步骤二：切线的斜率
切线的斜率$m$由切线与曲线相切时，两者的导数相等得到。
设椭圆的方程为$F(x, y) = \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - 1$，
则切线与椭圆相切时，切线方程$y = mx + c$对应的导数与椭圆方
程$F(x, y) = 0$的导数相等。
换句话说，$F'(x_0, y_0) = m$。
步骤三：切线方程
根据步骤二可得到斜率$m$，将切点$P(x_0, y_0)$代入切线方
程$y = mx + c$中，解出常数$c$。
结论
证明了椭圆上任意一点的切线与椭圆的切点和法线垂直的结论。
本文给出了相应的证明过程，步骤简明清晰。
参考文献。
椭圆在点处的切线方程
椭圆在点处的切线方程椭圆是一种常见的几何图形，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
在研究椭圆的性质时，切线是一个重要的概念。
本文将介绍椭圆在点处的切线方程，以及相关的数学知识。
一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴。
椭圆的形状由长轴和短轴的长度决定，短轴的长度为2b。
二、椭圆的方程椭圆的标准方程为(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1。
其中，a和b分别为长轴和短轴的长度。
这个方程描述了椭圆上所有点的坐标。
三、椭圆的切线在椭圆上取一点P，过该点作一条直线L，使得该直线与椭圆相切。
这条直线L称为椭圆在点P处的切线。
切线的斜率等于椭圆在该点处的导数。
四、设椭圆的标准方程为(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1，点P的坐标为(x0,y0)。
则椭圆在点P处的切线方程为y-y0=(b^2/a^2)*(x-x0)。
五、实例分析以椭圆(x^2/4)+(y^2/9)=1为例，求点(1,2)处的切线方程。
首先，求出点(1,2)处的导数。
对椭圆的标准方程两边同时求导，得到2x/a^2+2y/b^2*y'=0。
将x=1，y=2代入，得到2/a^2+4/9*y'=0，即y'=-9/8。
然后，代入切线方程的公式，得到y-2=(9/16)*(x-1)，即9x-16y+14=0。
六、总结本文介绍了椭圆的定义、方程、切线的概念，以及椭圆在点处的切线方程的求解方法。
椭圆是一种重要的几何图形，在数学和应用领域都有广泛的应用。
掌握椭圆的相关知识，对于深入理解数学和物理等学科都有很大的帮助。
椭圆某处的切线方程
椭圆某处的切线方程
嚯，这话题还挺专业呢。
咱们得聊聊椭圆上某点的切线方程这码事儿。
你瞧啊，椭圆这图形，它就像个压扁的圆，有俩焦点，长轴和短轴。
咱要找的切线方程，就是在这椭圆上某点处，跟椭圆相切的那条直线。
咱们得明确一点，这切线方程得根据椭圆的方程和切点的坐标来求。
首先，你得知道椭圆的方程，比如说是 x²/a² + y²/b² = 1 这么个标准形式。
然后，再知道切点的坐标 (x0, y0)。
接下来，咱们得用导数这工具。
为啥呢？因为导数能表示函数在某点的切线斜率。
对椭圆方程求导，得到的就是切线斜率的表达式。
然后，咱们把切点的坐标代入这斜率表达式，就能得到切线的斜率 k。
有了斜率 k 和切点坐标 (x0, y0)，咱就能用点斜式写出切线方程了。
具体咋写呢？就是 y - y0 = k(x - x0)。
这式子就是咱要找的切线方程。
所以啊，求椭圆上某点的切线方程，关键就是得知道椭圆的方程、切点的坐标，还得会用导数求斜率。
这码事儿得细心点儿，别弄错了。
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“椭圆的切线方程”教学设计马鞍山二中刘向兵一、教学目标知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程；2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。
过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。
情感态度与价值观：通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的学习精神。
二、教学重点与难点教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。
教学难点：椭圆的切线方程的探究。
三、教学流程设计(一）创设情境复习：怎样定义直线与圆相切设计意图：温故而知新。
由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。
定义做类比，都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一元二次方程中的判别式等于零来解决。
(二）探究新知 基础铺垫：问题1、已知椭圆22:182x y C +=与直线l （1）请你写出一条直线l 的方程；（2）若已知直线l 的斜率为1k =-，求直线l （3）若已知切点(2,1)P ,求直线l 的方程； （4）若已知切点P ,求直线l 的方程。
设计意图：（1）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如x y =±=（2）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。
利用斜截式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
切线斜率确定，切线不确定。
（3）已知切点求切线，只有唯一一条。
利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
由于切点是整数点，运算简洁。
切点确定，切线确定。
可总结由（2）（3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0∆=。
（4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切点得到椭圆切线的一般方法。
问题一般化：猜想：椭圆2222:1x y C a b+=与直线l 相切于点00(,)P x y ，则切线l 的方程（椭圆的切线方程的具体求法，详情请见微课）设计意图：类比经过圆上一点P(x 0，y 0)的切线的方程为200x x y y r +=进行猜想，培养学生合情推理的能力。
由于具体的求解过于繁琐，思想方法同问题1，所以上课时没必要花费时间进行求解，做成微课方便学生课后时间自己解决。
探究：在椭圆中，有关切线问题，还可以求哪些量例：已知圆的方程是x 2 + y 2 = r 2，求经过圆上一点P(x 0，y 0)的切线的方程。
经过圆上一点P(x 0，y 0)的切线的方程为200x x y y r +=，且直线OP 垂直于切线，所以，=-1op k k ⋅切线， 1.点与圆设点P(x 0，y 0)，圆222()()x a y b r -+-=则 点在圆内22200()()x a y b r -+-<， 点在圆上 22200()()x a y b r -+-=， 点在圆外22200()()x a y b r -+->由圆C 方程及直线l 的方程，消去一个未知数，得一元二次方程，设一元二次方程的根的判别式为Δ，则l 与圆C 相交0⇔∆>，l 与圆C 相切0⇔∆=， l 与圆C 相离0⇔∆<类比到圆中：已知圆222:C x y r +=与直线l 相切于点00(,)P x y ，且点00(,)P x y 在第一象限，若直线l 与x 轴、y 轴分别交于点B A 、.结论（1）过点P 的切线方程为200x x y y r +=； （2）OP AB ⊥∴1OP AB k k ⋅=-；（可以用极限的思想理解，当椭圆中的a b →时，椭圆→圆，所以221OP ABb k k a⋅=-→-）（3）过点P 的切线方程为200x x y y r +=与x 轴、y 轴分别交于点B A 、,2(0,)r A y ，20(,0)r B x ，所以00AB x k y =-；（椭圆中2020AB b x k a y =-也可理解为a 趋于b 时，AB k 趋于00xy -）（4）||||||2AB AP BP r =+≥==，当且仅当||||AP BP r ==时，取“=”由2014年浙江高考题最后一道题[2014·浙江卷] 如图，设椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限.（1）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；（2）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b.如图，设椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限.（1）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；(1)解：设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k <0)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，联立消去y 得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0. 由于l 与C 只有一个公共点，所以42222222244()()0a k m a m b b a k ∆=--+=，化简得2222m a k b =+(*)，解得点P的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－a 2km b 2＋a 2k 2，b 2m b 2＋a 2k 2.又点P在第一象限，故m = 所以点P的坐标为22(P .（2）设点00(,)P x y ，且点00(,)P x y 在第一象限，用点P 的坐标00,x y 表示椭圆的切线方程；(2)解：00(,)P x y ，则由（1）知2200x y ==，则可设过点P切线l 的方程为00()y y k x x -=-消参得22002200x b x a kk y b a y =-⇒=-代入00()y y k x x -=-得200020()b x y y x x a y -=-- 化为整式222222220000a y y b x x a y b x a b +=+=（因为点P 在椭圆上，所以222222220000221x y a y b x a b a b+=⇒+=）， 两边同除以22a b 得椭圆的切线方程00221x x y ya b+=，与圆的切线方程做类比，形式相仿。
所以，过切点00(,)P x y 的椭圆的切线方程00221x x y ya b+=.(3)连接OP ，切线l 的斜率为k 切线，直线OP 的斜率为OP k ,求证=op k k ⋅切线定值；(3)由（2）中所得的22002200x b x a kk y b a y =-⇒=-又因为000000OP y y k x x -==-，所以22OP AB b k k a⋅=-=定值 （与圆的=-1op k k ⋅切线做类比，可以用极限的思想理解，当椭圆中的a b =时，椭圆加强为了圆，所以221OP ABb k k a⋅=-→-）问题2、已知椭圆2222:1x y C a b+=与直线l 相切于点00(,)P x y ，且点00(,)P x y 在第一象限，若直线l 与x 轴、y 轴分别交于点B A 、，求线段||AB 的最小值。
直线AB 的方程设为,(0,),(,0)my kx m A m B k=+-，则根据两点间的距离公式可得2222||m AB m k=+，又因为前面根据直线和椭圆相切已求出2222m a k b =+(*)，代入可得2222222222222222222||()2()m b b AB m a k b a a b a k a b ab a b k k k =+=+++=+++≥++=+，线段||AB 的最小值为a b +.当且仅当22224222b b b a k k k k a a=⇒=⇒=时，取到“=”.下面再继续讨论“=”取到时的条件。
由前面已证过的22OP ABb k k a ⋅=-知，此时2323232000230OP y b k b x a y x a==⇒=2332232200002(1),x a a b bx a ax x a a b=-⇒=-⇒=+代入2320230OPy b k x a==得320b y a b=+，所以可得到，22200||()PA x y m =+-222220000()(1)(1)b x kx k x x a=+=+=+，代入320,a x a b =+得2||PA 32a b a a a a b+=⋅=+.||,||PA a PB b ∴==问题3、已知椭圆2222:1x y C a b+=与直线l 相切于点00(,)P x y ，且点00(,)P x y 在第一象限，若直线l 与x 轴、y 轴分别交于点B A 、.若过原点O 的直线l 1与l 垂直交与点D ， 证明：||||PD AB ⋅=定值.证明：由于过点P 的切线l 方程为00221x x y ya b+=，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点BA 、，所以2200(0,),(,0)b a A B y x ，则||AB =由于直线l1过原点O 且与l 垂直，故直线l 1的方程为x ＋ky ＝0，所以点P 到直线l 1的距离||PD =2020bx k a y =-，代入得20222202||||b x x PD -+====22222||||||PD AB a b a b c ∴⋅=-=-==定值（c 为椭圆的半焦距）问题4、如图，设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限.若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P到直线1l 的距离的最大值为a b -.证明：方法一、由于直线l 1过原点O 且与l 垂直，故直线l 1的方程为x ＋ky ＝0，所以点P 到直线l 1的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2k b 2＋a 2k 2＋b 2k b 2＋a 2k 21＋k2， 整理得d ＝a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b2k2. 因为a 2k 2＋b2k2≥2ab ，所以a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k2≤a 2－b 2b 2＋a 2＋2ab＝a －b ， 当且仅当k 2＝ba时等号成立．所以，点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b .方法二、由前面证过的问题2与问题3的结论，线段||AB 的最小值为a b +，2222||||||PD AB a b a b ∴⋅=-=-=定值，可得点P 到直线l 1的距离||PD 的最大值为a －b .。