大工13秋高数下
2013年高考广东理科数学试题及答案(word解析版)(K12教育文档)
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2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2013年广东，理1，5分】设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ，{}2|20,N x x x x =-=∈R ，则MN =( ）（A ）{}0 （B){}0,2 （C ）{}2,0- （D ）{}2,0,2- 【答案】D【解析】易得{}2,0M =-，{}0,2N =,所以M N ={}2,0,2-，故选D ．（2)【2013年广东，理2，5分】定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =，21y x =+，2sin y x =中，奇函数的个数是（ ）（A ）4 (B)3 （C ）2 （D ）1 【答案】C【解析】3y x =，2sin y x =为奇函数；21y x =+为偶函数；2x y =为非奇非偶函数．∴共有2个奇函数，故选C ．（3）【2013年广东，理3,5分】若复数z 满足i 24i z =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ）（A ）()2,4 （B ）()2,4- (C)()4,2- （D ）()4,2 【答案】C【解析】由i 24i z =+，得24i (24i)(i)42i i i (i)z ++⋅-===-⋅-，故z 对应点的坐标为(4)2-，，故选C ． （4)【2013年广东,理4 X 1 2 3P35310110则X 的数学期望EX =（A ）32（B ）2 （C ）52(D ）3【答案】A【解析】33115312351010102EX =⨯+⨯+⨯==，故选A ． (5）【2013年广东,理5，5分】某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是（ ）（A)4 （B ）143 （C ）163（D ）6 【答案】B【解析】解法一：由三视图可知，原四棱台的直观图如图所示, 其中上、下底面分别是边长为1，2的正方形,且1DD ⊥面ABCD ，上底面面积2111S ==,下底面面积2224S ==．又∵12DD =,∴()1122111411()442333V S S S S h =++=+⨯+⨯=台,故选B ．解法二：由四棱台的三视图，可知原四棱台的直观图如图所示．在四棱台1111ABCD A B C D -中,四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1都为正方形，2AB =,111A B =,且1D D ⊥平面ABCD ，12D D =． 分别延长四棱台各个侧棱交于点O ，设1OD x =，因为11OD C ODC ∆∆∽,所以111OD D C OD DC=, 即122x x =+，解得2x =．111111111114224112333ABCD A B C D O A A B B C O D CD V V V ---=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=-=棱锥棱锥，故选B ．（6）【2013年广东,理6，5分】设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）（A ）若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ (B ）若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n （C ）若m n ⊥,m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ （D ）若m α⊥，//m n ,//n β,则αβ⊥ 【答案】D【解析】选项A 中，m 与n 还可能平行或异面，故不正确;选项B 中，m 与n 还可能异面,故不正确；选项C 中,α与β还可能平行或相交，故不正确；选项D 中,∵m α⊥，//m n ，n α∴⊥． 又//n β，αβ∴⊥，故选D ． （7）【2013年广东，理7,5分】已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ，离心率等于32，在双曲线C 的方程是（ ）（A)2214x -= （B ）22145x y -= （C ）22125x y -= (D)2212x = 【答案】B【解析】由曲线C 的右焦点为0(3)F ，，知3c =．由离心率32e =，知32c a =，则2a =，故222945b c a =-=-=,所以双曲线C 的方程为22145x y -=,故选B ．（8）【2013年广东，理8，5分】设整数4n ≥，集合{}1,2,3,,X n =．令集合(){,,|,,S x y z x y z X =∈且三条件x y z <<，,y z x z x y <<<<，}恰有一个成立，若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中，则下列选项正确的是（ ）（A)(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∉ （B ）(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈ （C ）(),,y z w S ∉，(),,x y w S ∈ （D ）(),,y z w S ∉，(),,x y w S ∈ 【答案】B【解析】解法一：特殊值法,不妨令2,3,4x y z ===,1w =,则()(),,3,4,1y z w S =∈，()(),,2,3,1x y w S =∈,故选B ． 解法二:由()x y z S ∈，，，不妨取x y z <<，要使()z w x S ∈，，，则w x z <<或x z w <<．当w x z <<时, w x y z <<<,故()y z w S ∈,,，()x y w S ∈,,．当x z w <<时，x y z w <<<，故()y z w S ∈,,，()x y w S ∈,,．综上可知，()y z w S ∈,,，()x y w S ∈,,，故选B ．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．(一）必做题（9～13）（9）【2013年广东，理9,5分】不等式220x x +-<的解集为 ． 【答案】()2,1-【解析】220x x +-<即()()210x x +-<，解得21x -<<，故原不等式的解集为1{|}2x x -<<． （10）【2013年广东，理10，5分】若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴，则k = ． 【答案】1-【解析】1y xk '=+．因为曲线在点(1)k ，处的切线平行于x 轴，所以切线斜率为零，由导数的几何意义得10|x y ='=，故10k +=，即1k =-．（11）【2013年广东,理11，5分】执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为4,则输出s 的值为 ． 【答案】7【解析】第一次循环后:1,2s i ==；第二次循环后：2,3s i ==；第三次循环后：4,4s i ==;第四次循环后:7,5s i ==；故输出7．（12）【2013年广东,理12，5分】在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=,则573a a += ． 【答案】20【解析】依题意12910a d +=，所以()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=． 或：()57383220a a a a +=+=．(13）【2013年广东，理13,5分】给定区域D ：4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定 条不同的直线．【答案】6【解析】画出可行域如图所示,其中z x y =+取得最小值时的整点为()0,1，取得最大值时的整点为()0,4,()1,3，()2,2,()3,1及()4,0共5个整点．故可确定516+=条不同的直线．（二)选做题（14—15题,考生只能从中选做一题） (14)【2013年广东,理14,5分】（坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的参数方程为x ty t⎧⎪⎨⎪⎩(t 为参数)，C 在点()1,1处的切线为l ，以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 ．【答案】sin 4πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】曲线C 的普通方程为222x y +=，其在点()1,1处的切线l 的方程为2x y +=,对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=,即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（15）【2013年广东，理15，5分】（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E ．若6AB =，2ED =，则BC= ．【答案】23【解析】依题意易知ABC CDE ∆∆，所以AB BCCD DE=，又BC CD =，所以212BC AB DE =⋅=，从而23BC =．三、解答题：本大题共6题,共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (16）【2013年广东，理16，12分】已知函数()2cos 12f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，x ∈R ．（1）求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值;(2）若3cos 5θ=，3,22πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 解：（1)2cos 2cos 2cos 1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (2）22cos 22cos 2cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为3cos 5θ=，3,22πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 所以4sin 5θ=-，所以24sin 22sin cos 25θθθ==-，227cos2cos sin 25θθθ=-=-，所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos2sin2θθ=-72417252525⎛⎫=---=⎪⎝⎭． （17）【2013年广东，理17，12分】某车间共有12名工人,随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数． （1）根据茎叶图计算样本均值;（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．解:(1）样本均值为1719202125301322266+++++==．(2）由（1)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人（3)设事件A ：从该车间12名工人中,任取2人，恰有1名优秀工人，则()P A =1148212C C C 1633=．（18）【2013年广东,理18，14分】如图1，在等腰直角三角形ABC中，90A ∠=︒，6BC =，,D E 分别是,AC AB 上的点，2CD BE ==，O 为BC 的中点．将ADE ∆沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-，其中3A O '=．（1）证明：A O '⊥平面BCDE ；（2）求二面角D AF E －－的余弦值． 解：（1）在图1中，易得3,32,22OC AC AD ===，连结,OD OE ，在OCD ∆中,由余弦定理可得222cos 455OD OC CD OC CD =+-⋅︒=,由翻折不变性可知22A D '=，所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥，理可证A O OE '⊥, 又OD OE O =，所以A O '⊥平面BCDE ．（2）解法一：过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ，连结A H '，因为A O '⊥平面BCDE ，所以A H CD '⊥，A HO '∴∠为二面角A CD B '--的平面角．由图1可知，H 为AC 中点，故322OH =，2230A H OH OA ''+， 所以15cos OH A HO A H '∠='，所以二面角A CD B '--的平面角的余弦值为15． 解法二:以O 点为原点，建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,则(3A '，()0,3,0C -,()1,2,0D -，所以()0,3,3CA '=，(3DA '=-，设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即330230y z x y z ⎧=⎪⎨-++=⎪⎩,解得3y xz x=-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =，得(1,1,3n =-由（1)知，(3OA '=为平面CDB 的一个法向量，所以15cos ,35n OA n OA n OA '⋅'==='⋅， 即二面角A CD B '--15． （19）【2013年广东，理19,14分】设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知11a =，2121233n n S a n n n +=---，*n ∈N ．（1)求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3)证明:对一切正整数n ，有1211174n a a a +++<． 解：（1)依题意，12122133S a =---，又111S a ==，所以24a =．（2)当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---，()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------，两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---，整理得()()111n n n a na n n ++=-+， 即111n n a a n n +-=+，又21121a a -=，故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =，公差为1的等差数列, 所以()111n an n n=+-⨯=，所以2n a n =．（3）当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<； 当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---，此时222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-<，综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<．（20）【2013年广东,理20,14分】已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l ：20x y --=的距离为2．设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点．(1）求抛物线C 的方程；（2）当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； （3）当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值． 解：（1）依题意，设抛物线C 的方程为24xcy =,2=结合0c >，解得1c =． 所以抛物线C 的方程为24x y =．（2）抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =，求导得12y x '=，设()11,A x y ，()22,B x y (其中221212,44x x y y ==）， 则切线,PA PB 的斜率分别为112x ，212x ,所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-， 即211122x x y x y =-+，即11220x x y y --=，同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=，因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ，所以1001220x x y y --=，2002220x x y y --=，所以()()1122,,,x y x y为方程00220x x y y --=的两组解．所以直线AB 的方程为00220x x y y --=． （3）由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+,所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++，联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎪⎨=⎪⎩，消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=，由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-，2120y y y =，所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+， 又点()00,P x y 在直线l 上，所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭，所以当012y =-时， AF BF ⋅取得最小值，且最小值为92．（21）【2013年广东，理21，14分】设函数()()21x f x x e kx =--（其中k ∈R ）．（1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M ．解：（1)当1k =时，()()21x f x x e x =--，()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-, 令()0f x '=，得0x =，ln 2x =，当x 变化时，()(),f x f x '的变化如下表：f x 0,ln 2,0-∞)ln 2,+∞．（2）()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-，令()0f x '=，得10x =,()2ln 2x k =,令()()ln 2g k k k =-，则()1110k g k k k -'=-=>，所以()g k 在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<，从而()ln 2k k <，所以()[]ln 20,k k ∈，所以当()()0,ln 2x k ∈时，()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时，()0f x '>；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==---,令()()311k h k k e k =--+，则()()3k h k k e k '=-，令()3k k e k ϕ=-，则()330k k e e ϕ'=-<-<，所以()k ϕ在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭，所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=，且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时，()0k ϕ<,所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1x上单调递减．17028h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,()10h =，()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立，当且仅当1k =时取得“="．综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--．。
大连理工大学附中三维设计2013年高考数学二轮复习立体几何
大连理工大学附中三维设计2013年高考数学二轮复习：立体几何本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若(1,2,1)A -，(4,2,3)B ，(6,1,4)C -，则ABC ∆的形状是( )A ．不等边锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形【答案】A2．若一个棱锥的各棱长均相等，则该棱锥一定不是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．五棱锥D ．六棱锥【答案】D3．一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为( )A ．12B ．32C ．1D ．13【答案】A4．过△AB 所在平面α外一点P ，作PO ⊥α，垂足为O ，连接PA 、PB 、PC 且PA 、PB 、PC 两两垂直，则点O 是△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心C ．垂心D ． 垂心【答案】C5．已知向量a ＝（1，1，0），b ＝（－1，0，2），且k a ＋b 与2 a －b 互相垂直，则k 的值是( )A ． 1B ． 51C ．57 D ．53 【答案】C6．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )A ．283π- B ．83π-C ．π28-D ．23π 【答案】A7．已知空间直角坐标系中)0,1,1(A 且)2,0,4(21=，则B 点坐标为( )A ．（9,1,4）B ．（9,－1，－4）C ．（8,－1，－4）D ．（8,1,4）【答案】A8．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰三角形，且直角边长为1，那么这个几何体的体积为( )A ．1B ．12C ．13D ．16【答案】D9．已知A(1,－2,3)，B(4,－4,－3)，则向量在向量＝(6,2,3)的方向上的投影是( )A ．－74B ．－47C ．47D ．74【答案】B10．在空间直角坐标系中, 点P(2,3,4)与Q (2, 3,- 4)两点的位置关系是（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于xOy 平面对称C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对 【答案】B11．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是边BC 、AD 的中点，则AE AF ⋅的值为( )A ．2a B ．212a C ．214a D 2 【答案】C12．下列说法中正确的是( )①三角形一定是平面图形；②若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形； ③圆心和圆上两点可以确定一个平面；④三条平行线最多可确定三个平面。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(辽宁卷)理
2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013辽宁,理1)复数z=1i -1的模为( ). A.12 B.√22C.√2D.2答案:B解析:∵z=1i -1=-i -1(-i -1)(i -1)=-12−12i,∴|z|=√(-12)2+(-12)2=√22,故选B .2.(2013辽宁,理2)已知集合A={x|0<log 4x<1},B={x|x ≤2},则A ∩B=( ). A.(0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.(1,2]答案:D解析:0<log 4x<1⇔log 41<log 4x<log 44⇔1<x<4,即A={x|1<x<4},∴A ∩B={x|1<x ≤2}.故选D .3.(2013辽宁,理3)已知点A (1,3),B (4,-1),则与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为( ). A.(35,-45) B.(45,-35) C.(-35,45)D.(-45,35)答案:A解析:与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√3+(-4)=(35,-45),故选A .4.(2013辽宁,理4)下面是关于公差d>0的等差数列{a n }的四个命题: p 1:数列{a n }是递增数列; p 2:数列{na n }是递增数列; p 3:数列{an n }是递增数列; p 4:数列{a n +3nd }是递增数列. 其中的真命题为( ). A.p 1,p 2 B.p 3,p 4 C.p 2,p 3 D.p 1,p 4答案:D解析:如数列为{-2,-1,0,1,…},则1×a 1=2×a 2,故p 2是假命题;如数列为{1,2,3,…},则an n =1,故p 3是假命题.故选D .5.(2013辽宁,理5)某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为:[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是( ).A.45B.50C.55D.60答案:B解析:由频率分布直方图,低于60分的同学所占频率为(0.005+0.01)×20=0.3,故该班的学生人数为150.3=50.故选B .6.(2013辽宁,理6)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若a sin B cos C+c sin B cos A=12b ,且a>b ,则∠B=( ). A.π6 B.π3C.2π3D.5π6答案:A解析:根据正弦定理:a sin B cos C+c sin B cos A=12b 等价于sin A cos C+sin C cos A=12,即sin(A+C )=12.又a>b ,∴∠A+∠C=5π6,∴∠B=π6.故选A .7.(2013辽宁,理7)使(3x x √x)n(n ∈N +)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ). A.4 B.5C.6D.7答案:B 解析:(3x x x)n展开式中的第r+1项为C n r (3x)n-r x -32r=C n r 3n-r x n -52r,若展开式中含常数项,则存在n ∈N +,r ∈N ,使n-52r=0,故最小的n 值为5,故选B .8.(2013辽宁,理8)执行如图所示的程序框图,若输入n=10,则输出S=( ).A.511B.1011C.3655D.7255答案:A解析:当n=10时,由程序运行得到S=122-1+142-1+162-1+182-1+1102-1=(11×3+13×5+15×7+17×9+19×11) =12(11-13+13-15+15-17+17-19+19-111)=12×1011=511.故选A .9.(2013辽宁,理9)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a 3).若△OAB 为直角三角形,则必有( ). A.b=a 3B.b=a 3+1aC.(b-a 3)(b -a 3-1a )=0D.|b-a 3|+|b -a 3-1a |=0 答案:C解析:若B 为直角,则OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即a 2+a 3(a 3-b)=0, 又a ≠0,故b=a 3+1a ;若A 为直角,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即b(a 3-b)=0,得b=a 3; 若O 为直角,则不可能.故b-a 3=0或b-a 3-1a =0,故选C .10.(2013辽宁,理10)已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上.若AB=3,AC=4,AB ⊥AC,AA 1=12,则球O 的半径为( ). A.3√172B.2√10C.132D.3√10答案:C解析:过C 点作AB 的平行线,过B 点作AC 的平行线,交点为D,同理过C 1作A 1B 1的平行线,过B 1作A 1C 1的平行线,交点为D 1,连接DD 1,则ABCD-A 1B 1C 1D 1恰好成为球的一个内接长方体,故球的半径r=√32+42+1222=132.故选C .11.(2013辽宁,理11)已知函数f(x)=x 2-2(a+2)x+a 2,g(x)=-x 2+2(a-2)x-a 2+8.设H 1(x)=max {f(x),g(x)},H 2(x )=min {f(x),g(x)}(max {p,q}表示p ,q 中的较大值,min {p,q}表示p,q 中的较小值).记H 1(x)的最小值为A,H 2(x)的最大值为B,则A-B=( ). A.16 B.-16 C.a 2-2a-16 D.a 2+2a-16答案:B解析:∵f(x)-g(x)=2x 2-4ax+2a 2-8=2[x-(a-2)][x-(a+2)],∴H 1(x)={f (x ),x ∈(-∞,a -2],g (x ),x ∈(a -2,a +2),f (x ),x ∈[a +2,+∞),H 2(x)={g (x ),x ∈(-∞,a -2],f (x ),x ∈(a -2,a +2),g (x ),x ∈[a +2,+∞),可求得H 1(x)的最小值A=f(a+2)=-4a-4,H 2(x)的最大值B=g(a-2)=-4a+12,∴A-B=-16.故选B .12.(2013辽宁,理12)设函数f(x)满足x 2f'(x)+2xf(x)=e x x ,f (2)=e 28,则x>0时,f (x )( ).A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值 答案:D解析:令F(x)=x 2f(x),则F'(x)=x 2f'(x)+2xf(x)=e x x, F(2)=4·f(2)=e 22. 由x 2f'(x)+2xf(x)=e xx , 得x 2f'(x)=e x x-2xf (x )=e x -2x 2f (x )x , ∴f'(x)=e x -2F (x )x 3. 令φ(x)=e x -2F(x), 则φ'(x)=e x -2F'(x)=e x -2exx=e x (x -2)x. ∴φ(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, ∴φ(x)的最小值为φ(2)=e 2-2F(2)=0. ∴φ(x)≥0. 又x>0,∴f'(x)≥0. ∴f(x)在(0,+∞)单调递增.∴f(x)既无极大值也无极小值.故选D .第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2013辽宁,理13)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 .答案:16π-16解析:由三视图可知该几何体是一个底面半径为2的圆柱体,中间挖去一个底面棱长为2的正四棱柱,故体积为π·22·4-2×2×4=16π-16.14.(2013辽宁,理14)已知等比数列{a n }是递增数列,S n 是{a n }的前n 项和.若a 1,a 3是方程x 2-5x+4=0的两个根,则S 6= . 答案:63解析:因为x 2-5x+4=0的两根为1和4,又数列{a n }是递增数列,所以a 1=1,a 3=4,所以q=2. 所以S 6=1·(1-26)1-2=63.15.(2013辽宁,理15)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos ∠ABF=45,则C 的离心率e= . 答案:57解析:如图所示.根据余弦定理|AF|2=|BF|2+|AB|2-2|AB|·|BF|cos ∠ABF,即|BF|2-16|BF|+64=0,得|BF|=8. 又|OF|2=|BF|2+|OB|2-2|OB|·|BF|cos ∠ABF,得|OF|=5.根据椭圆的对称性|AF|+|BF|=2a=14,得a=7. 又|OF|=c=5,故离心率e=57.16.(2013辽宁,理16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为 . 答案:10解析:设5个班级的人数分别为x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,则x 1+x 2+x 3+x 4+x 55=7, (x 1-7)2+(x 2-7)2+(x 3-7)2+(x 4-7)2+(x 5-7)25=4,即5个整数平方和为20,最大的数比7大不能超过3,否则方差超过4,故最大值为10,最小值为4. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013辽宁,理17)(本小题满分12分)设向量a =(√3sin x,sin x),b =(cos x,sin x),x ∈[0,π2]. (1)若|a |=|b |,求x 的值;(2)设函数f (x )=a ·b ,求f (x )的最大值. 解:(1)由|a |2=(√3sin x)2+(sin x)2=4sin 2x,|b |2=(cos x)2+(sin x)2=1, 及|a |=|b |,得4sin 2x=1. 又x ∈[0,π2],从而sin x=12, 所以x=π6.(2)f(x)=a ·b =√3sin x ·cos x+sin 2x =√32sin 2x-12cos 2x+12=sin (2x -π6)+12,当x=π3∈[0,π2]时,sin (2x -π6)取最大值1. 所以f(x)的最大值为32.18.(2013辽宁,理18)(本小题满分12分)如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. (1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C PB A 的余弦值. (1)证明:由AB 是圆的直径,得AC ⊥BC.由PA ⊥平面ABC,BC ⊂平面ABC,得PA ⊥BC. 又PA ∩AC=A,PA ⊂平面PAC,AC ⊂平面PAC, 所以BC ⊥平面PAC. 因为BC ⊂平面PBC. 所以平面PBC ⊥平面PAC.(2)解法一:过C 作CM ∥AP,则CM ⊥平面ABC.如图,以点C 为坐标原点,分别以直线CB,CA,CM 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 因为AB=2,AC=1,所以BC=√3.因为PA=1,所以A(0,1,0),B(√3,0,0),P(0,1,1). 故CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,0),CP ⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1). 设平面BCP 的法向量为n 1=(x ,y ,z ), 则{CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1=0,CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1=0,所以{√3x =0,y +z =0,不妨令y=1,则n 1=(0,1,-1). 因为AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,-1,0). 设平面ABP 的法向量为n 2=(x ,y ,z ), 则{AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 2=0,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 2=0,所以{z =0,√3x -y =0, 不妨令x=1,则n 2=(1,√3,0),于是cos <n 1,n 2>=√32√2=√64.所以由题意可知二面角C PB A 的余弦值为√64.解法二:过C 作CM ⊥AB 于M,因为PA ⊥平面ABC,CM ⊂平面ABC, 所以PA ⊥CM,故CM ⊥平面PAB. 过M 作MN ⊥PB 于N,连接NC, 由三垂线定理得CN ⊥PB.所以∠CNM 为二面角C PB A 的平面角.在Rt △ABC 中,由AB=2,AC=1,得BC=√3,CM=√32,BM=32,在Rt △PAB 中,由AB=2,PA=1,得PB=√5. 因为Rt △BNM ∽Rt △BAP,所以MN 1=32√5,故MN=3√510.又在Rt △CNM 中,CN=√305,故cos ∠CNM=√64.所以二面角C PB A 的余弦值为√64.19.(2013辽宁,理19)(本小题满分12分)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率;(2)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是35,答对每道乙类题的概率都是45,且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数,求X 的分布列和数学期望.解:(1)设事件A=“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”,则有A =“张同学所取的3道题都是甲类题”. 因为P(A )=C 63C 103=16,所以P(A)=1-P(A )=56.(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=C 20·(35)0·(25)2·15=4125; P(X=1)=C 21·(35)1·(25)1·15+C 20(35)0·(25)2·45=28125;P(X=2)=C 22·(35)2·(25)0·15+C 21(35)1·(25)1·45=57125; P(X=3)=C 22·(35)2·(25)0·45=36125.所以X 的分布列为:X 0 1 2 3P 4125 28125 57125 36125所以E(X)=0×4125+1×28125+2×57125+3×36125=2.20.(2013辽宁,理20)(本小题满分12分)如图,抛物线C 1:x 2=4y,C 2:x 2=-2py(p>0).点M(x 0,y 0)在抛物线C 2上,过M 作C 1的切线,切点为A,B(M 为原点O 时,A,B 重合于O).当x 0=1-√2时,切线MA 的斜率为-12. (1)求p 的值;(2)当M 在C 2上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程(A,B 重合于O 时,中点为O).解:(1)因为抛物线C 1:x 2=4y 上任意一点(x,y)的切线斜率为y'=x 2,且切线MA 的斜率为-12,所以A 点坐标为(-1,14),故切线MA 的方程为y=-12(x+1)+14.因为点M(1-√2,y 0)在切线MA 及抛物线C 2上, 于是y 0=-12(2-√2)+14=-3-2√24,① y 0=-(1-√2)22p =-3-2√22p .②由①②得p=2.(2)设N(x,y),A (x 1,x 124),B (x 2,x 224),x 1≠x 2,由N 为线段AB 中点知x=x 1+x 22,③ y=x 12+x 228.④ 切线MA,MB 的方程为y=x12(x-x 1)+x 124,⑤y=x 22(x-x 2)+x 224.⑥由⑤⑥得MA,MB 的交点M(x 0,y 0)的坐标为 x 0=x 1+x 22,y 0=x 1x24. 因为点M(x 0,y 0)在C 2上,即x 02=-4y 0,所以x 1x 2=-x 12+x 226.⑦ 由③④⑦得 x 2=43y,x ≠0.当x 1=x 2时,A,B 重合于原点O,AB 中点N 为O,坐标满足x 2=43y. 因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2=43y.21.(2013辽宁,理21)(本小题满分12分)已知函数f(x)=(1+x)e -2x ,g(x)=ax+x 32+1+2x cos x.当x ∈[0,1]时, (1)求证:1-x ≤f(x)≤11+x ;(2)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a 的取值范围.(1)证明:要证x ∈[0,1]时,(1+x)e -2x ≥1-x,只需证明(1+x)e -x ≥(1-x)e x .记h(x)=(1+x)e -x -(1-x)e x , 则h'(x)=x(e x -e -x ), 当x ∈(0,1)时,h'(x)>0, 因此h(x)在[0,1]上是增函数, 故h(x)≥h(0)=0. 所以f(x)≥1-x,x ∈[0,1]. 要证x ∈[0,1]时,(1+x)e -2x ≤11+x , 只需证明e x ≥x+1.记K(x)=e x -x-1,则K'(x)=e x -1,当x ∈(0,1)时,K'(x)>0,因此K(x)在[0,1]上是增函数, 故K(x)≥K(0)=0. 所以f(x)≤11+x,x ∈[0,1]. 综上,1-x ≤f(x)≤11+x,x ∈[0,1]. (2)解法一:f(x)-g(x)=(1+x)e -2x -(ax +x 32+1+2xcosx)≥1-x-ax-1-x 32-2x cos x=-x(a+1+x 22+2cos x).设G(x)=x 22+2cos x,则G'(x)=x-2sin x. 记H(x)=x-2sin x,则H'(x)=1-2cos x,当x ∈(0,1)时,H'(x)<0,于是G'(x)在[0,1]上是减函数, 从而当x ∈(0,1)时,G'(x)<G'(0)=0,故G(x)在[0,1]上是减函数. 于是G(x)≤G(0)=2,从而a+1+G(x)≤a+3. 所以,当a ≤-3时,f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立.下面证明当a>-3时,f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立.f(x)-g(x)≤11+x -1-ax-x 32-2x cos x=-x 1+x -ax-x 32-2x cos x =-x (11+x +a +x 22+2cosx),记I(x)=11+x +a+x 22+2cos x=11+x +a+G(x), 则I'(x)=-1(1+x )2+G'(x),当x ∈(0,1)时,I'(x)<0,故I(x)在[0,1]上是减函数, 于是I(x)在[0,1]上的值域为[a+1+2cos 1,a+3]. 因为当a>-3时,a+3>0, 所以存在x 0∈(0,1),使得I(x 0)>0,此时f(x 0)<g(x 0),即f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立. 综上,实数a 的取值范围是(-∞,-3]. 解法二:先证当x ∈[0,1]时,1-12x 2≤cos x ≤1-14x 2.记F(x)=cos x-1+12x 2, 则F'(x)=-sin x+x.记G(x)=-sin x+x,则G'(x)=-cos x+1,当x ∈(0,1)时,G'(x)>0,于是G(x)在[0,1]上是增函数, 因此当x ∈(0,1)时,G(x)>G(0)=0, 从而F(x)在[0,1]上是增函数. 因此F(x)≥F(0)=0,所以当x ∈[0,1]时,1-12x 2≤cos x. 同理可证,当x ∈[0,1]时,cos x ≤1-14x 2.综上,当x ∈[0,1]时,1-12x 2≤cos x ≤1-14x 2. 因为当x ∈[0,1]时, f(x)-g(x)=(1+x)e -2x -(ax +x 32+1+2xcosx)≥(1-x)-ax-x 32-1-2x (1-14x 2)=-(a+3)x.所以当a ≤-3时,f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立. 下面证明当a>-3时,f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立. 因为f(x)-g(x)=(1+x)e -2x -(ax +x 32+1+2xcosx)≤11+x -1-ax-x 32-2x (1-12x 2)=x 21+x +x 32-(a+3)x ≤32x [x -23(a +3)],所以存在x 0∈(0,1)(例如x 0取a+33和12中的较小值)满足f(x 0)<g(x 0).即f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立. 综上,实数a 的取值范围是(-∞,-3].请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。
2013级高数下期末试卷
2013-2014学年第二学期《高等数学》期末试卷一、填空题（每小题3分，共24分）1. 设()2,1,13-=a ，()3,1,2-=b ，则()()=-⨯- b a b a 5834 。
2. xOy 平面上曲线9422=-y x 绕y 轴旋转一周所得旋转曲面方程为 。
3. 函数y x z =在点()2,1沿)1,1(=a 方向的方向导数是 。
4. 交换积分次序()=⎰⎰dx y x f dy ee y ,10 。
5. 设C 为222a y x =+在第一象限内的部分，则=⎰+ds e C y x 22 。
6. 设∑为2222a z y x =++，则()=++⎰⎰∑dS z y x 222 。
7. 级数∑∞=+112n nn α收敛的充要条件是α满足不等式 。
8. 若方程0=+'+''qy y p y （q p ,均为实常数）有特解x e y =1，x e y -=2，则p 等于 ，q 等于 。
二、计算题（每小题8分，共32分）1. 求过直线223221-=-+=-z y x ，且垂直于平面052=--+z y x 的平面方程。
2. 设()y x f ,具有连续的一阶偏导数，()11,1=f ，()a f =1,11，()b f =1,12，又()()[]{} x x f x f x f x ,,,=ϕ，求()1ϕ，()1ϕ'。
3. 计算二重积分()dxdy y x D 22⎰⎰+，其中D ：x y x 222≥+，x y x 422≤+ 。
4. 试将函数()256512xx x x f ---=展开成x 的幂级数。
三、综合题（每小题11分，共44分）1. 沿厂房的后墙修建一座容积为V 形状为长方体的仓库，已知仓库的屋顶和墙壁每单位面积的造价分别为地面每单位面积造价的2倍和1.5倍，厂房后墙的长和高足够，因而这一面墙壁的造价不计，问如何设计，方能使仓库的造价最低？2. 计算曲面积分()dxdy z ydzdx xdydz I ⎰⎰∑+++=1，其中∑是曲面221y x z --=在0≥z 部分的下侧。
2013年高考理科数学辽宁卷试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(辽宁卷)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013辽宁，理1)复数1i 1z =-的模为( )． A ．12BCD ．22．(2013辽宁，理2)已知集合A ＝{x |0＜log 4x ＜1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝( )．A ．(0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．(1,2] 3．(2013辽宁，理3)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为( )．A ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 4．(2013辽宁，理4)下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列； p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( )．A ．p1，p2B ．p3，p4C ．p2，p3D ．p1，p45．(2013辽宁，理5)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )．A ．45B ．50C ．55D ．606．(2013辽宁，理6)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则∠B ＝( )．A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π67．(2013辽宁，理7)使3nx ⎛+ ⎝(n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )．A ．4B ．5C ．6D ．78．(2013辽宁，理8)执行如图所示的程序框图，若输入n ＝10，则输出S ＝( )．A ．511B ．1011C ．3655D ．72559．(2013辽宁，理9)已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )．A ．b ＝a3B ．31b a a =+C ．331()0b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a -+--=10．(2013辽宁，理10)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )．A．2 B．．132 D．11．(2013辽宁，理11)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝( )．A ．16B ．－16C ．a2－2a －16D ．a2＋2a －1612．(2013辽宁，理12)设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝2e 8，则x ＞0时，f (x )( )．A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013辽宁，理13)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是__________．14．(2013辽宁，理14)已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝__________.15．(2013辽宁，理15)已知椭圆C ：2222=1x y a b +(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝__________.16．(2013辽宁，理16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013辽宁，理17)(本小题满分12分)设向量a＝x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．18．(2013辽宁，理18)(本小题满分12分)如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角CPBA的余弦值．19．(2013辽宁，理19)(本小题满分12分)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．20．(2013辽宁，理20)(本小题满分12分)如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p ＞0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1时，切线MA 的斜率为12. (1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )．21．(2013辽宁，理21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(1＋x)e－2x，g(x)＝ax＋32x＋1＋2x cos x．当x∈[0,1]时，(1)求证：1－x≤f(x)≤11x；(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
2013年秋大连工大高数作业及答案
一大题一、单选题（共 10 道试题，共 60 分。
）1.题目见图片答案：B满分：6 分2.题目见图片答案：B满分： 63.题目见图片答案：C满分：6 分4.题目见图片答案：A满分：6 分5.题目见图片答案：C满分：6 分6.题目见图片答案：C满分：6 分7.题目见图片答案：D满分：6 分8.题目见图片答案：D满分：6 分9.题目见图片答案：C满分：6 分10.题目见图片答案：A分：6 分二、判断题（共 10 道试题，共 40 分。
）1. 函数y=f(x)与y=-f(x)的图形关于y轴对称A. 错误B. 正确答案：A满分：4 分2.题目见图片A. 错误B. B正确答案：B满分：4 分3.题目见图片A. 错误B. B 正确答案：B 满分：4 分4.题目见图片A. 错误B. B 正确答案：B 满分：4 分5.题目见图片A. 错误B. B 正确答案：B 满分：4 分6.题目见图片A. 错误B. B 正确答案：B满分：4 分7.题目见图片A. 错误B. B 正确答案：A满分：4 分8.题目见图片A. 错误B. B 正确答案： A满分：4 分9.题目见图片A. 错误B. B 正确答案：A满分：4 分10. 函数y=x在（-1,1）内的最小值是-1A. A错误B. B 正确答案： A满分：4 分二大题、一、单选题（共 10 道试题，共 60 分。
）1. 题目见图片答案： C：6 6 分2. 题目见图片答案： C分：6 分3. 题目见图片答案： D分：6 分4. 题目见图片答案：B满分：6 分5. 题目见图片答案：C6 分6. 题目见图片答案：C分：6 分7. 题目见图片答案： D ：6 6 分8. 题目见图片答案：B ：6 6分9. 题目见图片答案： B：6 6分10. 题目见图片答案： D分：6 分二、判断题（共 10 道试题，共 40 分。
）1. 可导的偶函数的导数是偶函数.A. A 错误B.B 正确答案： A满分：4 分2. 可导的奇函数的导数是奇函数.A.A 错误B. B 正确答案：A满分：4 分3. 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数A. A 错误B. B 正确答案： B满分：4 分4. 设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴，那么该切线方程为y=f(1)A. A 错误B. B 正确答案：B满分：4 分5. 函数的导数是函数改变量与自变量改变量之比,当自变量改变量趋于0时的极限。
2013年全国高考理科数学试题分类汇编3：三角函数
2013年全国高考理科数学试题分类汇编3：三角函数2013年全国高考理科数学分类汇编3：三角函数一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tanA.34 B.43 C.43- D.34- 【答案】C2 ．（2013年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定【答案】B3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理））在△ABC 中,,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ =【答案】C4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为 (A)34π (B) 4π(C)0 (D) 4π-【答案】B5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠= A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】A6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是(A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2x π=对称 (C)()f x 的最大值为3(D)()f x 既奇函数,又是周期函数【答案】C7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））函数cos sin y x x x =+的图象大致为【答案】D8 ．（2013年高考四川卷（理））函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )A. 12πB. 6πC. 3πD. 56π 【答案】B二、填空题13．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））ABC∆中,090=∠C ,M 是BC 的中点,若31sin =∠BAM ,则=∠BAC sin ________. 【答案】6314．（2013年高考新课标1（理））设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______【答案】255-.15．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））如图ABC ∆中,已知点D 在BC边上,AD⊥AC,22sin ,32,33BAC AB AD ∠===则BD的长为_______________316．（2013年上海市春季高考数学试卷）函数2sin y x =的最小正周期是_____________ 【答案】2π17．（2013年高考四川卷（理））设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是_________.18．（2013年高考上海卷（理））若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=,则sin()________x y += 【答案】2sin()3x y +=.19．（2013年高考上海卷（理））已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c,若22232330aab b c ++-=,则角C 的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)【答案】1arccos 3C π=- 20．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））已知α是第三象限角,1sin 3a =-,则cot a =____________.【答案】21．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为___________. 【答案】π 22．（2013年上海市春季高考数学试卷()）在ABC ∆中,角 A B C 、、所对边长分别为a b c、、,若5 8 60a b B ===，，,则b=_______ 【答案】723．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理））设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若2b c a +=,则3sin 5sin ,A B =则角C =_____.【答案】π3224．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯））设θ为第二象限角,若1tan()42πθ+=,则sin cos θθ+=________.【答案】5-25．（2013年高考江西卷（理））函数2sin 2y x x=+的最小正周期为T 为_________.【答案】π26．（2013年上海市春季高考数学试卷()）函数4sin 3cos y x x =+的最大值是_______________【答案】5三、解答题27．（2013年高考北京卷（理））在△ABC 中,a =3,b ,∠B =2∠A .(I)求cos A 的值; (II)求c 的值.【答案】解:(I)因为a =3,b =2,∠B =2∠A . 所以在△ABC中,由正弦定理得3sin sin 2A A =.所以2sin cos sin 3A A A =.故cos 3A =.(II)由(I)知cos A =,所以sin A ==.又因为∠B=2∠A,所以21cos 2cos13B A =-=.所以sin B ==.在△ABC 中,sin sin()sin cos cos sin 9C A B A B A B =+=+=.所以sin 5sin a Cc A==.28．（2013年高考陕西卷（理））已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R, 设函数()·f x =a b.(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】解:(Ⅰ)()·f x =a b=)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x .最小正周期ππ==22T . 所以),62sin()(π-=x x f 最小正周期为π. (Ⅱ) 上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈. ]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f .所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-. 29．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理））在ABC中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,且2222ab abc ++=.(1)求C ; (2)设()()2cos cos 322cos cos ,5cos 5A B A B ααα++==,求tan α的值.【答案】由题意得30．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理））已知函数2()226sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R.(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】31．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））设向量()()3sin ,sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值； (II)设函数()(),.f x a b f x =求的最大值【答案】32．（2013年高考上海卷（理）)已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>;(1)若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增,求ω的取值范围;(2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像,区间[,]a b (,a b R ∈且a b<)满足:()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值.【答案】(1)因为0ω>,根据题意有34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩(2) ()2sin(2)f x x =,()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++ 1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈,即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π, 故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,则b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=.33．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=. (I)求B (II)若1sin sin 4A C =,求C .【答案】34．（2013年高考四川卷（理））在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-.(Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)若42a =5b =,求向量BA 在BC 方向上的投影.【答案】解:()I 由()()232coscos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-,得()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦,即()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-, 则()3cos 5A B B -+=-,即3cos 5A =-()II 由3cos ,05A A π=-<<,得4sin 5A =,由正弦定理,有sin sin a bA B=,所以,sin 2sin 2b A B a ==.由题知a b >,则A B >,故4B π=.根据余弦定理,有(22235255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭,解得1c =或7c =-(舍去).故向量BA 在BC 方向上的投影为cos 2BA B =35．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c,且6a c +=,2b =,7cos 9B =.(Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求sin()A B -的值.【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理2222cos b a c ac B=+-,得()222(1cos )b ac ac B =+-+,又6a c +=,2b =,7cos 9B =,所以9ac =,解得3a =,3c =.(Ⅱ)在△ABC 中,sin 9B ==,由正弦定理得sin sin 3a B Ab ==,因为a c =,所以A 为锐角,所以1cos 3A ==因此sin()sin cos cos sin 27A B A B A B -=-=.36．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理））已知函数()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.(Ⅰ)求ϖ的值; (Ⅱ)讨论()f x 在区间[]0,2上的单调性.【答案】解: (Ⅰ)2)42sin(2)12cos 2(sin 2)cos (sin cos 22++=++=+⇒πωωωωωωx x x x x x122=⇒=⇒ωπωπ.所以1,2)42sin(2)(=++=ωπx x f(Ⅱ) ；解得，令时，当8242]4,4[)42(]2,0[ππππππππ==++∈+∈x x x x 所以.]28[]8,0[)(上单调递减，上单调递增；在在πππx f y = 37．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π,图像的一个对称中心为(,0)4π,将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像. (1)求函数()f x 与()g x 的解析式;(2)是否存在0(,)64x ππ∈,使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定0x 的个数;若不存在,说明理由(3)求实数a 与正整数n ,使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点.【答案】解:(Ⅰ)由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π,0ω>,得2ω=又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π,(0,)ϕπ∈ 故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=,得2πϕ=,所以()cos 2f x x = 将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得cos y x =的图象,再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =(Ⅱ)当(,)64x ππ∈时,1sin 2x <<,10cos 22x << 所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解 设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-,(,)64x ππ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++-因为(,)64x ππ∈,所以()0G x '>,()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<,()04G π=>且函数()G x 的图象连续不断,故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ,即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意 (Ⅲ)依题意,()sin cos 2F x a x x =+,令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =,即()x k k Z π=∈时,cos 21x =,从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解,所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x=-,()x k k Z π≠∈现研究(0,)(,2)x πππ∈时方程解的情况令cos 2()sin xh x x=-,(0,)(,2)x πππ∈则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x+'=,令()0h x '=,得2x π=或32x π=当x 变化时,()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时,()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时,()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时,()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时,()h x 趋向于+∞故当1a >时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点,在(,2)ππ内有2个交点; 当1a <-时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点,在(,2)ππ内无交点; 当11a -<<时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点,在(,2)ππ内有2个交点由函数()h x 的周期性,可知当1a ≠±时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点,从而不存在正整数n ,使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点;当1a =±时,直线y a=与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππ内有3个交点,由周期性,20133671=⨯,所以67121342n =⨯=综上,当1a =±,1342n =时,函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点38．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））本小题满分14分.已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，,παβ<<<0. (1)若||2a b -=,求证:a b ⊥;(2)设(0,1)c =,若a b c +=,求βα,的值.【答案】解:(1)∵2||=- ∴2||2=- 即()22222=+-=-,又∵1sin cos ||2222=+==ααa a,1sin cos ||2222=+==ββb b∴222=-∴0=∴⊥(2)∵)1,0()sin sin ,cos (cos b a =++=+βαβα ∴⎩⎨⎧=+=+1sin sin 0cos cos βαβα即⎩⎨⎧-=-=βαβαsin 1sin cos cos两边分别平方再相加得:βsin 221-= ∴21sin =β ∴21sin =α ∵παβ<<<0 ∴πβπα61,65== 39．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值; (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; (Ⅱ)222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭. 40．（2013年高考湖南卷（理））已知函数2()sin()cos().()2sin 632xf x x xg x ππ=-+-=.(I)若α是第一象限角,且()f α=求()g α的值; (II)求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.【答案】解:(I)533sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(==⇒=++-=ααf x x x x x x f .51cos 12sin 2)(,54cos )2,0(,53sin 2=-===⇒∈=⇒ααααπααg 且(II)21)6sin(cos 21sin 23cos 1sin 3)()(≥+=+⇒-≥⇒≥πx x x x x x g x fZ k k k x k k x ∈+∈⇒++∈+⇒],322,2[]652,62[6ππππππππ41．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲.乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为min /50m .在甲出发min 2后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留min 1后,再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为min /130m ,山路AC 长为m1260,经测量,1312cos =A ,53cos =C . (1)求索道AB 的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?【答案】解:(1)∵1312cos =A ,53cos =C ∴），（、20π∈C A ∴135sin =A ,54sin =C ∴[]6563sin cos cos sin sin sin sin =+=+=+-=C A C A C A C A B ）（）（π 根据sinB sinC AC AB =得m C ACAB 1040sin sinB== (2)设乙出发t 分钟后,甲.乙距离为d,则1312)50100(1302)50100()130(222⨯+⨯⨯-++=t t t t d ∴)507037(20022+-=t t dCBA∵13010400≤≤t 即80≤≤t ∴3735=t 时,即乙出发3735分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短.(3)由正弦定理sinBsinA ACBC =得50013565631260sin sinB ===A AC BC (m) 乙从B 出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C设乙的步行速度为V min /m ,则350710500≤-v∴3507105003≤-≤-v ∴14625431250≤≤v ∴为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在⎥⎦⎤⎢⎣⎡14625,431250范围内法二:解:(1)如图作BD ⊥CA 于点D , 设BD =20k ,则DC =25k ,AD =48k ,AB =52k ,由AC =63k =1260m, 知:AB =52k =1040m.(2)设乙出发x 分钟后到达点M , 此时甲到达N 点,如图所示. 则:AM =130x ,AN =50(x +2),由余弦定理得:MN 2=AM 2+AN 2-2 AM ·AN cos A =7400x2-14000 x+10000,其中0≤x≤8,当x=3537(min)时,MN最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.(3)由(1)知:BC=500m,甲到C用时:126050=1265(min).若甲等乙3分钟,则乙到C用时:1265+3=1415(min),在BC上用时:865(min) .此时乙的速度最小,且为:500÷865=125043m/min.若乙等甲3分钟,则乙到C用时:1265-3=1115(min),在BC上用时:565(min) .此时乙的速度最大,且为:500÷565=62514m/min.故乙步行的速度应控制在[125043,62514]范围内.42．（2013年高考湖北卷（理））在ABC ∆中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c .已知()cos23cos 1A B C -+=. (I)求角A 的大小;(II)若ABC ∆的面积S =,5b =,求sin sin B C 的值.【答案】解:(I)由已知条件得:cos23cos 1A A +=22cos 3cos 20A A ∴+-=,解得1cos 2A =,角60A =︒(II)1sin 2S bc A ==4c ⇒=,由余弦定理得:221a=,()222228sin a R A==25sin sin 47bc B C R ∴==43．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯））△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+. (Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.【答案】CB AD M N44．（2013年高考新课标1（理））如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90°(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA[【答案】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=o60,∴∠PBA=30o,在△PBA 中,由余弦定理得2PA =o11323cos3042+-=747;(Ⅱ)设∠PBA=α,由已知得,PB=sin α,在△PBA 中,由正弦定理得o sin sin(30)αα=-,化简得4sin αα=,∴tan α,∴tan PBA ∠.45．（2013年上海市春季高考数学试卷）本题共有2个小题,第一小题满分4分,第二小题满分9分.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在y 轴正半轴上,点nP 在x 轴上,其横坐标为nx ,且{}nx 是首项为1、公比为2的等比数列,记1nn nP APθ+∠=,n N *∈.(1)若31arctan3θ=,求点A 的坐标;(2)若点A的坐标为(0,求nθ的最大值及相应n 的值.[解](1) (2)【答案】[解](1)设(0 )A t ，,根据题意,12n nx -=.由31arctan3θ=,知31tan 3θ=,而3443343223443()4tan tan()321x x t x x t tt OAP OAP x x t x x t t tθ--=∠-∠===+⋅++⋅,所以241323t t=+,解得4t =或8t =.故点A 的坐标为(0 4)，或(0 8)，. (2)由题意,点nP 的坐标为1(20)n -，,1tan 82n n OAP -∠=. 1112128282tan tan()21622182828282282n n n n n n n nn OAP OAP θ--+--=∠-∠===+⋅++.因为16222282nn+≥,所以2tan 422nθ≤=,当且仅当16282n=,即4n =时等号成立.易知0 tan 2ny xπθ<<=，在(0 )2π，上为增函数, 因此,当4n =时,nθ最大,其最大值为2arctan4.46．（2013年高考江西卷（理））在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-sinA)cosB=0.(1) 求角B 的大小;若a+c=1,求b 的取值范围【答案】解:(1)由已知得cos()cos cos 3cos 0A B A B A B -++=即有sin sin 3cos 0A B A B =因为sin 0A ≠,所以sin 30B B =,又cos 0B ≠,所以tan 3B =又0B π<<,所以3B π=. (2)由余弦定理,有2222cos ba c ac B =+-.因为11,cos 2a c B +==,有22113()24ba =-+.又01a <<,于是有2114b≤<,即有112b ≤<.。
2013高等数学下试卷及答案 (2)
姓名____________ 学号____________一、单项选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．与三坐标轴夹角均相等的单位向量为（ ）Ａ．(1,1,1) Ｂ．111(,,)333Ｃ． Ｄ．111(,,)333---２．设ln xz y=，则11x y dz ===（ ）Ａ．dy dx - Ｂ．dx dy - Ｃ．dx dy + Ｄ．0 ３．下列级数中收敛的是 （ ）Ａ．n ∞=Ｂ．1n ∞=∑ Ｃ．113n n ∞=∑ Ｄ．113n n∞=∑ ４．当||1x <时，级数11(1)n n n x ∞-=-∑是（ ）Ａ．绝对收敛 Ｂ．条件收敛 Ｃ．发散 Ｄ．敛散性不确定５．设函数()p x ，()q x ，()f x 都连续，()f x 不恒为零，1y ，2y ，3y 都是()()()y p x y q x y f x '''++=的解，则它必定有解是（ ）（今年不作要求）Ａ．123y y y ++ Ｂ．123y y y +- Ｃ．123y y y -- Ｄ．123y y y ---二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．微分方程''6'90y y y -+=的通解为＿＿＿＿＿．（今年不作要求） ２．设有向量(4,3,1)a →=，(1,2,2)b →=-，则2a b →→-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ３．过点(1,1,0)-且与平面32130x y z +--=垂直的直线方程是＿＿＿＿＿＿．４．设2cos()z xy =，则zy∂∂＝＿＿＿＿＿＿＿． ５．设L 为曲线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一线段，则32(2)L x y dx +⎰＿＿＿．三、计算题（本大题共７小题，每小题6分，共４2分） １．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解．２．设22()xyz x y =+，求z x ∂∂及2z x y∂∂∂．３．判断级数23112123!10101010n n ⋅⋅⋅+++++的敛散性．４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．５．将函数2()x f x xe -=展开成x 的幂级数，并确定其收敛域． ６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz .７．计算二重积分cos Dydxdy y⎰⎰，其中D 是由y =y x =围成的区域．四、解答题（本大题共4小题，每小题７分，共２8分） １．计算曲线积分22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由曲线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线．２．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及0y ≥所确定．３．设()u f xyz =，(0)0f =，(1)1f '=，且3222()ux y z f xyz x y z∂'''=∂∂∂，试求u 的表达式．（今年不作要求）４．计算曲面积分)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++，其中∑为上半球面z =（今年不作要求）参考答案一、 选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．Ｃ ２．Ｂ ３．Ｃ ４．Ａ ５．Ｂ 二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．312()x y C C x e =+ ２．(7,8,0) ３．11321x y z+-==- ４．22sin()xy xy - ５．710三、计算题（本大题共７小题，每小题６分，共４２分）１．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解． 解：21112x dx dy x y =-++⎰⎰．．．．．．．．．．（１分） 221111(1)(12)21212d x d y x y +=-+++⎰⎰．．．．．．．．．（５分） 2ln(1)ln |12|ln x y C +=-++，即2(1)(12)x y C ++=．．．．．．（６分）２．设22()xyz x y =+，求z x ∂∂及2zx y∂∂∂．解：设v z u =，22u x y =+，v xy =．．．．．．．．．．（１分）22222222()(ln())xy z z u z v x y x y y x y x u x v x x y∂∂∂∂∂=+=+++∂∂∂∂∂+．．．．．．．．．．（３分） 243342222222222(2)()[(21ln())ln()]()xy z x x y y x y xy xy x y x y x y x y ∂++=++++++∂∂+．（６分） ３．判断级数23112123!10101010n n ⋅⋅⋅+++++的敛散性．解：11(1)!10lim lim !10n n n n n n u n u n ρ++→∞→∞+==．．．．．．．．．．（３分） 1lim10n n →∞+==∞．．．．．．．．．．．（５分） 所以级数发散．．．．．．．．（６分）４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．解：设矩形两边长分别为,x y ．则1x y +=，假设绕长度为y 的一边旋转，则圆柱体体积为2V x y π=．．．．．．．．．．．．（２分） 作拉氏函数2(,,)(1)F x y x y x y λπλ=++-．．．．．．．．（３分） 解方程组22001xy x x y πλπλ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩．．．．．．．．．．．．．．．．（４分） 得可能的极值点21(,)33．．．．．．．．．．．．．．（５分） 由题意知道其一定是所求的最值点，所以最大体积为427π，对应面积为29．．．．．．．．．．（６分）５．将函数2()xf x xe -=展开成x 的幂级数，并确定其收敛域．解：因为212!!n x x x e x n =+++++ ．．．．．．．（１分）所以2221(1)222!2!xnnn x x x en -=-+++-+⋅⋅ ．．．．．．．．．．（３分）23112211()(1)(1)222!2!2(1)!x n nnn n n n x x x x f x xex n n +∞---===-+++-+=-⋅⋅⋅-∑（５分）收敛域为(,)-∞+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．（６分）６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz . 解：2(,,)z F x y z x y z e =+--．．．．．．．．（１分） 1,2,1z x y z F F y F e ===--．．．．．．．．．．．（３分） 所以12,11y x z zz z F F z z yx F e y F e∂∂=-==-=∂+∂+．．．．．．．．．（５分）故1(2)1z z z dz dx dy dx ydy x y e∂∂=+=+∂∂+．．．．．．．．．．（６分） ７．计算二重积分cos Dydxdy y⎰⎰，其中D 是由y =y x =围成的区域． 解：积分区域为：2{(,)|01,}D x y y y x y =≤≤≤≤．．．．．．．．（１分）210cos cos y y Dyy dxdy dy dx y y =⎰⎰⎰⎰．．．．．．．．．．（３分） 1(1)cos y ydy =-⎰．．．．．．．．．．．．（５分）1cos1=-．．．．．．．．．（６分） 四、解答题（本大题共４小题，每小题７分，共２８分） １．计算曲线积分22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由曲线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线．解：22(2)()(12)L Dxy x dx x y dy x d σ-++=-⎰⎰⎰．．．．．．（２分）2102)xdx x dy =-⎰．．．．．．．．（４分）1312322(22)x x x x dx =--+⎰．．．．．．．．（６分） 130=．．．．．．（７分）２．计算二重积分Dσ，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及0y ≥所确定．解：'DD σθ=⎰⎰．．．．．．．．．．（２分）120d πθ=⎰⎰．．．．．．．．．．．．（４分） 224d ππθ-=⎰．．．．．．（６分）＝(2)8ππ-=．．．．．．．．．（７分）３．设()u f xyz =，(0)0f =，'(1)1f =，且3222()ux y z f xyz x y z∂'''=∂∂∂，试求u 的表达式．解：22(),()()u uyzf xyz zf xyz xyz f xyz x x y∂∂''''==+∂∂∂ 3222()3()()uf xyz xyzf xyz x y z f xyz x y z∂''''''=++∂∂∂．．．．．．．．（２分）因为3222()ux y z f xyz x y z∂'''=∂∂∂，所以()3()0f xyz xyzf xyz '''+= 令xyz t =，得3()()0tf t f t '''+=．．．．．．（４分）解之得113311(),(1)1,1,()由得所以f t C t f C f t t --'''====．．．．．（５分）解得22332233(),(0)0,0,()22由得所以f t t C f C f t t =+===．．．．．（６分）即233()()2u f xyz xyz ==．．．．．．．（７分）４．计算曲面积分)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++，其中∑为上半球面z = 解：因为在曲面∑a =，所以()I a xdydz ydzdx zdxdy ∑=++⎰⎰．．．．．．．．．．（１分）补曲面2221{(,,)|0,}x y z z x y a ∑==+≤，1∑取下侧．．．．．．．．．．（２分） 由高斯公式得1()I a xdydz ydzdx zdxdy ∑+∑=++⎰⎰＝342(111)323a dv a a a ππΩ++=⨯=⎰⎰⎰．．（４分） 而111()00a xdydz ydzdx zdxdy azdxdy dxdy ∑∑∑++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰．．．．．（６分）故)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++＝114()()2a xdydz ydzdx zdxdy a π∑+∑∑-++=⎰⎰⎰⎰．．．．．．．（７分）。
大连理工大学10,11,12,13上学期工科数学分析基础试题答案
-03cos 2lnlim 0=+=®xx （10分）四、解：(1)0)cos )((lim 00sin )(lim 00=-¢=÷øöçèæ-=®®x x g x x x g a x x （4分）(2)200sin )(lim )0()(lim )0(x xx g x f x f f x x-=-=¢®® =12)0(2sin )(lim 2cos )(lim 00=¢¢=+¢¢=-¢®®g x x g x x x g x x∴ ïîïíì=¹---¢=¢时时010,)sin )(()cos )(()(2x x x x x g x x g x x f （8分） （3）200)sin )(()cos )((lim )(lim x x x g x x g x x f x x ---¢=¢®® =xx x g x x g x x x g x 2)cos )(()sin )((cos )(lim 0-¢-+¢¢+-¢® =)0(12)0(f g ¢==¢¢，因此)(x f ¢在(-∞，+∞+∞))连续。
连续。
（10分）五、解五、解:: 设x x x f ln)(=，由2ln 1)('xxx f -=，可知,当e x >时)(x f 单调减少单调减少 （5分）若e a b >>，则有b b a a ln ln >，推出a b b a ln ln >，即有a b b a > 2011201220122011> （10分）分）所以六、解：2)()()(x x f x f x x x f -¢=¢÷øöçèæ（4分）分） 令)()()(x f x f x x g -¢=，)()(x f x x g ¢¢=¢，令0)(=¢x g ，得0=x （唯一驻点），当0<x 时，0)(<¢x g ，当0>x 时，0)(>¢x g ，故)0(g 为最小值，故0)0()0()(>-=³f g x g ，∴0)(>¢÷øöçèæx x f ，即x x f )(单调增加。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学试题 (理科) word解析版
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供理科考生使用）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数的11Z i =-模为（A ）12（B （C （D ）21. 【答案】B【解析】由已知111,(1)(1)22i Z i i i -+==-----+所以||Z =（2）已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=I ，则A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， 2. 【答案】D【解析】由集合A ，14x <<；所以(1,2]A B ⋂=（3）已知点()()1,3,4,1,A B AB -u u u r则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 3. 【答案】A【解析】(3,4)AB =-u u u r ，所以||5AB =u u u r ，这样同方向的单位向量是134(,)555AB =-u u u r（4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列； {}2:n p na 数列是递增数列；3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p 4.【答案】D【解析】设1(1)n a a n d dn m =+-=+，所以1P 正确；如果312n a n =-则满足已知，但2312n na n n =-并非递增所以2P 错；如果若1n a n =+，则满足已知，但11n a n n=+，是递减数列，所以3P 错；34n a nd dn m +=+，所以是递增数列，4P 正确（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100. 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）60 5.【答案】B【解析】第一、第二小组的频率分别是0.1、0.2，所以低于60分的频率是0.3，设班级人数为m ，则150.3m=，50m =。
2013年高考理科数学湖北卷word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(湖北卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013湖北，理1)在复平面内，复数2i=1iz+(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．(2013湖北，理2)已知全集为R，集合112xA x⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A ∩＝( )．A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x＜2或x＞4} D．{x|0＜x≤2或x≥4}3．(2013湖北，理3)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )．A．(⌝p)∨(⌝q) B．p∨(⌝q) C．(⌝p)∧(⌝q) D．p∨q4．(2013湖北，理4)将函数yx＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( ).A．π12 B．π6 C．π3 D．5π65．(2013湖北，理5)已知π0<<4θ，则双曲线C1：2222=1cos sinx yθθ-与C2：22222=1sin sin tany xθθθ-的( )．A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等6．(2013湖北，理6)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为( )．A．2 B． C．2-D．7．(2013湖北，理7)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝25 731tt-++(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )．A．1＋25ln 5 B．118+25ln3 C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 28．(2013湖北，理8)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )．A．V1＜V2＜V4＜V3 B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4 D．V2＜V3＜V1＜V49．(2013湖北，理9)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝( )．A ．126125B ．65C ．168125D ．7510．(2013湖北，理10)已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( )．A ．f(x1)＞0，f(x2)＞12-B ．f(x1)＜0，f(x2)＜12-C ．f(x1)＞0，f(x2)＜12-D ．f(x1)＜0，f(x2)＞12-二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．(2013湖北，理11)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x 的值为__________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为__________．12．(2013湖北，理12)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i ＝__________.13．(2013湖北，理13)设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z 则x ＋y ＋z ＝__________. 14．(2013湖北，理14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为2111222n n n n (+)=+.记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝21122n n +， 正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝23122n n -， 六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ，…… ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝__________.(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．)15．(2013湖北，理15)(选修4—1：几何证明选讲)如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E .若AB ＝3AD ，则CEEO的值为______．16．(2013湖北，理16)(选修4—4：坐标系与参数方程) 在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数，a ＞b ＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为πsin 42m ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为__________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(2013湖北，理17)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S =b ＝5，求sin B sin C 的值．18．(2013湖北，理18)(本小题满分12分)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．19．(2013湖北，理19)(本小题满分12分)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点．(1)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；(2)设(1)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =，记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E －l －C 的大小为β，求证：sin θ＝sin αsin β.20．(2013湖北，理20)(本小题满分12分)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的椭机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.(1)求p0的值；(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4.)(2)某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？21．(2013湖北，理21) (本小题满分13分)如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m,2n(m＞n)，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.记λ＝mn，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.(1)当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，求λ的值；(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2？并说明理由．22．(2013湖北，理22)(本小题满分14分)设n是正整数，r为正有理数．(1)求函数f(x)＝(1＋x)r＋1－(r＋1)x－1(x＞－1)的最小值；(2)证明：111111<<11r r r rrn n n nnr r++++-(-)(+)-++；(3)设x∈R，记[x]为不小于．．．x的最小整数，例如[2]＝2，[π]＝4，3=12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.令3125S+，求[S]的值．(参考数据：4380344.7≈,4381350.5≈,43124618.3≈,43126631.7≈)2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(湖北卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：D解析：∵2i 2i 1i =1i 1i 1i z (-)=+(+)(-)＝i(1－i)＝1＋i ， ∴复数2i=1iz +的共轭复数z ＝1－i ，其在复平面内对应的点(1，－1)位于第四象限．2．答案：C解析：由题意知集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭＝{x |x ≥0}，集合B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}＝{x |2≤x ≤4}，＝{x |x ＜2或x ＞4}．因此A ∩()＝{x |0≤x ＜2或x ＞4}．3．答案：A解析：“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括甲或乙没有落在指定范围或者两人均没有落在指定范围，因此应为(⌝p )∨(⌝q )．4．答案：B解析：∵y x ＋sin x ＝π2sin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴函数y x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，变为函数π=2sin 3y x m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的图象.又∵所得到的图象关于y 轴对称，则有π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝ππ6k +，k ∈Z .∵m ＞0，∴当k ＝0时，m 的最小值为π6. 5．答案：D解析：对于双曲线C 1：2222=1cos sin x y θθ-，21a ＝cos 2θ，21b ＝sin 2θ，21c ＝1； 对于双曲线C 2：22222=1sin sin tan y x θθθ-，22a ＝sin 2θ，22b ＝sin 2θtan 2θ，22c ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ＝sin 2θ(1＋tan 2θ)＝22222sin sin sin 1cos cos θθθθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭＝tan 2θ. ∵只有当θ＝ππ4k +(k ∈Z )时，21a ＝22a 或21b ＝22b 或21c ＝22c ，而π0<<4θ，∴排除A ，B ，C.设双曲线C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2，则2121cos e θ=，22222tan 1sin cos e θθθ==. 故e 1＝e 2，即两双曲线的离心率相等．6．答案：A解析：由题意可知AB ＝(2,1)，CD ＝(5,5)，故AB 在CD方向上的投影为2AB CD CD⋅==. 7．答案：C 解析：由于v (t )＝7－3t ＋251t+，且汽车停止时速度为0， 因此由v (t )＝0可解得t ＝4， 即汽车从刹车到停止共用4 s. 该汽车在此期间所行驶的距离4025=73d 1s t t t ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭⎰ ＝423725ln 12tt t ⎡⎤-+(+)⎢⎥⎣⎦ ＝4＋25ln 5(m)． 8．答案：C解析：由三视图可知，四个几何体自上而下分别为圆台，圆柱，四棱柱，四棱台．结合题中所给数据可得：V 1＝13(4π＋π＋2π)＝7π3，V 2＝2π， V 3＝23＝8，V 4＝13(16＋4＋8)＝283.故V 2＜V 1＜V 3＜V 4.9．答案：B解析：由题意可知涂漆面数X 的可能取值为0,1,2,3.由于P (X ＝0)＝27125，P (X ＝1)＝54125，P (X ＝2)＝36125，P (X ＝3)＝8125， 故E (X )＝275436815060+1+231251251251251255⨯⨯⨯⨯==＋. 10．答案：D解析：由题意知，函数f (x )＝x (ln x －ax )＝x ln x －ax 2有两个极值点， 即f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ＝0在区间(0，＋∞)上有两个根． 令h (x )＝ln x ＋1－2ax ，则h ′(x )＝121=2ax a x x-+-=，当a ≤0时h ′(x )＞0，f ′(x )在区间(0，＋∞)上递增，f ′(x )＝0不可能有两个正根，∴a ＞0.由h ′(x )＝0，可得12x a =，从而可知h (x )在区间10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在区间1,2a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上递减．因此需111=ln +11=ln >0222h a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即1>12a 时满足条件，故当10<<2a 时，h (x )＝0有两个根x 1，x 2，且121<2x x a<.又h (1)＝1－2a ＞0， ∴1211<2x x a<<，从而可知函数f (x )在区间(0，x 1)上递减，在区间(x 1，x 2)上递增，在区间(x 2，＋∞)上递减．∴f (x 1)＜f (1)＝－a ＜0，f (x 2)＞f (1)＝12a ->-.故选D. 二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应．．．．．题号．．的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．答案：(1)0.004 4 (2)70解析：(1)由频率分布直方图知[200,250)小组的频率为1－(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋0.002 4＋0.001 2)×50＝0.22， 于是x ＝0.2250＝0.004 4. (2)∵数据落在[100,250)内的频率为(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7， ∴所求户数为0.7×100＝70. 12．答案：5解析：第一次执行循环体后：a ＝5，i ＝2；第二次执行循环体后：a ＝16，i ＝3；第三次执行循环体后：a ＝8，i ＝4；第四次执行循环体后：a ＝4，i ＝5，满足条件，循环结束．输出i ＝5. 13．答案：7解析：由柯西不等式得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2当且仅当123x y z==时等号成立，此时y ＝2x ，z ＝3x .∵x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z∴14x =，14y =，14z =. ∴x ＋y ＋z=14．答案：1 000解析：由题中数据可猜想：含n 2项的系数为首项是12，公差是12的等差数列，含n 项的系数为首项是12，公差是12-的等差数列，因此 N (n ，k )＝2211112433222222k k k n k n n n ⎡⎤--⎡⎤⎛⎫+(-)++(-)-=+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦.故N (10,24)＝11n 2－10n ＝11×102－10×10＝1 000.(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．) 15．答案：8解析：设AD ＝2，则AB ＝6， 于是BD ＝4，OD ＝1. 如图，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ＝8， 则CD＝在Rt △OCD 中，DE＝·133OD CD OC ⨯==.则83CE ==，EO ＝OC －CE ＝81333-=.因此83=813CE EO =.16．答案：3解析：将椭圆C的参数方程cos,sinx ay bϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数，a＞b＞0)化为标准方程为22221x ya b+=(a＞b＞0)．又直线l的极坐标方程为πsin42mρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭(m为非零常数)，即sin cosρθθ⎛=⎝⎭，则该直线的一般式为y＋x－m＝0.圆的极坐标方程为ρ＝b，其标准方程为x2＋y2＝b2.∵直线与圆O相切，=b，|m.又∵直线l经过椭圆C的焦点，∴|m|＝c.∴c=，c2＝2b2.∵a2＝b2＋c2＝3b2，∴22223cea==.∴e=.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：(1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，解得cos A＝12或cos A＝－2(舍去)．因为0＜A＜π，所以A＝π3.(2)由S＝12bc sin A＝1224bc⋅==bc＝20.又b＝5，知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝25＋16－20＝21，故a=又由正弦定理得sin B sin C＝222035sin sin sin2147b c bcA A Aa a a⋅==⨯=.18．解：(1)设等比数列{a n}的公比为q，则由已知可得331211125,||10,a qa q a q⎧=⎨-=⎩解得15,33,aq⎧=⎪⎨⎪=⎩或15,1.aq=⎧⎨=-⎩故1533nna-=⋅，或a n＝－5·(－1)n－1.(2)若1533nna-=⋅，则113153nna-⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，故1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为35，公比为13的等比数列，从而1311531=113mmn na=⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-∑＝9191<110310m⎡⎤⎛⎫⋅-<⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.若a n＝(－5)·(－1)n－1，则111(1)5nna-=--，故1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为15-，公比为－1的等比数列，从而11,21,150,2,mn nm k kam k k+=+⎧-=-(∈)⎪=⎨⎪=(∈)⎩∑NN故111mn na=<∑.综上，对任何正整数m ，总有111mn na =<∑. 故不存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥成立．19． (1)解：直线l ∥平面PAC ，证明如下：连接EF ，因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点， 所以EF ∥AC .又EF 平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF ∩平面ABC ＝l ，所以EF ∥l .因为l 平面PAC ，EF ⊂平面PAC ， 所以直线l ∥平面PAC .(2)证明：(综合法)如图1，连接BD ，由(1)可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC . 因为AB 是O 的直径， 所以AC ⊥BC ， 于是l ⊥BC .已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC ⊥l . 而PC ∩BC ＝C ，所以l ⊥平面PBC . 连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ， 所以l ⊥BF .故∠CBF 就是二面角E －l －C 的平面角， 即∠CBF ＝β. 由12DQ CP =，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =. 连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，CP ＝2PF ，所以DQ ＝PF ，从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD .连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影， 故∠CDF 就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即∠CDF ＝θ. 又BD ⊥平面PBC ，有BD ⊥BF ，知∠BDF 为锐角，故∠BDF 为异面直线PQ 与EF 所成的角，即∠BDF ＝α， 于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得sin θ＝CF DF ，sin α＝BF DF ，sin β＝CFBF， 从而sin αsin β＝CF BF CFBF DF DF⋅=＝sin θ， 即sin θ＝sin αsin β. (向量法)如图2，由12DQ CP =，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =. 连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由(1)可知交线l 即为直线BD .以点C 为原点，向量CA ，CB ，CP 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA ＝a ，CB ＝b ，CP ＝2c ，则有C (0,0,0)，A (a,0,0)，B (0，b,0)，P (0,0,2c )，Q (a ，b ，c )，E 1,0,2a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，F (0,0，c )．于是1,0,02FE a ⎛⎫=⎪⎝⎭，QP ＝(－a ，－b ，c )，BF＝(0，－b ，c )，所以cos α＝FE QP FEQPa ⋅=⋅sin α=.又取平面ABC 的一个法向量为m ＝(0,0,1)，可得sin QP QPa θ⋅==⋅m m ，设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，所以由0,0,FE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 可得10,20.ax by cz ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩取n ＝(0，c ，b )．于是|cos β|＝||||||⋅=⋅m n m n ， 从而sin β=故sin αsin β=sin θ，即sin θ＝sin αsin β.20．解：(1)由于随机变量X 服从正态分布N (800,50)， 故有μ＝800，σ＝50，P (700＜X ≤900)＝0.954 4. 由正态分布的对称性，可得p 0＝P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800＜X ≤900) ＝1122P +(700＜X ≤900)＝0.977 2. (2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x ，y 辆，则相应的营运成本为1 600x ＋2 400y . 依题意，x ，y 还需满足：x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，P (X ≤36x ＋60y )≥p 0. 由(1)知，p 0＝P (X ≤900)，故P (X ≤36x ＋60y )≥p 0等价于36x ＋60y ≥900.于是问题等价于求满足约束条件21,7,3660900,,0,,,x y y x x y x y x y +≤⎧⎪≤+⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩N且使目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 达到最小的x ，y .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上截距2400z最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆．21．解：依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为C 1：2222=1x y a m +，C 2：2222=1x y a n+.其中a ＞m ＞n ＞0，λ＝>1mn.(1)解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为x ＝0，则S1＝12|BD |·|OM |＝12a |BD |，S 2＝12|AB |·|ON |＝12a |AB |，图1所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令x ＝0，可得y A ＝m ，y B ＝n ，y D ＝－m ，于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 若12=SS λ，则1=1λλλ+-，化简得λ2－2λ－1＝0. 由λ＞1，可解得λ.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ.解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则|BD |＝|OB |＋|OD |＝m ＋n ，|AB |＝|OA |－|OB |＝m －n ；S 1＝12|BD |·|OM |＝12a |BD |， S 2＝12|AB |·|ON |＝12a |AB |.所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--. 若12=SS λ，则1=1λλλ+-，化简得λ2－2λ－1＝0. 由λ＞1，可解得λ.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ.(2)解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k ＞0)，点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则1d ==，2d ==d 1＝d 2.图2又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2，所以12||||S BD S AB λ==，即|BD |＝λ|AB |. 由对称性可知|AB |＝|CD |，所以|BC |＝|BD |－|AB |＝(λ－1)|AB |，|AD |＝|BD |＋|AB |＝(λ＋1)|AB |，于是||1||1AD BC λλ+=-.① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =B x =.根据对称性可知x C ＝－x B ，x D ＝－x A ，于是2||||2A Bx AD BC x ==从而由①和②式可得11λλλ+=(-).③ 令1=1t λλλ+(-)，则由m ＞n ，可得t ≠1，于是由③可解得22222211n t k a t λ(-)=(-). 因为k ≠0，所以k 2＞0.于是③式关于k 有解，当且仅当222221>01n t a t λ(-)(-)， 等价于2221(1)<0t t λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭由λ＞1，可解得1λ＜t ＜1，即11<11λλλλ+<(-)，由λ＞1，解得λ＞，所以 当1＜λ≤时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2；当λ＞时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得S 1＝λS 2.解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k ＞0)，点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则1d ==2d ==d 1＝d 2.又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2，所以12||=||S BD S AB λ=.因为||||A B A B x x BD AB x x λ+===-，所以11A Bx x λλ+=-.由点A (x A ，kx A )，B (x B ，kx B )分别在C 1，C 2上，可得22222=1A A x k x a m +，22222=1B B x k x a n+，两式相减可得22222222=0A B A B x x k x x a mλ-(-)+， 依题意x A ＞x B ＞0，所以22A B x x >.所以由上式解得22222222A B B A m x x k a x x λ(-)=(-).因为k 2＞0，所以由2222222>0A B B A m x x a x x λ(-)(-)，可解得<1A B x x λ<. 从而11<<1λλλ+-，解得λ＞，所以 当1＜λ≤时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2； 当λ＞时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得S 1＝λS 2.22． (1)解：因为f ′(x )＝(r ＋1)(1＋x )r －(r ＋1)＝(r ＋1)[(1＋x )r－1]，令f ′(x )＝0，解得x ＝0.当－1＜x ＜0时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－1,0)内是减函数； 当x ＞0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)内是增函数． 故函数f (x )在x ＝0处取得最小值f (0)＝0.(2)证明：由(1)，当x ∈(－1，＋∞)时，有f (x )≥f (0)＝0，即(1＋x )r ＋1≥1＋(r ＋1)x ，且等号当且仅当x ＝0时成立， 故当x ＞－1且x ≠0时，有(1＋x )r ＋1＞1＋(r ＋1)x .①在①中，令1x n =(这时x ＞－1且x ≠0)，得+1111>1+r r n n+⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 上式两边同乘nr ＋1，得(n ＋1)r ＋1＞nr ＋1＋n r(r ＋1)，即1111r r rn n n r ++(+)-<+.②当n ＞1时，在①中令1x n=-(这时x ＞－1且x ≠0)，类似可得 1111r r rn n n r ++-(-)>+.③且当n ＝1时，③也成立． 综合②，③得11111111r r r r rn n n n n r r ++++-(-)(+)-<<++.④(3)解：在④中，令13r =，n 分别取值81,82,83，…，125，得4444333333(8180)(8281)44--＜， 4444333333(8281)(8382)44--， 4444333333(8382)(8483)44--＜， ……4444333333(125124)(126125)44--＜． 将以上各式相加，并整理得4444333333(12580)(12681)44S --＜＜． 代入数据计算，可得44333(12580)210.24-≈，44333(126)210.94-≈.由[S ]的定义，得[S ]＝211.。
13高数A期末一真题与答案
第１页 共2页淮 海 工 学 院12 – 13 学年 第 二 学期 高等数学A （2） 期末试卷（A 卷）1．向量(1,1,0)a =，(0,1,1)b =-所成夹角为----------------------------（C ） （A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π2．2(,)(2)tan(23)f x y x y x y =+-+，则(,2)xx f x =--------------------------------（B ） （A ）1 （B ）2 （C ）x （D ）x 2 3. 3sin xu e y z =-+在点(0,0,1)-处沿下列哪个方向的方向导数最大--------（D） （A ）)1,1,0(- （B ）(0,1,1)- （C ）(3,1,1)- （D ）(3,1,1)- 4．二次积分1ln 10(,)x edx f x y dy ⎰⎰的另一种积分次序为----------------------（B ） （A ） 011(,)ye dyf x y dx -⎰⎰（B ）011(,)y e dy f x y dx -⎰⎰（C ）1(,)ye dyf x y dx -⎰⎰（D ）011(,)y edy f x y dx -⎰⎰5．设L 为椭圆2251x y +=，其周长为l ，则()(5)Lx y x yd s ++=⎰----------------（B ） （A ） 5l （B ） l （C ） （D ） 5l6．若级数1(65)nn p ∞=-∑收敛，则p 的取值范围是------------------------------------------（B ）（A ）(,2-∞ （B ）(2 （C ）(1,32) （D ）(32,)+∞ 7．若幂级数21(4)n nn a x ∞+=-∑在7x =处条件收敛，则其收敛半径为-----------------（A ）（A ）3 （B ）9 （C ）11 （D ）1218．12xy C C e -=+是下列哪个微分方程的通解------------------------------------------（C ） （A ）0='-''y y （B ）0=-''y y （C ）0='+''y y （D ）0=+''y y二、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 1．设(,)f u v 是二元可微函数，=(,)z f y x x y ，求+x y xz yz .解：21x u v y z f f x y =-+----------------------------------------------------------------------------2 21y u v xz f f x y=-----------------------------------------------------------------------------3故+0x y xz yz =.------------------------------------------------------------------------------22．求22xy De dxdy +⎰⎰D :2214x y ≤+≤.解: :02,12,D r θπ≤≤≤≤--------------------------------------------2 则原式2221r d e rdr πθ=⎰⎰----------------------------------------------22221r e dr π=⎰4()e e π=-.-----------------------------------------------------------33．设空间闭区域Ω{(,,)0x y z z =≤≤，∑是Ω的整个边界曲面的内侧，用高斯公式计算3222()3()(1)xz dydz y z x dzdx z z dxdy ∑++-+-⎰⎰．解: 3222,3(),(1)P x z Q y z x R z z =+=-=---------------------------------------1Ω是半径为1的半球体 --------------------------------------------------------------------2 则 原式()xyz Pdydz Qdzdx Rdxdy P QR dxdydz ∑Ω=++=-++⎰⎰⎰⎰⎰-------------2dv Ω=-⎰⎰⎰23π=-． ---------------------------------------------------------------24．求解微分方程111y y x x'-=++． 解: 公式法， 11111[(1)]dx dx x x y e e dx C x-++⎰⎰=++⎰------------------------------------------3 ln(1)ln(1)1[(1)]x x e e dx C x+-+=++⎰------------------------------------------21(1)()x dx C x=++⎰(1)(ln )x x C =++．---------------------2第２页 共2页三、计算题（本大题8分）设方程0132=--xz y z 确定了),(y x z z =，求（1）)1,0,1(-dz；（2）曲面),(y x z z =在点)1,0,1(-处的切平面方程. 解: 令1),,(32--=xz y z z y x F则1)1,0,1(=-x F ，1)1,0,1(=-y F ，3)1,0,1(-=-z F ---------------------------------2（1）=-)1,0,1(dz dx F F z x )1,0,1()1,0,1(---)(31)1,0,1()1,0,1(dy dx dy F F z y +=----------------------2（2）切平面的法向量 )311(-=，，n--------------------------------------------2 切平面方程为 0)1(3)1(=+-+-z y x .----------------------------------------2 四、计算题（本大题8分）和建制造，乐在共享。
2012--2013学年高等数学下A卷
2012—2013学年第2学期《高等数学》下试卷A核分人签名_____________一、填空。
(每空3分共15分)1．微分方程x xe y ='''的通解是 2．过两点M(3，-2，1)和N （-1,0，2）的直线方程 3．交换积分次序=⎰⎰-y d y x f dx x 1010),(____________________4．设D 为圆域π≤+22y x ，则=+⎰⎰dxdy y x D)sin(225．判断级数∑∞=+11!n n n 的敛散性为 二、单项选择题(每小题3分共15分)1．二重极限22)0,0(),(lim y x xyy x +→值为 （ ） A ．0 B ．21C ．1D ．不存在 2. 空间曲线t x cos = t y sin = t z = 在2π=t 处的切线的方向向量是 （ ）A ．)2,1,0(π；B ．)1,0,1(-； Ｃ．)1,0,1(； Ｄ．)2,0,1(π。
3．曲线积分⎰=-lydx xdy 21（ ）其中Ｌ为沿422=+y x 顺时针方向一周A ．π2-B ．π4-C ．π4D ．0 4．已知曲面)0(1:22≥--=∑z y x z 则=++++⎰⎰∑dS yx z y x 2222441（ ）A. 2πB. πC.1D. π215．.已知22),(y x y x y x f -=-+则=∂∂+∂∂yy x f x y x f ),(),(（ ）A ．y x 22- B. y x + C. y x 22+ D. y x - 三、解答下列各题（每小题7分共35分）1. 设04222=-++z z y x ，求22xz∂∂2.设⎩⎨⎧=++=++10222z y x z y x 求dz dx dz dy3.求函数x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值。
4. 求旋转抛物面122-+=y x z 在点（2，1，4）处的切平面和法线方程。
2013年辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•辽宁）复数的模长为（）A．B．C．D．2考点：复数求模．专题：计算题．分析：通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．解答：解：复数，所以===．故选B．点评：本题考查复数的模的求法，考查计算能力．2．（5分）（2013•辽宁）已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．（1，2]考点：交集及其运算；其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：求出集合A中其他不等式的解集，确定出A，找出A与B的公共部分即可求出交集．解答：解：由A中的不等式变形得：log41＜log4x＜log44，解得：1＜x＜4，即A=（1，4），∵B=（﹣∞，2]，∴A∩B=（1，2]．故选D点评：此题考查了交集及其运算，以及其他不等式的解法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）（2013•辽宁）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．考点：平行向量与共线向量；单位向量．专题：平面向量及应用．分析：由条件求得=（3，﹣4），||=5，再根据与向量同方向的单位向量为求得结果．解答：解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），||==5，则与向量同方向的单位向量为=，故选A．点评：本题主要考查单位向量的定义和求法，属于基础题．4．（5分）（2013•辽宁）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4考点：等差数列的性质；命题的真假判断与应用．专题：等差数列与等比数列．分析：对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论．解答：解：∵对于公差d＞0的等差数列{a n}，a n+1﹣a n=d＞0，∴命题p1：数列{a n}是递增数列成立，是真命题．对于数列数列{na n}，第n+1项与第n项的差等于（n+1）a n+1﹣na n=（n+1）d+a n，不一定是正实数，故p2不正确，是假命题．对于数列，第n+1项与第n项的差等于﹣==，不一定是正实数，故p3不正确，是假命题．对于数列数列{a n+3nd}，第n+1项与第n项的差等于a n+1+3（n+1）d﹣a n﹣3nd=4d＞0，故命题p4：数列{a n+3nd}是递增数列成立，是真命题．故选D．点评：本题主要考查等差数列的定义，增数列的含义，命题的真假的判断，属于中档题．5．（5分）（2013•辽宁）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．60考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．解答：解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50．故选：B．点评：本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率=矩形的高×组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键．6．（5分）（2013•辽宁）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（）A．B．C．D．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0，两边除以sinB，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值，即可确定出B的度数．解答：解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，∵sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，∵a＞b，∴∠A＞∠B，即∠B为锐角，则∠B=．故选A点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．7．（5分）（2013•辽宁）使得（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4B．5C．6D．7考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式T r+1=3n﹣r••，令x的幂指数n﹣r=0即可求得展开式中含有常数项的最小的n．解答：解：设（n∈N+）的展开式的通项为T r+1，则：T r+1=3n﹣r••x n﹣r•=3n﹣r••，令n﹣r=0得：n=r，又n∈N+，∴当r=2时，n最小，即n min=5．故选B．点评：本题考查二项式系数的性质，求得n﹣r=0是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．8．（5分）（2013•辽宁）执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．考点：循环结构．专题：计算题；图表型．分析：框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，在输入n的值为10后，对i的值域n的值大小加以判断，满足i≤n，执行，i=i+2，不满足则跳出循环，输出S．解答：解：输入n的值为10，框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，判断2≤10成立，执行，i=2+2=4；判断4≤10成立，执行=，i=4+2=6；判断6≤10成立，执行，i=6+2=8；判断8≤10成立，执行，i=8+2=10；判断10≤10成立，执行，i=10+2=12；判断12≤10不成立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．故选A．点评：本题考查了循环结构中的当型循环，即先判断后执行，满足条件，执行循环，不满足条件跳出循环，算法结束，是基础题．9．（5分）（2013•辽宁）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（）A．b=a3B．C．D．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：利用已知可得=（a，a3﹣b），，=（a，a3），且ab≠0．分以下三种情况：①，②，③，利用垂直与数量积的关系即可得出．解答：解：∵=（a，a3﹣b），，=（a，a3），且ab≠0．①若，则=ba3=0，∴a=0或b=0，但是ab≠0，应舍去；②若，则=b（a3﹣b）=0，∵b≠0，∴b=a3≠0；③若，则=a2+a3（a3﹣b）=0，得1+a4﹣ab=0，即．综上可知：△OAB为直角三角形，则必有．故选C．点评：熟练掌握垂直与数量积的关系、分类讨论的思想方法是解题的关键．10．（5分）（2013•辽宁）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A．B．C．D．考点：球内接多面体；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径．解答：解：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1=，所以球的半径为：．故选C．点评：本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力．11．（5分）（2013•辽宁）已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A．16 B．﹣16 C．﹣16a2﹣2a﹣16 D．16a2+2a﹣16考点：函数的值域．专题：压轴题；新定义；函数的性质及应用．分析：先作差得到h（x）=f（x）﹣g（x）=2（x﹣a）2﹣8．分别解出h（x）=0，h（x）＞0，h（x）＜0．画出图形，利用新定义即可得出H1（x），H2（x）．进而得出A，B 即可．解答：解：令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣2（a+2）x+a2﹣[﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8]=2x2﹣4ax+2a2﹣8=2（x﹣a）2﹣8．①由2（x﹣a）2﹣8=0，解得x=a±2，此时f（x）=g（x）；②由h（x）＞0，解得x＞a+2，或x＜a﹣2，此时f（x）＞g（x）；③由h（x）＜0，解得a﹣2＜x＜a+2，此时f（x）＜g（x）．综上可知：（1）当x≤a﹣2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x）=[x﹣（a+2）]2﹣4a﹣4，H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）=﹣[x﹣（a﹣2）]2﹣4a+12，（2）当a﹣2≤x≤a+2时，H1（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=f（x）；（3）当x≥a+2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），H2（x）=min{f（x），g （x）}=g（x），故A=g（a+2）=﹣[（a+2）﹣（a﹣2）]2﹣4a+12=﹣4a﹣4，B=g（a﹣2）=﹣4a+12，∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣（﹣4a+12）=﹣16．故选：B．点评：熟练掌握作差法、二次函数图象的画法及其单调性、一元二次不等式的解法、数形结合的思想方法及正确理解题意是解题的关键．12．（5分）（2013•辽宁）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值考点：函数在某点取得极值的条件；导数的运算．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：令F（x）=x2f（x），利用导数的运算法则，确定f′（x）=，再构造新函数，确定函数的单调性，即可求得结论．解答：解：∵函数f（x）满足，∴令F（x）=x2f（x），则F′（x）=，F（2）=4•f（2）=．由，得f′（x）=，令φ（x）=e x﹣2F（x），则φ′（x）=e x﹣2F′（x）=．∴φ（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴φ（x）的最小值为φ（2）=e2﹣2F（2）=0．∴φ（x）≥0．又x＞0，∴f′（x）≥0．∴f（x）在（0，+∞）单调递增．∴f（x）既无极大值也无极小值．故选D．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）（2013•辽宁）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是16π﹣16．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：首先判断该几何体的形状，然后计算其体积即可．解答：解：根据三视图可知，该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱，圆柱是底面外径为2，高为4的圆筒，四棱柱的底面是边长为2的正方形，高也为4．故其体积为：22π×4﹣22×4=16π﹣16，故答案为：16π﹣16．点评：本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断该几何体为圆柱中挖去一个棱柱，然后利用柱体的体积计算方法计算其体积差即可．14．（5分）（2013•辽宁）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=63．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：通过解方程求出等比数列{a n}的首项和第三项，然后求出公比，直接利用等比数列前n项和公式求前6项和．解答：解：解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4．因为数列{a n}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，所以a1=1，a3=4．设等比数列{a n}的公比为q，则，所以q=2．则．故答案为63．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．15．（5分）（2013•辽宁）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆右焦点为F'，连接AF'、BF'，可得四边形AFBF'为平行四边形，得|AF|=|BF'|=6．△ABF中利用余弦定理算出|BF|=8，从而得到|AF|2+|BF|2=|AB|2，得∠AFB=90°，所以c=|OF|=|AB|=5．根据椭圆的定义得到2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7，最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆C的离心率．解答：解：设椭圆的右焦点为F'，连接AF'、BF'∵AB与FF'互相平分，∴四边形AFBF'为平行四边形，可得|AF|=|BF'|=6∵△ABF中，|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，∴由余弦定理|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF，可得62=102+|BF|2﹣2×10×|BF|×，解之得|BF|=8由此可得，2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7∵△ABF中，|AF|2+|BF|2=100=|AB|2∴∠AFB=90°，可得|OF|=|AB|=5，即c=5因此，椭圆C的离心率e==故答案为：点评：本题给出椭圆经过中心的弦AB与左焦点构成三边分别为6、8、10的直角三角形，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．16．（5分）（2013•辽宁）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为10．考点：总体分布的估计；极差、方差与标准差．专题：压轴题；概率与统计．分析：本题可运用平均数公式求出平均数，再运用方差的公式列出方差表达式，再讨论样本数据中的最大值的情况，即可解决问题．解答：解：设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5，平均数=（x1+x2+x3+x4+x5）÷5=7；方差s2=[（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2]÷5=4．从而有x1+x2+x3+x4+x5=35，①（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2=20．②若样本数据中的最大值为11，不妨设x5=11，则②式变为：（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2=4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的；若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为10．故答案为：10．点评：本题考查的是平均数和方差的求法．计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2013•辽宁）设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．考点：平面向量数量积的运算；向量的模；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：平面向量及应用．分析：（1）由条件求得，的值，再根据以及x的范围，可的sinx的值，从而求得x的值．（2）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x ﹣）+．结合x的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值．解答：解：（1）由题意可得=+sin2x=4sin2x，=cos2x+sin2x=1，由，可得4sin2x=1，即sin2x=．∵x∈[0，]，∴sinx=，即x=．（2）∵函数=（sinx，sinx）•（cosx，sinx）=sinxcosx+sin2x=sin2x+=sin（2x﹣）+．x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣=，sin（2x﹣）+取得最大值为1+=．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18．（12分）（2013•辽宁）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C﹣PB﹣A的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）要证平面PAC⊥平面PBC，只要证明平面PBC经过平面PAC的一条垂线BC 即可，利用题目给出的条件借助于线面垂直的判定定理能够证明BC⊥平面PAC；（Ⅱ）因为平面PAB和平面ABC垂直，只要在平面ABC内过C作两面的交线AB 的垂线，然后过垂足再作PB的垂线，连结C和后一个垂足即可得到二面角C﹣PB﹣A的平面角，然后在作出的直角三角形中通过解直角三角形即可求得二面角C﹣PB﹣A的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：如图，由AB是圆的直径，得AC⊥BC．由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC．又PA∩AC=A，PA⊂平面APC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC．因为BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）解：过C作CM⊥AB于M，因为PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以PA⊥CM，故CM⊥平面PAB．过M作MN⊥PB于N，连接NC．由三垂线定理得CN⊥PB．所以∠CNM为二面角C﹣PB﹣A的平面角．在Rt△ABC中，由AB=2，AC=1，得，，．在Rt△ABP中，由AB=2，AP=1，得．因为Rt△BNM∽Rt△BAP，所以．故MN=．又在Rt△CNM中，．故cos．所以二面角C﹣PB﹣A的余弦值为．点评：本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角及其求法，“寻找垂面，构造垂线”是找二面角的平面角常用的方法，此题是中档题．19．（12分）（2013•辽宁）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：（I）从10道试题中取出3个的所有可能结果数有，张同学至少取到1道乙类题的对立事件是：张同学取到的全为甲类题，代入古典概率的求解公式即可求解（II）先判断随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值解答：解：（I）设事件A=“张同学至少取到1道乙类题”则=张同学至少取到的全为甲类题∴P（A）=1﹣P（）=1﹣=（II）X的所有可能取值为0，1，2，3P （X=0）==P（X=1）==P（X=2）=+=P（X=3）==X的分布列为X 0 1 2 3PEX=点评：本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．20．（12分）（2013•辽宁）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．（Ⅰ）求P的值；（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义，先表示出切线方程，再由M在抛物线上及在直线上两个前提下，得到相应的方程，解出p值．（Ⅱ）由题意，可先设出A，B两个端点的坐标及中点的坐标，再由中点坐标公式建立方程，直接求解出中点N的轨迹方程解答：解：（Ⅰ）因为抛物线C1：x2=4y上任意一点（x，y）的切线斜率为y′=，且切线MA的斜率为﹣，所以A点的坐标为（﹣1，），故切线MA的方程为y=﹣（x+1）+因为点M（1﹣，y0）在切线MA及抛物线C2上，于是y0=﹣（2﹣）+=﹣①∴y0=﹣=﹣②解得p=2（Ⅱ）设N（x，y），A（x1，），B（x2，），x1≠x2，由N为线段AB中点知x=③，y==④切线MA，MB的方程为y=（x﹣x1）+，⑤；y=（x﹣x2）+⑥，由⑤⑥得MA，MB的交点M（x0，y0）的坐标满足x0=，y0=因为点M（x0，y0）在C2上，即x02=﹣4y0，所以x1x2=﹣⑦由③④⑦得x2=y，x≠0当x1=x2时，A，B丙点重合于原点O，A，B中点N为O，坐标满足x2=y因此中点N的轨迹方程为x2=y点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，此类题运算较繁，解答的关键是合理引入变量，建立起相应的方程，本题探索性强，属于能力型题21．（12分）（2013•辽宁）已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，（I）求证：；（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：（I）①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）e x，令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）e x，利用导数得到h（x）的单调性即可证明；②当x∈[0，1）时，⇔e x≥1+x，令u（x）=e x﹣1﹣x，利用导数得出h（x）的单调性即可证明．（II）利用（I）的结论得到f（x）≥1﹣x，于是G（x）=f（x）﹣g（x）≥=．再令H（x）=，通过多次求导得出其单调性即可求出a的取值范围．解答：（I）证明：①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）e x，令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）e x，则h′（x）=x（e x﹣e﹣x）．当x∈[0，1）时，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，1）上是增函数，∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1﹣x．②当x∈[0，1）时，⇔e x≥1+x，令u（x）=e x﹣1﹣x，则u′（x）=e x﹣1．当x∈[0，1）时，u′（x）≥0，∴u（x）在[0，1）单调递增，∴u（x）≥u（0）=0，∴f（x）．综上可知：．（II）解：设G（x）=f（x）﹣g（x）=≥=．令H（x）=，则H′（x）=x﹣2sinx，令K（x）=x﹣2sinx，则K′（x）=1﹣2cosx．当x∈[0，1）时，K′（x）＜0，可得H′（x）是[0，1）上的减函数，∴H′（x）≤H′（0）=0，故H（x）在[0，1）单调递减，∴H（x）≤H（0）=2．∴a+1+H（x）≤a+3．∴当a≤﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上恒成立．下面证明当a＞﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上不恒成立．f（x）﹣g（x）≤==﹣x．令v（x）==，则v′（x）=．当x∈[0，1）时，v′（x）≤0，故v（x）在[0，1）上是减函数，∴v（x）∈（a+1+2cos1，a+3]．当a＞﹣3时，a+3＞0．∴存在x0∈（0，1），使得v（x0）＞0，此时，f（x0）＜g（x0）．即f（x）≥g（x）在[0，1）不恒成立．综上实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化、作差比较大小、放缩法等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力和分析问题、解决问题的能力．请考生在21、22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(辽宁卷)理
2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013辽宁,理1)复数z=1i -1的模为( ).A.12B.√22C.√2D.2答案:B 解析:∵z=1i -1=-i -1(-i -1)(i -1)=-12−12i,∴|z|=√(-12)2+(-12)2=√22,故选B .2.(2013辽宁,理2)已知集合A={x|0<log 4x<1},B={x|x ≤2},则A ∩B=( ). A.(0,1) B.(0,2]C.(1,2)D.(1,2]答案:D解析:0<log 4x<1⇔log 41<log 4x<log 44⇔1<x<4,即A={x|1<x<4},∴A ∩B={x|1<x ≤2}.故选D .3.(2013辽宁,理3)已知点A (1,3),B (4,-1),则与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为( ). A.(35,-45)B.(45,-35) C.(-35,45)D.(-45,35)答案:A解析:与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√3+(-4)=(35,-45),故选A .4.(2013辽宁,理4)下面是关于公差d>0的等差数列{a n }的四个命题: p 1:数列{a n }是递增数列; p 2:数列{na n }是递增数列; p 3:数列{a n n}是递增数列; p 4:数列{a n +3nd }是递增数列. 其中的真命题为( ). A.p 1,p 2 B.p 3,p 4 C.p 2,p 3 D.p 1,p 4答案:D解析:如数列为{-2,-1,0,1,…},则1×a 1=2×a 2,故p 2是假命题;如数列为{1,2,3,…},则an n =1,故p 3是假命题.故选D .5.(2013辽宁,理5)某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为:[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是( ).A.45B.50C.55D.60答案:B解析:由频率分布直方图,低于60分的同学所占频率为(0.005+0.01)×20=0.3,故该班的学生人数为150.3=50.故选B .6.(2013辽宁,理6)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若a sin B cos C+c sin B cos A=12b ,且a>b ,则∠B=( ).A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案:A解析:根据正弦定理:a sin B cos C+c sin B cos A=12b 等价于sin A cos C+sin C cos A=12,即sin(A+C )=12.又a>b ,∴∠A+∠C=5π6,∴∠B=π6.故选A .7.(2013辽宁,理7)使(3x x √x )n(n ∈N +)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ).A.4B.5C.6D.7答案:B解析:(3x x √x )n展开式中的第r+1项为C n r (3x)n-r x -32r =C n r 3n-r x n -52r,若展开式中含常数项,则存在n ∈N +,r ∈N ,使n-52r=0,故最小的n值为5,故选B.8.(2013辽宁,理8)执行如图所示的程序框图,若输入n=10,则输出S=().A.5 11B.1011C.3655D.7255答案:A解析:当n=10时,由程序运行得到S=122-1+142-1+162-1+182-1+1102-1=(11×3+13×5+15×7+17×9+19×11)=1 2(11-13+13-15+15-17+17-19+19-111)=12×1011=511.故选A.9.(2013辽宁,理9)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则必有().A.b=a3B.b=a3+1aC.(b-a3)(b-a3-1a)=0D.|b-a3|+|b-a3-1a|=0答案:C解析:若B 为直角,则OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即a 2+a 3(a 3-b)=0, 又a ≠0,故b=a 3+1a ;若A 为直角,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即b(a 3-b)=0,得b=a 3; 若O 为直角,则不可能.故b-a 3=0或b-a 3-1a =0,故选C .10.(2013辽宁,理10)已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上.若AB=3,AC=4,AB ⊥AC,AA 1=12,则球O 的半径为( ).A.3√172B.2√10C.132D.3√10答案:C解析:过C 点作AB 的平行线,过B 点作AC 的平行线,交点为D,同理过C 1作A 1B 1的平行线,过B 1作A 1C 1的平行线,交点为D 1,连接DD 1,则ABCD-A 1B 1C 1D 1恰好成为球的一个内接长方体,故球的半径r=√32+42+1222=132.故选C .11.(2013辽宁,理11)已知函数f(x)=x 2-2(a+2)x+a 2,g(x)=-x 2+2(a-2)x-a 2+8.设H 1(x)=max {f(x),g(x)},H 2(x )=min {f(x),g(x)}(max {p,q}表示p ,q 中的较大值,min {p,q}表示p,q 中的较小值).记H 1(x)的最小值为A,H 2(x)的最大值为B,则A-B=( ). A.16 B.-16 C.a 2-2a-16 D.a 2+2a-16答案:B解析:∵f(x)-g(x)=2x 2-4ax+2a 2-8=2[x-(a-2)][x-(a+2)],∴H 1(x)={f (x ),x ∈(-∞,a -2],g (x ),x ∈(a -2,a +2),f (x ),x ∈[a +2,+∞),H 2(x)={g (x ),x ∈(-∞,a -2],f (x ),x ∈(a -2,a +2),g (x ),x ∈[a +2,+∞),可求得H 1(x)的最小值A=f(a+2)=-4a-4,H 2(x)的最大值B=g(a-2)=-4a+12, ∴A-B=-16.故选B .12.(2013辽宁,理12)设函数f(x)满足x 2f'(x)+2xf(x)=e x x,f (2)=e 28,则x>0时,f (x )( ). A.有极大值,无极小值 B.有极小值,无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值 答案:D解析:令F(x)=x 2f(x),则F'(x)=x 2f'(x)+2xf(x)=e xx ,F(2)=4·f(2)=e 22.由x 2f'(x)+2xf(x)=exx,得x 2f'(x)=e xx -2xf (x )=e x -2x 2f (x )x, ∴f'(x)=e x -2F (x )x 3. 令φ(x)=e x -2F(x), 则φ'(x)=e x -2F'(x)=e x -2exx=e x (x -2)x. ∴φ(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, ∴φ(x)的最小值为φ(2)=e 2-2F(2)=0.∴φ(x)≥0. 又x>0,∴f'(x)≥0. ∴f(x)在(0,+∞)单调递增.∴f(x)既无极大值也无极小值.故选D .第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2013辽宁,理13)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 .答案:16π-16解析:由三视图可知该几何体是一个底面半径为2的圆柱体,中间挖去一个底面棱长为2的正四棱柱,故体积为π·22·4-2×2×4=16π-16.14.(2013辽宁,理14)已知等比数列{a n }是递增数列,S n 是{a n }的前n 项和.若a 1,a 3是方程x 2-5x+4=0的两个根,则S 6= . 答案:63解析:因为x 2-5x+4=0的两根为1和4,又数列{a n }是递增数列,所以a 1=1,a 3=4,所以q=2.所以S 6=1·(1-26)1-2=63.15.(2013辽宁,理15)已知椭圆C:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos ∠ABF=45,则C 的离心率e= .答案:57 解析:如图所示.根据余弦定理|AF|2=|BF|2+|AB|2-2|AB|·|BF|cos ∠ABF,即|BF|2-16|BF|+64=0,得|BF|=8. 又|OF|2=|BF|2+|OB|2-2|OB|·|BF|cos ∠ABF,得|OF|=5. 根据椭圆的对称性|AF|+|BF|=2a=14,得a=7.又|OF|=c=5,故离心率e=57.16.(2013辽宁,理16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为 . 答案:10解析:设5个班级的人数分别为x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,则x 1+x 2+x 3+x 4+x 55=7, (x 1-7)2+(x 2-7)2+(x 3-7)2+(x 4-7)2+(x 5-7)25=4,即5个整数平方和为20,最大的数比7大不能超过3,否则方差超过4,故最大值为10,最小值为4. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013辽宁,理17)(本小题满分12分)设向量a =(√3sin x,sin x),b =(cos x,sin x),x ∈[0,π2]. (1)若|a |=|b |,求x 的值;(2)设函数f (x )=a ·b ,求f (x )的最大值. 解:(1)由|a |2=(√3sin x)2+(sin x)2=4sin 2x,|b |2=(cos x)2+(sin x)2=1, 及|a |=|b |,得4sin 2x=1. 又x ∈[0,π2],从而sin x=12, 所以x=π6.(2)f(x)=a ·b =√3sin x ·cos x+sin 2x =√32sin 2x-12cos 2x+12=sin (2x -π6)+12,当x=π3∈[0,π2]时,sin (2x -π6)取最大值1.所以f(x)的最大值为32.18.(2013辽宁,理18)(本小题满分12分)如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. (1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C PB A 的余弦值. (1)证明:由AB 是圆的直径,得AC ⊥BC.由PA ⊥平面ABC,BC ⊂平面ABC,得PA ⊥BC. 又PA ∩AC=A,PA ⊂平面PAC,AC ⊂平面PAC, 所以BC ⊥平面PAC.因为BC ⊂平面PBC. 所以平面PBC ⊥平面PAC.(2)解法一:过C 作CM ∥AP,则CM ⊥平面ABC.如图,以点C 为坐标原点,分别以直线CB,CA,CM 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 因为AB=2,AC=1,所以BC=√3.因为PA=1,所以A(0,1,0),B(√3,0,0),P(0,1,1). 故CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,0),CP ⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1). 设平面BCP 的法向量为n 1=(x ,y ,z ), 则{CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1=0,CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1=0,所以{√3x =0,y +z =0,不妨令y=1,则n 1=(0,1,-1). 因为AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,-1,0). 设平面ABP 的法向量为n 2=(x ,y ,z ), 则{AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 2=0,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 2=0,所以{z =0,√3x -y =0, 不妨令x=1,则n 2=(1,√3,0), 于是cos <n 1,n 2>=√32√2=√64.所以由题意可知二面角C PB A 的余弦值为√64.解法二:过C 作CM ⊥AB 于M,因为PA ⊥平面ABC,CM ⊂平面ABC, 所以PA ⊥CM,故CM ⊥平面PAB. 过M 作MN ⊥PB 于N,连接NC, 由三垂线定理得CN ⊥PB.所以∠CNM 为二面角C PB A 的平面角.在Rt △ABC 中,由AB=2,AC=1,得BC=√3,CM=√32,BM=32, 在Rt △PAB 中,由AB=2,PA=1,得PB=√5. 因为Rt △BNM ∽Rt △BAP,所以MN 1=32√5,故MN=3√510. 又在Rt △CNM 中,CN=√305,故cos ∠CNM=√64.所以二面角C PB A 的余弦值为√64.19.(2013辽宁,理19)(本小题满分12分)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率;(2)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是35,答对每道乙类题的概率都是45,且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数,求X 的分布列和数学期望.解:(1)设事件A=“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”,则有A =“张同学所取的3道题都是甲类题”. 因为P(A )=C 63C 103=16,所以P(A)=1-P(A )=56.(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=C 20·(35)0·(25)2·15=4125;P(X=1)=C 21·(35)1·(25)1·15+C 20(35)0·(25)2·45=28125; P(X=2)=C 22·(35)2·(25)0·15+C 21(35)1·(25)1·45=57125;P(X=3)=C 22·(35)2·(25)0·45=36125.所以X 的分布列为:所以E(X)=0×4125+1×28125+2×57125+3×36125=2.20.(2013辽宁,理20)(本小题满分12分)如图,抛物线C 1:x 2=4y,C 2:x 2=-2py(p>0).点M(x 0,y 0)在抛物线C 2上,过M 作C 1的切线,切点为A,B(M 为原点O 时,A,B 重合于O).当x 0=1-√2时,切线MA 的斜率为-12. (1)求p 的值;(2)当M 在C 2上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程(A,B 重合于O 时,中点为O).解:(1)因为抛物线C 1:x 2=4y 上任意一点(x,y)的切线斜率为y'=x2,且切线MA 的斜率为-12,所以A 点坐标为(-1,14),故切线MA 的方程为y=-12(x+1)+14.因为点M(1-√2,y 0)在切线MA 及抛物线C 2上, 于是y 0=-12(2-√2)+14=-3-2√24,① y 0=-(1-√2)22p =-3-2√22p .②由①②得p=2.(2)设N(x,y),A (x 1,x 124),B (x 2,x 224),x 1≠x 2,由N 为线段AB 中点知x=x 1+x 22,③ y=x 12+x 228.④ 切线MA,MB 的方程为y=x 12(x-x 1)+x 124,⑤y=x22(x-x 2)+x 224.⑥由⑤⑥得MA,MB 的交点M(x 0,y 0)的坐标为 x 0=x 1+x 22,y 0=x 1x24. 因为点M(x 0,y 0)在C 2上,即x 02=-4y 0,所以x 1x 2=-x 12+x 226.⑦由③④⑦得 x 2=43y,x ≠0.当x 1=x 2时,A,B 重合于原点O,AB 中点N 为O,坐标满足x 2=43y.因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2=43y.21.(2013辽宁,理21)(本小题满分12分)已知函数f(x)=(1+x)e -2x ,g(x)=ax+x32+1+2x cos x.当x ∈[0,1]时,(1)求证:1-x ≤f(x)≤11+x ;(2)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a 的取值范围.(1)证明:要证x ∈[0,1]时,(1+x)e -2x ≥1-x,只需证明(1+x)e -x ≥(1-x)e x .记h(x)=(1+x)e -x -(1-x)e x , 则h'(x)=x(e x -e -x ), 当x ∈(0,1)时,h'(x)>0, 因此h(x)在[0,1]上是增函数, 故h(x)≥h(0)=0. 所以f(x)≥1-x,x ∈[0,1]. 要证x ∈[0,1]时,(1+x)e -2x ≤11+x, 只需证明e x ≥x+1.记K(x)=e x -x-1,则K'(x)=e x -1,当x ∈(0,1)时,K'(x)>0,因此K(x)在[0,1]上是增函数, 故K(x)≥K(0)=0.所以f(x)≤11+x ,x ∈[0,1].综上,1-x ≤f(x)≤11+x ,x ∈[0,1].(2)解法一:f(x)-g(x)=(1+x)e -2x -(ax +x 32+1+2xcosx)≥1-x-ax-1-x 32-2x cos x=-x(a+1+x 22+2cos x).设G(x)=x 22+2cos x,则G'(x)=x-2sin x.记H(x)=x-2sin x,则H'(x)=1-2cos x,当x ∈(0,1)时,H'(x)<0,于是G'(x)在[0,1]上是减函数, 从而当x ∈(0,1)时,G'(x)<G'(0)=0,故G(x)在[0,1]上是减函数. 于是G(x)≤G(0)=2,从而a+1+G(x)≤a+3. 所以,当a ≤-3时,f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立. 下面证明当a>-3时,f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立.f(x)-g(x)≤11+x -1-ax-x 32-2x cos x=-x1+x -ax-x 32-2x cos x=-x (11+x +a +x 22+2cosx),记I(x)=11+x +a+x 22+2cos x=11+x +a+G(x),则I'(x)=-1(1+x )2+G'(x),当x ∈(0,1)时,I'(x)<0,故I(x)在[0,1]上是减函数, 于是I(x)在[0,1]上的值域为[a+1+2cos 1,a+3]. 因为当a>-3时,a+3>0,所以存在x 0∈(0,1),使得I(x 0)>0,此时f(x 0)<g(x 0),即f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立. 综上,实数a 的取值范围是(-∞,-3].解法二:先证当x ∈[0,1]时,1-12x 2≤cos x ≤1-14x 2.记F(x)=cos x-1+12x 2, 则F'(x)=-sin x+x.记G(x)=-sin x+x,则G'(x)=-cos x+1,当x ∈(0,1)时,G'(x)>0,于是G(x)在[0,1]上是增函数, 因此当x ∈(0,1)时,G(x)>G(0)=0, 从而F(x)在[0,1]上是增函数. 因此F(x)≥F(0)=0,所以当x ∈[0,1]时,1-12x 2≤cos x.同理可证,当x ∈[0,1]时,cos x ≤1-14x 2.综上,当x ∈[0,1]时,1-12x 2≤cos x ≤1-14x 2. 因为当x ∈[0,1]时, f(x)-g(x)=(1+x)e -2x -(ax +x 32+1+2xcosx)≥(1-x)-ax-x 32-1-2x (1-14x 2)=-(a+3)x.所以当a ≤-3时,f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立. 下面证明当a>-3时,f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立. 因为f(x)-g(x)=(1+x)e -2x -(ax +x 32+1+2xcosx)≤11+x -1-ax-x 32-2x (1-12x 2) =x 21+x +x 32-(a+3)x≤32x [x -23(a +3)],所以存在x 0∈(0,1)(例如x 0取a+33和12中的较小值)满足f(x 0)<g(x 0).即f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立. 综上,实数a 的取值范围是(-∞,-3].请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(辽宁卷,含答案)
第 - 1 - 页 共 6 页绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供理科考生使用）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数的11Z i =-模为 （A ）12（B ）22 （C ）2 （D ）2（2）已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=I ，则 A ．()01， B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， （3）已知点()()1,3,4,1,A B AB -u u u r则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， （4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p （5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100. 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50第 - 2 - 页 共 6 页（C ）55 （D ）60（6）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π（7）使得()3nx n N n x x +⎛+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的为A ．4B ．5C ．6D ．7 （8）执行如图所示的程序框图，若输入10,n S ==则输出的 A ．511 B ．1011 C ．3655 D ．7255（9）已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a = B ．31b a a=+ C ．()3310b ab a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a -+--= （10）已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A ．317 B ．210 C ．132D ．310第 - 3 - 页 共 6 页（11）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（A ）2216a a -- （B ）2216a a +- （C ）16- （D ）16（11）设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时， （A ）有极大值，无极小值 （B ）有极小值，无极大值 （C ）既有极大值又有极小值 （D ）既无极大值也无极小值第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2013大工考研真题823
2013 年大连理工大学机械制造技术基础一、判断题1. 切削运动主运动有一个，进给运动可以有多个2. 龙门刨床主运动为刨刀往复直线运动，进给运动工件横向间歇运动3. 在其他条件不变的情况下，只增大进给量会使切削厚度增大4. 切削塑性材料时，前角增大，剪切角减小5. 车削受进给运动影响，工作后角比标注后角小6. 相对加工性Kr 越大，工件越容易加工7. 断续切削刀具刃倾角选择负值有利于减小冲击振动8. 提高切削效率又不使主切削力过大，应先使背吃刀量增大9. 切削用量中对切削热影响最大的是背吃刀量，其次是进给量10. 最低成本寿命比最高生产率寿命高11. 车削外圆时，刀尖安装高于工件中心，实际前角减小12. 加工塑性材料，其他条件不变，提高切削速度，切屑会有由挤裂切屑向带状切屑转变的趋势13. 逆铣容易使工件和工作台一起向前窜动，甚至导致打刀14. 刀具后角是主后刀面与基面夹角，在正交平面内测量的15. 加工塑性材料与加工脆性材料，应选用较小前角和后角二、单选题1精加工40CR合金钢选哪个刀具材料A YG3B YG8C YT30D YT52 高速切削铝合金选哪个刀具材料A YT5B YT30C 金刚石D PCBN3 精加工切削用量怎样选择A低的进给量，背吃刀量，高的切削速度B高的进给量，背吃刀量，高的切削速度C高的进给量，背吃刀量，低的切削速度4 哪个切削分力影响加工精度和振动A 切向力B 轴向力C 背向力5 切削用量3 要素对切削力影响的顺序大小A 背吃刀量进给量切削速度B 进给量切削速度背吃刀量C背吃刀量切削速度进给量D进给量背吃刀量切削速度6 粗加工时怎样选择后角A 较大后角B 较小后角C 大小均可7 刀具横向进给运动后角怎样变化A 变大B 变小C 不变8 与切削温度关系比较大的刀具角度A 前角和后角B 前角和主偏角C 后角和副后角D 前角和刃倾角9 硬质合金刀具正常磨损原因A 机械磨损粘结磨损B 硬质点磨损粘结磨损C粘结磨损扩散磨损 D 粘结磨损化学磨损10 刀具初期磨损阶段成因是哪个A 硬质点磨损B 粘结磨损C 扩散磨损D 应力集中刀口粘结11 切削塑性材料时，切削速度高，切削厚度大会产生哪类磨损A月牙洼磨损B 后刀面磨损C 边界磨损D 硬质点磨损12 确定刀具标注参考系中的参考平面哪三个A待加工表面已加工表面加工表面B 前刀面后刀面基面C基面切削平面正交平面13 切削细长钢轴用哪一个刀具A 45度弯头车刀B 90度右偏刀C圆弧刃形车刀14 哪个因素不能抑制积屑瘤的产生？15 切削用量影响切削温度的顺序。
2013年高考理科数学广东卷word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(广东卷)本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：台体的体积公式V ＝13(S 1＋S 2)h ，其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013广东，理1)设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则M ∪N ＝( )．A ．{0}B ．{0,2}C ．{－2,0}D ．{－2,0,2} 答案：D解析：∵M ＝{－2,0}，N ＝{0,2}，∴M ∪N ＝{－2,0,2}．2．(2013广东，理2)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( )．A ．4B ．3C ．2D ．1 答案：C解析：y ＝x 3，y ＝2sin x 为奇函数；y ＝x 2＋1为偶函数；y ＝2x 为非奇非偶函数．所以共有2个奇函数，故选C ．3．(2013广东，理3)若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( )．A ．(2,4)B ．(2，－4)C ．(4，－2)D ．(4,2) 答案：C解析：由i z ＝2＋4i ，得z ＝24i (24i)(i)i i (i)++⋅-=⋅-＝4－2i ， 故z 对应点的坐标为(4，－2)．4．(2013广东，理4)则X 的数学期望E (X )＝( )． A ．32 B ．2 C ．52D ．3 答案：A 解析：E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝1510＝32. 5．(2013广东，理5)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )．A ．4B ．143C ．163D ．6 答案：B解析：方法一：由三视图可知，原四棱台的直观图如图所示，其中上、下底面分别是边长为1,2的正方形，且DD 1⊥面ABCD ，上底面面积S 1＝12＝1，下底面面积S 2＝22＝4.又∵DD 1＝2，∴V 台＝13(S 1＋S 2)h＝13(14)×2＝143. 方法二：由四棱台的三视图，可知原四棱台的直观图如图所示．在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1都为正方形， AB ＝2，A 1B 1＝1，且D 1D ⊥平面ABCD ，D 1D ＝2. 分别延长四棱台各个侧棱交于点O ， 设OD 1＝x ，因为△OD 1C 1∽△ODC ， 所以111OD D C OD DC =，即122x x =+，解得x ＝2.1111ABCD A B C D V -＝V 棱锥O －ABCD －1111O A B C D V -棱锥＝13×2×2×4－13×1×1×2＝143. 6．(2013广东，理6)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )． A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n B ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n C ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β D ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β 答案：D解析：选项A 中，m 与n 还可能平行或异面，故不正确； 选项B 中，m 与n 还可能异面，故不正确； 选项C 中，α与β还可能平行或相交，故不正确； 选项D 中，∵m ⊥α，m ∥n ，∴n ⊥α. 又n ∥β，∴α⊥β.故选D ．7．(2013广东，理7)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( )． A ．2214x -= B ．22145x y -= C ．22125x y -= D ．2212x -= 答案：B解析：由曲线C 的右焦点为F (3,0)，知c ＝3.由离心率32e =，知32c a =，则a ＝2，故b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5， 所以双曲线C 的方程为22145x y -=. 8．(2013广东，理8)设整数n ≥4，集合X ＝{1,2,3，…，n }，令集合S ＝{(x ，y ，z )|x ，y ，z ∈X ，且三条件x ＜y ＜z ，y ＜z ＜x ，z ＜x ＜y 恰有一个成立}．若(x ，y ，z )和(z ，w ，x )都在S 中，则下列选项正确的是( )．A ．(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∉SB ．(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∈SC ．(y ，z ，w )∉S ，(x ，y ，w )∈SD ．(y ，z ，w )∉S ，(x ，y ，w )∉S 答案：B解析：由(x ，y ，z )∈S ，不妨取x ＜y ＜z ， 要使(z ，w ，x )∈S ，则w ＜x ＜z 或x ＜z ＜w . 当w ＜x ＜z 时，w ＜x ＜y ＜z ， 故(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∈S .当x ＜z ＜w 时，x ＜y ＜z ＜w ，故(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∈S . 综上可知，(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∈S .二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．(一)必做题(9～13题)9．(2013广东，理9)不等式x2＋x－2＜0的解集为__________．答案：{x|－2＜x＜1}解析：x2＋x－2＜0即(x＋2)(x－1)＜0，解得－2＜x＜1，故原不等式的解集为{x|－2＜x＜1}．10．(2013广东，理10)若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝__________.答案：－1解析：y′＝k＋1 x .因为曲线在点(1，k)处的切线平行于x轴，所以切线斜率为零，由导数的几何意义得y′|x＝1＝0，故k＋1＝0，即k＝－1.11．(2013广东，理11)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为__________．答案：7解析：i＝1，s＝1，i≤4，s＝1＋0＝1；i＝2，s＝1，i≤4，s＝1＋1＝2；i＝3，s＝2，i≤4，s＝2＋2＝4；i＝4，s＝4，i≤4，s＝4＋3＝7；i＝5，此时i＞4，故s＝7.12．(2013广东，理12)在等差数列{a n}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝__________.答案：20解析：因为数列{a n}的等差数列，所以由等差数列的性质得a3＋a8＝a5＋a6＝a4＋a7＝10.所以3a5＋a7＝a5＋2a5＋a7＝a5＋a4＋a6＋a7＝2×10＝20.13．(2013广东，理13)给定区域D：44,4,0.x yx yx+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定__________条不同的直线．答案：6解析：由区域D：44,4,0,x yx yx+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩画出可行域如图所示．满足条件的(x 0，y 0)有(0,1)，(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)， 故T 中的点共确定6条不同的直线．(二)选择题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．(2013广东，理14)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的参数方程为,,x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，C在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为__________．答案：πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭解析：∵曲线C的参数方程为,x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，∴其普通方程为x 2＋y 2＝2.又点(1,1)在曲线C 上，∴切线l 的斜率k ＝－1.故l 的方程为x ＋y －2＝0，化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝2，即πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭15．(2013广东，理15)(几何证明选讲选做题)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上．延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝__________.答案：解析：连接OC ．∵AB 为圆O 的直径，∴AC ⊥BC ．又BC ＝CD ，∴AB ＝AD ＝6，∠BAC ＝∠CAD ． 又CE 为圆O 的切线，则OC ⊥CE .∵∠ACE 为弦切角，∴∠ACE ＝∠B ． ∴∠ACE ＋∠CAD ＝90°.∴CE ⊥AD ． 又AC ⊥CD ，∴CD 2＝ED ·AD ＝2×6＝12，即CD＝∴BC＝三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(2013广东，理16)(本小题满分12分)已知函数π()12f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R .(1)求π6f ⎛⎫-⎪⎝⎭的值； (2)若cos θ＝35，θ∈3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭，求π23f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 解：(1)πππ6612f ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ144⎛⎫-== ⎪⎝⎭.(2)πππ223312f θθ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π24θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos 2θ－sin 2θ.因为cos θ＝35，θ∈3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin θ＝45-. 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425-，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725-.所以π23f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos 2θ－sin 2θ＝72417252525⎛⎫---= ⎪⎝⎭. 17．(2013广东，理17)(本小题满分12分)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．解：(1)样本均值为171920212530132=2266+++++=.(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为2163=，故推断该车间12名工人中有12×13＝4名优秀工人．(3)设事件A ：从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人，则P (A )＝1148212C C 16C 33=.18．(2013广东，理18)(本小题满分14分)如图(1)，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝6，D ，E分别是AC ，AB 上的点，CD ＝BE ，O 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图(2)所示的四棱锥A ′BCDE ，其中A ′O .图(1)图(2)(1)证明：A ′O ⊥平面BCDE ；(2)求二面角A ′CDB 的平面角的余弦值．解：(1)由题意，得OC ＝3，AC ＝AD ＝如图，连结OD ，OE ，在△OCD 中， 由余弦定理可得OD =.由翻折不变性可知A ′D ＝， 所以A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2，所以A ′O ⊥OD ． 同理可证A ′O ⊥OE ，又OD ∩OE ＝O ， 所以A ′O ⊥平面BCDE .(2)传统法：过O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于H ，连结A ′H ， 因为A ′O ⊥平面BCDE ，所以A ′H ⊥CD ． 所以∠A ′HO 为二面角A ′CDB 的平面角．结合题图(1)可知，H 为AC 中点，故OH ＝2，从而A ′H 2=，所以cos ∠A ′HO ＝5OH A H ='所以二面角A ′－CD －B 的平面角的余弦值为5. 向量法：以O 点为原点，建立空间直角坐标系O －xyz 如图所示．则A ′(0,0，3)，C (0，－3,0)，D (1，－2,0)， 所以CA '＝(0,3)，DA '＝(－1,2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面A ′CD 的法向量，则0,0,CA DA ⎧⋅'=⎪⎨⋅'=⎪⎩n n 即30,20,y xy ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩解得,.y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩令x ＝1，得n ＝(1，－1)．由(1)知，OA '＝(0,0为平面CDB 的一个法向量， 所以cos 〈n ，OA '〉＝55OA OA ⋅'=='n n ，即二面角A ′－CD －B 的平面角的余弦值为5. 19．(2013广东，理19)(本小题满分14分)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2121233n n S a n n n +=---，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1211174n a a a +++<. 解：(1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2)当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ， 2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)，即111n n a a n n +-=+.又21121a a-=， 故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =，公差为1的等差数列，所以na n＝1＋(n －1)×1＝n .所以a n ＝n 2. (3)当n ＝1时，1171<4a =；当n ＝2时，12111571444a a +=+=<； 当n ≥3时，21111111n a n n n n n =<=-(-)-， 此时12111na a a +++ ＝222111111111111+<1434423341n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝1117171+4244n n +-=-<.综上，对一切正整数n，有1211174n a a a +++<. 20．(2013广东，理20)(本小题满分14分)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c ＞0)到直线l ：x －y －2＝0.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．解：(1)依题意，设抛物线C 的方程为x 2＝4cy ， 2=，结合c ＞0，解得c ＝1. 所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)抛物线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)221212,44x x y y ⎛⎫== ⎪⎝⎭其中，则切线P A ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线P A 的方程为y －y 1＝12x(x －x 1)，即y ＝12x x －212x ＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0，同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0， 因为切线P A ，PB 均过点P (x 0，y 0)， 所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0.所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0的两组解． 所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0. (3)由抛物线定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1，所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1.联立方程002220,4,x x y y x y --=⎧⎨=⎩消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 02)y ＋y 02＝0.由一元二次方程根与系数的关系可得y 1＋y 2＝x 02－2y 0，y 1y 2＝y 02， 所以|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 02＋x 02－2y 0＋1. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝y 0＋2. 所以y 02＋x 02－2y 0＋1＝2y 02＋2y 0＋5＝2019222y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.所以当y 0＝12-时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92.21．(2013广东，理21)(本小题满分14分)设函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2(k ∈R )．(1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k ∈1,12⎛⎤⎥⎝⎦时，求函数f (x )在[0，k ]上的最大值M . 解：(1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －x 2，f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x e x －2x ＝x (e x －2)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln 2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如下表：由表可知，函数f (x )的递减区间为(0，ln 2)，递增区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)． (2)f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x e x －2kx ＝x (e x －2k )， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln(2k )，令g (k )＝ln(2k )－k ，k ∈1,12⎛⎤⎥⎝⎦， 则g ′(k )＝1k －1＝1kk -≥0，所以g (k )在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增．所以g (k )≤ln 2－1＝ln 2－ln e ＜0. 从而ln(2k )＜k ，所以ln(2k )∈(0，k )． 所以当x ∈(0，ln(2k ))时，f ′(x )＜0； 当x ∈(ln(2k )，＋∞)时，f ′(x )＞0； 所以M ＝max{f (0)，f (k )} ＝max{－1，(k －1)e k －k 3}． 令h (k )＝(k －1)e k －k 3＋1， 则h ′(k )＝k (e k －3k )，令φ(k )＝e k －3k ，则φ′(k )＝e k －3≤e －3＜0.2013年高考理科数学广东卷word 解析版11 / 11 所以φ(k )在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减， 而12ϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭·φ(1)＝32⎫-⎪⎭(e －3)＜0， 所以存在x 0∈1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦使得φ(x 0)＝0，且当k ∈01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，φ(k )＞0， 当k ∈(x 0,1)时，φ(k )＜0，所以φ(k )在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在(x 0,1)上单调递减．因为17>028h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，h (1)＝0， 所以h (k )≥0在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，当且仅当k ＝1时取得“＝”． 综上，函数f (x )在[0，k ]上的最大值M ＝(k －1)e k －k 3.。
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测试一
一、单选题（共 10 道试题，共 60 分。
）
1.
题目见图片
2.
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3.
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4.
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5.
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6.
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7.
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8.
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9.
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10.
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二、判断题（共 10 道试题，共 40 分。
）
1.
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A. 错误
B. 正确
2. 函数u=lnxy的定义域为x<0,y>0
A. 错误
B. 正确
3.
题目见图片
A. 错误
B. 正确
4.
题目见图片
A. 错误
B. 正确
5. 在有界闭区域D上的多元连续函数在D上一定有最大值和最小值
A. 错误
B. 正确
6. 连通的开集为区域或开区域
A. 错误
B. 正确
7. 二元函数z=arcsin(1-y)+ln(x-y)的定义域为|1-y|≤1且x-y>0。
A. 错误
B. 正确
8.
题目见图片
A. 错误
B. 正确
9.
题目见图片
A. 错误
B. 正确
10. 如果点集E的点都是内点,则称E为闭集。
A. 错误
B. 正确
测试二
一、单选题（共 10 道试题，共 60 分。
）
1.
题目见图片
2.
题目见图片
3. 函数y=cosx是下列哪个微分方程的解？
A. y’+2y=0
B. y'+y=0
C. y”+y=0
D. y”+y=cosx
4. 微分方程y-y'=1+xy'的通解为
A. y-1=C(1+x)
B. y=C(1+x)
C. y=Cx
D. y-1=Cx
5.
题目见图片
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7.
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8. 微分方程y'=3的通解称为
A. y=3x+C
B. y=x+C
C. y=-3x+C
D. y=-x+C
9.
题目见图片
题目见图片
二、判断题（共 10 道试题，共 40 分。
）
1. 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫做微分方程的阶。
A. 错误
B. 正确
2. 特征方程的根，叫做特征根。
A. 错误
B. 正确
3. 微分方程的解中包含任意常数，如果独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数，这种解称
为微分方程的通解。
A. 错误
B. 正确
4. 如果微分方程中的未知函数是一元函数，则称为偏微分方程；如果微分方程中的未知函数是
多元函数，则称为常微分方程。
A. 错误
B. 正确
5. 含有自变量、未知函数及其导数或微分的方程，叫做微分方程。
A. 错误
B. 正确
6. 如果限定通解中的任意常数为某一组固定常数，则得到该方程的一个解，称其为微分方程的
特解。
A. 错误
B. 正确
7. 将对应的齐次方程通解中的任意常数换成待定函数以求得非齐次方程通解的方法，叫做常数
变易法。
A. 错误
B. 正确
8. 微分方程y'=0的通解得y=C
A. 错误
B. 正确
9. 可以由通解确定特解的条件称为该微分方程的初始条件
A. 错误
B. 正确
10. 微分方程xdy+ydx=0的通解得xy=C
A. 错误
B. 正确
测试三
一、单选题（共 10 道试题，共 60 分。
）
1.
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2.
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3.
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4.
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5.
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6.
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7.
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8. 题目见图片
9.
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10.
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二、判断题（共 10 道试题，共 40 分。
）
1.
题目见图片
A. 错误
B. 正确
2. 各项都是正数或零的级数，称为正项级数。
A. 错误
B. 正确
3. 利用幂级数的基本性质与几个常用的标准展开式将初等函数展开为幂级数的方法，称为直
接展开法。
A. 错误
B. 正确
4. 交错级数的各项，是正负交错的。
A. 错误
B. 正确
5. 函数项级数中简单而常见的一类级数，就是各项都是幂函数的函数项级数,这种形式的级数称
为幂级数。
A. 错误
B. 正确
6. 如果级数收敛，则对这级数的项任意加括号后所形成的级数收敛。
A. 错误
B. 正确
7.
题目见图片
A. 错误
B. 正确
8.
题目见图片
A. 错误
B. 正确
9.
题目见图片
A. 错误
B. 正确
10. 如果在级数中去掉、加上或改变有限项，会改变级数的收敛性。
A. 错误
B. 正确。