2015年四川师范大学625数学分析考研真题【圣才出品】

2015年四川师范大学625数学分析考研真题

1．（10分）用“ε－N ”方法证明2233lim 212

x n n n →∞+=-

2．（10分）若f （x ）在[a ，b]上连续，f （a ）＝f （b ）＝0且f ＋′（a ）f －′（b ）＞0，证明：f （x ）在（a ，b ）内至少有一个零点。

3．（10分）计算∫[（x 3－x 2

－x ＋3）/（x 2－1）]dx 。

4．（10分）设

1(,)sin

f x y xy =

求∂f/∂x。

5．（10分）计算1

0d (,)0ln b a

x x x a b x ->⎰

6．（15分）讨论广义积分∫1＋∞（cosx/x ）dx 的收敛性（收敛时请指明是条件收敛还是绝对收敛）。

7．（15分）设{a n }为任意数列，若1n n a n

α∞-∑收敛，证明：当β＞α时，级数1n n a n β∞=∑也收敛。

8．（15分）计算

2y D e dxdy -⎰⎰，其中D 为由y ＝x 以及y ＝x 1/3所围成的有界闭区域。

9．（15分）设函数f 和g 在[a ，b]上连续，在（a ，b ）内可导且f （a ）＝f （b ）＝0。证明存在ξ∈（a ，b ）使得f ′（ξ）＋f （ξ）g ′（ξ）＝0。

10．（20分）证明

1ln(1)()n n nx f x nx ∞

=+=∑在（1，＋∞）内连续。 11．（20分）设函数f 在[0，1]上连续，证明：10lim(1)()(1)n n n x f x dx f →∞+=⎰