小学奥数-几何五大模型(鸟头模型)

模型二 鸟头模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△

E

D

C

B

A

E

D

C

B A

图⑴ 图⑵

【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方

厘米，求ABC △的面积．

E

D

C

B

A

E

D

C

B

A

【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，

::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，

则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的

面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．

【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那

三角形等高模型与鸟头模型

么三角形ABC 的面积是多少？

E

D

C B A

A B C D

E

【解析】 连接BE ．

∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =

∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．

【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面

积是甲部分面积的几倍？

乙

甲

E D

C

B

A

A B

C

D

E

甲

乙

【解析】 连接AD ．

∵3BE =，6AE =

∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，

∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．

【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，

:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．

E

D

C

B

A E

D

C

B

A

【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△

[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，

所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到

一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比

【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面

积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？

【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2

倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．

【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．

F

E

D C

B

A

【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC

S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，

:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△

设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米

【例 5】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积

是多少？

A

B E

C D

D

C E

B A

【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，

325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设

6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角

形BDE 的面积是12.5平方厘米

【例 6】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =

，1

3

CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．

A

【解析】 由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得2

3

CE AC =．根据”共角定理”可得，

():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABC S =⨯÷=△；所以4CEF S =△；

同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S =÷⨯=△，6CDF S =△ 故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．

【例 7】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长

CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．