高考数学第二次月考参考答案(1)

参考答案

1．{1,0}-

【解析】 试题分析：求A B 就是求集合A 与集合B 中相同的元素的集合，集合B 是有限集，集合A 是无限集，因此用代入验证集合B 中元素是否符合集合A 中限制条件，即可得出{1,0}.A B =- 考点：集合的运算. 2．42i - 【解析】

试题分析：由2(12i)(1i)(12i)(2)4 2.i i +-=+-=-复数的运算主要考查知识点21,i =-但要是掌握一些结论，如21(1)2,1i

i i i i

+±=±=-就可以提高解题的速度. 考点：复数的运算.

3．

3

π 【解析】

试题分析：研究三角函数的对称性，可从图像理解.因为三角函数的对称轴经过最值点，所

以当π6

x =时，()sin()f x x θ=+取最值，即sin()1,()662k k z πππ

θθπ+=±?+=+∈，又

π02θ<<所以.3

π

θ=

考点：三角函数性质：对称轴. 4．14 【解析】

试题分析：研究特殊数列：等差数列的通法为根据方程组求出其首项及公差.

由5111554521;2S a d a d =+???=?+=及9111

9982743;2

S a d a d =+???=?+=

解得171

1,1,7(1)76114.2

a d S =-==?-+???=

考点：等差数列前n 项和.

5 【解析】

试题分析：根据圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，所以母线长l 再根

据圆锥的侧面积公式.S rl π==圆锥的侧面积公式可结合圆锥展开图为扇形，由相应扇形面积公式理解记忆. 考点：圆锥的侧面积. 6．[1,4]- 【解析】

试题分析：由程序框图可得到一个分段函数2,0

()(2),0x x f x x x x -

，因此本题实质为根据定

义域x ∈[-2，2]，求值域.当[2,0)x ∈-时，()(0,4];f x ∈当[0,2]x ∈时，()[1,0];f x ∈-所以()

f x 值域为(0,4][1,0][1,4].-=- 考点：流程图，函数值域. 7．7- 【解析】

试题分析：由π3sin()45x +=，π4

sin()45

x -=得sin cos cos 55x x x x +=-=

从而sin x x =

=所以sin tan 7.cos x

x x

==- 解决三角函数给值求值问题，关键从角的关系上进行分析. 考点：三角函数给值求值. 8．[2,)+∞

【解析】

试题分析：由1e 0y x '=-

=得1x e =.所以当1

(0,)x e

∈时，0y '<，()f x 单调减，()(2,);f x ∈+∞当1

[,)x e

∈+∞时，0y '>，()f x 单调增，()[2,);f x ∈+∞所以()f x 值域为[2,).+∞

考点：导数的应用. 9．2 【解析】

试题分析：由b ·c =0得2

2(1)011cos60(1)10 2.ta b t b t t t ?+-=????+-?=?= 向量数量积||||cos a b a b θ?=??是将两个向量转化为一个实数的过程. 考点：向量数量积.

10．13

【解析】 试题分析：因为随机选取m 有3种不同方法，随机选取n 有2种不同方法，所以随机选取m ，n 共有326?=种不同方法；当1,1;0,1m n m n =-===直线10mx ny ++=不经过第二象限，所以概率是

21.63

= 考点：古典概型概率，直线方程中斜率与系数关系. 11．(1,2)-

【解析】

试题分析：因为当0x ≥时，()0f x ≥单调增；当0x <时，()0f x <单调增，所以()f x 在R 上单调增.又(3)12

f =，所以222(1)12(1)(3)131 2.f x x f x x f x x x -+

考点：利用函数性质解不等式. 12．2 【解析】

试题分析：设(,)P x y 则由2222224(1)(1)42PA PB x y x y x y -=?++---=?+=.本题实

质就是研究直线与圆交点个数.2,

r =<=所以直线与圆相

交，交点个数为两个.

考点：直线与圆位置关系，点到直线距离.

13．3 【解析】 试题分析：24xy x y ++=42y x y -∴=

+,由402

y

x y -=≥+得04y <≤.

所以46

(2)3 3.22

y x y y y y y -+=

+=++-≥++当且仅当2(0,4]y =∈取等号.二元关系不明确时，可利用消元，揭示本质，注意消元时隐含范围的挖掘.

考点：基本不等式. 14．1

2

m <-

【解析】

试题分析：当0m >时，211,x m m -<<当0m <时，1x m <-或21

x m

>.因为不等式对一切x ≥4恒成立，所以211x m m -

<<不能满足，因此0m <且214m >，所以1

2

m <-.本题恒成立问题，从解不等式出发，利用解集形式得出不等关系. 考点：不等式恒成立.

15．（1）

3

π；（2）2 【解析】 试题分析：（1）解三角形问题，一般利用正弦定理或余弦定理将边统一为角或将角统一为边，

如用正弦定理将1cos 2a C c b +=化为角1

sin cos sin sin ,2

A C C

B +=也可用余弦定理将

1

cos 2

a C c

b +=化为边22222222221222a b

c a

c b a b c b bc b c a bc ab +-+=?+-=-?+-=，在统一为角后，再利用诱导公式将三个角化为两个角，结合两角和与差公式将两个角化为所求角；在统一为边后，再利用余弦定理或勾股定理求对应角，（2）结合(1)知，所求问题为已知一角两边，求第三边，显然用余弦定理比较直接. 试题解析：（1）用正弦定理，由1

cos ,2a C c b +=

得1

sin cos sin sin .2

A C C

B +=2分

sin sin()sin cos cos sin ,B A C A C A C =+=+ 1

sin cos sin .2C A C ∴=4分 1

sin 0,cos .2C A ≠∴=6分

0,.3

A A π

π<<∴=

8分

（2）用余弦定理，得2222cos .a b c bc A =+-

15,4,a b ==

21

151624.2

c c ∴=+-???

即2410.c c -+=12分

则2c =±14分

考点：解三角形，正弦定理，余弦定理. 16．（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】 试题分析：（1）线面平行的判定关键在证相应线线平行，线线平行的证明或寻求需要结合平面几何的知识，如中位线平行于底面，因为本题中M 为PC 中点，所以应取BD 的中点作为解题突破口；（2）线线垂直的证明一般需要经过多次线线垂直与线面垂直的转化，而对于面面垂直，基本是单向转化，即作为条件，就将其转化为线面垂直；作为结论，只需寻求线面垂直.如本题中面PCD 与面ABCD 垂直，就转化为BC ⊥平面PCD ，到此所求问题转化为:已知线面垂直，要求证线线垂直.在线线垂直与线面垂直的转化过程中，要注意充分应用平面几何中的垂直条件,如矩形邻边相互垂直. 试题解析：证明：（1）连结AC 交BD 于点O,连结OM.2分 因为M 为PC 中点,O 为AC 中点， 所以MO//PA.4分

因为MO ?平面MDB ，PA ?平面MDB, 所以PA//平面MDB.7分

（2）因为平面PCD ⊥平面ABCD, 平面PCD 平面ABCD=CD,

BC ?平面ABCD,BC ⊥CD, 所以BC ⊥平面PCD.12分 因为PD ?平面PCD, 所以BC ⊥PD14分

考点：直线与平面平行判定定理，面面垂直性质定理.

17．(1)11000()4a

y v v

=+,(0,80](2)当01600a <<（元）时，v =1600a ≥（元）

时，80v =. 【解析】 试题分析：（1）解决应用题问题首先要解决阅读问题，具体说就是要会用数学式子正确表示数量关系，本题中全程运输成本等于每小时运输成本与全程所化时间的乘积，有学生错误将每小时运输成本理解为全程运输成本，其次要注意定义域的确定，不仅要从保证数学式子的有意义考虑，而且更要结合实际意义考虑，如本题速度为正数，（2）研究对应解析式的最值问题，一般从不等式或函数考虑，从不等式考虑时，要会将解析式转为“和”与“积”的关系，注意等于号是否取到，而从函数考虑时，经常结合导数进行研究.本题不管从不等式考虑还是从函数考虑，都需进行讨论，讨论的原因都是因为定义域.

试题解析：（1）可变成本为214v ，固定成本为a 元，所用时间为1000

v .

210001()4y v a v ∴=

+，即11000()4a

y v v

=+4分 定义域为(0,80]5分 （2）222

141000()250.4a v a

y v v -'=-=?

令0y '=得v =7分 因为(0,80],v ∈

所以当80即1600a ≥时0y '≤，y 为v 的减函数， 在80v =时，y 最小.9分

所以当80，即01600a <<时，

v

y '

-

+

y

极小值

在v =y 最小.13分

(答)以上说明，当01600a <<（元）时，货车以/h 的速度行驶，全程运输成本最小；

当1600a ≥（元）时，货车以80/km h 的速度行驶，全程运输成本最小.14分 考点：函数解析式，利用导数求函数最值.

18．（1）2

214

x y +=，（2.

【解析】

试题分析：（1）求椭圆方程，基本方法是待定系数法.关键是找全所需条件.椭圆中,,a b c 三个未知数的确定只需两个独立条件，本题椭圆经过两点，就是两个独立条件，（2）直线与椭圆位置关系问题就要从其位置关系出发，本题中OC BA λ=和0OC OB ?=条件一是平行关系，二是垂直关系.设直线OC 的斜率就可表示点C 及点,B 再利用OC BA λ=就可列出关于斜率及λ的方程组.得到

C ，可利用类比得到B 由

(2λ==两式相除可解得k =

代入可得

λ=

试题解析：（1）由条件，2,,2c

a e ==代入椭圆方程，

得221

1.44c b +=2分网]椭 224,b c += 221, 3.b c ∴==

所以椭圆的方程为2

2 1.4

x y +=5分

（2）设直线OC 的斜率为k ， 则直线OC 方程为y kx =，

代入椭圆方程2

214

x y +=即2244x y +=，

得22

(14)4,c k x x +=∴=

则

C 7分

又直线AB 方程为(2),y k x =-

代入椭圆方程2244x y += 得2222(14)161640.k x k x k +-+-=

222(41)

2,.14A B k x x k -=∴=+

则222

2(41)4(,).1414k k B k k --++9分

0,OC OB ?=2

0.=

21

.2

k C ∴=在第一象限，0,2k k ∴>=12分

(OC =

222222(41)444(2,)(,),14141414k k k

BA k k k k -=-=++++

由,OC BA λ=得λ=15分

2,k λ=

∴=16分 考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系. 19．（1）n n a n n 222

+-=，（2）.32,11+-==n b a n

【解析】 试题分析：（1）解一般数列问题，主要从项的关系进行分析.本题项的关系是：

12()n n a a g n +=+型，解决方法为：构造等比数列1(1)2[()]n n a f n a f n +++=+，再利用2()2()(1)41g n f n f n n n =-+=-+等式对应关系得出()f n 的解析式，（2）解等差数列

问题，主要从待定系数对应关系出发.令2

n a An Bn =+，则利用

222(1)(1)2241

A n

B n An Bn n n +++=++-+等式对应关系得出

21,224,11,2A A A B B A B A B =++=-+=?=-=，再利用等差数列前n 项和公式

21111(1)()222

n d

S nb n n d dn b n

=+-=+-得

11111,22,1,2 3.22

n d

d b d a b b n =--=?=-===-+ 试题解析：解（1）,1422

1+-+=+n n a a n n

设),(2)1()1(2

21c bn an a c n b n a a n n +++=++++++2分 也即,)2(22

1b a c n a b an a a n n --+-++=+4分

??

?

??=---=-=∴.1,42,1b a c a b a .0,2,1=-==∴c b a 6分

,22121=-+a

所以存在,2)(2n n n f -=使数列{}

n n a n 22

-+是公比为2的等比数列8分

n n n n n a 222212=?=-+∴-

则.222

n n a n n +-=10分

（2）,14221+-+=+n n a a n n 即),2(2)1(2)1(2

21n n a n n a n n -+=+-+++

,2)1(2112--=-+n n a n n a 即.22)1(211n n a a n n +--=-12分

???≥+--==∴-).

2(,322)1(),1(2

1,1n n a n a

b n n 14分 }{n b 是等差数列,.32,11+-==∴n b a n 16分

考点：构造法求数列通项，等差数列前n 项和公式，由和项求等差数列通项. 20．（1）e 4，（2）①详见解析，②

6

1

【解析】 试题分析：（1）求具体函数极值问题分三步，一是求导，二是求根，三是列表，关键在于正

确求出导数，即2

2()(21)x

e f x x x x

'=+-；求根时需结合定义区间进行取舍，如根据定义区

间(0,)+∞舍去负根；列表时需注意导数在对应区间的符号变化规律，这样才可得出正确结论，因为导数为零的点不一定为极值点，极值点附近导数值必须要变号，（2）①利用导数证明函数单调性，首先要正确转化，如本题只需证到在区间[1，2]上()0f x '≥成立即可，由

2

2()()x

e f x ax bx b x

'=+-得只需证到在区间[1，2]上2()0g x ax bx b =+-≥，因为对称轴

,02<-

=a

b

x 2()g x ax bx b =+-在区间[1，2]上单调增，因此只需证(1)0g ≥，而这显然成立，②中条件“()f x 在区间[1，2]上是增函数”与①不同，它是要求()0f x '≥在区间

[1，2]上恒成立，结合二次函数图像可得关于,a b 不等关系，再考虑(2)0f <，2(2)e f --<，可得可行域.

试题解析：（1）解:.)()()(22

2x e b bx ax e x b x b a x f x x -+=-+='2分

当1,2==b a 时,2

22()(21)(1)(21)x x

e e

f x x x x x x x

'=+-=+-,

令,0)(='x f 得2

1

=

x 或1-=x (舍去)4分 ,02>x

e x 当)21

,0(∈x 时,,0)(<'x f )(x f 是减函数,

当),2

1

(+∞∈x 时,,0)(>'x f )(x f 是增函数 所以当2

1

=

x 时,)(x f 取得极小值为.4e 6分 （2）令,)(2

b bx ax x g -+=

①证明:∴>>,0,0b a 二次函数,)(2

b bx ax x g -+=的图象开口向上, 对称轴,02<-

=a

b

x 且,0)1(>=a g 8分 0)(>∴x g 对一切]2,1[∈x 恒成立.

又,02>x e x

0)(>'∴x f 对一切)2,1(∈x 恒成立. )(x f 函数图象是不间断的, )(x f ∴在区间]2,1[上是增函数.10分

②解:,)2(,0)(2

-<-

??

???<-<+∴--222)2(,0)2(e e b

a e

b a 即(*)2

202???<-<+b a b a

)(x f 在区间]2,1[上是增函数 0)(≥'∴x f 对)2,1(∈x 恒成立.

则0)(2

≥-+=b bx ax x g 对)2,1(∈x 恒成立.

(**)0

4)2(0)1(??

?≥+=>=∴b a g a g 12分

在(*)(**)的条件下,0

b

且0)44(44)2(2≥+-=--=-a

b a b a b ab a b g 恒成立. 综上,点),(b a 满足的线性约束条件是????

???<-≥+<+<>.

22,04,02,

0,0b a b a b a b a 14分

由所有点),(b a 形成的平面区域为OAB ?(如图所示), 其中),0,1(),1,2

1(),34,31

(C B A -- 则.6

1)134(21=-=-=???OBC OAC OAB S S S 即OAB ?的面积为

6

1

.16分 考点：求函数极值，二次函数恒成立，线性规划求面积. 22．

试题解析：解：矩阵M 的特征多项式为

．

令，对应的一个特征向量分别为

111??=????α，211??=??

-??α．5分 令12m n =+βαα，得4,3m n ==-．

6666661212112913(43)4()3()433(1)112919??????=-=-=?--=??????

-??????M βM ααM αM α．10分

考点：：矩阵特征值、特征向量及其应用

21

2

()232

1

f λλλλλ--=

=----12()031f λλλ===-，解得，

23．（1）22

(2)4x y -+=．（2）4cos ρθ=．

【解析】

试题分析：（1）根据22

sin cos 1αα+=消去参数α得圆的直角坐标方程：22(2)4x y -+=.

（2）利用

cos ,

sin ,

x y ρθρθ=??

=?代入

22

(2)4x y -+=，可得圆的极坐标方程为4cos ρθ=． 试题解析：解：（1）圆的直角坐标方程为

22

(2)4x y -+=．5分 （2）把cos ,

sin ,

x y ρθρθ=??

=?代入上述方程，得圆的极坐标方程为4cos ρθ=．10分

考点：参数方程、极坐标方程、直角坐标方程之间互化 25．

解析：解：（1）设甲同学在5次投篮中，有x 次投中，“至少有4次投中”的概率为P ，则 (4)(5)P P x P x ==+=2分

=

441550

552222()(1)()(1)3333C C -+-=1122434分 （2）由题意1,2,3,4,5=．

2(1)3P ==，122(2)339P ==?=，1122(3)33327P ==??=

，3

122(4)3381P ??==?= ???， 4

11(5)381P ??

===

???．

的分布表为

8分

的数学期望

22221121

123453927818181E =?+?+?+?+?=

．10分 考点：概率分布，数学期望值 26．（1）详见解析，（2）

1

2014S =-

.

【解：（1）当n 为奇数时，1n +为偶数，1n -为偶数，

∵11012

211

12

(1)n n n n n

n S C C C

+++++=-+

+-，11012

21

12

(1)n n n n n n S C C C

---+=-++-，

11012

211

2

12

(1)

n n n n n n S C

C

C

------=-++-，

∴11

111100112

222

211

1

1

1112

2

2

()()(1)

()(1)

n n n n n n n n n n n n n n S S C C C C C

C

C

-+-++-++-++++-=---+

+--+-

=

11012

21

2

11

2

((1)

)n n n n n n C

C

C

S --------++-=-．

∴当n 为奇数时，11n n n S S S +-=-成立5分

同理可证，当n 为偶数时，11n n n S S S +-=-也成立．6分

（2）由

0123

1007

20142013201220111007

111112014201320122011

1007S C C C C C =

-+-+-

，得

1231007

20142013201220111007

201420142014201420142013201220111007S C C C C C =-

+-+- =

0112233

1007

1007

2014201320132012201220112011100710071231007()()()()2013201220111007C C C C C C C C C -+++-++

-+

=012

10070121006

20142013201210072012201120101006()()C C C C C C C C -+-

---+-

+

=20142012S S -．9分

又由11n n n S S S +-=-，得6n n S S +=， 所以20142012421S S S S -=-=-，

1

2014S =-

．10分

考点：组合数性质