正弦级数和余弦级数

2
sin nx.
n1
n ( x ; x ,3,)
y 2(sin x 1 sin 2x 1 sin 3x 1 sin 4x 1 sin 5x)
2
3
4
5
观
察
两
函 数
y x
图
形
例 2 将周期函数u(t ) E sin t 展开成傅氏级数,
其中E 是正常数.
解 所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个
0 x x0
f ( x)的傅氏余弦级数
0 x
f
(x)
a0 2
an
n1
cos nx
(0 x )
例 3 将函数 f ( x) x 1 (0 x )分别展开成
正弦级数和余弦级数.
解 (1)求正弦级数. 对f ( x)进行奇延拓,
bn
2
0
f
( x)sin nxdx
2
0( x
1)sin nxdx
2
3
4
5
y x1
(2)求余弦级数. 对f ( x)进行偶延拓,
a0
2
( x 1)dx
0
2,
an
2
0(
x
1)
cos
nxdx
2 n2
(cos
n
1)
0 4 n2
当n 2,4,6, 当n 1,3,5,
x
1
2
1
4
(cos
x
1 32
cos
3x
1 52
cos 5x
]
(0 x )
x
35
2E [1
2
n1
cos 2nx 4n2 1
].
( x )
二、函数展开成正弦级数或余弦级数
非周期函数的周期性开拓
设f ( x)定义在[0,]上, 延拓成以2为周期的 函数 F ( x).
令
F
(
x)
f (x) g( x)
0 x , 且F ( x 2) F ( x),
x0
2 (1 cos n cos n) n
2
2
n
2
当n 1,3,5, 当n 2,4,6,
n
x 1 2 [( 2)sin x sin 2x 1 ( 2)sin 3x ]
2
3
(0 x )
x 1 2[( 2)sin x sin 2x 1 ( 2)sin 3x sin 4x 1 ( 2)sin 5x]
(n 1,2,)
(2)当周期为2 的偶函数 f ( x) 展开成傅里叶级
数时,它的傅里叶系数为
an
2
0
f ( x)cos nxdx
(n 0,1,2,)
bn 0
(n 1,2,)
证明 (1) 设f ( x)是奇函数,
an
1
f
( x)cos nxdx 奇函数
0
(n 0,1,2,3,)
bn
cos(n 1)t n 1 0
(n 1)
4E [(2k)2
1]
,
0,
当n 2k (k 1,2,) 当n 2k 1
a1
2
0u(t )cos tdt
2
0E
sin
t
cos tdt
0,
u(t) 4E (1 1 cos 2t 1 cos 4t 1 cos 6t )
2 3
15
2
2
练习题
一、设 f ( x)是周期为2 的周期函数,它在[, ) 上的表
2
,
x
2
达式为
f
(
x)
x
,
2
x
2
.
2
,
2
x
二、将函数 f ( x) 2x 2 (0 x ) 分别展开成正弦级数 和余弦级数 .
三、将以2 为周期的函数 f ( x) x 在(, ) 内展开成
2
傅里叶级数,并求级数 (1)n1
一、奇函数和偶函数的傅里叶级数
一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦 项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级 数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.
定理
(1)当周期为2 的奇函数 f ( x) 展开成傅里叶级数
时,它的傅里叶系数为 an 0
(n 0,1,2,)
bn
2
0
f ( x)sin nxdx
1
f
( x)sin nxdx 偶函数
2
0
f
( x)sin nxdx (n 1,2,3,)
同理可证(2)
定理证毕.
定义
如果 f ( x)为奇函数,傅氏级数 bn sin nx
n1
称为正弦级数.
如果 f ( x)为偶函数,
傅氏级数a0 2
an
n1
cos nx
称为余弦级数.
例 1 设 f ( x) 是 周 期 为2 的 周 期 函 数 , 它 在 [,)上的表达式为 f ( x) x ,将 f ( x) 展开成
数轴上连续.
u(t )
u(t )为偶函数,
E
bn 0, (n 1,2,)
2 0
2 t
a0
2
0
u(t )dt
2
0E
sin
tdt
4E
,
an
2
0u(t )cos ntdt
2
0E
sin
t
cos
ntdt
E
0 [sin(n
1)t
sin(n 1)t]dt
E
cos(n 1)t n1
0
2 3 x
an 0, (n 0,1,2,)
bn
2
0
f
( x)sin
nxdx
2
0x sin
nxdx
2
[
x
cos n
nx
sin nx n2
]0
2 cos n 2 (1)n1,
n
n
(n 1,2,)
f ( x) 2(sin x 1 sin 2x 1 sin 3x )
2
3
(1)n1
1
2
1
4
(cos
x
1 32
cos
3x
1 52
cos
5x
1 72
cos
7x)
y x1
三、小结
1、基本内容:
奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余 弦级数;非周期函数的周期性延拓;
2、需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确) a.只有周期函数才能展成傅氏级数; b.在[0, ]上, 展成周期为2的傅氏级数唯一;
1
的和 .
n0
2n 1
四、证明:当0
x
时,
n1
cos nx n2
x2 4
x 2
2 6
.
练习题答案
一、
f
(x)
[(1)n1
n1
n
2 n2
sin
n ]sin nx 2
.
( x (2n 1), n 0,1,2,)
二、 f ( x) 4
[(
1)
n
(
2 n3
2 n
)
2 n3
]sin nx
傅氏级数.
解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 在点x (2k 1)(k 0,1,2,)处不连续,
收敛于 f ( 0) f ( 0) () 0,
2
2
在连续点x( x (2k 1))处收敛于f ( x),
x (2k 1)时 f ( x)是以2为周期的奇函数,
y
和 函 数 图 3 2 象
c.在[,]上连续且只有有限个极 值点时, 级数处处收敛于f ( x).
思考题
设f ( x)是在[a, b]上定义的函数, 应如何选择 A, B, 才能使F (t) f ( At B)成为[, ]上 定义的函数.
思考题解答
应使A() B a, A B b,
即A b a , B b a .
则有如下两种情况
奇延拓 偶延拓.
奇延拓: g( x) f ( x)
则F
(
x)
f( 0
x)
0 x x0
y
f ( x) x 0
0 x
f ( x)的傅氏正弦级数
f ( x) bn sin nx (0 x ) n1
偶延拓: g( x) f ( x)
y
则F ( x)
f f
(x) ( x)
(0 x )；
f
(
x)
2 3
2
8
n1
(1)n n2
cos
nx
(0 x ).
三、 x (1)n1 1 sinnx x (, )； .
2 n1
n
4Hale Waihona Puke Baidu