常见立体图形展开图
小学六年级立体图形三视图及展开图
立体图形三视图及展开图一、知识点(一)三视图在观察物体的时候，我们往往可以从不同的角度进行观察，角度不同，看到的风景就会不同。
比如：我们可以从正面看、上面看、左面看，看到的图形分别称为正视图、俯视图和左视图，并且容易发现：正面看和后面看，上面看和下面看，左面看和右面看得到的图形是相同的。
对于较复杂的立体图形，通过三视图法往往可以很方便地计算出表面积(二)正方体的展开图展开后由上、下、左、右、前、后六个正方形面组成，这六个正方形面的面积都相等，我们采用不同的剪开方法，共可以得到下面(三)长方体的展开图：观察上图可以发现，长方体的展开图由6个长方形组成，相对面的面积相等，即S上＝S下＝长×宽，S左＝S右＝宽×高，S前＝S后＝长×高。
(四)判断图形折叠后能否围成长方体或正方体的方法判断一个图形折叠后能否围成正方体或长方体，首先，要依据它们各自展开图的特点判断；其次，可以运用空间想象或实际操作进一步判断。
二、题型(一)展开图与对立面【例1.1】水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如下图，是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面，“程”表示下面。
则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的________________________。
【答案】后面、上面、左面【解析】易知“你”、“程”相对，“前”、“锦”相对，“祝”、“似”相对，因此“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的后面、上面、左面。
【例1.2】一个数学玩具的包装盒是正方体，其表面展开图如下。
现在每方格内都填上相应的数字。
已知将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面的两数之和为“3”，则填在A、B、C内的三个数字依次是___________。
【答案】3、1、2【解析】面上的数是“0”，与“B”相对的面上的数是“2”，与“C"相对的面上的数是“1”。
立体图形的展开图全解课件
在选择立体图形展开图材料时，应注 意材料的耐用性，以确保展开后的图 形能够持久保存和使用。
考虑材料的可塑性
在选择立体图形展开图材料时，应考 虑材料的可塑性，以便更好地实现展 开效果。
谢谢您的聆听
THANKS
导致操作失误。
正确使用工具展开立体图形源自要使用剪刀、刀片 等工具，使用时应保持工具的锋利 和稳定，避免因工具问题导致操作 失误或安全事故。
注意个人防护
在展开立体图形时，应注意个人防 护，如戴手套、口罩等，以防止操 作过程中受伤或吸入有害物质。
注意精度问题
选择合适的材料
在展开立体图形时，应选 择合适的材料，如纸张、 布料等，以确保展开后的 精度和效果。
来模拟真实情况。
日常生活
家电、家具、玩具等物品 的设计和制造都需要考虑 立体图形的结构和特点。
02
立体图形的展开过程
展开图的定义与分类
展开图定义
立体图形的表面在平面上展开后形成的图 形。
展开图分类
轴对称展开图、非轴对称展开图。
应用领域
建筑设计、机械制造、包装设计等。
展开图的绘制方法
01
02
03
正方体展开图之“田”字型
该展开图由4个等腰三角形和1个正方形组成，也是正方体的另一 种常见展开方式。
正方体展开图之“凹”字型
该展开图由3个相同的等腰三角形和1个矩形组成，是一种特殊的 正方体展开方式。
长方体的展开图
长方体展开图之“L”型
01
该展开图由2个相同的等腰三角形和1个矩形组成，是长方体的
常见展开方式之一。
通过展开图，设计师可以 预见包装在生产、组装和 运输过程中可能遇到的问 题，提前进行优化和改进 。
正方体的11种展开图形
02
CHAPTER
正方体的展开图形分类
一字型展开图形
总结词
一字型展开图形是最简单的正方体展 开图形，它由两个矩形和四个等长的 三角形组成。
详细描述
在展开后，正方体的一个面完全展开 ，与底面平行，其他五个面则形成等 长的三角形。这种展开图形通常用于 折叠正方体纸盒。
L型展开图形
总结词
L型展开图形由一个矩形和两个等长的三角形组成，展开后的形状类似于英文 字母"L"。
VS
详细描述
在正方体的展开图形中，面数相等是判断 是否能够还原成正方体的一个重要标准。 如果展开图形中的面数与正方体的面数相 等，那么这个图形就有可能通过折叠还原 成正方体。
04
CHAPTER
正方体展开图形的应用
折纸艺术
折纸艺术是一种以纸张为主要材料的艺术形式，通过折叠、剪裁、拼贴等手法创 造出各种形态和形象。正方体的展开图形在折纸艺术中有着广泛的应用，如千纸 鹤、纸盒等。
在展开后，正方体的八个角完全展开， 形成等长的三角形，同时还有一个正 方形面完全展开。这种展开图形通常 用于折叠正方体纸盒的顶部和底部以 及四个侧面。
混合型展开图形
总结词
混合型展开图形由多种形状组成，包括矩形、三角形和正方形等。
详细描述
混合型展开图形是最复杂的正方体展开图形，它由多种形状组合而成，通常用于折叠复杂的正方体纸盒结构。这 种展开图形需要较高的空间想象能力和手工技巧才能完成。
谢谢
折纸艺术不仅可以培养人的创造力和动手能力，还可以作为装饰品和礼物赠送给 亲朋好友，传递美好祝福。
空间几何教学
空间几何是数学中的一门学科，主要研究空间图形的性质和 关系。正方体的展开图形是空间几何教学中的一个重要内容 ，通过让学生亲手制作正方体的展开图形，可以帮助学生更 好地理解空间几何的概念和原理。
初一数学立体图形的展开图含答案
初一数学立体图形的展开图中考要求例题精讲正方形展开图的知识要点:第一类：有6种。
特点：是4个连成一排的正方形，其两侧各有一个正方形简称“141型〃第二类：有3种。
特点：是有3个连成一排的正方形，其两侧分别有1个和两个相连的正方形;简称“132第四类：仅有1种，三个连成一排的正方形的一侧，还有3个连成一排的正方形，可简称“33型〃正方形展开图的识别方法：1.排除法：（1）由少于或多于6个的正方形组成的图形不是正方形的平面展开图（2）有“凹〃字型或“田〃字型部分的平面图形不是正方体的展开图2.对比法：对照上面的四种规则进行对照；从展开图可以看出，在正方形的展开图中不会出现如下图所示的“凹〃字型和“田〃字型结构。
模块一长方体的展开图长方体展开图【例1】下列图形中，不能表示长方体平面展开图的是（）A. L B . I—C C. ---------- D. '— '—【解析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题.选项A, B, C经过折叠均能围成长方体，D两个底面在侧面的同一侧，缺少一定底面，所以不能表示长方体平面展开图.故选D.【答案】D【巩固】如图是无盖长方体盒子的表面展开图（重叠部分不计），则盒子的容积为（）A. 4 【解析】B. 6【答案】 由图可知，无盖长方体盒子的长是3,宽是2 盒子的容积为3x2x1=6.故选B . B【巩固】 下图是一个长方体纸盒的展开图，请把5, 3,成长方体后，相对面上的两数互为相反数.li1 TI LTD . 15 高是1,所以盒子的容积为3x2x1=6. 5, -1, -3, 1分别填入六个长方形，使得按虚线折 【解析】根据题意，找到相对的面，把互为相反数的数字分别填入即可.正方体展开图【答案】C展开图；5可以拼成一个正方体.故选C.【答案】C【答案】C【巩固】将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（）【解析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题.注意带图案的三个面相交于一点.而通过折叠后A、B都不符合，且D折叠后图案的位置正好相反，所以能得到的图形是C.【答案】C.【例4】将如图正方体的相邻两面上各画分成九个全等的小正方形，并分别标上0、x两符号.若下列有一图形为此正方体的展开图，则此图为（）【解析】此题主要根据0、x两符号的上下和左右位置判断，可用排除法.由已知图可得，0、x两符号的上下位置不同，故可排除A、B;又注意到0、x两符号之间的空行有3列.【答案】C.【解析】本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力.在验证立方体的展开图式，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断.根据有图案的表面之间的位置关系，正确的展开图是D.【答案】故选D.【点评】学生对相关图的位置想象不准确，从而错选，解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题.A、B、C、D、【巩固】如图，哪一个是左边正方体的展开图（【答案】D.成不相符，所以不是无盖的正方体盒子的平面展开图.【答案】D.【巩固】如图，是一个正方体盒子（6个面）的侧面展开图的一部分，请将它补充完整.模块二圆柱、圆锥的侧面展开图圆柱体【例6】圆柱的侧面展开图形是（）A.圆B.矩形C.梯形D .扇形【解析】略【答案】B【巩固】如图，已知MN是圆柱底面的直径，NP是圆柱的高，在高柱的侧面上，过点M, P嵌有一幅路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿NP剪开，所得的侧面展开图是（）A.产 F & p p c.尹尸D .尸尸【解析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题.因圆柱的展开面为长方形，MP展开应该是两直线，且有公共点M.故选A.【答案】A【例7】如图，MN是圆柱底面的直径，NO是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点M, P.有一条绕了四周的路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿NO剪开，所得的侧面展开图可以是：【解析】根据两点之间线段最短，剪开后所得的侧面展开图中的金属丝是线段，即可选择.注意P点在展开图中长边的中点处，圆柱侧面沿NO剪开，根据两点之间线段最短，剪开后所得的侧面是长方形，P点在展开图中长边的中点处，金属丝是线段，且从P点开始到M点为止.故选②.【答案】②圆锥体【例8】下列立体图形中，侧面展开图是扇形的是（）A. LB.C. ^—■D D , L——U【解析】根据圆锥的特征可知，侧面展开图是扇形的是圆锥. 【答案】B【巩固】我国运用长征火箭发射了百余颗人造卫星和5次神州飞船.如图是我国航天科技人员自主研究开发的长征系列火箭的立体图形.（火箭圆柱底面圆的周长不等于圆柱的高）（1）请你画出火箭的平面展开图，并标上字母.（2）写出平面图形中所有相等的量.【解析】结合圆柱和圆锥的侧面展开图的特征解题.（1）如右图.（2）OA=OB , CB = ED = AB , BE=CD , Z B = Z C = Z D = Z E = 90 .【答案】同解析.模块二其他立体图形的展开图【例9】若下列只有一个图形不是右图的展开图，则此图为何？（）【解析】选项D的四个三角形面不能折叠成原图形的四棱锥，而是有一个三角形面与正方形面重合，故不能组合成原题目的立体图形. 【答案】故选D.【巩固】图1是由白色纸板拼成的立体图形，将此立体图形中的两面涂上颜色，如图2所示.下列四个图形中哪一个是图2的展开图（）排除B、D,又阴影部分正方形在左，三角形在右.【答案】故选A.形，故可得答案.【答案】B.【巩固】下面四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是（）A. B. C.【解析】根据三棱柱的展开图的特点作答.八、是三棱柱的平面展开图；3、是三棱锥的展开图，故不是；C、是四棱锥的展开图，故不是；D、两底在同一侧，也不符合题意.故选A.【答案】A【解析】利用棱柱及其表面展开图的特点解题.A、B、C中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图.D 围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有.故D不能围成三棱柱.【答案】故选D.【例12］如图是一个正四面体，它的四个面都是正三角形，现沿它的三条棱AC、BC、CD剪开展成平面图形，则所得的展开图是（）【答案】B.【例13】哪种几何体的表面能展成如图所示的平面图形？需剪几条棱才能得到如此形状的平面图？你是怎样数出来的？请总结其规律.【解析】侧面为五个长方形，底边为五边形，故原几何体为五棱柱.五棱柱能展成如图所示的平面图形.由五棱柱展开成平面图形，需要剪9条棱.因为五棱柱共有15条棱，7个面，展成平面图形时，7个面需有6条棱相连，共需留下6条棱不剪，所以需剪15-6=9 (条)棱.总结规律：n棱柱有n+2个面，3n条棱，展成平面图形时，n+2个面需有n+1条棱相连，故应留下n+1条棱不剪，所以要把n棱柱展成平面图形，共需剪3n- (n+1) =(2n-1)条棱.(n +1)= 2 n -1.【答案】五棱柱；9; 3 n-【例14】下列图形是某些立体图形的平面展开图，说出这些立体图形的名称.【解析】由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图解题.根据图示可知：①五棱锥；②圆柱；③三棱柱.【答案】①五棱锥②圆柱③三棱柱由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题.6个正方形能围成一个正方体，个长方形和两个三角形能围成一个三棱柱，一个四边形和四个三角形能围成四棱锥，6个长方形可以围成长方体.课后作业【解析】圆锥的侧面展开图是扇形，故选C .【答案】C【巩固】图中四个图形是多面体的展开图，你能说出这些多面体的名称吗?【解析】 【答案】 正方体；三棱柱；四棱锥；长方体.【答案】故选D ..【答案】B4.如图，四种图形各是哪种立体图形的表面展开所形成的？画出相应的四种立体图形.【解析】根据四棱锥、三棱柱、圆柱、圆锥及其表面展开图的特点解答并作图.观察图形，由立体图形及其表面展开图的特点可知相应的立体图形顺次是四棱锥、三棱柱、圆柱、圆锥.作图如下：【答案】同解析.【点评】本题考查了几何体的展开图，可根据所给图形判断具体形状，也可根据所给几何体的面数进行判断.。
长方体正方体的展开图
在运输领域的应用
包装设计：利用展开图进行包 装结构设计，提高包装效率和 降低成本
集装箱设计：利用展开图进行 集装箱结构设计，提高集装箱 的装载效率和空间利用率
物流规划：利用展开图进行物 流规划，优化运输路线和降低 运输成本
仓储管理：利用展开图进行仓 储管理，提高仓储效率和降低 库存成本
在生产制造领域的应用
03
长方体和正方体的共同点：都有八个顶点、十 二条棱和六个面。
02
正方体：由六个正方形围成的立体图形，每个 面都是正方形。
04
长方体和正方体的区别：长方体的六个面形状 不同，正方体的六个面形状相同。
长方体正方体的特征
长方体：由六个长方形围成的 立体图形，相对的两个面是长 方形，其余四个面是正方形。
3
完成手绘展开图，并标注 尺寸和文字说明
6
使用CAD软件绘制展开图的方法
打开CAD软件，新建一个 文件。
在CAD中绘制长方体或正 方体的三维模型。
选择要展开的表面，点击 “展开”命令。
1
2
3
在展开的平面上绘制展开 图，可以添加尺寸和标注。
保存并关闭CAD文件。
4
5
长方体正方体的展开图的 实例分析
性。
实际应用案例2
包装设计：根据长方体正方体的展开图，设计合适的包装盒，节省材料， 提高空间利用率。
建筑设计：利用长方体正方体的展开图，设计建筑物的外墙和内部结构， 提高建筑的稳定性和美观性。
家具设计：根据长方体正方体的展开图，设计家具的各个部分，提高家具 的实用性和舒适性。
机械设计：利用长方体正方体的展开图，设计机械设备的各个部件，提高 设备的性能和可靠性。
长方体正方体的展开图的 未来发展与展望
正方体的11种展开图
正方体展开图
图形的展开与折叠对于同学来讲，是一个立体几何向平面几何的转化过程。
对于圆柱、圆锥、棱柱、棱锥而言，其展开图比较单一.而正方体的展开图因其样式多，是同学们在学习的难点。
实际上只要我们认真研究，不难将正方体的展开图归类为以下四类，共11个基本图形，离开了这11个基本图形,其都不会是正方体的展开图（这里应注意的是有的时候是这11个基本图形的翻折、旋转，也属于正方体的展开图）。
具体分类如下：
1．“141型”，中间一行4个作侧面，上下两个各作为上下底面,•共有6种基本图形.
2．“231型"，中间3个作侧面，共3种基本图形.
3．“222"型，两行只能有1个正方形相连。
4．“33”型，两行只能有1个正方形相连.
同学们，你能记住吗，只要记住口诀就成了.。
立体图形平面展开图
特点
步骤
选择合适的投影面，将立体图形放置 在投影面上，保持立体图形与投影面 平行，然后按照投影规律绘制平面展 开图。
平行投影法能够保持立体图形的形状 和大小不变，适用于绘制各种立体图 形的平面展开图。
中心投影法
01 02
定义
中心投影法是一种将三维立体图形投影到二维平面的方法，通过将立体 图形放置在投影中心，光源从中心发出照射到立体图形上，然后将投影 面上的影子描绘下来。
分类
常见的立体图形包括长方体、正 方体、圆柱体、圆锥体、球体等 。
立体图形的特点
01
02
03
空间性
立体图形存在于三维空间 中，具有空间占有明确的边界和结构。
方向的明确性
立体图形在空间中具有明 确的方向性，如上下、左 右、前后等。
立体图形与平面图形的区别
05
立体图形平面展开图的 实例分析
实例一：纸盒的折叠与展开
纸盒的折叠与展开是立体图形平面展开 图最直观的实例之一。通过将纸盒折叠 成所需的立体形状，然后展开成平面图 形，可以展示立体图形与平面图形之间
的转换关系。
纸盒的展开图通常采用轴对称或中心对 称的方式，以简化制作过程并确保展开 后的平面图形与原始立体形状相匹配。
长方体的平面展开图有多种形式，包括 一字型、L型、U型和十字型等。
VS
详细描述
长方体的平面展开图是由其六个面中的四 个或五个面围成的。其中，一字型展开图 是由长方体的三组对面分别平铺而成；L 型展开图是长方体的三组对面中，两组对 面平铺，另一组对面的一个面折叠；U型 展开图是长方体的三组对面中，两组对面 的两个面平铺，另一组对面的一个面折叠 ；十字型展开图则是长方体的两组对面平 铺，另外两组对面的两个面折叠。
立体图形的展开图全解
绿 兰黄
甲
乙
丙
红---绿（甲`乙） 黄---黑（乙`丙） 兰---白（甲`丙）
13 下面几个图形是一些常见几何体的 展开图，你能正确说出这些几何体的 名字么？
圆锥
四棱锥 长方体 三棱柱
三棱锥 三棱柱
正方体
圆柱
14 下图中的那些图形可以沿虚线折叠成 长方体包装盒，先想一想，再折一折。
（1）
（2）
（3）
D
（A） （B）
（C）
（D）
本节课你收获了什么?能谈一谈立体 图形与平面图形的关系?
W
K
Y
考考你
9 下面图形中，哪些是正方体的平面展开图？
1
祝
23 45 6
前你 似程
锦
ABC DE F
11 有一个正方体，在它的各个面上分别涂 了白、红、黄、兰、绿、黑六种颜色。甲、乙、 丙三位同学从三个不同的角度去观察此正方体， 结果如下图，问这个正方体各个面的对面的颜 色是什么？
黑 红兰
白 黄红
(1)侧面数(4个)≠底面边数(3条)，不能围成棱柱． (2)两底面在侧面展开图的同一端,不在两端,所以也不能 围成棱柱．
(3)可以折成棱柱
考考你
1.如图，上面的图形分别是下面哪个立体图形 展开的形状？把它们用线连起来.
2、下图是一些立体图形的展开图，用它 们能围成怎样的立体图形？
3．下图所示的平面图形中不能围成三棱 柱的是( B )
（4）
（1）（3）可以； （2）（4）不可以
15 把下面的正三角形沿虚线折叠 后的几何体是什么？
三棱锥（正四面体）
17 下列图形哪个不是长方体的表面展开图？ __（_B_）___
A C
4.3立体图形的表面展开图
设计并制作一个包装礼盒。
如何培养空间想象能力： 一是动手操作，仔细观察。 二是善于想象，善于总结 规律。
感谢各位同学精彩配合！ 恳请各位老师批评指正！
4.3立体图形的表面展开图
新四中心学校 邵冬梅
常见的立体图形
锥 体
球体
圆 锥
棱 锥
三棱锥 四棱锥 五棱锥 六棱锥
柱 体
圆 柱
棱 柱
三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
常见的立体图形的表面展开图
锥 体
球体
圆 锥
棱 锥
三棱锥 四棱锥 五棱锥 六棱锥
柱 体
圆 柱
棱 柱
三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
圆锥：
展开
圆柱：
展开
将一个多面体的表面沿某些棱剪开, 能展成平面图形。
棱锥
棱锥的侧
面展开后是若干 个三角形。
三棱锥
四棱锥
五棱锥
三棱锥：
同一个多面体 沿不同的棱剪开,得 到的平面展开图是 不一样的！
棱柱：
三棱柱：
四棱柱：
五棱柱：
全体总动员:
课堂小结:
1、立体图形与平面图形的关系：
大多数的立体图形可以展开为平面图形,平面图形可 以折叠成立体图形.
２、多面体的表面展开图：
棱柱的侧面展开图是若干个长方形，棱锥的侧面展开 图是若干个三角形。 同一个立体图形，按不同的方式展开可以得到不同的 展开图。
３、正方体的表面展开图：
相对两面不相邻，左右隔一列，上下隔一行。
下面几个图形是一些常见几何体的展开图， 你能正确说出这些几何体的名字么？
圆锥
四棱锥
长方体
三棱柱
三棱锥
立体图形的展开图(课件)
4.1.3 立体图形的展开图
立体图形的展开图
立体图形的展开图
立体图形的展开图
立体图形的展开图
1.了解立体图形可由平面图形围成，立体图形可 展开为平面图形;
2.掌握正方体的展开图，熟悉圆柱、圆锥、棱柱、 棱锥的表面展开图，能根据展开图判断立体图 形的形状.
立体图形的展开图
方
体
展
开
图
立体图形的展开图
正
第二类: "1-3-2"型
方
体
展
开
图
立体图形的展开图
正
第三类: "2-2-2"型
方
体
展
开
第四类: "3-3"型
图
立体图形的展开图
将正方体相对的面涂上颜色，你会发现什么?
对 面 相
隔
不 相 连
蓝
?
黄
立体图形的展开图
正 方 体 展 开 图
-
立体图形的展开图
自主反思：
立体图形的展开图 做个巧手活 看个妙东西 当个小帮手
立体图形的展开图
做个巧手活
1、折叠下列图形，看能不能折叠成一个立 体图形？
（1）
（2）
（3）
→经过动手折叠发现( 1 )( 3 )
可以折叠成一个（ 三棱锥 ）
立体图形的展开图
立体图形是平面图形围成的，把这些立 体图形的表面适当剪开，得到的平面图形称 为相应图形的展开图.
1.立体图形和平面图形之间的关系？
展开
有些立体图形
有些平面图形 折叠
平面图形 立体图形
2.常见的一些立体图形的展开图是 什么样的？正方体展开图中不能
正方体11种展开图
类型六：十字型
总结词
由两个相同的等腰直角三角形和两个相同的矩形组成的展开图，呈十字形状。
详细描述
这种类型的展开图在正方体的两个相对的面上保留了一个矩形，而其他面则由两个等腰直角三角形组成，整体呈 十字形状。
类型七：二字型
总结词
由两个相同的矩形和两个相同的等腰直角三角形组成的展开图，呈二字形状。
详细描述
正方体11种展开图
• 正方体的基本特性 • 正方体的11种展开图 • 正方体展开图的制作方法 • 正方体展开图的应用场景 • 正方体展开图的挑战与未来发展
01
正方体的基本特性
定义与特性
01
正方体是一种三维几何体，由六 个正方形面组成，每个面都是等 大的正方形。
02
正方体的体对角线、棱和面都是 对称的，具有高度的空间对称性 。
05
正方体展开图的挑战与未来发展
当前面临的挑战
寻找新的展开方式
目前已知的正方体展开图种类有 限，需要探索新的展开方式以丰
富其多样性。
证明无解的存在
对于某些特定条件下的正方体展开 问题，需要证明无解的存在，这需 要深入的数学理论支持。
实际应用中的限制
正方体展开图在实际应用中可能受 到材料、工艺等因素的限制，需要 解决这些实际问题。
正方体的几何属性
正方体的体积是边长的三次方，记作 V=a^3，其中a是正方体的边长。
正方体的表面积是6倍的边长的平方， 记作A=6a^2。
正方体的展开与折叠
正方体的展开是将正方体的表面沿某些边展开成平面的过程，通常用于制作纸盒等 包装材料。
正方体的折叠则是将展开的平面重新折回成立体的过程，常用于制作纸艺模型和玩 具。
详细描述