20题--相似三角形的实际应用(中考典型题例)
九年级数学相似三角形典型例题
九年级数学相似三角形典型例题一、利用相似三角形的判定定理证明相似例1：已知：在△ABC和△DEF中，∠A = ∠D = 60°，AB = 4，AC = 8，DE = 2，DF = 4。
求证：△ABC∽△DEF。
解析：1. 我们看相似三角形的判定定理。
对于两个三角形，如果它们的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
2. 在本题中：计算公式，公式。
并且已知∠A = ∠D = 60°。
因为公式且∠A = ∠D，所以根据相似三角形判定定理中的“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可以得出△ABC∽△DEF。
二、相似三角形性质的应用（求边长）例2：已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为公式，若AB = 6，则A'B'的长为多少？解析：1. 因为相似三角形对应边成比例。
设A'B' = 公式。
已知相似比公式。
2. 又已知公式，AB = 6，所以公式。
通过交叉相乘可得：公式。
即公式，解得公式，所以A'B'的长为9。
三、利用相似三角形解决实际问题（测量高度）例3：在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，求这棵大树的高度。
解析：1. 因为在同一时刻，太阳光下不同物体的高度和影长成正比。
设大树的高度为公式米。
可以得到两个相似三角形，一个是由小强及其影子构成，另一个是由大树及其影子构成。
2. 根据相似三角形的性质，对应边成比例。
则公式。
交叉相乘可得：公式。
计算得公式，解得公式米。
所以这棵大树的高度是9.6米。
初三相似三角形典型例题
初三相似三角形典型例题哎呀，初三的相似三角形，那可真是让人又爱又恨呐！就说有这么一道题，老师在黑板上画得那叫一个起劲。
题目是这样的：在三角形ABC 中，DE 平行于BC，AD = 3，BD = 2，AE = 4，求CE 的长。
我当时就蒙圈了，这咋整啊？心里直犯嘀咕：“这相似三角形也太难了吧！” 旁边的同桌小明倒是一脸镇定，还偷偷跟我说：“别慌，这题不难。
” 哼，他倒是轻松！老师开始讲解啦，“同学们，你们看，因为DE 平行于BC，所以三角形ADE 和三角形ABC 相似，这能理解吧？” 我心里想：“这能理解啥呀？” 但又不敢说出来。
老师接着说：“那相似三角形对应边成比例，AD 比AB 就等于AE 比AC 呀！” 我还是有点迷糊，就问老师：“老师，那AB 是多少呀？” 老师笑着说：“AB 不就是AD + BD 嘛，就是3 + 2 = 5 呀！” 我这才恍然大悟，“哎呀，我咋没想到呢！”然后我们就可以算出AC 的长是20 / 3 ，那CE 不就是AC - AE 嘛，也就是20 / 3 - 4 = 8 / 3 。
还有一道题也挺有意思的。
有两个三角形，一个三角形的三条边分别是3、4、5，另一个三角形的三条边分别是6、8、10，问这两个三角形是不是相似三角形。
我一开始还在那琢磨，这得怎么算呀？后来一想，这不是很明显嘛！第一个三角形三边之比是3 : 4 : 5，第二个三角形三边之比是6 : 8 : 10，约分一下不就是3 : 4 : 5 嘛！这两个三角形当然相似啦！我当时就特别高兴，心想：“嘿嘿，这道题可难不倒我！”相似三角形的题目有时候就像个迷宫，一不小心就会迷路。
但只要我们找到了关键的线索，就像找到了打开迷宫大门的钥匙，一下子就能走出来啦！我觉得呀，相似三角形虽然有时候让人头疼，但只要多做练习，多思考，就一定能把它拿下！。
初三数学相似三角形经典题(含答案)
相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，若是2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 以下命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似．（3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，而且点D 、点E 和ABC ∆的一个极点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出知足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地址，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，假设5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为，请你帮忙小明计算一下楼房的高度（精准到）．例8 格点图中的两个三角形是不是是相似三角形，说明理由．例9 依照以下各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是不是相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ．（2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，以下每一个图形中，存不存在相似的三角形，若是存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的依照．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长别离为五、1二、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，教师让同窗们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方式．小芳的测量方式是：拿一根高米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为米，如此即可明白旗杆的高．你以为这种测量方式是不是可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，咱们能够在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确信BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），而且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）若是有一个正方形的边在AB 上，另外两个极点别离在AC ，BC 上，求那个正方形的面积．。
九年级数学相似三角形的应用3
5 b
MH CD
BH BD
MH c
3 a
B
c
H D
c c MH + MH =1 a + b =1 3 5 1 1 1 + = MH= a b c
b 5
BH BH BD 20
1．两根电线杆
(1)现测得两杆相距１５米，问身高为1.8米的人能否不弯腰不低 头地通过两钢索交叉点下方? (2)当两杆相距２０米时，这个人能否通过？ (3)设钢索的交点为M﹐画MH⊥BD于H ，若ＡＢ＝a，CD=b， MH=c，写出a，b，c之间的关系式． (4)如图，将上题条件改为AB∥CD∥MH ，写出(3)中的 a﹑b﹑c的关系式. (5)连结AC ，延长HM交AC于F ，写出FH与a﹑b的关系式．
C
1.2m
B
2.7m
D
2.测量树高
(1) 小明测得长为1米的竹竿影长为0.9米，同时，小李测 得一棵树的影长为5.4米，请计算小明测量这棵树的高; (2)同时小王在测另一棵树时，发现树影的一部分在地面上， 而另一部分在墙上，他测得地面上的影长为2.7米，留在墙上 部分的影长为1.2米.请计算小王测量的这棵树的高.
A F C
a c
B H
M
b
D
1
a
+
1
b
=
1 c
1．两根电线杆
(1)现测得两杆相距１５米，问身高为1.8米的人能否不弯腰不 低头地通过两钢索交叉点下方? (2)当两杆相距２０米时，这个人能否通过？ (3)设钢索的交点为M﹐画MH⊥BD于H ，若ＡＢ＝a，CD=b， MH=c，写出a，b，c之间的关系式． (4)如图，将上题条件改为AB∥CD∥MH ，写出(3)中的 a﹑b﹑c的关系式. (5)连结AC ，延长HM交AC于F ，写出FH与a﹑b的关系式．
相似三角形典型例题30道
相似三角形典型例题30道1: 在△ABC中，DE是平行于BC的线段，且AD/DB = 2/3。
求DE/BC的比值。
2: 已知△PQR与△XYZ相似，PQ = 6，XY = 9，求QR 与YZ的比值。
3: 在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE平行于BC，已知AD = 3，DB = 6，求AE与EC的比值。
4: 已知两个相似三角形的面积比为4:9，求它们对应边的比。
5: 在△XYZ中，MN是平行于XY的线段，且XM = 4，MY = 6，求MN/XY的比值。
6: 在△ABC中，AD是BC的中线，且AE是AB的延长线，若AE与BC相交于点F，求AF与FB的比值。
7: 在△DEF中，GH平行于EF，已知DE = 8，DF = 10，求GH/EF的比值。
8: 在一个相似三角形中，若大三角形的周长是36，小三角形的周长是24，求它们的面积比。
9: 在△JKL中，MN平行于JK，若JM = 3，MK = 5，求MN/JK的比值。
10: 如果两个相似三角形的对应边长分别为5和15，求它们的面积比。
11: 在△ABC中，AD是BC的中线，且DE平行于BC，已知AD = 4，BC = 8，求DE的长度。
12: 已知相似三角形的对应边长比为1:4，求它们的周长比。
13: 在△PQR中，S是PQ的中点，若ST平行于QR，求PS与PQ的比值。
14: 在相似三角形中，若小三角形的每条边长为5，大三角形的对应边长为15，求它们的面积比。
15: 在一个三角形中，若一条边的延长线与另一边的平行线相交，则形成的两小三角形与原三角形相似，求相似比。
16: 在△XYZ中，若XY = 10，XZ = 15，YZ = 12，求△XYZ的周长。
17: 已知△ABC与△DEF相似，若AB = 4，DE = 8，求AC与DF的比值。
18: 在△GHI中，JK平行于GH，若GJ = 5，GH = 20，求JK的长度。
19: 在相似三角形中，若一个三角形的面积是36，另一个三角形的面积是144，求其对应边的比。
相似三角形中考试题汇编含答案
E 图5相似三角形填空题1、（2008XXXX ）如图，D E ，两点分别在ABC △的边AB AC ，上，DE 与BC 不平行，当满足条件（写出一个即可）时，ADE ACB △∽△．2、（2008XX 市）如果两个相似三角形的相似比是1:3，那么这两个三角形面积的比是．3、 （2008XX 市）如图5，平行四边形ABCD 中，E AE 交BD 于点F ，如果23BE BC =， 那么BFFD=． 4、（2008XX 市）在比例尺为1︰2000的地图上测得AB 两地间的图上距离为5cm ，则AB 两地间的实际距离为m ．5、（2008年XX 市）在Rt △ABC 中，∠C 为直角，CD ⊥ABBC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是 和；并写出它的面积比.6、（2008年XX 省XX 市）已知∠A ＝40°，则∠A 的余角等于＝________度. 7、（08XXXX ）如图，点1234A A A A ，，，在射线OA 上，点123B B B ，，在射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，213243A B A B A B ∥∥．若212A B B △，323A B B △的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和 为．8、（2008年荆州）两个相似三角形周长的比为2:3，则其对应的面积比为___________.D B（第16题图）1 2 3 4图3 （第12题）A BCE D 9、（2008年庆阳市） 两个相似三角形的面积比S 1:S 2与它们对应高之比h 1:h 2之间的关系为．10、（2008年庆阳市） 如图8，D 、E 分别是ABC △的边AB 、AC 上的点，则使AED △∽ABC △的条件是．11、（2008年•XX 市）如图4，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED=1，BD=4，那么AB=12、(2008年XX 省XX 市)12．如图，在ABC △中，D E ，分别是AB AC，的中点，若5DE ，则BC 的长是．13、(2008年XXXX 市)如图3，要测量A 、B 两点间距离，在O 点打桩，取OA 的中点 C ，OB 的中点D ，测得CD =30米，则AB =______米．14、（2008XX 建设兵团）如图，一束光线从y 轴上点A （0，1）发出，经过x 轴上点C 反射后，经过点B （6，2），则光线从A 点到B 点经过的路线的长度为．（精确到0.01）15、如图，ABC △中，AB AC >，D E ，两点分别在边AC AB ，上，且DE 与BC 不平行．请填上一个．．你认为合适的条件：，使ADE ABC △∽△．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）16、（2008XX ）如图5，若△ABC ∽△DEF ，则∠D 的度数为_____________.．17、（2008XX 市）如果两个相似三角形的相似比是1:3，那么这两个三角形面积的比是．18、 （2008XX 市）如图，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果23BE BC =，那么BFFD=． 一、选择题 1、（2008XX 襄樊）如图1,已知AD 与VC 相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°, ∠D=30°,则∠AOC 的大小为（ ）A.60°B.70°C.80°D.120°2、（2008XX 市） 如图，已知D 、E 分别是ABC ∆的AB 、AC 边上的点，,DE BC //且1ADE DBCE S S :=:8,四边形 那么:AE AC 等于（ ）EAFAB C D O 图1 B A C D EB 第18题图A BC D E F A ．1:9 B ．1:3 C ．1:8 D ．1:23、(2008 )如图G 是❒ABC 的重心，直线L 过A 点与BC 平行。
初三数学相似三角形典例及练习题含答案
初三数学相似三角形典例及练习题含答案典例典例1已知三角形ABC中，∠B=90°，AC=6cm，BD垂直AC于D点，BD=3cm，求BC的长度。
解析：根据勾股定理可得：BC^2 = AB^2 + AC^2 = BD^2 + AD^2 + AC^2因为∆ABC与∆ABD相似，所以可以得到：\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}即：AD = \frac{AB^2}{AC}将公式代入原式中，得到：BC^2 = BD^2 + \frac{AB^4}{AC^2} + AC^2因为AC=6，BD=3，所以代入可得：BC^2 = 3^2 + \frac{AB^4}{6^2} + 6^2化简得：BC^2 = AB^4 \cdot \frac{1}{36} + 45AB^4 = 36(BC^2 - 45)因此，我们可以得到：AB = \sqrt[4]{36(BC^2 - 45)}典例2已知两个三角形ABC和DEF，且它们相似，已知AC=20cm，EF=12cm，AB=15cm，计算DE的长度。
解析：由于两个三角形相似，所以可以得到：\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{EF}将已知条件带入即可得到：\frac{15}{DE}=\frac{20}{12}解得：DE = \frac{36}{4} = 9因此，DE的长度为9cm。
典例3已知三角形ABC和DEF相似，且AB=5cm，DE=2.5cm，BC=6cm，计算EF的长度。
解析：由于两个三角形相似，所以可以得到：\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}将已知条件带入即可得到：\frac{5}{2.5}=\frac{6}{EF}解得：EF = 12因此，EF的长度为12cm。
练习题练习题1已知三角形ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=4cm，D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，且∆DEF与∆ABC相似。
初三数学相似三角形典型例题(含答案)
初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。
2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。
3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。
4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。
本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。
相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。
（二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。
2. 比例性质： ①基本性质：a b cdad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d=⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b===+++⇒++++++=()03. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF=== ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
九年级数学下册 27.2 相似三角形 相似三角形的应用例
相似三角形的应用例析相似三角形是平面几何中的重要的内容之一，其应用十分广泛．举例说明如下．1、测量底部不能到达的建筑物的高例1 如图，花丛中有一路灯杆AB．在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G 点，DG=5米，这时小明的影长GH＝5米．如果小明的身高为1．7米，求路灯杆AB的高度(精确到0．1米)．2、测量池塘宽例2如图，有一池塘要测量两端AB的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长至D，使AC并延长至D，使15CD CA=，连接BC并延长至E，使15CE CB=，连接ED，如果量出25mDE=，那池塘宽多少？B3、利用影长测量建筑物的高度例3高4m的旗杆在水平地面上的影子长6m，此时测得附近一个建筑物的影子长24m，求该建筑物的高度．4、测量电线杆的高例4 如图，一人拿着一支刻有厘米刻度的小尺，站在距电线杆约30m 的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个刻度恰好遮住电线杆，已知手臂长约60cm ，求电线杆的高．5、测量台阶例5 汪老师要装修自己带阁楼的新居（右图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯 AC 时，为避免上楼时墙角F 碰头，设计墙角F 到楼梯的竖直距离FG 为1. 75m ．他量得客厅高 AB= 2. 8m ，楼梯洞口宽AF=2m ．阁楼阳台宽EF = 3m ．请你帮助汪老师解决下列问题：（1）要使墙角F 到楼梯的竖直距离FG 为1.75m ，楼梯底端C 到墙角D 的距离CD 是多少米？（2）在（1）的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶小于 20c m ，每个台阶宽要大于20c m ， 问汪老师应该将楼梯建儿个台阶？为什么？参考答案例1：【分析】 根据题意得：AB⊥BH ，CD⊥BH，FG⊥BH，在Rt△ABE 和Rt△CDE 中，∵AB⊥BH，CD⊥BH，∴CD//AB，可证得：△ABE∽△CDE，∴BD DE DE AB CD += ① 同理：BDGD HG HG AB FG ++= ②又CD ＝FG ＝1．7m ，由①、②可得：BD GD HG HG BD DE DE ++=+ 即BDBD +=+10533，解之得：BD ＝7．5m ， 将BD ＝7．5代入①得：AB=5．95m≈6m．答：路灯杆AB 的高度约为6m ．【点评】 本题通过多次平行线，利用相似三角形解决．把实际问题转化为相似问题，建立数学模型，做到学以致用．例2：【分析】这个问题的实质是△ECD∽△BCA，利用两个三角形相似求池塘宽DE AB CD AC AB DE ===155，.解： CD CA CE CB ==1515，∴==CD CA CE CB 15又∵∠ECD＝∠BCA∴△ECD∽△BCA∴==DE AB CD AC 15 ∴==⨯=AB DE m 5525125()． 【点评】 通过测量池塘宽，能够综合运用三角形相似的判定条件和性质解决问题，发展数学应用意识，加深对相似三角形的理解和认识．例3：【分析】 画出上述示意图，即可发现：△ABC ∽△A ′B ′C ′ 所以B A AB//＝C B BC //，于是得，BC =B A AB//×B /C /=16（m ）． 即该建筑物的高度是16m ．例4：【分析】 本题所叙述的内容可以画出如图那样的几何图形，即DF=60cm=0.6m ，GF=12cm=0.12m ，CE=30m ，求BC ．由于△ADF∽△AEC，AC AF EC DF =，又△AGF∽△ABC，∴ BC GF AC AF =，∴ BC GF EC DF =，从而可以求出BC 的长．解： ∵AE⊥EC，DF∥EC，∴∠ADF=∠AEC，∠DAF=∠EAC，∴△ADF∽△AEC．∴AC AF EC DF =． 又GF⊥EC，BC⊥EC，∴GF∥BC，∠AFG=∠ACB，∠AGF=∠ABC，∴△AGF∽△ABC，∴BC GF AC AF =， ∴BC GF EC DF =．又∵ DF=60cm=0.6m ，GF=12cm=0.12cm ，EC=30m ，∴ BC=6m．即电线杆的高为6m ．【点评】 “测量电线杆的高”问题本身就是利用数学问题去处理实际问题，还有许多实际问题都可以用数学问题来解决，运用相似三角形相似的相关知识解决在生活中的一些实际问题；必须要正确地理解知识的内涵，比如手臂向前伸直与地面平行，刻度平行于电线杆，由此构造“相似三角形对应成比例的线段”．在应用过程中，要时时围绕三角形相似这一宗旨．例5：【分析】 （1）根据题意有AF∥BC，∴∠ACB=∠GAF，又∠ABC=∠AFG=90º，∴△ABC∽△GFA．∴FGAB AF BC =得BC=3.2(m)，CD=2+3-3.2=1.8(m)． (2)设楼梯应建n 个台阶，则0.2n ＞2.8，0.2n ＜3.2，解得14＜n ＜16，∴楼梯应建15个台阶．。
中考相似三角形解答题精选
中考相似三角形解答题精选1.（2009年台湾） 某校一年级有64人，分成甲、乙、丙三队，其人数比为4：5：7。
若由外校转入1人加入 乙队，则后来乙与丙的人数比为何？ (A) 3：4 (B) 4：5 (C) 5：6 (D) 6：7 。
【关键词】比例 【答案】A2.（2009年长春）如图，在矩形ABCD 中，点E F 、分别在边AD DC 、上，ABE DEF △∽△，692AB AE DE ===，，，求EF 的长．【关键词】矩形的性质、直角三角形的有关计算、相似三角形有关的计算和证明 【答案】解：∵四边形ABCD 是矩形，AB=6 ∴∠A=∠D=90°，DC=AB=6 又∵AE=9∴在Rt △ABE 中，由勾股定理得：BE=117692222=+=+AB AE∵ABE DEF △∽△， ∴EFBEDE AB =，即EF 11726= ∴EF=31173．（2009年长春）如图，在ABCD 中，32BAD ∠=°，分别以BC CD 、为边向外作BCE △和DCF △，使BE BC DF DC EBC CDF ==∠=∠，，．延长AB 交边EC 于点H ，点H 在E C 、两点之间，连结AE AF 、．（1）求证：ABE FDA △≌△．（2）当AE AF ⊥时，求EBH ∠的度数．【关键词】平行四边形的性质、相似三角形有关的计算和证明 【答案】（1）证明：在平行四边形ABCD 中，AB=DC. 又∵DF=DC ， ∴AB=DF. 同理EB=AD.在平行四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC. 又∵∠EBC=∠CDF ， ∴∠ABE=∠ADF ，∴△ABE ≌△FDA.（4分）（2）解：∵△ABE ≌△FDA ， ∴∠AEB=∠DAF.∵∠EBH=∠AEB+∠EAB, ∴∠EBH=∠DAF+∠EAB. ∵AE ⊥AF ，∴∠EAF=90°. ∵∠BAD=32°，∴∠DAF+∠EAB=90°-32°=58°， ∴∠EBH=58°.4.（2009年安徽）如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A ＝∠B ＝α， 且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG ，如果α＝45°，AB ＝AF ＝3，求FG 的长．【关键词】直角三角形的有关计算、相似三角形有关的计算和证明 【答案】（1）证：△AMF ∽△BGM ，△DMG ∽△DBM ，△EMF ∽△EAM （写出两对即可） 以下证明△AMF ∽△BGM ．∵∠AFM ＝∠DME ＋∠E ＝∠A ＋∠E ＝∠BMG ，∠A ＝∠B ∴△AMF ∽△BGM ．（2）解：当α＝45°时，可得AC ⊥BC 且AC ＝BC∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM ＝又∵AMF ∽△BGM ，∴AF BMBG=∴2833AM BM BG AF ===又4AC BC ===，∴84433CG =-=，431CF =-=∴53FG ==5.（2009年郴州市）如图，在D ABC 中，已知DE ∥BC ，AD =4，DB =8，DE =3，（1）求ADAB的值，（2）求BC 的长【关键词】相似 【答案】解：（1）因为48AD DB ==，所以4812AB AD DB =+=+= 所以41123AD AB ==（2）因为DE BC ∥，所以ADE ABC △∽△所以DE ADBC AB=因为3DE =所以313BC =所以9BC =6.（2009年常德市）如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是△ABC 的边BC 上的高，AE 是⊙O 的直径，连接BE ，△ABE 与△ADC 相似吗？请证明你的结论．【关键词】相似 【答案】△ABE 与△ADC 相似．理由如下： 在△ABE 与△ADC 中∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ABE =90o ， ∵AD 是△ABC 的边BC 上的高， ∴∠ADC =90o ， ∴∠ABE =∠ADC ．又∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠BEA =∠DCA ． ∴△ABE ～△ADC ．7.(2009武汉)如图1，在Rt ABC △中，90BAC ∠=°，AD BC ⊥于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO 交AD 于F ，OE OB ⊥交BC 边于点E ． （1）求证：ABF COE △∽△；（2）当O 为AC 边中点，2AC AB =时，如图2，求OFOE 的值； （3）当O 为AC 边中点，AC n AB =时，请直接写出OFOE的值．【关键词】相似三角形的判定和性质 【答案】解：（1）AD BC ⊥，90DAC C ∴∠+∠=°． 90BAC BAF C ∠=∴∠=∠°，． 90OE OB BOA COE ∴∠+∠=⊥，°，90BOA ABF ∠+∠=°，ABF COE ∴∠=∠． ABF COE ∴△∽△；BBAACOE D DEC O F 图1图2F（2）解法一：作OG AC ⊥，交AD 的延长线于G ． 2AC AB =，O 是AC 边的中点，AB OC OA ∴==． 由（1）有ABF COE △∽△，ABF COE ∴△≌△， BF OE ∴=．90BAD DAC ∠+∠=°，90DAB ABD DAC ABD ∠+∠=∴∠=∠°，， 又90BAC AOG ∠=∠=°，AB OA =． ABC OAG ∴△≌△，2OG AC AB ∴==． OG OA ⊥，AB OG ∴∥，ABF GOF ∴△∽△，OF OG BF AB ∴=，2OF OF OGOE BF AB===．解法二：902BAC AC AB AD BC ∠==°，，⊥于D ，Rt Rt BAD BCA ∴△∽△．2AD ACAB∴==． 设1AB =，则2AC BC BO ===，12AD BD AD ∴===90BDF BOE BDF BOE ∠=∠=∴°，△∽△， BD BODF OE∴=． 由（1）知BF OE =，设OE BF x ==，5DF x =，x ∴=． 在DFB △中2211510x x =+，3x ∴=．OF OB BF ∴=-==322OF OE ∴==．（3）OFn OE=．8.(2009年上海市)已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD ∥BC ，P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足ABADPC PQ =（如图1所示）． BA D E C OFBADEC O F G（1）当AD=2，且点Q 与点B 重合时（如图2所示），求线段PC 的长；（2）在图中，联结AP ．当32AD =，且点Q 在线段AB 上时，设点B Q 、之间的距离为x ，APQ PBCS y S =△△，其中APQ S △表示△APQ 的面积，PBC S △表示PBC △的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当AD AB <，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图3所示），求QPC ∠的大小．【关键词】等腰直角三角形 相似三角形 共高三角形的面积 直角三角形相似的判定 【答案】（1）∵Rt △ABD 中，AB=2，AD=2， ∴ABADPC PQ ==1，∠D=45° ∴PQ=PC 即PB=PC ， 过点P 作PE ⊥BC ，则BE=2321=BC 。
中考数学——浙江中考真题——相似三角形
相似三角形浙江中考真题3. (2015•宁波)如图，将△ABC 沿着过AB 中点D 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的A 1处，称为第1次操作，折痕DE 到BC 的距离记为h 1；还原纸片后，再将△ADE 沿着过AD 中点D 1的直线折叠，使点A 落在DE 边上的A 2处，称为第2次操作，折痕D 1E 1到BC 的距离记为h 2；按上述方法不断操作下去…，经过第2015次操作后得到的折痕D 2014E 2014到BC 的距离记为h 2015. 若h 1=1，则h 2015的值为( ) A. 201512B.201412C.2015112-D.2014122-4. (2015•舟山)如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ，直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，AC 与DF 相交于点G ，且AG =2，GB =1，BC =5，则DEEF的值为( ) A.12B. 2C.25D.355. (2015•嘉兴)如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F. AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则DEEF的值为()A. 12B. 2C.25D.35二. 填空题(共5小题)7. (2016•舟山)如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF的长是.8. (2015•湖州)已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3(如图所示)，以此类推…. 若A1C1=2，且点A，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是.9. (2015•金华)如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F. 若BC=2，则EF的长是.10. (2015•嘉兴)如图是百度地图的一部分(比例尺1：4000000). 按图可估测杭州在嘉兴的南偏西度方向上，杭州到嘉兴的图上距离约2cm，则杭州到嘉兴的实际距离约为.三. 解答题(共7小题)12. (2016•宁波)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.(1)如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线.(2)在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数.(3)如图2，△ABC中，AC=2，BC CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长.15. (2015•武汉)已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8.(1)如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K.①求EFAK的值；②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；(2)若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长.16. (2014•绍兴)课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm. 要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上. 问加工成的正方形零件的边长是多少mm？小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题.(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算.(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.17. (2013•绍兴)在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上.(1)如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD.(2)如图2，AC：AB=1EF⊥CE，求EF：EG的值.相似三角形浙江中考真题参考答案与试题解析一. 选择题(共5小题)1. (2017•杭州)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则()A. B. C. D.【分析】根据题意得出△ADE∽△ABC，进而利用已知得出对应边的比值.【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵BD=2AD，∴===，则=，∴A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B.【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出对应边的比是解题关键.2. (2016•杭州)如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=()A. B. C. D. 1【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解.【解答】解：∵a∥b∥c，∴==.故选：B.【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.3. (2015•宁波)如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC 的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC的距离记为h2015. 若h1=1，则h2015的值为()A. B. C. 1﹣ D. 2﹣【分析】根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA'=DB，从而可得∠ADA'=2∠B，结合折叠的性质，∠ADA'=2∠ADE，可得∠ADE=∠B，继而判断DE∥BC，得出DE是△ABC的中位线，证得AA1⊥BC，得到AA1=2，求出h1=2﹣1=1，同理h2=2﹣，h3=2﹣=2﹣，于是经过第n次操作后得到的折痕D n﹣1E n﹣1到BC的距离h n=2﹣，求得结果h2015=2﹣.【解答】解：连接AA1，由折叠的性质可得：AA1⊥DE，DA=DA1，又∵D是AB中点，∴DA=DB，∴DB=DA1，∴∠BA1D=∠B，∴∠ADA1=2∠B，又∵∠ADA1=2∠ADE，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，∴AA1⊥BC，∴AA1=2，∴h1=2﹣1=1，同理，h2=2﹣，h3=2﹣=2﹣，…∴经过第n次操作后得到的折痕D n﹣1E n﹣1到BC的距离h n=2﹣，∴h2015=2﹣，故选：D.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，平行线等分线段定理，找出规律是解题的关键.4. (2015•舟山)如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为()A. B. 2 C. D.【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算，可求得答案.【解答】解：∵AG=2，GB=1，∴AB=AG+BG=3，∵直线l1∥l2∥l3，∴=，故选：D.【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键.5. (2015•嘉兴)如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F. AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为()A. B. 2 C. D.【分析】根据AH=2，HB=1求出AB的长，根据平行线分线段成比例定理得到=，计算得到答案.【解答】解：∵AH=2，HB=1，∴AB=3，∵l1∥l2∥l3，∴==，故选：D.【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系列出比例式是解题的关键.二. 填空题(共5小题)6. (2017•杭州)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于78.【分析】由勾股定理求出BC==25，求出△ABC的面积=150，证明△CDE∽△CBA，得出，求出CE=12，得出BE=BC﹣CE=13，再由三角形的面积关系即可得出答案.【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，∴BC==25，△ABC的面积=AB•AC=×15×20=150，∵AD=5，∴CD=AC﹣AD=15，∵DE⊥BC，∴∠DEC=∠BAC=90°，又∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CBA，∴，即，解得：CE=12，∴BE=BC﹣CE=13，∵△ABE的面积：△ABC的面积=BE：BC=13：25，∴△ABE的面积=×150=78；故答案为：78.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键7. (2016•舟山)如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF的长是7.【分析】方法1，根据题意，易得△CDF与四边形AFEB的面积相等，再根据相似三角形的相似比求得它们的面积关系比，从而求DF的长.方法2，利用相似三角形的性质和三角形的面积相等即可得出结论.【解答】解：方法1，∵△ABC与△DEC的面积相等，∴△CDF与四边形AFEB的面积相等，∵AB∥DE，∴△CEF∽△CBA，∵EF=9，AB=12，∴EF：AB=9：12=3：4，∴△CEF和△CBA的面积比=9：16，设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积=7k，∵△CDF与四边形AFEB的面积相等，∴S△CDF=7k，∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形，∴面积比等于底之比，∴DF：EF=7k：9k，∴DF=7.故答案为：7.方法2，如图，过点A作AM⊥BC，过点D作DN⊥BC，∵DE∥AB，∴△ABC∽△FEC，∴=，∵S△ABC=S△DEC，∴BC×AM=EC×DN，∴，∵AB∥DE，∴△ABM∽DEN，∴，∴，∴DE=16，∴DF=DE﹣EF=7，故答案为：7.【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是会用割补法计算面积.8. (2015•湖州)已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3(如图所示)，以此类推…. 若A1C1=2，且点A，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是.【分析】延长D4A和C1B交于O，根据正方形的性质和三角形相似的性质即可求得各个正方形的边长，从而得出规律，即可求得正方形A9C9C10D10的边长.【解答】解：延长D4A和C1B交于O，∵AB∥A2C2，∴△AOB∽△D2OC2，∴=，∵AB=BC1=1，D C2=C1C2=2，∴==∴OC2=2OB，∴OB=BC2=3，∴OC2=6，设正方形A2C2C3D3的边长为x1，同理证得：△D2OC2∽△D3OC3，∴=，解得，x1=3，∴正方形A2C2C3D3的边长为3，设正方形A3C3C4D4的边长为x2，同理证得：△D3OC3∽△D4OC4，∴=，解得x2=，∴正方形A3C3C4D4的边长为；设正方形A4C4C5D5的边长为x3，同理证得：△D4OC4∽△D5OC5，∴=，解得x=，∴正方形A4C4C5D5的边长为；以此类推….正方形A n﹣1C n﹣1C n D n的边长为；∴正方形A9C9C10D10的边长为.故答案为.【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，求得前五个正方形的边长得出规律是解题的关键.9. (2015•金华)如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F. 若BC=2，则EF的长是5.【分析】由直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，得到△ABC∽△AEF，推出比例式求得结果.【解答】解：∵l3∥l6，∴BC∥EF，∴△ABC∽△AEF，∴=，∵BC=2，∴EF=5.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，熟记定理是解题的关键.10. (2015•嘉兴)如图是百度地图的一部分(比例尺1：4000000). 按图可估测杭州在嘉兴的南偏西45度方向上，杭州到嘉兴的图上距离约2cm，则杭州到嘉兴的实际距离约为80km.【分析】先根据方向角得到杭州在嘉兴的方位，再量出杭州到嘉兴的图上距离，再根据比例尺的定义即可求解.【解答】解：测量可知杭州在嘉兴的南偏西45度方向上，杭州到嘉兴的图上距离约2cm，2×4000000=8000000cm=80km.故答案为：45，80km.【点评】考查了方向角和比例尺的定义，比例尺=图上距离：实际距离.三. 解答题(共7小题)11. (2017•杭州)如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若AD=3，AB=5，求的值.【分析】(1)由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；(2)△ADE∽△ABC，，又易证△EAF∽△CAG，所以，从而可知.【解答】解：(1)∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，∵∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，(2)由(1)可知：△ADE∽△ABC，∴=由(1)可知：∠AFE=∠AGC=90°，∴∠EAF=∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴，∴=【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于中等题型.12. (2016•宁波)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.(1)如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线.(2)在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数.(3)如图2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长.【分析】(1)根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可.(2)分三种情形讨论即可①如图2，当AD=CD时，②如图3中，当AD=AC时，③如图4中，当AC=CD时，分别求出∠ACB 即可.(3)设BD=x，利用△BCD∽△BAC，得=，列出方程即可解决问题.【解答】解：(1)如图1中，∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线.(2)①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC==66°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°.③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃.∴∠ACB=96°或114°.(3)由已知AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴=，设BD=x，∴()2=x(x+2)，∵x＞0，∴x=﹣1，∵△BCD∽△BAC，∴==，∴CD=×2=﹣.【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论思想，属于中考常考题型.13. (2016•杭州)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且.(1)求证：△ADF∽△ACG；(2)若，求的值.【分析】(1)欲证明△ADF∽△ACG，由可知，只要证明∠ADF=∠C即可.(2)利用相似三角形的性质得到=，由此即可证明.【解答】(1)证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，∴∠ADF=∠C，∵=，∴△ADF∽△ACG.(2)解：∵△ADF∽△ACG，∴=，又∵=，∴=，∴=1.【点评】本题考查相似三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识，记住相似三角形的判定方法是解决问题的关键，属于基础题中考常考题型.14. (2015•杭州)如图，在△ABC中(BC＞AC)，∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E.(1)若=，AE=2，求EC的长；(2)设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P. 问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由.【分析】(1)易证DE∥BC，由平行线分线段成比例定理列比例式即可求解；(2)分三种情况讨论：①若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线；②若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线；③当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线.【解答】解：(1)∵∠ACB=90°，DE⊥AC，∴DE∥BC，∴，∵，AE=2，∴EC=6；(2)①如图1，若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线.证明：∵∠CFG+∠CGF=90°，∠ECD+∠PCG=90°，又∵∠CFG=∠ECD，∴∠CGF=∠PCG，∴CP=PG，∵∠CFG=∠ECD，∴CP=FP，∴PF=PG=CP，∴线段CP是△CFG的FG边上的中线；②如图2，若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线.证明：∵DE⊥AC，∴∠EDC+∠ECD=90°，∵∠CFG=∠EDC，∴∠CFG+∠ECD=90°，∴∠CPF=90°，∴线段CP为△CFG的FG边上的高线.③如图3，当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线.【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定、三角形的有关概念，分类讨论，能全面的思考问题是解决问题的关键.15. (2015•武汉)已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8.(1)如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K.①求的值；②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；(2)若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长.【分析】(1)①根据EF∥BC，可得，所以，据此求出的值是多少即可.②首先根据EH=x，求出AK=8﹣x，再根据=，求出EF的值；然后根据矩形的面积公式，求出S与x的函数关系式，利用配方法，求出S的最大值是多少即可.(2)根据题意，设正方形的边长为a，分两种情况：①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时；②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时；分类讨论，求出正方形PQMN的边长各是多少即可.【解答】解：(1)①∵EF∥BC，∴，∴=，即的值是.②∵EH=x，∴KD=EH=x，AK=8﹣x，∵=，∴EF=，∴S=EH•EF=x(8﹣x)=﹣+24，∴当x=4时，S的最大值是24.(2)设正方形的边长为a，①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时，，解得a=.②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=12÷2=6，∴AB=AC=，∴AB或AC边上的高等于：AD•BC÷AB=8×12÷10=∴，解得a=.综上，可得正方形PQMN的边长是或.【点评】(1)此题主要考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形.(2)此题还考查了二次函数的最值的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值.(3)此题还考查了矩形、正方形、直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握.16. (2014•绍兴)课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm. 要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上. 问加工成的正方形零件的边长是多少mm？小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题.(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算.(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.【分析】(1)设PN=2y(mm)，则PQ=y(mm)，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出即可；(2)设PN=x，用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答.【解答】解：(1)设矩形的边长PN=2y(mm)，则PQ=y(mm)，由条件可得△APN∽△ABC，∴=，即=，解得y=，∴PN=×2=(mm)，答：这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm；(2)设PN=x(mm)，矩形PQMN的面积为S(mm2)，由条件可得△APN∽△ABC，∴=，即=，解得PQ=80﹣x.∴S=PN•PQ=x(80﹣x)=﹣x2+80x=﹣(x﹣60)2+2400，∴S的最大值为2400mm2，此时PN=60mm，PQ=80﹣×60=40(mm).【点评】本题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题的关键，此题规律性较强，是道好题.17. (2013•绍兴)在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上.(1)如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD.(2)如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值.【分析】(1)根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根据AC：AB=1：2及点E为AB的中点，得出AC=BE，再利用AAS证明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD；(2)作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先证明四边形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，则∠FEQ=∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根据正弦函数的定义得出EQ=BE，在△AEH中，根据余弦函数的定义得出EH=AE，又BE=AE，进而求出EF：EG的值.【解答】(1)证明：如图1，在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB.∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC，∵点E为AB的中点，∴AB=2BE，∴AC=BE.在△ACD与△BEF中，，∴△ACD≌△BEF，∴CD=EF，即EF=CD；(2)解：如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，∴四边形EQDH是矩形，∴∠QEH=90°，∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG，又∵∠EQF=∠EHG=90°，∴△EFQ∽△EGH，∴EF：EG=EQ：EH.∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，∴∠B=30°.在△BEQ中，∵∠BQE=90°，∴sinB==，∴EQ=BE.在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴cos∠AEH==，∴EH=AE.∵点E为AB的中点，∴BE=AE，∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：=：3.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度. 解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形.。
中考数学专题训练：相似三角形模型的运用(附参考答案)
中考数学专题训练：相似三角形模型的运用（附参考答案）1．如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长是( )A．14 B．12.4C．10.5 D．9.32．如图，把△ABC绕点A旋转得到△ADE，当点D刚好落在边BC上时，连接CE，设AC，DE相交于点F，则图中相似三角形的对数是( )A．3对B．4对 C．5对D．6对3．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使边AD与对角线BD 重合，折痕为DG，记与点A重合的点为A′，则△A′BG的面积与该矩形的面积比为( )A．112B．19C．18D．164．如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC，GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD，OB，则下列结论一定正确的是( )①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③BO平分∠CBG；④∠AOD＝45°.A．①③ B.①②③C．②③ D.①②④5．如图，BD，CE为△ABC的高，且BD与CE交于点O．(1)求证：△AEC∽△ADB;(2)若∠A＝40°，求∠BOC的度数．的值．6．)如图，AG∥BD，AF∶FB＝1∶2，BC∶CD＝2∶1，求GEED7．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC，BD的交点，AF平分∠DAC交BD 于点G，交DC于点F.(1)求证：△AEG∽△ADF；(2)判断△DGF的形状并说明理由；(3)若AG＝1，求GF的长．8．如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为边BC上的一点，点D为边AC上的一点，连接AP，PD，∠APD＝60°.(1)求证：①△ABP∽△PCD；②AP2＝AD·AC.(2)若PC＝2，求CD和AP的长．9．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点(点P不与点A，B重合)，连接PD，将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF.(1)求∠PBE的度数；的值．(2)若△PFD∽△BFP，求APAB10．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在同一条直线上，连接AF并延长交边CD于点M.(1)求证：△MFC∽△MCA；(2)求证：△ACF∽△ABE；(3)若DM＝1，CM＝2，求正方形AEFG的边长．参考答案1．C 2．B 3．C 4．D5．(1)证明略(2)∠BOC＝140°6．GEED ＝327．(1)证明略(2)△DGF是等腰三角形，理由略(3)GF＝√2－1 8．(1)①证明略②证明略(2)CD＝23AP＝√79．(1)∠PBE＝135°(2)APAB 的值为1210．(1)证明略(2)证明略(3)正方形AEFG的边长为3√55。
初三数学相似三角形典型例题(含答案)
【典型例题】例1. （1）在比例尺是1：8000000的《中国行政区》地图上，量得A 、B 两城市的距离是7.5厘米，那么A 、B 两城市的实际距离是__________千米。
（2）小芳的身高是 1.6m ，在某一时刻，她的影子长2m ，此刻测得某建筑物的影长是18米，则此建筑物的高是_________米。
例2. 如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式错误的是：____________A AD AB AEAC B CE CF EAFB ..==C DE BC ADBDD EF AB CFCB..==例3. 如图，在等边△ABC 中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且∠APD=60°，BP CD ABC ==123，，求△的边长例4. 如图：四边形ABEG 、GEFH 、HFCD 都是边长为a 的正方形，（1）求证：△AEF ∽△CEA （2）求证：∠AFB+∠ACB=45°例5. 已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于点O ，EF 经过点O 且和两底平行，交AB 于E ，交CD 于F求证：OE=OF这是梯形中的一个性质，由此可知，在AD、BC、EF中，已知任何两条线段的长度，都可以求出第三条线段的长度。
例6. 已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F求证：AEAFACAB例7. 如图，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD=∠B，若AD=6，AB=8，BD=7，求DC 的长。
例8. 如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC于F，过F作FG∥AB交AE于G，例9. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。
分析：因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三角形。
把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。
相似三角形中考考点归纳与典型例题
相似三角形中考考点归纳与典型例题相似三角形是初中数学中常出现的重要概念，它是几何学中研究两个三角形之间形状关系的一个重要内容。
掌握相似三角形的性质和应用是解决几何问题的基础。
相似三角形的重要性质：1. 定义：如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则它们是相似三角形。
记作ΔABC ~ ΔDEF。
其中A、B、C是ΔABC的顶点，D、E、F是ΔDEF的顶点。
2. 判定定理：(1) AA相似定理：如果两个三角形的两个对应角相等，则它们是相似的。
(2) AAA相似定理：如果两个三角形的三个对应角相等，则它们是相似的。
3. 边比例关系：相似三角形的对应边成比例。
即对于ΔABC ~ΔDEF，有AB/DE = BC/EF = AC/DF。
4. 高比例关系：相似三角形的高线成比例。
即对于ΔABC ~ΔDEF，有h1/h2 = AB/DE = BC/EF = AC/DF。
5. 相似三角形的性质：(1) 对应角相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
(2) 对应边成比例，即AB/DE = BC/EF = AC/DF。
(3) 相似三角形的顶角相等，边比例相等，它们的面积比例也相等。
(4) 相似三角形的高线间成比例。
相似三角形的典型例题：例题1：如图，在直角三角形ABC中，∠B = 90°，BM是AC的中线，求比值AB/BC。
解：由与直角三角形的垂直关系可知∠A = ∠CBM，∠C = ∠ABM。
所以∠ABC ~ ∠CBM。
根据相似三角形的性质可得AB/BC = CB/BM = 2/1，即AB/BC = 2。
例题2：如图，上底AE = 4cm，下底BC = 8cm，连结CD，且CD = AE，点F是AE的中点，连接BF，求比值∠AFB/∠ACD。
解：由AE = CD可得∠A = ∠C。
又由BF = FE可得∠B = ∠AFE。
所以∠AFB ~ ∠ACD。
根据相似三角形的性质可得∠AFB/∠ACD = AB/AD= BC/CD = 2。
中考中相似三角形的实际应用
中考中相似三角形的实际应用河南何冬玲以现实生活为背景的问题，已成为近年中考题的一个亮点，它有利于动手操作能力、识图能力及运用数学知识解决实际问题能力的培养．本文就以年中考题为例进行说明．例（芜湖市课改实验区）小胖和小瘦去公园玩标准的跷跷板游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说：“真可惜！我只能将你最高翘到米高，如果我俩各边的跷跷板再伸长相同的一段长度，那么我就能翘到米，甚至更高！”（）你认为小胖的话对吗？请你作图分析说明；（）你能否找出将小瘦翘到米高的方法？试说明．解：（）小胖的话不对．小胖说“真可惜！我现在只能将你最高翘到米高”，情形如图所示，是标准跷跷板支架的高度，是跷跷板一端能翘到的最高高度米，是地面．∵，，，∴．∴．又∵此跷跷板是标准跷跷板，，∴，而米，得米．若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为米．如图所示，米，米．∵，∴，即．∴，同理可得．∴，由米，得米．综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架高度的两倍，所以不可能翘得更高．（）方案一：如图所示，保持长度不变．将延长一半至，即只将小瘦一边伸长一半．使，则．由，得，∴米．方案二：如图所示，将支架升高米．，，又因为米．∴，∴米．点评：本例利用相似三角形性质解决了生活中常见的跷跷板游戏问题，达到了学以致用的目的，很有实际意义．个人整理，仅供交流学习--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------。
中考试题探究 相似三角形的实际应用
第20课时 相似三角形的实际应用(5年4考，7分)1典例“串”考点2陕西5年真题、副题“明”考法典例“串”考点模型一 利用“标杆”测高图形题设已知BC、DE、BD，求AB构建等量利用△ABC∽△ADE可求得AD，AB＝AD－BD 关系式1. 如图，某数学兴趣小组的同学利用标杆测量旗杆AB的高度．将一根5米高的标杆CD竖在某一位置，有一名同学站在一处与标杆、旗杆成一条直线，此时他看到标杆顶端与旗杆顶端重合，另外一名同学测得站立的同学离标杆3米，离旗杆30米．如果站立的同学的眼睛离地面的距离EF为1.6米，求旗杆AB的高度．第1题图解：如解图，过点E 作EH ⊥AB 于点H ，交CD 于点G .由题意可得四边形EFDG 、GDHB 都是矩形，AB ∥CD ∥EF .∴△ECG ∽△EAH，由题意可得EG ＝FD ＝3，GH ＝BD ＝30，CG ＝CD －GD ＝CD －EF ＝5－1.6＝3.4，∴AH ＝34米，∴AB ＝AH ＋HB ＝34＋1.6＝35.6米．答：旗杆AB 的高为35.6米．第1题解图模型二 中心投影图形题设已知：CG 、CD 、CE 、EF 、HE ，求AB 的高已知：AD 、DG 、CH 、EF 、BE ，求DE 的长构建等量关系式由投影可知△DCG ∽△DBA 和△FEH ∽△FBA ，联立两个比例式，可求出BC 和AB由投影可知△AGD ∽△ACH 和△BFE ∽△BCH ，列比例式可求得AH 、BH ，DE ＝AH ＋BH －AD －BE2. 某天晚上，小颖、小华和小林想测量小区门口路灯的高度．如图，相邻的两盏路灯AC、BD高度相等，小颖站在E点处，此时她身后的影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部；小华站在F点处，此时他身后影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部．这时，小林测得EF＝10.2米．已知AB＝20米，小颖身高ME＝1.6米，小华身高NF＝1.75米，AC、BD、ME、NF均与地面垂直．请你根据以上数据计算路灯的高度．(结果精确到0.1米)第2题图解：设AE＝x，则BF＝20－10.2－x＝9.8－x，∵ME∥BD，∴△AME∽△ADB，∵NF∥AC，∴△BNF∽△BCA，∴BD≈6.8，答：路灯的高度约为6.8米．模型三 平行投影图形题设已知：AB 、BE 、CD ，求DF 的高已知：AB 、AC 、DE 、EF ，求DG 的高构建等量关系式直接得出△ABE ∽△CDF ，列比例式求解过点F 作FH ⊥DG ，垂足为H ，由题知△ABC ∽△HFG ，求出GH , DG ＝EF ＋GH3. 如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米．请你根据以上测量数据，求电线杆AB的高度．第3题图解：如解图，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，则四边形CDBG 为矩形，∴GC ＝BD ＝3米，GB ＝CD ＝2米．∵∠NMF ＝∠AGC ＝90°，NF ∥AC ，∴∠NFM ＝∠ACG ，∴△NMF ∽△AGC，∴AB ＝AG ＋GB ＝6＋2＝8米，答：电线杆AB 的高为8米．第3题解图模型四 镜面反射、投影图形题设已知∠α、AB 、AO 、OC ，求CD 的高已知AB 在水中的倒影为BD ，及EF 、EC 、CB ，求AB构建等量关系式直接得出△ABO ∽△CDO ，列比例式求解直接得出△FEC ∽△DBC ，列比例式求解4. 小雁塔位于唐长安城安仁坊荐福寺内，又称“荐福寺塔”，是西安的标志性建筑之一．在一次社会实践中，小梅和小鹏想通过测量小雁塔的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．如图，由于无法直接到塔的底部，小梅在D处利用测角仪测得塔顶A的仰角为25°，同时小鹏在C、B之间的地面上放置一平面镜(平面镜厚度不计)，当小鹏移动平面镜至E处时，小梅恰好通过平面镜看到了塔顶A.经测量，DC＝1.5米，CE＝3米．已知DC⊥CB，AB⊥CB，且C、E、B在同一条直线上，不考虑其它因素，请你根据题中提供的相关信息，计算小雁塔的高A B.(结果精确到0.1米，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47)．第4题图解：如解图，过点D作DF⊥AB于点F，则四边形BCDF是矩形，∴BC＝DF，BF＝CD＝1.5米，∵∠DEC＝∠AEB，∠DCE＝∠ABE＝90°，∴△DCE∽△ABE，设AB＝x，则BE＝2x，∴AF＝x－1.5，DF＝BC＝3＋2x，在Rt△AFD中，tan25°＝解得x≈48.5，即AB≈48.5米，答：小雁塔的高AB约为48.5米．第4题解图模型五 固定视角图形题设已知AB、BC、BE，求BD构建等量关系式由一对直角和一锐角相等构造相似三角形，即△ABD∽△CBE，再列比例关系式求解5. 如图，小明想通过自己所学的知识测量一段笔直的高架桥MN上DQ段的运行距离，设计了如下的测量方案：已知在高架桥的一侧有一排居民楼AB(楼顶AB与高架桥MN 在同一水平面上，且AB与点D正好在同一直线上)，测得AB＝35米，小明先站在A处，测得视线与高架桥MN的垂直距离AH＝15米，小明又站在B处，使得视线与BQ在一条直线上，此时测得BQ＝45米，且∠QBA＝90°，求此高架桥上DQ段的运行距离．第5题图解：根据题意得∠AHD ＝∠QBA ＝90°，∠ADH ＝∠QDB ，∴△ADH ∽△QDB，∵AH ＝15米，BQ ＝45米，AB ＝35米，在Rt △AHD 中，根据勾股定理得AD 2＝AH 2＋DH 2，∴(3DH －35)2＝152＋DH 2，解得AD ＝3DH －35.解得DH ＝20或DH ＝6.25(舍去)，答：此高架桥上DQ 段的运行距离为75米．解得DQ ＝75(米)．陕西5年真题、副题“明”考法命题点相似三角形的实际应用(5年4考)1. (2018陕西20题7分)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽，测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m，测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB.第1题图解：∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴CB∥ED.又∵∠CAB＝∠EAD，∴△ABC∽△ADE，(3分)∵BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m，AD＝AB＋BD，∴AB＝17 m，答：河宽AB为17 m. (7分)2. (2015陕西20题7分)晚饭后，小聪和小军在社区广场散步．小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞，小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A 点(距N点5块地砖长)时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点(距N点9块地砖长)时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．(结果精确到0.01米)第2题图解：由题意得∠CAD＝∠MND＝90°，∠CDA＝∠MDN，∴△CAD∽△MND，∴MN＝9.6.(3分)又∵∠EBF＝∠MNF＝90°，∠EFB＝∠MFN，∴△EBF∽△MNF，(5分)解得BE≈1.75.(6分)答：小军的身高BE约为1.75米．(7分)3. (2015陕西副题20题7分)周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线EF，通过在直线EF上选点观测，发现当他位于N点时，他的视线从M点通过露台D点正好落在遮阳篷A点处；当他位于N′点时，视线从M′点通过D点正好落在遮阳篷B点处．这样观测到的两个点A、B间的距离即为遮阳篷的宽．已知AB∥CD∥EF，点C在AG上，AG、DE、MN、M′N′均垂直于EF，MN＝M′N′，露台的宽CD＝GE.测得GE＝5米，EN＝12.3米，NN′＝6.2米．请你根据以上信息，求出遮阳篷的宽AB是多少米？(结果精确到0.01米)第3题图解：如解图，延长MM′交DE于点P，∵AG、DE、MN、M′N′均垂直于EF，MN＝M′N′，∴四边形M′MNN′和四边形PMNE均为矩形，∴MM′＝NN′＝6.2，PM＝EN＝12.3.(2分)∵AB∥CD∥PM，∴△ACD∽△DPM，△ABD∽△MM′D ，解得AB≈2.52.答：遮阳篷的宽AB约为2.52米．(7分)第3题解图4. (2016陕西20题7分)某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量．于是他们首先用平面镜进行测量，方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C.镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D 时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合．这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED＝1.5米，CD＝2米；然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH＝2.5米，FG＝1.65米．如图，已知：AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计．请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．第4题图解：由题意得∠ABC＝∠EDC＝∠GFH＝90°，∠ACB＝∠ECD，∠AFB＝∠GHF. ∴△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，(3分)解得AB＝99米．答：“望月阁”的高AB为99米．(7分)5. (2019陕西20题7分)小明想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学们带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是，他们先在古树周围的空地上选择了一点D，并在点D处安装了测倾器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5 m，并在点G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2 m，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6 m，测倾器的高CD＝0.5 m．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高AB.(小平面镜的大小忽略不计)第5题图解：如解图，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则CH ＝BD ，BH ＝CD ＝0.5.(1分)在Rt △ACH 中，∠ACH ＝45°，∴AH ＝CH ＝BD .∴AB ＝AH ＋BH ＝BD ＋0.5.(2分)∵EF ⊥FB ，AB ⊥FB ，∴∠EFG ＝∠ABG ＝90°.由题意，易知∠EGF ＝∠AGB ，∴△EFG ∽△ABG .(4分)解得BD ＝17.5 m ．(6分)∴AB ＝17.5＋0.5＝18(m)．答：这棵古树的高AB 为18 m ．(7分)第5题解图6. (2019陕西副题20题7分)新学期，小华和小明被选为升旗手，为了更好地完成升旗任务，他俩想利用测倾器和阳光下的影子来测量学校旗杆的高度P A.如图所示，旗杆直立于旗台上的点P处，他们的测量方法是：首先，在阳光下，小华站在旗杆影子的顶端F处，此时，量得小华的影长FG＝2 m，小华身高EF＝1.6 m；然后，在旗杆影子上的点D处，安装测倾器CD，测得旗杆顶端A的仰角为49°，量得CD＝0.6 m，DF＝6 m，旗台高BP＝1.2 m．已知在测量过程中，点B、D、F、G在同一水平直线上，点A、P、B在同一条直线上，AB、CD、EF均垂直于BG.求旗杆的高度PA.(参考数据：sin49°≈0.8，cos49°≈0.7，tan49°≈1.2)第6题图解：如解图，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则CH ＝BD ，BH ＝CD ＝0.6.在Rt △AHC 中，tan49°＝∴AH ＝1.2BD .∴AB ＝AH ＋HB ＝1.2BD ＋0.6.(3分)连接AF 、EG .由题意，可得△EFG ∽△ABF.解得BD ＝10.5，∴AB ＝13.2.(6分) ∴PA ＝AB －PB ＝13.2－1.2＝12(m)．答：旗杆的高度PA 约为12 m ．(7分)第6题解图点击链接至练习册。
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果精确到0.1米）。
相似三角形的实际应用----中考典型题例
【典型例题】周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时， 他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B， 使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆 DE，使得点E与点C、A共线． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m．测量示意图如图所 示．请根据相关测量信息，求河宽AB．
相似三角形的实际应用----中考典型题例
【典型例题】周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度。如图，
小凯在楼前面的地面上选择了一条直线EF，通过在直线EF上选点观测，发现当他位于 N点时，他的视线从M点通过露台D点正好落在遮阳篷A点处；当他位于N'点时，视线 从M'点通过露台D点正好落在遮阳篷B点处。这样观测到的两个点A、B间的距离即为 遮阳篷的宽。已知AB∥CD∥EF，点C在AG上，AG、DE、MN、M'N'均垂直于EF， MN=M'N'，露台的宽CD=GE。测得GE=5米，EN=12.3米，NN'=6.2.请你根据以上信 息，求出遮阳篷的宽AB是多少米？（结果精确到0.01米）
相似三角形的实际应用----中考典型题例
【典型例题】某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致 宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，现在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸 边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）． ①小明在B点面向树的方向站好，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所 示，这时小亮测的小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲 下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过 帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离 CB=1.2米。根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？
（5）常见类型：利用标杆构造三点共线求现实物理量；利用光的反射定律求
物体的高度；利用影子的长度计算建筑物的高度，同一时刻，物高与影长成
正比，有
身高 影长
=
建 建筑 筑物 物的 的高 影度 长。
相似三角形的实际应用----中考典型题例
【典型例题】一天，数学课外活动小组的同学们，带着
皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来 评估这些坑道对河道的影响，如图是同学们选择（确保测 量过程中无安全隐患）的测量对象，测量方案如下： ①.先测出沙坑坑沿的圆周长34.54米； ②.甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，经过适当 调整自己所处的位置，当他位于B时恰好他的视线经过沙 坑坑沿圆周上一点A看到坑底S(甲同学的视线起点C与点A, 点S三点共线），经测量：AB=1.2米，BC=1.6米。根据以
相似三角形的实际应用----中考典型题例
【典型例题】一天晚上，李明和张龙利 用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度. 如图，当李明走到点A处时，张龙测得李 明直立向高AM与其影子长AE正好相等； 接着李明沿AC方向继续向前走，走到点 B处时，李明直立时身高BN的影子恰好 是线段AB，并测得AB=1.25m.已知李明 直立时的身高为1.75m，求路灯的高度 CD的长.（精确到0.1m）
相似三角形的实际应ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ----中考典型题例
【典型例题】晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，
小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思 考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量 小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如 图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长） 时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广 场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2 块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖 铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ， BE⊥NQ．请你根据以上信息，求出小军身高BE的 长．（结果精确到0.01米）
相似三角形的实际应用
----中考典型题例汇集
相似三角形的实际应用----中考典型题例
【解法简析】
（1）审题：通读题干，结合图形，在图中找出与题干相吻合的已知条件，弄
明白哪些是已知量，哪些是未知量；
（2）将实际问题转化为相似三角形问题；
（3）找出相似三角形；
（4）根据相似三角形的性质，表示出相应的量，并求解。
相似三角形的实际应用----中考典型题例
【典型例题】某市在一道路拓宽改造过程中，发现原来道路两边的路灯除照亮路面的 圆的面积不能满足需要外，亮度效果足以满足拓宽后的设计标准，因此，经设计人员 研究，只要将路灯的灯杆增加一定的高度，使其照亮路面圆的面积为原来的2倍即可。 已知原来路灯灯高为7.5米，请你求出原灯杆至少再增加多少米，才能符合拓宽后的设 计要求？（结果精确到0.1米）
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【典型例题】小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺
来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这 种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时， 可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重 叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子 高度CD=1.2m ，CE=0.8m,CA=30m.(点A、E、C在同一 直线上).已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼 高AB（结果精确到0.1m）