河南中考22题集锦之令狐文艳创作

河南中考22题集锦
令狐文艳
1. (2009年)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB =90°, ∠B
=60°，BC =2．点0是AC 的中点，过点0的直线l 从
与AC 重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB
边于点D .过点C 作CE ∥AB 交直线l 于点E ，设直线
l 的旋转角为α.
(1)①当α=________度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为_________；
②当α=________度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为_________；
(2) 当α=90°时,判断四边形EDBC 是否
为菱形，并说明理由．
2．（2010年）
（1）操作发现
如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△
AB E 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩形ABCD
内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF =DF ，你同意吗？说明理由．
（2）问题解决
保持（1）中的条件不变，若DC =2DF ，求AB AD 的值；
（3）类比探求
保持（1）中条件不变，若DC =nDF ，求AB AD 的值．
3、 （2011年）如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC ，∠C =30°.点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D 、E 运动的时间是t 秒（t ＞0）.过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE 、EF .
（1）求证：AE =DF ；
（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由.
（3）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由.
22、（2012河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.
原题：如图1，在ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点
G ，若3AF EF ，求CD CG 的值。

（1）尝试探究
在图1中，过点E 作EH AB ∥交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是，CG 和EH 的数量关系是，
CD CG
的值是 （2）类比延伸
如图2，在原题的条件下，若(0)AF m m EF =>，则CD CG
的值是（用含m 的代数式表示），试写出解答过程。

（3）拓展迁移
如图3，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ，若
,(0,0)AB BC a b a b CD BE ==>>，则AF EF 的值是（用含,a b 的代数式表示）.
22.（2013年河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C =90°，
∠B =∠E =30°.
（1）操作发现
如图2，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空：
①线段DE 与AC 的位置关系是_________；
②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2，则S 1与S 2的数量关系是_________________.
（2）猜想论证
当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想
（1）中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出
了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的
猜想.
（3）拓展探究
已知∠ABC=60°，点D是其
角平分线上一点，BD=CD=4，
DE//AB交BC于点E（如图4）.若
在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△
BDE，请直接写出相应的
BF的长.
22.（2014河南）（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE
填空：（1）∠AEB的度数为；
（2）线段AD、BE之间的数量关系
是。

（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠
DCE=900, 点A、D、E在同一直线上，CM为
△DCE中DE边上的高，连接BE。

请判断∠
AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量
关系，并说明理由。

（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD=2。

若点
P 满足
D
A
图4
PD=1,且∠BPD=900，请直接写出点A到BP的距离。

22.（2015河南）如图1，在Rt△ABC中，∠B=900，
BC=2，AB=8,点D,E分别是边BC，AC的中点，连DE，将△EDC 绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.
（1）问题发现
①当α=00时，AE
BD=；②当α=1800时，
AE
BD=.
（2）拓展探究
试判断：当00≤α≤3600时，AE
BD的大小有无变化？请仅
就图2的情形给出证明.
(3)解决问题
当△EDC旋转至A,D,E三点共线时，直接写出线段BD的长.
22.（2016河南）（1）问题如图1，
点A为线段BC外一动点，且
BC=a,AB=b。

填空：当点A位于时线段AC的长取
得最大值，且最大值为
（用含a，b的式子表示）
（2）应用
点A为线段BC外一动点，且
BC=3,AB=1.如图2所示，分别以AB，AC
D
图1b
B C
为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD,BE.
①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由
②直接写出线段BE长的最大值.
（3）拓展
如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B 的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，
PM=PB，∠BPM=900.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P 的坐标。

解：（1）CB的延长线上，
a+b；………………………………………2分
（2）①DC=BE,理由如下
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=600,
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠
EAB, ……………5分
∴△CAD≌△EAB（SAS）,∴
DC=BE ………………………………6分
②BE长的最大值是
4. …………………………………………………8分
（3）AM的最大值为3+P的坐标为（，
）……10分
【提示】如图3，构造△BNP≌△MAP,则NB=AM,由（1）知，当点N在BA的延长线上时，NB有最大值（如备用图）。

易得
△APN 是等腰直角三角形，AP=2，∴AN=
AM=NB=AB+AN=3+;
过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，,又A （2，0）∴P （2-
）
1. （2017河南）如图1，在Rt ABC 中，090A ，AB AC ，点
D ,
E 分别在边AB ,AC 上，AD AE ,连接DC ,点M ,P ,N 分别为DE ,DC ,BC 的中点.
（1）观察猜想
图1中，线段PM ,PN 与的数量关系是________，位置关系是__________;
（2）探究证明
把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ,BD ,CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4AD ，10AB ,请直接写出PMN 面积的最大值。