数学中考抛物线问题
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21.如图，已知二次函数 的图象如图，分析下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的结论有
A. 个B. 个C. 个D. 个
22.已知抛物线 的图象如图，则下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的结论是
A.①②B.②③C.③④D.②④
23.如图是二次函数 （ ）图象的一部分，直线 是对称轴，有下列判断：① ；② ；③ ；④若 ， 是抛物线上两点，则 ，其中正确的个数是
， ；
由图象可知， ，对称轴 ，
．综上所述，①③正确．
20. B
【解析】①抛物线开口向上， ，抛物线与 轴交于负半轴， ，对称轴在 轴的左侧， ，
，①错误；
②由抛物线的对称性可知，
的两根分别为 和 ，②正确；
③对称轴 ， ，③错误；
④ 时， ， ， ， ，
，④正确．
21. B【解析】① ， ， ， 错误；
D．原式化为 ，将图象向上平移 个单位长度，再向左平移 个单位长度后所得函数表达式是 ，又函数图象过点 ，代入表达式得 ，故选项D正确.
15. D
【解析】A、由二次函数的图象可知 ，此时直线 应经过二、四象限，故A可排除；
B、由二次函数的图象可知 ，对称轴在 轴的右侧，可知 、 异号， ，此时直线 应经过一、二、四象限，故B可排除；
31.
第三部分
32.（1）因为点 ， 在抛物线上，
所以
解得
所以抛物线的解析式为 .
（2）因为 轴， ．
所以 ，
所以 ， ，
所以点 的坐标 ，
因为点 ， ，
所以直线 的解析式为 ，
设点
所以 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以
因为 ，
所以当 时，四边形 的面积的最大值是 ，
此时点 ．
（3）因为 ，
所以 ，
所以 ， ，
A. 个B. 个C. 个D. 个
6.如图是二次函数 图象的一部分，图象过点 ，对称轴为 ，给出四个结论：① ；②若点 ， 为函数图象上的两点，则 ；③ ；④ ．其中正确结论的个数是
A. B. C. D.
7.如图是二次函数 图象的一部分，其对称轴为 ，且过点 ．下列说法：
① ；
② ；
③ ；
④若 ， 是抛物线上两点，则 ．
① ② ③ ④
A.②④B.①④C.②③D.①③
19.二次函数 的图象如图所示，下列结论：
① ；
② ；
③ ．
其中正确的有
A.①②B.①③C.②③D.①②③
20.如图，是二次函数 （ ）的图象的一部分，给出下列命题：
① ；② 的两根分别为 和 ；③ ；④ ；
其中正确的命题是
A.①②B.②④C.①③D.③④
所以 ．即 ．故②正确；
因为 ，
所以 ．故③错误；
因为抛物线开口向下， 是对称轴，
所以 对应的 值是最大值，
所以 ．故④正确．
2. C3. D4. D5. C
6. B7. C8. B9. C【解析】 抛物线与 轴有两个交点，
，即 ．①正确；
抛物线开口向上，
．
对称轴在 轴的右侧，
．
抛物线与 轴交于负半轴，
A.①②③B.③④⑤C.②④⑤D.①③④⑤
12.二次函数 的部分图象如图所示，图象过点 ，对称轴为直线 ，下列结论：（ ） ；（ ） ；（ ） ；（ ）若点 ，点 ，点 在该函数图象上，则 ；（ ）若方程 的两根为 和 ，且 ，则 ，其中正确的结论有
A. 个B. 个C. 个D. 个
13.二次函数 的图象如图，下列结论：
A. 个B. 个C. 个D. 个
24.如图，已知点 ， 为坐标原点， 是线段 上任意一点（不含端点 ， ），过 ， 两点的二次函数 和过 ， 两点的二次函数 的图象开口均向下，它们的顶点分别为 ， ，射线 与射线 相交于点 ，当 是等边三角形时，这两个二次函数的最大值之和等于
A. B. C. D.
25.已知二次函数 的图象如图，则下列说法：① ；②该抛物线的对称轴是直线 ；③当 时， ；④ ．
把 代入 得： ，故（3）错误；
把 代入 得： ，把 代入 得： ，
则 ，故（4）错误；
不正确的是（2）（3）（4）．
14. B【解析】二次函数为 ．对称轴为直线 ，图象开口向上．
A．当 时， 随 的增大而减小，故选项A正确；
B．若图象与 轴有交点，即 ，则 ，故选项B错误；
C．当 时，不等式 的解集是 ，故选项C正确；
A. B. C. D.
10.如图是二次函数 图象的一部分，直线 是对称轴，有下列判断：① ；② ；③ ；④若 ， 是抛物线上两点，则 .其中正确的是
A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④
11.如图，是抛物线 的一部分．已知抛物线的对称轴为 ，与 轴的一个交点是 ，有以下结论：① ；② ；③ ；④抛物线与 轴的另一个交点是 ；⑤若点 ， 都在抛物线上，则 ．其中正确的是
A. B.
C. D.
16.已知二次函数 的图象如图所示，有下列结论：① ；② ；③方程 的另一个根在 和 之间；④ ；⑤ ．其中正确的结论有
A. 个B. 个C. 个D. 个
17.二次函数 的图象如图所示，若 ， ， ，则 ， ， 中小于 的数有
A. 个B. 个C. 个D. 个
18.二次函数 的图象的一部分如图所示，图象过点 ，对称轴为 .下列结论正确的是
A. B.
C. D.
4.已知抛物线 与 轴最多有一个交点，现有以下四个结论：
①该抛物线的对称轴在 轴左侧；
②关于 的方程 无实数根；
③ ；
④ 的最小值为 ．
其中，正确结论的个数为
A. 个B. 个C. 个D. 个
5.已知二次函数 的图象如图所示，有下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的个数有
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点 且与 轴平行的直线 与直线 ， 分别交于点 ， ，当四边形 的面积最大时，求点 的坐标；
（3）当点 为抛物线的顶点时，在直线 上是否存在点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
33.如图，抛物线 经过点 ，且与直线 相交于 ， 两点，点 在 轴上，过点 作 轴，垂足为点 ．
，即 ，①正确；
② 时， ，
，②错误；
时， ，
，又 ，
，③正确；
④根据抛物线的对称性，得到 与 时的函数值相等，
，④正确，
24. C【解析】
过 、 、 作 的垂线，垂足分别为 、 、 ，则 ．
是等边三角形
， ．
设 ，根据二次函数的对称性得出 ， ．
易证 ， ，得出 ， ，代入求出 和 ，相加即可求出答案．
②函数与 轴有两个交点， 正确；
③当 时， ，当 时， ，即 ，两式相加得， ，
错误；
④当 时， ，当 时， ，
故 ， ， 正确．
22. B【解析】①由图象可知 ， ， ， ，错误；
②把 代入抛物线解析式可得 ，正确；
③根据对称轴大于 即得正确；
④抛物线与 轴有 个交点，故 ，错误．
23. C【解析】① 直线 是对称轴，
其中说法正确的是
A.①②B.②③C.①②④D.②③④
8.如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 且 ．则下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数是
A. B. C. D.
9.已知二次函数 （ ）的图象如图所示，给出以下结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中结论正确的个数有
中考中抛物线图像问题
一、选择题
1.二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 ，有以下结论：① ；② ；③ ；④ ．
其中正确结论的个数是
A. B. C. D.
2.如图为二次函数 的图象，则下列说法：① ；② ；③ ；④当 时， ．其中正确的个数为
A. B. C. D.
3.一次函数 与二次函数 在同一直角坐标系中的图象可能是
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（3）动点 在抛物线上，当点 到直线 的距离最小时，求出点 的坐标及最小距离．
答案
第一部分
1. C【解析】因为抛物线开口向下，
所以 ．
因为抛物线的对称轴为直线 ，
所以 ．
因为抛物线与 轴的交点在 轴上方，
所以 ，
所以 ．故①正确；
因为抛物线与 轴有两个交点，
，故①正确；由抛物线的单调性知：当 时， ，即 ，故②错误；
，而对称轴方程为 ，
抛物线与 轴的另一个交点是 ，故④正确．
，
由抛物线的性质知： ，故⑤正确；故正确结论为①③④⑤．
12. B13. C【解析】抛物线的开口向上，则 ；
对称轴为 ，即 ，故 ，故（2）错误；
抛物线交 轴于负半轴，则 ，故（1）正确；
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
其中不正确的有
A. 个B.Biblioteka Baidu个C. 个D. 个
14.已知二次函数 下列说法错误的是
A.当 时， 随 的增大而减小
B.若图象与 轴有交点，则
C.当 时，不等式 的解集是
D.若将图象向上平移 个单位长度，再向左平移 个单位长度后过点 ，则
15.已知抛物线 和直线 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是
C、由二次函数的图象可知 ，此时直线 应经过一、三象限，故C可排除；
16. D17. A【解析】 图象开口向下，
.
对称轴在 轴左侧，
， 同号.
， .
图象经过 轴正半轴，
.
.
当 时， ，
.
，
.
，
.
.
.
则 ， ， 中，值小于 的数有 ， ， ．
18. B19. B【解析】图象与 轴有两个交点，
，
；
当 时，函数对应的 值小于 ，
① ；
② ；
③对于自变量 的任意一个取值，都有 ；
④在 中存在一个实数 ，使得 ．其中结论错误的是．（只填写序号）
28.二次函数 的图象如图所示，且 ， ，则 ， 的大小关系是
29.已知抛物线 开口向上且经过 ，双曲线 经过 ．给出下列结论： ； ； ， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根； ．其中正确结论是 （填写序号）．
30.二次函数 的图象如图所示，下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④如果一元二次方程 有两个实根 、 ，那么 ．
其中结论错误的是．（只填写序号）
31.如图，已知二次函数 的图象经过点 ， ，该图象与 轴的另一个交点为 ，则 长为 .
三、解答题（共4小题；共52分）
32.如图，已知抛物线 经过 的三个顶点，其中点 ，点 ， 轴，点 是直线 下方抛物线上的动点．
（3）动点 从原点 出发，以每秒 个单位的速度沿着 ， ， 的路线向点 匀速运动（ 不与点 ， 重合），过点 分别作 轴于 ， 轴于 ，设运动 秒时，矩形 与 重叠部分的面积为 ．
求： 与 之间的函数关系式． 当 为何值时， 最大，并求出 的最大值．
35.如图， 的圆心 ，半径为 ， 与 轴相交于 ， 两点（点 在点 的上方），与 轴的正半轴交于点 ，直线 的表达式为 ，与 轴相交于点 ，以点 为顶点的抛物线过点 ．
．
．
由图象可知当 时， ，即 ．
，即 ．
．
，
．
．
29.①③④
30.④
【解析】由图象可得， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
因为 时， ； 时， ，
所以 ， ，
所以 ， ，故②正确，
所以 ，
即 ，故①正确，
又因为 时， ， ，
所以 ，
所以 ，故③正确，
如果一元二次方程 有两个实根 、 ，
则 ，故④错误，
．
，②正确；
，
．③错误；
时， ，
，即 ．④错误；
根据抛物线的对称性可知，当 时， ，
．⑤正确，
10. B
【解析】由题意得 ， ， ，
整理得 ， ．
当 时 ．
故①正确，②错误．
．
故③正确．
的对称轴为直线 ， ．
．
故④正确．
11. D【解析】 抛物线的对称轴为 ，
， ， ，故③正确；
抛物线开口向上，
， ；由图象知 ，
其中正确的个数是
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题；共30分）
26.如图，已知 在平面直角坐标系中，其中点 、 、 三点的坐标分别为 ， ， ，点 为 中点， 是 上的一个动点（ 与点 、 不重合），连接 、 ，则 周长的最小值是
27.已知关于 的二次函数 的图象经过点 ， ， ，且 ，对于以下结论：
（1）求抛物线的解析式；
（2）若 是直线 上方该抛物线上的一个动点，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，求线段 的最大值；
（3）在（2）的条件，设 与 相交于点 ，当线段 与 相互平分时，请求出点 的坐标．
34.已知：如图，直线 与 轴相交于点 ，与直线 相交于点 ．
（1）求点 的坐标；
（2）请判断 的形状并说明理由；
所以 ，
所以 .
同理可得： ，
所以 ，
所以在直线 上存在满足条件的 ，
设 且 ， ， .
因为以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，
25. C
【解析】抛物线与 轴交于原点，
，故①正确；
该抛物线的对称轴是： ，
直线 ，故②正确；
当 时， ，
对称轴是直线 ，
， ，
又 ，
，故③错误；
对应的函数值为 ，
对应的函数值为 ，
又 时函数取得最小值，
，即 ，
，
．故④正确．
第二部分
26.
27.②
28.
【解析】 抛物线的开口向下，
．
，
且 ．
， ．
抛物线与 轴的正半轴相交，
A. 个B. 个C. 个D. 个
22.已知抛物线 的图象如图，则下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的结论是
A.①②B.②③C.③④D.②④
23.如图是二次函数 （ ）图象的一部分，直线 是对称轴，有下列判断：① ；② ；③ ；④若 ， 是抛物线上两点，则 ，其中正确的个数是
， ；
由图象可知， ，对称轴 ，
．综上所述，①③正确．
20. B
【解析】①抛物线开口向上， ，抛物线与 轴交于负半轴， ，对称轴在 轴的左侧， ，
，①错误；
②由抛物线的对称性可知，
的两根分别为 和 ，②正确；
③对称轴 ， ，③错误；
④ 时， ， ， ， ，
，④正确．
21. B【解析】① ， ， ， 错误；
D．原式化为 ，将图象向上平移 个单位长度，再向左平移 个单位长度后所得函数表达式是 ，又函数图象过点 ，代入表达式得 ，故选项D正确.
15. D
【解析】A、由二次函数的图象可知 ，此时直线 应经过二、四象限，故A可排除；
B、由二次函数的图象可知 ，对称轴在 轴的右侧，可知 、 异号， ，此时直线 应经过一、二、四象限，故B可排除；
31.
第三部分
32.（1）因为点 ， 在抛物线上，
所以
解得
所以抛物线的解析式为 .
（2）因为 轴， ．
所以 ，
所以 ， ，
所以点 的坐标 ，
因为点 ， ，
所以直线 的解析式为 ，
设点
所以 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以
因为 ，
所以当 时，四边形 的面积的最大值是 ，
此时点 ．
（3）因为 ，
所以 ，
所以 ， ，
A. 个B. 个C. 个D. 个
6.如图是二次函数 图象的一部分，图象过点 ，对称轴为 ，给出四个结论：① ；②若点 ， 为函数图象上的两点，则 ；③ ；④ ．其中正确结论的个数是
A. B. C. D.
7.如图是二次函数 图象的一部分，其对称轴为 ，且过点 ．下列说法：
① ；
② ；
③ ；
④若 ， 是抛物线上两点，则 ．
① ② ③ ④
A.②④B.①④C.②③D.①③
19.二次函数 的图象如图所示，下列结论：
① ；
② ；
③ ．
其中正确的有
A.①②B.①③C.②③D.①②③
20.如图，是二次函数 （ ）的图象的一部分，给出下列命题：
① ；② 的两根分别为 和 ；③ ；④ ；
其中正确的命题是
A.①②B.②④C.①③D.③④
所以 ．即 ．故②正确；
因为 ，
所以 ．故③错误；
因为抛物线开口向下， 是对称轴，
所以 对应的 值是最大值，
所以 ．故④正确．
2. C3. D4. D5. C
6. B7. C8. B9. C【解析】 抛物线与 轴有两个交点，
，即 ．①正确；
抛物线开口向上，
．
对称轴在 轴的右侧，
．
抛物线与 轴交于负半轴，
A.①②③B.③④⑤C.②④⑤D.①③④⑤
12.二次函数 的部分图象如图所示，图象过点 ，对称轴为直线 ，下列结论：（ ） ；（ ） ；（ ） ；（ ）若点 ，点 ，点 在该函数图象上，则 ；（ ）若方程 的两根为 和 ，且 ，则 ，其中正确的结论有
A. 个B. 个C. 个D. 个
13.二次函数 的图象如图，下列结论：
A. 个B. 个C. 个D. 个
24.如图，已知点 ， 为坐标原点， 是线段 上任意一点（不含端点 ， ），过 ， 两点的二次函数 和过 ， 两点的二次函数 的图象开口均向下，它们的顶点分别为 ， ，射线 与射线 相交于点 ，当 是等边三角形时，这两个二次函数的最大值之和等于
A. B. C. D.
25.已知二次函数 的图象如图，则下列说法：① ；②该抛物线的对称轴是直线 ；③当 时， ；④ ．
把 代入 得： ，故（3）错误；
把 代入 得： ，把 代入 得： ，
则 ，故（4）错误；
不正确的是（2）（3）（4）．
14. B【解析】二次函数为 ．对称轴为直线 ，图象开口向上．
A．当 时， 随 的增大而减小，故选项A正确；
B．若图象与 轴有交点，即 ，则 ，故选项B错误；
C．当 时，不等式 的解集是 ，故选项C正确；
A. B. C. D.
10.如图是二次函数 图象的一部分，直线 是对称轴，有下列判断：① ；② ；③ ；④若 ， 是抛物线上两点，则 .其中正确的是
A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④
11.如图，是抛物线 的一部分．已知抛物线的对称轴为 ，与 轴的一个交点是 ，有以下结论：① ；② ；③ ；④抛物线与 轴的另一个交点是 ；⑤若点 ， 都在抛物线上，则 ．其中正确的是
A. B.
C. D.
16.已知二次函数 的图象如图所示，有下列结论：① ；② ；③方程 的另一个根在 和 之间；④ ；⑤ ．其中正确的结论有
A. 个B. 个C. 个D. 个
17.二次函数 的图象如图所示，若 ， ， ，则 ， ， 中小于 的数有
A. 个B. 个C. 个D. 个
18.二次函数 的图象的一部分如图所示，图象过点 ，对称轴为 .下列结论正确的是
A. B.
C. D.
4.已知抛物线 与 轴最多有一个交点，现有以下四个结论：
①该抛物线的对称轴在 轴左侧；
②关于 的方程 无实数根；
③ ；
④ 的最小值为 ．
其中，正确结论的个数为
A. 个B. 个C. 个D. 个
5.已知二次函数 的图象如图所示，有下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的个数有
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点 且与 轴平行的直线 与直线 ， 分别交于点 ， ，当四边形 的面积最大时，求点 的坐标；
（3）当点 为抛物线的顶点时，在直线 上是否存在点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
33.如图，抛物线 经过点 ，且与直线 相交于 ， 两点，点 在 轴上，过点 作 轴，垂足为点 ．
，即 ，①正确；
② 时， ，
，②错误；
时， ，
，又 ，
，③正确；
④根据抛物线的对称性，得到 与 时的函数值相等，
，④正确，
24. C【解析】
过 、 、 作 的垂线，垂足分别为 、 、 ，则 ．
是等边三角形
， ．
设 ，根据二次函数的对称性得出 ， ．
易证 ， ，得出 ， ，代入求出 和 ，相加即可求出答案．
②函数与 轴有两个交点， 正确；
③当 时， ，当 时， ，即 ，两式相加得， ，
错误；
④当 时， ，当 时， ，
故 ， ， 正确．
22. B【解析】①由图象可知 ， ， ， ，错误；
②把 代入抛物线解析式可得 ，正确；
③根据对称轴大于 即得正确；
④抛物线与 轴有 个交点，故 ，错误．
23. C【解析】① 直线 是对称轴，
其中说法正确的是
A.①②B.②③C.①②④D.②③④
8.如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 且 ．则下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数是
A. B. C. D.
9.已知二次函数 （ ）的图象如图所示，给出以下结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中结论正确的个数有
中考中抛物线图像问题
一、选择题
1.二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 ，有以下结论：① ；② ；③ ；④ ．
其中正确结论的个数是
A. B. C. D.
2.如图为二次函数 的图象，则下列说法：① ；② ；③ ；④当 时， ．其中正确的个数为
A. B. C. D.
3.一次函数 与二次函数 在同一直角坐标系中的图象可能是
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（3）动点 在抛物线上，当点 到直线 的距离最小时，求出点 的坐标及最小距离．
答案
第一部分
1. C【解析】因为抛物线开口向下，
所以 ．
因为抛物线的对称轴为直线 ，
所以 ．
因为抛物线与 轴的交点在 轴上方，
所以 ，
所以 ．故①正确；
因为抛物线与 轴有两个交点，
，故①正确；由抛物线的单调性知：当 时， ，即 ，故②错误；
，而对称轴方程为 ，
抛物线与 轴的另一个交点是 ，故④正确．
，
由抛物线的性质知： ，故⑤正确；故正确结论为①③④⑤．
12. B13. C【解析】抛物线的开口向上，则 ；
对称轴为 ，即 ，故 ，故（2）错误；
抛物线交 轴于负半轴，则 ，故（1）正确；
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
其中不正确的有
A. 个B.Biblioteka Baidu个C. 个D. 个
14.已知二次函数 下列说法错误的是
A.当 时， 随 的增大而减小
B.若图象与 轴有交点，则
C.当 时，不等式 的解集是
D.若将图象向上平移 个单位长度，再向左平移 个单位长度后过点 ，则
15.已知抛物线 和直线 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是
C、由二次函数的图象可知 ，此时直线 应经过一、三象限，故C可排除；
16. D17. A【解析】 图象开口向下，
.
对称轴在 轴左侧，
， 同号.
， .
图象经过 轴正半轴，
.
.
当 时， ，
.
，
.
，
.
.
.
则 ， ， 中，值小于 的数有 ， ， ．
18. B19. B【解析】图象与 轴有两个交点，
，
；
当 时，函数对应的 值小于 ，
① ；
② ；
③对于自变量 的任意一个取值，都有 ；
④在 中存在一个实数 ，使得 ．其中结论错误的是．（只填写序号）
28.二次函数 的图象如图所示，且 ， ，则 ， 的大小关系是
29.已知抛物线 开口向上且经过 ，双曲线 经过 ．给出下列结论： ； ； ， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根； ．其中正确结论是 （填写序号）．
30.二次函数 的图象如图所示，下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④如果一元二次方程 有两个实根 、 ，那么 ．
其中结论错误的是．（只填写序号）
31.如图，已知二次函数 的图象经过点 ， ，该图象与 轴的另一个交点为 ，则 长为 .
三、解答题（共4小题；共52分）
32.如图，已知抛物线 经过 的三个顶点，其中点 ，点 ， 轴，点 是直线 下方抛物线上的动点．
（3）动点 从原点 出发，以每秒 个单位的速度沿着 ， ， 的路线向点 匀速运动（ 不与点 ， 重合），过点 分别作 轴于 ， 轴于 ，设运动 秒时，矩形 与 重叠部分的面积为 ．
求： 与 之间的函数关系式． 当 为何值时， 最大，并求出 的最大值．
35.如图， 的圆心 ，半径为 ， 与 轴相交于 ， 两点（点 在点 的上方），与 轴的正半轴交于点 ，直线 的表达式为 ，与 轴相交于点 ，以点 为顶点的抛物线过点 ．
．
．
由图象可知当 时， ，即 ．
，即 ．
．
，
．
．
29.①③④
30.④
【解析】由图象可得， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
因为 时， ； 时， ，
所以 ， ，
所以 ， ，故②正确，
所以 ，
即 ，故①正确，
又因为 时， ， ，
所以 ，
所以 ，故③正确，
如果一元二次方程 有两个实根 、 ，
则 ，故④错误，
．
，②正确；
，
．③错误；
时， ，
，即 ．④错误；
根据抛物线的对称性可知，当 时， ，
．⑤正确，
10. B
【解析】由题意得 ， ， ，
整理得 ， ．
当 时 ．
故①正确，②错误．
．
故③正确．
的对称轴为直线 ， ．
．
故④正确．
11. D【解析】 抛物线的对称轴为 ，
， ， ，故③正确；
抛物线开口向上，
， ；由图象知 ，
其中正确的个数是
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题；共30分）
26.如图，已知 在平面直角坐标系中，其中点 、 、 三点的坐标分别为 ， ， ，点 为 中点， 是 上的一个动点（ 与点 、 不重合），连接 、 ，则 周长的最小值是
27.已知关于 的二次函数 的图象经过点 ， ， ，且 ，对于以下结论：
（1）求抛物线的解析式；
（2）若 是直线 上方该抛物线上的一个动点，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，求线段 的最大值；
（3）在（2）的条件，设 与 相交于点 ，当线段 与 相互平分时，请求出点 的坐标．
34.已知：如图，直线 与 轴相交于点 ，与直线 相交于点 ．
（1）求点 的坐标；
（2）请判断 的形状并说明理由；
所以 ，
所以 .
同理可得： ，
所以 ，
所以在直线 上存在满足条件的 ，
设 且 ， ， .
因为以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，
25. C
【解析】抛物线与 轴交于原点，
，故①正确；
该抛物线的对称轴是： ，
直线 ，故②正确；
当 时， ，
对称轴是直线 ，
， ，
又 ，
，故③错误；
对应的函数值为 ，
对应的函数值为 ，
又 时函数取得最小值，
，即 ，
，
．故④正确．
第二部分
26.
27.②
28.
【解析】 抛物线的开口向下，
．
，
且 ．
， ．
抛物线与 轴的正半轴相交，