8第十七章 光的衍射作业答案

一、选择题 [ B ]1、（基础训练1）在单缝夫琅禾费衍射实验中，波长为λ的单色光垂直入射在宽度为a ＝4 λ 的单缝上，对应于衍射角为30°的方向，单缝处波阵面可分成的半波带数目为

（A ） 2 个 （B ） 4 个 （C ） 6 个 （D ） 8 个 【答】已知a ＝4 λ，θ=30°，1sin 4422

a λ

θλ∴=⨯

=⨯，半波带数目N = 4. [ C ]2、（基础训练5）一单色平行光束垂直照射在宽度为1.0 mm 的单缝上，在缝后放一焦距为2.0 m

的会聚透镜。已知位于透镜焦平面处的屏幕上的中央明条纹宽度为2.0 mm ，则入射光波长约为

（A ）100 nm （B ）400 nm （C ）500 nm （D ）600 nm 【答】中央明条纹宽度为2, 5002x a

x f

nm a

f

λ

λ∆⋅∆≈∴=

= [ B ]3、（基础训练6）一束平行单色光垂直入射在光栅上，当光栅常数（a + b ）为下列哪种情况时（a

代表每条缝的宽度），k =3、6、9 等级次的主极大均不出现？

（A ）a ＋b =2 a （B ）a ＋b =3 a （C ）a ＋b =4 a （A ）a ＋b =6 a

【答】光栅缺级：()sin sin 'a b k a k θλ

θλ+=⎧⎨=⎩

，

缺级的主极大的级次为',2,3,...a b a b a b a b

k k a a a a

++++==，k 应为整数，依题意，k=3,6,9缺级，所

以a+b=3a 符合。

[ D ]4、（基础训练10）孔径相同的微波望远镜和光学望远镜相比较，前者分辨本领较小的原因是 （A ） 星体发出的微波能量比可见光能量小 （B ） 微波更易被大气所吸收 （C ） 大气对微波的折射率较小 （D ） 微波波长比可见光波长大 【答】分辨本领为1

1.22R

d

R θλ

==，孔径d 相同时，R 与波长λ成反比关系。微波波长比可见光波长

大，所以微波望远镜分辨本领较小。

[ C ]5、（自测提高2）在如图17-14所示的单缝夫琅禾费衍射装置中，

将单缝宽度a 稍梢变宽，同时使单缝沿y 轴正方向作微小平移（透镜屏幕位置不动），则屏幕C 上的中央衍射条纹将

（A ）变窄，同时向上移 （B ）变窄，同时向下移 （C ）变窄，不移动

（D ）变宽，同时向上移 （E ）变宽，不移 【答】（1）中央明纹宽度11x 2 2sin 2f tg f f

a

λ

θθ∆=≈=，现在a ↑，所以x ∆↓.

（2）中央明纹即为像点，其位置只与透镜的位置及光的传播方向有关，不因缝的平移而改变。

图

17-14

[ B ]6、（自测提高4）对某一定波长的垂直入射光，衍射光栅的屏幕上只能出现零级和一级主极大，

欲使屏幕上出现更高级次的主极大，应该

（A ）换一个光栅常数较小的光栅 （B ）换一个光栅常数较大的光栅 （C ）将光栅向靠近屏幕的方向移动 （D ）将光栅向远离屏幕的方向移动 【答】对某一定波长的垂直入射光，主极大的最大级次max k 为 0

sin 90d λ

<的最大整数，所以光栅常数d

增大，可以使得max k 增大。

二、填空题

7、（基础训练11）平行单色光垂直入射于单缝上，观察夫琅禾费衍射。若屏上P 点处为第二级暗纹，则单缝处波面相应地可划分为__4__个半波带。若将单缝宽度缩小一半，P 点处将是__1__级___暗__纹。

【答】根据半波带法，屏上P 点处为第二级暗纹时，sin 242

a λ

θλ==⨯

，所以，波面被分为4个半波带；

若将单缝宽度缩小一半，'2

a

a =

，则sin 'sin 2a a θθλ==，所以P 点处将是1级暗纹。

8、（自测提高8）一毫米内有500条刻痕的平面透射光栅，用平行钠光束（λ = 589 nm ）与光栅平面法线成30°角入射，在屏幕上最多能看到第__5__ 级光谱。 【答】光栅常数61210()500

mm

d m -=

=⨯， 斜入射时，光栅方程为0

sin 30sin d d k θλ+=

006max 9

(sin 30sin 90)

210(0.51) 5.0958910

d k λ

--+⨯+∴<

==⨯，max 5k ∴= 9．（自测提高9）在单缝夫琅禾费衍射示意图中，所画出的各条

正入射光线间距相等，那末光线1与2在幕上P 点上相遇时的相位差为 2π ，P 点应为___2级暗 点． 【答】（1）由图可见，1，2光线的光程差为δ=λ， 所以相位差为22π

ϕδπλ

∆=

=.

（2）设缝宽为a ，由图可见，sin 2a θλ=，所以P 点为2级暗点。

10．（自测提高10）可见光的波长范围是400 nm-760 nm 。用平行的白光垂直入射在平面透射光栅上时，它产生的不与另一级光谱重叠的完整的可见光光谱是第____1____级光谱。

【答】根据光栅方程，当max min sin (1)d k k θλλ==+时，k 为最大完整光谱的级次。依题中所给波长，可求得min max min 400

1.11760400

k λλλ===--，所以取1k =

P

11、（自测提高11）钠黄光双线的两个波长分别是589.00 nm 和589.59 nm ，若平面衍射光栅能够在第二级光谱中分辨这两条谱线，光栅的缝数至少是 500 。

【答】589

,499.1520.59

R kN N k λ

λ

λ

λ

===

=

=∆∆⨯，所以N 至少应为500.

三． 计算题

12、（基础训练25）在通常亮度下，人眼瞳孔直径约为3 mm ，若视觉感受最灵敏的光波长为550 nm ，试问：（1）人眼最小分辨角是多大？（2）在教室的黑板上，画的等号的两横线相距2 mm ，坐在距黑板10 m 处的同学能否看清？（要有计算过程） 解：（1）设d 为人眼瞳孔直径，则最小分辨角为41.22

2.2410()R rad d

λ

θ-==⨯。

（2）坐在距黑板S = 10 m 处的同学所能分辨的最小间距l 为 2.24R l S m m θ≈⋅=，

等号的两横线相距2mm l <，所以不能分辨，看不清。

13、（自测提高13）波长为600 nm (1 nm=10-9 m)的单色光垂直入射到宽度为a =0.10 mm 的单缝上，观

察夫琅禾费衍射图样，透镜焦距f =1.0 m ，屏在透镜的焦平面处．求： (1) 中央衍射明条纹的宽度∆ x 0；

(2) 第二级暗纹离透镜焦点的距离x 2

解：9

0113

60010(1) 22sin 22 1.00.012()0.110x f tg f f m a λ

θθ--⨯∆=⋅≈==⨯⨯=⨯ 222

22sin (2) 20.012()sin 2x ftg f x f

m a a

θθλ

θλ

=≈⎧∴==⎨

=⎩

14、（自测提高15）波长λ=6000Å的单色光垂直入射在一光栅上，第2级、第3级光谱线分别出现在衍射角ϕ2、ϕ3满足下式的方向上，即sin ϕ2=0.20，sin ϕ3=0.30，第4级缺级，试问：（1）光栅常数等于多少？（2）光栅上狭缝宽度有多大？（3）在屏上可能出现的全部光谱线的级数。 解：（1）第二级光谱满足：2sin 2d ϕλ=，依题意，2sin 0.20ϕ=，

得：10

6222600010610()sin 0.20

d m λϕ--⨯⨯=

==⨯ （2）依题意，第4级缺级，即4d k k a '=

=，得：1k '=时，61.510()4

d

a m -==⨯ ； 2k '=时，第2级也缺级，不符题意，舍去；3k '=时，63

4.510()4

d

a m -==⨯ （3）最大级次满足：0

6

max 10

sin9061010600010d d

k λ

λ--⨯<

===⨯ 再考虑到缺级发生在±4，±8级，所以屏上可能出现的全部光谱线的级数为：

0，.9,7,6,5,

3,2,1±±±±±±±