初中二次函数知识点

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二次函数知识点全总结初中

二次函数知识点全总结初中二次函数是代数学中的重要内容，也是中学数学中的重要内容之一。

在学习二次函数时，不仅要掌握它的基本概念和性质，还要掌握它的图像、方程和应用等方面的知识。

下面对二次函数的知识点进行全面总结。

一、二次函数的基本概念和性质1. 二次函数的定义二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c (a≠0)的函数，其中a、b、c为常数。

二次函数的自变量x的最高次数是2，因此称为二次函数。

2. 二次函数的图像二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

抛物线的开口方向由二次项的系数a决定。

3. 二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

顶点的横坐标为-x轴上的对称轴，纵坐标为抛物线的最低值或最高值。

4. 二次函数的对称轴对称轴是过顶点并垂直于x轴的直线，对称轴的方程为x = -b/2a。

5. 二次函数的零点二次函数与x轴相交的点称为零点，其坐标为(x, 0)。

二次函数的零点可以由解二次方程ax² + bx + c = 0得到。

6. 二次函数的凹凸性凹凸性是指二次函数的图像的形状，当a>0时，抛物线开口向上，图像是凹的；当a<0时，抛物线开口向下，图像是凸的。

二、二次函数的图像与性质1. 二次函数图像的平移二次函数y = ax² + bx + c的图像平移，一般可以通过改变常数c来实现。

当c>0时，图像上移；当c<0时，图像下移。

常数b则可以控制图像的水平平移。

2. 二次函数图像的伸缩二次函数图像的伸缩可以通过改变系数a来实现。

当|a|>1时，图像纵向伸缩；当0<|a|<1时，图像纵向压缩。

系数b则可以控制图像的水平伸缩。

3. 二次函数的最值对于二次函数y = ax² + bx + c，当a>0时，最小值为f(-b/2a)，最大值为正无穷；当a<0时，最大值为f(-b/2a)，最小值为负无穷。

初中数学二次函数最全知识点总结

初中数学二次函数最全知识点总结二次函数是数学中一个重要的函数概念，在初中阶段也有着广泛的应用。

下面是关于初中数学二次函数最全的知识点总结，供你参考。

一、基本形式二次函数的基本形式为：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

二、图像特征1.抛物线：二次函数的图像是一个抛物线，可以开口向上或向下。

2.拉伸：a确定了抛物线的开口方向和形状，绝对值越大，抛物线越“瘦长”，绝对值越小，抛物线越“圆胖”。

3.对称性：二次函数的图像关于直线x=-b/2a对称。

4.顶点坐标：直线x=-b/2a与抛物线的交点即为抛物线的顶点坐标。

5. 零点：二次函数的零点是指函数图像与x轴交点的横坐标，即解方程ax² + bx + c = 0。

三、顶点坐标的确定1.顶点坐标的横坐标x=-b/2a。

2.代入x值可以得到顶点坐标的纵坐标y=f(-b/2a)。

四、二次函数的方程及解法1. 二次函数方程一般形式：ax² + bx + c = 0。

2.解法一：使用因式分解法，将方程化为(x-m)(x-n)=0的形式，其中m和n为实数。

3. 解法二：使用配方法，对方程ax² + bx + c = 0进行化简，得到(ax + p)² + q = 0的形式，其中p和q为实数。

4. 解法三：使用求根公式，根据公式x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a求得方程的根。

五、二次函数的特殊情况1.完全平方式：当二次函数的方程形式为(x+m)²=0时，说明抛物线的顶点坐标为(-m,0)，且抛物线开口向上。

2.切线与二次函数的关系：二次函数的切线与函数图像的交点为切点，其斜率等于函数的导数值，切线的方程可以通过点斜式得到。

3. 线性函数与二次函数的关系：当二次函数的系数a = 0时，二次函数化为线性函数，即y = bx + c。

六、二次函数的应用1.模型拟合：二次函数可以用来拟合一些实际问题的数学模型，如抛物线运动问题、图像反演等。

初中二次函数最全知识点总结

初中二次函数最全知识点总结二次函数是一种常见的数学函数，其关键特点是含有二次项（x²）的多项式函数。

以下是关于二次函数的最全知识点总结。

一、基本定义与性质：1. 二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b和c为常数，且a≠0。

2.二次函数的图像是一个平滑的开口向上或向下的抛物线。

3.抛物线的开口方向由二次项的系数a决定，若a>0，则开口向上；若a<0，则开口向下。

4.抛物线的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x)表示二次函数。

5. 若D=b²-4ac>0，则抛物线与x轴有两个不同的交点；若D=0，则抛物线与x轴有一个不同的交点；若D<0，则抛物线与x轴没有交点。

6.轴对称线的方程为x=-b/2a。

7.当a>0时，二次函数的值域为[f(-b/2a),+∞)；当a<0时，二次函数的值域为(-∞,f(-b/2a)]。

二、顶点相关问题：1. 顶点坐标可以通过求解二次函数的导数为0得到。

即f'(x)=2ax+b=0，解得x=-b/2a，带入二次函数得到顶点坐标。

2.顶点为函数的最值点，当开口向上时，顶点为最小值点；当开口向下时，顶点为最大值点。

3.当a>0时，函数的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，函数的最大值为f(-b/2a)。

4.顶点在数轴上的位置对应了函数的增减性质。

三、对称性与坐标轴交点：1.二次函数是轴对称的，其轴对称线为x=-b/2a。

2.函数与轴对称线的交点为（0，c）。

3.函数与y轴的交点为（0，c），其中c为常数项。

4.函数与x轴的交点取决于D的值，若D>0，则存在两个不同的交点；若D=0，则存在一个交点；若D<0，则不存在交点。

四、图像的变换与性质：1.若在二次函数的一般形式中，a改变为-k（k为常数，k≠0），则图像沿x轴翻转，开口方向不变。

2.若在二次函数的一般形式中，c改变为+k（k为常数），则图像上下平移，平移量为+k。

初中数学二次函数知识点总结

初中数学二次函数知识点总结1. 二次函数的定义二次函数是一个数学函数，其一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b和c为常数，且a 不等于0。

在这个函数中，x是自变量，f(x)是因变量，a、b和c分别为二次项、一次项和常数项的系数。

二次函数的图像通常是一个开口朝上或者朝下的抛物线。

2. 二次函数的图像特征二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口的方向取决于二次项的系数a的正负。

当a大于0时，抛物线开口朝上；当a小于0时，抛物线开口朝下。

另外，二次函数的图像还有一个顶点，可以通过公式(-b/2a, f(-b/2a))来求得。

3. 二次函数的性质二次函数有一些重要的性质，其中最重要的就是顶点坐标的计算方法。

具体来说，可以通过求出二次函数的导数，然后令导数等于0来求得函数的极值点。

另外，二次函数还有一个重要的特点，就是它的图像是对称的。

具体来说，二次函数的图像关于顶点对称。

4. 二次函数的解析式二次函数的解析式一般可以写成一般式f(x) = ax² + bx + c，也可以写成顶点式f(x) = a(x-h)² + k，其中(h, k)为顶点的坐标。

通过解析式，可以方便地求得二次函数的相关性质，比如顶点坐标、根的个数和方向等。

5. 二次函数与二次方程二次函数与二次方程有着密切的关系。

事实上，二次函数的图像就是二次方程y = ax² + bx + c的图像。

二次函数的图像是由二次方程y = ax² + bx + c的解析式所确定的。

而二次方程则可以通过求解二次函数的零点来求得。

6. 二次函数的应用二次函数在现实生活中有着广泛的应用。

比如，物体的自由落体运动、抛物线的轨迹、天桥的设计等都可以通过二次函数来描述和求解。

另外，二次函数还可以用来描述一些生活中的变化规律，比如描绘人口增长、销售额变化等。

以上就是初中数学二次函数的知识点总结，希望可以帮助学生更好地掌握这一重要的数学概念。

二次函数知识点总结

二次函数知识点总结二次函数是初中数学的重要内容之一，也是中考数学的重点和难点。

它不仅在数学领域有着广泛的应用，在物理、经济等其他学科中也经常出现。

下面我们来详细总结一下二次函数的相关知识点。

一、二次函数的定义一般地，形如\（y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）（＼（a\）、＼（b\）、＼（c\）是常数，＼（a ≠ 0\））的函数，叫做二次函数。

其中\（x\）是自变量，＼（a\）叫做二次项系数，＼（b\）叫做一次项系数，＼（c\）叫做常数项。

需要注意的是，二次函数的最高次必须是二次，并且二次项系数\（a\）不能为\（0\）。

如果\（a ＝ 0\），那么函数就变成了一次函数。

二、二次函数的图象二次函数的图象是一条抛物线。

抛物线的形状由二次项系数\（a\）决定：1、当\（a ＞ 0\）时，抛物线开口向上；当\（a ＜ 0\）时，抛物线开口向下。

2、＼（｜a|＼）越大，抛物线的开口越窄；＼（｜a|＼）越小，抛物线的开口越宽。

抛物线是轴对称图形，对称轴为直线\（x ＝＼frac{b}｛2a}＼）。

二次函数的顶点式为\（y ＝ a(x h)＾2 ＋ k\），其中\（（h, k)＼）是抛物线的顶点坐标。

当抛物线的顶点坐标已知时，通常使用顶点式来表示二次函数，这样可以更方便地求出函数的最值等性质。

四、二次函数的一般式与顶点式的转化由一般式\（y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）通过配方法可以转化为顶点式：＼＼begin{align}y&＝ax^2 ＋ bx ＋ c\＼＆＝a(x^2 ＋＼frac{b}｛a}x) ＋ c\＼＆＝a(x^2 ＋＼frac{b}｛a}x ＋＼frac{b^2}｛4a^2} ＼frac{b^2}｛4a^2}）＋ c\＼＆＝a(x ＋＼frac{b}｛2a}）＾2 ＼frac{b^2}｛4a} ＋ c\＼＆＝a(x ＋＼frac{b}｛2a}）＾2 ＋＼frac{4ac b^2}｛4a}＼end{align}＼所以顶点坐标为\（（＼frac{b}｛2a}，＼frac{4ac b^2}｛4a}）＼）。

初中数学二次函数知识点总结

初中数学二次函数知识点总结二次函数是初中阶段数学中重要的一个章节，掌握好二次函数的知识点对学习整个数学学科都非常重要。

下面是二次函数的完整版知识点总结。

一、二次函数的定义与图像特征1. 二次函数的定义：形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数称为二次函数。

2.二次函数的图像特征：a)抛物线开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下。

b)对称轴：对称轴的方程为x=-b/(2a)。

c)最值点：a>0时，最小值点是对称轴上的点；a<0时，最大值点是对称轴上的点。

d) 零点：抛物线与x轴相交的点称为零点，解二次方程ax²+bx+c=0可以求出。

e)单调性：当a>0时，二次函数在对称轴两侧单调递增；当a<0时，二次函数在对称轴两侧单调递减。

二、二次函数的基本公式1. 平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²2. 完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²3.差平方公式：a²-b²=(a+b)(a-b)三、一元二次方程1.一元二次方程的定义：只含一个未知数的二次方程称为一元二次方程。

2.一元二次方程的解法：a)完全平方公式法：对一元二次方程进行配方，化成完全平方的形式，从而求出解。

b)因式分解法：将一元二次方程化简为(a-b)(a+b)=0的形式，然后利用乘法原理。

c)直接求解法：对一元二次方程直接利用二次根公式求解。

四、二次函数的变形及其性质1.平移变形：把二次函数图像上的每一个点(x,y)移动到(x-h,y-k)的位置，得到二次函数y=a(x-h)²+k。

2.压缩与伸缩：y=a(x-h)²+k中，a的变化会导致图像纵向的压缩和伸缩。

a)a>1时，图像纵向压缩；b)0<a<1时，图像纵向伸缩；c)a<0时，图像纵向伸缩并翻转。

初中数学二次函数知识点总结

初中数学二次函数知识点总结一、二次函数的定义二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

二次函数的图像是抛物线，开口向上或向下，其顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。

二、二次函数的性质1. 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 对称轴：二次函数的对称轴为x=-b/2a。

3. 最值：当a>0时，二次函数的最值为最小值，为c-b²/4a；当a<0时，二次函数的最值为最大值，为c-b²/4a。

4. 零点：二次函数的零点为x轴与函数图像的交点，是方程ax²+bx+c=0的解。

三、二次函数的图像1. 开口向上的二次函数图像是上凹的抛物线，最值为最小值。

2、开口向下的二次函数图像是下凹的抛物线，最值为最大值。

四、二次函数的相关变形1. 二次函数的平移：y=ax²+bx+c中，整体向左平移h个单位，变为y=a(x+h)²+bx+c；整体向下平移k个单位，变为y=a(x)²+bx+(c-k)。

2. 二次函数的垂直缩放：y=ax²+bx+c中，整体向上缩放k倍，变为y=(ak)x²+bx+c。

3. 二次函数的水平缩放：y=ax²+bx+c中，整体水平缩放k倍，变为y=ax²+(bk)x+c。

五、求解二次函数的相关问题1. 求二次函数的零点：利用求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/2a可以求得二次函数的零点。

2. 求二次函数的最值：通过对称轴和顶点坐标的关系，可以求得二次函数的最值。

3. 求二次函数的图像与坐标轴的交点：将函数代入x=0和y=0可以求得函数与坐标轴的交点。

六、二次函数的应用1. 生活中的应用：抛物线运动、拱桥结构、水流下落等。

2. 数学解题中的应用：解方程、求最值、求零点等。

初中数学二次函数知识点总结

初中数学二次函数知识点总结一、二次函数的定义和性质：二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c（a ≠ 0）的函数，其中a、b、c为常数，且a 的值决定了抛物线的开口方向。

1. 二次函数的图像是一条抛物线，可以分为三种情况：a）当a > 0时，抛物线开口向上，函数的最小值为c；b）当a < 0时，抛物线开口向下，函数的最大值为c；c）当a = 0时，函数为线性函数，图像为一条直线。

2. 抛物线的对称轴方程为x = -b/(2a)。

3. 抛物线的顶点坐标为对称轴上的点，可以通过对称轴方程求得。

4. 当抛物线开口向上时，函数的值随着x的增大而增大；当抛物线开口向下时，函数的值随着x的增大而减小。

5. 当二次函数与x轴交点时，即f(x) = 0，可以通过因式分解、配方法或求根公式求得x的值。

二、二次函数的图像及其性质的应用：1. 求解二次不等式：可以通过函数图像的性质进行解题，即判断图像与x轴的交点的情况。

2. 求解实际问题：如抛物线模型、最值问题等，将实际问题转化为二次函数的问题，再通过函数图像的性质求解。

三、二次函数的基本变形：1. y = a(x - h)² + k：顶点坐标为(h, k)，对称轴方程为x = h，图像开口方向与a 的正负有关。

2. y = ax² + bx + c + d：在基本函数的基础上进行平移，平移量为(d, d)。

3. y = a(x - h)² + k + d：在基本函数的基础上进行平移和伸缩，平移量为(d, d)，伸缩量为a。

4. y = a(x - h)² + k + d：在基本函数的基础上进行平移、伸缩和翻转，平移量为(d, d)，伸缩量为a，翻转轴为直线x = h。

四、二次函数的相关概念：1. 零点：即函数与x轴交点的横坐标，可以通过因式分解、配方法或求根公式求得。

2. 最值：当二次函数开口向上时，函数的最小值为c；开口向下时，函数的最大值为c。

2024年初中二次函数知识点汇总最全

二次函数知识点一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地,形如（是常数，）的函数,叫做二次函数。

2y ax bx c =++a b c ，，0a ≠这里需要强调:和一元二次方程类似，二次项系数,而能够为零．二次函数的定义域是0a ≠b c ，全体实数．2. 二次函数的结构特性：2y ax bx c =++⑴ 等号左边是函数,右边是有关自变量的二次式,的最高次数是2.x x ⑵　是常数,是二次项系数,是一次项系数，是常数项.a b c ，，a b c 二、基本形式１.　二次函数基本形式:的性质:2y ax =ａ的绝对值越大,抛物线的开口越小。

2. 的性质:（上加下减）2y ax c =+的符号a 开口方向顶点坐标对称轴性质0a >向上()00，轴y 时，随的增大而增大；时，0x >y x 0x <y随的增大而减小；时,有最小值.x 0x =y 00a <向下()00，轴y 时,随的增大而减小；时，0x >y x 0x <y随的增大而增大；时,有最大值.x 0x =y 0的符号a 开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()0c ，轴y 时，随的增大而增大；时，0x >y x 0x <y３. 的性质:(左加右减）()2y a x h =-4. 的性质:()2y a x h k =-+三、二次函数图象的平移1．平移步骤:措施1：⑴　将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;()2y a x h k =-+()h k ，⑵　保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，详细平移措施如下:2y ax =()h k ，随的增大而减小；时，有最小值x 0x =y c．a <向下()0c ，轴y 时，随的增大而减小;时,随0x >y x 0x <y 的增大而增大；时,有最大值.x 0x =y c 的符号a 开口方向顶点坐标对称轴性质0a >向上()0h ，X=h时,随的增大而增大；时，x h >y x x h <y随的增大而减小;时,有最小值．x x h =y 00a <向下()0h ，Ｘ＝h时，随的增大而减小;时,随x h >y x x h <y 的增大而增大;时，有最大值.x x h =y 0的符号a 开口方向顶点坐标对称轴性质0a >向上()h k ，X=h时,随的增大而增大；时,随x h >y x x h <y 的增大而减小;时,有最小值.x x h =y k 0a <向下()h k ，Ｘ＝h时,随的增大而减小;时,随x h >y x x h <y 的增大而增大;时,有最大值.x x h =y k【【【(h <0)【【【【【(h >0)【【【(h 【【|k|【【【２. 平移规律在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下h k 减”．措施2:⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成c bx ax y ++=2y m c bx ax y ++=2（或）m c bx ax y +++=2m c bx ax y -++=2⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成c bx ax y ++=2m c bx ax y ++=2(或）c m x b m x a y ++++=)()(2c m x b m x a y +-+-=)()(2四、二次函数与的比较()2y a x h k=-+2y axbx c =++从解析式上看，与是两种不一样的体现形式,后者通过配方能够得()2y a x h k =-+2y ax bx c =++到前者,即，其中.22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2424b ac b h k a a -=-=，五、二次函数图象的画法2y ax bx c =++五点绘图法：利用配措施将二次函数化为顶点式,确定其开2y ax bx c =++2()y a x h k =-+口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选用的五点为:顶点、与轴的交点、以及有关对称轴对称的点、与轴的交点y ()0c ，()0c ，()2h c ，x ，(若与轴没有交点,则取两组有关对称轴对称的点)．()10x ，()20x ，x 画草图时应抓住如下几点:开口方向,对称轴,顶点，与轴的交点，与轴的交点.x y 六、二次函数的性质2y ax bx c =++ 1. 当初,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为.0a >2bx a =-2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当初，随的增大而减小;当初,随的增大而增大；当初，有最2b x a <-y x 2b x a >-y x 2bx a=-y 小值．244ac b a- ２. 当初，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当初,0a <2b x a =-2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，2bx a <-随的增大而增大；当初，随的增大而减小；当初，有最大值.y x 2b x a >-y x 2bx a=-y 244ac b a -七、二次函数解析式的表示措施１．　一般式：(,,为常数，);2y ax bx c =++a b c 0a ≠2. 顶点式：(，，为常数，);2()y a x h k =-+a h k 0a ≠３. 两根式：(,,是抛物线与轴两交点的横坐标)．12()()y a x x x x =--0a ≠1x 2x x 注意：任何二次函数的解析式都能够化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都能够写成交点式,只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才能够用交点式表示．二次x 240b ac -≥函数解析式的这三种形式能够互化．八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.　二次项系数a二次函数中,作为二次项系数，显然.2y ax bx c =++a 0a ≠ ⑴　当初，抛物线开口向上，的值越大,开口越小,反之的值越小，开口越大；0a >a a⑵　当初,抛物线开口向下，的值越小,开口越小，反之的值越大，开口越大.0a <a a 总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向，的大小决定开口的大a a a 小.2. 一次项系数b在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.a b ⑴ 在的前提下,0a >当初，,即抛物线的对称轴在轴左侧；0b >02ba-<y 当初,,即抛物线的对称轴就是轴；0b =02ba-=y 当初，，即抛物线对称轴在轴的右侧.0b <02ba->y ⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即0a <当初,，即抛物线的对称轴在轴右侧;0b >02ba->y 当初，,即抛物线的对称轴就是轴;0b =02ba-=y 当初,，即抛物线对称轴在轴的左侧．0b <02ba-<y 总结起来，在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置．a b 的符号的判定:对称轴在轴左边则,在轴的右侧则，概括的说就是ab abx 2-=y 0>ab y 0<ab “左同右异”总结:3．常数项c ⑴ 当初，抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正；0c >y x y ⑵　当初，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；0c =y y 0 ⑶ 当初，抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负.0c <y x y总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置.c y 总之,只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.a b c ，，二次函数解析式确实定：依照已知条件确定二次函数解析式，一般利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须依照题目标特点，选择适当的形式,才能使解题简便．一般来说，有如下几个情况:１. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；２. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小)值,一般选用顶点式;3．已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；x 4.　已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，能够用一般式或顶点式体现　１．有关轴对称x 有关轴对称后，得到的解析式是；2y ax bx c =++x 2y ax bx c =---有关轴对称后，得到的解析式是；()2y a x h k =-+x ()2y a x h k =--- 2. 有关轴对称y 有关轴对称后，得到的解析式是；　2y ax bx c =++y 2y ax bx c =-+有关轴对称后,得到的解析式是；()2y a x h k =-+y ()2y a x h k =++3. 有关原点对称有关原点对称后，得到的解析式是；2y ax bx c =++2y ax bx c =-+- 有关原点对称后,得到的解析式是；()2y a x h k =-+()2y a x h k =-+- 4．有关顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转18０°）有关顶点对称后，得到的解析式是；2y ax bx c =++222b y ax bx c a=--+-有关顶点对称后，得到的解析式是．()2y a x h k =-+()2y a x h k =--+ 5. 有关点对称 ()m n ，有关点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+()m n ，()222y a x h m n k=-+-+- 依照对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远a 不变.求抛物线的对称抛物线的体现式时,能够依据题意或以便运算的标准,选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线（或体现式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的体现式．十、二次函数与一元二次方程:1．二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况)：x 一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.20ax bx c ++=2y ax bx c =++0y =图象与轴的交点个数:x ① 当初,图象与轴交于两点，其中的是一元二240b ac ∆=->x ()()1200A x B x ，，，12()x x ≠12x x ，次方程的两根.这两点间的距离()200ax bx c a ++=≠2AB x =-② 当初，图象与轴只有一个交点; 0∆=x ③　当初,图象与轴没有交点.0∆<x 当初,图象落在轴的上方,无论为任何实数，都有；1'0a >x x 0y > 当初,图象落在轴的下方,无论为任何实数,都有.2'0a <x x 0y <２．抛物线的图象与轴一定相交,交点坐标为，；2y ax bx c =++y (0)c 3．二次函数常用解题措施总结：⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;x ⑵ 求二次函数的最大（小)值需要利用配措施将二次函数由一般式转化为顶点式;⑶ 依照图象的位置判断二次函数中，,的符号,或由二次函数中，,的符号2y ax bx c =++a b c a b c 判断图象的位置，要数形结合;⑷ 二次函数的图象有关对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的x 一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的尚有二次三项式,二次三项式自身就是所含字母的二次函2(0)ax bx c a ++≠x 数;下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:0a >0∆>抛物线与轴有x 两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0∆=抛物线与轴只x 有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0∆<抛物线与轴无x 交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出目前选择题中，如:已知以为自变量的二次函数的图像通过原点, 则的值是 x 2)2(22--+-=m m x m y m 2．综合考查正百分比、反百分比、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如:如图，假如函数的图像在第一、二、三象限内,那么函数的图像大体是b kx y +=12-+=bx kx y （）ｙｙ y y 1 0 x o-1 x ０ x 0 -1 ｘ A B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高，习题类型有中等解答题和选拔性的综合题,如：已知一条抛物线通过（0,3),（4,6）两点,对称轴为，求这条抛物线的解析式。

初中二次函数最全知识点总结

初中二次函数最全知识点总结二次函数是初中数学中的重要内容，以下是二次函数的最全知识点总结：一、基本概念1. 二次函数的定义：y=ax^2+bx+c（a≠0）。

2. 求解二次函数的根：当y=0时，求解二次方程ax^2+bx+c=0的解。

3.二次函数的图像：二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负决定。

4.抛物线的顶点：二次函数的图像的顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)）。

5.抛物线的对称轴：二次函数图像的对称轴是直线x=-b/2a。

二、图像与相关性质1.拉平方法：将一般式的二次函数化为顶点形式的二次函数。

2.抛物线的开口方向：若二次函数的a>0，则抛物线开口向上；若二次函数的a<0，则抛物线开口向下。

3.抛物线的最值：若抛物线开口向上，则函数有最小值（最小值为f(-b/2a)）；若抛物线开口向下，则函数有最大值。

4.抛物线的轴对称性：抛物线关于对称轴对称。

5.零点存在性：若一元二次方程有实数根，则抛物线与x轴有交点；若一元二次方程无实数根，则抛物线与x轴无交点。

6.抛物线的轨迹：当抛物线的开口向上时，抛物线图像在x轴上方；当抛物线的开口向下时，抛物线图像在x轴下方。

三、解二次方程1. 提取公因式法：ax^2+bx+c=0，公因式为a，即a(x^2+(b/a)x+c/a)=0，再由零因积性质解得x的值。

2. 公式法：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，解的公式为x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)。

3. 完全平方式：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，通过变形将方程化为完全平方式(x﹦d)^2=0，再解出x的值。

四、因式分解1. 根与系数关系：若x1和x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解，则方程可以分解为a(x-x1)(x-x2)=0。

2. 判别式与因式分解：一元二次方程ax^2+bx+c=0，其中b^2-4ac 被称为判别式，当判别式大于0时，方程有两个不等实数根，即方程可因式分解为a(x-p)(x-q)=0，其中p和q是方程的两个根；当判别式等于0时，方程有两个相等实数根，即方程可因式分解为a(x-r)^2=0，其中r 是方程的根；当判别式小于0时，方程无实数根，即方程不可因式分解。

初中二次函数知识点总结(全面)

二次函数知识点二次函数概念:1. 二次函数的概念: 一般地, 形如y=ax2+bx+c（是常数, a≠0）的函数, 叫做二次函数。

这里需要强调: 和一元二次方程类似, 二次项系数a≠0, 而可以为零. 二次函数的定义域是全体实数。

<＜＞≤≥2.二次函数y=ax2+bx+c的性质1）当a＞0时, 抛物线开口向上, 对称轴为, 顶点坐标为.当时, 随的增大而减小；当时, 随的增大而增大；当时, 有最小值..2.当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．（三）、二次函数解析式的表示方法1.一般式: （, , 为常数, ）；2.顶点式: （, , 为常数, ）；3.两根式: （，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式, 但并非所有的二次函数都可以写成交点式, 只有抛物线与轴有交点, 即时, 抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.练习1.下列关系式中, 属于二次函数的是(x为自变量)( )A. B. C. D.2.函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是(). A.(1, -4.. B.(-1, 2...C.(1, 2... D.(0, 3)3.抛物线y=2(x-3)2的顶点在..)A.第一象....B.第二象...C.x轴....D.y轴上4.抛物... 的对称轴是.. )9、 A.x=-....B.x=.... C.x=-.....D.x=45.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示, 则下列结论中, 正确的是(.)A.ab>0, c>0B.ab>0, c<0C.ab<0, c>0D.ab<0, c<06.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示, 则点在第_.象限()A.一B.二C.三D.四7.如图所示, 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4, 图象交x轴于点A(m, 0)和点B, 且m>4, 则AB的长是()A.4+.B.mC.2m-8D.8-2m10、8.若一次函数y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx 的图象只可能是.)11、抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（） A.直线B.直线C.直线D.直线10.把抛物线的图象向左平移2个单位, 再向上平移3个单位, 所得的抛物线的函数关系式是()A. B.C. D.二、填空题1、下列函数中, 哪些是二次函数？（1）02=-x y （2）2)1()2)(2(---+=x x x y（3）xx y 12+=（4）322-+=x x y 2.二次函数的图象开口方向, 顶点坐标是, 对称轴是； 3.当k 为何值时, 函数为二次函数？画出其函数的图象.3.函数, 当为时, 函数的最大值是；4、二次函数, 当时, ;且随的增大而减小；5.二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________.6.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式, 则y=________.7.若抛物线y=x2-2x-3与x 轴分别交于A.B 两点, 则AB 的长为_________..8.抛物线y=x2+bx+c ，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.9、二次函数的对称轴是.10二次函数的图象的顶点是, 当x 时, y 随x 的增大而减小.11抛物线的顶点横坐标是-2, 则=.12、抛物线的顶点是, 则、c 的值是多少？（１） 13. 已知抛物线y=﹣x －３x －（２）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（３）求抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标；（４）画出草图观察草图, 指出x 为何值时, y ＞0,y ＝0,y ＜0.14.（2010年宁波市）如图, 已知二次函数的图象经过A（2, 0）、B（0, －6）两点。

初中二次函数知识点总结

初中二次函数知识点总结一、二次函数的定义二次函数是指一个变量的函数，其形式可以表示为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。

在这个表达式中，x 是自变量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。

二、二次函数的图像二次函数的图像是一个抛物线。

根据 a 的正负，抛物线开口向上或向下。

a > 0 时，抛物线开口向上；a < 0 时，抛物线开口向下。

三、顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点。

顶点的坐标可以通过公式 (-b/2a, f(-b/2a)) 计算得出。

四、对称轴二次函数的对称轴是一条垂直线，其方程为 x = -b/2a。

对称轴将抛物线分为两部分，这两部分关于对称轴是对称的。

五、根的判别式二次函数的根（解）可以通过求解一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 来确定。

根的情况由判别式Δ = b^2 - 4ac 决定：- 如果Δ > 0，则方程有两个不相等的实根；- 如果Δ = 0，则方程有两个相等的实根（一个实根）；- 如果Δ < 0，则方程没有实根。

六、求根公式二次函数的根可以通过以下公式求得：x1 = (-b + √Δ) / 2ax2 = (-b - √Δ) / 2a七、配方法配方法是求解二次方程的一种方法，通过将二次方程转化为完全平方的形式来简化求解过程。

八、二次函数的性质- 二次函数的图像是连续的；- 如果 a > 0，当 x < -b/2a 时，f(x) 递减；当 x > -b/2a 时，f(x) 递增；- 如果 a < 0，当 x < -b/2a 时，f(x) 递增；当 x > -b/2a 时，f(x) 递减；- 二次函数的图像与 x 轴的交点称为零点，与 y 轴的交点可以通过将 x 设为 0 来求得。

九、实际应用二次函数在现实生活中有广泛的应用，如物理中的速度和加速度问题、经济学中的最优化问题等。

初中二次函数知识点汇总(史上最全)

二次函數知識點一、基本概念：1．二次函數の概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）の函數，叫做二次函數。

，，是常數，0這裏需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數0a≠，而b c，可以為零．二次函數の定義域是全體實數．2. 二次函數2=++の結構特征：y ax bx c⑴等號左邊是函數，右邊是關於自變量xの二次式，xの最高次數是2．⑵a b c，，是常數，a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項．二、基本形式1. 二次函數基本形式：2=の性質：y axa の絕對值越大，拋物線の開口越小。

2. 2y ax c=+の性質：（上加下減）3. ()2y a x h =-の性質：（左加右減）4. ()2y a x h k =-+の性質：三、二次函數圖象の平移1. 平移步驟：方法1：⑴ 將拋物線解析式轉化成頂點式()2y a x h k =-+，確定其頂點坐標()h k ，； ⑵ 保持拋物線2y ax =の形狀不變，將其頂點平移到()h k ，處，具體平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移規律在原有函數の基礎上“h 值正右移，負左移；k 值正上移，負下移”．概括成八個字“左加右減，上加下減”．方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 軸平移:向上（下）平移m 個單位，c bx ax y ++=2變成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿軸平移：向左（右）平移m 個單位，c bx ax y ++=2變成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函數()2y a x h k =-+與2y ax bx c =++の比較從解析式上看，()2y a x h k =-+與2y ax bx c =++是兩種不同の表達形式，後者通過配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函數2y ax bx c =++圖象の畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數2y ax bx c =++化為頂點式2()y a x h k =-+，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然後在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取の五點為：頂點、與y 軸の交點()0c ，、以及()0c ，關於對稱軸對稱の點()2h c ，、與x 軸の交點()10x ，，()20x ，（若與x 軸沒有交點，則取兩組關於對稱軸對稱の點）.畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x 軸の交點，與y 軸の交點.六、二次函數2y ax bx c =++の性質1. 當0a >時，拋物線開口向上，對稱軸為2bx a =-，頂點坐標為2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．當2b x a <-時，y 隨x の增大而減小；當2b x a >-時，y 隨x の增大而增大；當2bx a=-時，y 有最小值244ac b a-．2. 當0a <時，拋物線開口向下，對稱軸為2b x a =-，頂點坐標為2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．當2bx a <-時，y 隨x の增大而增大；當2b x a >-時，y 隨x の增大而減小；當2b x a =-時，y 有最大值244ac b a-．七、二次函數解析式の表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 為常數，0a ≠）；2. 頂點式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 為常數，0a ≠）；3. 兩根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是拋物線與x 軸兩交點の橫坐標）.注意：任何二次函數の解析式都可以化成一般式或頂點式，但並非所有の二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與x 軸有交點，即240b ac -≥時，拋物線の解析式才可以用交點式表示．二次函數解析式の這三種形式可以互化.八、二次函數の圖象與各項系數之間の關系1. 二次項系數a二次函數2y ax bx c =++中，a 作為二次項系數，顯然0a ≠．⑴ 當0a >時，拋物線開口向上，a の值越大，開口越小，反之a の值越小，開口越大； ⑵ 當0a <時，拋物線開口向下，a の值越小，開口越小，反之a の值越大，開口越大．總結起來，a 決定了拋物線開口の大小和方向，a の正負決定開口方向，a の大小決定開口の大小．2. 一次項系數b在二次項系數a 確定の前提下，b 決定了拋物線の對稱軸． ⑴ 在0a >の前提下，當0b >時，02ba -<，即拋物線の對稱軸在y 軸左側；當0b =時，02ba -=，即拋物線の對稱軸就是y 軸；當0b <時，02ba->，即拋物線對稱軸在y 軸の右側．⑵ 在0a <の前提下，結論剛好與上述相反，即當0b >時，02ba ->，即拋物線の對稱軸在y 軸右側；當0b =時，02ba -=，即拋物線の對稱軸就是y 軸；當0b <時，02ba-<，即拋物線對稱軸在y 軸の左側．總結起來，在a 確定の前提下，b 決定了拋物線對稱軸の位置．ab の符號の判定：對稱軸abx 2-=在y 軸左邊則0>ab ，在y 軸の右側則0<ab ，概括の說就是“左同右異” 總結：3. 常數項c⑴ 當0c >時，拋物線與y 軸の交點在x 軸上方，即拋物線與y 軸交點の縱坐標為正； ⑵ 當0c =時，拋物線與y 軸の交點為坐標原點，即拋物線與y 軸交點の縱坐標為0； ⑶ 當0c <時，拋物線與y 軸の交點在x 軸下方，即拋物線與y 軸交點の縱坐標為負．總結起來，c 決定了拋物線與y 軸交點の位置．總之，只要a b c ，，都確定，那麼這條拋物線就是唯一確定の．二次函數解析式の確定：根據已知條件確定二次函數解析式，通常利用待定系數法．用待定系數法求二次函數の解析式必須根據題目の特點，選擇適當の形式，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點の坐標，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；3. 已知拋物線與x 軸の兩個交點の橫坐標，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標相同の兩點，常選用頂點式．九、二次函數圖象の對稱二次函數圖象の對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達 1. 關於x 軸對稱2y a x b x c =++關於x 軸對稱後，得到の解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+關於x 軸對稱後，得到の解析式是()2y a x h k =---；2. 關於y 軸對稱2y a x b x c =++關於y 軸對稱後，得到の解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+關於y 軸對稱後，得到の解析式是()2y a x h k =++；3. 關於原點對稱2y a x b x c =++關於原點對稱後，得到の解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+關於原點對稱後，得到の解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 關於頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180°）2y a x b x c =++關於頂點對稱後，得到の解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+關於頂點對稱後，得到の解析式是()2y a x h k =--+．5. 關於點()m n ，對稱()2y a x h k =-+關於點()m n ，對稱後，得到の解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根據對稱の性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線の形狀一定不會發生變化，因此a 永遠不變．求拋物線の對稱拋物線の表達式時，可以依據題意或方便運算の原則，選擇合適の形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知の拋物線）の頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線の頂點坐標及開口方向，然後再寫出其對稱拋物線の表達式．十、二次函數與一元二次方程：1. 二次函數與一元二次方程の關系（二次函數與x 軸交點情況）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函數2y ax bx c =++當函數值0y =時の特殊情況. 圖象與x 軸の交點個數：① 當240b ac ∆=->時，圖象與x 軸交於兩點()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中の12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠の兩根．這兩點間の距離21AB x x =-② 當0∆=時，圖象與x 軸只有一個交點； ③ 當0∆<時，圖象與x 軸沒有交點.1' 當0a >時，圖象落在x 軸の上方，無論x 為任何實數，都有0y >；2'當0a <時，圖象落在x 軸の下方，無論x 為任何實數，都有0y <．2. 拋物線2y ax bx c =++の圖象與y 軸一定相交，交點坐標為(0，)c ；3. 二次函數常用解題方法總結：⑴ 求二次函數の圖象與x 軸の交點坐標，需轉化為一元二次方程；⑵ 求二次函數の最大（小）值需要利用配方法將二次函數由一般式轉化為頂點式；⑶ 根據圖象の位置判斷二次函數2y ax bx c =++中a ，b ，c の符號，或由二次函數中a ，b ，c の符號判斷圖象の位置，要數形結合；⑷ 二次函數の圖象關於對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱の點坐標，或已知與x 軸の一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標. ⑸ 與二次函數有關の還有二次三項式，二次三項式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x の二次函數；下面以0a >時為例，揭示二次函數、二次三項式和一元二次方程之間の內在聯系：二次函數考查重點與常見題型1．考查二次函數の定義、性質，有關試題常出現在選擇題中，如：已知以x 為自變量の二次函數2)2(22--+-=m m x m y の圖像經過原點，則m の值是2．綜合考查正比例、反比例、一次函數、二次函數の圖像，習題の特點是在同一直角坐標系內考查兩個函數の圖像，試題類型為選擇題，如：如圖，如果函數b kx y +=の圖像在第一、二、三象限內，那麼函數12-+=bx kx y の圖像大致是（）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3．考查用待定系數法求二次函數の解析式，有關習題出現の頻率很高，習題類型有中檔解答題和選拔性の綜合題，如：已知一條拋物線經過(0,3)，(4,6)兩點，對稱軸為35=x ，求這條拋物線の解析式。

初中数学知识点总结二次函数

初中数学知识点总结二次函数
一、二次函数的定义
二次函数是最基本的二次多项式函数，它属于多项式函数的一种，它
的定义为：
二次函数：f（x）=ax2+bx+c（a≠0）。

二、二次函数的一般式
二次函数的一般式为：ax2+bx+c（a≠0），从而可以知道，它由三个
系数a，b，c组成，它由于保持不变的性质，所以对于它的参数，a，b，
c都是可以任意取值的，即a，b，c都可以取任意实数。

三、二次函数的图像
根据上述一般式，二次函数一般都会把它的图像想象成一个平滑的抛
物线图形，又称双曲线，这样的抛物线有三个特殊点：拐点，根点，中点。

1.拐点
对于图形来说，拐点就是一个折点，而二次函数中的拐点则是指函数
图像在特定点的一次导数变种符号，这就是二次函数很重要的特征，即函
数图像的拐点。

2.根点
根点是一种更特殊的拐点，即二次函数的一般式中当x=κ时，函数
值y=0，这时，它成为了一个函数的根点，即出现了函数的等式，它的特
殊性体现在它刚好相等。

3.中点
在二次函数中，中点指的是拐点和根点的中点，这一点其实十分重要，在不同的情况下，中点的位置会发生变化，有时候也会出现二次函数的准
确位置，这就需要我们根据情况来判断了。

初中数学二次函数的知识点

初中数学二次函数的知识点二次函数是数学中非常重要的一个概念，它在初中数学中经常会出现，掌握好二次函数的知识点对于学习数学以及数学解题是非常有帮助的。

下面我将为你详细介绍初中数学中与二次函数相关的知识点。

一、二次函数的定义及基本性质1. 二次函数的定义：二次函数是指自变量的二次函数关系，可以表示成f(x)=ax²+bx+c（a≠0）的形式，其中a、b、c为常数且a为二次函数的二次系数。

2.二次函数的图像特征：a)平移到抛物线的顶点和开口方向：当二次函数为f(x)=a(x-h)²+k 时，顶点为(h,k)。

b)对称性：二次函数关于直线x=h对称。

c)开口情况：当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。

d)零点：即方程f(x)=0的解，可以通过因式分解、配方法等求得。

e) 判别式：Δ=b²-4ac，当Δ>0时，方程f(x)=0有两个实数解；当Δ=0时，方程f(x)=0有两个相等的实数解；当Δ<0时，方程f(x)=0无实数解。

二、二次函数的图像与其参数的关系1.a的大小对图像的影响：a决定了二次函数开口的方向，即a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。

当a的绝对值越大时，开口越窄。

2.h的大小对图像的影响：h决定了二次函数图像的平移。

当h>0时，图像在x轴正方向平移；当h<0时，图像在x轴负方向平移。

当，h，越大时，平移的距离越大。

3.k的大小对图像的影响：k决定了二次函数图像的平移。

当k>0时，图像在y轴正方向平移；当k<0时，图像在y轴负方向平移。

当，k，越大时，平移的距离越大。

三、二次函数与二次方程的关系1. 二次函数的零点与二次方程的解：二次函数f(x)=ax²+bx+c的零点就是方程f(x)=0的解。

可以通过因式分解、配方法、求根公式等来求解二次方程。

2.二次方程与二次函数图像的交点：二次方程f(x)=0的解就是二次函数f(x)与x轴的交点，即二次函数的零点。

初三数学二次函数知识点总结

初三数学二次函数知识点总结一、二次函数的基本形式1. 二次函数的一般形式二次函数的一般形式为：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数，且a≠0。

2. 二次函数的顶点二次函数y=ax^2+bx+c的图象是一个抛物线，抛物线的对称轴与x轴的交点称为顶点。

顶点的横坐标为：-b/2a; 纵坐标为：f(-b/2a)。

3. 二次函数的开口方向当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

4. 二次函数的轴线二次函数y=ax^2+bx+c的图象的对称轴，称为轴线，其方程为：x=-b/2a。

5. 二次函数的零点二次函数y=ax^2+bx+c的图象与x轴的交点，称为零点。

二次函数的零点可以用求根公式或配方法求得。

6. 二次函数的图象二次函数y=ax^2+bx+c的图象是一个抛物线，其形状由a的正负决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下；顶点坐标由b，c的值决定。

二、二次函数的性质1. 判断二次函数图象开口方向的方法当二次函数为y=ax^2+bx+c时，通过判断a的正负来判断开口方向。

如果a>0，则抛物线开口向上；如果a<0，则抛物线开口向下。

2. 二次函数的最值二次函数的最大值或最小值为y的极值，可以通过求导数或直接利用顶点的纵坐标得出。

最值的性质有：当a>0时，最值为最小值；当a<0时，最值为最大值。

3. 二次函数的零点二次函数的零点即二次方程ax^2+bx+c=0的实根。

根据求根公式或配方法可以求得二次函数的零点。

4. 二次函数的对称轴和顶点二次函数的对称轴即为x=-b/2a，顶点坐标为：(-b/2a, f(-b/2a))。

5. 二次函数的图象二次函数的图象是一个抛物线，通过对称轴和顶点坐标可以直接绘制出抛物线的图象。

三、二次函数的应用1. 求二次函数的最值通过求导数或者用顶点坐标的纵坐标来求得二次函数的最值。

2. 判断二次函数的零点和对称轴通过求根公式可以求得二次方程的零点，通过a、b的值求得对称轴。

初中数学二次函数知识点总结

初中数学二次函数知识点总结（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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初中二次函数的所有知识点

初中二次函数的所有知识点二次函数是二次多项式的图象,用来描述一些变化的规律。

它的标准形式可以表示为：f(x) = ax² + bx + c。

其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。

二次函数的知识点主要包括：1. 定义：二次函数是一种以二次多项式表达的函数，可以表达为f(x) = ax² + bx + c。

2.零点：二次函数的零点是函数图象与x轴相交的点，通常是解二次方程f(x)=0得到的。

3.对称轴：二次函数的对称轴是与函数图象呈对称关系的一条线。

对称轴的方程为x=-b/(2a)。

4.最值：二次函数的最值即在定义域内的最大值或最小值。

若抛物线开口向上，最小值为函数的最值；若抛物线开口向下，最大值为函数的最值。

5.图象：二次函数的图象是一个抛物线。

抛物线的开口方向和平移方向是由二次函数的系数a的正负决定的。

6.纵轴截距：二次函数的纵轴截距是函数图象与y轴相交的点，可以通过求解f(0)得到。

7.顶点：二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，即函数的最值点。

顶点的纵坐标可以通过代入对称轴的x值得到。

8.开口：二次函数的开口方向可以根据二次项的系数a的正负判断。

a>0，开口向上；a<0，开口向下。

9. 判别式：二次函数的判别式可以通过b² - 4ac来计算。

判别式的值可以判断二次方程的根的情况。

当判别式大于0时，有两个不相等的实数解；当判别式等于0时，有两个相等的实数解；当判别式小于0时，无实数解。

10.平移：二次函数的图象可以通过改变a、b、c来实现平移。

平移的规律是：左右平移是改变h，上下平移是改变k，其中h、k是顶点坐标。

11.更形式的表达：二次函数还可以有其他形式的表达，如顶点、描点和标准式等形式。

不同的表达形式可以方便地求解一些问题。

12. 降幂排列：二次函数的降幂排列是将二次函数按照指数递减的顺序排列，如ax² + bx + c可以降幂为c + bx + ax²。

二次函数知识点总结初中数学

二次函数知识点总结初中数学二次函数是数学中一个重要的概念，也是初中数学中常见的一种函数形式。

下面将对初中数学中关于二次函数的知识点进行总结。

一、二次函数的定义和性质1. 二次函数的定义：二次函数是指形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。

2.二次函数的图像：二次函数的图像是抛物线，开口方向由a的正负性决定。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

3.二次函数的顶点：二次函数的图像的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。

顶点是抛物线的最低点（当a>0）或最高点（当a<0）。

4.二次函数的对称轴：二次函数的图像的对称轴是与x轴平行的一条直线，其方程为x=-b/2a。

5. 二次函数的零点：二次函数的零点是使得 f(x) = 0 的 x 值。

可以通过求解二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的根来求得零点。

二、二次函数的图像特点1.二次函数的开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2.二次函数的最值：当a>0时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当a<0时，函数的最大值为顶点的纵坐标。

3.二次函数的单调性：当a>0时，函数在顶点左右两侧单调递增；当a<0时，函数在顶点左右两侧单调递减。

三、二次函数的表示方式和基本性质1.二次函数的顶点式：二次函数可以表示为f(x)=a(x-h)^2+k的形式，其中(h,k)是顶点的坐标。

2. 二次函数的一般式：二次函数可以表示为 f(x) = ax^2 + bx + c 的形式。

3. 二次函数的零点：对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，零点可以通过求解二次方程 ax^2 + bx + c = 0 而得到。

4. 二次函数的轴对称性：对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其图像关于直线 x = -b/2a 对称。

初中二次函数最全知识点总结

初中二次函数最全知识点总结二次函数是初中数学中的重要知识点，也是高中数学的基础。

下面是对二次函数的最全知识点总结：一、二次函数的定义和表示：1. 定义：二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的函数，其中 a、b、c 是常数，且 a 不等于 0。

2. 一般式：二次函数的一般形式为 y = ax^2 + bx + c。

3.顶点式：二次函数的顶点式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)是顶点坐标。

4.描述：二次函数的图像为抛物线，开口向上或向下，对称轴为x=-b/(2a)，顶点坐标为(-b/(2a),f(-b/(2a)))。

二、二次函数的图像：1.开口方向：当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

2.对称轴：对称轴是垂直于x轴的抛物线的轴线，其方程为x=-b/(2a)。

3. 零点：即二次函数与 x 轴的交点，由二次方程 ax^2 + bx + c =0 求得。

a) 判别式：Δ = b^2 - 4ac，当Δ 大于 0 时，有两个不同实根；当Δ等于 0 时，有一个重根；当Δ 小于 0 时，无实数根。

b)零点公式：x=(-b±√Δ)/(2a)。

4.最值：当a大于0时，抛物线开口向上，最小值为顶点的纵坐标；当a小于0时，抛物线开口向下，最大值为顶点的纵坐标。

5.对称性：二次函数关于顶点对称，即f(x)=f(2h-x)。

6.平移：通过改变顶点坐标可以实现二次函数的平移，顶点坐标为(h,k)，则平移后的顶点坐标为(h+p,k+q)。

三、常用二次函数的性质和应用：1.单调性：当a大于0时，抛物线开口向上，函数单调递增；当a小于0时，抛物线开口向下，函数单调递减。

2.单调区间：根据二次函数的开口方向和最值确定函数的单调区间。

3.奇偶性：二次函数一般是奇函数，即f(-x)=-f(x)，因为二次项的系数是奇数。

4.零点个数和位置：根据二次函数的开口方向和零点的位置确定零点的个数和位置。

初中 二次函数 知识点

二次函数知识点全总结初中

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