3.3微分方程的拉氏变换求解方法.

n
s3
cosη
问题：如果复数极点具有正实部， 系统的稳定性如何？
n
s2
[s]平面
jn 1 2 jd
Re
6
暂态响应：拉普拉斯变换方法
暂态响应
情况 3-1：F(s) 具有一对共轭复数极点（分母具有二次多项式形式）。
如果复数极点具有负实部 n，其中阻尼比 >0
2
暂态响应：拉普拉斯变换方法
暂态响应
情况 1：F(s) 有一阶实极点
F (s) Yzs (s)
Yzs (s)
A0 A1 A2
X (s) s(s s1 )( s s2 ) s s s1 s s2
LT-1
Im
f (t ) A0 A1e s1t A2e s2t
4
暂态响应：拉普拉斯变换方法
暂态响应
情况 3-1：F(s) 具有一对共轭复数极点（分母具有二次多项式形式）
F (s) Yzs (s)
Yzs (s)
A1 A2 A3
X (s) (s 2 2 n s n2 )(s s3 ) s s1 s s2 s s3

0.59
a=3, b=4, c=2
f (t ) 2 A1 et sin(d t ) A3es3t
0.606e3t sin(4t 104 ) 0.59e2t
e ct f (t) 10{
et sin(bt ) , tan 1 b
Aet sin( d t )
（过阻尼） A et
Aet
（欠阻尼）
s1
Im
n
η cos1
s3
n
s2
[s]平面
jn 1 2 jd
Re
7
暂态响应：拉普拉斯变换方法
暂态响应
例：
F (s)

(s2
10 6s 25)(s 2)

A1 s 3
in1(
2
}t n
1A2e{2tn j)n1A32e}ts3t
A3es3t
2 A1 et sin(d t ) A3es3t
A1
[(s

s1
)
Yzs (s) X (s)
]s s1
A1的角度 90
由于 s1 是复数，所以 A1 也是复数， 且A1 和A2 是共轭复数
对于一个稳定系统，所有与通解相关的实极点 必须位于 S 平面的左半平面
s1
s0
[s]平面
Re
s2
系数 Ak 是 F(s) 在相应极点处的留数，因此一阶实极点的系数为
Ak

[(
s

sk
)
Yzs (s)wk.baidu.comX (s)
]s
sk

[
Yzs ( X (
s s
) )
]s

sk
3
暂态响应：拉普拉斯变换方法
5
暂态响应：拉普拉斯变换方法
暂态响应
情况 3-1：F(s) 具有一对共轭复数极点（分母具有二次多项式形式）。
如果复数极点具有负实部 n，其中阻尼比 >0
极点将位于S 平面的左半平
面（如图所示），系统是稳定 的
s1
Im
极点与原点连线同负实轴的 夹角 取决于阻尼比
η cos1

A11e s1t

A2e s2t

其中，
A13
[( s s1 )3
Yzs X
(s) (s)
]s

s1
Im
A12

{d ds
[(
s

s1
)3
Yzs X
(s) (s)
]}s

s1
A11
{1 2
d2 ds
[( s

s1 )3
Yzs X
(s) (s)
]}s

s1
s1]3 s2
如何计算 A2？
[s]平面 Re
如果初始条件不等于零，我们能够得到系统的时间响应吗？如何得到？
1
暂态响应：拉普拉斯变换方法
暂态响应
通常可以利用拉氏变换表或计算机程序来进行拉普拉斯逆变换
F (s)

Yzs (s) X (s)

aws w aw1s w1 a1s a0 s n bn1s n1 b1s b0
第三节 微分方程的拉氏变换求解方法
一般地，n 阶系统具有如下形式的微分方程： y (n) (t) bn1 y (n1) (t) b0 y(t ) aw x(w) (t ) a1x(t ) a0
在零初始条件下，取拉普拉斯变换，可以得到
F (s)

Yzs (s) X (s)
j4

A2 s 3 4 j

A3 s2
A1
[(s 3 4 j)
(s2
10 6s 25)(s 2) ]s34 j

0.303 194
A1的角度 90 194 90 104
A3
[(s

2)
(s2

6s
10 25)(s

2) ]s2
F (s) Yzs (s)
Yzs (s)
X (s) (s s1 )( s s2 )(s sn )
F (s) Yzs (s) A1 A2 An
X (s) s s1 s s2
s sn
关键点在于如何得到传递函数的部分分式表达
根据 X(s) 的分母，部分分式分解可以分四种情况进行讨论

A1

A2
A3
s n jn 1 2 s n jn 1 2 s s3
LT-1
f
(t )

A e{n jn 1
A e 1 2 }t
{n jn
2
A e 1 2 }t
s3t 3
f
(t
)

2A1Ae1{enntjsn
暂态响应
情况 2：F(s) 具有多重一阶实极点
F (s)

Yzs (s) X (s)

Yzs (s) (s s1)3 (s s2 )

A13 (s s1)3

A12 (s s1)2

A11 s s1

A2 s s2
LT-1
f
(t )

A13
t2 2
e s1t

A12te s1t

aws w aw1s w1 a1s a0 s n bn1s n1 b1s b0
其中，通常有 nw，F(s) 是系 统传递函数
特征函数--(s) (s)=0 是系统的特征方程
为了得到系统的时间响应，需要进行拉普拉斯逆变换
yzs (t ) L1[F (s) X (s)]