幂平均不等式

幂平均不等式

幂平均定义：如果p 是一个非零实数，我们可以定义正数12,,,n a a a ⋅⋅⋅指数为p 的幂平均为

1

1212(,,,)()p p p p

n p n a a a M a a a n

++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=。

同时定义：012120

(,,,)lim (,,,)n p n p M a a a M a a a →⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=

幂平均不等式： 如果p q <，则1212(,,,)(,,,)p n q n M a a a M a a a ⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅， 当且仅当12n a a a ==⋅⋅⋅=时等号成立。

11

1212()()p p p q q q p q

n n a a a a a a p q n n

++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+<⇒≤

于是，均值不等式就是幂平均不等式的一个特例：

112012112212(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)n n n n M a a a M a a a M a a a M a a a -⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅

1212111n n

a a a n

n a a a ++⋅⋅⋅+≤≤≤

++⋅⋅⋅+ 调和平均数 ≤ 几何平均数≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数

例题1 已知,a b 为非负实数，且1a b +=，求4

4

M a b =+的取值范围。

解：一方面，有题意知01a ≤≤，01b ≤≤。当且仅当,a b 之一为0，另一为1时，

441M a b a b =+=+=成立。当01a <<，01b <<时，()x x f x a b =+单调递减，(4)(1)f f <，即441M a b a b =+<+=。所以441M a b a b =+≤+= 另一方面，1444441()228a b a b a b ++≥⇒+≥。所以的取值范围是1

[,1]8

例题2

证明：3

4

12≤≤，[0,

]2

x π

∈

证明：一方面，有题意知0sin 1x ≤≤，0cos 1x ≤≤。当且仅当,a b 之一为0，另一为1

时，

1=成立。当0sin 1x <<，0cos 1x <<时，()(sin )(cos )f x x λλλ=+单

调递减，1()(2)2

f f >22

(sin )(cos )1x c >+=。

所以1≤

另一方面，111

3

2

22

2

2

2

4(sin )(cos )(sin )(cos )[

][]222

x x x x ++≥⇒≤。

综上所述，所以34

12≤。

例题3 设,x y R ∈，且1x y +=，求证：对任意正整数n ，有2221

12

n

n n x

y -+≥

。

简证：1222222111

(

)2222

n n n n n n x y x y x y -++≥=⇒+≥。 例4 设z y x ,,都是正数，且82

22=++z y x ，试证3

216

3

33≥++z y x

证明：据幂平均不等式3

32

223333z y x z

y x ++≥

++，

因此有9.)38(33

33≥

++z y x ，也就是3

216333≥++z y x 。 例5 1)若不等式

422b a m b a +≤+对所有正实数b a ,都成立，则m 的最小值是

____________。 （第十三届希望杯.高二）

2)设c b a ,,都是正数，试证))(()(3222333c b a c b a c b a ++++≥++

3)设+

∈R a a a n ,...,,21，且1...21=+++n a a a ，试证当1≥m 时有

m m n n m m n

n n a a a a a a )1()1(...)1()1(2211+≥++++++

1)解：据幂平均不等式4

42

221

2222

12

1

2

2)2()2(b a b a b a b a +≤+⇒+≤+， 因此

43

4

2

22≤++b

a b

a ，故m 的最小值是4

32。

2)(1)3

a b c

++≥

，

又332223333c b a c b a ++≥++

，因此得2222

(2)3

a b c ++≥

，

(1)与(2)相乘得

3

.332

22333c b a c b a c b a ++++≥++， 也就是≥++)(33

3

3

c b a )).((2

2

2

c b a c b a ++++。

仿此，一般地设n a a a ,...,,21；βα,都是正数，且βα+=r ，则有

n

a a a n a a a n a a a n n r n r r ββ

βααα++++++≥+++..........212121。

3)证明：由幂平均不等式≥++++++

m m n

n m m n

a a a a a a 12211])1

(...)1()1([

n

a a a n a a a a a a n

n n )1...11(11...11212211++++=++++++

，

这样便有121212111

1 (111)

()()...()()

(1)m m m m n n n a a a a a a n a a a n

++++++++++≥；

由于1...21=+++n a a a ，由柯西不等式（或平均值不等式）易知)....(21n a a a +++

221)1...11(

n a a a n

≥+++，于是得2

12111

...(2)n n a a a +++≥；

由不等式(1)(2)得m m n n m m n

n n a a a a a a )1

()1(...)1()1(2211+≥++++++

。

我们注意到许多不等式就是该不等式的特例。例如，设b a ,都是正数，且1=+b a ，

那么225

)1()1(22≥+++

b b a a 。设

c b a ,,都是正数，且1=++c b a ，那么3

100)1()1()1(222≥+++++c c b b a a 。