热学习题课大学物理

kT 2d 2 P
热力学
Q
M CV (T2 T1 ) pdV M mol V
1
V2
热力学第二定律：两种表述 S B S A A 理学院 孙秋华
B
dQ T
热学部分习题课
1. 一容器中储有氧气，其压强为1.01×105Pa，温度为 27.0Cº ，求：（1）气体分子的数密度；（2）氧气的密度； （3）分子的平均平动动能。
讨论温度转换点、吸放热转换点
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热学部分习题课
4.热力学第二定律：
开尔文表述：不可能从单一热源吸取热量，使之完全变 成有用功而不产生其它影响。 克劳修斯表述：热量不可能自动地从低温物体传向高温 物体。 热力学第二定律的统计意义：一个不受外界影 响的“孤立系统”，其内部发生的过程，总是由概 率小的状态向概率大的状态进行，由包含微观状态 数少的状态向包含微观状态数多的状态进行。
3
V
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3 1等温过程 E 31 0
V1 M A31 Q 31 RT1 ln 3 RT1 ln 2 M mol V3
1
Q2 Q1 1 Q 31 Q12 3 RT1 ln 2 1 1 ln 2 30.1% 3 RT1
P
P2
P1
2
1

V1
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3
V2 V3
V
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6. 一定量的理想气体经历如图所示的循环过程，A→B 和C→D示等压过程，B→C和D→A是绝热过程 . 已知： TC = 300K, TB = 400K. 试求：此循环的效率.
p A B
D o
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C V
热学部分习题课 解：
1
Q2 Q1 1 Q DC Q AB
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热学部分习题课
k1 Q1 V22 V12 R 2CV 2R
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热学部分习题课 解：（1）单位体积的分子数
P n 2.44 10 25 m -3 kT
（2）氧气密度
PM mol 1.30kg m -3 RT
（3）氧气分子的平均平动动能
3 21 k kT 6.21 10 J 2
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热学部分习题课 2.已知某粒子系统中粒子的速率分布函数如下所示
A 0
p(V2 V1 )
V M RT ln 2 M mol V1
Q
M cv T M mol
M c p T M mol
V M RT ln 2 M mol V1
备注
cV cp i R 2
等压
等温 绝热 直线
i RR 2
0
M cv T M mol
M cv T M mol
0

cp cV
P
P2
P1
2
1

V1
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3
V2 V3
V
热学部分习题课 解：对双原子分子，
1 2, p V 1 1 1 1 A12 ( p1 P2 )(V 2 V1 ) ( p 2V 2 p1V1 ) R(T2 T1 ) RT1 2 2 2 2
cv
5 7 R, c p R 2 2
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气体的种类
自由度
3 5 6
一个分子的平 均平动动能
一个分子的平 均转动动能
一个分子的平 均动能
单原子 双原子 多原子
3/2kT 3/2kT 3/2kT
0 2/2kT 3/2kT
3/2kT 5/2kT 6/2kT
3.热力学第一定律：
Q ( E 2 E1 ) A
CP CV
热机效率： A Q1 Q 2
Q1 Q1
热学部分习题课 致冷系数： A Q Q 1 2
Q2 Q2
11. 熵
SB S A
dQ A T
B
二、基本定律和定理 1.麦克斯韦速率分布律：在平衡态下，当气体分子间的相 互作用可以忽略时，分子分布在任一速率区间v~v+dv内 的分子数占总分子数的比率为：
M C p ( TC TD ) TC ( 1 TD ) M mol TC TD TC 1 1 1 M TB T A TB ( 1 T A ) C p ( TB T A ) T B M mol
p
p A 1 T A p D 1T D pB
积分：
P2 V1 2 ln ln( ) P1 V2 即 ：PV
2
C
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8. 已知1mol多原子分子理想气体经如图过程，求： 该过程的摩尔热容。
P
2P1
A
P1
D V1/2
V1
V
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解: 直线过程的过程方程
dQ CV dT PdV CDA dQ dT
QA1 A2 A1 E1 QA1 A2 Q吸
A1A2A3A1过程的方程
p k1V
A1
V2
V1
1 2 2 k1VdV k1 V2 V1 2



CV CV k1 2 2 p2V2 p1V1 E1 CV T2 T1 V2 V1 R R
p
A
B V1 V2
V
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热学部分习题课 解：由摩尔热容的定义：
dQAB C AB dT (CV R)dT CV dT RdT
由热力学第一定律：
dQ AB CV dT PdV
再由：
PdFra Baidu bibliotek RdT
PdV VdP RdT
PV RT
2PdV V dP 0
2P 1 P V V1 而：PV RT
2 P1 2 2 P1 d ( PV ) d ( V ) 2V dV 2 PdV RdT V1 V1 1 PdV RdT 2 dQ CV dT PdV 1 7 C DA CV R R dT dT 2 2
热学部分习题课 一、基本概念 1.平衡态和平衡过程 平衡态：若系统与外界无能量交换，则系统的宏观性质 不随时间改变，这样的状态称为平衡态。 平衡过程：系统从一个状态不断地变化到另一个状态， 我们称系统经历了一个过程。若其间所经历 的所有中间状态都无限地接近平衡态，这个 过程称为平衡过程。（准静态过程） 2.理想气体的压强和温度
Kv f(v) 0
3
0 v v0 v v0
求：(1) 比例常数K =？ (2) 粒子的平均速率？ (3) 速率在0～v1之间的粒子占总粒子数的1 / 16时， v1 =？ （答案均以v0表示）
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解：(1) ∵
4 1 f (v ) dv Kv 3 dv Kv 0 /4 0 0
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1 2 p nmv 2 n 3 3
气体分子动理论
T 2 3 k
dN f (v )dv N
vp 2kT m v
8kT m
v2
3kT m
热 学
能量均分定理
Z 2nd 2v
E
M CV T M mol

热力学第一定律
1 2 2nd
E 12
M 5 c v (T2 T1 ) RT1 M mol 2
Q12 E12 A12 3 RT1
P
P2
2 3绝 热 过 程 Q 23 0
2
1
E 23 A23 M 5 c v (T3 T2 ) RT1 M mol 2
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P1

V1 V2 V3
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∴ v1 v 0 / 2
热学部分习题课 3. 如果一定量的理想气体，其体积和压强依照 V
a p
的规律变化，其中a 为已知常数. 试求：
（1） 气体从体积V1膨胀到V2所作的功；
（2） 体积为V1时的温度T1与体积为V2 时的温度T2之 比.
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热学部分习题课 解：对平衡过程： 由：
dN m 3/ 2 4 ( ) e N 2kT
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m 2 v 2 kT v 2 dv
热学部分习题课 分布函数
m 3/ 2 f (v ) 4 ( ) e 2kT
v
p

m 2 v 2 kT v 2

三种速率
v v
2

2k T m 8k T m 3k T m
2.能量均分定理：在温度为T 的平衡态下，气体分子每个 1 自由度的平均动能都相等，其大小等于 2 kT 。
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热学部分习题课 5. 1mol双原子分子理想气体作如图的可逆循环过程， 其中 1–2 为直线， 2–3 为绝热线， 3–1 为等温线 . 已知 = 45, T2 =2T1 , V3 = 8V1 试求： （1） 各过程的功，内能增量和传递的热量； （用T1 和已知常数表示） （2） 此循环 的效率η.
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3 2 k k kT T 2 3 k
热学部分习题课 5.平均碰撞频 率 6.平均自由程： 7.定容摩尔热容量
z 2nd v
2

kT 2d 2 p
CV i R 2
8.定压摩尔热容量
9. 摩尔热容比 10.循环过程：
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C P CV R
A
V
V2 V1
理想气体无摩擦的平衡过程
M ( E 2 E1 ) C V (T2 T1 ) M mol

pdV
2 M Q CV (T2 T1 ) pdV M mol V 1
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热力学第一定律对理想气体四个过程的应用
过程 等容 E
M cv T M mol M cv T M mol

v0
∴

K 4 /v
4 0
5 (2) v vf (v ) dv vKv 3 dv Kv 0 /5 0 0
v1` v1

v0

4v 0 / 5
(3) ∵ 1
16

0
f (v ) dv Kv 3 dv
0
(v 1 ) 4 v1 4 4 (v 1 ) 4 K 4 ( ) 4 v0 v0 4
4.如图所示，AB、DC是绝热过程，CEA是等温过程， BED是任意过程，组成一个循环。若图中EDCE所包围的 面积为70 J，EABE所包围的面积为30 J，过程中系统放 热100 J，求BED过程中系统吸热为多少？
p
A E D
C B
V
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热学部分习题课 解：正循环EDCE包围的面积为70 J，表示系统对外作正 功70 J；EABE的面积为30 J，因图中表示为逆循环，故 系统对外作负功，所以整个循环过程系统对外作功为： A=70+(－30)=40 J 设CEA过程中吸热Q1，BED过程中吸热Q2 ，由热一律， A =Q1+ Q2 =40 J Q2 = A－Q1 =40－(－100)=140 J BED过程中系统从外界吸收140焦耳热.
1
A D o
B C V
TB

pC
1
TC

p A p B , pC p D
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TA TD TB TC
1
TC ( 1 TB ( 1
TD TA
TC TB
TC 1 25% TB )
p
A B
)
D o
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C
V
热学部分习题课 7. 1mol双原子分子理想气体，经如图A B过程。其摩 尔热容为CAB=CV-R.求：该过程的过程方程。
V2 V1
A
V2 V1

pdV
V
a p
V2
p
a2
a2 V
2
A

1 1 pdV dV a ( ) 2 V1 V2 V1 V
2
pV RT
p1V1 RT1 p 2V 2 RT2
T1 V2 T2 V1
利用p
a
2
V2
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压强：所有分子每秒钟施于单位面积器壁的冲量。
1 2 2 p nm v n k 3 3
温度：标志物体内分子无规则运动的剧烈程度。
3.内能：在一个系统内，所有分子的动能和分子间 相互作用势能的总和称为系统的内能。 4.理想气体的内能：所有分子的动能总和。
M E CV T M mol
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热学部分习题课 练习题、定容摩尔热容为CV常量的某理想气体。经历如 图所示的两个循环过程A1A2A3A1和B1B2B3B1相应的循环 效率为A和B。试比较A和B的大小。
p
A2
A1
A3 B2
B1
B3
0
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V1
V2
V
热学部分习题课 解： 先计算A1A2A3A1循环过程的效率