初等代数基本技能与方法

初等代数基本技能与练习
（泰祺张岩老师补充资料）
一、乘法公式复习：
平方差公式 (a+b)(a-b) = a 2-b 2 （技巧性较高）
完全平方公式
(a+b)2 =a 2+2ab+b 2 (a-b)2 =a 2-2ab+b 2 （配方技巧的运用） (a+b+c)2= a 2+b 2+ b 2+2ab+2bc+2ac
立方和差公式 (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3
(a-b) (a 2+ab+b 2) = a 3-b 3
完全立方公式 (a+b)3 =a 3+3a 2b+3ab 2+b 3
(a-b)3 =a 3-3a 2b+3ab 2-b 3
1______________)3)(32(=-+y x y x ；
2．_______________)52(2
=+y x ； 3．______________)23)(32(=--y x y x ；
4.______________)32)(64(=-+y x y x ；
5．________________)22
1
(2=-y x 6．____________)9)(3)(3(2
=++-x x x ； 7．___________1)12)(12(=+-+x x ；
8。

4))(________2(2
-=+x x ； 9．_____________)3)(3()2)(1(=+---+x x x x ；
10．____________)2()12(2
2=+--x x ；
11．2
24)__________)(__2(y x y x -=-+；
12．______________))(1)(1)(1(42=++-+x a x x x ； 13．________________)33
1
(3=-y x 14．_______________)352(2
=-+z y x 二、因式分解复习（学好它对你的MBA 考试有很大的帮助哦！）
1、定义：把一个多项式分解成若干个多项式的乘积的形式。

2、基本方法：
①提取公因式法：
公因式：多项式中各项都含有的相同的因式，即各项中系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积。

)(c b a x cx bx ax ++=++
②乘法公式法：
将以上几个公式从右往左变形即可。

③求根公式法：（配方法）
令),0(,02
≠=++a c bx ax )04(24222,1≥-=∆-±-=ac b a ac b b x 则))((212x x x x a c bx ax --=++
④二次三项式十字相乘法：
))((2b x a x q px x ++=++，其中ab q b a p =+=,
))((22112c x a c x a c bx ax ++=++，其中,,2121c c c a a a ==并且1221c a c a b +=。

▲双十字相乘法：
))((22211122f y c x a f y c x a f ey dx cy bxy ax ++++=+++++，
其中212121,,f f f c c c a a a ===，
并且122112211221,,f c f c e f a f a d c a c a b +=+=+=。

如图所示：
⑤分组分解法：
分组的三项原则：（1）分组后，能产生公因式；（2）分组后，能运用公式法；（3）分组后，能应用十字相乘法。

常用有“一三”分组或“二二”分组法。

a 1 a 2 c 1 c 2 f 1 f 2
⑥待定系数法：（见基础班讲义）
注明：有些题目是以上这些方法的综合运用。

典型例题：
例1：2
2223211456c ab c b a bc a -+
例2：n n xy x
212-+
例3：222224)(y x y x -+
例4：y y m m 77332
4++-
例5：92461682
2+-++-b a b ab a
例6：367322
+-a a
例7：2
2916y xy x -+
▲例8：253322
2+-+--y x y xy x
例9：1322
-+x x
三、一元二次方程的解法：
1、填空：
（1）x2+6x+________=(x+_______)2;
（2）x2-5x+_________=(x-_______)2;
（3）x2+2m+________=(x+_______)2;
（4）x2-3m+________=(x-_______)2.
2、用适当方法解下列方程：
（1）（x-1）(2+x)=4; (2)(x+3)2=3(4x+3);
(3)(2x+1)2-3(2x+1)+2=0; (4)2x2-mx=m2. （5）x2+x-1=0; (6)x2+4x+1=0 (7)2x2-8x=7;
【能力提高】
3、若6y2-5xy+x2=0,求证：x=2y或者x=3y.
2-，求a的值和方程的另一个根。

4、若方程x2+6x+5a=0的一个根是3
5、若n(n≠0)是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根，则m+n的值是多少？
四、韦达定理及其运用
1、ax 2+bX+c=0， X 1和X 2为方程的两个根，则X 1+X 2=-b/a ，X 1*X 2=c/a 可以计算以下各式的值：
()212
2122212x x x x x x -+=+ 2
1212111x x x x x x +=+ ()()()221212212212
2212221211
x x x x x x x x x x x x -+=+=+ ()()21221221214x x x x x x x x -+=-=
- ()()()()[]212212122
21212132313x x x x x x x x x x x x x x -++=+-+=+ 练习：已知1x 和2x 是方程04232=-+x x 的两个根，求以上各式的值。

2、韦达定理应用中的一个技巧
在解有关一元二次方程整数根问题时，若将韦达定理与分解式αβ±(α＋β)＋1＝(α±1)(β±1)结合起来，往往解法新颖、巧妙、别具一格．例说如下．
例1 已知p ＋q ＝198，求方程x 2＋px ＋q ＝0的整数根．
解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得
x1＋x2＝－p ，x1x2＝q ．
于是x1x2－(x1＋x2)＝p ＋q ＝198，
即x1x2－x1－x2＋1＝199．
∴(x1－1)(x2－1)＝199．
注意到x1－1、x2－1均为整数，
解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0．
五、二次函数复习：
1、用配方法求下列二次函数的开口方向，顶点坐标、对称轴、最值，单调性（增减性）
（1）二次函数322+-=x x y
（2）抛物线16242+--=x x y
（3）抛物线4412-+-
=x x y
2、. 已知抛物线y ＝12x 2＋x －52
. （Ⅰ）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；
（Ⅱ）若抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，求线段AB 的长.
3、 已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图所示，求c b a ,,的符号
六、一次绝对值函数的最值问题（巧解）
①．利用几何方法求最值
例1 已知y =|x -2|-|x -5|,求y 的最大值与最小值.
例2 已知y =|x -2|+|x -1|,求y 的最小值.
通过上述两题,我们知道,利用绝对值几何意义解决此类问题,显得直观又简单,同时我们还能得出一些有用的结论:
如果y =|x -a |-|x -b |,那么y 有最大值|a -b |,最小值-|a -b |.
如果y =|x -a |+|x -b |,那么y 有最小值|a -b |,无最大值.
并且还求出最大值,最小值时对应的x 值的范围.
②．利用界点分段法求最值
例3.求代数式∣x -1│+∣x -2│+∣x -3│的最小值
说明：形如|x -a 1|+|x -a 2|+……+|x -a n |n 个绝对值的代数和其最小值的一般规律是：当n 为奇数时取中间分界点x 取值能取得最小值，当n 为偶数时取中间两个分界点x 的取值或中间两个分界点之间的任意实数，如求|x +1|+|x +2|+|x +3|+|x +4|+|x +5|的最小值。

因为有奇数个分界点，所以当x 取中间界点-3时有最小值6，如求|x +1|+|x +2|+|x +3|+|x +4|的最小值，因为
有偶数个分界点，所以时有最小值。

-≤≤-324x
③绝对值不等式的解法：
例4 ∣x -1│+∣x -3│<1
例5 若∣x -
125│+∣x+12
1│>a 恒成立，求a 的取值范围。

课堂练习 1.已知y =|x +5|-|x -1|,求y 的最大值,最小值.(答:最大值6,最小值-6)
2.已知y =|x -2|+|x -6|,求y 的最小值.(答:8)。